Một số định lý giới hạn trong lý thuyết martingale

Martingale và các tính chat

Đ%nh nghĩa Martingale và các ví du

Gia su (Ω, F, P ) là không gian xác suat, G ⊂ F là σ−trưòng con cna

F M®t bien ngau nhiên X đưoc GQI là tương thích vói G neu X là G −đo đưoc Trong trưòng hop ay, ta viet X ∈ G

M®t dãy F n , n = 1, 2, đưoc GQI là m®t dãy tăng các σ− trưòng neu

1 Cho dãy tăng các σ− trưòng F n Dãy các bien ngau nhiên (X n ) đưoc

GQi là tương thích vói dãy F n neu vói moi n, X n ∈ F n

2 Dãy (X n ) đưoc GQI là thu®c L p và ta viet (X n ) ∈ L p neu vói MQI n thì

3 Dãy X n ∈ L 1 đưoc GQI là m®t martingale đoi vói dãy F n neu nó tương thích vói dãy F n và vói MQI m < n thì

4 Dãy X n ∈ L 1 đưoc GQI là m®t supermartingale (martingale trên) đoi vói dãy F n neu nó tương thích vói dãy F n và vói MQI m < n thì

5 Dãy X n ∈ L 1 đưoc GQI là m®t submartingale (martingale dưói) đoi vói dãy F n neu nó tương thích vói dãy F n và vói MQI m < n thì

Thắt vắy, do F n ⊂ F n+1 nờn theo tớnh chat cna kỳ vQNG cú đieu kiắn thỡ

Tiep tuc như vắy, bang quy nap ta cú vúi MQI k thỡ

Tương tn cho cỏc đieu kiắn

2 Dãy(X n ) là martingale trên đoi vói dãy F n khi và chi khi −X n là martingale dưói đoi vói dãy F n

3 Gia su σ(X) n là trưòng bé nhat sinh boi {X m , m ™ n} Hien nhiên dãy

Dãy (σ(X) n ) là một dãy tăng và được định nghĩa là σ-trường tự nhiên sinh bởi dãy (X n ) Dãy (X n ) luôn tương thích với dãy (σ(X) n ) Chúng ta nói rằng (X n ) là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ-trường tự nhiên.

Ví dn 1.1.1 Cho dãy σ−trưòng tăng F n và gia su X là m®t bien ngau nhiờn X ∈ L 1 Đắt X n = E(X| F n ) Khi đú, vúi m < n ta cú do tớnh chat cna kỳ v QNG cú đieu kiắn

Vắy (X n )là mđt martingale đoi vúi F n

Vớ dn 1.1.2 Cho (Y n ) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp vúi EY n = 0 vúi

MQI n Gia su F n = B(Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tőng riêng

S n = Y 1 + Y 2 + ã ã ã + Y n Lắp thành martingale đoi vúi F n Thắt vắy do S n ⊂ F n và Y n+1 đđc lắp vúi

Vớ dn 1.1.3 Cho (Y n ) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp và EY n = 1 vúi MQI n Gia su F n = B(Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tích riêng

U n = Y 1 Y 2 Y n lắp thành martingale đoi vúi F n Thắt vắy do U n ∈ F n và U n+1 đđc lắp vúi

Với dãy ngẫu nhiên (Y_n) được định nghĩa từ các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng E(Y_n) = 0 và phương sai Var(Y_n) = σ^2, ta có G_n = σ^2 là phương sai của dãy (Y_1, , Y_n) Giả sử (V_n) là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho với mọi n > 1, V_n thuộc F_(n−1) Xét dãy (X_n) như sau.

Khi đú (X n ) là mđt martingale đoi vúi dóy (F n ) Thắt vắy, vỡ V n+1 ∈ F n ,

Các tính chat

Định lý 1.1.5 khẳng định rằng cho {Z_n, F_n, n ≥ 1} là một martingale dưới L1-bảo toàn, tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho lim n→∞ Z_n = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞ Nếu martingale là khả tích đều, thì Z_n hội tụ tới Z trong không gian xác suất.

Nếu {Z n , F n } là một martingale trong không gian L 2, thì Z n hội tụ tới Z trong không gian L 2 Định lý 1.1.6 phát biểu rằng nếu (X n ) là một martingale đối với F n và Φ là một hàm liên tục sao cho Φ(X n ) thuộc L 1, thì (Φ(X n )) cũng là một martingale đối với F n.

Chúng minh Theo bat đang thúc Jensen ta có vói m < n Φ(X m ) = Φ(E(X n |F m )) ™ E(Φ(X n )|F m )

Nói riêng |X n | là martingale dưói và neu X n ∈ L p , p > 1 thì |X| p là martingale dưói. Đ%nh lý 1.1.7.

1 Cho {X n , F n } là m®t martingale Khi đó, kỳ VQN g EX n là m®t hang so

2.Cho {X n , F n } là m®t martingale dưái Khi đó, dãy kỳ VQNG a n = EX n là dãy không giam theo n.

3 Cho {X n , F n } là m®t martingale và X n ∈ L p , p > 1 Khi đó, dãy u n = E|X n | p là dãy không giam theo n.

Thắt vắy, vúi m ™ n ta cú

EX m = E((EX n |F m )) = EX n neu X n là m®t martingale

Neu X n là m®t martingale dưói thì

1.2 Các bat đang thÉc cơ ban

1.2.1 M®t so bat đang thÉc cơ ban

Có nhiều bậc đang thúc liên quan đến martingale và martingale dưới Dưới đây sẽ trình bày một vài bậc đang thúc cơ bản nhất Các bậc đang thúc này sẽ được sử dụng để thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn cho martingale Bắt đầu bằng một kết quả tổng quát hóa và chắc chắn bậc đang thúc Kolmogorov Định lý 1.2.1 nêu rằng nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với mọi số thực λ, ta có: λP(max S_i > λ) ≤ E[S_n | (max S_i > λ)] với i ≤ n.

Cỏc sn kiắn E i là F i -đo đưoc và rũi nhau Khi đú λP (E) ≤ Σ

Neu {S i , 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì {|S i | p , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưói.

Bang cách áp dung Đ%nh lý 1.2.1 cho martingale dưói này, ta thu đưoc

Nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mọi p ≥ 1 và λ > 0, ta có λ^p P(max |S_i| > λ) ≤ E|S_n|^p Định lý 1.2.1 có ứng dụng theo một hướng khác, dẫn đến kết quả sau Định lý 1.2.3 (Bát đang thúc Doob) cho biết rằng nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mọi p > 1, ||S_n||_p ≤ max |S_i| ≤ q||S_n||_p, trong đó p^(-1) + q^(-1) = 1 và ||S_n||_p = (E|S_n|^p)^(1/p), n ≥ 1 là chuẩn L^p của S_n ∈ L^p.

Chúng ta cần chứng minh về trái cây đang thúc bằng cách chú ý đến định lý 1.2.1 và khái niệm về bậc đang thúc Holder.

Neu −∞ < a < b < ∞, kớ hiắu v = v(a, b, n) là so lan vưot qua tự m®t giá tr% ≤ a tói m®t giá tr% “ b cna dãy {S i , 1 ™ i ™ n}, khi đó v đưoc

GQI là so lan cat đoan [a, b] (tù dưói lên trên) boi dãy {S i } Đ%nh lý 1.2.4 (Bat đang thỳc cat ngang) Ký hiắu v là so lan cat đoan compact

[a, b] bái martingale dưái {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} Khi đó

Chúng minh Do {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưói, nên {(S i − a) +

Để chứng minh rằng với martingale không âm {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n}, số lần cắt đoạn [a, b] của dãy {S i} bằng số lần cắt đoạn [0, b − a] của {(S i − a) +}, ta cần chỉ ra rằng bE(v) ≤ E(S n − S 1) trên đoạn [0, b] Đặt τ 0 = 1, τ 1 là giá trị j nhỏ nhất sao cho S j = 0, τ 2i là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ 2i−1 < j ≤ n sao cho S j ≥ b (với i ≥ 1), và τ 2i−1 là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ 2i−2 < j ≤ n sao cho S j = 0 (với i ≥ 1).

2) Ký hiắu l là giỏ tr% i lún nhat sao cho τ i xỏc đ%nh đỳng (1 ≤ l ≤ n), và đắt τ i = n vúi i > l Khi đú τ n = n, và n−1

Gia su rang i le Neu i > l thì i chan i le neu i = l thì và neu i > l thì

([l/2] ký hiắu phan nguyờn cna l/2.) Bien ngau nhiờn τ i , 1 ≤ i ≤ n, tao thành mđt dóy khụng giam cỏc điem dựng đoi vúi σ-trưũng F i , và do vắy {S τ i ,

F τ i , 1 ≤ i ≤ n} là mđt martingale dưúi Suy ra rang moi E(S τ i+1 − S τ i ) ≥ 0, và vỡ vắy

Ket hop vói (1.3) ta suy ra đang thúc (1.2).

Ta áp dung Đ%nh lý 1.2.4 đe thu đưoc m®t ket qua thay the cho Đ%nh lý 1.2.1. Đ%nh lý 1.2.5 Neu {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale có kỳ VQNG 0, thì vái mői λ > 0, λP max |S i | > 2λ Σ ≤ λP (|S n | > λ) + E[(|S n | − 2λ)I(|S n | ≥ 2λ)]

Chỳng minh Đắt E n = {min i≤n S i ≤ −2λ} và S 0 = 0, ký hiắu F 0 là σ- trưòng thông thưòng Do E(S 1) = 0, dãy mo r®ng {S i , F i , 0 ≤ i ≤ n} là m®t martingale Ký hiắu v là so vưot qua đoan [−2λ, −λ] boi {S i , 0 ≤ i ≤ n}.

Tù Đ%nh lý 1.2.4 ta có

Bang cách xét so lan cat đoan [−2λ, −λ] boi {S i , 0 ≤ i ≤ n} ta suy ra λP max S i > 2λ Σ ≤ E(−S n + 2λ) + − 2λ + λP (S n > λ).

Công hai bậc đang thúc cuối cùng lại ta thu được bậc đang thúc đầu tiên trong (1.4), và bậc đang thúc thứ hai thu được sau một số thao tác nhỏ.

1.2.2 Bat đang thÉc hàm bình phương

Bat đang thúc hàm bình phương được phát triển bởi Burkholder và một số tác giả khác Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số bồ đề quan trọng, trong đó có bat đang thúc Burkholder và bat đang thúc Rosenthal, vì chúng được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực này Cụ thể, ta có công thức Đắt X 1 = S 1 và ký hiệu X i = S i − S i−1 với 2 ≤ i ≤ n, thể hiện mối quan hệ giữa hai martingale.

Bo đe 1.2.6 Gia su {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là mđt martingale L 1 -b% chắn hoắc martingale dưỏi khụng õm Vỏi λ > 0 xỏc đ%nh thài điem dựng τ bỏi τ =  min{i ≤ n | |S i | > λ} neu tắp này khỏc rőng,

Chúng minh Vói bat kỳ m ≤ n + 1 m−1 Σ X 2 + S 2 2S 2

= 2S m S m−1 − 2 S j−1 X j j=2 trong đú ta đắt S n+1 = S n và X n+1 = 0 Núi riờng, τ−1

= i=2 E[S i−1 E(X i | F i−1)I(τ ≥ i)] ≥ 0, n Σ vói dau bang đúng trong trưòng hop martingale Cho nên τ−

Hai bat đang thúc cuoi cùng đưoc suy ra tù ket qua |S τ−1 | ≤ λ và {|S τ |, |S n |} là m®t martingale dưói vói σ-trưòng {F τ , F n }.

Bo đe 1.2.7 Gia su {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale dưái không âm và đắt

, max S i , i≤n trong đó θ > 0 Khi đó vái mői λ > 0, λP (Y > βλ) ≤ 3E[S i I(Y > λ)], (1.5) trong đó β = (1 + 2θ 2 ) 1/2 , và vái mői 1 < p < ∞,

Chúng minh Vì β > 1, ve trái cna (1.5) không vưot quá λP (max S n > λ) + λP θ i≤n n i=

Su dung Đ%nh lý 1.2.1 ta cú the chắn so hang đau tiờn boi

{T i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưúi khụng õm Ký hiắu Y 1 = T 1 và Y i T i − T i−1 Ta se chúng minh rang

Tự đõy suy ra so hang thỳ hai trong (1.7) b% chắn boi n λP i= 1

≤ 2E[S n I(Y > λ)], su dung Bő đe 1.2.6 đe thu đưưoc bat đang thúc thú hai Ket hop vói bat đang thúc (1.8) ta thu đưoc (1.5) Bat đang thúc (1.6) đưoc suy ra tù (1.5):

Neu θ = p −1/2 , thì β p = (1 + 2/p) p/2 < e < 3, và suy ra (1.6).

Ta còn phai chúng minh 1.9 Xét thòi điem dùng

X 2 Σ1/2 > λ Σ neu tắp này khỏc rong v = j=1 j

Trong tắp o ve trỏi cna (1.9), max i≤n T i ≤ λ và n v−1 n β 2 λ 2 < θ 2 Σ

Bo đe 1.2.8 Cho X và Y là các bien ngau nhiên không âm và gia su β > 1, δ > 0, và ε > 0 thóa mãn rang vái MQI λ > 0,

Khi đó neu 0 < p < ∞ và ε < β −p thì

= εβ p E(X p ) + β p δ −p E(Y p ), kéo theo (1.11). Đ%nh lý 1.2.9 (Bat đang thúc Burkholder) Neu {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale và 1 < p < ∞, khi đó ton tai các hang so C 1 và C 2 chs phn thu®c vào p sao cho n

Chỳng minh Đắt T i = E(S + | F i ) và U i = E(S − | F i ), 1 ≤ i ≤ n Dóy {T i , F i } và {U i , F i } là cỏc martingale khụng õm; đắt T 0 = U 0 = 0, Y i = T i − T i−1, và Z i = U i − U i−1 , i ≥ 1, là hiắu cỏc martingale Vỡ X i = Y i − Z i , theo bat đang thúc Minkowski, ta có n i=

1/2 qǁS n ǁ p , thu đưoc ve trỏi cna (1.12) Đe thu đưoc ve phai, đắt

Dóy R i = E(R n | F i ), 1 ≤ i ≤ n, là martingale cú hiắu W 1 = R 1 và W i R i − R i−1 , i ≥ 1 Bây giò, ǁS n ǁ p = E(R n S n ) E n i= 1

X Y Z Σ Σ Áp dung bat đang thúc o ve trái cna (1.12) cho martingale {R i , F i } thu đưoc

Tù đó, ve trái cna (1.12) đưoc suy ra tù bat đang thúc (1.13).

20 Đ%nh lý 1.2.10 Neu {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale và p > 0, khi đó ton tai m®t hang so C chs phn thu®c vào p sao cho

Chỳng minh Đ%nh lý đưoc suy ra trnc tiep tự Bő đe 1.2.7 neu ta thiet lắp bat đang thúc (1.10) vói n

, max |X i |   và ε = δ 2 /(β − δ − 1) 2 (β > 1, 0 < δ < β − 1) G QI I k là hàm chi cna sn kiắn i≤k−1 và đ%nh nghĩa i≤k−1 i i i=1

≤ δ 2 λ 2 P max |S i | > λ Σ và do đó P (X > βλ; Y ≤ δλ) ≤ (β − δ − 1) −2 δ 2 P (X > λ), chính là (1.10). i≤ n

21 Đ%nh lý 1.2.11 (Bat đang thúc Rosenthal) Neu {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale và 2 ≤ p < ∞, khi đó ton tai các hang so C 1 và C 2 chs phn thu®c vào p sao cho

Chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại hằng số K không phụ thuộc vào p, dựa trên định lý 1.2.10 Việc này yêu cầu chúng ta phải chứng minh một cách rõ ràng và có hệ thống.

Su dung (1.12) và bat đang thúc đoi vói so thnc x i , n |x i |

, p ≥ 2, Đieu này thiet lắp ve trỏi cna bat đang thỳc. Σ. Σ i

Luắt so lỏn và cỏc đ%nh lý hđi tn

2.1 Đ%nh lý h®i tn martingale Đ%nh lý 2.1.1 Neu {S n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale dưỏi L 1 -b% chắn, thỡ

S n h®i tn hau chac chan tái m®t bien ngau nhiên S nào đó vái E|S| < ∞.

Chỳng minh Đ%nh lý hđi tu trờn chớnh là hắ qua đơn gian cna đ%nh lý

1.2.4 Ký hiắu v n là v trong Đ%nh lý 1.2.4 và đắt v ∞ = lim n→∞ v n (huu han hoắc vụ cựng) Bat đang thỳc (1.1) và tớnh L 1-b% chắn kộo theo

(b − a)E(v ∞ ) ™ sup E|S n | + |a| < ∞ nên v ∞ < ∞ hau chac chan vói MQI giá tr% cna a và b Suy ra

P (lim inf S n < a < b < lim sup S n ) = 0 vói MQI a và b, công trên tat ca giá tr% huu ti ta suy ra

P (lim inf S n < lim sup S n ) = 0, nên S n h®i tu hau chac chan Giói han phai huu han hau chac chan vì theo bő đe Fatou ta có

E|S n | = 2E(S + n ) − E(S n ) ≤ 2E(S + n ) − E(S 1), n dóy {E|S n |} b% chắn khi và chi khi {E(S + )} b% chắn Neu {S n } kha tớch đeu (vớ du, neu {S n } b% chắn đeu), thỡ tat nhiờn sn hđi tu trong Đ%nh lý

2.1.1 là sn h®i tu trong L 1 cũng là h®i tu vói xác suat 1 Ket qua tiep theo là ít hien nhiên hơn.

Hắ qua 2.1.2 Neu {S n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale dưỏi khụng dương thỡ ton tai giái han lim n→∞ S n = S hau chac chan.

Thắt vắy, trong trưũng hop này E|S n | = −ES n ™ −ES 1

Hắ qua 2.1.3 Neu {S n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale trờn khụng õm thỡ ton tai giái han lim n→∞ S n = S hau chac chan.

Thắt vắy trong trưũng hop này vúi MQI n ta cú

Bây giò ta xét tói van đe h®i tu trong L p cna martingale.

Hắ qua 2.1.4 Cho 1 < p < ∞ Neu {S n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale và sup n E|S n | p < ∞, thì S n h®i tn trong L p và h®i tn hau chac chan ve m®t bien ngau nhiên trong L p (Ket qua không đúng neu p = 1.)

Chúng minh Theo Đ%nh lý 1.2.3,

P (|S n | > λ) ≤ λ −p E|S n | p , h®i tu đeu tói 0 theo n khi λ → ∞ Do đó

E[|S n | p I(|S n | > λ)] ≤ E Σ sup |S m | p Σ I(|S n | > λ) Σ h®i tu đeu tói 0 theo n khi λ → ∞, chi ra {|S n | p } kha tích đeu Cho nên neu

S n h®i tu theo xác suat, nó h®i tu trong L p Đ%nh lý 2.1.1 đam bao S n h®i tu hau chac chan. n n i≤ n Đ%nh lý trên không đúng neu p = 1 Ta hãy xem ví du sau đây

Vớ dn 2.1.5 Cho Y n là dóy cỏc ĐLNN đđc lắp cựng phõn bo vúi

Ta cú EY n = 1 vúi MQI n Đắt X n = Q n

Y i Như đã biet o ví du trong chương i= 1 i= 1 trưóc, X n là m®t martingale Vì EX n = Q n

EY i = 1 nên nó là m®t martingale b% chắn trong L 1 Rừ ràng P (X n → 0) ™ P (∃i : Y i = 0) = 1, do đú X n → 0 vúi xác suat 1 Neu sn h®i tu là trong L 1 thì ta phai có EX n → 0 Mâu thuan.

2.2.1 Luắt so lỏn Đ%nh lý 2.2.1 Cho {S n = Σ n

X i , F n , n ≥ 1} là m®t martingale và {b n } là mđt dóy cỏc hang so dương vỏi b n ↑ ∞ khi n → ∞ Khi đú, ký hiắu X ni X I(|X | ≤ b ), 1 ≤ i ≤ n, ta có b −1 S p 0 khi n → ∞ neu

Nhắn xột 2.2.2 Trong trưũng hop riờng khi X i đđc lắp, cỏc đieu kiắn bờn trờn là đieu kiắn can và đn đe b − n 1 S n → 0.

Trong trường hợp tổng quát, các điều kiện không phải là điều kiện cần Chúng tôi đưa ra ví dụ đơn giản: Gọi Y_i, với i = 1, 2, là các biến ngẫu nhiên, trong đó Y_1 = 1 và với i > 1.

(1 − i −1 ), sao cho EY i = 1 vúi MQI i Đắt

− 1, n ≥ 1, và chỳ ý rang {S n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale cú kỳ vQNG 0, ký hiắu F n là σ-trưòng sinh boi {Y i , 1 ≤ i ≤ n} Ta có i= 1 i= 1

S n → −1 và b 1 S n − n → 0 vói bat kỳ dãy hang so dương {b p n } vói b n ↑ ∞ CHQN b n = n, n ≥ 1 Neu 2 i−1 ≥ n, thì

(i − 1) −1 → ∞ khi n → ∞, do đó trong trưòng hop này (i) không đưoc thoa mãn.

Chỳng minh Đ%nh lý 2.2.1 Đắt S nn = Σ n n

P (|X i | > b n ) → 0, nên ta chi can chúng minh i=1 b −1 S i=1 p 0 Đoi vói (ii), n nn → n b − n 1 E(X ni i=1

| F i−1) → 0, p do đó ta can chúng minh rang n b − n 1 [X ni i=1

Ket qua cuoi cùng đưoc suy ra bang cách áp dung bat đang thúc Chebyshev cùng vói (iii).

2.2.2 Luắt manh so lỏn Đe bat đau cho các ket qua trong muc này, ta bat đau vói hai bő đe cna Toeplitz và Kronecker mà se thưòng đưoc su dung trong n®i dung trình bày cna luắn văn này.

Bo đê 2.2.3 (Toeplitz) đề cập đến một chuỗi số a ni, với 1 ≤ i ≤ k n và n ≥ 1, cùng với các số x i, i ≥ 1, sao cho các MQI i có định Nếu a ni tiến tới 0 với MQI n, và |a ni | ≤ C < ∞, thì khi x n tiến tới 0, ta có Σ i a ni x i cũng tiến tới 0 Hơn nữa, nếu Σ i a ni tiến tới 1, thì x n sẽ tiến tới x, đảm bảo rằng Σ i a ni x i sẽ tiến tới x, và b −1 Σ n a i x i sẽ tiến tới x.

Viắc chỳng minh là đơn gian Neu x n → 0 vúi ε > 0 cho trưúc và n ≥ n ε đn lón, |x n | ≤ C −1 ε nên

Trưũng hop riờng thu đưoc bang cỏch đắt a ni = a i /b n , 1 ≤ i ≤ n.

Bo đe 2.2.4 (Kronecker) Cho {x n , n ≥ 1} là dãy so thnc sao cho x n hđi tn, và cho {b n } là dóy cỏc hang so dương đơn điắu sao cho b n ↑ ∞ Khi đó, b −1 Σ n b i x i → 0.

Bő đe này đưoc chúng minh vì là m®t trưòng hop riêng cna bő đe Toeplitz. Đắt b 0 = 0, a i = b i − b i−1, i ≥ 1, và s n+1 = Σ n x i → s, khi n → ∞ Khi n → ∞, n n n b − n 1 Σ b i x i = b − n 1 Σ b i (s i+1 − s i ) = s n+1 − b − n 1 Σ a i s i → s − s = 0.

Bõy giũ chỳng ta bat tay vào thao luắn luắt manh so lún cna cỏc martingale. Σi Σ i= 1

Nói riêng, neu a i , i ≥ 1 là các so dương và b n Σ n n i=

|anixi| và cho n → ∞ roi ε → 0 ta + ε đưoc ra nhò su dung ket qua thú nhat n i=

1 i= 1 i a ni x i → 0 Khang đ%nh thú hai đưoc suy i i i i= 1 i=

1 a i ↑ ∞ thì x n → x đam Đ%nh lý 2.2.5 Cho {S n = Σ n

VQNG 0 vái E(sup n |X n |) < ∞ Khi đó lim inf n→∞ S n = −∞ hau chac chan và lim sup n→∞ S n = +∞ hau chac chan trờn tắp {Σ ∞ i=1 X i phân kỳ}.

Chỳng minh Đắt v a = min{n | S n > a}, vúi v a = ∞ khi khụng ton tai n như vắy Cỏc bien v a∧n , n ≥ 1, tao thành mđt dóy khụng giam cỏc thũi điem dùng nên {S v a ∧n , F v a ∧n , n ≥ 1} là m®t martingale Ngoài ra,

E|S v ∧n | = 2E(S + ) b% chắn khi n → ∞ Đ%nh lý hđi tu martingale (Đ%nh lý 2.1.1) kộo theo

S v a ∧n hđi tu hau chac chan túi giúi han huu han khi n → ∞, và hắ qua là lim n→∞ S n ton tai và huu han hau chac chan trờn tắp {sup S n ≤ a} Cho a

→ ∞ ta thay rang lim S n ton tai và huu han hau chac chan trờn tắp {sup

∞}, và do đú lim sup S n = +∞ hau chac chan trờn tắp {S n phõn kỳ} Ta suy ra ket qua cna lim inf S n bang cách thay S n bang −S n

Hắ qua 2.2.6 Cho {Z n , n ≥ 1} là mđt dóy bien ngau nhiờn sao cho 0 ≤ Z n

≤ 1 và {F n , n ≥ 1} là m®t dãy tăng các σ-trưàng sao cho Z n là F n -đo đưac. Khi đó n Z n < ∞ hau chac chan khi và chs khi n E(Z n | F n−1) < ∞ hau chac chan.

Chỳng minh Lay F 0là σ-trưũng tam thưũng và đắt

Khi đó {S n Σ n X i , F n , n ≥ 1} là m®t martingale có kỳ v QNG 0 Ngoài ra, lim sup S n ≤ Σ

1 nên theo Đ%nh lý 2.2.5, lim n→∞ S n ton tai và là huu han hau chac chan trờn tắp {Σ ∞ i=1 Z i < ∞}, trong khi đó i= 1

Z i − lim S n hđi tu hau chac chan trờn { ∞ i=1 Z i < ∞} Vúi lắp luắn tương tn, su dung bat đang thúc lim inf S n ≥ − Σ

∞ Z i < ∞ hau chac chan trờn tắp {Σ ∞ i=1 E(Z i | F i−1) < ∞}. Đ%nh lý 2.2.7 Cho {S n = Σ n

X i , F n , n ≥ 1} là m®t martingale có kỳ VQNG Σ

0, bỡnh phương kha tớch Khi đú S n hđi tn hau chac chan trờn tắp {Σ ∞ i=1 E(X 2 |

Chỳng minh Lay F 0là σ-trưũng tam thưũng Co đ%nh K > 0 là đắt τ là so nguyên nho nhat n ≥ 1 sao cho Σ n+1

E(X 2 | F i−1) > K neu ton tai n; neu martingale Ngoài ra, su dung tính chat martingale và vì I(τ ≥ i) là F i−1-đo đưoc,

Tù đ%nh lý h®i tu martingale suy ra S τ∧n h®i tu hau chac chan khi n → ∞.

Do đó S n h®i tu hau chac chan trên {τ = ∞} Cho K ↑ ∞ ta thu đưoc đieu phai chúng minh.

Ta cú the ỏp dung Đ%nh lý 2.2.7 đe thu đưoc dang cú đieu kiắn sau cna đ%nh lý ba chuoi. Đ%nh lý 2.2.8 Cho {S n = Σ n

X_i, F_n, với n ≥ 1, là một dãy biến ngẫu nhiên, trong khi {F_n, n ≥ 1} là một dãy tăng σ-trường thỏa mãn S_n là F_n-đo đếm Đặt c là một hằng số dương Khi đó, S_n hội tụ chắc chắn trên một tập mà i = 1.

. Σ i i i= 1 i= 1 i ngưoc lai đắt τ = ∞ Khi đú {S τ∧n = Σ n

Định lý ba chuỗi là kết quả quan trọng trong xác suất Trong trường hợp X_i được lắp, nú cung cấp điều kiện cần thiết để hành động tuân theo chắc chắn Tuy nhiên, trong tổng quát, có điều kiện cần định lý không cung cấp điều kiện cần để hành động Thắt chặt, lấy trường hợp X_i bảo đảm điều kiện sao cho (i) tồn tại thỏa mãn và sai số chính xác không liên quan Khi đó, không tồn tại điều kiện để kỳ vọng QNG có điều kiện {E(X_i | F_{i−1}), i ≥ i} và phương sai có điều kiện.

(E(X 2 | F i−1) − (EX i | F i−1)) 2 , i ≥ 1 là đieu kiắn can và đn đe Σ i X i h®i tu hau chac chan Đe thay đieu này, lay {S n , n ≥ 1} là dãy các bien ngau nhiên đđc lắp vúi P (S n = n −1/2 ) = P (S n = −n −1/2 ), đắt S 0 = 0 và X i = S i −

S i−1, i ≥ 1 Cỏc X i b% chắn đeu, Σ i X i h®i tu hau chac chan, và E(X n | F n−1) = −S n−1 và E(X 2 | F n−1) = 2n −1

E(Y n | F n−1) = S n−1 và E(Y 2 | F n−1) = 2n −1 , và vì Σ i E(S 2 ) = ∞, Σ i S i phân kỳ hau chac chan, kéo theo Σ i Y i phân kỳ hau chac chan.

Chỳng minh Cho A là tắp sao cho (i), (ii) và (iii) đỳng Su dung (i) cựng vúi

Hắ qua 2.2.6 và (ii), trờn tắp A ta cú

Y i , F n , n ≥ 1} là m®t martingale kỳ v QNG 0 vói

E(Y 2 | F i−1) = E[X 2 I(|X i | ≤ c) | F i−1] − [E(X i I(|X i | ≤ c) | F i−1)] 2, và việc áp dụng Định lý 2.2.7 cho thấy ∞ i=1 Y i hội tụ gần chắc chắn trên A Điều này cần được chứng minh Đôi khi, việc chuyển đổi định lý ba dãy thành định lý hai dãy bằng cách cắt “túi” mức c hơn là tại mức c có thể mang lại lợi ích Việc này cần được thực hiện một cách cẩn thận.

Y n = X n I(|X n | ≤ c) + c sgn(X n )I(|X n | > c), thay vỡ X n I(|X n | ≤ c) Cỏc đieu kiắn (i), (ii) và (iii) cna Đ%nh lý 2.2.8 đưoc thay bang dang tương đương

E[(Y i − E(Y i | F i−1)) 2 | F i−1] < ∞. Đieu kiắn (i) cú the đưoc phõn chia như sau

X i , F n , n ≥ 1} là m®t martingale và cho 1 ≤ p ≤ 2 Khi đú S n hđi tn hau chac chan trờn tắp { ∞ i=1 E(|X i | p | F i−1) < ∞}.

Chỳng minh Ta se kiem tra cỏc đieu kiắn cna Đ%nh lý 2.2.8 dưúi đieu kiắn

E(|X i | p | F i−1) < ∞. i=1 Đieu kiắn (i) đưoc kiem tra như sau

≤ c −p E(|X i | p | F i−1), trong khi đieu kiắn (ii) đỳng vỡ su dung tớnh chat martingale,

Cuoi cùng, (iii) đúng vì

1} là m®t dãy các bien ngau nhiên dương không giam sao cho U n là F n−1 -đo đưac vái mői n Neu 1 ≤ p ≤ 2 thì

U n −1 S n = 0 hau chac chan (2.2) trờn tắp {lim n→∞ U n = ∞, Σ ∞ i=1 U p − E(|X i | p | F i−1) < ∞}.

Neu 2 < p < ∞, thỡ (2.1) và (2.2) đeu đỳng trờn tắp

Chỳng minh Đắt Y n = U −1 X n , n ≥ 1, và chỳ ý rang {Σ n

Các bat đang thúc cơ ban

Bat đang thúc hàm bình phương

Martingale và các bat đang thÉc cơ ban

1.1 Martingale và các tính chat

1.1.1 Đ%nh nghĩa Martingale và các ví dn

Luắt so lỏn và cỏc đ%nh lý hđi tn 22

Luắt so lún

H®i tu trong L p

Chương này tập trung vào các nội dung quan trọng liên quan đến lý thuyết Martingale, với việc chứng minh các định lý cơ bản trong một số mô hình rộng Các khái niệm này sẽ được sử dụng nhiều trong các phần sau của bài viết Tác giả sẽ áp dụng chúng để chứng minh luật số lượng và trình bày các công cụ cơ bản cần thiết.

Sau cùng chương 3: Đ%nh lý giói han trung tâm.

T RQNG tõm chương 3 giúi thiắu đ%nh lý giúi han trung tõm và toc đđ h®i tu trong đ%nh lý giói han trung tâm

Ban chat martingale là một dãy biến ngẫu nhiên đáp ứng một số điều kiện đặc biệt Lý thuyết về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, và định lý giới hạn trung tâm không còn quá xa lạ trong lý thuyết xác suất Hơn nữa, chúng ta cũng cần hiểu rõ hơn về lý thuyết này thông qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale.

Martingale và các bat đang thÉc cơ ban

1.1 Martingale và các tính chat

1.1.1 Đ%nh nghĩa Martingale và các ví dn

4 Dãy X n ∈ L 1 đưoc GQI là m®t supermartingale (martingale trên) đoi vói dãy F n neu nó tương thích vói dãy F n và vói MQI m < n thì

5 Dãy X n ∈ L 1 đưoc GQI là m®t submartingale (martingale dưói) đoi vói dãy F n neu nó tương thích vói dãy F n và vói MQI m < n thì

Thắt vắy, do F n ⊂ F n+1 nờn theo tớnh chat cna kỳ vQNG cú đieu kiắn thỡ

Tiep tuc như vắy, bang quy nap ta cú vúi MQI k thỡ

Tương tn cho cỏc đieu kiắn

2 Dãy(X n ) là martingale trên đoi vói dãy F n khi và chi khi −X n là martingale dưói đoi vói dãy F n

3 Gia su σ(X) n là trưòng bé nhat sinh boi {X m , m ™ n} Hien nhiên dãy

Dãy (σ(X) n ) là một dãy tăng và được gọi là σ-trường ngẫu nhiên sinh bởi dãy (X n ) Dãy (X n ) luôn tương thích với dãy (σ(X) n ) Chúng ta nói rằng (X n ) là một martingale nếu nó là martingale đối với σ-trường ngẫu nhiên.

Ví dn 1.1.1 Cho dãy σ−trưòng tăng F n và gia su X là m®t bien ngau nhiờn X ∈ L 1 Đắt X n = E(X| F n ) Khi đú, vúi m < n ta cú do tớnh chat cna kỳ v QNG cú đieu kiắn

Vắy (X n )là mđt martingale đoi vúi F n

Vớ dn 1.1.2 Cho (Y n ) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp vúi EY n = 0 vúi

MQI n Gia su F n = B(Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tőng riêng

S n = Y 1 + Y 2 + ã ã ã + Y n Lắp thành martingale đoi vúi F n Thắt vắy do S n ⊂ F n và Y n+1 đđc lắp vúi

Vớ dn 1.1.3 Cho (Y n ) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp và EY n = 1 vúi MQI n Gia su F n = B(Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tích riêng

U n = Y 1 Y 2 Y n lắp thành martingale đoi vúi F n Thắt vắy do U n ∈ F n và U n+1 đđc lắp vúi

Với dãy ngẫu nhiên (Y_n) được định nghĩa bởi các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng E(Y_n) = 0 và phương sai σ²(Y_n) = σ², ta giả sử (V_n) là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho với mọi n > 1, V_n thuộc F_{n-1} Xét dãy (X_n) như sau.

Khi đú (X n ) là mđt martingale đoi vúi dóy (F n ) Thắt vắy, vỡ V n+1 ∈ F n ,

1.1.2 Các tính chat Đ%nh lý 1.1.5 Cho {Z n , F n , n ≥ 1} là mđt martingale dưỏi L 1 -b% chắn Khi đó ton tai m®t bien ngau nhiên Z sao cho lim n→∞ Z n = Z hau chac chan và E| Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞ Neu martingale kha tích đeu, thì Z n h®i tn tái Z trong

Nếu {Z_n, F_n} là một chuỗi martingale L2-b% chắn, thì Z_n hội tụ tới Z trong không gian L2 Định lý 1.1.6 cho biết rằng nếu (X_n) là một martingale đối với F_n và Φ là một hàm luật sao cho Φ(X_n) thuộc L1, thì (Φ(X_n)) cũng là một martingale đối với F_n.

Chúng minh Theo bat đang thúc Jensen ta có vói m < n Φ(X m ) = Φ(E(X n |F m )) ™ E(Φ(X n )|F m )

Nói riêng |X n | là martingale dưói và neu X n ∈ L p , p > 1 thì |X| p là martingale dưói. Đ%nh lý 1.1.7.

1 Cho {X n , F n } là m®t martingale Khi đó, kỳ VQN g EX n là m®t hang so

2.Cho {X n , F n } là m®t martingale dưái Khi đó, dãy kỳ VQNG a n = EX n là dãy không giam theo n.

3 Cho {X n , F n } là m®t martingale và X n ∈ L p , p > 1 Khi đó, dãy u n = E|X n | p là dãy không giam theo n.

Thắt vắy, vúi m ™ n ta cú

EX m = E((EX n |F m )) = EX n neu X n là m®t martingale

Neu X n là m®t martingale dưói thì

1.2 Các bat đang thÉc cơ ban

1.2.1 M®t so bat đang thÉc cơ ban

Có nhiều bậc đang thúc liên quan đến martingale và martingale dưới Dưới đây sẽ trình bày một vài bậc đang thúc cơ bản nhất, được sử dụng để thiết lập các định lý hội tụ và luật so sánh cho martingale Bắt đầu với kết quả tổng quát hóa và chắt chiu bậc đang thúc Kolmogorov Định lý 1.2.1 cho biết nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với mọi số thực λ, ta có: λP(max S_i > λ) ≤ E[S_n | (max S_i > λ)] với i ≤ n.

Cỏc sn kiắn E i là F i -đo đưoc và rũi nhau Khi đú λP (E) ≤ Σ

Neu {S i , 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì {|S i | p , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưói.

Bang cách áp dung Đ%nh lý 1.2.1 cho martingale dưói này, ta thu đưoc

Nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mọi p ≥ 1 và λ > 0, có thể khẳng định rằng λ^p P(max |S_i| > λ Σ) ≤ E|S_n|^p Định lý 1.2.1 có một ứng dụng theo hướng khác, dẫn đến kết quả sau Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Doob) cho biết rằng nếu {S_i, F_i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với p > 1, ta có ||S_n||_p ≤ max |S_i| ≤ q||S_n||_p, trong đó p^(-1) + q^(-1) = 1 và ||S_n||_p = (E|S_n|^p)^(1/p), với n ≥ 1 là chuẩn L^p của S_n ∈ L^p.

Chúng ta cần chứng minh rằng bậc đang thúc là hiển nhiên Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ chú ý đến Định lý 1.2.1 và bậc đang thúc Holder để có được kết quả chính xác.

Neu −∞ < a < b < ∞, kớ hiắu v = v(a, b, n) là so lan vưot qua tự m®t giá tr% ≤ a tói m®t giá tr% “ b cna dãy {S i , 1 ™ i ™ n}, khi đó v đưoc

GQI là so lan cat đoan [a, b] (tù dưói lên trên) boi dãy {S i } Đ%nh lý 1.2.4 (Bat đang thỳc cat ngang) Ký hiắu v là so lan cat đoan compact

[a, b] bái martingale dưái {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} Khi đó

Chúng minh Do {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưói, nên {(S i − a) +

Để chứng minh rằng với martingale không âm {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n}, số lần cắt đoạn [a, b] của dãy {S i} tương đương với số lần cắt đoạn [0, b − a] của {(S i − a) +}, ta cần chứng minh rằng bE(v) ≤ E(S n − S 1) Đặt τ 0 = 1, τ 1 là giá trị nhỏ nhất j sao cho S j = 0, τ 2i là giá trị nhỏ nhất j trong khoảng τ 2i−1 < j ≤ n sao cho S j ≥ b (i ≥ 1), và τ 2i−1 là giá trị nhỏ nhất j trong khoảng τ 2i−2 < j ≤ n sao cho S j = 0 (i ≥ 1).

2) Ký hiắu l là giỏ tr% i lún nhat sao cho τ i xỏc đ%nh đỳng (1 ≤ l ≤ n), và đắt τ i = n vúi i > l Khi đú τ n = n, và n−1

Gia su rang i le Neu i > l thì i chan i le neu i = l thì và neu i > l thì

([l/2] ký hiắu phan nguyờn cna l/2.) Bien ngau nhiờn τ i , 1 ≤ i ≤ n, tao thành mđt dóy khụng giam cỏc điem dựng đoi vúi σ-trưũng F i , và do vắy {S τ i ,

F τ i , 1 ≤ i ≤ n} là mđt martingale dưúi Suy ra rang moi E(S τ i+1 − S τ i ) ≥ 0, và vỡ vắy

Ket hop vói (1.3) ta suy ra đang thúc (1.2).

Ta áp dung Đ%nh lý 1.2.4 đe thu đưoc m®t ket qua thay the cho Đ%nh lý 1.2.1. Đ%nh lý 1.2.5 Neu {S i , F i , 1 ≤ i ≤ n} là m®t martingale có kỳ VQNG 0, thì vái mői λ > 0, λP max |S i | > 2λ Σ ≤ λP (|S n | > λ) + E[(|S n | − 2λ)I(|S n | ≥ 2λ)]

Chỳng minh Đắt E n = {min i≤n S i ≤ −2λ} và S 0 = 0, ký hiắu F 0 là σ- trưòng thông thưòng Do E(S 1) = 0, dãy mo r®ng {S i , F i , 0 ≤ i ≤ n} là m®t martingale Ký hiắu v là so vưot qua đoan [−2λ, −λ] boi {S i , 0 ≤ i ≤ n}.

Tù Đ%nh lý 1.2.4 ta có

Bang cách xét so lan cat đoan [−2λ, −λ] boi {S i , 0 ≤ i ≤ n} ta suy ra λP max S i > 2λ Σ ≤ E(−S n + 2λ) + − 2λ + λP (S n > λ).

Công hai bat đang thúc cuối cùng đã thu được bat đang thúc đầu tiên trong (1.4), và bat đang thúc thứ hai được thu nhận sau một số thao tác nhỏ.

1.2.2 Bat đang thÉc hàm bình phương

Bat đang thúc hàm bình phương được phát triển bởi Burkholder và một số tác giả khác Đặc biệt, trong lĩnh vực này, các bő đê quan trọng như bat đang thúc Burkholder và bat đang thúc Rosenthal đã được ứng dụng rộng rãi Cụ thể, ký hiệu X 1 = S 1 và ký hiệu X i = S i − S i−1 (với 2 ≤ i ≤ n) thể hiện hiắu cna của hai martingale.