Đại số Banach, đại số C * , đại số von Neumann 6-11
Định nghĩa và ví dụ 6
Ta luôn ký hiệu là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường phức.
Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong A có phép nhân:
( x, y ) xy thỏa mãn các tính chất sau:
Khi đó, A được gọi là một đại số phức.
Hơn nữa, nếu A là một không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn các tính chất sau: 4 xy ≤ x y ; (x ∈ A, y ∈ B)
5 A chứa phần tử đơn vị 1 sao cho x.1 = 1.x = x (x∈A)
6 1 = 1 thì A được gọi là một đại số Banach.
- Phép nhân nói chung không nhất thiết giao hoán Nếu phép nhân giao hoán thì đại số (đại số Banach) giao hoán.
- Điều kiện 4 là quan trọng nhất nói lên mối liên hệ giữa phép nhân và chuẩn Các điều kiện 5, 6 không phải là cốt yếu.
Thật vậy, giả sử A là một không gian Banach thỏa mãn các tính chất 1 – 4 Ta xét
Ta đưa vào A 1 cấu trúc tuyến tính thông thường, phép nhân và chuẩn được xác định như sau:
Khi đó, các điều kiện 1 – 6 được thỏa mãn, trong đó phần tử đơn vị là 1 = (0,1) Với phép đẳng cấu các đẳng cự x (x,
0) của đại số A với một đại số con của đại số A 1 , ta có thể xem A là một đại số con của đại số A 1 đó là đại số Banach.
-Phép nhân là liên tục theo nghĩa: Nếu
Giả sử A, B là hai đại số phức Ta xét ánh xạ ϕ : A → B Nếu ϕtuyến tính và nhân tính theo nghĩa ϕ( xy ) = ϕ ( x ) ϕ
( y ) thì ϕsẽ gọi là một đồng cấu Trường hợp ϕlà đồng cấu khả nghịch thì ϕgọi là đẳng cấu.
Nếu ϕthêm tính liên tục, A, B là các đại số Banach thì ϕđược gọi là một đồng cấu (đẳng cấu nếu ϕkhả nghịch) giữa hai đại số Banach.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy ra tính chất liên tục.
1 Bản thân trường số phức là một đại số Banach giao hoán với phép cộng và nhân thông thường.
2 Giả sử K là tập compact trong không gian tách được Ký hiệu:
Khi đó C(k) là một đại số Banach giao hoán; đặc biệt khi card(K) = n thì C(k)
3 Giả sử H là không gian Hilbert A
= B(H,H) = B(H) với phép cộng, nhân các toán tử tuyến tính theo nghĩa thông thường.
Khi đó, A là một đại số Banach – không giao hoán với phép nhân hai toán tử là lấy ánh xạ hợp.
1 là không gian các dãy số phức khả tổng tuyệt đối x = ( , x − n , x 1, , x n ) với chu ẩn:
Khi đó, l 1 là không gian Banach Ta định nghĩa phép nhân chập trong l 1 như sau: z = x ∗ y với z n k∞
Phần tử đơn vị là e = e : n e = 0 khi n ≠ 0 n 1 khi n = 0Khi đó, l 1 là một đại số Banach giao hoán.
Đại số C * 9
Đại số C* là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích hàm, được định nghĩa là một đại số Banach phức A của các toán tử Trong đó, phép toán * (đối hợp) được áp dụng, thỏa mãn điều kiện C*: x ∈ A: x* x = x x* liên tục trên không gian Hilbert phức.
1) A là tập đóng trong topo chuẩn của toán tử.
2) A là đóng đối với phép lấy liên hợp của toán tử.
Đại số C* là một công cụ toán học quan trọng trong cơ học lượng tử, giúp mô hình hóa đại số của các đối tượng vật lý quan sát được Nghiên cứu về đại số C* bắt đầu với Heisenberg qua cơ học ma trận và được phát triển về mặt toán học bởi Pascual Jordan vào năm 1933.
John von Neumann đã tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu của mình, xây dựng một lớp đặc biệt của C*-đại số, được biết đến sau này với tên gọi đại số von Neumann Định nghĩa trừu tượng của C*-đại số được Gelfand và Neimark đưa ra vào năm 1943.
Một đại số C * , A là một đại số Banach trên trường số phức , cùng với ánh xạ
(tức là * là đối hợp)
A : x * x = x x * Đẳng thức cuối cùng này gọi là đẳng thức C * , nó tương đương với:
Mối quan hệ này tương đương với B * x * x x 2 , đẳng thức này đôi khi gọi là đẳng thức
1.2.2 Ví dụ C * - đại số của các toán tử.
Một ví dụ quan trọng của C*-đại số là đại số B(H) của các toán tử tuyến tính bị chặn định nghĩa trên không gian Hilbert phức H Trong đó, ký hiệu x* đại diện cho toán tử liên hợp của toán tử x: H → H Theo định lý Gelfand – Naimark, mọi C*-đại số A đều là *-đẳng cấu với một đại số con của B(H) đóng theo chuẩn và đóng theo phép lấy liên hợp, với H là một không gian Hilbert thích hợp.
1.2.3 Ví dụ C * - đại số giao hoán.
Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương Không gian C 0 ( X ) các hàm giá trị phức, liên tục trên X và triệt tiêu ở vô cùng lập thành một C * - đại số, của
( X ) với phép cộng và nhân hai hàm số f , g ∈
C 0 ( X ) theo điểm (theo cách thông thường) Phép liên hợp là lấy liên hợp phức theo từng điểm.
Đại số von Neumann 10
Đại số von Neumann, hay còn gọi là đại số W*, là một dạng đặc biệt của đại số C* Nó yêu cầu tính đóng theo topo toán tử yếu, một loại topo yếu hơn so với topo chuẩn của toán tử.
C* - đại số và lý thuyết trường lượng tử.
Trong cơ học lượng tử, người ta mô tả một hệ thống vật lý bởi một C * - đại số A với phần tử đơn vị
Các phần tử tự liên hợp của A (x ∈ A với x* = x) được xem là các đại lượng quan sát được trong hệ thống Giá trị quan sát được tương ứng với một điểm trong phổ của x, và là một số thực vì x là tự liên hợp Trạng thái của hệ thống được định nghĩa là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A, tức là ánh xạ : A → với điều kiện ϕ(u*u) ≥ 0 cho mọi u ∈ A (khi đó u*u ∈ A+), và ϕ(1) = 1.
Giá trị kỳ vọng của đại lượng quan sát được x ∈
A là ϕ( x ) , nếu hệ thống ở trong trạng thái ϕ.
Tất cả các khái niệm này đều hướng tới việc xây dựng không gian xác suất không giao hoán, được gọi là không gian xác suất C* hoặc W*.
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ
2 1 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von Neumann, không gian con A-bất biến
2.1.1 Các định nghĩa và ký hiệu
Cho H là không gian Hilbert, và B(H) đại diện cho đại số các toán tử tuyến tính bị chặn trên H Đại số Von Neumann là một đại số con A của B(H) có tính chất tự liên hợp, nghĩa là nếu x thuộc A thì x* cũng thuộc A.
Trong không gian toán học, A là một tập hợp chứa toán tử đồng nhất và được đóng trong topo toán tử yếu Ký hiệu A+ đại diện cho nón gồm tất cả các phần tử dương của A Tập hợp projA chỉ ra tất cả các phép chiếu trực giao trong A Với họ (pi) i∈I thuộc projA, ta có thể thiết lập các khái niệm liên quan.
V p = phép chiếu lên không gian con
I pi = phép chiếu lên không gian con i∈
Hoán tập M ' của một tập M ⊂A là tập gồm tất cả x∈M Đặt (M ')'=M " ( hoán tập bậc 2 của M) y∈B(H ) giao hoán với mọi
Rõ ràng ta có: M ⊂ M " , do đó M ''' =( M " ) ' ⊂ M '
Dễ nhận thấy rằng hoán tập
Một đại số von Neumann được định nghĩa là một đại số von Neumann khác nếu Y là một không gian con tuyến tính đóng của H Chúng ta nói rằng Y là bất biến đối với A khi A(Y) nằm trong Y.
Một không gian con tuyến tính đóng Y của H là bất biến đối với A nếu và chỉ nếu
-trong đó P Y là phép chiếu trực giao lên Y.
Y thì: Với x∈ A, y∈H ta có: xh = xP h = P xh∈Y
Suy ra Y là A – bất biến.
+ Ngược lại, giả sử rằng Y là bất biến dưới A thì ta có: Với x∈ A , xP Y ( H ) ⊂Y ⇒ P Y xP Y = xP Y
1) Một vectơ h∈H được gọi là tuần hoàn đối với A nếu xh: x∈ A = H Ở đây, [ z, ] ký hiệu không gian con tuyến tính đóng của H được căng (spanned) bởi z's
2) Ta nói rằng 1 vectơ h∈H x = 0 là tách A nếu từ điều kiện x∈ A và xh =
Ta sẽ chỉ ra rằng h là tuần hoàn đối với A nếu và chỉ nếu h là tách đối với A ' Thật vậy:
+ Giả sử h là tách đối với
A' Đặt Y = xh : x∈ A Khi đó theo định lý 2.1.2 ,
P ∈ A' và ta có ( 1− P ) ( h ) = 0 ⇒1= P , điều này có nghĩa là Y = H
Do vậy h là tuần hoàn đối với A
+ Ngược lại, nếu Y = xh: x∈ A = H thì từ điều kiện y∈ A' và
Y yh = 0 , kéo theo yxh = xyh = 0 Do vậy y triệt tiêu trên Y = H ⇒ y = 0 Nghĩa là h tách A '
Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một trong những tính chất đặc trưng nhất trong định lý của đại số von Neumann.
2.1.4 Định lý (Hoán tập bậc hai của von Neumann)
Nếu A là 1 đại số Von Neumann thì
Giả sử A tác động trên một không gian Hilbert H Với n nguyên dương bất kỳ đặt
) được cho bởi ma trận b
n× n với các hạng tử thuộc
A(n ) là tập hợp tất cả các toán tử như vậy Đó rõ ràng là một đại số von Neumann.
H ) khi đó b ∈ A ' (tập giao hoán của A ) khi và chỉ khi
Cho g = h ⊕ h ⊕ ⊕ h là một phần tử cố định của H ( n ) và ký hiệu A g là bao
Giả sử p là phép chiếu (trực giao) lên A
( n ) g khi đó, theo định lý 2.1.2, p∈A ' n và A
( n ) g là bất biến dưới yˆ với y∈ A n Điều này nghĩa là ∀ε> 0 , ∃ phép toán z∈
A sao cho yˆ g − zˆy