Tổng quan tình hình nghiên cứu
S không làm vi c đự ệ ược n a c a c u trúc, nghĩa là chúng tr nên vô d ng x y ữ ủ ấ ở ụ ả ra do m t trong các nguyên nhân chính sau:ộ
Bi n d ng ch y d o quá l nế ạ ả ẻ ớ
Phân tích phá hủy các cấu trúc là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong phát triển công trình, nhằm đảm bảo an toàn cho các công trình xây dựng Tuy nhiên, phân tích trong miền đàn hồi không cung cấp đầy đủ thông tin về các loại tải trọng mà cấu trúc phải chịu Phân tích phá hủy dựa trên tính toán tải trọng thực tế của cấu trúc là cần thiết Các phương pháp tính toán phá hủy bao gồm giải tích, thực nghiệm và phương pháp số Đối với kỹ sư thiết kế, việc đánh giá an toàn của cấu trúc là yếu tố quan trọng Chúng ta cần phải biết giá trị tải trọng giới hạn của tải trọng gây ra sự phá hủy cho kết cấu, từ đó đưa ra được các biện pháp an toàn hợp lý Để xác định giá trị này, có hai phương pháp phân tích chính.
Phương pháp phân tích t ng bừ ước giúp xác định tiềm năng gia tăng nh c a t i tr ng choớ ữ ỏ ủ ả ọ đ n khi k t c u s p đ đ Việc phân tích này cho phép hiểu biết rõ hơn về toàn bộ quá trình phát triển, đồng thời hỗ trợ trong việc tìm ra các yếu tố ảnh hưởng đến k t c u mà không cần thực hiện các tính toán phức tạp.
Phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis) là một kỹ thuật quan trọng trong việc đánh giá trạng thái giới hạn của các công trình, giúp xác định khả năng chịu lực của chúng Phương pháp này dựa trên hai định lý cơ bản: định lý trên (trạng thái chịu kéo, biến dạng) cung cấp giá trị tối đa cho trạng thái giới hạn, trong khi định lý dưới (trạng thái chịu nén) cung cấp giá trị tối thiểu Việc áp dụng chính xác các định lý này sẽ giúp đạt được những kết quả đáng tin cậy trong phân tích kết cấu.
- Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Phân tích giới hạn đã trở thành một công cụ mạnh mẽ cho việc phân tích các bài toán định hình trong kỹ thuật Do đó, nghiên cứu về phân tích giới hạn đã được đẩy mạnh và đạt nhiều thành tựu trong vài thập kỷ qua Nhiều phương pháp số cũng như kỹ thuật tiên tiến được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn Các phương pháp số được ứng dụng trong phân tích bài toán giới hạn bao gồm: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM), phương pháp không lưới (Meshfree), và phương pháp phần tử hữu hạn trên (SFEM) Một số tác giả đã đạt nhiều thành quả quan trọng trong lĩnh vực phân tích giới hạn như Biron và Hodge (1967), Hodge và Belytschko (1968).
(1968), Maier (1970), Nguyen Dang Hung (1976, 1978), Jospin (1992), Andersen and Christiansen (1995), Vu (2001), Makrodimopoulos and Bisbos (2003), Nguyen-Xuan
Nhiều nghiên cứu gần đây đã phát triển các phương pháp tối ưu hóa, trong đó có nhiều thuật toán tối ưu tuyến tính Các thuật toán này được áp dụng để giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp Đặc biệt, thuật toán tối ưu hình nón đã được sử dụng hiệu quả trong phân tích các bài toán giải hạn.
Dựa trên lý thuyết cũ và lý thuyết mới, nhiều phương pháp số đã được phát triển với mục đích cung cấp lời giải chính xác hơn với chi phí tính toán thấp hơn Phương pháp phân tích phần tử hữu hạn (FEA) là một trong những phương pháp số mạnh mẽ và tin cậy trong việc nghiên cứu, dự đoán và mô hình hóa các thuộc tính của vật liệu, cấu trúc và chất liệu, đồng thời giải quyết các vấn đề khác trong kỹ thuật Phương pháp này đã được ứng dụng thành công trong các ngành khoa học kỹ thuật như kỹ thuật hàng không vũ trụ, kỹ thuật môi trường, kỹ thuật xây dựng, kỹ thuật cơ khí, và khoa học vật liệu Tuy nhiên, phương pháp phân tích phần tử hữu hạn vẫn còn nhiều giới hạn trong việc truyền tải dữ liệu từ CAD sang FEA.
CAE (Kỹ thuật hỗ trợ máy tính) và CAD (Thiết kế hỗ trợ máy tính) được phát triển độc lập, dẫn đến sự không tương thích trong việc mô tả hình học Sự khác biệt này gây ra nhiều công việc trùng lặp, đặc biệt là trong quá trình mô hình hóa.
Phương pháp đẳng hình học (IGA – IsoGeometric Analysis) được phát triển để kết nối giữa CAD và FEM (Phương pháp phần tử hữu hạn), cho phép sử dụng mô hình CAD trực tiếp trong mô hình FEM Điều này giúp tối ưu hóa quy trình thiết kế và phân tích, nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các ứng dụng kỹ thuật.
Ngày nay, công cụ thiết kế hỗ trợ bằng máy tính (CAD) đã trở nên phổ biến trong cộng đồng kỹ sư Những công cụ này, kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn và đa thức nội suy Lagrange, giúp giải quyết hiệu quả hầu hết các bài toán kỹ thuật yêu cầu tính liên tục C 0 trong trường chuyển vị tổng quát.
IGA, được giới thiệu bởi Giáo sư Hughes, là một phương pháp tính toán số mới tích hợp thiết kế hình học (CAD) và phân tích phần tử hữu hạn (FEA) trong một mô hình duy nhất Khác với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, IGA sử dụng các hàm B-spline và NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) để mô tả hình học chính xác và xấp xỉ các biến số chưa biết NURBS cho phép biểu diễn chính xác nhiều dạng hình học như hình tròn, hình cầu, hình trụ và hình ellip, đồng thời đạt được bậc liên tục C p-1 khi hàm cơ sở NURBS có bậc p Phương pháp này không chỉ đảm bảo tính liên tục bậc cao mà còn mang lại kết quả chính xác trong phân tích tính toán.
IGA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7],
Phương pháp IGA (Isogeometric Analysis) đã được phát triển trong những năm gần đây, kết hợp giữa CAD và FEM, mang lại tính chính xác và ý nghĩa thực tiễn cao Tuy nhiên, phạm vi nghiên cứu của phương pháp này dựa trên NURBS vẫn đang trong giai đoạn tiếp tục phát triển Do đó, việc nghiên cứu và mở rộng phương pháp IGA vào các vấn đề trong đánh giá phá hủy của kết cấu là cần thiết Nghiên cứu gần đây của Loc V.Tran (2013) và H Nguyen-Xuan đã chỉ ra rằng việc áp dụng hình học trong phân tích giải hạn có thể mang lại hiệu quả cao, đặc biệt trong các bài toán ngẫu nhiên.
Gần đây, phương pháp T-Splines đã được phát triển để tạo ra sự mịn màng trong phạm vi địa phương với ít điểm điều khiển hơn Đồng thời, IGA cũng đã được mở rộng để kết nối hiệu quả với FEM và Bezier.
- Tình hình nghiên cứu trong nước
Trong nước nhóm nghiên cứu do PGS TS Nguyễn Xuân Hùng tại Đại học
HUTECH đã nghiên cứu IGA và có rất nhiều bài báo xuất bản[15,16,17].
Tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Thạc sĩ Đỗ Văn Hiến đã thực hiện nghiên cứu về phương pháp phân tích giới hạn và thích nghi của kết cấu Nghiên cứu này dựa trên phương pháp đẳng hình học kết hợp với trích Bezier của NURBS và giải thuật primal-dual, được thực hiện vào năm 2017.
Nhóm nghiên cứu do PGS TS Lê Văn Cảnh dẫn dắt tại Đại học Quốc tế, thuộc Đại học Quốc gia Tp HCM, đã tiến hành nghiên cứu nhằm phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu Nghiên cứu này kết hợp phương pháp không lưới với kỹ thuật tối ưu hình nón bậc hai.
G n đây có công trình nghiên c u dùng phầ ứ ương pháp đ ng hình h c k t h pẳ ọ ế ợ v i gi i thu t t i u hình nón b c 2 cho bài toán ng su t ph ng.ớ ả ậ ố ư ậ ứ ấ ẳ
Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài
- Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS
Xây dựng thuật toán phân tích giới hạn bằng cách kết hợp phương pháp IGA dựa trên trích Bezier của NURBS với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 (SCOP) giúp tối ưu hóa quy trình phân tích Phương pháp này tận dụng sức mạnh của NURBS để cải thiện độ chính xác trong việc mô hình hóa hình học, đồng thời áp dụng SCOP để đạt được hiệu quả tối ưu trong phân tích giới hạn Sự kết hợp này không chỉ nâng cao khả năng xử lý dữ liệu mà còn hỗ trợ các ứng dụng trong kỹ thuật và khoa học.
- Viết code dựa trên giải thuật đã trình bày ở bước trên để tính toán hệ số tải tới hạn.
- Áp dụng cho một số bài toán phân tích giới hạn 2 chiều với giả định ứng suất phẳng:
+ Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu ứng dụng.
- Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu.
Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
- Nghiên cứu IGA trong tính toán phân tích giới hạn của kết cấu
PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, đòi hỏi nhà thiết kế phải tạo ra các tập tin CAD với định dạng phù hợp, làm đầu vào cho các chương trình phân tích FEA Theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay tại Sandia National Laboratories, nhiệm vụ này chiếm khoảng 80% thời gian của quá trình phân tích Cần lưu ý rằng phân tích phần tử hữu hạn chỉ là phân tích hình học xấp xỉ, và kết quả có thể sai lệch nếu số lượng phần tử không đủ để đảm bảo độ chính xác.
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, điều này đòi hỏi chúng ta cần thay đổi cách thức thiết kế và phân tích Các nghiên cứu ban đầu đã chứng minh rằng phương pháp đẳng hình học, được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes vào năm 2005, mang lại thành công đáng kể Phân tích kỹ thuật này có thể trở thành công cụ cơ bản trong việc thực hiện phân tích đẳng hình học.
Hình 2.2 Ước lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM
Hình 2.3 Mô hình biên phân tích FEM (a) và IA (b)
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng: Độ dài của véctơ nút: n + p + 1
Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform)
Vectơ nút được gọi là “mở” khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp lại (p+1) lần Vectơ nút “mở” đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học Các vectơ nút này phải tuân theo một số ràng buộc nhất định.
- Có thứ tự không giảm ξ i ≤ ξ i + 1
- Có giá trị giống nhau không xuất hiện nhiều hơn k ( =p+1 ) lần, các nút này gọi là nút bội.
- Hàm cơ sở của Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút.
Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải thuật Cox- de Boor.
Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0
Hàm dạng Nurbs với bậc p=1 và p=2 cho thấy sự khác biệt giữa hàm cơ sở ở dạng tham số và dạng tham số trong phương pháp phần tử hữu hạn, nơi sử dụng đa thức Lagrange làm hàm nội suy.
Hình 2.5a: Tính chất bao lồi của đường cong B-Spline
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau:
- Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển.
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa n
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính n
- Không giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline luôn dương N i, p (ξ) ≥ 0
Hàm dạng B-Spline khác với hàm dạng FEM ở chỗ có (p-1) đạo hàm liên tục khi véctơ nút không tuần hoàn Đối với véctơ nút này, hàm cơ sở bậc p có C p−m i tại các nút ξ i, với m i là số nút bội của giá trị nút ξ i Đạo hàm của hàm cơ sở là cần thiết để xây dựng ma trận đạo hàm của hàm dạng B, phục vụ cho việc tạo ra ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ i của hàm cơ sở bậc p được xác định dựa trên véctơ nút [I].
Ví dụ : Hàm cơ sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ véctơ nút [I]={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5,5}.
Hình 2.6 Hàm dạng B-Spline ứng với p=2 Đạo hàm của hàm cơ sở
Hình 2.7 Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với
2.1.3 Điểm điều khiển[7,8] Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần thêm n điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng
P a ∈ℜ 3 Với a = 0, 1, 2, , ncp ; n cp là số điểm điều khiển phải bằng số hàm cơ sở.
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,8] Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển. n
Hình 2.7a : Điểm và lưới điểm điều khiển Hình 2.7b : Đường cong B-Spline
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
(a): Ứng với véc tơ nút Ξ = {0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}
(b): Ứng với véc tơ nút Ξ = {0,0,0,1, 2,3, 4,4,5,5,5} Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng n
Hình 2.9 Mặt cong B-Spline, điểm điều khiển
2.1.1 Điểm điều khiển Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường cong B-spline, còn có thêm một thành phần gọi là trọng số w i của các điểm điều khiển.
Tọa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổi và trở thành tọa độ đồng nhất.
Tọa độ điểm điều khiển NURBS
Và hàm trọng số được xác định như sau
Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau:
Các tính chất của hàm cơ sở NURBS: n
Hàm cơ sở NURBS kế thừa từ hàm cơ sở của B-Spline, mang lại các đặc tính nổi bật như tính liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền và luôn có giá trị dương.
- Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức.
- Nếu trọng số tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B- Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS
2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng n
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
- Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều) n
- Khối NURBS(trong không gian 3 chiều) n
Ví dụ đường cong NURBS với các điểm điều khiển:
Hình 2.10 Đường cong Nurbs và điểm điều khiển trong mặt phẳng XY
2.4 Patch và Element (phần tử) [7,8]
- Số phần tử là số khoảng nút Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0,5 1 1 1]có 2 phần tử.
Trong nhiều trường hợp thực tế, việc phân chia miền thành nhiều patch là cần thiết Điều này đặc biệt quan trọng khi có sự khác biệt về vật liệu hoặc mô hình vật lý trong miền, cũng như khi gặp khó khăn trong việc mô hình hóa các yếu tố như lỗ hoặc góc.
Hình 2.12 Khối Solid và phân chia khối thành các Patch
2.4 Các phương pháp làm mịn:
2.4.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút (knot insert)
Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ tập véc tơ nút như sau: Ξ = {0,0,0,1,1,1}
Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số phần tử lần lượt thay đổi như sau:
(a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút Hình 2.13: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
Số phần tử trước và sau khi thay đổi véc tơ nút
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử
Hình 2.15: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sởHình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút
2.4.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc (k – refinement)
Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng các hình sau:
(a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3
Hình 2.17: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có 1 phần tử
Hình 2.18: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở
Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi tăng bậc
2.4.3 Lưu đồ tính toán NURBS trong phân tích đẳng hình học
Hình 2.17: Lưu đồ tham số NURBS trong tính toán của mặt cong bậc p =2 có một Patch
2.4.4 So sánh sự khác nhau giữa FEM và IGA
Bảng 2.1: So sánh giữa IA và FEM [7]
Phương pháp đẳng hình học Điểm điều khiển
Biến là điểm điều khiển
(giá trị chuyển vị điểm điều khiển)
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều
Phương pháp phần tử hữu hạn Điểm nút Biến là nút phần tử (giá trị chuyển vị nút) Lưới
Hình học xấp xỉ Hàm cơ sở Lagarange Hàm cơ sở nội suy ở nút khiển
Compact support Partition of Unity
Hình 2.17: Sự khác nhau giữa FEM và IGA.
2.4.5 Phương pháp đẳng hình học
Trong phân tích phần tử hữu hạn, phần tử được thể hiện qua miền chủ và miền vật lý, với miền hình học và bậc tự do được xác định bằng giá trị nút Hàm cơ sở được sử dụng là hàm nội suy có giá trị âm và dương Ngược lại, phương pháp đẳng hình học áp dụng hàm NURBS làm hàm cơ sở nội suy, với hai khái niệm lưới chính là điểm điều khiển và lưới vật lý Điểm điều khiển dùng để điều chỉnh hình học mà không nhất thiết phải tuân theo hình học thực tế Việc xác định miền hình học và bậc tự do thông qua điểm điều khiển là rất quan trọng, và khái niệm đẳng tham số đóng vai trò then chốt trong phương pháp này, vì các hàm cơ sở đặc trưng cho hình học chính xác.
Lưu đồ giải thuật cho các bài toán và một số khái niệm minh họa hình 2.18
Hình 2.18: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch
2.4.6 Trích Bezier của NURBS Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier.
Để tạo ra một đường cong Nurbs bậc 3, ta cần lặp lại các véctơ nút bên trong cho đến khi đạt được bậc của đường cong Ví dụ, với một đường cong Nurbs bậc 3 có véctơ nút Ξ = {0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4}, quy trình này sẽ giúp xác định cấu trúc và hình dạng của đường cong.
Để phân tích đường cong thành các phần tử Bezier, ta thực hiện lặp các nút bên trong vector nút theo số bậc của đường cong bằng cách chèn các nút {1, 1, 2, 2}.
3, 3, 4, 4} vào knot véc tơ Hình 2.19 trình bày kết quả của hàm cơ sở và điểm điều khiển khi ta chèn các nút vào theo trình tự.
Hình 2.19 : Đường cong Nurbs bậc 3.
(a) Đường cong và điểm điều khiển (b) Hàm cơ sở của đường cong
Hình 2.20 minh họa trình tự thay đổi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi chèn chuỗi {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} Hình (f) thể hiện kết quả cuối cùng sau quá trình chèn và đánh số các hàm cơ sở Bezier.
- Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)
Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển
P = { P i } i n =1 và knot vec tơ Ξ = { ξ 1 , ξ 2 , , ξ k , ξ , ξ k + 1 , , ξ n + p + 1 } Các nút { ξ 1 , ξ
2 , ,ξ m }chèn vào knot vector để phân tích thành Bezier Ứng với mỗi giá trị nút ξ j với j=1, 2, , m Chúng ta định nghĩa α i j , i = 1, 2, , n + j
Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút. j +1
Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng P m +1 = P b Định nghĩa
C T = (C m ) T (C m −1 ) T (C 1 ) T Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier và điểm điều khiển của đường cong B-
Splines ban đầu như sau:
Trong không gian 2 chiều, ma trận P có kích thước n x 2, trong khi ma trận P b có kích thước (n+m) x 2 Ở đây, n đại diện cho số hàm cơ sở hoặc số điểm điều khiển trước khi thực hiện phân tích Bezier, còn m là số điểm nút được chèn vào.
Phương trình đường cong B-Spline trước khi phân tích Bezier dạng ma trận
Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier p+1 i=1 Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, do vậy vế phải của (16) và (17)
C được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo ra toán duy nhất là véc tơ nút.
Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs
Hàm trọng số được viết lại như sau:
(18) tử này, thông số đầu vào
Hàm cơ sở Nurbs trở thành:
Trong đó W là trọng số của Nurbs Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được
Giới thiệu
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, yêu cầu nhà thiết kế tạo ra các tập tin CAD với định dạng phù hợp, đóng vai trò là tham số đầu vào cho các chương trình phân tích FEA Theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay tại phòng Sandia National Laboratories, nhiệm vụ này tiêu tốn khoảng 80% thời gian của quá trình phân tích Cần lưu ý rằng phân tích phần tử hữu hạn chỉ là phân tích hình học xấp xỉ, và kết quả sẽ có sai số nếu số lượng phần tử không đủ để đạt độ chính xác cần thiết.
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, điều này đòi hỏi chúng ta phải thay đổi phương pháp thiết kế và phân tích Nghiên cứu ban đầu đã chỉ ra thành công của phương pháp đẳng hình học - Hình học chính xác, được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes vào năm 2005 Phân tích kỹ thuật này có thể đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của phân tích đẳng hình học.
Hình 2.2 Ước lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM
Hình 2.3 Mô hình biên phân tích FEM (a) và IA (b)
B-Splines[7,8]
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng: Độ dài của véctơ nút: n + p + 1
Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform)
Vectơ nút được gọi là “mở” khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp lại (p+1) lần Vectơ nút “mở” đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học và có các ràng buộc nhất định.
- Có thứ tự không giảm ξ i ≤ ξ i + 1
- Có giá trị giống nhau không xuất hiện nhiều hơn k ( =p+1 ) lần, các nút này gọi là nút bội.
- Hàm cơ sở của Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút.
Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải thuật Cox- de Boor.
Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0
Hàm dạng Nurbs với bậc p=1 và p=2 được biểu diễn trong Hình 2.5, cho thấy sự khác biệt giữa hàm cơ sở ở dạng tham số và dạng tham số trong phương pháp phần tử hữu hạn, trong đó đa thức Lagrange được sử dụng làm hàm nội suy.
Hình 2.5a: Tính chất bao lồi của đường cong B-Spline
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau:
- Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển.
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa n
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính n
- Không giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline luôn dương N i, p (ξ) ≥ 0
Hàm dạng B-Spline có (p-1) đạo hàm liên tục khi véctơ nút không tuần hoàn, và hàm cơ sở bậc p có C^(p−m)_i qua các nút ξ_i, trong đó m_i là số nút bội của giá trị nút ξ_i Đạo hàm của hàm cơ sở là cần thiết để xây dựng ma trận đạo hàm của hàm dạng B, phục vụ cho việc tạo ra ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ i của hàm cơ sở bậc p được xác định dựa trên véctơ nút [I].
Ví dụ : Hàm cơ sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ véctơ nút [I]={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5,5}.
Hình 2.6 Hàm dạng B-Spline ứng với p=2 Đạo hàm của hàm cơ sở
Hình 2.7 Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với
2.1.3 Điểm điều khiển[7,8] Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần thêm n điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng
P a ∈ℜ 3 Với a = 0, 1, 2, , ncp ; n cp là số điểm điều khiển phải bằng số hàm cơ sở.
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,8] Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển. n
Hình 2.7a : Điểm và lưới điểm điều khiển Hình 2.7b : Đường cong B-Spline
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
(a): Ứng với véc tơ nút Ξ = {0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}
(b): Ứng với véc tơ nút Ξ = {0,0,0,1, 2,3, 4,4,5,5,5} Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng n
Hình 2.9 Mặt cong B-Spline, điểm điều khiển
Nurbs[7,8]
2.1.1 Điểm điều khiển Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường cong B-spline, còn có thêm một thành phần gọi là trọng số w i của các điểm điều khiển.
Tọa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổi và trở thành tọa độ đồng nhất.
Tọa độ điểm điều khiển NURBS
Và hàm trọng số được xác định như sau
Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau:
Các tính chất của hàm cơ sở NURBS: n
Hàm cơ sở NURBS được phát triển dựa trên hàm cơ sở của B-Spline, vì vậy nó sở hữu các đặc tính quan trọng như tính liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền, và luôn có giá trị dương.
- Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức.
- Nếu trọng số tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B- Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS
2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng n
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
- Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều) n
- Khối NURBS(trong không gian 3 chiều) n
Ví dụ đường cong NURBS với các điểm điều khiển:
Hình 2.10 Đường cong Nurbs và điểm điều khiển trong mặt phẳng XY
Patch và Element (phần tử) [7,8]
- Số phần tử là số khoảng nút Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0,5 1 1 1]có 2 phần tử.
Trong nhiều trường hợp thực tế, việc phân chia miền thành nhiều patch là cần thiết Điều này đặc biệt quan trọng khi có sự khác biệt về vật liệu hoặc các mô hình vật lý khác nhau trong miền Ngoài ra, việc mô hình hóa cũng có thể gặp khó khăn do sự xuất hiện của các yếu tố như lỗ hoặc góc.
Hình 2.12 Khối Solid và phân chia khối thành các Patch
2.4 Các phương pháp làm mịn:
2.4.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút (knot insert)
Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ tập véc tơ nút như sau: Ξ = {0,0,0,1,1,1}
Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số phần tử lần lượt thay đổi như sau:
(a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút Hình 2.13: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
Số phần tử trước và sau khi thay đổi véc tơ nút
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử
Hình 2.15: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sởHình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút
2.4.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc (k – refinement)
Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng các hình sau:
(a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3
Hình 2.17: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có 1 phần tử
Hình 2.18: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở
Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi tăng bậc
2.4.3 Lưu đồ tính toán NURBS trong phân tích đẳng hình học
Hình 2.17: Lưu đồ tham số NURBS trong tính toán của mặt cong bậc p =2 có một Patch
2.4.4 So sánh sự khác nhau giữa FEM và IGA
Bảng 2.1: So sánh giữa IA và FEM [7]
Phương pháp đẳng hình học Điểm điều khiển
Biến là điểm điều khiển
(giá trị chuyển vị điểm điều khiển)
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều
Phương pháp phần tử hữu hạn Điểm nút Biến là nút phần tử (giá trị chuyển vị nút) Lưới
Hình học xấp xỉ Hàm cơ sở Lagarange Hàm cơ sở nội suy ở nút khiển
Compact support Partition of Unity
Hình 2.17: Sự khác nhau giữa FEM và IGA.
2.4.5 Phương pháp đẳng hình học
Trong phân tích phần tử hữu hạn, phần tử được đại diện qua miền chủ và miền vật lý, với miền hình học và bậc tự do được xác định thông qua giá trị nút Hàm cơ sở trong phương pháp này là hàm nội suy có giá trị âm và dương Ngược lại, phương pháp đẳng hình học sử dụng hàm NURBS làm hàm cơ sở nội suy, với hai khái niệm lưới số là điểm điều khiển và lưới vật lý Điểm điều khiển đóng vai trò quan trọng trong việc điều khiển hình học, không nhất thiết phải tuân theo hình học thực Miền hình học và bậc tự do cũng được xác định thông qua điểm điều khiển Khái niệm đẳng tham số rất quan trọng trong phương pháp đẳng hình học, vì các hàm cơ sở đảm bảo tính chính xác của hình học.
Lưu đồ giải thuật cho các bài toán và một số khái niệm minh họa hình 2.18
Hình 2.18: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch
2.4.6 Trích Bezier của NURBS Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier.
Để tạo ra một đường cong Nurbs bậc 3, ta cần lặp lại các véctơ nút bên trong cho đến khi đạt được bậc của đường cong Ví dụ, với một đường cong Nurbs bậc 3 có véctơ nút Ξ = {0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4}, ta sẽ thực hiện quá trình này để đảm bảo tính chính xác và mượt mà cho đường cong.
Phân tích đường cong thành các phần tử Bezier được thực hiện bằng cách lặp qua các nút bên trong của vector knot, với số lần lặp tương ứng với bậc của đường cong Quá trình này bao gồm việc chèn các nút như {1, 1, 2, 2, }.
3, 3, 4, 4} vào knot véc tơ Hình 2.19 trình bày kết quả của hàm cơ sở và điểm điều khiển khi ta chèn các nút vào theo trình tự.
Hình 2.19 : Đường cong Nurbs bậc 3.
(a) Đường cong và điểm điều khiển (b) Hàm cơ sở của đường cong
Hình 2.20 minh họa trình tự thay đổi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi thực hiện chèn chuỗi {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} Hình (f) thể hiện kết quả cuối cùng sau khi chèn và đánh số các hàm cơ sở Bezier.
- Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)
Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển
P = { P i } i n =1 và knot vec tơ Ξ = { ξ 1 , ξ 2 , , ξ k , ξ , ξ k + 1 , , ξ n + p + 1 } Các nút { ξ 1 , ξ
2 , ,ξ m }chèn vào knot vector để phân tích thành Bezier Ứng với mỗi giá trị nút ξ j với j=1, 2, , m Chúng ta định nghĩa α i j , i = 1, 2, , n + j
Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút. j +1
Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng P m +1 = P b Định nghĩa
C T = (C m ) T (C m −1 ) T (C 1 ) T Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier và điểm điều khiển của đường cong B-
Splines ban đầu như sau:
Trong không gian hai chiều, ma trận P có kích thước n x 2, trong khi ma trận P b có kích thước (n+m) x 2 Ở đây, n đại diện cho số hàm cơ sở hoặc số điểm điều khiển trước khi thực hiện phân tích Bezier, còn m là số điểm nút được chèn thêm.
Phương trình đường cong B-Spline trước khi phân tích Bezier dạng ma trận
Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier p+1 i=1 Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, do vậy vế phải của (16) và (17)
C được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo ra toán duy nhất là véc tơ nút.
Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs
Hàm trọng số được viết lại như sau:
(18) tử này, thông số đầu vào
Hàm cơ sở Nurbs trở thành:
Trong đó W là trọng số của Nurbs Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được
PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS VÀ GIẢI THUẬT TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC 2 CHO BÀI TOÁN PHÂN TÍCH GIỚI HẠN
Trong chương 2, tác giả trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học, dựa trên trích Bezier của NURBS, và so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn Chương này sẽ tập trung vào việc áp dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 cho bài phân tích giới hạn.
3.2 Lý thuyết phân tích giới hạn
Phân tích giới hạn tập trung vào trạng thái cuối cùng của kết cấu, cụ thể là trạng thái phá hoại dẻo và cơ chế phá hủy liên quan Điều này cho phép kỹ sư dự đoán nhanh chóng giá trị tải trọng phá hoại của kết cấu mà không cần thực hiện các bước trung gian phức tạp.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi phân tích một vật thể cứng-dẻo trong miền Ω thuộc ℜ² với biên Γ, chịu tác động của ngoại lực P bao gồm lực thể tích g và lực trên biên t Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị được thiết lập với Γ u, sao cho Γ u ∪ Γ = Γ và Γ u ∩ Γ = ∅ Chúng tôi giả định rằng tất cả các lực tác dụng đều tuyến tính và tỉ lệ thuận.
P 0 = (f 0, t 0) là tải ban đầu tác dụng lên kết cấu Khi giá trị α đủ nhỏ, ứng xử của vật thể sẽ ở trạng thái đàn hồi Khi tăng giá trị α đến mức mà điểm đầu tiên trong vật thể đạt trạng thái dẻo, trạng thái ứng suất này được gọi là giới hạn đàn dẻo Tiếp tục tăng giá trị α sẽ làm mở rộng vùng biến dạng dẻo trong vật thể, dẫn đến việc kết cấu dần hình thành cơ chế phá hủy.
P0 đại diện cho lực tác dụng, trong khi giá trị αl tương ứng với trạng thái phá hủy được gọi là hệ số an toàn của kết cấu, hay còn được biết đến là hệ số tải tới hạn.
Giá trị chính xác α l tải giới hạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị giải tương ứng với trường ứng suất σ hợp lệ α l − ≤ α l α l − có thể của lời
Để chứng minh lý thuyết này, chúng ta dựa vào nguyên lý công ảo và tính chất của hàm lồi trong mặt chảy dẻo Nhiệm vụ tính hệ số tới hạn được chuyển thành bài toán phi tuyến tối ưu.
Hệ số tải trọng giới hạn α l là giá trị nhỏ nhất trong số các hệ số tải trọng α l +, tương ứng với trường vận tốc chuyển vị khả dĩ động, với điều kiện α l ≤ α l +.
Trong đó W in và W ex là tổng công suất of biến dạng bên trong và công suất của biến dạng do
3.3 Xây dựng công thức phân tích giới hạn theo cận trên dựa trên phương pháp đẳng hình học và giải thuật tối ưu hình nón bậc 2
Chúng ta xem xét một vật thể cứng dẻo đàn hồi với biên Γ = Γ t ∪ Γ u, trong đó Γ t là điều kiện biên tĩnh học và Γ u là điều kiện biên động học Vật thể chịu tác dụng của lực khối f và lực bề mặt g trên biên Γ t, trong khi biên Γ u được cố định Dựa trên lý thuyết đã nêu, hệ số tải sụp đổ λ + có thể được xác định thông qua việc giải bài toán tối ưu, với λ + = min D(ε), trong đó tốc độ biến dạng ε được xác định bởi các yếu tố liên quan.
= [ εε εε εε εε] là ma trận biến dạng và được xác định
Hàm tiêu tán dẻo được định nghĩa như sau:
Trong đó là trường ứng suất khả dĩ được chứa trong hàm lồi - convex yield surface
Ứng suất trên bề mặt chảy dẻo liên quan đến biến dạng chảy dẻo được gọi là ( ) Theo tài liệu [8], hàm tiêu tán dẻo có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của tốc độ biến dạng.
Trong đó Θ εε là tốc độ biến dạng dẻo của phần tử e và thể được tính tại điểm Gauss như sau:
Phương trình (21) có thể viết dưới dạng sau:
Trong đó, , trận Jacobian | và|
Gauss của bài toán. là hệ số Cholesky trong
Giới thiệu
Trong chương 2, tác giả trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời nêu rõ sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Chương này cũng sẽ giới thiệu cách áp dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 để thực hiện phân tích giới hạn.
Lý thuyết phân tích giới hạn
Phân tích giới hạn tập trung vào trạng thái cuối cùng của kết cấu, đặc biệt là trạng thái phá hoại dẻo và cơ chế phá hủy tương ứng Phương pháp này hỗ trợ kỹ sư dự đoán nhanh chóng giá trị tải trọng phá hoại của kết cấu mà không cần trải qua các bước trung gian phức tạp.
Trong nghiên cứu này, chúng ta phân tích một vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền Ω thuộc ℜ² với biên Γ, chịu tác động của ngoại lực P bao gồm lực thể tích g và lực trên biên t Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị được thiết lập với Γ u, sao cho Γ u ∪ Γ = Γ và Γ u ∩ Γ = ∅ Chúng ta giả định rằng tất cả các lực tác dụng đều tuyến tính và tỉ lệ thuận.
P 0 = (f 0, t 0) là tải ban đầu tác dụng lên kết cấu Khi giá trị α đủ nhỏ, vật thể sẽ có ứng xử đàn hồi Tuy nhiên, khi tăng giá trị α đến một mức nhất định, điểm đầu tiên trong vật thể sẽ đạt đến trạng thái dẻo, được gọi là giới hạn đàn dẻo Tiếp tục tăng giá trị α sẽ làm mở rộng vùng biến dạng dẻo trong vật thể, dẫn đến việc hình thành cơ chế phá hủy của kết cấu.
P0 là lực tác dụng, trong khi giá trị αl tương ứng với trạng thái phá hủy được gọi là hệ số an toàn của kết cấu, hay còn được biết đến là hệ số tải tới hạn.
Giá trị chính xác α l tải giới hạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị giải tương ứng với trường ứng suất σ hợp lệ α l − ≤ α l α l − có thể của lời
Để chứng minh lý thuyết này, chúng ta dựa vào nguyên lý công ảo và tính chất của hàm lồi trong mặt chảy dẻo Nhiệm vụ tính hệ số tới hạn được chuyển thành bài toán phi tuyến tối ưu.
Hệ số tải trọng giới hạn α l là hệ số tối thiểu trong tất cả các hệ số tải trọng α l +, tương ứng với trường vận tốc chuyển vị khả dĩ động, với điều kiện α l ≤ α l +.
Trong đó W in và W ex là tổng công suất of biến dạng bên trong và công suất của biến dạng do
Xây dựng công thức phân tích giới hạn theo cận trên…
đẳng hình học và giải thuật tối ưu hình nón bậc 2
Chúng ta xem xét một vật thể cứng dẻo đàn hồi với biên Γ = Γ t ∪ Γ u, trong đó Γ t là điều kiện biên tĩnh học và Γ u là điều kiện biên động học Vật thể chịu tác dụng của lực khối f và lực bề mặt g trên biên Γ t, trong khi biên Γ u được cố định Dựa trên lý thuyết này, hệ số tải sụp đổ λ + có thể được xác định thông qua việc giải bài toán tối ưu, với λ + = min D(ε), trong đó tốc độ biến dạng ε được xác định.
= [ εε εε εε εε] là ma trận biến dạng và được xác định
Hàm tiêu tán dẻo được định nghĩa như sau:
Trong đó là trường ứng suất khả dĩ được chứa trong hàm lồi - convex yield surface
Ứng suất trên bề mặt chảy dẻo liên quan đến biến dạng chảy dẻo được gọi là ( ) Theo tài liệu [8], hàm tiêu tán dẻo có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của tốc độ biến dạng.
Trong đó Θ εε là tốc độ biến dạng dẻo của phần tử e và thể được tính tại điểm Gauss như sau:
Phương trình (21) có thể viết dưới dạng sau:
Trong đó, , trận Jacobian | và|
Gauss của bài toán. là hệ số Cholesky trong
Để giải quyết hiệu quả bài toán phân tích giới hạn, nghiên cứu này sử dụng chương trình tối ưu hình nón bậc 2 Mosek thông qua việc giới thiệu biến bổ sung vào t Bài toán tối ưu được trình bày trong công thức (24) sẽ được điều chỉnh tương ứng.
Trong chương 2 và 3, tác giả đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, cùng với sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Tác giả cũng đã xây dựng công thức cho phương pháp đẳng hình học, kết hợp với thuật toán tối ưu hình nón bậc 2 nhằm xác định hệ số tải tới hạn Trong chương này, tác giả ứng dụng phương pháp đẳng hình học để phát triển chương trình phân tích giới hạn cho một số bài toán cụ thể.
- Bài toán Cook – Cook’s Problem [9]
- Bài toán tấm có lỗ rỗng chịu kéo [9,10]
Các bài toán này được phân tích dưới giả định biến dạng phẳng, và chương trình khảo sát các bài toán này được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB.
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải giải tích
Mô hình bài toán[14] có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1×10 5 MPa
- Giới hạn ứng suất: = √3 MPa
Hình 3.1 : Mô hình bài toán
Mô hình lưới điểm điều khiển và lưới phần tử
Mô hình lưới bài toán được sử dụng để kiểm tra và đánh giá phương pháp nghiên cứu, với điều kiện biên được minh họa trong hình 3.1 Bài toán được rời rạc thành 24 phần tử NURBS và đã được nghiên cứu bởi Canh V Le, H Ciria và J Peraire Kết quả của bài toán này, cùng với các nghiên cứu trước đó, được trình bày trong Bảng 3.1, cho thấy rằng phương pháp này đạt được kết quả tương đối tốt so với các phương pháp khác.
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được so với kết quả của các công trình trước đó cho bài toán Cook.
3.2.2 Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa chịu kéo
Cho tấm phẳng có lỗ ở giữa chịu kéo hai lực P 1 và P 2 như hình 4.1 Mô hình bài toán có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2e5 MPa
- Tải phân bố đềuσ y = 200 MPa
Do bài toỏn đối xứng nờn ẳ mụ hỡnh tớnh toỏn như hỡnh Error! Reference source not found.4.2
Hỡnh 4.2 : Mụ hỡnh ẳ của bài toỏn Hình 4.1: Mô hình bài toán tấm phẳng có lỗ chịu kéo ở giữa
Mô hình IGA của bài toán như hình
Hình 4.4:: Mô hình với phần tử NURBS bậc 2 có 16 phần tử.
Kết quả tớnh toỏn được thực hiện bởi mụ hỡnh ẳ của tấm sử dụng cỏc lưới bậc 2, 3 và 4 với
Số lượng phần tử NURBS là 8, 32 và 128 Lời giải chính xác cho hệ số tải giới hạn được thực hiện bởi Gaydon và McCrum cho bài toán biến dạng phẳng, áp dụng tiêu chuẩn Von Mises Trong trường hợp này, giới hạn ứng suất được xác định là p lim = (1 − R / L) σ y = 0.8σ y.
Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được thực hiện cho bài toán tầm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa.
Bảng 3.2 trình bày kết quả của phương pháp hiện hành cho các loại lưới khác nhau, trong khi Bảng 3.3 so sánh kết quả với các phương pháp khác như FEM, BEM và Meshfree Hình 4.4 minh họa kết quả của lời giải số từ FEM-Q4 và phương pháp IGA, cho thấy sự so sánh với số BTD gia tăng Qua hình 4.4, có thể nhận thấy rằng hệ số tải giới hạn hội tụ nhanh chóng về giá trị lời giải phân tích.
Hình 4.5 trình bày sự so sánh tốc độ hội tụ của giá trị tải giới hạn trong bài toán tấm phẳng có lỗ tròn ở tâm, giữa phương pháp IGA và các phương pháp khác, đặc biệt trong trường hợp tải P2 = 0.
Bảng 3.3 : Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N = σ y , p M = 0 của phương pháp IGA so với các phương pháp khác.
Approach & Method Authors Load cases
Quadratic (ndofs = 462) Cubic (ndofs = 650) Quartic (ndofs = 650) Belytschko et al.[31]
LB (Lower bound); UB (Upper bound); DA (Dual algorithm); NS (Node smoothed)
Ứng dụng lý thuyết từ chương 2 và 3, chúng tôi phát triển một chương trình phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 nhằm giải quyết hai bài toán ví dụ cụ thể.
- Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương đối tốt
- Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với số bậc tự do nhỏ.
Giới thiệu
Trong chương 2 và 3, tác giả đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời chỉ ra sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Tác giả cũng đã phát triển công thức cho phương pháp đẳng hình học kết hợp với thuật toán tối ưu hình nón bậc 2 để xác định hệ số tải tới hạn Trong chương này, tác giả áp dụng phương pháp đẳng hình học để xây dựng chương trình phân tích giới hạn cho một số bài toán cụ thể.
- Bài toán Cook – Cook’s Problem [9]
- Bài toán tấm có lỗ rỗng chịu kéo [9,10]
Các bài toán này được nghiên cứu dưới giả định về biến dạng phẳng, và ngôn ngữ lập trình MATLAB được áp dụng để phát triển chương trình khảo sát các vấn đề này.
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải giải tích
Mô hình bài toán[14] có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1×10 5 MPa
- Giới hạn ứng suất: = √3 MPa
Hình 3.1 : Mô hình bài toán
Mô hình lưới điểm điều khiển và lưới phần tử
Bài toán đầu tiên được sử dụng để kiểm tra và đánh giá phương pháp nghiên cứu là mô hình lưới với 24 phần tử NURBS, được minh họa qua hình 3.1 Các nhà nghiên cứu như Canh V Le, H Ciria và J Peraire đã thực hiện bài toán này Kết quả của bài toán, cùng với các nghiên cứu trước đó, được trình bày trong Bảng 3.1, cho thấy rằng phương pháp này đạt được kết quả tương đối tốt so với các phương pháp khác.
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được so với kết quả của các công trình trước đó cho bài toán Cook.
3.2.2 Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa chịu kéo
Cho tấm phẳng có lỗ ở giữa chịu kéo hai lực P 1 và P 2 như hình 4.1 Mô hình bài toán có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2e5 MPa
- Tải phân bố đềuσ y = 200 MPa
Do bài toỏn đối xứng nờn ẳ mụ hỡnh tớnh toỏn như hỡnh Error! Reference source not found.4.2
Hỡnh 4.2 : Mụ hỡnh ẳ của bài toỏn Hình 4.1: Mô hình bài toán tấm phẳng có lỗ chịu kéo ở giữa
Mô hình IGA của bài toán như hình
Hình 4.4:: Mô hình với phần tử NURBS bậc 2 có 16 phần tử.
Kết quả tớnh toỏn được thực hiện bởi mụ hỡnh ẳ của tấm sử dụng cỏc lưới bậc 2, 3 và 4 với
Nghiên cứu về 8, 32 và 128 phần tử NURBS đã được thực hiện, với lời giải chính xác cho hệ số tải giới hạn theo tiêu chuẩn Von Mises được cung cấp bởi Gaydon và McCrum Trong trường hợp này, giá trị giới hạn được xác định là p lim = (1 − R / L) σ y = 0.8σ y.
Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được thực hiện cho bài toán tầm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa.
Bảng 3.2 trình bày kết quả của phương pháp hiện hành cho các loại lưới khác nhau, trong khi Bảng 3.3 so sánh kết quả với các phương pháp khác như FEM, BEM và Meshfree Hình 4.4 minh họa kết quả giải số từ FEM-Q4 và phương pháp IGA so với số BTD gia tăng, cho thấy hệ số tải giới hạn hội tụ nhanh về giá trị lời giải giải tích.
Hình 4.5 trình bày sự so sánh tốc độ hội tụ của giá trị tải giới hạn trong bài toán tấm phẳng có lỗ tròn ở tâm, giữa phương pháp IGA và các phương pháp khác, trong trường hợp tải P2 = 0 Kết quả cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong hiệu quả hội tụ giữa các phương pháp, nhấn mạnh ưu điểm của IGA trong việc giải quyết bài toán này.
Bảng 3.3 : Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N = σ y , p M = 0 của phương pháp IGA so với các phương pháp khác.
Approach & Method Authors Load cases
Quadratic (ndofs = 462) Cubic (ndofs = 650) Quartic (ndofs = 650) Belytschko et al.[31]
LB (Lower bound); UB (Upper bound); DA (Dual algorithm); NS (Node smoothed)
Ứng dụng lý thuyết từ chương 2 và 3, chúng tôi xây dựng một chương trình phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 Mục tiêu là giải quyết hai bài toán ví dụ cụ thể, nhằm minh họa tính hiệu quả của phương pháp này trong việc tối ưu hóa các vấn đề liên quan.
- Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương đối tốt
- Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với số bậc tự do nhỏ.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Đề tài đã hoàn thành mục tiêu đề ra:
+ Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier + Nghiên cứu giải thuật tối ưu hình nón bậc 2
+ Xây dựng thuật toán kết hợp với IGA và SOCP
+ Viết chương trình giải một số bài toán và so sánh kết quả.
- Phương pháp đẳng hình học là phương pháp chính xác hình học Do vậy, sẽ cho kết quả tốt hơn với các biên cong.
- Chi phí tính toán cũng thấp hơn nhiều so với FEM (Bậc tự do nhỏ hơn nhưng cho kết quả chính xác hơn).
- Nghiên cứu IGA áp dụng cho các bài toán khác: phân tích giới hạn 3D (limits load analysis), bài toán Composite,
- Nghiên cứu T-Spline cho bài toán IGA trong phân tích giới hạn.
- Kết nối giữa CAD và IGA.
- Kết nối FEM và IGA.
[1] PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004
[2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính toán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2004
[3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008.
[4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụng
Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007.
[5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2001.
[6] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn thực hành trong cơ học , NXB Giáo dục, 2000
[7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward integration of CAD and FEA Wiley, 2009.
[8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book (2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[9] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity (3 ed.).
[10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method:
Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.
[11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.
[12] Per Stồle Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and
[13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural
Vibrations Master Thesis, Universit`a degli Studi di Pavia, 2005
[14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier
Extraction of NURBS and T-Splines Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2012
[15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013.
[16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi.org/10.1016/j.finel.2013.05.003, 2013.
[17] Loc V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, Isogeometric approach for analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory, Composite Part
[18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, S Bordas, T Rabczuk, Isogeometric analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892–1908,
2011, Doi:10.1016/j.cma.2011.01.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011).
[19] Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects Elsevier September 30, 2013
[20] F.A Gaydon, A.W McCrum, A theoretical investigation of the yield-point loading of a square plate with a central circular hole, Journal of Mechanics and Physics of
[21] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp. 2063-2086, 1997.
[22] Z Zhang, Y Liu, Z.Cen, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering 191, pp 905-917, 2004.
[23] S Chen, Y Liu, Z Cen, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and nonlinear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering.
[24] T.J.R Hughes, J.A Cottrell, Y Bazilevs, Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 194, pp.4135–4195, 2005.
[25] J Cottrell, T.J.R Hughes, A Reali, Studies of refinement and continuity in isogemetric analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 196, pp 4160–4183, 2007.
[26] Borden MJ, Scott MA, Evans JA, Hughes TJR Isogeometric finite element data structures based on Bézier extraction of NURBS International Journal for Numerical Methods in Engineering 86, pp 15 – 47, 2011.
[27] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp. 2063–2086, 1997.
[28] Mosek, The MOSEK Optimization Toolbox for MATLAB Manual Mosek ApS, version 5.0 ed., 2009 .
[29] Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H A cell- based smoothed finite element method for kinematic limit analysis, International
Journal for Numerical Methods in Engineering.88(12), pp.1651–1674, 2010.
[30] H Ciria, J Peraire, J Bonet , Mesh adaptive computation of upper and lower bounds in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in
[31] Belytschko T, Plane stress shakedown analysis by finite elements, International
[32] Nguyen DH, Palgen L Shakedown analysis by displacement method and equilibrium finite elements Proceedings of SMIRT-5, Berlin1 979;p L3/3.
[33] Chen S, Liu Y, Cen Z, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and non-linear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering.
[34] Zouain Z, Borges L, Silveira JL, An algorithm for shakedown analysis with nonlinear yield functions, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering.
[35] Zhang Z, Liu Y, Cen Z, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements 28, pp.905–917, 2004.
[36] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, T Nguyen-Thoi, T N Tran, N Nguyen-Thanh. Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering 90, pp.287 –
[37] Garcea G, Armentano G, Petrolo S, Casciaro R, Finite element shakedown analysis of two-dimensional structures International Journal for Numerical Methods in
[38] Hien V Do, H Nguyen-Xuan, Limit and shakedown isogeometric analysis of structures based on Bézier extraction, European Journal of Mechanics / A Solids 63, pp 149-164, 2017.
Kiến nghị
[1] PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004
[2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính toán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2004
[3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008.
[4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụng
Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007.
[5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2001.
[6] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn thực hành trong cơ học , NXB Giáo dục, 2000
[7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward integration of CAD and FEA Wiley, 2009.
[8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book (2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[9] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity (3 ed.).
[10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method:
Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.
[11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford.
[12] Per Stồle Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and
