CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bất đẳng thức AM – GM
Cho các số thực x1, x2 ,., xn không âm, ta luôn có x 1 x 2 x n n 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 xn
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n x x x 2
Với n 1, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với n n 1 , tức là với mọi
Ta có tổng \( (n + 1) \alpha = x_1 + x_2 + + x_n + x_{n+1} \) Nếu tất cả các số đều bằng \( \alpha \), bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng Trong trường hợp còn lại, chắc chắn tồn tại ít nhất một số nhỏ hơn \( \alpha \) và một số lớn hơn \( \alpha \) Giả sử \( x_n > \alpha \) và \( x_{n+1} < \alpha \), ta có \( (x_n - \alpha)(x_{n+1} - \alpha) < 0 \).
' n trong đó x 'n xn xn1 xn 0
Từ đó suy ra n x1 x2 xn1 xn xn1 x1 x2 xn1 x 'n
Do là trung bình cộng của x 1 , x 2 , , x n 1 , x ' n nên theo giải thiết quy nạp , ta có
Mặt khác từ 3 ta lại có xn xn1 xn xn1 xn xn1 0
0 , nếu có ít nhất một trong các số x 1 , x 2 , , x n
1 bằng không thì bất đẳng thức hiển nhiêu đúng và dấu bằng không xảy ra Xét các trường hợp còn lại, kết hợp 4 và 5 thu đƣợc n1 x x x x x x x x x
Vậy bất đẳng thức đã đƣợc chứng minh. n1 n n1 1 2 n n1
Bất đẳng thức Bunhia – Cauchy – Schwart (B – C – S)
Cho hai dãy số thực a 1 , a 2 , ., a n và b1, b2 ,., bn Khi đó ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1
a 2 a n với quy ƣớc nếu một số b nào đó b b b i
i 1, 2, , n bằng không thì ai tương ứng cũng bằng không.
2 i i i1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 a 2 a n
+ Với các số thực a, b, x, y ta luôn có ax by 2 a 2 b 2 x 2 y 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay bx
+ Với các số thực a, b, c, x, y, z ta luôn có ax by cz 2 a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b
+ Ngoài ra ta còn hay sử dụng B – C – S dạng phân số với các số dương x, y và với các số thực a, b ta có a 2 b 2 a b 2
Dấu bằng xảy ra khi ay bx x y x y
Bất đẳng thức trên còn đƣợc gọi là B – C – S dạng Engel. n a2 b2 x2 y2 a x 2 b y 2 u a2 b2 v x2 y2 u v a x 2 b y 2 u v u v a2 b2 x2 y2 a x 2 b y 2
Bất đẳng thức Minkowski
Với các số thực a, b, x, y ta luôn có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay bx
Với hai vecto u a, b , v x, y Khi đó ,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vecto u, v cùng phương hay ay bx
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
i.1 a a a Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a 0 i.2 i.3 a b a b a b Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a.b 0. a b Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b b 0
Các bổ đề bất đẳng thức thường dùng
i.1 a 2 b 2 2ab;a,b R Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b
Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với a b 2 0 Điều này luôn đúng Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh. i.2 a b 2 4ab; a, b R Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b
Bất đẳng thức cần chứng minh là \((a + b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow (a - b)^2 \geq 0\), điều này luôn đúng Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh Đối với số tự nhiên \(n\) và thực dương \(a\), ta luôn có \(an(1 - na) \leq 0\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a n 1 1
an 1 na 0 Vế phải của bất đẳng thức luôn dương.
Khi đó bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu 1 na 0, áp dụng bất đẳng thức AM – GM với n số a và một số thực dương
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n 1 a 1 na a
. i.4 Cho hai số a, b 0 ta luôn có 1
Dấu bằng xảy ra khi a b hoặc ab 1 Bất đẳng thức đổi chiều khi ab 1.
Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với
Dấu bằng xảy ta khi a b hoặc ab 1. i.5 Với các số dương a, b ta luôn có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b
Áp dụng bất đẳng thức B – C – S dạng phân thức ta có b a b 2 a 2
2 ab ab b ab ab ab ab a b ab a b 2ab a b
Ta có đánh giá sau 4ab a b 2
2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b a ab b ab i.6 Với các số dương a, b ta luôn có 1
1 ab 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1.
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức B – C – S ta đƣợc
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
b a b 1. b a i.7 Với các số thực a, b, c, d ta luôn có ab xy 2 a 2 x 2 b 2 y 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay bx
Bất đẳng thức trên còn gọi là bất đẳng thức giả B – C – S.
Chứng minh Bất đẳng thức trên tương đương
ab xy 2 a2 x2 b2 y2 ay bx 2 0 Điều này luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay bx
SÁNG TÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Nhiều người học toán thường có thói quen nhanh chóng tìm ra lời giải cho bài toán và cảm thấy vui mừng khi hoàn thành Tuy nhiên, ít ai đặt câu hỏi về nguồn gốc của các bài tập đó, ai là người sáng tạo ra chúng và quy trình tư duy đằng sau Để giải đáp thắc mắc này, tác giả sẽ trình bày một số quy trình sáng tác bài toán giải hệ phương trình dựa trên kiến thức về bất đẳng thức.
Bất đẳng thức 1 Với x 0 theo bất đẳng thức AM – GM ta luôn có x
Nhƣng nếu ta thay đổi điều kiện của bài toán ta sẽ có một bài bất đẳng thức mới.
Ví dụ nhƣ với x 2 ta sẽ đƣợc bất đẳng thức chặt hơn là x 1 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2 Thật vậy, ta có x 2 x 1
5 Vậy muốn xây dựng một hệ phương a b trình từ bất đẳng thức trên nhƣ thế nào ?
Hệ phương trình đó sẽ bao gồm phương trình a 1
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét phương trình với các điều kiện a ≥ 2 và b ≥ 2, trong đó cần có nghiệm a = 2 và b = 2 Thông thường, phương trình sẽ chứa căn thức để đảm bảo rằng điều kiện của biểu thức trong căn luôn được thỏa mãn Ví dụ, ta có thể lấy phương trình a - √b = 0 để minh họa cho điều này.
2 Vậy ta có bài toán sau :
Bài toán 1 Giải hệ phương trình
Giải Biến đổi phương trình thứ hai của hệ ta đƣợc a 2 b 2 a 1
5 Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia b a 2;b 2
Thay a 2;b 2 vào phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn.
Hệ phương trình có nghiệm là (a; b) = (2; 2) Để tăng độ khó của bài toán, chúng ta có thể thay thế a và b bằng các biểu thức phức tạp hơn, dẫn đến việc tạo ra một phương trình mới.
Thay vào Bài toán 1 ta đƣợc bài toán giải hệ
Bài toán 2 Giải hệ phương trình
Khi đó hệ phương trình tương đương với hệ sau
Theo Bài toán 1 ta có nghiệm a;b 2; 2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) = (3; 4) Để tránh sự đối xứng của hai biến trong phương trình thứ nhất, ta có thể lựa chọn các bất đẳng thức không đối xứng Chẳng hạn, với a ≥ 2 và b ≥ 2, ta cũng có thể chứng minh rằng 3a + 2.
Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2;b 2
Giờ ta cũng thế a, b bằng các biểu thức, ví dụ nhƣ a x
Sau khi thế , biến đổi tương đương ta được phương trình thứ nhất của hệ là
Phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và y = 4 Để phương trình thứ hai thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 và y ≥ 4, nó cần nhận hai nghiệm đã chọn là x = 2 và y = 4 Một ví dụ của phương trình này có thể là x - 2 - 4y - 4 + = 2 Do đó, chúng ta có thể xây dựng bài toán từ đây.
Bài toán 3 Giải hệ phương trình x 2 y 2 4
Hệ phương trình trở thành a 2b 4
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ trên ta được 3a 2
Nên ta lần lƣợt có 3a 2
Dấu bằng xảy ra khi
Thay a = 2 và b = 2 vào phương trình thứ hai của hệ phương trình, ta thấy thỏa mãn Do đó, hệ phương trình này có nghiệm là (a; b) = (2; 2) Kết luận, hệ ban đầu đã cho có nghiệm là (x; y) = (2; 4), với x = 2 và y = 4.
Để tiếp tục nâng dần độ khó dạng bài toán ta có thể “ chèn” thêm bất đẳng thức Minkowski vào Bài toán 1 nhƣ sau. a2 b2 c2 d 2 a c 2 b d 2 x2 y2 x2y2
Ta sẽ luôn có với mọi số thực a, b, c, d
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad bc Để sử dụng đƣợc bất đẳng thức này ta chọn nhƣ sau a x; b y; c 1
; d 1 với điều x y kiện ban đầu của hai biến x, y thỏa mãn x 2; y 2 Khi đó ta có đƣợc bất đẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2; y 2 Giờ ta đi lập một phương trình nhận hai nghiệm đã chọn và kèm theo điều kiện x 2; y
2 của nghiệm là đƣợc Khi đó ta sẽ có một bài toán giải hệ phương trình mới
Bài toán 4 Giải hệ phương trình
Giải Điều kiện x 2; y 2 Áp dụng bất đẳng thức Minkowski có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y 2;
Tác giả hy vọng rằng qua các ví dụ, người đọc sẽ hiểu rõ hơn về ý tưởng sáng tác bài giải hệ bằng cách sử dụng bất đẳng thức Quá trình giải quyết bài toán bao gồm hai bước: đầu tiên, lựa chọn bất đẳng thức phù hợp và xác định nghiệm rõ ràng của bài toán; nếu không có nghiệm rõ ràng, cần thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm Tiếp theo, ta thiết lập một phương trình thứ hai với các điều kiện thỏa mãn nghiệm đã chọn Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng ý tưởng tương tự vào một bài bất đẳng thức khác để xây dựng giải pháp.
Bất đẳng thức 2 Với số thực không âm a và số nguyên dương n , ta luôn có an 1 na
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a n 1
Xét với n 1 và hai số thực không âm a, b ta có bất đẳng thức a 1 a b 1 b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1
2 Muốn có nghiệm đẹp khi giải từ hệ này, ta có thể chọn trước hai nghiệm, ví dụ hai nghiệm ở đây là x 1; y 1
Bất đẳng thức a(1 - a) + b(1 - b) ≤ 1 được đảm bảo khi lựa chọn 2 giá trị a và b, dẫn đến việc đạt được dấu "=" trong bất đẳng thức Hệ phương trình có một thành phần là xy.
Để thiết lập hai phương trình, chúng ta cần đặt điều kiện cho các biến, trong đó biến x - 2y phải không âm Chỉ cần đảm bảo điều kiện này và nhận nghiệm đã chọn ban đầu là đủ Quá trình này hoàn toàn đơn giản và dẫn đến bài toán cần giải quyết.
Bài toán 5 Giải hệ phương trình
Giải Điều kiện 0 xy 1; x 2 y 0 Đặt a
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành a 1 a b 1 b 1
Vì a 1 a 1 ;b 1 b 1 Dấu bằng xảy ra khi
Thử vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 1
2 Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức
an 1 na 1 với n 2 ta đƣợc lần lƣợt các
27 Đẳng thức xảy ra khi a b 1
Suy ra ta có bất đẳng thức a2 1 2a b2 1 2b 2
Chúng ta bắt đầu bằng cách chọn các giá trị cho x và y, chẳng hạn như x = 2 và y = 1 Để áp dụng bất đẳng thức, cần lưu ý rằng dấu "=" chỉ xuất hiện khi và chỉ khi hai biến a và b đều bằng 1 Dưới đây là cách chọn a và b.
xy 2 xy 2 Thế a, b vào ta có
Biến đổi tương đương phương trình ta có
Giờ cần lập phương trình thứ hai để x y; xy dương và nhận nghiệm mà ta đã chọn ban đầu Ta có thể lấy phương trình x y 1
1 Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 6 Giải hệ phương trình
Giải Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
Đặt a x y ;b xy Khi đó phương trình trên được viết lại thành
27 Áp dụng bất đẳng thức a2 1 2a 1
Do đó để phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi Thử vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn. a b 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;1
Dấu bằng xảy ra khi a b 2 Áp dụng với a x2 , b y2 bất đẳng thức trở thành x2 y2 2xy
Dấu bằng xảy ra khi x y
Giờ ta sẽ xây dựng theo cách mới nhƣ sau: Giả sử bây giờ ta xây dựng đƣợc bất đẳng thức x 2 y 2
2xy và kết hợp với bất đẳng thức trên là x 2 y 2
2xy thì sẽ suy ra được x y Muốn có điều này khi sáng tác hệ phương trình ta sẽ phải gán được phương trình x 2 y 2
và ta đi chứng minh f x; y 2xy Đầu tiên ta chọn hai nghiệm trước thỏa mãn điều kiện x y là x y 1.
2xy xy và 2xy xy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1.
Giờ ta sẽ đi lập hệ phương trình sao cho khi giải sẽ thu được phương trình
Để tránh xuất hiện phương trình không mong muốn, người giải cần cộng đại số hai vế của hai phương trình trong hệ Khi lập hai phương trình, cần chú ý để chúng có thể triệt tiêu cho nhau khi thực hiện phép cộng Đặc biệt, việc lựa chọn phương trình cần phải đảm bảo nhận nghiệm Kết quả cuối cùng có thể là bài toán x = y = 1, nếu không, phương trình sẽ trở nên vô nghiệm.
Bài toán 7 Giải hệ phương trình
Giải Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được
Mà x2 y2 2xy Để đẳng thức xảy ra thì x y 1 Thử lại, thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;1
Giờ ta vẫn tiếp tục sử dụng Bất đẳng thức 3, ta sẽ lần lƣợt có đƣợc hai bất đẳng thức là a và b
Suy ra ta có đƣợc 2a 1
a b Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1.
Chúng ta sẽ xây dựng một hệ phương trình dựa trên bất đẳng thức đã cho Đầu tiên, hãy chọn hai nghiệm ban đầu cho hệ, chẳng hạn như x = y = 1 Để áp dụng bất đẳng thức này, chúng ta cần
2 đảm bảo dấu bằng sẽ xảy ra, ví dụ chọn a x y; b 4xy Với cách chọn hai biến này ta sẽ đảm bảo đƣợc dấu bằng của bất đẳng thức trên.
Khi đó ta có phương trình
Để giải bài toán, chúng ta có phương trình x + y + 4xy Bước tiếp theo là thiết lập một phương trình thứ hai, trong đó nghiệm đã chọn ban đầu sẽ được sử dụng Phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng x + y = 1 Như vậy, chúng ta đã có bài toán cần giải quyết.
Bài toán 8 Giải hệ phương trình
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành
Theo điều kiện ban đầu ta có
a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b 1. 3
VP Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1.
Thay x y 1 vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 1 ; 1
Để tạo ra một hệ phương trình gồm hai phương trình bằng cách áp dụng Bất đẳng thức 3, cần phải kết hợp cả hai phương trình thay vì giải riêng lẻ Người giải cần phải thực hiện phép cộng đại số cho cả hai vế của hai phương trình để tìm ra nghiệm chung.
Trước tiên, ta vẫn chọn hai nghiệm trước, giả sử x 2; y 1 Với các nghiệm vừa chọn ta lập đƣợc các cặp số 5 y x y 2 1 1;3y x 1; x 1
1 mục đích để thỏa mãn dấu bằng khi sử dụng bất đẳng thức
Mà theo bất đẳng thức AM – GM ta có
Suy ra ta có đƣợc bất đẳng thức sau
Mà ta đã chọn nghiệm y 1 nên 5 y x y 2 1
Để xây dựng một hệ phương trình với vế phải tổng là 3y + 1, chúng ta cần đảm bảo rằng các nghiệm ban đầu là x = 2 và y = 1 Để tránh việc người đọc giải riêng từng phương trình, hai phương trình trong hệ cần được thiết kế phức tạp hơn, chẳng hạn như có chứa căn thức hoặc bậc khác nhau Với những yêu cầu này, chúng ta có thể lựa chọn hai phương trình phù hợp để giải hệ phương trình một cách hiệu quả.
Bài toán 9 Giải hệ phương trình
Cộng hai vế hai phương trình ta được 5 y x y 2 1
2 3y 1 * Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lần lƣợt có
Do đó ta có đƣợc bất đẳng thức sau
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi y 1
Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập ví dụ
Bài toán 1 Giải hệ phương trình
Phân tích phương trình cho thấy rằng vế trái là tổng của hai bình phương, trong khi vế phải là một số dương Mục tiêu là chuyển đổi phương trình sao cho vế trái trở thành tổng bình phương và vế phải bằng 0, nhưng điều này không khả thi Do đó, phương trình này chỉ có thể cung cấp dữ kiện phụ để đánh giá.
Xét phương trình bậc hai với vế trái có dạng a.b, chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai biểu thức này Cụ thể, ta có thể đánh giá biểu thức x² + y² + x - y + 2, từ đó rút ra những kết luận quan trọng về giá trị của nó.
2 lại xuất hiện trong khi khai triển phương trình thứ hai. Với ý tưởng này ta có lời giải cho bài toán trên như sau
Giải Điều kiện: x2 3 0 Phương trình thứ nhất được biến đổi thành x 2 y 2 2xy x y x 2 y 2 6xy 8 0 x 2 y 2 x y 8 xy 4 2
Xét phương trình thứ hai của hệ, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được
Từ đó kết hợp với * suy ra x2 y2 x y 8
Khi đó x, y là nghiệm của hệ
Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2; 2
Sử dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình là một phương pháp hữu ích khi không tìm thấy biểu thức chung thuận lợi cho việc đặt ẩn phụ hoặc cô lập các biến Điều này thường dẫn đến việc áp dụng kiến thức về bất đẳng thức để đánh giá các thành phần của hệ Để giải quyết bài toán, cần xác định phương trình cần đánh giá trước, sau đó kết hợp với dữ kiện của phương trình còn lại nhằm “chặn” biểu thức cần đánh giá.
Bài toán 2 Giải hệ phương trình
( THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An lần 1-2015)
Trong hai phương trình, phương trình thứ hai có vẻ đơn giản nhưng không thể bình phương bỏ căn để tìm mối liên hệ giữa các biến do tính phức tạp Ngược lại, phương trình thứ nhất mặc dù có các biểu thức lớn, nhưng lại cho thấy dấu bằng xảy ra tại x = y, với biểu thức chứa căn dạng.
Chúng ta sẽ áp dụng đánh giá AM – GM khi xác định điểm rơi của phương trình tại x = y Mặc dù có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp với điểm rơi của phương trình đầu tiên, nhưng kết quả thu được có thể không như mong đợi do phải đánh giá một biểu thức phụ khác Biểu thức cần xem xét bao gồm y³, 2x, y, y², 2xy, và các hạng tử khác như 5y² và 4x².
0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta lần lƣợt có
2 Thay y x vào phương trình thứ hai và biến đổi, ta được
0 x2 x 2 0 x 1. Biến đổi phương trình thứ hai của hệ ta được x 2 x 1 x
5 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x; y 1 5 ; 1 5
Nhận xét: Giải phương trình thứ nhất theo cách sử dụng nhân liên hợp như sau
Ta đã xác định nghiệm x = y của phương trình, nhưng việc giải biểu thức trong ngoặc lại gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM, chúng ta có thể tìm ra lời giải rất tinh tế và hấp dẫn.
Bài toán 3 Giải hệ phương trình
Phương trình thứ nhất là một phương trình căn thức với vế trái chứa các biểu thức khó dự đoán điểm rơi của biến Tuy nhiên, vế phải là y² + 3y có thể được đánh giá bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2y ≤ y² + 3y - 2, với dấu "=" xảy ra khi y = 1 Đối với phương trình thứ hai, chúng ta có thể xác định rằng giá trị luôn nhỏ hơn hoặc bằng 27, cũng với dấu "=" xảy ra khi y = 1.
Nghiệm y = 1 có khả năng cao do điểm rơi của 3y + 2x + 1 trùng khớp với điểm rơi trên Bây giờ, cần cân bằng các đại lượng để áp dụng bất đẳng thức AM – GM một cách hiệu quả.
3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta đƣợc 2 y y 2 3y 2
20x x y Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta đƣợc
Từ phương trình thứ hai ta có
Từ * và ** , hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau
1 Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y 2;1
Bài toán này cho thấy rằng việc đánh giá không chỉ dừng lại ở việc xác định các giá trị chặn, mà còn cần phải áp dụng để suy ra các điều kiện khác Đặc biệt, khi một biểu thức bị chặn trên tại một giá trị, chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức đó cũng bị chặn dưới tại chính giá trị chặn trên.
Bài toán 4 Giải hệ phương trình
(Trích đề thi HSG Quốc Gia 2013)
Hệ phương trình đối xứng của hai biến thường khó giải, do đó, phương pháp cộng đại số hoặc nhân từng vế của hai phương trình lại với nhau là lựa chọn hợp lý Khi cộng đại số, ta có thể nhóm các biểu thức ở vế trái thành các cặp liên quan đến một biến, giúp việc phân tích và giải quyết trở nên dễ dàng hơn.
22 sin 2 x sin 2 x sin2 x 1 sin2 x cos2 y 1 cos2 y sin2 y 1 sin2 y cos2 x 1 cos2 x xy
Trong quá trình giải hệ phương trình, ta không thể nhận xét trực tiếp về vế phải của phương trình x + y + 2sin²x + 1sin²x Thay vì cộng đại số hai phương trình, ta nên nhân hai vế của các phương trình với nhau Việc này cho phép chúng ta sử dụng một trong hai bất đẳng thức để phân tích vế trái của phương trình thu được.
AM – GM hoặc B – C – S còn vế phải thấy xuất hiện đánh giá xy
Dấu 4 bằng xảy ra khi và chỉ khi vì khi x y là một hệ đối xứng hai biến. cũng trùng với việc nhận định nghiệm vì đây
0,sin 2x.sin 2 y 0 x y x y Áp dụng bất đẳng thức B – C – S ta đƣợc
sin x cos x 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta đƣợc
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x 1 x
Nhân hai vế của hai phương trình với nhau ta được
cos2 y 1 cos2 y sin2 y 1 sin2 y cos2 x 1 cos2 x xy
10 Để đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y Với x
4 2 4 2 Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y
Hệ phương trình này rất khó giải vì cần đánh giá cả hai vế để đưa về phương trình thu được Sự đối xứng của hệ cho thấy mối liên hệ giữa hai nghiệm, nhưng nhiều người có thể muốn áp dụng phương pháp liên hợp Tuy nhiên, việc này gặp khó khăn do vế trái là biểu thức lượng giác, trong khi vế phải lại là một đa thức.
Phân tích hệ đối xứng của hai biến, ta dự đoán rằng nghiệm của hệ sẽ bằng nhau Khi thay vào phương trình đầu tiên, ta giải được nghiệm x = y = 2, và khi thay vào phương trình thứ hai, nghiệm này cũng thỏa mãn.
Vậy dự đoán của ta đã chính xác Với phương trình thứ hai chứa các căn thức dạng
a b 2 a.b ta sẽ đi đánh giá bằng đƣợc xảy ra. a.b , lưu ý khi dùng ta phải cân bằng số hạng để dấu
Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được x y 4 x2 y2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có x2 y2 2xy
Xét phương trình thứ hai của hệ, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được
x y 4 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2 y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;
2; Bài toán 6 Giải hệ phương trình
Phương trình thứ nhất của hệ thể hiện sự đối xứng giữa hai biến, với dấu bằng xảy ra khi hai biến này bằng nhau Điều này gợi ý rằng việc áp dụng bất đẳng thức AM – GM có thể là chìa khóa để giải bài toán Khi sử dụng bất đẳng thức này, cần chú ý đến việc cân bằng các đại lượng để đạt được kết quả chính xác.
Giải Điều kiện : x 1 y 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta đƣợc
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y
Thay x y vào phương trình thứ hai ta được
3 3 Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5 ; 5
Việc nhận xét về sự đối xứng của phương trình là yếu tố quan trọng giúp dự đoán mối quan hệ giữa hai nghiệm Trong trường hợp này, phương pháp liên hợp có thể được áp dụng để xuất hiện nhân tử x - y, tuy nhiên, điều này sẽ không mang lại một lời giải hoàn hảo.
Bài toán 7 Giải hệ phương trình
( Trích đề thi chọn đội tuyển HSG TPHCM – 2015 )
Bài tập tự luyện
Dưới đây là một số bài tập về hệ phương trình có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức, kèm theo đáp án cho từng câu hỏi để người đọc có thể kiểm tra kết quả của mình.