Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

Hệ phương trình tuyến tính

Thường có ba phương pháp:

Tư một phương trình ta rút một ẩn theo ẩn kia và thế vào phương trình còn lại.

Cách 2 phương pháp cộng đại số.

Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình một hợp lý để dễ dàng tìm được x hoặc y.

TH1: D = 0 Hệ có nghiệm duy nhất 

TH2: D = 0 và D X = D Y = 0 Hệ có vô số nghiệm dạng

TH3:D = 0 và D X = 0 hoặc D Y = 0 Khi đó hệ vô nghiệm.

Lưu ý : Đôi khi cũng cần một vài biến đổi như đặt ẩn phụ thì hệ mới quy về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Sau đây là một số bài toán Và thông thường, với một bài toán ta cũng có thể kết hợp vài phương pháp để giải một cách thuận lợi.

Bài toán 1.1 Giải hệ phương trình

Hệ phương trình đề bài tương đương với

Từ phương trình thứ nhất, ta rút ra y = −5x − 2, thế vào phương trình thứ hai thì được 15x + 4 = 0 hay x 4

, từ đó dễ dàng tìm được y = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y) = (− 4

Bài toán 1.2 Giải hệ phương trình

= v với u, v ƒ= 0 Khi đó hệ phương trình trở thành.6u + 5v = 39u − 10v = 1

Nhân hai vế của phương trình đầu với 2, sau đó cộng từng vế của phương trình mới với phương trình còn lại, ta có được u = 1 Thay giá trị này vào một trong hai phương trình, ta tìm được v = 1.

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (3; 5). 5

Hệ phương trình tương đương với 1

Sử dụng định thức, ta tính được D = −20, D X = −20, D Y = −5 Từ đó thu được u D X

= Cuối cùng ta dễ dàng tính được (x; y) = (3;

Hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối có thể được phân tích thành các trường hợp, và khi giải, chúng ta có thể quy về hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn.

Bài toán 1.4 Giải hệ phương trình sau

Từ phương trình thứ nhất ra rút ra y = −|x − 1|, thế vào phương trình thứ hai ta thu được |x − 1| = 1 − 2x.

TH1 Nếu x ≥ 1 thì |x − 1| = x − 1, do đó x − 1 = 1 − 2x, tìm được x không thỏa mãn.

TH2 Nếu x < 1 thì |x − 1| = 1 − x, giải tương tự tìm được x = 0 < 1, thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; −1).

Bài viết này trình bày một số bài toán hình học phẳng từ đề thi đại học trong những năm gần đây, minh họa cho ứng dụng của việc giải hệ phương trình tuyến tính bậc nhất.

Bài toán 1.5 trong đề thi Đại học khối A 2014 yêu cầu tìm phương trình đường thẳng CD trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với hình vuông ABCD Trong đó, M là trung điểm của đoạn AB với tọa độ M(1; 2) và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC, có tọa độ N(2; −1).

K là trung điểm của đoạn MB, dẫn đến việc NK song song với BC và vuông góc với các đoạn AB và CD Điểm E được xác định là giao điểm của đường thẳng NK với đoạn DC.

Trong tam giác vuông MKN ta có MK = a

Gọi vecto chỉ phương của NK có tọa độ là (a; b) (a 2 + b 2 > 0) Ta có

Khi đó ta có ^ √ | a − 3 b| 3 cos(NK, NM ) = | cos MNK| ⇔

- Với a = 0, vì a 2 + b 2 > 0 nên ta chọn b = 1 Khi đó dễ dàng viết được phương trình của đường thẳng AB là y 2 = 0, đường thẳng NK là x 2 = 0.

Suy ra tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình

N Từ đó suy ra E(2; 2). Đường thẳng CD qua điểm E(2;3 2), nhận vecto chỉ phương (0; 1) của NK làmvecto pháp tuyến có phương trình là y + 2 = 0.

- Với 4a + 3b = 0, và vì a 2 + b 2 > 0, nên ta chọn a = 3, b = 4 D đó vecto chỉ phương của NK là (3; 4).

Khi đó dễ dàng viết được phương trình đường thẳng AB là 3x

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra tọa độ điểm

Tương tự lập luận như trường hợp trên ta cũng tìm được điểm E ; − Do

5 5 đó ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng CD là 3x − 4y − 15 0.

Trong bài toán 1.6 đề thi Đại học khối D năm 2011, chúng ta xét tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với đỉnh B tại tọa độ (-4; 1) và trọng tâm G tại (1; 1) Đường thẳng chứa phân giác trong của góc A được cho bởi phương trình x - y - 1 = 0 Nhiệm vụ là xác định tọa độ của đỉnh A và C.

Đường phân giác trong của góc A được ký hiệu là d với phương trình x−y−1 = 0 Điểm B' là điểm đối xứng với điểm B qua đường phân giác d Do d là tia phân giác trong góc A, nên điểm B' sẽ nằm trên đường thẳng AC.

Gọi I là giao điểm của BB ′ và d Suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình

Ta có I là trung điểm của BB ′ , do đó dễ dàng ta tìm được B

′(2; −5) Gọi M là trung điểm của AC, suy ra −

Do đó ta tìm được M

; 1 2 Đường thẳng AC đi qua hai điểm B ′ và M nên ta viết được phương trình của

AC là 4x y 13 = 0. Điểm A là giao điểm của d và AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình Suy ra A(4;

.x = 4 ⇔ y = 3 Điểm M là trung điểm của AC nên dễ dàng tìm được C(3; −1).

Trong bài toán 1.7 của đề thi Đại học khối B năm 2008, nhiệm vụ là xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, dựa trên thông tin về hình chiếu vuông góc của tam giác.

C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.

Gọi H ′ (a; b) là điểm đối xứng với điểm H qua đường thẳng AD Suy ra H ′ nằm trên đường thẳng AC. Đường thẳng AD có vecto chỉ phương (1; 1) Ta có −

1 Σ 2 là trung điểm của HH ′

Khi đó vì HH ′ vuông góc với AD và I phải thuộc đường thẳng

AD nên ta có tọa độ H ′ là nghiệm của hệ phương trình

− Đường thẳng AC đi qua H ′ và vuông góc với đường cao BK, từ đó ta viết được phương trình của AC 3x 4y + 13 = 0.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình−

. 3x − 4y + 13 = 0 x − y + 2 = 0 Đường thẳng CH đi qua H(−1; −1) nhận 1 −

A làm vecto pháp tuyến nên CH có phương trình là 3x + 4y + 7 = 0.

Vì C là giao điểm của đường thẳng CH và AC nên tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình đối xứng loại 1

Nếu (x₀; y₀) là một nghiệm của hệ phương trình, thì (y₀; x₀) cũng là một nghiệm Việc tráo đổi vai trò của x và y trong hệ không làm thay đổi nội dung của từng phương trình.

Phươ.ng pháp tổng quát Đặ t

P = xy Điều kiện để hệ có nghiệm là S 2 4P 0.

Khi tìm được nghiệm S, P thì x, y sẽ là hai nghiệm của phương trình t 2 St + P = 0.

Đôi khi, để đưa hệ về dạng đối xứng loại 1, chúng ta cần thực hiện một số biến đổi, chẳng hạn như đặt ẩn phụ Dưới đây là một số bài minh họa cho quá trình này.

Dễ dàng giải được hệ này, ta có hai trường hợp như sau:

TH1 S = 3, P = 2 Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình t 2 − 3t + 2

T.a thu được h.ai nghiệm là x = 1 y = 2 và x = 2 y = 1

TH2 S = 4, P = 8 Trường hợp này vô nghiệm Vậy hệ có hai nghiệm là (1; 2),

Bài toán 1.9 Giải hệ phương trình sau xứng đối với x và −y)

Lời giải. Đu + v = 5.ặt x y = u, xy = v thì hệ trở thành u 2 + 3v = 13

Hệ phương trình này là 2u^3 + 2 = 0, với hai nghiệm u = 1 và u = 2 Từ phương trình đầu tiên, ta có v = 5u, và khi thay vào phương trình thứ hai, ta sẽ có hai trường hợp khác nhau để xem xét.

Khi đó x, −y là hai nghiệm của phương trình t 2 − t − 4 = 0 Phương trình nàycó hai nghiệm là t = 1 − √17; t = 1 + √17 √ √

Ta tìm được hai nghiệm tương ứng là

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình t 2 − 2t − 3 = 0 Phương trình này có hai nghiệm t = −1; t = 3.

Ta tìm được hai nghiệm tương ứng là

Vậy hệ có bốn nghiệm là (1 + √17; −1 + √17), (1 − √17; −1 −

Lời giải. Đặt x 2 + y 2 = u, xy = v hệ trở thành

Do đó x 2 + y 2 = 5 xy = 2 ⇔ (x + y) 2 2xy = 5 xy = 2 (x + y) 2 = 9 xy = 2

Từ đây có hai trường hợp xảy ra

Ta tìm được hai nghiệm

Ta tìm được hai nghiệm (−1; −2), (−2; −1).

H.ệ phương trình đề bài tương đương với

Có hai trường hợp xảy ra x + 2x + y = 4 xy(x + 2) = 3

Ta tìm được hai nghiệm

Vậy hệ c.ó bốn nghiệm.phân biệt √ √ x = 1 y = 1 x ; 3 y = 1

K.hi đó hệ trở thành u + v = 4 u 2 + v 2 = 8 u + v = 4

Vậy nghiệm của hệ là

Bài toán 1.13 Giải hệ phương trình sau 

√ xy(x + y) = 78 Đặt x + y = u, √ xy = v với v ≥ 0, hệ trở thành

Từ phương trình thứ nhất ta có u = 7 + v, thế vào phương trình thứ hai ta được v 2 + 7v − 78 = 0

Phương trình này có hai nghiệm v = −13, v = 6 Vì v ≥ 0 nên v = 6 Suy ra u.= 13 Khi đóx + y = 13

.x + y = 13 xy = 36 Đ.ến đây ta dễ dàng giải được x = 9 y = 4 x = 4

Vậy hệ có hai nghiệm như trên.

√ Bài toán 1.14 Giải hệ phương trình sau √x + y −xy = 3

Lời giải. Điều kiện: x “ −1, y “ −1, xy

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được x + y + 2 + 2√ xy + x + y + 1 = 16 ⇔ x + y + √ xy + x + y + 1 = 14. Đặt S = x + y, P = √ xy(S “ −2, P “ 0), thay vào hệ ta được

Thêm điều kiện S ™ 14, bình phương hai vế thu được

Tìm được hai nghiệm S = 6 và S

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

.Đặt x√ y = u, y√ x =.v(u, v “ 0), thay vào hệ.đề bài ta được u + v = 6 u 2 + v 2 = 20 ⇔ u + v = 6

Nhận thấy x, y = 0, ta chia từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất được y = 4x, thay vào (1) ta có

2x√ x.+ 4x√ x = 6 ⇔ x√ x = 1 ⇔ x = 1 Từ đó y = 4, ta có một nghiệm (1; 4).

Giải tương tự như trường hợp một ta thu được một nghiệm (4; 1)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1; 4), (4; 1)

Lời giải. Điều kiện: xy ƒ= 0.

Hệ phương trình đề bài tương đương với

1 + 2 Từ đó thay vào hệ trên ta được

Từ đó√ta dễ dà√ng tìm đượ√c h ai ngh√iệm của hệ phương trình

y + 1 x = 2 Tương√tự như √trường hợp√một, ta √tìm được hai nghiệm của hệ là

3 3Σ Vậy h√ệ phương√trình có bố√n nghiệm√√ √ Σ Σ

Sau đây là một số bài có thể áp dụng cách giải tương tự như những bài vừa giải ở trên.

B.ài 1.[Dự bị 1 khối A 2005]Giải hệ phương trình x 2 + y 2 + x + y = 4 x(x + y + 1) + y(y + 1) t.2rình x 2 − xy + y 2 = 3(x − y) x 2 + xy + y 2 = 7(x − y) 2

Bài 2 [Dự bị 1 khối D 2006] Giải hệ phương

Bài 3 Giải hệ phương trình x 2 + y 2 = 5 x 4 − x 2 y 2 + y 4 13

Bài 4 Giải hệ phương trình

5 x 1 y 1 Bài 5 Giải hệ phương trình

Bài 6 Giải hệ phương trình Bài 7 Giải hệ phương trình

Bài 8 Giải hệ phương trình x 2 + x + y 2 + y = 18 xy(x + 1)(y + 1) = 72 Bài 9 Giải hệ phương trình

. x + y 3 = 19 Bài 10 Giải hệ phương trình

20 y Bài 11 Giải hệ phương trình

) = 5 Bài 12 Giải hệ phương trình

Bài 13 Giải hệ phương trình x + y − √ xy = 4 Bài 14 Giải hệ phương trình

= 41 Bài 15 Giải hệ phương trình

Bài 16 Giải hệ phương trình

Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh

 Dạng 1 : Xét hệ phương trình có dạng:

Nếu hai hàm số f và g cùng đồng biến trên một tập A và (x 1; x 2;

; x n ) là nghiệm của hệ phương trình, trong đó x i A, i = 1,

2, , n thì x 1 = x 2 = = x n Để chứng minh khẳngtổng quát ta giả sửđịnh trên, không mất tính x 1 = min{x 1; x 2; ; x n }.

Khi đó ta có x 1 ≤ x 2 suy ra f (x 1) ≤ f (x 2) Từ đó g(x 2) ≤ g(x 3), suy ra x 2 ≤ x 3 Tiếp tục quá trình đó, cuối cùng ta sẽ suy ra x n ≤ x 1. Tóm lại x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n ≤ x 1 Từ đó suy ra x 1 = x 2 = x n

Bài toán 1.17 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1994) Giải hệ phương trình

x3 + 3xy y 3 + 3y3 + ln(x23 + ln(y 2 y + 1) = zx + 1) z 3 + 3z − 3 + ln(z 2 − z + 1) = x

Do đó hàm số f (t) đồng biến trên R Hệ phương trình có thể được viết thành

Không mất tổng quát, giả sử x = min x, y, z Khi đó ta có x y suy ra f (x) f (y) hay y z Từ đó f (y) f (z) hay z x.

Phương trình đó có một nghiệm là x = 1.

Mà hàm số h(x) = x 3 + 2x 3 + ln(x 2 x + 1) đồng biến trên R nên x

= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 1.

 Dạng 2 : Xét hệ phương trình có dạng (với n lẻ)

Nếu hàm số f là nghịch biến trên tập A và g là đồng biến trên A, thì tất cả nghiệm x_i (i = 1, 2, , n) của hệ phương trình với x_i thuộc A sẽ bằng nhau, tức là x_1 = x_2 = = x_n Để chứng minh điều này, ta giả sử không mất tính tổng quát rằng x_1 là giá trị nhỏ nhất trong tập hợp các nghiệm x_1, x_2, , x_n.

Ta có x 1 ≤ x 2 suy ra f (x 1) ≥ f (x 2) hay g(x 2) ≥ g(x 1) Từ đó x 2 ≥ x 3,

Tiếp tục như vậy ta sẽ thu được f (x n ) ≥ f (x 1) hay g(x 1) ≥ g(x 2), suy ra

Tóm lại từ quá trình trên ta suy ra được x 1 = x 2 = = x n

Lời giải Nhận thấy vế trái của các phương trình trong hệ đều dương nên hệ chỉ có nghiệm x, y, z > 0.

Do đó hàm số f (t) nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Không mất tổng quát, giả sử x = min{x; y; z}.

Khi đó x ≤ y suy ra f (x) ≥ f (y) hay y ≥ z Từ đó suy ra f (y) ≤ f (z) hay z x

Do đó x = z Suy ra f (x) = f (z), nên y = x.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

 Dạng 3 Xét hệ phương trình có dạng (với n chẵn)

Nếu hàm số f nghịch biến trên tập A, g đồng biến trên A và (x 1; x 2; ; x n ) x 1 = x 3 = = x n−1 l.à nghiệm của hệ phương trình với xx 2 = x i 4 = = x∈ A, ∀i = 1, 2, , n n thì Để chứng minh khẳng định trên, ta giả sử x 1 = min x 1; x 2; ; x n

Ta có x 1 ≤ x 3 suy ra f (x 1) ≥ f (x 3) hay g(x 2) ≥ g(x 4) Suy ra x 2 ≥ x 4 Do đó f (x 2) ≤ f (x 4), suy ra g(x 3) ≤ g(x 5).

Tiếp tục quá trình, đến f (x n−2) ≤ f (x n ), suy ra g(x n−1) ≤ g(x 1) Do đó x n−1 ≤ x 1.

Suy ra f (x n−1) f (xx 2 Tóm lại ta có1) hay g(x n ) g(x 2), từ đó x n

Bài toán 1.19 Giải hệ phương trình sau

Lời giải Nhận xét vế trái của các phương trình trong hệ đều không âm nên hệ chỉ có nghiệm x, y, z, t ≥ 0.

Xét hàm số f (s) = (s − 1) 2 Ta có f ′ (s) = 2(s − 1) Do đó hàm số f đồng biếntrên khoảng (1; +∞) và nghịch biến trên [0; 1].

Không mất tổng quát, giả sử x = min{x, y, z, t}.

+ Nếu x ∈ (1; +∞) thì x, y, z, t ∈ (1; +∞), nên theo dạng 1 ở trên ta vừa xét, x = y = z = t = 2 + 3

+ Nếu s ∈ [0; 1] thì do tính liên tục và nghịch biến trên khoảng này của hàm f nên 0 ≤ f (x) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2y ≤ 1, từ đó cũng có y

Với x, y, z, t [0; 1], ta có x y suy ra f (x) f (y) hay y z Từ đó suy ra f (y) f (z) hay z x.

Suy ra x = z, và f (x) = f (z) Do đó y = t

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x = y = z t = 2 −

Hệ phương trình hoán vị vòng quanh với hai ẩn số, còn được gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai trong chương trình phổ thông, có cách giải đặc trưng là trừ từng vế của hai phương trình để tạo nhân tử chung x − y.

∈ ∈ hệ sẽ có nghiệm duy nhất √

.Với điều kiện x, y = 0 hệ trở thành x 2 3xy = 4y(1) y 2 3xy = 4x

Trừ từng vế hai phương trình và nhóm thành nhân tử ta thu được

Khi đó ta xét hai trường hợp

TH1 y = x thế vào (1) ta được x 2 + 2x = 0 Từ đây ta thu được hai nghiệm của hệ là x = y = 0; x = y = −2.

TH2 y = −x − 4 thay vào (1) ta được x 2 − 3x(−x − 4) = 4(−x − 4)

Từ đây ta cũng có nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là (0; 0), (−2; −2)

.x + 4x = y + 4(1) y 3 + 4y = x + 4 Trừ từng vế hai phương trình ta thu được

) 2 + 3 y 2 + 5 > 0 với mọi x, y nên suy ra x − y = 0

2 4 hay y = x, thế vào (1) ta có x 3 + 4x = x + 4 x 3+ 3x 4 = 0

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là x = y = 1

Hệ phương trình tương đương với

3xy 2 = x 2 + 2 Trừ từng vế hai phương trình ta được

Từ hệ phương trình đề bài, ta có nhận xét y

Hay 3xy + x + y > 0 Do đó x y = 0 x = y Thay y = x vào phương trình

(x 1)(3x 2 + 2x + 2) = 0 x 1 = 0 (vì 3x 2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm). Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x = y = 1.

Sau đây là một số bài ta có thể dễ dàng giải được tương tự.

B.ài toán 1.23 Giải hệ phương trình x 3 = 2y + x +

B.ài toán 1.24 Giải hệ phương trình x 3 = 3x + 8y y 3 = 3y +

B8x.ài toán 1.25 Giải hệ phương trình x 2 − 2y 2 = 5y + 4 y 2 − 2x 2 = 5x + 4

.Bài toán1.26 Giải hệ phương trình 2x = y 2 − 4y +

Bài toán 1.27 Giải hệ phương trình

B.ài toán 1.29 Giải hệ phương trình x 2 = x + y y 2 = y + x

B.ài toán 1.30 Giải hệ phương trình y = x 3 x = y 3

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y.

D.ạng tổng quát ax 2 + bxy + cy 2 = d a

* Xét x = 0 Thay vào hệ nếu tìm được y thỏa mãn thì hệ có nghiệm không thì vô nghiệm trong trong trường hợp này.

- Nếu có một trong hai d hoặc d ′ bằng 0, như d = 0 thì ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho x 2 , từ đó thu được phương trình có dạng

Giải phương trình này tìm được tỉ số

, từ đó rút y được theo x , lại thay vào x phương trình thứ hai thì tìm được y, từ đó thu được x.

Nếu cả d và d' đều khác 0, chúng ta có thể tạo ra một phương trình thuần nhất bằng cách nhân cả hai vế của từng phương trình với hệ số phụ tương ứng của d và d', sau đó trừ từng vế của các phương trình này.

Tiếp đó ta lại làm hoàn toàn tương tự như trên Sau đây là một số bài toán.

* Nếu x = 0 thì thay vào phương trình thứ hai không thỏa mãn.

* Nếux =ƒ 0, ta chia cả hai vế phương trình thứ nhất cho x 2 thì thu được

Từ đây có hai trường hợp

= 1 hay y = x, thay vào phương trình thứ hai ta có x 2 1

Từ đó thu được hai nghiệm

= 1 hay x = 2y, giải tương tự ta thu được thêm hai nghiệm

Vậy hệ có bốn nghiệm 2 ;

Bài toán 1.32 Giải hệ phương trình sau.

H.ệ đã cho tương đương với

Cộng từng vế hai phương trình ta có 31x 2 +26xy 5y 2 = 0 (31x 5y)(x+y) 0Từ đây ta có hai trường hợp:

+ TH1 31x − 5y = 0 ⇔ 31x = 5y Thế vào phương trình đầu ta dễ dàng tìm được hai giá trị của x thỏa mãn là x = −√

Từ đó hệ phương trình có hai nghiệm

241) và √241; √241 + TH2 y = −x Tương tự ta tìm được hai nghiệm nữa của hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt

B.ài toán 1.33 Giải hệ phương trình x 2 − 2xy − 3y 2 = 0(1) x|x| + y|y| = −2(2)

- Nếu y = 0, thì theo (1) ta có x = 0, nhưng thay x = y = 0 vào (2) thì vô lý, do đó y = 0 không thỏa mãn.

- Nếu y ƒ= 0, chia cả hai vế phương trình (1) cho y 2 ta được

−2 y − 3 = 0 Từ đó ta có hai trường hợp sau:

= −1 hay x = −y, thế vào phương trình (2) ta có

= 3 hay x = 3y, thê vào phương trình (2) ta có

+ Nếu y > 0 thì |y| = y, thay vào (3) vô nghiệm.

+ Nếu y < 0 thì |y| = −y, thay vào (3) được y 2 nghiệm của hệ phương trình là

1 Từ đây ta giải được hai 5

. Bài toán 1.34 Giải hệ phương trình.

Hệ phương trình tương đương gồm các phương trình x³ + xy² + x²y + y³ = 13 và x³xy² + x²y + y³ = 25 Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách tương tự như các bài trước, nhưng cũng có thể áp dụng phương pháp biến đổi và thế phù hợp để tìm ra nghiệm.

Cộng rồi trừ từng vế hai phương trình trên ta được hệ mới tương đương

Thế từ (1) vào (2) ta được (x − y) 3 + 3xy(x − y) = 19(2)

Thay y = x − 1 vào (1) ta có x 2 − x − 6 = 0, phương trình có hai nghiệm x = −2; x = 3 Từ đó ta tìm được hai nghiệm của hệ phương trình là:

Dưới đây là một vài bài cũng có thể được giải tương tự.

B.ài toán 1.35 Giải hệ phương trình x 3 − y 3 = 7 xy(x − y) = 2

Bài toán 1.36 Giải hệ phương trình

B.ài toán 1.37 Giải hệ phương trình x 3 − xy 2 + y 3 = 1

B.ài toán 1.38 Giải hệ phương trình y 3 x 3 = 7

B.ài toán 1.39 Giải hệ phương trình

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp thế

.Bài toán2.1 (Khối B-2008) Giải hệ phương trình x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 x 2 + 2xy = 6x + 6

Hệ đã cho tương đương với

- Với x = 0, thay vào đề bài ta thấy không thỏa mãn.

17 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (−4; −

B.ài toán 2.2 Giải hệ phương trình x 2 (y + 1)(x + y + 1) = 3x 2 4x + 1 (1) xy + x + 1 = x 2 (2)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2), do đó ta có thể chia hai vế của (2) cho x và thu được y + 1

, thế vào phương trình (1) ta được x 2

Từ đó ta tìm được hai nghiệm của hệ phương trình là (1;

- TH2: x = 2y + 1, thay vào (2) ta được:

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là (5; 2).

Lời giải. Điều kiện: xy ƒ= 0 (1) ⇔ x − y + x − y

- TH1: y = x, thế vào (2) ta được x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) 0

Từ đó ta dễ d√àng tìm đư√ợc ba nghiệm√của hệ ph√ương trình là

, thế vào phương trình (2), ta thu được x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 4 − x 2

Vậy hệ phương√trình có đ√úng ba nghiệ√m: √

Bài toán 2.5 Giải hệ phương trình sau.√

- TH1: y = x, thế vào phương trình (2) ta được hai nghiệm x = 1 hoặc

+ Với x = 1 ta có y = 1 (thỏa mãn).

- TH2: y = x − 1, thế vào phương trình (2) ta được hai nghiệm x 0hoặc x = 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (1; 1), ;

Lời giải. Đối với hệ này ta phải trừ vế với vế để tạo nhân tử chung xy(2y − x) = xy ⇔ xy(2y − x − 1) = 0.

- TH1 Nếu x = 0 hoặc y = 0 ta đều giải được nghiệm tương ứng là (0; 0).

- TH2 Nếu x = 2y − 1, thế vào (1) ta được phương trình

⇔ (y − 1)(10y − 9y + 1) = 0 Đến đây ta dễ√dàng tìm√được ba nghiệ√m của hệ √

Từ đó ta chia làm hai trường hợp

- TH1 √ x + y = 1 y = 1 x, thế vào phương trình (2) ta có

Từ đó ta có hai nghiệm (0; 1), (1; 0).

- TH2 √ x − y = 1 ⇔ y = x − 1, thế vào phương trình (2) ta có x.+ x − 1 = 1 x “ 1

Vậy hệ có hai nghiệm (0; 1), (1; 0).

Lời giải. Điều kiện: x > 0, từ (1) suy ra y “ 3

- Nếu y = 3, thay vào (1) ta có 2√ x + 3 = 0, không thỏa mãn vì x > 0.

Thế vào phương trình (2) ta có x + √ x + 3 + √ x = x + 3 x x √ x √ x

+ Xét √ x + √x + 3 = 0 suy ra √ x = 0 và √x + 3 = 0 (vô lý).

+ Xét √ x − √x + 3 + 1 = 0 √ x + 1 = √x + 3 x + 2 x + 1 = x + 3 2 x = 2 x = 1 (thỏa mãn điều kiện) Từ đó ta tìm được y = 8

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 8).

Sau đây là một số bài có thể giải bằng phương pháp tương tự

B.ài toán 2.9 Giải hệ phương trình y 2 = (5x + 4)(4 − x)

B.ài toán 2.10 Giải hệ phương trình

Phương pháp đặt ẩn phụ

Trong một số bài toán, việc sử dụng ẩn phụ là cần thiết để đơn giản hóa quá trình giải quyết, đặc biệt khi gặp các hệ phương trình có cụm ẩn lặp lại Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này.

H.ệ phương trình tương đương với: x 2 + 1 + y(y + x − 2) = 2y

, (u “ 1), khi đó hệ trở thành

- Nếu y = 0, thế vào (2) thì u = 0 không thỏa mãn.

- Nếu v = 1, ta có y = 3 x, thế vào (1) ta được x 2 + 1 + (3 x).3 = 4(3 x) x 2 + x 2 = 0.

Từ đó ta tìm được hai nghiệm

.Suy ra u 2 + v 2 = 3x + 2y + 1 Thế vào hệ trở thành u − v = 1

Từ đó ta tìm được.√ u = 2 v = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; −1).

Bài toán 2.13 Giải hệ phương trình sau

Hệ đã cho tương đương với

Đặt u = x 2 + y; v = xy, thay vào hệ ta được:

TH1 : u = 0 suy ra v 5 Từ đây

V.ậy hệ p.hương trình đã cho có hai nghiệm

Bài toán 2.14 Giải hệ phương trình sau. x(x + y + 1) − 3 = 0

Hệ đã cho tương đương với

Vậy hệ có hai nghiệm phân biệt: (2; 3

Bài toán 2.15 Giải hệ phương trình sau2

Vì y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho nên ta chia cả hai vế phương trình thứ nhất

cho y, chia từng vế phươngtrình thứ hai cho y 2 thì được hệ tương đương vớix + x

= u 2 − 2v Thay vào hệ trên ta có

Cộng từng vế hai phương trình này ta được u 2 + u − 20 = 0.

 TH1 : u = 4, suy ra v = 3 Từ đó

Từ đây ta thu được hai nghiệm: (3; 1), (1; 3).

 TH2 : u = −5, suy ra v = 12 Từ đó

1 y là hai nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 12 = 0 (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ có hai nghiệm (3; 1), (1; 3).

2x + y − 3 = 0. Đặt 2x + y = t(t “ 0), thế vào phương trình trên ta có t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t + 3) = 0 ⇔ t = 1 (vì t “ 0).

Từ đó suy ra 2x + y = 1 ⇔ y = 1 − 2x, lại thế vào phương trình (2) ta được x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x −3 Vậy hệ có hai nghiệm (1;

4x 2 Thế vào phương trình (2) ta được2

Do vậy x 1 là ng hiệm duy nhất của phươ ngtrì nh( ).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

; 2 2 Bài toán 2.18 Giải hệ phương trình sau

 Hệ đã cho tương đương với

T.hay vào hệ ta có

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; 0).

Lời giải y Điều kiện: xy ƒ= 0

Hệ phương trình tương đương với

1 + = v, thay vào hệ trên ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1).

Sau đây là một số bài toán hệ phương trình cũng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

B(x + y)(1 + xy) = 18xy.ài toán 2.20 Giải hệ phương trình

Bà.i toánΣ 2.22 Giải hệ phương trình x

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Một số hệ phương trình có thể được giải bằng phương pháp hàm số Để xác định khả năng giải quyết bằng phương pháp này, cần chú ý đến hai tính chất quan trọng.

- Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng

(a; b) Khi đó ta có f (u) = f (v) u = v (với u, v (a; b)).

- Tính chất 2: Nếu hàm số y = f (x) tăng trên (a; b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm trên (a; b) thì phương trình f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

Bài toán 2.23 Giải hệ phương trình sau. x − 5x = y 3 − 5y (1) x 8 + y 4 = 1 (2)

Từ phương trình (2) ta suy ra |x| “ 1, |y| “ 1.

Ta xét hàm số f (t) = t 3 5t trên [ 1; 1] Ta có f ′ (t)

= 3t 2 5 < 0, t [ 1; 1] Do đó hàm số nghịch biến trên [ 1; 1].

Mà theo (1) thì f (x) = f (y), do đó suy ra x = y Từ đấy thay y = x vào phương trình (2) ta có x 8 + x 4 = 1 ⇔√x 8 + x 4 − 1 = 0

T.ừ đ ó t ìm đư ợ.c h ai n g h i ệ m củ.a h ệ phư ơ n g tr.ình là

Bài toán 2.24 Giải hệ phương trình sau.

(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội)

Ta xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x

Phương trình này có nghiệm x khi và chỉ khi

Tương tự ta xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn y

Phương trình này có nghiệm y khi và chỉ khi

. Xét hàm số f (t) = 2t 2 − 3t + 4 trên [1; +∞), ta có f ′ (t) = 4t − 3 > 0, mọi tthuộc [1; +∞)

Do đó trên [1; +∞) hàm số f (t) đồng biến.

Từ đó, dựa vào điều kiện 1 ™ y ™ 7

3 ta có f (y) “ f (1) = 3, và dựa vào điều kiện

Mà theo (1) thì đẳng thức xảy ra do đó ta phải có

Tha y x = 2 y = 1 vào (2) ta có 2 2 + 1 2 + 2.1 − 7.2 − 6.1 + 14 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

⇔ 2(2x + 1) 3 + 2x + 1 = 2(√ y − 2) 3 + √ y − 2(3) Xét hàm số f (t) = 2t 3 + t trên [0; +∞) Ta có f ′ (t) = 6t 2 + 1 > 0, mọi t [0; +)

Suy ra hàm số đồng biến trên

Từ đó thay vào (2) ta được

- Nhận thấy y = 6 là một nghiệm của (4).

- Ta xét y > 6 thì 4y 8 > 4.6 8 = 16 suy ra

2y + 4 > 2 + 4 = 6, suy ra mọi y > 6 phương trình (4) vô nghiệm.

- Tương tự xét 2 ™ y < 6 ta có

2y + 4 < 2 + 4 = 6, tức là mọi y < 6 phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy y = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).

Từ đó, nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1

Xét hàm số f (t) = 2t 3 + t trên R Ta có f ′ (t) = 6t 2 + 1 > 0 t, suy ra hàm sốf (t) đồng biến trên R.

√1 − x = 2x 2 − 1 + 2x1 − x 2 (4). Đặt x = cos t, t [0; π] Ta suy ra sin t > 0, sin t

Vì t [0; π] nên t chỉ nhận giá trị t = 3π

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (cos 3π

Xét hàm số f (t) = t 3 − 3t trên [−1; 1] Ta có f ′ (t) = 3t 2 − 3 = 3(t 2 − 1) ™ 0, mọi t thuộc

[−1; 1] Suy ra hàm số nghịch biến trên

Mà theo (3) thì f (x) = f (y − 1), do dó phải có x = y − 1 ⇔ y = x + 1. Thay y = x + 1 v√ào phương trình (2) ta được x 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 1) Bài toán 2.28 Giải hệ phương trình sau.

.Đặt x√− 1 = u, y − 1 = v thay vào hệ đề bài ta có u + √u 2 + 1 = 3 v (1) v + v 2 + 1 = 3 u

Trừ từng vế hai phương trình trên ta được u + √ u 2 + 1 + 3 u = v + √ v 2 + 1 + 3 v (2).

Mà theo (2) thì f (u) = f (v) nên suy ra u = v, thế vào (1) ta có u + √ u 2 + 1 = 3 u

Ta thấy u = 0 là một nghiệm của phương trình (3).

Xét hàm số g(u) = ln(u + √ u 2 + 1) − u ln 3

Từ đó g(u) là hàm số nghịch biến Do đó u = 0 là nghiệm duy nhất của (3).

Ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 1).

Xét hàm số f (t) = t 3 − 3t Ta có f ′ (t) = 3t 2 − 3 = 3(t 2 − 1).

Xét trên cả hai khoảng ( 1; 1) và (1; + ) ta có f ′ (t) đều không đổi dấu, hay hàm số đều đơn điệu trên hai khoảng đó.

Mà theo (3) thì f (x 1) = f (y), do đó y = x 1, thế vào phương trình (2) ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2014; 2013)

Xét hàm số f (u) = u 3 + u ta có f ′ (u) = 3u 2 + 1 > 0 u Mà theo (3) ta có f (2x) = f (t).

Ta nhận xét x = 0 hoặc x = 3 đều không phải là nghiệm.

3 − 4x thỏa mãn phương trình (4) Do đó x = 1

4 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là

; 2 2 Sau đây là một số bài toán có thể được giải theo phương pháp hàm số

Bài toán 2.31 Giải hệ phương trình.√ x − √ y + √

B.2ài toán 2.33 Giải hệ phương trình x(x 2 + y 2 ) =√y 4 (y 2 + 1)

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

.Bài toán2.35 Giải hệ phương trình sau x 6 + y 8 + z 10 = 1 (1) x 2013 + y 2015 + z 2017 = 1 (2)

Đẳng thức x 6 x 2013 = x 6 (1 x 2007) “0 x 6” x 2013 chỉ xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1 Tương tự, đẳng thức y 8 y 2015 = y 8 (1 y 2007) “0 y 8” y 2015 xảy ra khi y = 0 hoặc y = 1 Cuối cùng, đẳng thức z 10 z 2017 = z 10 (1 z 2007) “0 z 10” z 2017 xảy ra khi z = 0 hoặc z = 1.

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta suy ra

Do đó dấu đẳng thức phải xảy ra, tức là

Kết hợp với (1), (2) ta thu được các nghiệm của hệ phương trình là

B3(x + y) = 2|xy + 1|.ài toán 2.36 Giải hệ phương trình sau(1)

5(x + y)(x 2 2xy + y 2 ) “ 0 5(x + y)(x y) 2 “, điều này đúng vì theo (1) thì (x + y) “ 0 và (x y) 2 “ 0. Điều (2), (3) chứng tỏ đẳng thức xảy ra, do đó x = y Thay y = x vào (1) ta có phương trình √

Vậy hệ có hai nghiệm x

B.ài toán 2.37 Giải hệ phương trình sau x 4 + y 4 = 2 (1) x 3 − 2x 2 + 2x = y 2 (2)

H.ệ phương trình tương đương với x 4 + y 4 x 3 − 2x 2 + 2x − 1 = y 2 − 1 x + y 4 = 2

Ta xét các trường hơp sau:

TH1 Nếu x > 1 thì (x1)(x 2 x + 1) > 0 Do đó y 2 1 > 0 y 2 > 1, suy ra y 4 > 1 Từ đó mâu thuẫn với phương trình (1) Do đó hệ vô nghiệm.

TH2 Nếu x = 1, thay vào hệ đề bài ta được y 4 = 1 y 2 = 1 ⇔ y = ±1

TH3 Nếu 0 < x < 1 thì (x 1)(x 2 x + 1) < 0.Do đó y 2 1 < 0 y 2 <

1 Tương tự như TH1, ta cũng suy ra mâu thuẫn với phương trình

(1) Do đó hệ vô nghiệm.

TH4 Nếu x < 0 thì x 3 − 2x 2 + 2x < 0 Do đó y 2 < 0, vô lý.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x; y) = (1; 1), (1; −1).

Ta nhận xét với x = 0y 0 Với x, y = 0:

Cộng từng vế hai phương trình ta có x + y +

Từ đó suy ra 2xy >9

Thử lại các nghiệm (0; 0) và (1; 1) đều thỏa mãn hệ phương trình đề bài Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là (0; 0), (1; 1).

Bài toán 2.39 Giải hệ phương trình sau

− Đầu tiên, ta viết lại hệ dưới dạng tương đương sau

y 3 − y 2 − 4 = 1 − x viết lại một lần nữa ta thu được

Ta xét các trường hợp sau đây

Từ (2) ta suy ra x < 1 từ đó hệ vô nghiệm.

Từ (2) ta suy ra x > 1 trường hợp này hệ cũng vô nghiệm.

Như vậy hệ có nghiệm là (x, y) = (1, 2).

Từ (1) ta thấy rằng: từ đó, ta suy ra y 2 = 2 x x 2 + 1

Mặt khác, từ (2) ta suy ra rằng

7(x − 1) 2 + 3(y 3 + 1) = 0, mà 7(x 1)0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 0 ; 3(y 3 + 1) 0 (do (*) ta suy ra 7(x1) 2 + 3(y 3 + 1)

Thử lại ta thấy hệ có nghiệm (x, y) = (1, −1).

B.ài toán 2.41 Giải hệ phương trình sau y = −x 3 + 3x +

Ta thấy = y = 2 là một nghiệm của hệ phương trình.

Ta viết lại hệ dưới dạng

Ta xét hai trường hợp sau đây đối với các giá trị của x

Từ (2) ta suy ray > 2 tức là hệ vô nghiệm.

Từ (2) ta suy ray < 2 tức là hệ vô nghiệm.

Thử lại ta thấy rằng x = y = 2 là nghiệm của hệ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (2, 2)

Cộng vế theo vế ta có

Mà y 2 + 6y + 21 = (y 3) 2 + 12 12 y và đẳng thức xảy ra khi y=3 (1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

⇒ x + 32 − x ≤ 8 ∀x ∈ [0; 32] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √ x = √32 x x = 16 (2)

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và kết hợp (2) ta có

5 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √

Từ (1) và (4) dấu bằng xảy ra khi x và y=3 thử vào hệ đã cho thấy thỏa mãn.

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (16; 3)

Bài toán 2.43 Giải hệ phương trình x y

√y + √ x = xy x 2010 + y 2010 = 8(xy) 2007 x y √ 4 Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có xy √

Suy ra x = y = √ 6 16 và đó là nghiệm của hệ

Tìm tất cả các cặp số dương (x;y) thỏa mãn hệ phương trình:

(*) Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

2x + y Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (x;y)=(3;3)

Một số bài tập tự luyện:

Bài toán 2.44 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình:

Từ điều kiện trên ta có x 2 ≤ 1

0; √ 2 và ab 2 (1)

Lời giải Ta xét bài toán

Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm x + 1 + y − 2 = √ m (1)

V.x + y − 1 + 2ới m “ 0 hệ p√hương trình đề bài tương đương với√xy + y − 2x − 2 = m x + y − 1 + 2 xy + x − 2y − 2 = m

Trừ từng vế hai phương trình trên cho nhau ta được

√xy + y 2x 2 = √ xy + x 2y 2 xy + y 2x 2 = xy + x 2y 2 x = y, thế vào (1) ta có x + 1 + √ x − 2 = √ m(2)

Do đó hàm số đồng biến trên [2; + ) Trên [2; + ), f (x) “ f (2) = 3 Hệ đề bài có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm ⇔ √ m “ 3 m “

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m “ 3 Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm.

Phương pháp đồ thị có thể được áp dụng để giải quyết một số hệ đơn giản Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số, được gọi là phương pháp tham biến.

Lời giải Viết hệ đã cho dưới dạng

⇔ xy = (1 − a 2 ) − 1 Điều kiện đối với a :

Với điều kiện (3.1) thì ta có nghiệm

Bài toán 3.3 Giải hệ x 2 + y 2 ≤ xy + 1 x 2 + y 2 ≤ 4xy

Lời giải Viết hệ đã c.ho dưới dạng x 2 + y 2 = xy + a + 1 x 2 + y 2 = 4xy + b a, b ≤ 0

Bài toán 3.5 Giải hệ x − y ≥ 1 x 2 − xy − 2y 2 = 3

Lời giải Viết hệ dưới dạng

Hệ phương trình và bất phương trình một ẩn

Sau đây ta sẽ đưa ra một số bài toán liên quan đến hệ phương trình và bất phương trình một ẩn.

Để xác định giá trị m cho hệ phương trình x^4 + y^4 ≤ m + x^2y^2 có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện α = β, do x và y có vai trò bình đẳng Khi đó, hệ trở thành α ≤ m và α^4 ≤ m^2 Nếu m < 0, không tồn tại giá trị α nào Ngược lại, nếu m > 0, sẽ có vô số giá trị α thỏa mãn.

4 m ≤ α ≤ min c) Xét m = 0.khi đó α = 0 Hệ có d.ạng m, √ 4

Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 0. Bài toán 3.7 Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất x 2 + 2y ≤ m y 2 + 2x ≤ m

Vì x và y có vai trò bình đẳng, nếu (x, y) = (α, β) là nghiệm thì (x, y) = (β, α) cũng là nghiệm Do đó, điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là α = β Thay vào hệ, ta có α² + 2α ≤ m, tương đương với α² + 2α - m ≤ 0 (3.2) Bất phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Thay vào hệ đã cho

Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = −1.

Lời giải Hệ đã cho tương đương với hệ x 2 + 3x + 1 y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (−1, −1, −1).

Bài toán 3.9 Xác định các giá trị m để hệ

Lời giải nếu một trong các bất phương trình f (x) := x 2 − 3x + m + 1 ≤ 0 (3.3) g(x) := x 2 − 5x + 4m + 2 ≤ 0 (3.4) vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.

Với điều kiện (3.5) thì ∆1 > 0 và

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi Σ

2) x 1 = x 4 x 3 x 2 x 3 + x 4 x 1 + x 2 5 3, trường hợp này không xảy ra.

Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 1.

Bài toán 3.10 Xác định các giá trị của m để hệ

Lời giải Nhận xét rằng bất phương trình g(x) := x 2 − 6x + 2m + 2 ≥ 0 (3.6) luôn luôn có nghiệm.

2 ) thì (3.6) nhận mọi x là nghiệm

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bất phương trình f (x) := x 2 − 5x + 9 − m ≤ 0 (3.7) có nghiệm duy nhất, hay ∆1

4 Giá trị này không phù hợp với điều kiện m ≥ 7

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Trường hợp này không xảy ra.

Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 3.

Bài toán 3.11 Hãy xác địnhcác giá trị a để hệ

Lời giải Cộng các vế tương ứng của hệ, ta được bất phương trình hệ quả

Vậy nếu a + 2 > 0 (⇔ a > −2) thì hệ đã cho vô nghiệm Xét a + 2 ≤ 0 ⇔ a ≤ −2. i) a < 2 thì x = 1 là nghiệm của hệ

Hệ này không thể có nghiệm duy nhất vì x = 1 nằm bên trong khoảng nghiệm của mỗi bất phương trình. ii) a = −2 Hệ có dạng 

x 2 + x − 2 ≤ 0 Bất phương trình thứ hai của hệ có nghiệm duy nhất x = 1 và nghiệm này thỏa mãn hệ.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = −2.

Bài toán 3.12 Xác định các giá trị của m để phương trình f (x) := x 2 − 2mx + m + 1 = 0 (3.8) có nghiệm và các nghiệm đó thỏa mãn bất phương trình g(x) := x 2 + 4mx + 2m + 2 ≤ 0 (3.9)

Lời giải Điều kiện để (3.8) có nghiệm là ∆ ′ 1 = m 2 − m − 1 ≥ 0 Σ

Khi đó gọi hai nghiệm của (3.8).là x 1 , x 2 , thì x 1 + x 2 2m x 1 x 2 m + 1

Cần xác định các giá trị m sao cho

Bà.i toán3.13 Xác định các giá trị của m để hệ f (x) := x 2 + 2mx + m − 1 ≤ 0 (3.15) g(x) := x 2 − 2(m + 1)x + m ≤ 0 (3.16) có tập hợp nghiệm lập thành một đoạn [α, β] với β − α = 1.

Lời giải Điều kiện đ.ể (3.15) và (3.16) đều có nghiệm là

Cần xác định m để có một trong bốn trường hợp sau: ii) x 1 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ x 2 và x 4 − x 3 = 1. iii) x 1 ≤ x 3 ≤ x 2 ≤ x 4 và x 2 − x 3 = 1. iv) x 3 ≤ x 1 ≤ x 4 ≤ x 2 và x 4 − x 1 = 1.

Vậy 4(m 2 m + 1) = 1 4m 2 4m + 3 = 0 Phương trình này vô nghiệm.

Trường hợp này không xảy ra.

Xét ii) Ta có (x 4 x 3) 2 = ∆2 = 4(m 2 + m + 1) = 1 4m 2 + 4m + 3 = 0. Phương trình này vô nghiệm.

Xét iii) Ta có −m + √ m 2 − m + 1 − (m + 1) + sqrtm 2 + m + 1 = 1

Thay m = 0 vào hệ, ta được x 1 = −1 ≤ x 3 = 0 < x 2 = 1 < x 4 = 2 Vậy m = 0 thỏa mãn.

⇔ 2m + √ m 2 + m + 1 + √ m 2 − m + 1 = 0 Nếu m ≥ 0 thì có ngay VT>0.

⇔ (m 2 − 1) 2 + 3m 2 > m 2 − 1. Điều này luôn luôn đúng ∀m < 0 Vậy trường hợp iv) không xảy ra. Kết luận: m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài toá.n3.14 Xác định các giá trị của m để hệ sau có nghiệm x 2 − 5x +

Lời giải Hệ phương trình tương đương với

Kết hợp với g(x) là hàm số liên tục trên [1; 4] ta có lập luận: Hệ đề bài có nghiệm ⇔ (3.18) có nghiệm x

Bài toán 3.15 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ sau có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện

Hệ đề bài có nghiệm khi và chỉ khi

√9 ⇔ 2 ≤ √ x ≤ 3 và [2; 3] là một đoạn con của

Vậy điều kiện để hệ có nghiệm là a > 5.

Bài toán 3.16 Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn

Lời giải Bất phương trình 3.23 tương đương với

Xét trên các khoảng của y ta giải bất phương trình (3.24) tương ứng:

Vậy miền nghiệm của (3.24) là [−3; 0].

Ta biến đổi (3.23) tương đương với

Ta có log35 > 0, y + 3 0 nên log35.(y + 3) 0 Mà (x + 1)(x 3) 0

Do đó theo (3.25) thì ta có

Thử lại hệ đề bài ta có hệ có hai cặp số (x, y) thỏa mãn là (−1; −3), (3;

Luận văn đã hoàn thành và đạt một số kết quả sau:

1 Giới thiệu tổng quan các hệ phương trình đại số cơ bản với các tính chất và cách giải chúng.

Khảo sát chi tiết và hệ thống các bài toán liên quan đến giải hệ phương trình chứa tham số, đồng thời áp dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm ra các giải pháp hiệu quả cho hệ phương trình.

3 Đưa ra một số ví dụ áp dụng từ các đề thi đại học, đề thi HSG và Olympic quốc gia và khu vực.

Định dạng
Số trang	152
Dung lượng	318,59 KB