Tổng quan tình hình nghiên cứu
Sự không làm việc được nữa của cấu trúc, nghĩa là chúng trở nên vô dụng xảy ra do một trong các nguyên nhân chính sau:
Bất ổn định đàn hồi
Biến dạng chảy dẻo quá lớn
Sự hư hỏng do gãy vỡ
Phân tích phá hủy dẻo của cấu trúc là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng đã phát triển trong nhiều thập kỷ, nhằm cung cấp thông tin chi tiết về các loại tải trọng gây ra sự cố cho kết cấu, điều mà phân tích trong miền đàn hồi không thể làm Phân tích này dựa trên việc tính toán tải trọng thực tế dẫn đến sự phá hủy của cấu trúc, sử dụng các phương pháp như giải tích, thực nghiệm và phương pháp số Đối với kỹ sư thiết kế, việc đánh giá độ an toàn của kết cấu là rất cần thiết, vì điều này giúp xác định giá trị tới hạn của tải trọng có thể gây sụp đổ, từ đó đưa ra hệ số an toàn hợp lý Để xác định giá trị này, thường có hai phương pháp phân tích chính được áp dụng.
Phương pháp phân tích từng bước cho phép xác định tải trọng giới hạn của kết cấu bằng cách gia tăng tải trọng dần dần cho đến khi xảy ra sụp đổ Phân tích này giúp hiểu rõ quá trình phát triển dẫn đến phá hoại kết cấu, tuy nhiên, nó không mang lại lợi ích về mặt tính toán số.
Phương pháp phân tích giới hạn là một phương pháp thực dụng, cung cấp trực tiếp trị số tải trọng giới hạn và cơ cấu phá hoại của kết cấu Phương pháp này dựa trên hai định lý giới hạn cơ bản: định lý cận trên (trường chuyển vị, biến dạng) cho giá trị tải trọng giới hạn lớn hơn giá trị chính xác, trong khi định lý cận dưới (trường ứng suất) cung cấp giá trị tải trọng giới hạn nhỏ hơn giá trị chính xác.
- Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Phân tích giới hạn đã trở thành công cụ mạnh mẽ cho việc nghiên cứu ổn định kết cấu, với nhiều thành tựu đạt được trong vài thập kỷ qua Các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM), phương pháp không lưới (Meshfree), và phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM) đã được phát triển để giải quyết bài toán phân tích giới hạn Nhiều tác giả nổi bật như Biron và Hodge, Hodge và Belytschko, cùng với các nghiên cứu của Nguyen Dang Hung, Vu, và Tran TN đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này Bên cạnh đó, sự phát triển của các thuật toán tối ưu, bao gồm cả thuật toán tối ưu hình nón bậc hai, đã hỗ trợ hiệu quả cho việc giải quyết các bài toán tối ưu liên quan đến phân tích giới hạn.
Dựa trên lý thuyết cận trên và cận dưới, nhiều phương pháp số đã được phát triển nhằm cung cấp giải pháp chính xác hơn với chi phí tính toán thấp hơn Phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) là một công cụ mạnh mẽ và đáng tin cậy trong nghiên cứu, dự đoán và mô hình hóa ứng xử của vật liệu, cấu trúc và chất lưu, cũng như trong các vấn đề kỹ thuật khác Phương pháp này đã được ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như kỹ thuật hàng không vũ trụ, kỹ thuật môi trường, kỹ thuật xây dựng, kỹ thuật cơ khí và khoa học vật liệu Tuy nhiên, FEA vẫn gặp phải một số hạn chế trong việc truyền tải dữ liệu từ CAD sang FEA.
CAE (Kỹ thuật hỗ trợ máy tính) và CAD (Thiết kế hỗ trợ máy tính) được phát triển độc lập, dẫn đến sự không tương thích trong việc mô tả hình học Hệ quả là gây ra nhiều công việc trùng lặp, đặc biệt là trong quá trình mô hình hóa.
Phương pháp đẳng hình học (IGA - IsoGeometric Analysis) được phát triển để kết nối giữa CAD và FEM (Phương pháp Phần tử hữu hạn), cho phép sử dụng mô hình CAD trực tiếp trong phân tích FEM.
Hiện nay, công cụ thiết kế hỗ trợ bằng máy tính (CAD) đã trở nên phổ biến và quen thuộc với các kỹ sư Sự kết hợp giữa các công cụ này và phương pháp phần tử hữu hạn giúp giải quyết hiệu quả các phương trình vi phân thông qua đa thức nội suy Lagrange, đáp ứng hầu hết các bài toán kỹ thuật yêu cầu tính liên tục C0 trong trường chuyển vị tổng quát.
IGA, được giới thiệu bởi Giáo sư Hughes, là một mô hình cho phép phân tích sử dụng chung cơ sở với mô hình hóa hình học, khác với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống Mô hình này sử dụng NURBS, hàm cơ sở trong phân tích tính toán, giúp mô hình hóa hình học chính xác IGA là phương pháp tính toán số mới, cung cấp kết quả chính xác và thỏa mãn liên tục bậc cao Nó tích hợp công cụ thiết kế hình học (CAD) và phân tích phần tử hữu hạn (FEA) vào một mô hình duy nhất, chỉ truy xuất dữ liệu hình học một lần cho quá trình phân tích Phương pháp này sử dụng các hàm B-spline hoặc NURBS để mô tả hình học và xấp xỉ các biến số chưa biết Hàm NURBS có khả năng biểu diễn chính xác nhiều dạng hình học như hình tròn, hình cầu, hình trụ, và hình ellip Việc sử dụng NURBS trong IGA cho phép đạt được độ liên tục C^(p-1) khi hàm cơ sở có bậc p, dễ dàng hơn so với việc sử dụng đa thức nội suy Lagrange trong FEM truyền thống.
IGA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7],
Phương pháp IGA, mới xuất hiện trong những năm gần đây, kết hợp ưu điểm của CAD và FEM, mang lại tính thời sự và ý nghĩa thực tiễn cao Tuy nhiên, phạm vi nghiên cứu của phương pháp này, dựa trên NURBS, vẫn đang trong giai đoạn phát triển Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu về IGA là cần thiết để khai thác tối đa tiềm năng của nó.
Phát triển và mở rộng phương pháp IGA vào đánh giá phá hủy dẻo của kết cấu là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Gần đây, Loc V Tran (2013) và H Nguyen-Xuan đã ứng dụng phương pháp đẳng hình học trong phân tích giới hạn Nghiên cứu của họ kết hợp đẳng hình học với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 để phân tích giới hạn các bài toán ứng suất phẳng, mở ra hướng đi mới trong lĩnh vực này.
Gần đây, phương pháp T-Splines đã được cải tiến để đạt được sự mịn màng trong phạm vi địa phương với số lượng điểm điều khiển giảm thiểu Đồng thời, IGA cũng đã được mở rộng để kết nối hiệu quả hơn với FEM, và Bezier Etraction đã được đề xuất như một giải pháp khả thi.
- Tình hình nghiên cứu trong nước
Trong nước nhóm nghiên cứu do PGS TS Nguyễn Xuân Hùng tại Đại học HUTECH đã nghiên cứu IGA và có rất nhiều bài báo xuất bản[15,16,17]
Tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM, Thạc sĩ Đỗ Văn Hiến đã tiến hành nghiên cứu về phương pháp phân tích giới hạn và thích nghi của kết cấu Nghiên cứu này dựa trên phương pháp đẳng hình học kết hợp với trích Bezier của NURBS và giải thuật primal-dual, được thực hiện vào năm 2017.
Nhóm nghiên cứu do PGS TS Lê Văn Cảnh dẫn đầu tại Đại học Quốc tế, thuộc Đại học Quốc gia TP HCM, đã tiến hành nghiên cứu nhằm phân tích giới hạn và khả năng thích nghi cho các kết cấu Nghiên cứu này kết hợp phương pháp không lưới với thuật toán tối ưu hình nón bậc 2 để đạt được kết quả tối ưu.
Gần đây có công trình nghiên cứu dùng phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 cho bài toán ứng suất phẳng.
Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài
- Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS
Xây dựng thuật toán phân tích giới hạn kết hợp phương pháp IGA dựa trên trích Bezier của NURBS với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 (SCOP) nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong phân tích Phương pháp này cho phép tối ưu hóa quy trình tính toán, đồng thời đảm bảo tính linh hoạt trong việc xử lý các mô hình phức tạp Sự kết hợp này không chỉ cải thiện khả năng phân tích mà còn tối ưu hóa các kết quả đạt được trong các bài toán kỹ thuật.
- Viết code dựa trên giải thuật đã trình bày ở bước trên để tính toán hệ số tải tới hạn
- Áp dụng cho một số bài toán phân tích giới hạn 2 chiều với giả định ứng suất phẳng:
+ Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu ứng dụng
- Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu.
Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
- Nghiên cứu IGA trong tính toán phân tích giới hạn của kết cấu
PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC
Thiết kế kỹ thuật ngày càng trở nên phức tạp, yêu cầu các nhà thiết kế tạo ra các tập tin CAD với định dạng phù hợp, đóng vai trò là tham số đầu vào cho các chương trình phân tích FEA Theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay tại Sandia National Laboratories, quá trình này tiêu tốn khoảng 80% thời gian phân tích Cần lưu ý rằng phân tích phần tử hữu hạn chỉ là phân tích hình học xấp xỉ, và kết quả có thể chứa sai số nếu số lượng phần tử không đủ để đạt được độ chính xác mong muốn.
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, điều này đòi hỏi chúng ta phải thay đổi phương pháp thiết kế và phân tích Các nghiên cứu ban đầu đã chứng minh rằng phương pháp đẳng hình học – Hình học chính xác, được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes vào năm 2005, là một giải pháp hiệu quả Phân tích kỹ thuật này có thể trở thành đòn bẩy quan trọng trong việc thực hiện phân tích đẳng hình học.
Hình 2.2 Ước lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM
Hình 2.3 Mô hình biên phân tích FEM (a) và IA (b)
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng:
i n p (01) Độ dài của véctơ nút: np1
Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform)
[0 0,25 0,4 0,75 1] véctơ nút không tuần hoàn
[0 0 0 1 1 1] véctơ nút không tuần hoàn, mở
Vectơ nút được gọi là “mở” khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp lại (p+1) lần, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học Các véctơ nút này phải tuân thủ một số ràng buộc nhất định.
- Có thứ tự không giảm i i 1
- Có giá trị giống nhau không xuất hiện nhiều hơn k ( =p+1 ) lần, các nút này gọi là nút bội
- Hàm cơ sở của Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút
Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải thuật Cox- de Boor
Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0
Hàm dạng Nurbs với bậc p=1, 2 thể hiện sự khác biệt trong việc sử dụng hàm cơ sở ở dạng tham số, so với phương pháp phần tử hữu hạn, nơi mà đa thức Lagrange được sử dụng làm hàm nội suy.
Hình 2.5a: Tính chất bao lồi của đường cong B-Spline
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau:
- Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính n , 2, , 1 , 0 0
- Không giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline luôn dương N i , p ()0
Hàm dạng B-Spline có (p-1) đạo hàm liên tục khi véctơ nút không tuần hoàn, với hàm cơ sở bậc p có tính liên tục C^(p-m_i) tại các nút ξ_i, trong đó m_i là số nút bội của giá trị nút ξ_i Đạo hàm của hàm cơ sở là cần thiết để xây dựng ma trận đạo hàm của hàm dạng B, phục vụ cho việc tạo ra ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ i của hàm cơ sở bậc p được xác định dựa trên véctơ nút [I].
Ví dụ : Hàm cơ sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ véctơ nút [I]={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5,5}
Hình 2.6 Hàm dạng B-Spline ứng với p=2 Đạo hàm của hàm cơ sở
Hình 2.7 Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với
2.1.3 Điểm điều khiển[7,8] Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần thêm n điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng
Với a0 ,1 ,2, ,n cp ; n cp là số điểm điều khiển phải bằng số hàm cơ sở
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,8] Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển
Hình 2.7a : Điểm và lưới điểm điều khiển Hình 2.7b : Đường cong B-Spline
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
(a): Ứng với véc tơ nút 0,0,0,1,2,3,4,5,5,5
(b): Ứng với véc tơ nút 0,0,0,1, 2,3, 4,4,5,5,5
14 Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng
Hình 2.9 Mặt cong B-Spline, điểm điều khiển
2.1.1 Điểm điều khiển Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường cong B-spline, còn có thêm một thành phần gọi là trọng số w i của các điểm điều khiển
P Tọa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổi và trở thành tọa độ đồng nhất
Tọa độ điểm điều khiển NURBS
Và hàm trọng số được xác định như sau
Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau: i n i p i i p i i p i p i w N w
Các tính chất của hàm cơ sở NURBS:
Hàm cơ sở NURBS kế thừa từ hàm cơ sở B-Spline, mang lại các tính chất quan trọng như tính liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền và luôn có giá trị dương.
- Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức
- Nếu trọng số tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B- Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS
2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
- Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều)
- Khối NURBS(trong không gian 3 chiều)
Ví dụ đường cong NURBS với các điểm điều khiển:
Hình 2.10 Đường cong Nurbs và điểm điều khiển trong mặt phẳng XY
2.4 Patch và Element (phần tử) [7,8]
- Số phần tử là số khoảng nút Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0,5 1 1 1]có 2 phần tử
Trong nhiều trường hợp thực tế, việc mô tả miền thành nhiều patch là cần thiết Điều này đặc biệt quan trọng khi có sự khác biệt về vật liệu hoặc mô hình vật lý trong miền, cũng như khi gặp khó khăn trong việc mô hình hóa các yếu tố như lỗ, góc, và các hình dạng phức tạp khác.
Hình 2.12 Khối Solid và phân chia khối thành các Patch
2.4 Các phương pháp làm mịn:
2.4.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút (knot insert)
Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ tập véc tơ nút như sau: 0,0,0,1,1,1
Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số phần tử lần lượt thay đổi như sau:
(a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút Hình 2.13: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
Số phần tử trước và sau khi thay đổi véc tơ nút
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử
Hình 2.15: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút
2.4.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc (k – refinement)
Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng các hình sau:
(a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3
Hình 2.17: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có 1 phần tử
Hình 2.18: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở
Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi tăng bậc
2.4.3 Lưu đồ tính toán NURBS trong phân tích đẳng hình học
Hình 2.17: Lưu đồ tham số NURBS trong tính toán của mặt cong bậc p =2 có một Patch
2.4.4 So sánh sự khác nhau giữa FEM và IGA
Bảng 2.1: So sánh giữa IA và FEM [7]
Phương pháp đẳng hình học Phương pháp phần tử hữu hạn Điểm điều khiển Điểm nút
Biến là điểm điều khiển
(giá trị chuyển vị điểm điều khiển)
Biến là nút phần tử (giá trị chuyển vị nút)
Hình học chính xác Hình học xấp xỉ
Hàm cơ sở NURBS Hàm cơ sở Lagarange
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều khiển
Hàm cơ sở nội suy ở nút
Patch (miền) Subdomain (Miền con)
Compact support Partition of Unity
Hình 2.17: Sự khác nhau giữa FEM và IGA.
2.4.5 Phương pháp đẳng hình học
Trong phân tích phần tử hữu hạn, phần tử được đại diện bởi miền chủ và miền vật lý, với miền hình học và bậc tự do xác định qua giá trị nút Hàm cơ sở được sử dụng là hàm nội suy có giá trị âm và dương Khác với phương pháp đẳng hình học, nơi hàm NURBS được áp dụng làm hàm cơ sở nội suy, hai khái niệm lưới số quan trọng là điểm điều khiển và lưới vật lý Điểm điều khiển điều chỉnh hình học nhưng không nhất thiết phải tuân theo hình học thực tế Miền hình học và bậc tự do cũng được xác định thông qua điểm điều khiển Khái niệm đẳng tham số đóng vai trò quan trọng trong phương pháp đẳng hình học, vì các hàm cơ sở này đảm bảo tính chính xác của hình học.
Lưu đồ giải thuật cho các bài toán và một số khái niệm minh họa hình 2.18
Hình 2.18: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch
23 Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier
Để đạt được độ bậc của đường cong Nurbs, cần lặp lại các véctơ nút bên trong Ví dụ, với một đường cong Nurbs bậc 3, có thể tham khảo hình 2.19 với véctơ nút 0,0,0,0,1,2,3,4, 4, 4, 4.
Để phân tích đường cong thành các phần tử Bezier, chúng ta thực hiện việc lặp các nút bên trong knot vector theo số bậc của đường cong bằng cách chèn các nút {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} vào knot vector Hình 2.19 minh họa kết quả của hàm cơ sở và các điểm điều khiển khi thực hiện việc chèn nút theo trình tự này.
Hình 2.19 : Đường cong Nurbs bậc 3
(a) Đường cong và điểm điều khiển (b) Hàm cơ sở của đường cong
Hình 2.20 minh họa trình tự thay đổi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi chèn dãy số {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} Kết quả cuối cùng, được thể hiện trong hình (f), cho thấy quá trình chèn đã hoàn tất và các hàm cơ sở Bezier đã được đánh số.
- Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)
Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển
P P và knot vec tơ 1 , 2 , , k , , k 1 , , n p 1 Các nút 1 , 2 , , m chèn vào knot vector để phân tích thành Bezier Ứng với mỗi giá trị nút j với j=1, 2, , m Chúng ta định nghĩa i j , i1, 2, ,n j
Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút
Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng P m 1 P b Định nghĩa
Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier và điểm điều khiển của đường cong B- Splines ban đầu như sau: b C P T
Trong không gian hai chiều, ma trận P có kích thước n x 2, trong khi ma trận P b có kích thước (n+m) x 2 Ở đây, n đại diện cho số lượng hàm cơ sở hoặc điểm điều khiển trước khi phân tích Bezier, còn m là số điểm nút được chèn.
Phương trình đường cong B-Spline trước khi phân tích Bezier dạng ma trận
Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier
(17) Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, do vậy vế phải của (16) và (17) bằng nhau Thay (15) vào (17)
C được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo ra toán tử này, thông số đầu vào duy nhất là véc tơ nút
Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs
Hàm trọng số được viết lại như sau:
Hàm cơ sở Nurbs trở thành:
Trong đó W là trọng số của Nurbs Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được
Giới thiệu
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, đòi hỏi nhà thiết kế phải tạo ra các tập tin CAD với định dạng phù hợp, phục vụ cho các chương trình phân tích FEA Theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay tại Sandia National Laboratories, nhiệm vụ này chiếm khoảng 80% thời gian của quá trình phân tích Cần lưu ý rằng phân tích phần tử hữu hạn chỉ là phân tích hình học xấp xỉ, và nếu số lượng phần tử không đủ, kết quả sẽ có sai số.
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp, điều này cho thấy cần phải thay đổi phương pháp thiết kế và phân tích Nghiên cứu ban đầu đã chứng minh thành công của phương pháp đẳng hình học, được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes vào năm 2005 Phương pháp này có thể đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của phân tích đẳng hình học.
Hình 2.2 Ước lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM
Hình 2.3 Mô hình biên phân tích FEM (a) và IA (b)
B-Splines[7,8]
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng:
i n p (01) Độ dài của véctơ nút: np1
Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform)
[0 0,25 0,4 0,75 1] véctơ nút không tuần hoàn
[0 0 0 1 1 1] véctơ nút không tuần hoàn, mở
Vectơ nút được gọi là “mở” khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp lại (p+1) lần, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học Các véctơ nút này phải tuân theo một số ràng buộc nhất định để đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong ứng dụng.
- Có thứ tự không giảm i i 1
- Có giá trị giống nhau không xuất hiện nhiều hơn k ( =p+1 ) lần, các nút này gọi là nút bội
- Hàm cơ sở của Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút
Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải thuật Cox- de Boor
Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0
Hàm dạng Nurbs với bậc p=1, 2 cho thấy sự khác biệt giữa hàm cơ sở ở dạng tham số và dạng tham số trong phương pháp phần tử hữu hạn, trong đó phương pháp này sử dụng đa thức Lagrange làm hàm nội suy.
Hình 2.5a: Tính chất bao lồi của đường cong B-Spline
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau:
- Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính n , 2, , 1 , 0 0
- Không giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline luôn dương N i , p ()0
Hàm dạng B-Spline có (p-1) đạo hàm liên tục khi véctơ nút không tuần hoàn, cho phép hàm cơ sở bậc p có C^(p-m_i) tại các nút ξ_i, trong đó m_i là số nút bội của giá trị nút ξ_i Việc tính toán đạo hàm của hàm cơ sở là cần thiết để xây dựng ma trận đạo hàm cho hàm dạng B, phục vụ cho việc xây dựng ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ i của hàm cơ sở bậc p được xác định dựa trên véctơ nút [I].
Ví dụ : Hàm cơ sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ véctơ nút [I]={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5,5}
Hình 2.6 Hàm dạng B-Spline ứng với p=2 Đạo hàm của hàm cơ sở
Hình 2.7 Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với
2.1.3 Điểm điều khiển[7,8] Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần thêm n điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng
Với a0 ,1 ,2, ,n cp ; n cp là số điểm điều khiển phải bằng số hàm cơ sở
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,8] Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển
Hình 2.7a : Điểm và lưới điểm điều khiển Hình 2.7b : Đường cong B-Spline
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng
(a): Ứng với véc tơ nút 0,0,0,1,2,3,4,5,5,5
(b): Ứng với véc tơ nút 0,0,0,1, 2,3, 4,4,5,5,5
14 Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng
Hình 2.9 Mặt cong B-Spline, điểm điều khiển
Nurbs[7,8]
2.1.1 Điểm điều khiển Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường cong B-spline, còn có thêm một thành phần gọi là trọng số w i của các điểm điều khiển
P Tọa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổi và trở thành tọa độ đồng nhất
Tọa độ điểm điều khiển NURBS
Và hàm trọng số được xác định như sau
Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau: i n i p i i p i i p i p i w N w
Các tính chất của hàm cơ sở NURBS:
Hàm cơ sở NURBS được phát triển dựa trên hàm cơ sở của B-Spline, vì vậy nó sở hữu những đặc tính quan trọng như tính liên tục qua các nút, khả năng hỗ trợ trong miền và luôn có giá trị dương.
- Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức
- Nếu trọng số tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B- Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS
2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
- Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều)
- Khối NURBS(trong không gian 3 chiều)
Ví dụ đường cong NURBS với các điểm điều khiển:
Hình 2.10 Đường cong Nurbs và điểm điều khiển trong mặt phẳng XY
Patch và Element (phần tử) [7,8]
- Số phần tử là số khoảng nút Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0,5 1 1 1]có 2 phần tử
Trong nhiều trường hợp thực tế, việc mô tả miền cần chia thành nhiều patch là rất quan trọng Điều này đặc biệt cần thiết khi có sự khác biệt về vật liệu hoặc mô hình vật lý trong miền, hoặc khi gặp khó khăn trong việc mô hình hóa các yếu tố như lỗ, góc và các đặc điểm phức tạp khác.
Hình 2.12 Khối Solid và phân chia khối thành các Patch
2.4 Các phương pháp làm mịn:
2.4.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút (knot insert)
Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ tập véc tơ nút như sau: 0,0,0,1,1,1
Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số phần tử lần lượt thay đổi như sau:
(a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút Hình 2.13: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
Số phần tử trước và sau khi thay đổi véc tơ nút
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử
Hình 2.15: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút
2.4.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc (k – refinement)
Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng các hình sau:
(a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3
Hình 2.17: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng
(a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có 1 phần tử
Hình 2.18: Số phần tử trên đường cong
Sự thay đổi hàm cơ sở
(a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở
Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi tăng bậc
2.4.3 Lưu đồ tính toán NURBS trong phân tích đẳng hình học
Hình 2.17: Lưu đồ tham số NURBS trong tính toán của mặt cong bậc p =2 có một Patch
2.4.4 So sánh sự khác nhau giữa FEM và IGA
Bảng 2.1: So sánh giữa IA và FEM [7]
Phương pháp đẳng hình học Phương pháp phần tử hữu hạn Điểm điều khiển Điểm nút
Biến là điểm điều khiển
(giá trị chuyển vị điểm điều khiển)
Biến là nút phần tử (giá trị chuyển vị nút)
Hình học chính xác Hình học xấp xỉ
Hàm cơ sở NURBS Hàm cơ sở Lagarange
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều khiển
Hàm cơ sở nội suy ở nút
Patch (miền) Subdomain (Miền con)
Compact support Partition of Unity
Hình 2.17: Sự khác nhau giữa FEM và IGA.
2.4.5 Phương pháp đẳng hình học
Trong phân tích phần tử hữu hạn, phần tử được đại diện thông qua miền chủ và miền vật lý, với miền hình học và bậc tự do được xác định bởi giá trị nút Hàm cơ sở sử dụng trong phương pháp này là hàm nội suy có giá trị âm và dương Ngược lại, phương pháp đẳng hình học áp dụng hàm NURBS làm hàm cơ sở nội suy, với hai khái niệm lưới quan trọng là điểm điều khiển và lưới vật lý Điểm điều khiển giúp điều chỉnh hình học nhưng không nhất thiết phải tuân theo hình học thực tế Trong phương pháp đẳng hình học, miền hình học và bậc tự do cũng được xác định qua điểm điều khiển, và khái niệm đẳng tham số đóng vai trò quan trọng vì các hàm cơ sở này đảm bảo tính chính xác của hình học.
Lưu đồ giải thuật cho các bài toán và một số khái niệm minh họa hình 2.18
Hình 2.18: Lưu đồ giải thuật bài toán [7] cho trường hợp nhiều patch
23 Để tính toán phần tử Bezier của Nurbs, chúng ta sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier
Để tạo ra một đường cong Nurbs bậc 3, ta cần lặp lại các véctơ nút bên trong cho đến khi đạt được bậc mong muốn Ví dụ, với đường cong Nurbs bậc 3 như hình 2.19, véctơ nút được xác định là 0,0,0,0,1,2,3,4, 4, 4, 4.
Để phân tích đường cong thành các phần tử Bezier, chúng ta lặp các nút bên trong vector knot bằng bậc của đường cong, thông qua việc chèn các nút {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} vào vector knot Hình 2.19 minh họa kết quả của hàm cơ sở và các điểm điều khiển sau khi chèn các nút theo trình tự.
Hình 2.19 : Đường cong Nurbs bậc 3
(a) Đường cong và điểm điều khiển (b) Hàm cơ sở của đường cong
Hình 2.20 minh họa trình tự thay đổi hàm cơ sở và điểm điều khiển khi chèn dãy số {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} Kết quả cuối cùng, được thể hiện trong hình (f), cho thấy các hàm cơ sở Bezier đã được đánh số sau quá trình chèn.
- Tính toán toán tử trích Bezier của Nurbs (Bezier extraction operator)
Giả sử chúng ta có một đường cong B-Splines có tập hợp các điểm điều khiển
P P và knot vec tơ 1 , 2 , , k , , k 1 , , n p 1 Các nút 1 , 2 , , m chèn vào knot vector để phân tích thành Bezier Ứng với mỗi giá trị nút j với j=1, 2, , m Chúng ta định nghĩa i j , i1, 2, ,n j
Chúng ta có thể viết (8) dưới dạng ma trận đại diện cho tập hợp các biến của các điểm điều khiển tạo thành trong quá trình chèn điểm nút
Tập hợp điểm điều khiển cuối cùng P m 1 P b Định nghĩa
Mối quan hệ giữa điểm điều khiển Bezier và điểm điều khiển của đường cong B- Splines ban đầu như sau: b C P T
Trong không gian hai chiều, ma trận P có kích thước n x 2, trong khi ma trận P b có kích thước (n+m) x 2 Ở đây, n đại diện cho số lượng hàm cơ sở hoặc điểm điều khiển trước khi thực hiện phân tích Bezier, còn m là số điểm nút được thêm vào.
Phương trình đường cong B-Spline trước khi phân tích Bezier dạng ma trận
Phương trình đường cong Bezier sau khi phân tích Bezier
(17) Đường cong không thay đổi hình dáng và tính chất, do vậy vế phải của (16) và (17) bằng nhau Thay (15) vào (17)
C được gọi là toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo ra toán tử này, thông số đầu vào duy nhất là véc tơ nút
Xây dựng hàm dạng cơ sở Nurbs
Hàm trọng số được viết lại như sau:
Hàm cơ sở Nurbs trở thành:
Trong đó W là trọng số của Nurbs Thay hàm cơ sở (20) vào (10), ta được
PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS VÀ GIẢI THUẬT TỐI ƯU HÌNH NÓN BẬC 2 CHO BÀI TOÁN PHÂN TÍCH GIỚI HẠN
Trong chương 2, tác giả trình bày lý thuyết về phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời phân tích sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Chương này sẽ tiếp tục giới thiệu cơ sở lý thuyết áp dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 cho bài phân tích giới hạn.
3.2 Lý thuyết phân tích giới hạn
Phân tích giới hạn giúp xác định trạng thái phá hủy dẻo và cơ chế hư hại của kết cấu, từ đó cho phép kỹ sư dự đoán chính xác tải trọng phá hủy mà không cần thực hiện nhiều bước trung gian.
Chúng ta xem xét một vật thể cứng-dẻo trong miền thuộc không gian hai chiều với biên , chịu tác động của ngoại lực P, bao gồm lực thể tích g và lực trên biên t Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị được thiết lập với u và u Giả định rằng tất cả các lực tác dụng là tuyến tính và tỉ lệ thuận.
Tải ban đầu P 0 ( , )f t 0 0 tác động lên kết cấu, trong đó nếu giá trị đủ nhỏ, vật thể sẽ có ứng xử đàn hồi Khi giá trị tăng lên đến mức mà điểm đầu tiên trong vật thể đạt trạng thái dẻo, trạng thái ứng suất này được gọi là giới hạn đàn dẻo Tiếp tục tăng giá trị sẽ làm mở rộng vùng biến dạng dẻo trong vật thể, dẫn đến việc kết cấu dần hình thành cơ chế phá hủy.
P 0 là lực tác dụng, trong khi giá trị α l tương ứng với trạng thái phá hủy được gọi là hệ số an toàn của kết cấu, hay còn gọi là hệ số tải tới hạn.
Giá trị chính xác l tải giới hạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị l có thể của lời giải tương ứng với trường ứng suất σ hợp lệ l l
Để chứng minh lý thuyết này, chúng ta dựa vào nguyên lý công ảo và tính chất của hàm lồi trong mặt chảy dẻo Nhiệm vụ tính hệ số tới hạn được chuyển thành một bài toán phi tuyến tối ưu.
0 : A ( ) 0 l l ij j l ij j ij in V st n t on f in V
Hệ số tải trọng giới hạn αl là hệ số tối thiểu trong số các hệ số tải trọng αl+ liên quan đến trường vận tốc chuyển vị có thể xảy ra.
W in và W ex đại diện cho tổng công suất của biến dạng bên trong và biến dạng do tải trọng bên ngoài tác động lên kết cấu Lý thuyết này cho phép xác định giá trị tải giới hạn thông qua việc giải bài toán tối ưu.
3.3 Xây dựng công thức phân tích giới hạn theo cận trên dựa trên phương pháp đẳng hình học và giải thuật tối ưu hình nón bậc 2
Chúng ta xem xét một vật thể cứng dẻo đàn hồi với biên Γ = Γt ∪ Γu, trong đó Γt là điều kiện biên tĩnh học và Γu là điều kiện biên động học Vật thể chịu tác động của lực khối f và lực bề mặt g trên biên Γt, trong khi biên Γu được cố định Dựa trên lý thuyết cận, hệ số tải sụp đổ λ+ có thể được xác định thông qua việc giải bài toán tối ưu minD().
Trong đó tốc độ biến dạng ε̇được cho bởi ε̇ = [ε̇ ε̇ ε̇ ] = ̇ (8) là ma trận biến dạng và được xác định
Hàm tiêu tán dẻo được định nghĩa như sau:
Giới thiệu
Trong chương 2, tác giả đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời phân tích sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Chương này sẽ tập trung vào việc áp dụng phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 để thực hiện phân tích giới hạn.
Lý thuyết phân tích giới hạn
Phân tích giới hạn của kết cấu tập trung vào trạng thái phá hủy dẻo và cơ chế phá hủy tương ứng, giúp kỹ sư dự đoán nhanh chóng giá trị tải trọng phá hủy mà không cần qua các bước trung gian.
Chúng ta nghiên cứu một vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền thuộc không gian hai chiều 2, chịu tác động của ngoại lực P bao gồm hai thành phần: lực thể tích g và lực trên biên t Điều kiện biên về chuyển vị được thiết lập tại biên , với u = và u = ∅ Giả định rằng tất cả các lực tác dụng là tuyến tính và tỉ lệ thuận.
Tải ban đầu tác dụng lên kết cấu được ký hiệu là P₀ = (t₀, 0) Khi giá trị α đủ nhỏ, vật thể sẽ có ứng xử đàn hồi Khi giá trị α tăng lên và đạt đến ngưỡng mà tại đó vật thể bắt đầu chuyển sang trạng thái dẻo, trạng thái ứng suất này được gọi là giới hạn đàn dẻo Tiếp tục tăng giá trị α sẽ làm mở rộng vùng biến dạng dẻo trong vật thể, dẫn đến việc hình thành cơ chế phá hủy của kết cấu.
P 0 là lực tác dụng, trong khi giá trị l tương ứng với trạng thái phá hủy được gọi là hệ số an toàn của kết cấu, hay còn gọi là hệ số tải tới hạn.
Giá trị chính xác l tải giới hạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị l có thể của lời giải tương ứng với trường ứng suất σ hợp lệ l l
Để chứng minh lý thuyết này, chúng ta dựa vào nguyên lý công ảo và tính chất của hàm lồi trong mặt chảy dẻo Việc tính toán hệ số tới hạn trở thành một bài toán phi tuyến tối ưu.
0 : A ( ) 0 l l ij j l ij j ij in V st n t on f in V
Hệ số tải trọng giới hạn αl là giá trị nhỏ nhất trong tất cả các hệ số tải trọng αl+ liên quan đến trường vận tốc chuyển vị khả dĩ động l.
Trong đó, W in và W ex đại diện cho tổng công suất của biến dạng bên trong và công suất biến dạng do tải trọng bên ngoài tác động lên kết cấu Lý thuyết này cho phép chúng ta xác định giá trị tải giới hạn thông qua việc giải bài toán tối ưu.
Xây dựng công thức phân tích giới hạn theo cận trên…
Chúng ta xem xét một vật thể cứng dẻo đàn hồi với biên Γ = Γt ∪ Γu, trong đó Γt là điều kiện biên tĩnh học và Γu là điều kiện biên động học Vật thể chịu tác dụng của lực khối f và lực bề mặt g trên biên Γt, trong khi biên Γu được cố định Dựa trên lý thuyết này, hệ số tải sụp đổ λ+ có thể được xác định thông qua việc giải bài toán tối ưu.
Trong đó tốc độ biến dạng ε̇được cho bởi ε̇ = [ε̇ ε̇ ε̇ ] = ̇ (8) là ma trận biến dạng và được xác định
Hàm tiêu tán dẻo được định nghĩa như sau:
Trường ứng suất khả dĩ được chứa trong hàm lồi (convex yield surface) và ứng suất trên bề mặt chảy dẻo liên quan đến biến dạng chảy dẻo Theo tài liệu [8], hàm tiêu tán dẻo có thể được diễn đạt dưới dạng hàm của tốc độ biến dạng.
(12) ε̇ là tốc độ biến dạng dẻo của phần tử e và là giới hạn ứng suất Công thức (11) có thể được tính tại điểm Gauss như sau:
Phương trình (21) có thể viết dưới dạng sau:
Trong bài toán này, các giá trị trọng số điểm Gauss, định thức của ma trận Jacobian và tốc độ biến dạng tại điểm Gauss i được định nghĩa lần lượt là , | | và ε̇ Tổng số điểm Gauss của bài toán được ký hiệu là = × Hệ số Cholesky của Θ được xác định trong hàm tiêu tán dẻo thông qua công thức ‖v‖ = (v v).
Và = [ ] = ̇ là vector của các biến thêm vào để biến bài toán tối ưu trong phương trình (15) thành dạng như sau λ = min | |‖ ‖ subjected to:
Để giải quyết hiệu quả bài toán phân tích giới hạn, nghiên cứu này áp dụng chương trình tối ưu hình nón bậc 2 Mosek bằng cách giới thiệu biến bổ sung vào t Bài toán tối ưu trong công thức (24) được chuyển đổi thành: λ = min ∑ | | với các điều kiện ràng buộc đi kèm.
Trong chương 2 và 3, tác giả trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời phân tích sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Tác giả cũng phát triển công thức cho phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 để xác định hệ số tải tới hạn Chương này ứng dụng phương pháp đẳng hình học để xây dựng chương trình phân tích giới hạn cho một số bài toán cụ thể.
- Bài toán Cook – Cook’s Problem [9]
- Bài toán tấm có lỗ rỗng chịu kéo [9,10]
Các bài toán được phân tích dựa trên giả định biến dạng phẳng Chương trình khảo sát các bài toán này được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB.
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải giải tích
Mô hình bài toán[14] có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1×10 5 MPa
- Giới hạn ứng suất: = √3 MPa
Mô hình lưới điểm điều khiển và lưới phần tử
Hình 3.1 : Mô hình bài toán
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
Bài toán đầu tiên được sử dụng để kiểm tra và đánh giá phương pháp nghiên cứu có điều kiện biên như hình 3.1, được rời rạc thành 24 phần tử NURBS Nhiều nhà nghiên cứu, bao gồm Canh V Le, H Ciria và J Peraire, đã thực hiện bài toán này Kết quả của nó, cùng với các nghiên cứu trước đó, được trình bày trong Bảng 3.1, cho thấy rằng phương pháp này đạt kết quả tương đối tốt so với các phương pháp khác.
Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được so với kết quả của các công trình trước đó cho bài toán Cook
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
3.2.2 Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa chịu kéo
Cho tấm phẳng có lỗ ở giữa chịu kéo hai lực P 1 và P 2 như hình 4.1 Mô hình bài toán có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E 2 5 M Pa e
- Tải phân bố đều y 200 MPa
Do bài toỏn đối xứng nờn ẳ mụ hỡnh tớnh toỏn như hỡnh Error! Reference source not found.4.2
Hình 4.1: Mô hình bài toán tấm phẳng có lỗ chịu kéo ở giữa
Hỡnh 4.2 : Mụ hỡnh ẳ của bài toỏn
Mô hình IGA của bài toán như hình
Hình 4.4:: Mô hình với phần tử NURBS bậc 2 có 16 phần tử
Kết quả tính toán được thực hiện bằng mô hình hóa của tấm sử dụng các lưới bậc 2, 3 và 4 với 8, 32 và 128 phần tử NURBS tương ứng Lời giải chính xác cho hệ số tải giới hạn được thực hiện theo phương pháp của Gaydon và McCrum cho bài toán biến dạng phẳng áp dụng tiêu chuẩn Von Mises Trong trường hợp P2 = 0, P1 thuộc khoảng [0, σy] và R/L = 0.2, tải phá hủy tới hạn được xác định.
Bảng 3.2 trình bày kết quả của phương pháp hiện hành với các loại lưới khác nhau, trong khi Bảng 3.3 so sánh kết quả với các phương pháp khác như FEM, BEM, và Meshfree Hình 4.4 minh họa kết quả giải số từ FEM-Q4 và phương pháp IGA, cho thấy sự so sánh với số BTD gia tăng Qua hình 4.4, có thể thấy rằng hệ số tải giới hạn hội tụ nhanh về giá trị giải tích.
Hình 4.5 trình bày sự so sánh tốc độ hội tụ của giá trị tải giới hạn trong bài toán tấm phẳng có lỗ tròn ở tâm, giữa phương pháp IGA và các phương pháp khác, trong trường hợp tải P2 = 0.
Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được thực hiện cho bài toán tầm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa
Load cases Polynomial order Mesh discretization
Ứng dụng lý thuyết từ chương 2 và 3, chúng tôi phát triển một chương trình phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 nhằm giải quyết hai bài toán ví dụ.
- Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương đối tốt
- Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với số bậc tự do nhỏ
Bảng 3.3 : Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N y ,p M 0 của phương pháp IGA so với các phương pháp khác
Approach & Method Authors Load cases
Quadratic (ndofs = 462) 0.8969 0.9145 0.8038 Cubic (ndofs = 650) 0.8961 0.9130 0.8026 Quartic (ndofs = 650) 0.8955 0.9113 0.8025 Equilibrium FEM (LB) Belytschko et al.[31] - - 0.78
Equilibrium FEM (LB) Nguyen & Palgen[32] 0.704 - 0.564
EFG (LB) Chen et al
Mixed model Zouain et al [34] 0.894 0.911 0.803
BEM (LB) Zhang et al.[35] 0.889 0.898 0.784
NS-FEM (DA) Nguyen et al.[36] 0.894 0.911 0.802
LB (Lower bound); UB (Upper bound); DA (Dual algorithm); NS (Node smoothed)
Giới thiệu
Trong chương 2 và 3, tác giả trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier của NURBS, đồng thời phân tích sự khác biệt giữa phương pháp đẳng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Tác giả cũng phát triển công thức cho phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 nhằm xác định hệ số tải tới hạn Trong chương này, tác giả áp dụng phương pháp đẳng hình học để xây dựng chương trình phân tích giới hạn cho một số bài toán cụ thể.
- Bài toán Cook – Cook’s Problem [9]
- Bài toán tấm có lỗ rỗng chịu kéo [9,10]
Các bài toán được phân tích dưới giả định biến dạng phẳng, và chương trình khảo sát các bài toán này được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB.
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải giải tích
Mô hình bài toán[14] có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1×10 5 MPa
- Giới hạn ứng suất: = √3 MPa
Mô hình lưới điểm điều khiển và lưới phần tử
Hình 3.1 : Mô hình bài toán
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
Bài toán đầu tiên mà chúng tôi sử dụng để kiểm tra và đánh giá phương pháp nghiên cứu có điều kiện biên được minh họa trong hình 3.1 Bài toán này được rời rạc thành 24 phần tử NURBS và đã được nghiên cứu bởi một số nhà khoa học như Canh V Le, H Ciria và J Peraire Kết quả của bài toán này, cùng với các nghiên cứu trước đó, được trình bày trong Bảng 3.1, cho thấy rằng phương pháp này đạt kết quả tương đối tốt so với các phương pháp khác.
Bảng 3.1: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được so với kết quả của các công trình trước đó cho bài toán Cook
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán
3.2.2 Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa chịu kéo
Cho tấm phẳng có lỗ ở giữa chịu kéo hai lực P 1 và P 2 như hình 4.1 Mô hình bài toán có các thông số như sau:
- Mô đun đàn hồi vật liệu E 2 5 M Pa e
- Tải phân bố đều y 200 MPa
Do bài toỏn đối xứng nờn ẳ mụ hỡnh tớnh toỏn như hỡnh Error! Reference source not found.4.2
Hình 4.1: Mô hình bài toán tấm phẳng có lỗ chịu kéo ở giữa
Hỡnh 4.2 : Mụ hỡnh ẳ của bài toỏn
Mô hình IGA của bài toán như hình
Hình 4.4:: Mô hình với phần tử NURBS bậc 2 có 16 phần tử
Kết quả tính toán được thực hiện thông qua mô hình ả của tấm sử dụng các lưới bậc 2, 3 và 4 với 8, 32 và 128 phần tử NURBS tương ứng Lời giải chính xác cho hệ số tải giới hạn được thực hiện theo nghiên cứu của Gaydon và McCrum cho trường hợp bài toán biến dạng phẳng áp dụng tiêu chuẩn Von Mises Trong trường hợp P2 = 0, P1 nằm trong khoảng [0, σy] và RL = 0.2, tải phá hủy tới hạn được xác định.
Bảng 3.2 trình bày kết quả của phương pháp hiện hành cho các loại lưới khác nhau, trong khi Bảng 3.3 so sánh kết quả với các phương pháp khác như FEM, BEM và Meshfree Hình 4.4 minh họa kết quả giải số đạt được từ FEM-Q4 và phương pháp IGA, so với số BTD gia tăng Qua hình 4.4, có thể thấy rằng hệ số tải giới hạn hội tụ nhanh về giá trị lời giải phân tích.
Hình 4.5 trình bày sự so sánh tốc độ hội tụ của giá trị tải giới hạn cho bài toán tấm phẳng có lỗ tròn ở tâm, giữa phương pháp IGA và các phương pháp khác, trong trường hợp tải P2 = 0 Kết quả cho thấy sự khác biệt rõ rệt trong hiệu quả hội tụ của từng phương pháp.
Bảng 3.2: Hệ số tải tới hạn của phương pháp hiện hành được thực hiện cho bài toán tầm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa
Load cases Polynomial order Mesh discretization
Ứng dụng lý thuyết từ chương 2 và 3, chúng tôi phát triển một chương trình phương pháp đẳng hình học kết hợp với giải thuật tối ưu hình nón bậc 2 nhằm giải quyết hai bài toán ví dụ cụ thể.
- Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có sai số tương đối tốt
- Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với số bậc tự do nhỏ
Bảng 3.3 : Hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải p N y ,p M 0 của phương pháp IGA so với các phương pháp khác
Approach & Method Authors Load cases
Quadratic (ndofs = 462) 0.8969 0.9145 0.8038 Cubic (ndofs = 650) 0.8961 0.9130 0.8026 Quartic (ndofs = 650) 0.8955 0.9113 0.8025 Equilibrium FEM (LB) Belytschko et al.[31] - - 0.78
Equilibrium FEM (LB) Nguyen & Palgen[32] 0.704 - 0.564
EFG (LB) Chen et al
Mixed model Zouain et al [34] 0.894 0.911 0.803
BEM (LB) Zhang et al.[35] 0.889 0.898 0.784
NS-FEM (DA) Nguyen et al.[36] 0.894 0.911 0.802
LB (Lower bound); UB (Upper bound); DA (Dual algorithm); NS (Node smoothed)
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Đề tài đã hoàn thành mục tiêu đề ra:
+ Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trên trích Bezier + Nghiên cứu giải thuật tối ưu hình nón bậc 2
+ Xây dựng thuật toán kết hợp với IGA và SOCP
+ Viết chương trình giải một số bài toán và so sánh kết quả
- Phương pháp đẳng hình học là phương pháp chính xác hình học Do vậy, sẽ cho kết quả tốt hơn với các biên cong
- Chi phí tính toán cũng thấp hơn nhiều so với FEM (Bậc tự do nhỏ hơn nhưng cho kết quả chính xác hơn)
- Nghiên cứu IGA áp dụng cho các bài toán khác: phân tích giới hạn 3D (limits load analysis), bài toán Composite,
- Nghiên cứu T-Spline cho bài toán IGA trong phân tích giới hạn.
- Kết nối giữa CAD và IGA.
- Kết nối FEM và IGA.
[1] PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004
[2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính toán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật,
[3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008
[4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụng
Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007
[5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2001
[6] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn thực hành trong cơ học , NXB Giáo dục, 2000
[7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward integration of CAD and FEA Wiley, 2009
[8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book (2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
[9] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity (3 ed.)
[10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[12] Per Stồle Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and
[13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural
Vibrations Master Thesis, Universit`a degli Studi di Pavia, 2005
[14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier Extraction of NURBS and T-Splines Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2012
[15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013
[16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite
Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi.org/10.1016/j.finel.2013.05.003, 2013
[17] Loc V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, Isogeometric approach for analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory,
Composite Part B, Vol 51, p 368-383,doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.02.045, 2013
[18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, S Bordas, T Rabczuk, Isogeometric analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892–1908,
2011, Doi:10.1016/j.cma.2011.01.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011)
[19] Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects Elsevier September 30, 2013
[20] F.A Gaydon, A.W McCrum, A theoretical investigation of the yield-point loading of a square plate with a central circular hole, Journal of Mechanics and Physics of Solids 2, pp.156-169, 1954
[21] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp 2063-2086, 1997
[22] Z Zhang, Y Liu, Z.Cen, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering
[23] S Chen, Y Liu, Z Cen, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and nonlinear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 74, pp.391-415, 2008
[24] T.J.R Hughes, J.A Cottrell, Y Bazilevs, Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 194, pp.4135–4195, 2005
[25] J Cottrell, T.J.R Hughes, A Reali, Studies of refinement and continuity in isogemetric analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering 196, pp 4160–4183, 2007
[26] Borden MJ, Scott MA, Evans JA, Hughes TJR Isogeometric finite element data structures based on Bézier extraction of NURBS International Journal for Numerical
[27] A Capsoni, L Corradi, A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem, International Journal for Numerical Methods in Engineering 40, pp 2063–2086, 1997
[28] Mosek, The MOSEK Optimization Toolbox for MATLAB Manual Mosek ApS, version 5.0 ed., 2009
[29] Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis, International
Journal for Numerical Methods in Engineering.88(12), pp.1651–1674, 2010
[30] H Ciria, J Peraire, J Bonet , Mesh adaptive computation of upper and lower bounds in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering.75(8), pp.899–944, 2008
[31] Belytschko T, Plane stress shakedown analysis by finite elements, International Journal Mechanical Science.14, pp.619–625, 1972
[32] Nguyen DH, Palgen L Shakedown analysis by displacement method and equilibrium finite elements Proceedings of SMIRT-5, Berlin1 979;p L3/3
[33] Chen S, Liu Y, Cen Z, Lower-bound limit analysis by using the EFG method and non-linear programming International Journal for Numerical Methods in Engineering
[34] Zouain Z, Borges L, Silveira JL, An algorithm for shakedown analysis with nonlinear yield functions, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeering
[35] Zhang Z, Liu Y, Cen Z, Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements 28, pp.905–917,
[36] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, T Nguyen-Thoi, T N Tran, N Nguyen-Thanh Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering 90, pp.287 – 310, 2012
[37] Garcea G, Armentano G, Petrolo S, Casciaro R, Finite element shakedown analysis of two-dimensional structures International Journal for Numerical Methods in Engineering 63, pp.1174–1202, 2005
[38] Hien V Do, H Nguyen-Xuan, Limit and shakedown isogeometric analysis of structures based on Bézier extraction, European Journal of Mechanics / A Solids 63, pp 149-164, 2017.
