Với mỗi phức đơn hình ∆ ta định nghĩa một iđêan đơn thức không chứa bình phương như sau. Ký hiệu
I∆ := (xi1xi2. . . xis | 1 ≤i1 < . . . < is ≤ n,{i1, . . . , is} ∈/ ∆)
thì I∆ là iđêan đơn thức không chứa bình phương trong vành R và được gọi là iđêan Stanley-Reisner của ∆. Vành thương k[∆] := R/I∆ được gọi là vành Stanley-Reisner của phức ∆. Với ký hiệu xF = Q
i∈F xi ta thấy rằng I∆ = (xF | F ∈ N(∆)).
Ví dụ 4.3.1. Cho phức đơn hình ∆ trên tập {1,2,3,4,5} bao gồm các mặt cực đại là {1,2,3},{2,4},{3,4} và {5} như sau
4
2 5 1
3
b b
bb b bb bb b
Ta có iđêan Stanley – Reisner của ∆ là
3 4
1 2
3 4
2
5
b b
bb b b
b b bb b b b
I∆ =hx4, x5i ∩ hx1, x2, x5i ∩ hx1, x3, x5i ∩ hx1, x2, x3, x4i
=hx1x4, x1x5, x2x3x4, x2x5, x3x5, x4x5i. Mệnh đề 4.3.2. Tập tất cả các đơn thức xa của R với
suppa := {i ∈ V : ai 6= 0} ∈ ∆ là một K- cơ sở của R/I∆.
Chứng minh. Đặt u := xa. Nếu suppa ∈/ ∆ thì từ định nghĩa của I∆ ta có √
u ∈ I∆, do đó u ∈ I∆. Mặt khác, nếu u ∈ I∆, thì √
u ∈ I∆, vì I∆ là một iđêan căn. Do đó tồn tại tập con F của suppa là một không mặt của ∆. Vì ∆ là một phức đơn hình, nên suppa không thể là một mặt của ∆. Do đó ta được u /∈ I∆ khi và chỉ khi suppa ∈ ∆. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Cho một phức đơn hình ∆ trên V, ta định nghĩa ∆∨
∆∨ =
V \F : F 6∈ ∆ . Bổ đề 4.3.3. ∆∨ là một phức đơn hình và
(∆∨)∨ = ∆.
Chứng minh. Cho F ∈ ∆∨ và F′ ⊂ F. Thì V \F 6∈ ∆. Khi đó V \F ⊂ V \F′, suy ra V \F′ 6∈ ∆. Do đó F′ ∈ ∆∨. Điều này chỉ ra rằng ∆∨ là một phức đơn hình, rõ ràng (∆∨)∨ = ∆.
Phức đơn hình ∆∨ được gọi là đối ngẫu Alexander của ∆. Ta có thể thấy ngay rằng
F(∆∨) =
V \F : F ∈ N(∆) .
Với mỗi tập con F ⊆ V ta định nghĩa F¯ = V \F và đặt
∆ =¯ F¯ : F ∈ F(∆) . Bổ đề 4.3.4. Ta có I∆∨ = I( ¯∆).
Chứng minh. Một iđêan đơn thức không chứa bình phương xF thuộc vào G(I∆∨) khi và chỉ khi F là một không mặt tối tiểu của ∆∨ . Nói cách khác, F là một không mặt của ∆∨ và tất cả các tập con thực sự của F là các mặt của ∆∨. Điều này tương đương với F¯ là một mặt của ∆ và không có tập con nào của V chứa hoàn toàn F¯ là một mặt của ∆.
Trường hợp này xảy ra khi và chỉ khi F¯ là một mặt cực đại của ∆. Do đó I∆∨ = I( ¯∆).
Bổ đề 4.3.5. Phân tích nguyên sơ cực tiểu của I∆ là I∆ = \
F∈F(∆)
PF¯, trong đó PF = (xi : i ∈ F).
Chứng minh. Đặtu := xalà là một đơn thức củaRvàFu = {i ∈ V : ai 6= 0}. Nếu u ∈ I∆, thì theo mệnh đề 4.3.2, Fu ∈/ ∆. Do không có mặt cực đại
nào của ∆ chứa Fu. Do đó Fu∩( ¯F) 6= ∅ với mọi mặt cực đại F của ∆.
Do u ∈ T
F∈F(∆)PF¯. Mặt khác, nếu u /∈ I∆, thì lại theo Mệnh đề 4.3.2, Fu ∈ ∆. Do đó có một mặt cực đại F của ∆ với Fu ⊂ F. Thì u /∈ PF¯. Do đó u /∈ T
F∈F(∆)PF¯.
Từ sự phân tích nguyên sơ cực tiểu của I∆ ta có mối quan hệ giữa chiều của một phức đơn hình và vành Stanley-Reisner của nó như sau.
Mệnh đề 4.3.6.
dimK[∆] = dim ∆ + 1.
Chứng minh. Từ Bổ đề 4.3.5 ta có I∆ là giao của các iđêan nguyên tố tối tiểu. Tất cả các iđêan của chúng được sinh bởi các tập con của {x1, . . . , xn}. Ký hiệu P = (xi1, . . . , xis), ta có I∆ ⊂ P khi và chỉ khi {1, . . . , n}\{i1, . . . , is} là một mặt của ∆. Ta biết rằng dimK[∆] là số lớn nhất trong các số dimR/P = n − s và đạt được khi P là iđêan nguyên tố tối tiểu của I∆ với số biến ít nhất. Mặt khác P tối tiểu với số biến ít nhất khi và chỉ khi {1, . . . , n}\{i1, . . . , is} là một mặt cực đại với số đỉnh lớn nhất.
Bổ đề 4.3.4 và bổ đề 4.3.5 cung cấp cho chúng ta một công cụ hiệu quả để tính toán G(I∆∨).
Hệ quả 4.3.7. Cho I∆ = PF1∩...∩PFm là phân tích nguyên sơ cực tiểu của I∆ trong đó Fj ⊂ V. Khi đó G(I∆∨) =
xF1, . . . , xFm . Ví dụ 4.3.8. Cho ∆ là phức đơn hình ở ví dụ 4.3.1. Vì
I∆ = hx4, x5i ∩ hx1, x2, x5i ∩ hx1, x3, x5i ∩ hx1, x2, x3, x4i
nên iđêanI∆∨ được sinh bởi các đơn thứcx4x5, x1x2x5, x1x3x5 vàx1x2x3x4. ChoI ⊂ R là một iđêan đơn thức không chứa bình phương tùy ý. Khi đó có duy nhất một phức đơn hình ∆ sao cho I = I∆. Thông thường, chúng ta thường viết I∨ để kí hiệu cho iđêan I∆∨.
KẾT LUẬN
Khóa luận nghiên cứu về iđêan đơn thức, iđêan đơn thức không chứa bình phương và phức đơn hình gồm những nội dung chính sau:
+) Khái niệm iđêan đơn thức, iđêan đơn thức không chứa bình phương và phức đơn hình.
+) Mối liên hệ giữa iđêan đơn thức không chứa bình phương và phức đơn hình.
Do thời gian nghiên cứu và vốn kiến thức của tôi còn hạn chế nên nhiều tính chất của các iđêan này chưa được đề cập đến. Mối liên hệ giữa iđêan đơn thức không chứa bình phương và phức đơn hình cũng chưa được nghiên cứu sâu. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng song khóa luận vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo –Th.s Hà Thị Thu Hiền, các thầy cô giáo trong khoa Toán và các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!