Cho R := K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K và véc tơ a = (a1, . . . , an) ∈ Nn. Một đơn thức của R là xa := xa11. . . xann, một từ của R là caxa trong đó ca ∈ K. Iđêan I ⊆ R được gọi là iđêan đơn
thức nếu nó sinh bởi các đơn thức. Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (xa;a ∈ A), trong đó A ⊆Nn. Trong định nghĩa này không yêu cầu tập A hữu hạn.
Bổ đề 4.1.1. Cho I = (xa;a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.
Chứng minh. Hiển nhiên xb ∈ I nếuxb chia hết cho một đơn thứcxa với a ∈ A. Ngược lại nếuxb ∈ I thì tồn tạihi ∈ K[x]vàa(i) ∈ A, i= 1, . . . , s sao cho xb = Ps
i=1hixa(i). Xem hi như tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó. Sau khi giản ước, một trong số từ đó còn lại và phải bằng xb. Vậy xb phải có tính chất của những từ đó, tức là chia hết cho xa(i) nào đó.
Bổ đề 4.1.2. Cho I là iđêan đơn thức trong R và f ∈ R. Các điều kiện sau là tương đương:
a) f ∈ I
b) Mọi từ của f thuộc I.
c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.
Chứng minh. Hiển nhiên có (c) ⇒ (b) ⇒ (a). Đối với (a) ⇒ (c) nhận xét rằng tương tự như chứng minh trong Bổ đề 4.1.1 ta có mỗi từ của f phải chia hết cho xa với a ∈ A nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I. Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử từ K, tức có là (c).
Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của nó.
Hệ quả 4.1.3. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức.
Bổ đề 4.1.4. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều thuộc I.
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 4.1.2. Từ giả thiết suy ra tập tất cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I. Do đó điều kiện đủ được chứng minh.
Bổ đề 4.1.5. Mọi iđêan đơn thức I = (xa;a∈ A) bao giờ cũng viết được dưới dạng I = (xa(1), . . . , xa(s)), trong đó a(1), . . . ,a(s) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo số biến n. Khi n = 1 ta có A ⊆ N. Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất. Khi đó xb1 chia hết mọi đơn thức xa1 với a ∈ A. Từ đó có ngay I = (xb). Giả sử Bổ đề đã được chứng minh đối với ≤ n − 1 biến. Ký hiệu S = K[x1, . . . , xn−1]. Ta thấy rằng mỗi đơn thức trong R có thể viết dưới dạng (x′)αxqn, trong đó α ∈ Nn−1, q ∈ N và (x′)α là một đơn thức của S. Gọi J là iđêan của vành S sinh bởi các đơn thức (x′)α sao cho tồn tại xmn để (x′)αxmn ∈ I. Theo giả thiết quy nạp, J sinh bởi hữu hạn đơn thức như vậy, tức là J = ((x′)α(1), . . . ,(x′)α(s)). Theo định nghĩa với mỗi i = 1, . . . , s tồn tại mi ∈ N sao cho (x′)α(i)xmni ∈ I.
Giả sử m = max{m1, . . . , ms}. Với mỗi p = 0, . . . , m−1, xét iđêan Jp ⊆S sinh bởi các đơn thức (x′)β sao cho (x′)βxpn ∈ I. Lại theo giả thiết
quy nạp, Jp = ((x′)αp(1), . . . ,(x′)αp(sp)), p = 0, . . . , m−1. Ta sẽ chứng tỏ I sinh bởi các đơn thức: (từ J:) (x′)α(1)xmn, . . . ,(x′)α(s)xmn,
(từ J0 :) (x′)α0(1), . . . ,(x′)α0(s0), (từ J1 :) (x′)α1(1)xn, . . . ,(x′)α1(s1)xn, . . .
(từ Jm−1 :) (x′)αm−1(1)xmn−1, . . . ,(x′)αm−1(sm−1)xmn−1,
Thật vậy, giả sử (x′)αxqn ∈ I. Nếu q ≥m, theo cách xây dựng J,(x′)α phải chia hết cho (x′)α(i) nào đó, và do đó (x′)αxqn chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu q ≤ m − 1 thì (x′)αxqn chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ q+ 2 ở trên. Theo Bổ đề 4.1.1 và Hệ quả 4.1.3 các đơn thức liệt kê ở trên sinh ra I. Như vậy I sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức xβ(1), . . . , xβ(r). Sử dụng Bổ đề 4.1.1 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức xβ(j) chia hết choxγ(j) nào đó với γ(j) ∈ A. Từ đó có ngay I = (xγ(1), . . . , xγ(r)).
Mệnh đề 4.1.6. Cho I, J là hai iđêan đơn thức. Khi đó I ∩ J và I : J là các iđêan đơn thức. Hơn nữa, nếu I = (m1, . . . , mr) và J = (n1, . . . , ns), mi, nj là các đơn thức, thì I ∩J = (BCN N(mi, nj)|1≤ i ≤ r; 1 ≤ i ≤j).
Chứng minh. Ta có I : J = Ts
j=1(I : nj) nên ta chỉ cần chứng minhI∩J là iđêan đơn thức. Cho f ∈ I ∩J và m là một từ của f. Vì I, J là các iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 4.1.4, m ∈ Ivà m ∈ J. Do đó m ∈ I ∩J. Lại theo Bổ đề 4.1.4, I ∩J là iđêan đơn thức.
Bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức m ∈ I ∩ J. Theo
Bổ đề 4.1.1,m chia hết cho mi và nj nào đó. Do đó m chia hết cho BCN N(mi, nj). Suy ra m ∈ (BCN N(mi, nj)|1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ i ≤ j), ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 4.1.7. Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và m1, . . . , mr là các đơn thức. Khi đó(m1, . . . , mr, mn) = (m1, . . . , mr, m)∩ (m1, . . . , mn, n).
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh ⊇. Nếu đơn thức u ∈ (m1, . . . , mr, m)∩(m1, . . . , mn, n)
chia hết cho mi nào đó, i ≤ r, thì u ∈ (m1, . . . , mr, mn). Trong trường hợp ngược lại, vì u ∈ (m1, . . . , mr, m), nên theo Bổ đề 4.1.1 phải có m|u. Tương tự n|u . Vì m, n không chứa biến chung nên mn|u. Do đó u ∈ (m1, . . . , mr, mn), ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng Bổ đề 4.1.7 nhiều lần, ta có thể phân tích I thành giao của các iđêan đơn thức bất khả qui – chính là những iđêan chỉ sinh bởi lũy thừa của các biến. Loại bỏ những iđêan bất khả qui chứa một iđêan bất khả qui khác trong giao, và ghép các iđêan bất khả qui có cùng chung tập biến lại, ta sẽ được một phân tích nguyên sơ tối giản của I.
Ví dụ 4.1.8. Cho iđêan I = (x21x2, x21x23, x22, x2x23) có phân tích nguyên sơ tối giản như sau:
I =(x21, x21x23, x22, x2x23)∩(x2, x21x23, x22, x2x23)
=(x21, x22, x2x23)∩(x2, x21x23)
=(x21, x22, x2)∩(x21, x22, x23)∩ (x2, x21)∩(x2, x23)
=(x21, x22, x23)∩(x21, x2)∩(x2, x23).
Ví dụ 4.1.9. Chứng tỏ rằng với mọi n ≥ 2:
(x21, x1x2, x1x3, x22)
=(x1, x22)∩(x21, x2, x3)
=(x1, x22)∩[(x21, x2, x3)∩(x1, x22, xn3)]
Từ đó suy ra rằng thậm chí đối với iđêan đơn thức, phân tích nguyên sơ tối giản không duy nhất.
Chứng minh. Áp dụng bổ đề 4.1.7, ta có:
(x21, x1x2, x1x3, x22)
=(x1, x22)∩ (x2, x21, x1x3)
=(x1, x22)∩ (x1, x2)∩(x3, x2, x21)
=(x1, x22)∩ (x21, x2, x3) (1) Áp dụng mệnh đề 4.1.6, ta có:
(x1, x22)∩[(x21, x2, x3)∩ (x1, x22, xn3)]
=(x1, x22)∩(x21, x21x22, x21xn3, x2x1, x22, x2xn3, x3x1, x3x22, xn3)
=(x1, x22)∩(x21, x1x2, x22, x1x3, xn3)
=(x21, x1x2, x1x22, x1x3, x1xn3, x22x21, x1x22, x22, x1x3x22, x22xn3)
=(x21, x1x2, x22, x1x3) (2) Từ (1) và (2) ta có với mọi n≥ 2 thì
(x21, x1x2, x1x3, x22)
=(x1, x22)∩(x21, x2, x3)
=(x1, x22)∩[(x21, x2, x3)∩(x1, x22, xn3)]
Đơn thức xa được gọi là không chứa bình phương nếu ai, bằng 0 hoặc 1 với mọi i = 1, . . . , n. Một iđêan đơn thức được gọi là iđêan đơn thức không chứa bình phương nếu mọi phần tử sinh tối tiểu của nó đều là đơn thức không chứa bình phương.