Định nghĩa 1.6.1. Một tập con U của không gian lồi địa phương E được gọi là mở hữu hạn nếu U ∩F là một tập con mở của không gian Euclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E.
Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf. Các tf lân cận cân lập thành một cở sở đối với tf lân cận của 0 trong E.
Định nghĩa 1.6.2. Một hàmf xác định trên tập con mở hữu hạn chiều U của không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địa phương F được gọi là Gateaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F0 thì hàm một biến phức
f : λ 7→ φ◦f (a+λb)
chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0. Ta ký hiệu HG(E, F) là tập tất cả các hàm G chỉnh hình từ E vào F.
Định lý Hartogs trong trường hợp nhiều chiều nói rằng các hàm chỉnh
hình tách trên U ×V với U ⊂ Cn, V ⊂Cm là chỉnh hình. Do đó, ánh xạ f : U ⊂ E →F
là G chỉnh hình nếu và chỉ nếu φ◦f|U∩H là hàm nhiều biến chỉnh hình với mỗi φ ∈ F0 và không gian con hữu hạn chiều H trong E. Từ đó suy ra ta có thể sử dụng các kết quả trong trường hợp nhiều chiều như: khai triển chuỗi Taylor, phương trình Cauchy-Riemann,. . . đối với các ánh xạ G chỉnh hình.
Định nghĩa 1.6.3. Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U là tập con mở hữu hạn trong E. Một ánh xạ f : U → F được gọi là chỉnh hình nếu nó G chỉnh hình và với mỗi ξ ∈ U thì hàm
y 7→
∞
X
m=0
dmf (ξ) m! (y)
hội tụ và xác định một hàm liên tục trong một lân cận của điểm gốc.
Tập các ánh xạ chỉnh hình từ U vào Fđược ký hiệu là H(U, F).
Định nghĩa 1.6.4. Một ánh xạ f từ tập con mở U trong không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là bị chặn địa phương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận Vξ của ξ trong U sao cho f (Vξ) là tập bị chặn trong F.
Mối quan hệ giữa ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phương được phản ánh trong kết quả sau
Mệnh đề 1.6.1. [17] Giả sử f là ánh xạ từ tập con mở U trong không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
i) f là chỉnh hình.
ii) f là G - chỉnh hình và liên tục.
iii) f là G - chỉnh hình và bị chặn địa phương.
Bổ đề 1.6.1. Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U là một tập con mở của E. Khi đó, nếu f ∈ HG(U, F) thì f là liên tục khi U được cho bởi tô pô mở hữu hạn.
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng tf là tô pô giới hạn quy nạp được cho bởi các ánh xạ bao hàm U → E, ở đó U chạy trên tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E. Do đó một hàm f xác định trên một tập con tf mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữu hạn chiều của U là liên tục. Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục
nên chúng ta nhận được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.6.2. Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gian véc tơ E và f ∈ HG(E) thì với mỗi ξ ∈ U tồn tại duy nhất một dãy các đa thức thuần nhất trên E
(dˆmf(ξ) m!
)∞ m=0
sao cho
f (ξ +y) =
∞
X
m=0
dˆmf(ξ) m! (y);
với mọi y trong tf lân cận nào đó của 0.
Chứng minh. Cố định điểm ξ ∈ U. Với mỗi số nguyên dương m ta đặt Pm,ξ = 1
2πi Z
|λ|=ρx
f (ξ +λx) λm+1 dλ
ở đó ρx được chọn sao cho ξ +{λx : |λ| ≤ρx} ⊂ U. Bởi vì f là G chỉnh hình nên Pm,ξ không phụ thuộc vào ρx và
f (ξ + x) =
∞
X
n=0
1 2πi
Z
|λ|=ρx
f (ξ +λx) λm+1 dλ.
Theo Bổ đề 1.5.3, hàm f là liên tục nên tích phân Pm,ξ = 1
2πi Z
|λ|=ρx
f (ξ +λx) λm+1 dλ
là hoàn toàn xác định.
Bởi vì hạn chế của f tới mỗi phần hữu hạn chiều của U là chỉnh hình, nên hàm x 7→ Pm,ξ(x) là một đa thức n thuần nhất. Gọi Lm,ξ là ánh xạ m tuyến tính đối xứng liên kết trên E. Theo bổ đề phân rã, nếu x1, x2, ..., xn ∈ E thì ta có
Lm,ξ(x1, ..., xm) = 1 2mm!
X
εi=±1
ε1...εmPm,ξ
m
X
i=1
εixi
! .
Theo định lý Haln-Banach thì Lm,ξ ∈ Lsa(Em) và Pm,ξ ∈ Pa(Em).
Cho V là một tf lân cận cân của 0 sao cho ξ+V ⊂ U. Nếu x∈ V thì ξ +{λx : |λ| ≤ 1} là một tập con compact của U. Do đó, tồn tại ρ > 1 sao cho ξ +{λx : |λ| ≤ρ} ⊂ U. Theo Bổ đề 1.5.3 hàm f là liên tục và ta có
sup
|λ|<ρ
|f (ξ + λx)| = Mx < ∞.
Do đó
|Pm,ξ(x)| ≤ Mx ρm
với mỗi số nguyên dương m. Điều đó chứng tỏ rằng
f (ξ + x)−
n
X
m=0
Pm,ξ(x)
≤
∞
X
m=n+1
|Pm,ξ(x)| ≤ Mx
∞
X
m=n+1
1 ρm. Do đó
f (ξ +x) =
∞
X
m=0
Pm,ξ(x); với mọi x ∈ V.
Bởi tính duy nhất của khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến phức, chúng ta thấy rằng dãy (Pm,ζ)∞m=0 được xác định duy nhất bởi f.
Trong quá trình chứng minh Mệnh đề 1.5.2, chúng ta cũng đã chứng tỏ được rằng
Mệnh đề 1.6.3 (Bất đẳng thức Cauchy). Cho f ∈ HG(U), ξ ∈ U, ρ >
0 và B là một tập con cân của E sao cho ξ + ρB ⊂ U thì với mọi số
nguyên không âm m ta có 1
m!kPm,ξkB ≤ 1
ρm sup
x∈ξ+ρB
kfkB = 1
ρmkfkξ+ρB.
Định nghĩa 1.6.5. Cho U là một tập con mở trong không gian lồi địa phương E. Một hàm f : U → C được gọi là chỉnh hình trên U nếu với mỗi ξ ∈ U tồn tại một dãy {Pm} các đa thức bậc m trên E (Pm ∈ Pm(E).m = 0,1,2, ...) sao cho chuỗi
∞
P
m=0
Pm,ξ(x−ξ)m hội tụ đều về hàm f(z) với mọi z trong lân cận nào đó của ξ.
Dãy {Pm}∞m=0 được xác định một cách duy nhất và ký hiệu Pm = 1
m!
dˆmf (ξ). Khi đó, ta viết
f (z) =
∞
X
m=0
1 m!
dˆmf (ξ) (z −ξ)m.
Ta gọi chuỗi
∞
P
m=0
Pm(z −ξ)m là chuỗi Taylor của hàm f(z) tại ξ. Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên U với giá trị trong F được ký hiệu bởi H (U, F).