311 CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ §1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG ĐạohàmtheophươngphápRomberglàmộtphươngphápngoạisuy đểxácđịnhđạohàmvớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủa hàm f(x)tại(x+h)và(x‐h): ⋅⋅⋅++ ′′′ + ′′ + ′ +=+ )x(f !4 h )x(f !3 h )x(f 2 h )x(fh)x(f)hx(f )4( 432  (1) ⋅⋅⋅−+ ′′′ − ′′ + ′ −=− )x(f !4 h )x(f !3 h )x(f 2 h )x(fh)x(f)hx(f )4( 432  (2) Trừ(1)cho(2)tacó: ⋅⋅⋅++ ′′′ + ′ =−−+ )x(f !5 h2 )x(f !3 h2 )x(fh2)hx(f)hx(f )5( 53 (3) Nhưvậyrútra: ⋅⋅⋅−− ′′′ − −−+ = ′ )x(f !5 h )x(f !3 h h2 )hx( f )hx( f )x(f )5( 42   (4) haytacóthểviếtlại: [] ⋅⋅⋅++++−−+= ′ 6 6 4 4 2 2 hahaha)hx(f)hx(f h2 1 )x(f   (5) trongđócáchệsốaiphụthuộcfvàx. Tađặt: [] )hx(f)hx(f h2 1 )h( −−+=ϕ (6) Nhưvậytừ(5)và(6)tacó:  ⋅ ⋅ ⋅ − − − − ′ =ϕ= 6 6 4 4 2 2 hahaha)x( f )h()1,1(D (7) ⋅⋅⋅−−−− ′ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ= 64 h a 16 h a 4 h a)x(f 2 h )1,2(D 6 6 4 4 2 2 (8) vàtổngquátvớih i=h/2 i‐1 tacó: ⋅ ⋅ ⋅ − − − − ′ =ϕ= 6 i6 4 i4 2 i2i hahaha)x( f )h()1,i(D (9) TatạorasaiphânD(1,1)‐4D(2,1)vàcó: ⋅⋅⋅−−− ′ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ−ϕ 6 6 4 4 ha 16 15 ha 4 3 )x(f3 2 h 4)h( (10) Chiahaivếcủa(10)cho‐3tanhậnđược: ⋅⋅⋅+++ ′ = − = 6 6 4 4 ha 16 5 ha 4 1 )x(f 4 )1,1(D)1,2(D4 )2,2(D   (11) TrongkhiD(1,1)vàD(2,1)saikhácf ′(x)phụthuộcvàoh 2 thìD(2,2)saikhác f ′(x)phụthuộcvàoh 4 .Bâygiờtalạichiađôibướchvànhậnđược: 312  ⋅⋅⋅+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ′ = 6 6 4 4 2 h a 16 5 2 h a 4 1 )x(f)2,3(D (12) vàkhửsốhạngcóh 4 bằngcáchtạora:  6 6 ha 64 15 )x(f15)2,3(D16)3,2(D +⋅⋅⋅+ ′ −=− (13) Chiahaivếcủa(13)cho‐15tacó:  ⋅⋅⋅−− ′ = − = 6 6 ha 64 1 )x(f 15 )2,2(D)2,3(D16 )3,3(D (14) Vớilầntínhnàysaisốcủađạohàmchỉcònphụthu ộcvàoh 6 .Lạitiếptụcchia đôibướchvàtínhD(4,4)thìsaisốphụthuộch 8 .Sơđồtínhđạohàmtheo phươngphápRomberglà:  D(1,1)  D(2,1) D(2,2)  D(3,1) D(3,2) D(3,3)  D(4,1)  D(4,2) D(4,3) D(4,4)  ............ trongđómỗigiátrịsaulàgiátrịngoạisuycủagiátrịtrướcđóởhàngtrên. Với2 ≤j≤i≤ntacó:  14 )1j,1i(D)1j,i(D4 )j,i(D 1j 1j − −−−− = − −  vàgiátrịkhởiđầulà:  [] )hx(f)hx(f h2 1 )h()j,i(D ii i i −−+=ϕ=  vớih i=h/2 i‐1 . Chúngtangừnglạikhihiệugiữahailầnngoạisuyđạtđộchínhxácyêu cầu. Taxâydựnghàm diffromberg()đểthựchiênthuậttoántrên:  functiondf=diffromberg(f,x,h,maxiter,tol) %TinhdaohambangphuongphapRomberg D(1,1)=(feval(f,x+h)‐feval(f,x‐h))/(2*h); fori=1:maxiter h=h/2; D(i+1,1)=(feval(f,x+h)‐feval(f,x‐h))/(2*h); forj=1:i D(i+1,j+1)= (4^j*D(i+1,j)‐D(i,j))/(4^j‐1); 313 end if(abs(D(i+1,i+1)‐D(i,i))<tol) df=D(i+1,i+1); break; elseif(i==maxiter) error(ʹNgoaisuyRichardsonkhonghoituʹ); end end   Đểtínhđạohàmcủahàmchotrướctadùngchươngtrình ctdiffromberg.m:  clearall,clc formatlong; f=inline(ʹx^2+2*x*exp(x)+1ʹ); x=2; h=0.5; tol=1e‐6; maxiter=10; df=diffromberg(f,x,h,maxiter,tol)   §2.TÍNHĐẠOHÀMBẬCCAO  TaxétkhaitriểnTaylorcủahàmf(x): ⋅⋅⋅++ ′′′ + ′′ + ′ +=+ )x(f !4 h )x(f !3 h )x(f 2 h )x(fh)x(f)hx(f )4( 432  (1) 23 4 (4) hh h f(x h ) f(x) hf ( x) f (x) f ( x) f ( x) 23!4! ′′′′′′ −= − + − + −⋅⋅⋅  (2) Từ(1)và(2)tacó:  (2) c2 2 24 (4) (6) f(x h) 2f(x) f(x h) D(x,h) h h2h f (x) f (x) f ( x) 12 6! +− + − = ′′ = + + + L (3) Nhưvậynếutatínhđạohàmcấp2theo(3)thìsaisốcỡh 2 .Dùngphương phápngoạisuyRichadsontacó: 314 2(2) (2) c2 c2 22 4 (5) 2D (x,h) D (x,2h) f(x 2 h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h) 21 12h h f (x) f (x) 90 − −+ + +− + +− − = − ′′ = − +L  Dovậy:  (2) c2 2 4 (5) f(x 2h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h) D(x,h) 12h h f (x) f (x) 90 −+ + +− + +− − = ′′ = − +L  (4) Nếuđạohàmcấpđượctínhtheo(4)thìsaisốchỉcòncỡh 4 .Từ(4)tacó:  (2) 22 11 00 1 1 2 2 c2 2 cf cf cf c f c f D(x,h) h − −−− +++ + = (5) Trongđó: f 2=f(x+2h) f 1=f(x+h)  f 0=f(x) f ‐1=f(x‐h)  f ‐2=f(x‐2h) ViếtrõcáckhaitriểnTaylorcủaf 2,f1,f0,f‐1,f‐2tacó:  22 20 0 0 10 0 0 (2) c2 2 22 00 1 0 0 0 2 0 0 0 (2h) h cf 2hf f cf hf f 2! 2! 1 D(x,h) h h(2h) c f c f hf f c f 2hf f 2! 2! −− ⎧⎫ ⎡⎤⎡⎤ ′′′ ′′′ ++ ++ ++ + ⎪⎪ ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ = ⎨⎬ ⎡⎤⎡ ⎤ − ⎪⎪ ′′′ ′ ′′ ++ −+ −+ − + − ⎢⎥⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎣⎦⎣ ⎦ ⎩⎭ LL LL   21 0 1 20 21 1 20 (2) 22 c2 2 2 21 1 20 (c c c c c )f h( 2c c c 2c )f 1 D(x,h) 2112 hccc cf h 222 2 −− − − −− ′ +++ + + ++− ⎧⎫ ⎪⎪ = ⎛⎞ ⎨⎬ ′′ +++++ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎩⎭ L (6) Taphảigiảihệphươngtrìnhsauđểtìmcáchệsốc i.  2 1 22 0 23 1 44 2 1111 1 c0 2101 2 c0 22!12!0 12! 22! c1 23!13!0 13! 23! c0 24!14!0 14! 24! c0 − − ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ (7) 315 Kếtquảtacóc2=‐1/12,c1=4/3,c0=‐5/2,c‐1=4/3c‐2=‐1/12.Dovậy:  (2) 210 12 c2 2 f16f30f16f f D(x,h) 12h − − −+ − + − =  Tươngtựtacóđạohàmbậc4củahàm:  (4) 210 12 c2 4 f4f6f4f f D(x,h) 12h − − −+− + =  Taxâydựnghàm diffn()đểtínhđạohàmtớibậc5:  functiondf=diffn(f,n,x) %Tinhdaohamcapncuaftaix ifn>5 error(ʹHamchitinhduocdaohamdenbac5ʹ); return; end; N=5; xo=x; T(1)=feval(f,xo); h=0.005; tmp=1; fori=1:N  tmp=tmp*h; c=difapx(i,[‐ii]);%hesocuadaoham dix=c*feval(f,xo+[‐i:i]*h)ʹ; T(i+1)=dix/tmp;%daoham end df=T(n+1); h=0.005; tmp=1; fori=1:N tmp=tmp*h; c=difapx(i,[‐ii]); %hesocuadaoham dix=c*feval(f,xo+[‐i:i]*h)ʹ;%/h^i;%daoham T(i+1)=dix/tmp;%hesocuachuoiTaylor end  df=T(n+1);  316 Đểtínhđạohàmcủahàmtadùngchươngtrìnhctdiffn.m  clearall,clc f=inline(ʹx.^2+atan(x)ʹ,ʹxʹ); df=diffn(f,5,0)   §3.TÍNHĐẠOHÀMBẰNGPHƯƠNGPHÁPNỘISUY   Giảsửtacóhàmchodướidạngbảng:  x x 0 x1 x0  xn y y0 y1 y0  yn  Đểtìmđạohàmcủahàmtạimộtđiểmnàođótasẽnộisuyhàmrồisauđó tínhđạohàmcủahàmtạiđiểmđãcho.Taxâydựnghàm diffinterp()đểthực hiệncôngviệctrên.  functiondf=diffinterp(x,y,n,x0) %Tinhdaohamcap1hai2bangphuogphapnoisuy px=lagrange(x,y);%TimdathucnoisuyLagrange(x,y) [p,dp,ddp]=peval(px,x0); fprintf(ʹTrisocuahamla:%f\nʹ,p) ifn==1 df= dp; else df=ddp; end fprintf(ʹDaohamcap%dla:%f\nʹ,n,df);   Đểtínhđạohàmtadùngchươngtrình ctdiffinterp.m:  clear,clc x0=pi/4; x=[2:6]*pi/16; y=sin(x); x=[1.51.92.12.63.2]; y=[1.06281.39611.54321.84232.0397]; 317 n=2; df=diffinterp(x,y,n,x0);   §4.TÍCHPHÂNXÁCĐỊNH Mụcđíchcủatínhtíchphânxácđịnh,còngọilàcầuphương,làđánh giáđịnhlượngbiểuthức: ∫ = b a dx)x(fJ  trongđó f(x)  là hàm liên tục trong khoảng [a,b]vàcóthểbiểudiễnbởiđườngcongy= f(x). Như vậy tích phân xácđịnh J là  diện tíchS ABba,giớihạnbởiđườngcongf(x),trục hoành,cácđườngthẳngx=avàx=b.Tích phânnàythườngđượctínhgầnđúngbằng côngthức: n ii i1 J Af(x) = = ∑  trongđóA ilàtrọngsố,phụthuộcphươngpháptínhtíchphân. Tấtcảcác phươngpháptínhtíchphânđượcsuyratừphươngphápn ội suyhàmdướidấutíchphân.Dovậykếtquảsẽchínhxácn ếuhàmcóthểxấp xỉbằngđathức.Cácphươngpháptínhtíchphânxácđịnhbằngphươngpháp sốđượcchiathành2nhóm:cácphươngphápNewton‐Cotesvàcácphương phápGauss.Khidùngcácphươngpháp Newton‐Coteskhoảnglấytíchphân được chiađều như trong phương pháp hình thang hay phương pháp Simpson.KhidùngcácphươngphápGauss,cáccdiểmchiađượcchọnđểđạt độchínhxáccaonhất.Dophươngphápnàycần ítlầntínhgiátrịhàmdươci dấutíchphânnênthíchhợpkhihàmf(x)khótính.  §5.CÁCCÔNGTHỨCNEWTON‐COTES 1.Kháiniệmchung :Takhảosáttíchphân b a J = f(x)dx ∫ (1) Tachiamiềnlấytíchphân[a,b]thành(n‐1)đoạnbằngnhaucó chiềudàimỗiđoạnh=(b‐a)/(n‐1)nhưhìnhvẽvàkíhiệucácđiểmchialà a b A B y x 318 x1,x2, ,xn.Sauđótaxấpxỉhàmf(x)bằngđa thứcbậc(n‐1)điqua các nút.Đathứcnội suyLagrangecủaf(x)códạng: n n1 i i i1 P ( x) f(x )L (x) − = = ∑  Nhưvậy,xấpxỉtíchphân(1)là:  n bb b n n‐1iiii i1 aa a i1 J = f(x)dx P (x)dx f(x ) L (x)dx A f(x ) = = == = ∑ ∫∫ ∫ ∑   (2) Trongđó:  b ii a A = L (x)dx i 1,2, ,n = ∫ (3) Côngthức(2)làcôngthứcNewton‐Cotes.Vớin=2tacócôngthứchình thangvàvớin=3tacócôngthứcSimpson. 2.Phươngpháphìnhthang :Khin=2tacó:  2 1 12 xx xb L(x) xx h −− ==− −   1 2 21 xx xa L(x) xx h −− == −   b 2 1 a 11h A(xb)dx(ba) h2h2 =− − = − = ∫   b 2 2 a 11h A(xa)dx(ba) h2h2 =−=−= ∫  Vậy:  h J f(a) f(b) 2 ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎣⎦  Trongthựctế,phươngpháphìnhthangđượcápdụngtrêntừngđoạn.Trên mỗiđoạn[x i,xi+1]tacó:  iii+1 h J f(x ) f(x ) 2 ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎣⎦  và: n i1 2 3 n1 n i1 h J J f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2 − = ⎡⎤ == + + ++ + ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ L  (7)  TagọiH=b‐a.Nếutíchphântrênđượctínhchỉbởikhìnhthangthì:  k=1: 1 H Jf(a)f(b) 2 ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ (8) x1 x2 x3 xn x1=a x2=b h 319  k=2: 21 HH1 HH Jf(a)2fa f(b) Jfa 242 22 ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎢⎥ =+++ =++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦   k=3: 2 HH3HH J f(a) 2fa 2fa 2fa f(b) 42 48 H3HH Jfa fa 444 2 ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ ⎢⎥ = + ++ ++ + + ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ 1 ⎛⎞⎛ ⎞ ⎢⎥ = + + + + ⎜⎟⎜ ⎟ 2 ⎝⎠⎝ ⎠ ⎢⎥ ⎣⎦  Tổngquát,vớik>1tacó:  k1 2 kk1 k1 k1 i1 1H (2i1)H J Jfa k2,3, 22 2 − − −− = − ⎡⎤ = + + = ⎢⎥ ⎣⎦ ∑   (9) Côngthức(8)làcôngthứchìnhthanglặp.Tathấyrằngtổngchỉchứacácnút mớixuấthiệnkhisốhìnhthangtănggấpđôi.TínhdãyJ 1,J2, bằng(8)và(9) cầncùngmộtsốlầntínhnhưkhidùng(7).Nhưngkhidùng (8)và(9)takiểm trađượctínhhộitụvàcóthểdừnglặpkhiđạtđộchínhxácchotrước. Taxây dựnghàmtrapezoid()đểthựchiệnthuậttoántrên.  functionJ=trapezoid(f,a,b,maxiter,tol) %Quytachinhthanglap. %Cuphap:J=trapezoid(f,a,b,k)  fa=feval(f,a); fb=feval(f,b); J1=(fa+fb)*(b‐a)/2; fork=2:maxiter n=2^(k‐2);%sodiemmoi  h=(b‐a)/n;%khoangchiamoi x=a+h/2.0;%toadodiemmoithunhat sum=0.0; fori=1:n fx=feval(f,x); sum=sum+fx; x=x+h; end 320 J=(J1+h*sum)/2; ifabs(J1‐J)<tol break; end J1=J; end   Đểtínhtíchphântadùngchươngtrìnhcttrapezoid.m clearall,clc f=inline(ʹ(x^3+1)*sin(x)ʹ,ʹxʹ); a=0; b=1; maxiter=50; tol=1e‐6; J=trapezoid(f,a,b,maxiter,tol) 3.PhươngphápSimpson:Khin=3tacócôngthức Simpson.Qua3điểm,hàmf(x)đượcxấpxỉbằngmột hàmbậchai(mộtparabol).Đểtínhtíchphântathay hàmf(x)ởvếphảibằngđathứcnộisuyNewtonti ến bậc2:  2 20 0 0 t(t 1) Pyty y 2! − =+∆+ ∆  (10) vàtacó:  b b 2 aa f(x)dx P ( x)dx= ∫∫ (11) Đổibiếnx=x 1+ththìdx=hdt.Vớix=x1thìt=0vàvớix=x3thìt=2nên: x0=a x2=b h x1 h [...]... ‐ Tích phân Gauss ‐ Hermite dùng xấp xỉ:  ∞   −t ∫ e f(t)dt   2 −∞ ‐ Tích phân Gauss ‐ Laguerre dùng xấp xỉ:  ∞   ∫e −t f(t)dt   −∞ 333 ‐ Tích phân Gauss ‐ Chebyshev 1 dùng xấp xỉ:  1   ∫ −1 1 1 − t2 f(t)dt   ‐ Tích phân Gauss ‐ Chebyshev 2 dùng xấp xỉ:  1   ∫ 1 − t 2 f(t)dt   −1 2. Tích phân Gauss ‐ Legendre: Nếu hàm dưới dấu tích phân f(t) là đa thức  bậc nhỏ hơn hay bằng 3 ( bằng 2n ‐ 1) thì tích phân:   b ∫ f(t)dt     (1)  có thể tính chính xác bởi 2(n) điểm bằng cách dùng công thức: ... w = 2./(N*N1*P(:, N1).^2);     Thông thường, ta  cần tính tích phân trên đoạn [a, b] nên cần đổi biến. Tích phân trên [a, b] của hàm f(x) được tính nhớ hàm intgausslobatto():    function J = intgausslobatto(f, n, a, b)  [t, w] = gausslobatto(n);  x = ((b ‐ a)*t + a + b)/2;%Pt. (9)  fx = feval(f, x);  J = wʹ*fx*(b ‐ a)/2;% Pt. (10)    Để  tính  tích phân của  hàm ta  dùng  chương trình  chương trình  ctintgausslobatto.m: ...     a = x(4*k);      j = 4*k + 1;  end  tp = tp*h*2/45;    Để tính tích phân của một hàm ta dùng chương trình ctintbool.m:    clear all, clc  format long  f = inline(ʹx.*sin(x)ʹ);  a = 0;  b = 2;  m = 2;  J = intbool(f, a, b, m)    §8. CÔNG THỨC TÍCH  PHÂN FILON    Giả sử cần tính tích phân:   b   J = ∫ f(x)cos(ωx)dx   a Lúc đó ta có thể dùng công thức tích phân Filon:  xn ∫ f(x)cos(tx)dx  x0 { =  h α(th) [ f2n... đoạn  hàm  tương  đối  bằng  phẳng.  Ngược  lại   phương pháp cầu phương thích nghi chia các đoạn không đều: ngắn trên các  đoạn hàm thay đổi nhiều và dài trên các đoạn thay đổi ít và sẽ có sai số nhỏ  khi số đoạn chia nhỏ.    Thuật toán cầu phương thích nghi bắt đầu bằng việc tính tích phân int  đối với toàn bộ đoạn [a, b] và tổng tích phân int12 = int1 + int2 trên 2 đoạn  bằng nhau. Dựa trên int và int12 ta tính sai số. Nếu chưa đạt độ chính xác, ta ... w = b/Aʹ;    Ta xây dựng hàm intghermite() để tính tích phân:     function J = intglegendre(f, n)  [t, w] = gausshermite(n);  fx = feval(f, t);  J = w*fxʹ;% Pt. (11)    Để tính tích phân ta dùng chương trình ctgausshermite.m:    clc, clear all  f = inline(ʹ(x^3+1)*sin(x)ʹ,ʹxʹ);  n = 15;  J = intghermite(@f1, n)    4.  Tích phân Gauss  ‐  Laguerre:  Khi  dùng  công  thức  tích phân Gauss  ‐  Laguerre (5) trở thành: ... int = h*( feval(f, a) + 4.0*feval(f, (a + h)) + feval(f, b) )/3.0;     Để tính tích phân ta dùng chương trình ctadaptive.m:    clc, clear all  f = inline(ʹsqrt(x).*cos(x)ʹ);  a = 0;  b = 1;  tol = 1e‐5;  J = adaptivesimpson(f, a, b, tol)    §6. TÍCH PHÂN ROMBERG    Tích phân Romberg kết hợp quy tắc tích phân hình thang với phương  pháp ngoại suy Richardson. Trước hết ta đưa vào khái niệm:    Ri,1 = Ji  b Trong đó Ji là giá trị xấp xỉ của ... Để tính tích phân ta dùng chương trình ctgausslaguerre.m:    clear all, clc  format long  f = inline(ʹ(x.^2).*cos(x)ʹ,ʹxʹ);  n = 10;  J = intglaguerre(f, n)    5.  Tích phân Gauss  ‐  Chebyshev:  Công  thức  tính  tích phân Gauss  ‐  Chebyshev 1 có dạng:  n   J GC1 [ t 1 ,t 2 ,K ,t n ] = ∑ w i f(t i )               (20)            (21)      (22)      (23)  i =1 Công thức (20) cho ta tính tích phân:  ... tp = tp*h*0.3;    Để tính tích phân ta dùng chương trình ctweddle.m:    format long  f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ);  a = 0;  b = 2;  m = 20;  J = intweddle(f, a, b, m)    §13. CẦU PHƯƠNG GAUSS  1.  Các  công  thức  tích phân Gauss:  Trong  phần  này  chúng  ta  sẽ  xét  một  số  phương pháp cầu phương Gauss:   ‐ Tích phân Gauss ‐ Legendre dùng xấp xỉ:  b ∫ f(t)dt   a ‐ Tích phân Gauss ‐ Hermite dùng xấp xỉ: ... clc    Để tính tích phân ta dùng chương trình ctsimpson.m:  clear all, clc  f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ);  a = 0;  b = 1;  n = 6;  s = simpson(f, a, b, n)    3. Phương pháp cầu phương thích nghi: Trong  tích phân bằng  phương  pháp  Simpson,  các  đoạn  được  chia  đều  và làm  cho  sai  số  không  giống  nhau  trên  các  đoạn:  sai  số  lớn  trên  các  đoạn hàm biến đổi nhiều và sai số nhỏ trên các ... J = R(j+1, j+1);      (3)    (4)  324 Để tính tích phân ta dùng chương trình ctromberg.m:    clear all, clc  f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ);  a = 0;  b = 1;  maxiter = 20;  tol = 1e‐6;  J = romberg(f, a, b, maxiter, tol)    §7. TÍCH  PHÂN BOOL    Ta khảo sát hàm y = f(x) trên đoạn [x0, x4], với:   x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, x4 = x0 + 4h  Theo Bool, tích phân:   x4 2h m   J = ∫ f(x)dx = ∑ 7f(x0 . 311 CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ §1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG Đạo hàm theophươngphápRomberglàmộtphươngphápngoạisuy đểxácđịnh đạo hàm vớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủa hàm f(x)tại(x+h) và (x‐h): ⋅⋅⋅++ ′′′ + ′′ + ′ +=+. diện tích S ABba,giớihạnbởiđườngcongf(x),trục hoành,cácđườngthẳngx=a và x=b. Tích phân nàythườngđượctínhgầnđúngbằng côngthức: n ii i1 J Af(x) = = ∑  trongđóA ilàtrọngsố,phụthuộcphươngpháptính tích phân.  Tấtcảcác phươngpháptính tích phân đượcsuyratừphươngphápn ội suy hàm dướidấu tích phân. Dovậykếtquảsẽchínhxácn ếu hàm cóthểxấp xỉbằngđathức.Cácphươngpháptính tích phân xácđịnhbằngphươngpháp sốđượcchiathành2nhóm:cácphươngphápNewton‐Cotes và cácphương phápGauss.Khidùngcácphươngpháp Newton‐Coteskhoảnglấy tích phân được