Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất
Quá trình tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài được phân tích thông qua lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Các quá trình tán xạ này được mô tả bằng S-ma trận, cung cấp cái nhìn sâu sắc về tương tác giữa electron và trường điện từ.
S = T exp ( ∫ L ( x ) d 4x ) ; L ( x ) = ieN ( ψγàψ Aext ) ; int int à (1.1)
( x ) d 4x ) = T ( ie ∫ N ( ψγàψ ) Aext ( x ) d 4x ) ; trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến có thể viết : p ' r ' | S | pr = p ' r ' | pr + ieT p ' r' | ∫ N ( ψγàψ ) Aext ( x ) d 4 x
: là thế điện từ; p, p ' : xung lượng của electron ở trạng thái đầu và cuối ; r, r '
: hì nh chiếu spin của electron ở trạng thái đầu và cuối lên phương của xung lượng;
Quá trình tán xạ có thể được mô tả thông qua các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, tương ứng với công thức (1.2) Giản đồ Feynman ở gần đúng bậc thấp nhất (a) dựa trên điện tích e, trong khi các giản đồ Feynman cao hơn (bổ chính) mô tả các bậc cao hơn của quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1).
Hình 1.1: Giản đồ Feynman diễn tả quá trình tán xạ electron trong trường điện từ ngoài. đường electron trường điện từ ngoài đường photon
Hình vẽ 1.1 mô tả các giản đồ tương tác của electron với trường điện từ Giản đồ (1.1a) thể hiện electron có xung lượng p bay vào vùng trường điện từ và bị tán xạ ra với xung lượng p’ ở gần đúng bậc thấp nhất Trong khi đó, giản đồ (1.1b) mô tả quá trình electron tương tác với trường điện từ ở gần đúng bậc 3, nơi electron xung lượng p phát ra một photon ảo có xung lượng k và hấp thu photon đã bức xạ trước đó, rồi bay ra khỏi trường điện từ với xung lượng p’ Các giản đồ (1.1a, 1.1b, 1.1c, 1.1d) được gọi là “giản đồ thang” và sẽ được nghiên cứu trong luận văn này, trong khi các giản đồ (1.1e, 1.1f, 1.1g, 1.1h, 1.1m) mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với trường điện từ.
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
Vì A ext (x) là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài p ' r ' | | pr , đồng thời khai triển các toán tử ψ
(x) và ψ (x) thành các toán tử sinh hủy hạt.
N ( ψ (x) γ ψ (x) ) = N ψ ( +) γ ψ ( +) + ψ ( −) γ ψ ( +) + ψ ( −) γ ψ ( −) + ψ ( +) γ ψ ( −) , à à à à à với: ψ ( ) ( x ) :toán tử hủy e + ; ψ ( ) ( x ) :toán tử hủy e − ; ψ (−) ( x ) :toán tử sinh e − ; ψ (−) ( x ) :toán tử sinh e +
=ψ ( +) γ à ψ ( +) +ψ ( −) γ à ψ ( +) +ψ ( −) γ à ψ ( −) −ψ ( −) γ à ψ ( +) Xét yếu tố ma trận:
Khi di chuyển các toán tử sinh electron c + (p) từ phải sang trái và các toán tử hủy electron c r ' (p ') từ trái sang phải, các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư trong (1.4) sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại số hạng thứ hai đóng góp vào yếu tố ma trận.
Thay (1.5) vào (1.3) để xác định yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron dưới tác động của trường điện từ bên ngoài trong lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp nhất.
: spinơ của electron ở trạng thái đầu ; u ( p )
Chú ý có thể viết yếu tố ma trận (1.6) dưới dạng tương tự: p' r' S 1 pr = δ ( p' 0 − p 0 )
R fi được xác định bằng công thức:
Biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ tĩnh (trường thế Coulomb) được xác định theo lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất.
Giữa R fi và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối do tương tác M fi có mối liên hệ như sau: à 1
P i và P f là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn, mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức f S −1 i
Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7) có thể được coi như là tổng quát.
Trong trường hợp tán xạ của electron trên thế Coulomb, thì M fi có dạng:
2π à u r ( p )A ext ( p' − p ) (1.9) Thay (1.9) vào công thức tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân hạt trên trường ngoài dσ , đồng thời chú ý v p
Lưu ý ex t à là thực khi à =
1,2,3 và là ảo khi à = 4 , đồng thời γ k (k=1,2,3) phản giao hoán với γ
Theo định luật bảo toàn năng lượng chúng ta tính tích phân: p' 0 = p 0 suy ra
2 − p 2 = −m 2 trong phép biến đổi trên, chú ý rằng: p 0
Chú ý từ công thức (1.15) thì tiết diện vi phân của quá trình tán xạ có thể được viết dưới dạng: d Ω 2 Sp
Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16)
Trong công thức (1.17), chúng ta đã loại bỏ số hạng chứa im do vết của các ma trận Dirac γ với số lẻ bằng không Để tính toán chính xác, cần áp dụng các công thức tính vết thông thường.
Sp ( γ àγ ρ γ v γ σ ) p ρ p' σ = 4 ( p à p' v + p v p' à − δ à v ( pp' ) ) , (1.18) ta thu được kết quả:
Thay các công thức (1.19) vào (1.16) ta có:
trong đó q là xung lượng truyền và q = p' − p tán xạ và độ lớn của xung lượng :
và ta có thể biểu diễn nó qua góc p' = p = p
Thay (1.21) vào (1.20) và rút gọn ta được:
Trong phép gần đúng phi tương đối tính p 2
m 2 và động năng được ký hiệu
Công thức (1.23) cải tiến so với công thức Rutherford bằng cách bổ sung thành phần p 2 2 θ, trong đó m 2 cos được hiểu là đóng góp từ sự tồn tại của spin electron Nhờ đó, kết quả thu được cho tán xạ electron trong trường Coulomb trở nên chính xác hơn so với kết quả của Rutherford.
TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI
Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất
Trong quá trình tán xạ đàn tính, các photon thực đóng góp quan trọng, được thể hiện qua các giản đồ Feynman Những giản đồ này mô tả cách mà các photon thực tham gia vào quá trình tương tác, giúp hiểu rõ hơn về cơ chế tán xạ trong vật lý.
Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ trong trường điện từ ngoài bức xạ photon thực “mềm”
Hình 2.1 mô tả quá trình tương tác của electron với điện từ trường Trong hình (2.1a), electron có xung lượng p bị tán xạ sau khi phát ra một photon xung lượng k, dẫn đến việc năng lượng của electron giảm xuống còn p’ Hình (2.1b) cho thấy electron bức xạ một photon k, làm giảm xung lượng trước khi tiến vào điện từ trường bên ngoài, sau đó bị tán xạ và bay ra với xung lượng p’.
Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có: d σ B = ( 2 π
Để tính toán ảnh hưởng của sự định hướng spin của electron trong trạng thái cuối, chúng ta cần lấy tổng các giá trị hình chiếu spin của electron ở trạng thái này Đồng thời, chúng ta cũng phải tính trung bình các giá trị hình chiếu spin của electron trong trạng thái đầu, đặc biệt khi chùm electron ở trạng thái đầu là chùm không phân cực.
Theo quy tắc Feynman ta có các hàm truyền: i ( p − k ) + m ip
Thay (2.3) và (2.4) vào (2.2) ta được:
( 2 π ) 3 2 k.p' k.p khi đó ta có biểu thức:
Đàn tính là giá trị tối thiểu của tiết diện tán xạ đàn tính, được xác định từ giản đồ Feynman (1a) và công thức (1.22) Tích phân này được thực hiện theo biến k trong vùng nghiệm cho phép.
Trong đó tiết diện tán xạ δ B : k < ∆E ; ∆E là năng lượng phân giải mà thực δ = 2 d
Biểu thức tổng quát của δ B có dạng: δ = 2 π d n k δ( 2 ) θ ( ) θ ( ∆ − ) 2 p p '
Tích phân này chỉ phụ thuộc vào n-4 thành phần của k trong argument của hàm δ.
Trong biểu thức của δ B ta có phép biến đổi sau:
Px = xp + p ' ( 1− x ) Để tính tích phân (2.9) ta cần chuyển tích phân theo k và k 0 thành tích phân theo k và ω, với ωlà độ dài vectơ (n-4) chiều của không gian con (n-4) chiều.
Trong biểu thức (2.9) thì k 0 chính là giá trị ω, viết lại biểu thức δ B dạng: d 4 k
Tích phân (2.12) trong hệ toạ độ cực sử dụng công thức:
Kết quả ta thu được:
Tích phân theo k và ωvới sự trợ giúp của công thức [9] u à − 1 v ( à + v ) −u m
Bằng phương pháp này ta tìm được tiết diện tán xạ của bức xạ hãm như sau: a ∆E
đại lượng βlà vận tốc của electron và θlà góc tán xạ.
Phương pháp λ
Trong lý thuyết trường của QED, hiện tượng phân kỳ hồng ngoại thường xảy ra khi các tích phân phân kỳ ở vùng năng lượng xung lượng thấp Để đảm bảo các tích phân này hội tụ, cần quy cho photon một khối lượng bổ trợ λ Trong quá trình này, hàm truyền của photon sẽ được thay thế tạm thời trong biểu thức dưới dấu tích phân.
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét trường hợp với 2 m i n m 2, trong đó m đại diện cho khối lượng của các hạt lepton Điều này tương đương với việc cắt tích phân tại một giới hạn dưới nhất định khi min, và trong kết quả cuối cùng, ta đưa λ tiến tới 0.
Từ (2.8) ta dẫn lại công thức tính tiết diện tán xạ: δ=
Chính tích phân này chứa phân kỳ hồng ngoại mà ta cần xem xét. λ min k + λ λ = k ≈ min
Bây giờ, để tiện cho việc tính toán, ta thay thế p
0 giới hạn để tích phân
(2.18) là phân kỳ hồng ngoại Khi đó ta có thể viết lại tích phân trên: λ
) ở đây dΩ là yếu tố góc đặc chứa xung lượng photon k Bây giờ ta sử dụng đồng nhất thức:
Bây giờ, ta có thể chứng minh rằng: d
Thật vậy, trong toạ độ cầu ta thay dΩ= sin θ d θ d ϕ,
t ( π ) = E + p k thay (2.25) vào (2.24) ta được: dΩ t(π dt ) 2 π 1 t ( π )
Vậy công thức (2.23) đã được chứng minh. Áp dụng (2.23) cho (2.22) ta thu được:
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng: ε k 2 d k 1 2 ε E 1 p ; (2.27)
E2 p2E2 p2 x x 2 p2 x 2E2 x 2 p2 thay (2.30) vào (2.29) tha thu được: x ε
Tiếp theo, ta tính tích phân thứ hai: ε
1− y 2 thay vào (2.33) ta thu được:
0 tha y kết quả thu đư ợc của tíc h phâ n I 1 côn g thứ c (2.
27) đã đư ợc chứ ng mi nh. ở (2 3 1) , v à tí c h p h â n
Sử dụng (2.27) vào (2.26), suy ra :
Trong hệ nghỉ ta có:
E 2 = mch2y , = msh2y khi đó thay vào (2.38) :
( 1+ z ) m + ( 1− z ) mch2 y = m 1+ ch2 y + z ( 1− ch2y ) = m ch2 y − z.sh2 y z 2 2
= 2m2chy ∫ ( chy + zshy ) dz + ∫ ( chy − zshy ) dz = 2m2chyshy ln
( chy − shy ) m 2 sh2y mặt khác :
( chy + zshy ) y dv ct hy − th v
→ J = 2 ∫ ch 2 y thy − thv ( y − v ) = ch 2 ythy ∫ sh ( y − v ) ( y
Cuối cùng ta thu được: δ = e
Để tiện cho việc so sánh với kết quả tính toán bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ở trên, ta đặt 2 y = th −1 β và cth2 y = 1
là năng xung lượng của hạt electron Từ (2.40) ta suy ra: δ = C ln 1
biểu thức này phân kỳ khi λ → 0 , trong đó:
L ( x ) = x ln 1− t là hàm số Spence
Cuối cùng, chúng ta tiến hành so sánh kết quả tách phân kỳ thu được từ hai phương pháp khác nhau: phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp λ min.
Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên δ = 2 ∫ d k 2 p p '
So sánh hai kết quả ta thấy phân kỳ bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên tồn tại khi n → 4 , còn bằng phương phápλ min là khi λ → 0
Tiết diện tán xạ vi phân
Giá trị thặng dư của (2.17) khi n=1 ta nhận được:
Từ (1.41) và (2.42) tiết diện tán xạ vi phân trong vùng hồng ngoại được cho bởi công thức:
Ta thấy rằng khi n=4 thì (2.43) có giá trị: a q 2 1
Kết quả 2.44 cho thấy rằng các phân kỳ hồng ngoại của các bổ chính trong bài toán tán xạ gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn đã bị triệt tiêu lẫn nhau.
Chúng ta tính giá trị biểu thức δ IR trong giới hạn tương đối tính, β = P
Tương tự, trong giới hạn tương đối tính, q 2
) là hàm phụ thuộc góc tán xạ / 10/.
Tiết diện tán xạ vi phân của electron trong trường điện từ bên ngoài được mô tả gần đúng nhất theo lý thuyết nhiễu loạn.