58 CHƯƠNG 2: MA TRẬN  §1.MỘTSỐKHÁINIỆM  (Matrận[A]gọilà đối x ứngnếu[A] T =[A] (Chomộtmatrậnvuông[A],cấpn.Tanóimatrận[A]khôngsuybiến (nonsingular)nếumatrậncóthểnghịchđảođượchaynóicáchkhác,định thứccủamatrậnkhác không.  (Ma trận Hermitelàmột ma trận vuông  cócácphần tử là  s ố phức bằngchuyểnvịliênhợpcủanó,nghĩalàphầntửởhàngicộtjbằngsốphức liên hợp của phân tử ở hàng j cột i T AA ∗ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ ma trận [] 32j A 2j 1 + ⎡⎤ = ⎢⎥ − ⎣⎦ làmatrậnHermite.  (MatrậnHouseholderlàmộtmatrậnvuôngdạng:  [][] [][] [][] =− T T 2 HE UU UU  Trongđóvlàvectơcộtkháczero (Matrận[A]gọilàtrựcgiaonếu[A] T [A]=[E] (Matrậnphức[U]gọilàmatrậnunitanếu T UU E ∗ ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ .Vídụma trận [] 1j 1j 22 U 1j 1j 22 +−+ ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ +− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ làmatrậnunita (Mộtmatrậnchỉcómộtcộtgọilàmộtvectơ  (ChuẩncủamộtvectơX,kíhiệulà X ,làmộtsốthựcthoảmãn: ‐ X >0 ‐ cX c X=  ‐ XY X Y+≤ +   GiảthiếtX=[x 1,x2,…,xn] T ,tathườngdùngmộttrong3chuẩnsauđây: ‐ j 1 j Xmaxx=  ‐ n j 2 j1 Xx = = ∑  59 ‐ n 2 j 3 j1 Xx = = ∑   (Chuẩncủamộtmatrận[A],kíhiệulà A,làmộtsốthựcthoảmãn: ‐ A >0 ‐ cA c A=  ‐ AB A B+≤ +  ‐ AB A B ≤  Tathườngdùngmộttrong3chuẩnsauđây: ‐ n i,j 1 i j1 Amaxa = = ∑  ‐ n i,j 1 j i1 Amaxa = = ∑  ‐ n 2 i,j 3 i,j 1 Aa = = ∑   (Matrận[A]gọilàxácđịnhdươngnếuvớivectơ[x]bấtkìtacó:  [][ ][] T xAx 0>   (Matrận[A]gọilànửaxácđịnhdươngnếuvớivectơ[x]bấtkìtacó:  [][ ][] T xAx 0≥  Tađịnhnghĩamatrậnxácđịnhâmvànửaxácđịnhâmmộtcáchtương tự. (Hạngcủamatrậnlàcấpcủamatrậnconcủamatrậnấycóđịnhthức khác không còn mọi ma trận con cấp cao hơnđều cóđịnh thưc bằng không(matrậnconlàmatrậncóđược bằngcáchxoámộtsốhàngvàcộtcủa matrậnbanđầu).  §2.BIẾNĐỔIHOUSEHOLDER 1. Ma trận Householder : Ta bi ếnđổi ma trận [A] về dạng có các phần tử thuộcđường chéo chính, các phần tử phía trên và phía dướiđường chéo chínhkháczero,còncácphầntửcònlạibằngzero(matrậnba đườngchéo) bằngcáchdùngphépbiếnđổiHouseholder.  PhépbiếnđổiHouseholderdùngmatrậnHouseholder.  [][] [][] =− T UU HE Q (1) 60 Trongđó:  [][] [] == 2 T 11 QUU U 22 (2) Do[H]đốixứngnên:   [][][][] [] [][] [] [][] ⎛⎞⎛⎞ ==− − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ TT T UU UU HH HH E E QQ    [] [][] [][][] ( ) [] =− + TT T 2 UUU U UU E2 QQ   [] [][] [ ] () [ ] [] =− + = T T 2 U2QU UU E2 E QQ  Từđâytathấy[H]cũnglàmatrậntrựcgiao.  Cho[X]làvectơbấtkỳvàkhảosátphépbiếnđổi[H][X].Chọn:  [U]=[X]+k[I 1](3) Trongđó:  [] =±kX [] = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ L T 1 I10 0 Tacó:  [][] [] [][] [] [] [][] [] ( ) [] ⎧⎫ + ⎛⎞ ⎪⎪ =− =− ⎨⎬ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪⎪ ⎩⎭ T T 1 UX kI UU HX E X E X QQ   [] [][][] [] [] ( ) [] [] [] () + + =− =− T T 2 1 1 UXX kI X Uk kX XX QQ  Nhưng:  [] [] ( ) [] [] ( ) [] [] [][] [] ( ) [][] =+ + = + + + T 2 TT T 2 11 1111 2Q X k I X k I X k X I I X k I I  =+ += + 222 11 k 2 kx k 2( k kx )  Nhưvậy:  [][][][] [] =−=− =− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ L T 1 HX X U kI k 0 0 0 (4) nghĩalàphépbiếnđổiloạitrừtấtcảcácphầntửcủa[X]trừphầntửđầutiên. 2.BiếnđổiHouseholdermộtmatrậnđốixứng: Bây giờ ta ápdụng phép biếnđổichomatrận[A]đốixứng:  [] [] [] [ ] [] [] [] [] [][][] [] ⎡⎤⎡ ⎤ ⎡⎤ == ⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ′ ′ ⎣⎦ ⎣⎦⎣ ⎦ TT T 11 11 1 aX a X 10 PA X A HX HA 0H   (5) 61 Trongđó[X]làcộtđầutiêncủa[A]vớiphầntửđầutiênbịbỏđi.[A’]cóđược từ[A]bằngcáchbỏđicộtvàhàngđầutiên.Matrận[H]cấp(n‐1)đượcxây dựngtheocác côngthức(1)÷(3).Do(4)tathấyphépbiếnđổinàylàmcột đầutiêncủa[A]trởthành:  [][] ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ M 11 11 a k a 0 HH 0  Phépbiếnđổi:  [] [][] () [][][] [] [] [] ⎡⎤ =→ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ′ ⎢⎥ ⎣⎦ T 11 11 aHX PAP A HX HA H (6) sẽđườngchéohoáhàngđầutiênvàcộtđầutiêncủamatrận[A].Sơđồbiến đổicủamatrận4 ×4là:       Hàngvà cộtthứ2củamatrận[A]đượcbiếnđổitiếpbằngcáchdùngphép biếnđổiđốivớiphầnbênphải,phíadướicủamatrận.Phépbiếnđổinàycó  thểbiểudiễnbằng [] [] [] [ ] → 22 PAP A,trongđó:  [] [] [] [] [ ] ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ T 2 2 E0 P 0H (7) với[E 2]làmatrậnđơnvị2×2và[H]làmatrận(n‐2)×(n‐2)cóđượcbằng cáchchọn[X]từ(n‐2)phầntửphíadướicủacộtthứ2củamatrận[A].Thực hiện(n‐2)phépbiếnđổi:  [] [] [] [] [ ] ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ T i i E0 P 0H i=1,2, ,n‐2 đểcóđượcmatrậnbađườngchéo(tridiagonal).Tacó: × 1 0 0 0 0 0 0 [Q] a11 a12 a13 a14 a21 a31 a41 [A’] 1 0 0 0 0 0 0 [Q] ×  = a11 ‐k 0 0 ‐k 0 0 [Q][A’] [Q] 62  [] [] [] [] [][] [] [ ] [] [] [] [][] ⎛⎞ ′ ′′ ′ ′ = − =− =− ⎜⎟ ⎝⎠ T TT AU UU AH A E A U A VU QQ  Trongđó:  [] [] [] ′ = AU V Q (8) Dovậy:  [] [] [] [] [][] [] [][] () ⎛⎞ ′′ =− − ⎜⎟ ⎝⎠ T T UU HA H E A VU Q    [] [][] [ ] [ ] [] [][] () ′′ =− − − T TT UU AVU AVU Q     [] [][] [][] [ ] ( ) [][][] ( ) [] ′ ′ =− − + TTT T UUA UUVU AVU QQ   [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ′ =−−+ TT T AVU UV2gUU  Trongđó:  [][] = T UV g 2Q (9) Đặt:[W]=[V]‐g[U](10) Tathấyngayphépbiếnđổicódạng:  [] [] [] [] [] [ ] [ ] [ ] ′′ =− − TT HA H A WU UW(11) Thuậttoáncóthểtómlạinhưsau: ‐Cho[A’]làmatrậnvuôngcấp(n‐i)cóđượctừphầndướibênphải củamatrận[A] ‐Đặt ++ = ⎡⎤ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦ L T i 1,i i 2,i n,i Xa a a ‐Tính [] X.Chok= [] X nếux1>0vàk=‐ [ ] X nếux1<0 ‐Cho − =+ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦ L T 12 ni Ukxx x ‐Tính [] = 2 U Q 2  ‐Tính [] [] [] ′ = AU V Q  ‐Tính [][] = T UV g 2Q  63 ‐Tính[W]=[V]‐g[U] ‐Tính [] [] [][] [ ] [ ] ′ =− − TT AAWU UW ‐Đặt ++ ==− i,i 1 i 1,i aa k Taxâydựnghàm housetrans()đểthựchiệnthuậttoántrên:  functionA=housetrans(A) %BiendoiHouseholdermatranAthanhmatran %bađườngchéodang[c\d\c]. %Decocvaddungd=diag(A),c=diag(A,1). n=size(A,1); fork=1:n‐2 u=A(k+1:n,k); uMag=sqrt(dot(u,u));  ifu(1)<0; uMag=‐uMag; end u(1)=u(1)+uMag; A(k+1:n,k)=u;%LuuuvaophanduoicuaA. H=dot(u,u)/2; v=A(k+1:n,k+1:n)*u/H; g=dot(u,v)/(2*H); v=v‐g*u; A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)‐v*uʹ‐ u*vʹ; A(k,k+1)=‐uMag; end k=zeros(n); fori=1:n k(i,i)=A(i,i); end fori=1:n‐1 k(i,i+1)=A(i,i+1); k(i+1,i)=A(i,i+1); end A=k;  64 Để tính ma trận bađường chéo theo phép biếnđổi Householder ta dùng chươngtrình cthousetrans.m:  clearall,clc a=[1234;2935;3337;4576]; b=householder(a) d=diag(b) c=diag(b,1)  §3.BIẾNĐỔITHÀNHMATRẬNHESSENBERG  Nếumatrận[A]làmatrậnđốixứng,phươngphápHouseholdercóthể đượcsửdụngđểbiếnđổinóthànhmatrậnđồngdạngđốixứngbađường chéo.Nếumatrận[A]khôngđốixứ ng,phươngphápHouseholderbiếnđổi matrận[A]thànhmatrậnđồngdạngHessenberg.  MatrậnHessenberglàmatrậncódạng:  [] 11 12 13 1,n 21 22 23 2n 32 33 2n nn aaa a aaa a 0a a a H 000 a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ L L L MMML M L  TathựchiệnphépbiếnđổiHouseholdertrênmatrận[A]vàcóđược:  [Q][H][Q’]=[A] trongđó[Q]làmatrậntrựcgiao(tagọiđâylàphântíchHessenbergmatrận [A]). Thuậttoáncóthểtóm lạinhưsau: ‐Cho[Q]làmatrậnđơnvịcấpn ‐Đặt + = ⎡⎤ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦ L T i2,i n,i X0a a ‐Tính [] X.Choα= [] X nếuai+2,i>0vàα=‐ [ ] X nếuai+2,i<0 ‐Cho − =α+ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦ L T 2ni U0 x x ‐Tính [] β= 2 U 2  ‐Tính [] [] [] [] ′ =− β UU PE  65 ‐Tính [] [][] =QQP ‐Tính [ ] [][ ][] =APAP Taxâydựnghàm hessenberg()đểthựchiệnphépphântíchtrên:  function[H,Q]=hessenberg(a) [n,n]=size(a); q=eye(n); fork=1:n‐2 alfa=0; forj=k+1:n alfa=alfa+a(j,k)^2; end alfa=sign(a(k+1,k))*sqrt(alfa); u=zeros(1,n); u(k+1:n)=a(k+1:n,k); u(k+1)=u(k+1)+ alfa; beta=.5*u*uʹ; p=eye(n); fori=1:n p(i,1:n)=p(i,1:n)‐(u(i)*u(1:n))/beta; end q=q*p; a=p*a*p; end H=a; Q=q;  Đểphântíchmatrậntadùngchươngtrìnhcthessenberg.m:  clearall,clc a=[1234;5674;648 9;3579]; [H,Q]=hessenberg(a)  §4.PHÂNTÍCHMATRẬNTHEOPHƯƠNGPHÁPDOOLITTLE 66 Mộtmatrậnkhôngsuybiến[A]gọilàphântíchđượcthànhtíchhaima trận[L]và[R]nếu:  [A]=[L][R] Việcphântíchnày,nếutồntại,làkhôngduynhất. Nếuma trận[L]cócácphầntửnằmtrênđườngchéochínhbằng1,tacó phépphântíchDoolittle. Nếumatrận[R]cócácphầntửnằmtrênđườngchéochínhb ằng1,ta cóphépphântíchCrout. Nếu [R]=[L] T (hay[L]=[R] T )tacóphépphântíchCholeski.  Vớimatrậnbậc3,[L]và[R]códạng: [] [] 11 12 13 21 22 23 31 32 33 100 rrr Ll 10 R0rr ll1 00r ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ == ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦  Đểtìml ijvàrijtathựchiệnphépnhân.Saukhinhântacó: [] 11 12 13 11 21 12 21 22 13 21 23 11 31 12 31 22 32 13 31 23 32 33 rr r Arlrlr rlr rl rl rl rl rl r ⎡⎤ ⎢⎥ =++ ⎢⎥ ⎢⎥ +++ ⎣⎦  BâygiờtathựchiệnphépkhửGaussđốivớiphươngtrìnhtrên.Đầutiênta chọnhàngthứnhấtlàmtrụvàthựchiênphépbiếnđổi:  hàng2‐l 21×hàng1(khửa21)→hàng2  hàng3‐l 31×hàng1(khửa31)→hàng3 kếtquảtacó:  [] 11 12 13 12223 22 32 23 32 33 rr r A0r r 0rl rl r ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ + ⎣⎦  Sauđótalấyhàngthứhailàmtrụvàthựchiệnbiếnđổi:  hàng3‐l32 ×hàng2(khửa32)→hàng3 vàcó:  [] 11 12 13 22223 33 rrr A0rr 00r ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦  Nhưvậytathấyngayrằngmatrận[R]làmatrậncóđượckhithựchiện loạitrừGausstiếnma trận[A]vàcácphầntửcủa[L]làcácnhânt ửdùngkhi 67 loạitrừa ij.Điềuđócónghĩalàđểtìmmatrận[L]và[R]tadùngphépkhử Gausstiến.Taxâydựnghàm doolittle()đểthựchiệnloạiphântíchDoolittle.  function[l,r]=doolittle(A) %PhantichmatranAthanhA=L*U n=size(A,1); u=zeros(n); fork=1:n‐1 fori=k+1:n ifA(i,k)~=0.0 lambda=A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)‐lambda*A(k,k+1:n); A(i,k)= lambda; end end end l=tril(A); fori=1:n l(i,i)=1; end l=triu(A); fori=1:n l(i,i)=A(i,i); end  §5.PHÂNTÍCHMATRẬNTHEOPHƯƠNGPHÁPCROUT TươngtựnhưthuậttoánDoolittle,tacóthểphântíchmatrận[A]theo thuậttoánCroutthànhtíchcủamatrận[L]và[R].Cácmatrậnbậc3theo Croutcódạng:   [] [] 11 12 13 21 22 23 31 32 33 l00 1rr Lll 0 R01r lll 001 ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦  Đểtìml ijvàrijtathựchiệnphépnhân.Saukhinhântacó: [...]... [A][X] = λ[X]  Nếu  ta  đặt  [U]  là một  ma trận mà  các  cột  của  nó  là  các  vec  tơ  riêng  của  ma trận [A] và ma trận [Λ] là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo  chính là λi thì:    [A][U] = [Λ][U]  hay:    [A] = [U][Λ][U]‐1  Dạng này của ma trận được gọi là dạng phân tích theo giá trị riêng và vec tơ  riêng. Ta dùng chương trình cteigdecom.m để phân tích ma trận:     clear all, clc  76 a = [ 1  3  5; 3  4  9;  5  9  6]; ... function Z = nulld(A, small)  norma = sqrt(mean(mean(abs(A))));  tiny = norma*eps;  if nargin . 58 CHƯƠNG 2: MA TRẬN  §1.MỘTSỐKHÁINIỆM  ( Ma trận [A]gọilà đối x ứngnếu[A] T =[A] (Chomột ma trận vuông[A],cấpn.Tanói ma trận [A]khôngsuybiến (nonsingular)nếu ma trận cóthểnghịchđảođượchaynóicáchkhác,định thứccủa ma trận khác không. .  Tađịnhnghĩa ma trận xácđịnhâmvànửaxácđịnhâmmộtcáchtương tự. (Hạngcủa ma trận làcấpcủa ma trận concủa ma trận ấycóđịnhthức khác không còn mọi ma trận con cấp cao hơnđều cóđịnh thưc bằng không (ma trận conlà ma trận cóđược bằngcáchxoámộtsốhàngvàcộtcủa ma trận banđầu).  §2.BIẾNĐỔIHOUSEHOLDER 1.