Để chuẩn bị cho việc trình bày kết quả về cấu trúc (DNϕ) của không gian [H(K)]∗ với K là tập compact trong không gian Frechet - Hilbert
tiệm cận chuẩn, chúng tôi trình bày một số các khái niệm được Vogt [15], giới thiệu và nghiên cứu trong mối quan hệ với hàm tử Ext1(E, F).
Định nghĩa 3.3.1. Cho E và F là các không gian Frechet với dãy tăng các nửa chuẩn || ||1 ⩽ || ||2 ⩽ ... xác định tô pô E hoặc F, tương ứng.
Xác định ||y||∗k = sup{|y(x)| : ||x||k ⩽ 1} là chuẩn đối ngẫu của || ||k với y ∈ E∗ hoặc F∗. Ta nói rằng
(E, F) ∈ (S1∗) : ∃n0 ∀à ∃k ∀K, m ∃n, S ∀x ∈ En, y ∈ Fk∗ sao cho
||x||m||y||∗k ⩽ S ||x||n||y||∗k +||x||n0||y||∗à
(E, F) ∈ (S1∗)0 : ∃n0 ∀à ∃k ∀K, m, R > 0 ∃n, S ∀x ∈ En, y ∈ Fk∗ sao cho
||x||m||y||∗k ⩽ S||x||n||y||∗K + 1
R||x||n0||y||∗à (E, F) ∈ (S1) : ∃n0 ∀à ∃k ∀K, m, R > 0 ∃n, S sao cho
B(Em, Fk) ⊂ S B(En, Fk) + 1
RB(En0, Fk). Trong đó B(Em, Fk) là hình cầu đơn vị trong L(Em, Fk)
Định lý 3.3.1. Nếu E là không gian Frechet - Hilbert tiệm cận chuẩn và K là một tập compact, cân trong E thì [H(K)]∗ là tiệm cận chuẩn.
Để chứng minh định lý trên ta sử dụng bổ đề sau
Bổ đề 3.3.1. Nếu E là không gian Frechet - Hilbert tiệm cận chuẩn thì tồn tại một tập chỉ số I và một không gian Frechet hạch tiệm cận chuẩn F sao cho E là không gian con của `2(I)⊗b
π
F.
Chứng minh.Theo bổ đề 5.4trong [14], ta thấy rằng tồn tại một không gian K¨othe hạch λ(B) với chuẩn liên tục sao cho (E, λ(B)) ∈ (S1∗) bởi mệnh đề 3.2 trong [13], ta xây dựng được một dãy khớp ngắn
0→ λ(B) →λ(A) →ω →0.
Trường hợp E là một không gian Hilbert thì bổ đề là tầm thường. Khi E chỉ là một không gian Frechet, từ bổ đề 3.3 trong [15] ta suy ra rằng (E, λ(B)) ∈ (S1∗)0, ta chọn một tập chỉ số I sao cho mỗi không gian Hilbert Ek là đẳng cấu với một không gian con của `2(I). Ta đồng nhất tích tenxơ `2(I)⊕b
πλ(B) với không gian của tất cả các y = (yj) sao cho với mọi (yj) ∈ `2(I) và k ∈ N ta có
||y||k = sup
j
||yj||2bj,k < +∞,
Trong đó || ||2 ký hiệu là chuẩn của `2(I). Tiếp tục chứng tỏ điều kiện (E, λ(B)) ∈ (S1∗)0 kéo theo điều kiện
E, `2(I)⊕b
πλ(B)
∈ (S1). Thật vậy, thay y = fj vào điều kiện (S1∗), với fj là véc tơ đơn vị thứ j trong không gian [λ(B)]∗, ta thu được
||x||m
bj,k ⩽ S||x||n bj,K + 1
R
||x||n0
bj,à (3.3)
Từ đây ta suy ra
1 bj,k
Vm0 ⊂ S 1 bj,K
Vn0 + 1 R
1 bj,à
Vn00 (3.4)
trong đó Vm là hình cầu đơn vị trong Em. Ta giả sử rằng Fk =
x = (x1, x2, ...) : ||x||k = sup
j
||xj||2bj,k < +∞
và Em là không gian Hilbert sinh bởi || ||m. Khi đó một ánh xạ B ∈ (Em, Fk) có thể viết dưới dạng
Bx = (Bx1, Bx2, ...) với Bj ∈ 1
bj,kVm0, và j ⩾ 1.
Ngược lại, với mỗi Bj xác định như trên cũng cho ta một ánh xạ Bx = (Bx1, Bx2, ...)trong hình cầu đơn vịB(Em, Fk) củaL(Em, Fk).Áp dụng (3.4) ta nhận được
Bj ⊂ S 1
bj,KVn0 + 1 R
1 bj,àVn00,
do đó
B(Em, Fk) ⊂ SB(En, Fk) + 1
RB(Bn0, Fà). Điều đó có nghĩa là
E, `2(I)⊕b
πλ(B)
∈ (S1). Lấy tích tensor với `2(I) ta nhận được dãy khớp
0 →`2(I)⊗b
π
λ(B) → `2(I)⊗b
π
λ(A) → `2(N)N
→0.
Từ mệnh đề 2.1 [15] ta suy ra Ext1
E, `2(I)⊗b
π
λ(B)
= 0.
Từ đó suy ra rằng phép nhung tự nhiên T : E → `2(I)N
có thể nâng tới một toán tử tuyến tính liên tục Tb : E → `2(I)⊗b
π
λ(A). Do đó T là
đơn ánh và có ảnh đóng.
Chứng minh định lý 3.3.1
i) Ta chọn tập chỉ số I và một không gian Frechet hạch tiệm cận chuẩn F sao cho E là một không gian con của `2(I)⊗b
π
F. Từ `2(I)⊗b
π
F có một hệ cơ bản các nửa chuẩn Hilbert, bằng cách áp dụng khai triển Taylor của mỗi phần tử H(K) tại 0 ∈ K ta thấy rằng mọi tập bị chặn trong H(K) là ảnh của một tập bị chặn trong trong H(e(K)) dưới ánh xạ hạn chế. Trong đó e :E → `2(I)⊗b
πF là ánh xạ nhúng chính tắc.
Điều đó suy ra rằng [H(K)]∗ là không gian con của [H(e(K))]∗. Do đó, định lý được chứng minh nếu ta chứng tỏ được rằng [H(e(K))]∗ là tiệm cận chuẩn.
ii) Cho{|| k|k}k⩾1 là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của F thoả mãn 2|| ||k ⩽|| ||k+1 với k ⩾ 1.
Do F là tiệm cận chuẩn nên ta có
(AS) ∃p ∀q ∃k :||ã||p ∼ || ã ||qtrờn Uk.
Ở đây, ta viết
|| ||p ∼ || ||q
nếu tô pô sinh bởi các || ||p và || ||q là tương đương nhau.
iii) Chúng ta kiểm tra rằng với p, q và k như trong (AS) thì πpn ∼πqn trên Wkn với n⩾ 1. Trong đó Wkn là hình cầu đơn vị trong
`2(I)⊗b
π
F
⊗b
π
...⊗b
π
`2(I)⊗b
π
F
| {z }
n
của các nửa chuẩn πkn cảm sinh bởi || k|k.
Để vấn đề được đơn giản, ta chỉ cần xét n = 2. Cho {fm} ⊂ Wk2 với πp2(fm) →0 khi m → ∞. Bởi vì
`2(I)⊗b
πF
⊗b
π
`2(I)⊗b
πF
∼= F⊗b
π
`2(I)⊗b
π`2(I)⊗b
πF
∼= L
F∗, `2(I)⊗b
π`2(I)⊗b
πF
ta thấy dãy {fm} có thể xem như là một dãy n
fcm o
⊂ L
F∗, `2(I)⊗b
π`2(I)⊗b
πF
thoả mãn sup
n
ω ◦fcm
(u)
: u ∈ Uk0, ω ∈ (V ⊗V ⊗Uk)0, m ⩾ 1 o
⩽1 và
π2p
fcm
= sup n
ω ◦fcm
(u)
:u ∈ Uk0, ω ∈ (V ⊗V ⊗Up)0 o
→ 0 khi m → ∞. Trong đó V là hình cầu đơn vị của `2(I).
Giả sử rằng πp2
fcm
6→ 0 khi m → ∞, khi đó mỗi m ⩾ 1 tồn tại ωm ∈ (V ⊗V ⊗Uq)0 sao cho
sup n
ωm ◦fcm(u)
: u ∈ Uq0 o
⩾ ε với ε > 0 nào đó .
Điều này là mâu thuẫn, vì n
ωm◦fcm o
⊂ Uk0 và
ωm ◦fcm
p → 0 khi m → ∞.
iv) Điều còn lại là ta đi chứng tỏ rằng với p, q và k như trong (AS) ta có || ||∗p ∼ || ||∗q trên Wk. Trong đó
||à||∗k = sup{|à(f)| :f ∈ H∞(e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uq)),||f||k ⩽ 1}
với
à∈ [H (e(K))]∗ và Wk = n
à ∈ [H (e(K))]* : ||à||k ⩽ 1 o
.
Giả sử rằng {àj} ⊂ Wk với ||àj||∗p → 0 khi j → ∞. Chọn δk > 1 sao cho e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uk) ⊂ δk(e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uq)). Viết khai triển Taylor của mỗif ∈ H∞(e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uq)) dưới dạng
f(ω) =X
n⩾0
Pnf(ω), Pnf(ω) = 1 (2πi)n
Z
|λ|=1
f(λω) λn+1 dλ Ta suy ra rằng với mỗi ε > 0 tồn tại N sao cho
àj X
n>N
Pnf
!
< ε,
với j ⩾ 1 và f ∈ H∞(e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uq)),||f||q ⩽ 1. Sử dụng (iii) ta suy ra rằng với j đủ lớn ta có
àj X
n>N
Pnf
!
< ε; với mọi ||f||q ⩽ 1.
Do đó với j đủ lớn ta có
|àj(f)| < 2ε, với
f ∈ H∞(e(K) +conv(V ⊗V ⊗Uq)) và k|f||q ⩽ 1.
Từ đú suy ra rằng ||àj||∗q → 0 khi j → ∞.
Luận văn giải quyết những vấn đề dưới đây
Chương 1. Trình bày khái niệm về không gian lồi địa phương, đối ngẫu tô pô yếu, tô pô pôla, tích tensor, ánh xạ chỉnh hình, tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình, không gian mầm các hàm chỉnh hình.
Chương 2. Chúng tôi giới thiệu về bất biến tô pô tuyến tính (DN) trên không gian Frechet cùng một số điều kiện tương đương và ví dụ về không gian Frechet có tính chất (DN). Hai kết quả ở đây là không gian [H(OE)]∗ có tính chất (DN) nếu E là không gian Frechet có cơ sở tuyêt đối cùng tính chất (DN); Để không gian [H(K)]∗ có tính chất (DN) thì K là tập compact trong Cn sao cho K = ˆKU, KˆU là bao chỉnh hình của K trong một lân cận Stein U nào đó của K.
Chương 3. Chúng tôi trình bày khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DNϕ) trên không gian Frechet. Hai kết quả chính trong chương này là để không gian [H(OE)]∗ có tính chất (DNϕ) thì E là một không gian Frechet tiệm cận chuẩn có cơ sở tuyệt đối; đối với đối ngẫu của không gian mầm của các hàm chỉnh hình [H(K)]∗ có tính chất (DNϕ) thì K phải là tập compact cân trong không gian Frechet Hilbert tiệm cận chuẩn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] N. V. Khuê - L. M. Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập II, Nhà xuất bản giáo dục, 2001.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] A. Aytuna, On Stein manifolds M for which O(M) is isomorphic to O(∆n) as Frechet spaces,Manucrpta Math. 62 (1988) 297 – 315.
[3] P. T. Danh and N. V. Khue, Structure of spaces of germs of holo- morphic functions, Publ. Mat. Vol 41 (1997), 467-480.
[4] S. Dineen,Holomorphic functions on (Co, Xb)- Modules, Math. An- nalen, 196 (1972), 106-116.
[5] S. Dineen, Complex Analysis in locally Convex Spaces, Mathemat- ics Studies, North – Holland, (1981).
[6] N. V. Dong, Proper holomorphic surjections and the properties
Ω,Ωe
of spacse of germs of holomorphic functions, Publications of CFCA. 1 (1997), 31-38.
[7] L. M. Hai and P. H. Bang, On the property (LB∞) of germs of holomorphic functions and the properties
Ω,˜ Ω¯
of the Hartogs do- mains in infinite dimensions, Acta mathematica Vietnamica, Vol- ume 25, Number 1, 2000, pp. 33–47.
64