(a) Iđêan cực đại
Iđêan I của vành giao hoán A được gọi là iđêan cực đại nếu I 6= A và I là phần tử cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) I 6= A,
ii) Nếu tồn tại iđêan J của A mà I J thì J = A.
Ví dụ 2.3.1. +) Trong vành Z mọi iđêan pZ với plà số nguyên tố đều là iđêan cực đại của Z. Thật vậy, nếu có iđêan I của Z sao cho (p) I thì tồn tại a ∈ I và a /∈ (p), có nghĩa là a không chia hết cho p. Vì p là số nguyên tố nên từ a không chia hết cho p suy ra a và p nguyên tố cùng nhau. Do đó tồn tại x, y ∈ Z để ax+py = 1.
Do đó 1∈ I, vì vậy I = Z.
+) Mỗi trường có duy nhất một iđêan cực đại là iđêan {0} vì trường chỉ có hai iđêan là {0} và chính nó.
Định lý 2.3.2. Iđêan I của vành A là một iđêan cực đại nếu và chỉ nếu vành thương A/I là một trường.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan cực đại của A. Ta chứng minh A/I là trường. Thật vậy, do A là vành giao hoán, có đơn vị nên A/I là vành giao hoán, có đơn vị. Vậy A/I có ít nhất hai phần tử là 0 +I và 1 +I. Giả sử x + I ∈ A/I mà x + I 6= I suy ra x /∈ I. Đặt J = hxi + I = I +xx0|x0 ∈ A thì J là iđêan của A và I ⊂ J. Do I là iđêan cực đại nên J = A. Do đó 1 ∈ J. Vậy tồn tại x0 ∈ A, a ∈ I sao cho 1 = xx0+a.
Suy ra 1 +I = xx0+a+I = xx0+I = (x+I)(x0+I). Hay nghịch đảo của x+I là x0 +I. Vậy A/I là một trường.
Ngược lại, giả sử A/I là trường. Khi đó A/I 6= ∅ và có ít nhất 2 phần tử là 0 +I,1 +I. Suy ra A 6= I (vì nếu A = I thì 1 ∈ I =⇒ 1 +I = I = 0 +I). Giả sử J là iđêan của A thỏa mãn I J khi đó tồn tại x ∈ J\I. Suy ra x+ I 6= I. Do A/I là trường nên tồn tại x0 +I ∈ A/I sao cho (x+I)(x0 +I) = 1 +I. Suy ra xx0+ I = 1 +I =⇒ xx0 −1 ∈ A. Vậy tồn tại a ∈ I để a = xx0 −1 suy ra 1 = xx0 −a ∈ J (vì J là iđêan của A và tập x, a∈ J). Vậy J = A hay I là iđêan cực đại của A.
Định lý 2.3.3. Trong một vành giao hoán A có đơn vị khác không, luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Gọi Ω là tập tất cả các iđêan thực sự của A. Do A không tầm thường nên {0} là một iđêan thực sự của A suy ra Ω 6= ∅. Cho δ là tập con sắp thứ toàn phần của Ω. Đặt J = ∪(I∈∆)I, rõ ràng J 6= ∅ vì 0∈ J.
+) Với mọi a ∈ J, r ∈ A thì ra ∈ J.
+) Với a, b ∈ J luôn tồn tại I1, I2 ∈ ∆ sao cho a ∈ I1, b ∈ I2. Do (∆,⊆) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1 ⊆ I2 hoặc I2 ⊆ I1. Không
mất tính tổng quát ta giả sử I1 ⊆ I2, khi đó a−b ∈ I2 ⊆ J. Do vậy J là iđêan thực sự của A vì với mọi I ∈ Ω : 1 ∈/ I =⇒ 1 ∈/ J. Suy ra J ∈ Ω, vì vậy J là cận trên của Ω trong Ω. Áp dụng Bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (Ω,⊆) luôn có phần tử cực đại nên A luôn có ít nhất một iđêan cực đại.
Hệ quả 2.3.4. Cho A là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của A. Luôn tồn tại một iđêan cực đại M của A sao cho M ⊇I.
Chứng minh. Do I là iđêan thực sự nên vành thương A/I không tầm thường. Theo Định lý 2.3.3 thì A/I có iđêan cực đại và iđêan cực đại đó phải có dạng M/I với iđêan M của A thỏa mãn M ⊇ I. Ta lại có (A/I)/(M/I) ∼= A/M (theo hệ quả của Định lý cơ bản tổng quát của đồng cấu vành). M/I là iđêan cực đại nên (A/I)/(M/I) là một trường suy ra A/M cũng là một trường. Vậy M là iđêan cực đại của A và M ⊇ I.
(b) Iđêan nguyên tố
Iđêan P của một vành giao hoán có đơn vị khác không A được gọi là một iđêan nguyên tố nếu P 6= A và nếu ab ∈ P, thì a ∈ P hoặc b ∈ P. Ví dụ 2.3.5. +) Với p là một số nguyên tố trong vành số nguyên Z,
thì P = (p) = pZ là một iđêan nguyên tố. Thật vậy, trước hết P 6= Avì p 6= 1. Nếu ab ∈ P thì ab chia hết cho p. Vìp là số nguyên tố nên điều này dẫn đến a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p, hay a ∈ P hoặc b ∈ P. Tập hợp số nguyên tố vô hạn nên Z có vô số iđêan nguyên tố.
+) Trong một miền nguyên thì iđêan không {0} là một iđêan nguyên tố vì nếu ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
Ta gọi tập tất cả các iđêan nguyên tố của A là phổ nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của A, ký hiệu Spec(A).
Ví dụ 2.3.6. +) Z - vành giao hoán SpecZ = n
{0}, pZ, p là số nguyên tốo . +) A là trường, SpecA =
{0} .
Định lý 2.3.7. Cho I là một iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị A và S là tập con nhân đóng của A sao cho I∩S = ∅. Khi đó tập Ψ = n
J là iđêan của A|J ⊇ I, J ∩ S = ∅o
có ít nhất một phần tử cực đại và các phần tử cực đại của Ψ là iđêan nguyên tố của A.
Chứng minh. +) Ψ = n
J là iđêan của A|J ⊇I, J ∩S = ∅o
là tập sắp thứ tự bộ phận cùng với quan hệ bao hàm. Ta có I ∈ Ψ nên Ψ 6= ∅. Giả sử (A,⊆) là tập con sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của Ψ.
Khi đó ta đặt Q = ∪J∈AJ thì Q là iđêan của A thỏa mãn Q ⊇ I, Q∩ S = ∅. Do A là tập sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi J1, J2 ∈ A ta luôn có J2 ⊆ J1 hoặc J1 ⊆ J2. Suy ra Q là cận trên của A trong Ψ. Do đó Ψ có ít nhất một phần tử cực đại (theo Bổ đề Zorn). Gọi P là phần tử cực đại bất kì của Ψ, do P ∩S = ∅,1 ∈ S nên 1 ∈/ P. Vậy P 6= A.
+) Với a, a′ ∈ A \P ta phải chỉ ra aa′ ∈/ P. Thật vậy a /∈ P suy ra I ⊆P ⊆ P+hai. DoP là phần tử cực đại củaΨnên(P+hai)∩S 6= ∅ suy ra tồn tại s ∈ S, r ∈ A, u ∈ P sao cho u+ ra = s. Tương tự
a′ ∈/ P suy ra tồn tại s′ ∈ S, r′ ∈ A, u′ ∈ P sao cho s′ = u′ + r′a′. Nhưng
ss′ = (u+ra)(u′+r′a′) = (uu′+ rau′+ ur′a′) + (rar′a′).
Vì S là tập con nhân đóng của A nên ss′ ∈ S. Lại có (uu′+rau′+ ur′a′) ∈ P (Vì P là iđêan của A). Mà P ∩S = ∅ =⇒ ss′ ∈/ P =⇒ rr′aa′ ∈/ P,P là iđêan của A nên aa′ ∈/ P. Vậy P là iđêan nguyên tố của A.
Nhận xét 2.3.8. +) Phần tử cực đại của tập Ψ = n
J là iđêan của A|J ⊇ I, J ∩S = ∅o là iđêan cực đại của A.
+) P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán A, P là iđêan cực đại nếu và chỉ nếu P là phần tử cực đại của Spec(A) theo quan hệ bao hàm.
Tính chất 2.3.9. Cho A là vành giao hoán có đơn vị, P là iđêan nguyên tố của A nếu và chỉ nếu A/P là một miền nguyên.
Chứng minh. Giả sử P là iđêan nguyên tố củaA. VìAlà vành giao hoán, nên A/P là vành giao hoán. Vì P nguyên tố nên P 6= A, điều này tương đương với 1∈/ P, do đó 1 +P 6= 0 +P. Vậy A/P có ít nhất hai phần tử.
Với mọix+P, y+P ∈ A/P mà(x+P)(y+P) = xy+P = P =⇒ xy ∈ P. Vì P là iđêan nguyên tố nên x ∈ P hoặc y ∈ P hay x + P = P hoặc y+P = P. Do đó A/P không có ước của không. Vậy A/P là một miền nguyên.
Ngược lại, giả sử A/P là một miền nguyên, P là iđêan của A. Vì A/P có ít nhất hai phần tử nên P 6= A. Hơn nữa ∀xy ∈ P thì xy + P = P ⇒ (x+P)(y+P) =P. Do A/P là miền nguyên nên x+P = P hoặc y +P = P hay x ∈ P hoặc y ∈ P. Vậy P là iđêan nguyên tố.
Tính chất 2.3.10. Cho I, J là hai iđêan của vành giao hoán A thỏa mãn J ⊇ I. Khi đó J là iđêan nguyên tố của A nếu và chỉ nếu iđêan J/I là iđêan nguyên tố của vành thương A/I.
Chứng minh. J là iđêan nguyên tố của A khi và chỉ khi A/J là miền nguyên. Vì (A/I)/(J/I) ∼= A/J (hệ quả của Định lý cơ bản của đồng cấu vành) vàA/J là miền nguyên nên(A/I)/(J/I)cũng là miền nguyên.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi J/I là iđêan nguyên tố của A/I.
Tính chất 2.3.11. Cho I là iđêan của vành giao hoán A, ký hiệu Var(I) là tập gồm các iđêan nguyên tố của A chứa I. Khi đó: √
I = ∩P∈Var(I)P. Chứng minh. Ta có Var(I) =
P ∈ Spec(A)|P ⊇I . +) Choa ∈ √
I, P ∈ Var(I). Vì a ∈ √
I nên tồn tại n∈ N : an ∈ I ⊆ P. Do P ∈ Spec(A) ⇒ a ∈ P ⇒ a ∈ ∩P∈Var(I)P.
Vậy √
I ⊆ ∩P∈Var(I)P.(*)
+) Ngược lại, cho b ∈ ∩P∈Var(I)P. Giả sử b /∈ √
I, đặt S =
bn|n∈ N là tập con nhân đóng của R. Theo Định lý 2.3.7 tồn tại một iđêan nguyên tố P′ của A sao cho I ⊆ P′, P′ ∩ S = ∅ từ đó suy ra P′ ∈ Var(I) ⇒b ∈ P′∩S trái với giả thiết P′∩S = ∅ hay điều giả sử là sai. Nên b∈ √
I. Vậy √
I ⊇ ∩P∈Var(I)P.(**)
Từ (*) và (**) suy ra √
I = ∩P∈Var(I)P. Hệ quả 2.3.12. p
{0}= Rad(A) = ∩P∈Spec(A)P.
Định lý 2.3.13. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán A. Khi đó Var(I) có ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm. Phần tử cực tiểu của Var(I) được gọi là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa I hoặc iđêan nguyên tố cực tiểu của I.
Chứng minh. Theo hệ quả 2.3.4, luôn tồn tại 1 iđêan cực đại M của A chứa I. Từ Định lý 2.3.1 và 2.3.3 suy ra một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố. Do đó M là iđêan nguyên tố nên M ∈ Var(I) suy ra Var(I) 6= ∅.
Ta định nghĩa quan hệ hai ngôi trên Var(I), ký hiệu ” ≺” gọi là quan hệ bao hàm ngược như sau P1 ≺ P2 nếu và chỉ nếu P1 ⊇ P2. Khi đó
”≺ ” là quan hệ thứ tự. Ta có (Var(I),≺) là tập sắp thứ tự toàn phần.
Như vậy phần tử cực đại của (Var(I),≺) là phần tử cực tiểu của Var(I) theo quan hệ bao hàm.
Để chứng minh Định lý này ta sử dụng Bổ đề Zorn để chỉ ra tập (Var(I),≺) tồn tại ít nhất một phần tử cực đại hay Var(I) luôn có một phần tử cực tiểu với quan hệ bao hàm. Thật vậy:
Cho Ω ⊂ Var(I),Ω 6= ∅ và (Ω,≺) là tập sắp thứ tự toàn phần. Đặt Q = ∩P∈ΩP, Q là iđêan thực sự của A (do Ω 6= ∅).
Ta chứng minh Q ∈ Spec(A). Cho a ∈ A\Q, b ∈ A sao cho ab ∈ Q.
Ta cần chỉ ra b ∈ Q.
Cho P ∈ Ω ⇒ ∃P1 ∈ Ω sao cho a /∈ P1. Do (Ω,≺) là tập sắp thứ tự toàn phần nên P1 ≺ P hoặc P ≺ P1. Tức là P1 ⊇ P hoặc P ⊇ P1.
Không mất tính tổng quát ta giả sử P ⊇ P1(P ≺ P1). Vì ab ∈ Q nên ab ∈ P1 mà a /∈ P1 suy ra b ∈ P1 ⊆ P (vì P1 là iđêan nguyên tố). Do P là phần tử bất kì của Ω nên b ∈ Q. Suy ra Q ∈ Spec(A), có Q ⊇ I suy ra Q ∈ Var(I). Vì Q = ∩P∈ΩP ⇒ Q ⊆ P(∀P ∈ Ω) ⇒ P ≺ Q với mọi P ∈ Ω. Do đó Qlà cận trên của (Ω,≺). Theo Bổ đề Zorn thì (Var(I),≺) luôn có ít nhất một phần tử cực đại hayVar(I) luôn có ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm.
Hệ quả 2.3.14. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán A, ký hiệu Min(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của I.
Khi đó
√I = ∩P∈Min(I)P.
Chứng minh. Theo tính chất 2.3.11 ta có √
I = ∩P∈Var(I)P. Rõ ràng Min(I) ⊆ Var(I) nên ∩P∈Var(I)P ⊆ ∩P∈Min(I)P. (1)
Với mỗi iđêan nguyên tố P của A thỏa mãn P ⊇ I ta đặt Φ =
P′ ∈ Spec(A)|P ⊇ P′ ⊇ I .
Vì P ∈ Φ nên Φ 6= ∅ . Tập (Φ,≺) là tập sắp thứ tự từng phần (với quan hệ ≺ được định nghĩa ở trên).
Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.3.13 ta có tập Φ luôn có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm và đó cũng là iđêan nguyên tố cực tiểu của I, suy ra luôn tồn tại một iđêan nguyên tố cực tiểu P′ của I sao cho P′ ⊆ P với mỗi P ∈ Var(I). Vậy ta có ∩P∈Min(I)P ⊆ ∩P∈Var(I)P.(2)
Từ (1) và (2) theo Định lí 2.3.11, ta có
∩P∈Min(I)P = ∩P∈Var(I)P ⇒ ∩P∈Min(I)P = √ I.
Bổ đề 2.3.15. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán A và I1, I2, . . . , In là các iđêan của A. Các điều kiện sau là tương đương:
i) ∃j sao cho P ⊇ Ij, 1≤ j ≤ n, ii) P ⊇ Tn
i=1Ii, iii) P ⊇ Qn
i=1Ii.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên.
(ii) ⇒(iii)Ta cóQn
i=1Ii = n Pm
j=1a1ja2j. . . anj|aij ∈ Ii, i= 1, n, j = 1, mo . Do cácIi là iđêan nên các phần tửx ∈ Qn
i=1Ii đều thỏa mãnx ∈ Ii,(∀i= 1, n).
Suy ra x ∈ Tn
i=1Ii . Theo (ii) thì P ⊇ Tn
i=1Ii nên Qn
i=1Ii ⊆ P. (iii) ⇒ (i)CóQn
i=1Ii ⊆P. Giả sử với mọij(vớij = 1, n)ta có Ij 6⊆P suy ra tồn tại aj ∈ Ij\P,(j = 1, n). Khi đó a1a2. . . an ∈ Qn
i=1Ii\P (do P là iđêan nguyên tố). Điều này mâu thuẫn với giả thiết P ⊇ Qn
i=1Ii
nên điều giả sử là sai.
Vậy tồn tại j (với j = 1, n) sao cho P ⊇ Ij.
Định lý 2.3.16 (Định lý tránh nguyên tố). Cho P1, P2, . . . , Pn(n ≥ 2) là các iđêan của vành giao hoán có đơn vị A sao cho có nhiều nhất hai trong số đó không là iđêan nguyên tố. S là nhóm con với phép cộng của nhóm cộng A và là tập con nhân đóng của A. Nếu S ⊆ Sn
i=1Pi thì tồn tại j sao cho S ⊆Pj, j = 1, n.
Chứng minh. Quy nạp theo n.
+) Với n = 2 ta có S ⊆ P1 ∪ P2 và giả sử P1, P2 chỉ đơn thuần là các iđêan. Giả sử S * P1, S * P2. Khi đó tồn tại a1 ∈ S\P1, a2 ∈ S\P2
nên a1 ∈ P2 và a2 ∈ P1. S là nhóm con với phép cộng nên a1+a2 ∈ S ⊆ P1∪P2. Do đó a1+a2 ∈ P1 hoặc a1+a2 ∈ P2. Do vai trò P1, P2
như nhau nên giả sử a1 +a2 ∈ P1. Khi đó a1 = (a1 +a2)−a2 ∈ P1. Điều này mâu thuẫn với điều kiện a1 ∈/ P1. Suy ra điều giả sử S * P1, S * P2 là sai. Vậy tồn tại Pj để Pj ⊇S,j ∈ {1; 2}.
+) Giả sử Định lý trên đúng với n = k ≥ 2. Ta chứng minh Định lý đúng với n= k+ 1. Thật vậy ta có S ⊆ Sk+1
i=1 Pi trong đó có nhiều nhất hai iđêan Pi không là iđêan nguyên tố và k ≥ 2. Không giảm tính tổng quát đánh số lại các Pi sao cho Pk+1 là iđêan nguyên tố.
Giả sử rằng với mỗi j = 1, k+ 1 ta có S * Sk+1
i=1,i6=jPi . Suy ra tồn tại aj ∈ S \Sk+1
i=1,i6=jPi, j = 1, k + 1 suy ra aj ∈ Pj, j = 1, k + 1 và a1, a2, . . . , ak ∈/ Pk+1. Do Pk+1 là iđêan nguyên tố nên a1a2. . . ak ∈/ Pk+1. Do đó a1a2. . . ak ∈ Tk
i=1(Pi\Pk+1) và ak+1 ∈ Pk+1\Sk i=1Pi. Xét b = a1a2. . . ak + ak+1. Vì a1a2. . . ak ∈/ Pk+1 nên a1a2. . . ak + ak+1 = b /∈ Pk+1. Và nếu b ∈ Pj với j = 1, . . . , k thì ak+1 = b − a1a2. . . ak ∈ Pj, j = 1, . . . , n, điều này mâu thuẫn với điều kiện ak+1 ∈ Pk+1 \ Sk
i=1Pi ⇒ b /∈ Pj, j = 1, . . . , n . Vì S là nhóm con với phép cộng và là tập con nhân đóng của A nên từ điều kiện aj ∈ S,(∀j = 1, . . . , k + 1) ta có b ∈ S. Như vậy b ∈ S nhưng b /∈ Sk+1
i=1,i6=jPi (dob /∈ Pj, j = 1, . . . , k + 1). Suy ra b ∈ S \Sk+1 j=1Pj. Điều này mâu thuẫn với S ⊆ Sk+1
i=1 Pi. Do vậy điều giả sử với mỗi j = 1, . . . , k + 1 luôn có S * Sk+1
i=1,i6=jPi là sai. Vậy tồn tại ít nhất
một giá trị j(1 ≤ j ≤ k + 1) sao cho S ⊆ Sk+1
i=1,i6=jPi .
Theo giả thiết quy nạp ta có kết luận, luôn tồn tại i để S ⊆Pi,(i= 1, . . . , k + 1)
(c) Iđêan nguyên sơ
Cho I là iđêan của vành giao hoán A, I được gọi là iđêan nguyên sơ của A nếu I thỏa mãn 2 điều kiện sau:
i) I 6= A
ii) Nếu xy ∈ I, x /∈ I thì tồn tại n ∈ N để yn ∈ I.
Ví dụ 2.3.17. Xét vành Z có pZ là iđêan nguyên sơ của Z với p là số nguyên tố.
Định lý 2.3.18. Cho I là iđêan của vành giao hoán có đơn vị A. Nếu I là iđêan nguyên sơ thì A/I là vành không tầm thường và √
I là iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan nguyên sơ, do I 6= A nên A/I là không tầm thường. Ta có √
I =
x ∈ A|∃n ∈ N : xn ∈ I . Nếu xy ∈ √
I, x /∈
√I, tức là xn ∈/ I,∀n ∈ N ⇒ x /∈ I. Nhưng xy ∈ √
I, nên tồn tại n∈ N: (xy)n ∈ I suy ra xnyn ∈ I. Do xn ∈/ I mà I là nguyên sơ nên tồn tại m ∈ N để (yn)m = ynm ∈ I suy ra y ∈ √
I. Vậy √
I là iđêan nguyên tố.
Chú ý 2.3.19. +) Cho I là iđêan nguyên sơ của vành giao hoán A, khi đó P = √
I là iđêan nguyên tố của A. Ta nói I là P – nguyên sơ.
+) Ngoài ra, P là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của A chứa I, từ đó ta có P là iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất của I.
Chứng minh. I là iđêan nguyên sơ nên 1 ∈/ I ⇒ 1 ∈/ √
I = P, suy ra P là tập con thực sự của R. Với mọi ab ∈ √
I tồn tại n ∈ N để (ab)n = anbn ∈ I. Giả sử a /∈ √
I tức an ∈/ I(∀n ∈ N). Do có I – nguyên sơ nên theo định nghĩa bn ∈ I ⇒ b ∈ √
I nên P = √
I là iđêan nguyên tố. Giả sử P′ ∈ Spec(R) : P′ ⊇I ⇒ P′ ∈ Var(I).
Lại có theo tính chất 2.3.11: √
I = T
P′∈V ar(I)P′ suy ra √
I ⊆ P′ ⇒ P = √
I là iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất của I.
Bổ đề 2.3.20. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán A và I1, I2,...,In(n ≥ 1) là các P – nguyên sơ. Khi đó Tn
i=1Ii cũng là P – nguyên sơ.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra √
I1 ∩. . .∩In = √
I1∩. . .∩√
In. Thật vậy, với mọi a ∈ √
I1 ∩. . .∩ In luôn tồn tại m ∈ N : am ∈ Tn
i=1Ii do đó tồn tại m ∈ N sao cho am ∈ Ii, i = 1, . . . , n. Suy ra a ∈ √
Ii, i = 1, . . . , n nên a ∈ Tn
i=1
√Ii, i = 1, . . . , n. Vậy √
I1 ∩. . .∩In ⊂√
I1∩. . .∩√
In. (1) Ngược lại với mọi a ∈ √
I1 ∩. . .∩ √
In ta có a ∈ √
Ii,(i = 1, . . . , n).
Tức là tồn tại m ∈ N sao cho am ∈ Ii,(i = 1, . . . , n) suy ra am ∈ Tn i=1Ii
tức a ∈ √
I1 ∩. . .∩In. Vậy √
I1 ∩. . .∩√
In ⊂ √
I1 ∩. . .∩In). (2) Từ (1) và (2) ta có √
I1 ∩ . . .∩ √
In = √
I1 ∩. . .∩In) ⊂ A. Do đó pTn
i=1Ii là iđêan thực sự của A, suy ra Tn
i=1Ii cũng là iđêan thực sự.
Giả sử a, b ∈ A sao cho ab ∈ Tn
i=1Ii, b /∈ Tn
i=1Ii . Khi đó tồn tại j với 1 ≤ j ≤ n sao cho b /∈ Ij. Do ab ∈ Ij và Ij là P – nguyên sơ nên a ∈ P = √
I1 ∩. . .∩In. Vậy Tn
i=1Ii là P – nguyên sơ.
Định lý 2.3.21. Cho Q là một iđêan P – nguyên sơ của vành giao hoán A và a ∈ A.
i) Nếu a ∈ Q thì (Q : a) =A.
ii) Nếu a /∈ Q thì (Q : a) là P – nguyên sơ hay p
(Q: a) = P. iii) Nếu a /∈ P thì (Q : a) =Q.
Chứng minh. i) (Q : a) =
r ∈ A|ar ∈ Q . Do Q là iđêan của A nên với a ∈ Q thì với mọi r ∈ A luôn có ar ∈ Q. Nên (Q: a) ⊂ A. (1) Mặt khác, hiển nhiên A ⊂ (Q :a). (2)
Từ (1) và (2) ta có (Q :a) = A.
ii) Giả sử a /∈ Q thì với mọi b ∈ (Q : a) ta có ab ∈ Q. Do Q là P – nguyên sơ nên b ∈ P = √
Q ⇒ Q ⊆ (Q : a) ⊆ P = √
Q. Do đó
√Q⊆ p
(Q: a) ⊆ √
P hay P ⊆ √
Q :a ⊆ √
P. (*) Ta chứng minh:
√P = P. (**)
Thật vậy. Hiển nhiên √
P ⊇ P. Với mọi a ∈ √
P tồn tại n ∈ N : an ∈ P. Do P là iđêan nguyên tố nên a ∈ P thì √
P ⊆ P. Vậy từ (*), (**) ta có p
(Q : a) = P. (3)
Với c, d ∈ A sao cho cd ∈ (Q :a), d /∈ (Q: a). Khi đó ta có cda ∈ Q nhưng d /∈ P và Q là P- nguyên sơ. Do ca ∈ Q ⇒ c ∈ (Q : a).
Như vậy ∀c, d ∈ A thỏa mãn cd ∈ (Q : a), d /∈ (Q : a) ta luôn có c ∈ (Q : a) nên (Q : a) là iđêan nguyên tố.
Vậy (Q : a) là iđêan nguyên sơ. (4)
Từ (3), (4) suy ra (Q: a) là P-nguyên sơ.
iii) Có a /∈ P, ta chứng minh (Q : a) = Q. Rõ ràng Q ⊆ (Q : a) (theo định nghĩa(Q: a)). (5) Ngược lại, với mọi b ∈ (Q :a) ta có ba ∈ Q, theo giả thiết a /∈ P nên a /∈ Q. Mà Q lại là P - nguyên sơ nên b ∈ Q. Do đó (Q: a) ⊆ Q. (6)
Từ (5) và (6) suy ra (Q : a) =Q.
(d) Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ
Định lý 2.3.22. i) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố.
ii) Một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ.
Chứng minh. i) Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử I là iđêan cực đại củaA. Khi đóA/I là một trường, do đóA/I là miền nguyên.
Suy ra I là iđêan nguyên tố.
ii) Giả sử I là iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị A. Với mọi xy ∈ I giả sử x /∈ I thì y ∈ I(n = 1) suy ra tồn tại n ∈ N sao cho yn ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên sơ.
Chú ý 2.3.23. Chiều ngược lại của Định lý là không đúng. Tức iđêan nguyên sơ chưa chắc là iđêan nguyên tố và iđêan nguyên tố chưa chắc là iđêan cực đại.
Chẳng hạn trong vành Z ta có 4Z là iđêan nguyên sơ nhưng không là iđêan nguyên tố, {0} là iđêan nguyên tố vì Z/{0} = Z là miền nguyên nhưng {0} không là iđêan cực đại vì {0} nZ,∀n ∈ N∗.
Định lý 2.3.24. Trong vành chính, mọi iđêan nguyên tố khác iđêan {0} đều là iđêan cực đại.
Chứng minh. Giả sử A là vành chính và I là iđêan nguyên tố khác iđêan {0} của A. Ta có I = hai =
ax|∀x ∈ A , a 6= 0, a ∈ A. Giả sử tồn tại iđêan B của A mà B ! I thì B là iđêan chính. Nên ta có B = hbi = by|y ∈ A , b 6= 0, b ∈ A.
+) b /∈ I vì nếu b ∈ I thì với mọi z ∈ B ta có z = bt, t ∈ A mà b ∈ I nên z ∈ I do đó B ⊆ I mâu thuẫn với B ! I. Vì I ⊂ B và a1 ∈ I ⇒ a ∈ B ⇒ a = bu ∈ I mà I-nguyên tố và b /∈ I nên u ∈ I. Suy ra u = at⇒ a = bu = bat do a 6= 0, A là miền nguyên nên ta có bt = 1.
Do đó 1∈ B nên B = A. Vậy I là iđêan cực đại.
Định lý 2.3.25. Cho f : A →S là đồng cấu vành, A và S là vành giao hoán, P ∈ Spec(S) thì f−1 (P) =
x ∈ A|f(x) ∈ P ∈ Spec(A).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh f−1(P) là một iđêan của A +) Ta có f−1(P) ⊂ A, f−1(P) 6= ∅ vì f(0A) = 0S ∈ P ⇒0A ∈ f−1(P) +) ∀a, b ∈ f−1(P) ⇒f(a) ∈ P và f(b) ∈ P ⇒ f(a)−f(b) = f(a−b) ∈
P. Suy ra a−b ∈ f−1(P).
+) ∀x ∈ A,∀a ∈ f−1(P) ⇒ f(a) ∈ P. Mặt khác f(x) ∈ S suy ra f(x)f(a) = f(xa) ∈ P ⇒ xa ∈ f−1(P).
Bây giờ ta chứng minh f−1(P) là iđêan nguyên tố.
+) f−1(P) 6= A
Thật vậy, giả sử f−1(P) =A ⇒ 1A ∈ f−1(P) ⇒f(1A) = 1S ∈ P ⇒ P = S, vô lý vì P ∈ Spec(S).
+) ∀x, y ∈ f−1(P) ⇒ f(xy) ∈ P ⇔ f(x)f(y) ∈ P. do P là iđêan nguyên tố nên f(x) ∈ P hoặc f(y) ∈ P. Ta được x ∈ f−1(P) hoặc y ∈ f−1(P)
Vậy f−1(P) là iđêan nguyên tố của A.
Nhận xét 2.3.26. Nhận xét: f : A→ S là đồng cấu vành thì:
f′ : Spec(S) −→ Spec(A) P 7−→ f−1(P)
gọi là ánh xạ cảm sinh từ f. Định lý 2.3.27. ChoQ là iđêan của vành giao hoán Asao cho √
Q = M là iđêan cực đại của A. Khi đó Q là iđêan nguyên sơ của A và M là iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất của Q.
Chứng minh. Do Q ⊆ √
Q= M ⊂ A nên Q là iđêan thực sự của A. Cho a, b ∈ A sao cho ab ∈ Q, b /∈ Q. Do √
Q = M là iđêan cực đại và b /∈ M nên M +hbi = A ⇒ √
Q+p
hbi = A.
Ta luôn có Q ⊆√
Q,hbi ⊆ p
hbi nên Q+hbi ⊆ √
Q+p
hbi = A.
Ta chứng minh rằng Q+hbi = A. Thật vậy +) Với mọi x ∈ A, luôn tồn tại r ∈ √
Q, s ∈ p
hbiđể x = r + s. Vì r ∈ √
Q nên tồn tại m ∈ N để rm ∈ Q. Lại có s ∈ p
hbi nên tồn tại n∈ N để sn ∈ hbi.
+) Ta cú: xm+n = (r+s)m+n = rm+n+tn+m−1rm+n−1s+ã ã ã+tmrmsn+
ã ã ã + t1rsm+n−1 + sn+m = rm(rn + tm+n−1rn−1s + ã ã ã + tmsn) + sn(tm−1rm−1s + ã ã ã + t1rsm−1 + sm);rm ∈ Q, sn ∈ hbi suy ra vế phải của đẳng thức trên thuộc Q+hbi hay xm+n ∈ Q+hbi. Do x là phần tử bất kì của A nên ta cũng có 1m+n ∈ Q+hbi.
Suy ra 1∈ Q+hbi nên Q+ hbi = A.
Vậy √
Q+ p
hbi = Q + hbi nếu √
Q + p
hbi = A. Từ đó tồn tại d ∈ Q, c ∈ A : d+cb = 1 và a = a1 = a(d+ cb) = ad+ c(ab) ∈ Q (do d, ab ∈ Q).
Vậy Q là iđêan nguyên tố của A suy ra Q cũng là iđêan nguyên sơ của A hay còn gọi là M nguyên sơ. Nếu P′ ∈ Spec(A), P′ ⊇ Q thì P′ = √
P′ ⊇ √
Q = P nên P là iđêan cực tiểu duy nhất của Q.
(e) Iđêan bất khả quy
Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán A, I được gọi là iđêan bất khả quy nếu I không là giao của hai iđêan thực sự chứa nó. Hay I là iđêan bất khả quy của A nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
+) I 6= A .
+) Nếu I = I1∩I2 với I1, I2 là các iđêan của A thì I = I1 hoặc I = I2. Ví dụ 2.3.28. Trong vành Z, I = 7Z là iđêan bất khả quy.
Thật vậy giả sử I = I1 ∩ I2 = aZ ∩bZ,(a, b ∈ Z).
Khi đó 7Z ⊆ aZ và 7Z ⊆ bZ. Suy ra a|7 và b|7. Mà a 6= b nên a = 7 và b = 1 hoặc a = 1 và b = 7. Do đó nếu 7Z = I1 ∩I2 thì I1 = 7Z hoặc