Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận 25
Tích chập đối với phép biến đổi M
Định nghĩa 1.2.1 ([24]) Phép biến đổi M của hàm giá trị thực f (Z), đối xứng (f (A 1 B 1 , ã ã ã , A N B N ) = f (B 1 A 1 , ã ã ã , B N A N )) với
N đối số ma trận Z 1 , Z 2 Z N đợc xác định bởi tích phân sau
Z N >0 ρ − m +1 ρ j là các số phức, Re ρ j > m − 1
Z = (Z 1 , Z 2 , , Z N ), dZ = dZ 1 dZ 2 dZ N , dZ i = dx ijk , j≥k
Z N > 0 = {Z j > 0,j = 1, N}, Z j là ma trận thực (mì m) đối xứng xác định dơng.
Để xây dựng tích chập, phép biến đổi tích phân thường cần có phép biến đổi nghịch đảo Tuy nhiên, có rất ít trường hợp không có nghịch đảo mà vẫn có thể thực hiện tích chập, và phép biến đổi M là một ví dụ như vậy Định nghĩa 1.2.2 nêu rõ rằng tích chập của hai hàm f(Z) và g(Z) với N đối số ma trận được xác định trong ngữ cảnh này.
Z 1 , , Z n đối với phép biến đổi M (1.2.1) đợc xác định nh sau
Khi N = 1 và m = 1, công thức (1.2.2) trở thành tích chập Mellin Để khảo sát sự tồn tại của tích chập (1.2.2) cùng với một số kết quả tiếp theo trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng không gian hàm đã nêu.
∫ Định nghĩa 1.2.3 Không gian hàm L
Z N >0 Định lý 1.2.1 Giả sử f, g L (det Z) ρ− m+1 , Z N > 0 , khi đó tích chập
(1.2.2) thuộc không gian L (det Z) ρ− m+1 , Z N > 0 , và có đẳng thức nhân tử hoá sau:
= ∫ (det A) ρ− m+1 , ∫ (det Z ) −m f (AZ −1 )g(Z )dZ , dA
= ∫ (det Z ) −m , ∫ (det A) ρ− m+1 f (AZ −1 )dA , g(Z)dZ
= ∫ (det Z ) −m , ∫ (det UZ) ρ− m+1 (det Z ) m f (U )dU
Việc đổi thứ tự các tích phân ở trên là hợp lí, vì với các hàm f, g L
, các tích phân ở trên hội tụ tuyệt đối.
Vậy định lý (1.2.1) chứng minh
2 Định lí trên cho ta thấy sự tồn tại của tích chập (1.2.2) trong không gian hàm L
(det Z ) ρ− m , Z > 0 và nhận đợc đẳng thức nhân tử hóa
(1.2.3) Đẳng thức nhân tử hóa này rất quan trọng trong ứng dụng giải các phơng trình tích phân dạng chập.
Mệnh đề 1.2.1 Giả sử A 1 , A 2 , , A N , Z 1 , Z 2 , , Z N là các ma trận đối xứng xác định dơng (m m); các hàm g, h cho trớc thuộc không gian L (det
Z N > 0 ; λ là hằng số sao cho 1 + λMg ƒ= 0 Giả sử tồn tại một hàm k ∈
Khi đó, phơng tr×nh tÝch ph©n có nghiệm là: f (A) + λ
Chứng minh Từ (1.2.4) và Định lý 1.2.1 ta có
Từ (1.2.6) và từ giả thiết ta đợc
Sử dụng công thức (1.2.3) của Định lí 1.2.1 ta có
Từ Định lý 1.2.1 cho ta nghiệm f (A) ∈ L (det A) ρ− m+1 , A N >
Vậy Mệnh đề 1.2.1 chứng minh xong
Ví dụ 1 (Minh họa cho mệnh đề 1.2.1).
Giả sử A i , Z i , i = 1, N là các ma trận đối xứng xác định dơng (m ì m), hàm h(Z) thuộc không gian L
I q (Z|r, p i , n i , a i , α i ) bị chặn bởi hàm mò exp N
Khi đó phơng trình tích phân i=1 f (A) +
(det Z) −m I q (AZ −1 |r, p i , n i , a i , α i )f (Z)dZ = h(A) có nghiệm f (A) = h(A) − Z N
Từ ví dụ này cho ta thấy cả phơng trình dạng tích chập và nghiệm tìm đợc đều chứa hàm dạng I với nhiều đối số ma trËn. Σ N Σ Σ 1 +
Nội dung chính của chơng này là:
• Xây dựng đợc hàm dạng I với nhiều đối số ma trận Nghiên cứu đợc các tính chất của chúng.
• Xây dựng đợc tích chập đối với phép biến đổi M của các hàm với đối số ma trận, ứng dụng giải phơng trình tích phân dạng chập.
Phép biến đổi I và tích chập suy rộng đối với phép biến đổi
Phép biến đổi I
Phép biến đổi H, được nghiên cứu từ năm 1970, có hàm H là nhân của phép biến đổi này Để thuận lợi cho việc nghiên cứu, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa của phép biến đổi H một chiều.
∈ R, α i+1 > 2(Re a i − 1) sign α i , và f ∗ là biến đổi Mellin (xem [43]) của hàm f (x), σ = s, Re s = 1
2 Định nghĩa sau là một sự mở rộng của định nghĩa phép biến đổi H [55] Định nghĩa 2.1.2 Biến đổi I của hàm f đợc xác định nh sau f˜(x) = (If )(x)
1 f ∗ (s)x −s ds, x > 0, (2.1.2) trong đó (xem [16]) p i p i m i ,a i ,α i (s) = Γ m ij (b ij + α ij s), m ij Z, p i N, j=1 b =
90 i j 2 i j m i = (m i1 , m i2 , , m ip i ), a i = (a i1 , a i2 , , a ip i ), α i = (α i1 , α i2 , , α ip i ), α ij + 1 > (2 Re a ij − 1) sign α ij , j =
1, p i , i = 1, r, (2.1.3) f ∗ (s) là biến đổi Mellin (xem [27]) của hàm f (x), σ = s, Re s =
1 Σ Các tham số a i , α i đợc chọn sao cho r p i m i ,a i ,α i
Nhận xét 2.1.1 Nhân của phép biến đổi I một chiều chính là hàm I một biến số, và khi r = 1 thì phép biến đổi I trùng phép biến đổi H (xem
Khi α i = ±1, phép biến đổi I chuyển thành phép biến đổi G Để nghiên cứu sự tồn tại của phép biến đổi I và I −1, cũng như các tích chập suy rộng liên quan, chúng ta sẽ áp dụng không gian hàm được định nghĩa như sau.
Kí hiệu M −1 (L) là không gian của các hàm có thể biểu diễn đợc dới dạng f (x) = 1
I c, γ ∫ trong đó f ∗ (s) là hàm sao cho |s| γ f ∗ (s)e πc|s| ∈ L(σ) và σ = , s: Re s =
Nhận xét 2.1.2 a) f ∗ (s) chính là phép biến đổi Mellin của hàm f b) Không gian M −1 (L) là không gian định chuẩn đầy đủ với chuẩn là ǁf (x)ǁ M −1 ( ) = ∫ e πc| Im s| |s γ f ∗ (s)ds|
Bây giờ chúng ta sử dụng công thức đánh giá tiệm cận (xem [3]) của hàm Γ khi |s| → +∞ Γ(a + s) c (2π) 1 |s| s+a− 1 exp i(a + s − 1
Sử dụng công thức (2.1.5) ta có m j − | α || s| (b − 1 ) sign α + |αij| sign α Γ i (b ij + α ij s) ce
|s| ij 2 ij 2 ij p i m i ,a i ,α i (s) = Γ m ij (b ij + α ij s), m ij Z, p i N j=1 p i pi Σ
Ta xác định một cặp số đặc trng (c 0 , γ 0 ) nh sau c 0 = mi n c i Σ , γ 0 = mi n γ i Σ Σ j i j 2 i j i j 2 i j i=1, i=1,
Với cặp số đặc trưng (c₀, γ₀), chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại của phép biến đổi I và phép biến đổi ngược I⁻¹ trong không gian hàm đồng phôi Định lý 2.1.1 khẳng định rằng phép biến đổi I (2.1.2) tồn tại trong không gian M⁻¹(L) khi và chỉ khi điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Nếu (2.1.7) thoả mãn, khi đó phép biến đổi I (2.1.2) xác định ánh xạ đồng phôi từ không gian M −1 (L) lên không gian M − c
1 (L) Với điều kiện (2.1.3) th× ta c,γ có biến đổi ngợc có dạng sau đây:
1 và phép biến đổi ngợc (I −1 f˜)(x) tồn tại trong không gian hàm M − c
(s)f ˜ ∗ (s)x −s ds, x > 0 và f ˜ ∗ (s) là phép biến đổi Mellin của f˜(x) (xem [16], [55])
Chứng minh Để chứng minh định lí này ta dùng kĩ thuật trong [3] và [29] Từ (2.1.7) ta có (c 0 , γ 0 ) ™ (c, γ) (nghĩa là hoặc c 0 < c , γ tuỳ ý, hoặc c 0 = c , γ 0 ™ γ ) Do vậy r p i m i ,a i ,α i (s) c e −πc 0 |s| |s| −γ 0
Từ (2.1.9), (2.1.10) và định nghĩa 2.1.3 suy ra hai không gian đồng phôi.
Chú ý rằng ta có thể chứng minh hai không gian đồng phôi bằng cách khác sau đây. Đặt Θ(s) = r p i m i ,a i ,α i
Nhờ đánh giá tiệm cận của hàm Γ, ta nhận đợc Θ(s) = O e πc 0 | Im s| | Im s| γ 0 Σ khi |s| → s và Re s = 1
Do đó ta đợc supΘ(s) < k 1 < +∞ s∈ σ
(L) Điều đó chứng tỏ rằng
(L) , với mọi k 2 , k 3 ∈ R + Từ đó hai không gian hàm nói trên đồng phôi.
Bây giờ chúng ta chứng minh công thức (2.1.8) xác định phép biến đổi ngợc của
Do tính đồng phôi của hai không gian nên tác động phép biến đổi Mellin vào hai vế của đẳng thức trên ta nhận đợc
0 Định lí đợc chứng minh xong.
X Định lí trên cho thấy sự tồn tại của phép biến đổi I và phép biến đổi
Dựa trên M − c 1 (L), chúng ta sẽ phát triển một số tích chập suy rộng cho hai phép biến đổi tích phân I và I −1 Để thực hiện điều này, chúng ta sử dụng dạng Mellin - Parseval của các phép biến đổi I và I −1.
Nhận xét 2.1.3 Dạng Mellin-Parseval của phép biến đổi I và phép biến đổi ngợc của nó có dạng nh sau.
−γ 0 (L) ở đây H(x|p i , m i , a i , α i ) là hàm H của Fox (xem [16]), I(x|r, p i , m i , a i , α i ) là hàm I một biến số (xem [30]), p i δ 0 = min i=1,r δ i , δ i = m ij α ij j=1
Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi I
Trớc hết, ta xây dựng các phép biến đổi I k nh sau
Sử dụng phơng pháp xây dựng tích chập suy rộng của nhiều phÐp biÕn đổi tích phân trong [28, 54, 55] chúng ta xây dựng đợc các tÝch chËp ( k ) f i ∗ j và
) trong các không gian M −1 (L) (tơng ứng, không gian ảnh
(f k g ) trong không gian M −1 (L) đợc xác định bởi i ∗ j
, m kA , a kA , α kA (u + s) Θ i (u) = r i p ih m ih ,a ih ,α ih
(u) Σ−1 , và hàm I hai biến sè h=1
Chúng ta chú ý rằng trờng hợp i = j = k thì (2.2.2) trở thành tích
(2πi) i j σ s m kA ,a kA ,α kA x i x j σ u chập thông thờng Do đó, trong phần còn lại của chơng 2, ta luôn luôn giả thiết i ƒ= j, k ƒ= j, k ƒ= i Định nghĩa 2.2.2 Tích chập
(F k G ) trong không gian M −1 (L) đợc xác định bởi i ∗ j
Giả sử bộ tham số thoả mãn điều kiện
+2 sign (γ k + γ 0k − γ 0i − γ 0j − δ 0k ) ≥ 0 và cặp chỉ số đặc trng (c J k , γ k J ) đợc xác đinh bởi
2γ k − γ 0j − γ 0i − γ 0k − δ 0k )) nÕu c 0i = c 0j , trong đó (c 0k , γ 0k ) là cặp số đặc trng đối với các phép biến đổi tÝch ph©n
Định lý sau đây chứng minh sự tồn tại của tích chập suy rộng (2.2.2) trong các không gian hàm cụ thể, đồng thời nêu rõ đẳng thức nhân tử hoá liên quan đến nó.
Định lý 2.2.1 Giả sử các hàm f i , g j ∈ M −1 (L) và điều kiện (2.2.4) thoả mãn thì khi đó tích chập (f g ) ∈ M −1 (L) Tích chập (f k g ) thoả mãn đẳng i ∗ j thức nhân tử hoá sau đây: c J k ,γ k J j ∗ j
Chứng minh Với các hàm f i , g j thuộc không gian M −1
Trong phần 2.2.4, chúng ta đánh giá tiệm cận biểu thức nhân Θ i (s)Θ j (u)X p kA (u + s) của tích chập suy rộng (f k nhân g), đồng thời cũng đánh giá tiệm cận biểu thức i ∗ j trong phép biến đổi I ở chứng minh định lý 2.1.1 Kết quả thu được là tích chập.
(f k g ) của khôngtồn tại và thuộc M −1 (L), với (c J , γ J ) là cặp số đặc trng i ∗ j c J k ,γ k J k k gian đợc xác định nh trên Ta có
A=1 (2πi) 2 σ s σ u p kA x i x j × X m kA ,1−a kA ,α kA (s + u)dsdu r k 1
+∞ x i x j × , ∫ 0 t s+u−1 H t p kA , m kA , 1 − a kA , α kA Σ dt , dsdu r k +∞
Từ đó và từ nhận xét 2.1.3 ta có k Σ
Do định lí 2.1.1, ta nhận đợc đẳng thức nhân tử hóa
I k (f i ∗ g k j )(y) = (I i f i )(y)(I j g j )(y) Định lí đợc chứng minh.
Nhận xét 2.2.1 Nếu chúng ta xét cặp số đặc trng sau (c J k J , γ k JJ ) sao cho thoả mãn đợc(f g ) ∈ M −1 (L) với mọi hàm f , g ∈ M −1 (L), khi đó ta có bao i ∗ j hàm thức sau c
Trong trường hợp đặc biệt khi chỉ số tổng r i = r j = 1, chúng ta có thể xác định nhân của tích chập suy rộng (2.2.2) Tình huống này dẫn đến đẳng thức nhân tử hóa liên hệ giữa phép biến đổi I và phép biến đổi H.
Hệ quả 2.2.1 Nếu r i = 1, r j = 1, khi đó nhân của tích chập suy rộng
A η A A A A trong đó A, η = i, j, A ƒ= η và hàm số ở vế phải của công thức thứ nhất là một hàm H hai biến số (xem [6]).
Ngoài ra trong những trờng hợp cụ thể này đẳng thức nhân tử hoá (2.2.5) trở thành
Giả sử các bộ tham số thoả mãn điều kiện sau đây
Trong đó cặp (c J k , γ k J ) đợc xác định nh sau:
(F G ) ∈ M −1 (L) khi và chỉ khi các điều kiện (2.2.8) thoả mãn. b) Tích chập (F j ∗ G j ) ở (2.2.3) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau ®©y:
Hệ quả này đợc xây dựng là dựa vào công thức (2.1.8) và phơng pháp trong [17] Chứng minh hoàn toàn tơng tự nh định lí 2.2.1. k k
Nhận xét 2.2.2 Nếu cặp số đặc trng (c J k J , γ k JJ ) đợc chọn sao cho thoả mãn k
Hệ quả 2.2.3 Đẳng thức (2.2.9) có thể viết dới dạng sau r k p kt m kt ,a kt ,α k t t=1
Khi chỉ số r k = 1, chúng ta có thể tính toán nhân của tích chập suy rộng (2.2.3) và đồng thời nhận được một số đẳng thức nhân tử hóa thông qua phép biến đổi H tác động vào tích chập suy rộng này.
Hệ quả 2.2.4 Nếu r k = 1, khi đó nhân của tích chập suy rộng (2.2.3) là Σ x k /x i
trong đó A = i, j, η = i, j, η ƒ= A, và khi đó đẳng thức nhân tử hoá
Ví dụ 1 (Minh hoạ cho các định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.2)
Xét phép biến đổi ngợc của phép biến đổi I (xem [8])
Từ các công thức (13), (18), (19) (21), (22) trong ([8] tr.24-25) và định lý 2.2.1 ta cã
1 + Γ(−s) trong đó Γ(.) là các hàm Gamma Euler.
Khi đó tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi I i có dạng sau đây.
∫ trong đó các nhân của tích chập (2.2.13) lần lợt là:
Ngoài ra tích chập (2.2.13) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau ®©y:
Từ (2.1.6) và hệ quả 2.2.2 ta có c 01 = c 02 = c 03 = 0, 1 γ 01
Từ đó ta chọn đợc các cặp chỉ số đặc trng cho các không gian hàm và nhận đợc: a) (f g ) ∈ M −1 (L), c J = c , γ J = min(γ − 4, 2γ − 5/2), c
Các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi I i trong không gian ảnh là
0 0 y i y j i i j j i j trong đó nhân của nó cho bởi Σ
Tích chập (2.2.18) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau ®©y
Với k = 3 , định lí sau cho ta một số hệ thức hỗn hợp liên hệ giữa các tích chập suy rộng đối với phép biến đổi I
3 3 3 3 3 3 Định lý 2.2.2 Giả sử các tích chập suy rộng (f 1 3 ∗g 2 )(a Aij ±1), A = 1, 3, i =
1, r A , j = 1, p i có đợc từ (2.2.2), nếu trong vế phải nhân tử Γ Aij (a Aij + α Aij (2
A) 2 s + ( A − 1)(4 − A) t) đợc thay bởi 2 Γ sign(m Aij )
Hơn nữa, giả sử a Aij 0 = a Aj 0 , α Aij 0 = α Aj 0 , a Aik o = a Ak 0 , α Aik 0 = α Ak 0 , i
= 1, r A , A = 1, 3 Khi đó ta có các đẳng thức sau
= (a 1ij 0 α 1ik 0 + α 1ij 0 − α 1ik 0 − α 1ij 0 a 1ik 0 )(f 1 ∗ g 2 )(x),
(2.2.21) víi m 1ij 0 < 0, α 1ij 0 < 0, m 1ik 0 < 0, α 1ik 0 > 0, i = 1, r 1 , j 0 , k 0 = 1, p 1 ;
= (a 2ij 0 α 2ik 0 + α 2ik 0 + α 2ij 0 − a 2ij 0 α 2ij 0 )(f 1 ∗ g 2 )(x),
(2.2.22) víi m 2ij 0 > 0, α 2ij 0 < 0, m 2ik 0 < 0, α 2ik 0 < 0, i = 1, r 2 , j 0 , k 0 = 1.p 2 ; c) α 3ηt 0
Chứng minh d) Từ (2.2.2), áp dụng cho k = 3 và thay x k = x ta nhận đợc các đẳng thức tích chập sau đây. α 3ηt 0
Từ đó, theo tính chất của hàm Gamma, Γ(z + 1) = zΓ(z)
(công thức (1), [4], tr.17), tính toán ta nhận đợc d).
Ba đẳng thức còn lại a), b), c) của định lí cũng đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Trong phần này chúng ta tiếp tục xây dựng tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi I k với k = 4,
6. Định nghĩa 2.2.3 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi I k , với k = 4, 6, đợc xác định nh sau
Với các hàm đặc biệt như hàm Bessel loại một, hàm Bessel biến dạng loại ba và hàm trụ Parabolic, chúng ta có thể thiết lập các hệ thức tích phân quan trọng Định lý 2.2.3 chỉ ra các đẳng thức liên hệ giữa các tích chập này.
(.) là hàm Bessel loại một (xem [5]), Re ν > 3
2 2 trong đó K ν (.) là hàm Bessel biến dạng loại ba (xem [5]);
∫ trong đó D ν (.) là hàm trụ parabolic (xem [5]), ν ∈ C.
Chứng minh a) Từ (2.2.2) và từ công thức 6.8.1 trong [5], (tr 286)
Đẳng thức (2.2.28) đã được chứng minh hoàn tất Tương tự, từ các công thức 26 trong tài liệu [5] (trang 289) và công thức 1 trong [5] (trang 294), chúng ta có thể xác minh các đẳng thức còn lại của định lý.
Nội dung chính của chơng này là:
• Xây dựng đợc phép biến đổi I và I −1 , chỉ ra sự tồn tại của các phép biến đổi này trong các không gian hàm đồng phôi.
Xây dựng tích chập suy rộng theo chỉ số cho các phép biến đổi I và I −1, từ đó nghiên cứu các tính chất của chúng Đồng thời, thiết lập các đẳng thức liên hệ giữa tích phân và các tích chập suy rộng theo chỉ số khác của các hàm đặc biệt.
Các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev ngợc (K −1 ), Fourier sine (F s ) và cosine (F c ) 69 3.1Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân K −1 , F s , F c và ứng dụng giải một lớp hệ phơng tr×nh tÝch ph©n
Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân F c , K −1 và ứng dụng giải một số hệ phơng trình tÝch ph©n
Đổi tích phân F c , K −1 là một kỹ thuật quan trọng trong việc giải quyết các hệ phương trình tích phân Định nghĩa 3.2.1 trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = 1 y sh(πy), áp dụng cho hai hàm f và g Phương pháp này liên quan đến các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, giúp mở rộng khả năng phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp trong lĩnh vực tích phân.
Lebedev ngợc (F c , K −1 ) đợc xác định nh sau
Trong định lí dới đây chúng ta nhận đợc sự tồn tại của tích chập suy rộng với hàm trọng (3.2.1) trong không gian hàm cụ thể và chứng minh c, s c c c, s ã ∗
Đẳng thức nhân tử hóa cho thấy có hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia, điều này tạo ra sự khác biệt rõ rệt so với kết quả trước đó.
S B Yakubovich [56]. Định lý 3.2.1 Giả sử f ∈
R + Σ Khi đó tích chập Σ suy réng (f ∗
3 g)(x) thuộc L(R + ) và thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F c) và phép biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev (K −1) Chứng minh rằng với mọi x, hàm ch x có tính chất chẵn, do đó -u ch x và e −u ch x giữ nguyên tính chất này với mọi u > 0.
(3.2.3) Hơn nữa, từ giả thiết f ∈
Nh vậy tích chập (3.2.1) tồn tại. u
Ta lại có ch (x − v) “ (x−v) 2 nên −u ch (x − v) ™ −u (x−v) 2 , ∀u >
Kết hợp (3.2.5) và (3.2.6) suy ra
Bây giờ ta sẽ chứng minh tích chập suy rộng (3.2.1) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá (3.2.2) Ta có γ(y)(K −1 f )(y)(F c g)(y) =
Từ công thức 1 ([5], tr 130), ta đợc γ(y)(K −1 f )(y)(F c g)(y) =
+∞ +∞ cos y(α − v) e −u ch α dα = cos(yt) e −u ch(t+v) dt (3.2.9)
Tơng tự, sử dụng các công thức (3.2.8) và (3.2.9) ta có:
= cos(yt) e −u ch(t−v) dt + cos(yt) e −u ch(t+v) dt + cos(yt) e −u ch(t+v) dt v −v 0
= cos(yt) e −u ch(t+v) dt + cos(yt) e −u ch(tv) dt
= cos(yt) Σ e −u ch(t+v) + e −u ch(t−v) Σ dt
Ngoài ra, sử dụng (3.2.7) - (3.2.10) trong tính toán ta đợc γ(y)(K −1 f )(y)(F c g)(y) =
Vậy đẳng thức nhân tử hoá (3.2.2) đã đợc chứng minh xong.
Mệnh đề 3.2.1 Tích chập suy rộng (3.2.1) không giao hoán, không kết hợp và thoả mãn các đẳng thức sau γ γ
√ γ γ 1 Σ γ γ 1 1 + x3 Σ h ∈ L R + , 1 Σ ; g, k ∈ L 1 (R + ) (3.2.14) γ γ 1 trong đó tích chập suy rộng (ã ∗
2 ã) đợc xác định bởi (3.1.2) và (ã
Chứng minh Theo định lý 3.2.1 và các đẳng thức nhân tử hóa ở (3.1.11) ta có
F ∗ h, c c c ta có a) chứng minh xong.
Các phần b), c) chứng minh hoàn toàn tơng tự nh trên. d) Từ các đẳng thức nhân tử hoá của các tích chập (3.2.1), (3.2.14), (3.1.3), (3.1.4) và (3.1.11) cho ta:
Mệnh đề đợc chứng minh xong.
Mệnh đề 3.2.2 Không tồn tại phần tử đơn vị trái cho tích chập suy rộng
Chứng minh Giả sử tồn tại phần tử đơn vị trái e ∈ L cho
Theo định lý 3.2.1 ta cã
(3.2.15) Điều này mâu thuẫn khi ta sử dụng công thức 12.1.5 ([5], tr 131) thì tích phân K(y sh(πy)) không hội tụ Mệnh đề chứng minh xong.
Nhắc lại tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier, đợc xác định trong [34] và [45] bởi
−∞ thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá
F ∗ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, (3.2.17) và F là phép biến đổi tích phân Fourier (xem [5]).
Mệnh đề 3.2.3 Đối với tích chập suy rộng (3.2.1) ta có đẳng thức sau đây
R + Σ Chứng minh Sử dụng công thức (3.2.1) ta cã
(f g)(x) = ∗ e ưu ch(x+v) + e ưu ch(xưu)
Mệnh đề chứng minh xong.
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng tích chập suy rộng (3.2.1) cùng với một số tích chập trước đó để giải quyết hệ phương trình tích phân Việc xem xét hệ phương trình tích phân này là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về các phương pháp giải tích liên quan.
+ √ x 3 Σ ϕ ∈ L R + , √ x 3 , k, ψ, h ∈ L(R + ), λ 1 , λ 2 là các hằng số phức đã biết, f và g là các ẩn hàm.
Mệnh đề sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm của hệ
(3.2.19, 3.2.20) và cho cấu trúc nghiệm dới dạng đóng.
Khi đó hệ phơng trình tích phân (3.2.19, 3.2.20) có nghiệm duy nhÊt f (x), g(x) Σ dạng f (x) = h(x) + (l
(3.2.23) trong đó, l(x) ∈ L(R + ) và đợc xác định bởi γ
Chứng minh Giả sử hệ (3.2.19, 3.2.20) có nghiệm trong không gian L(R + ) Khi đó sử dụng định nghĩa của tích chập suy rộng (3.2.1) ta viết hệ (3.2.19, 3.2.20) dới dạng sau. f (x) + λ 1 (ϕ ∗ γ
Sử dụng đẳng thức nhân tử hoá của các tích chập (3.2.1) và tích chập (3.1.10) ta đợc
Theo định lý Wiener-Lévy (xem [2]), tồn tại duy nhất hàm l(x) ∈ L(R + ) sao cho
Nhờ sự tồn tại của tích chập (ã
F ∗ ã) trong không gian L(R + ) và định lý
Nhờ sự tồn tại của tích chập (ã
Sử dụng đẳng thức nhân tử hoá của tích chập suy rộng và các đẳng thức nhân tử hoá đã biết, chúng ta có thể kiểm tra rằng các hàm f và g xác định thỏa mãn hệ phương trình đã cho Mệnh đề đã được chứng minh thành công Bên cạnh đó, cần xem xét hệ phương trình tích phân.
0 trong đó λ 1 , λ 2 là √ các số phức;
1 + x 3 Σ f và g là các ẩn hàm cần tìm, và
+ sh(z + x + v)e −u ch(z+x+v) + sh(z + x − v)e −u ch(z+x−v) dudz
Mệnh đề sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm của hệ
(3.2.24, 3.2.25) và cho cấu trúc nghiệm dới dạng đóng.
Mệnh đề 3.2.5 Giả sử rằng γ γ 1 Σ
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm trong L(R + ) của hệ phơng trình (3.2.24, 3.2.25) cho bởi f (x) = h(x)
F trong đó l ∈ L(R + ) và đợc xác định bởi λ λ F ϕ γ (ξ γ 1 ψ) Σ
2 ã) đợc xác định bởi (3.1.2). Chứng minh Giả sử hệ phơng trình (3.2.24, 3.2.25) có nghiệm trong không gian L(R + ) Khi đó hệ có thể đợc viết lại nh sau f (x) + λ 1 (ϕ ∗ γ
Sử dụng các đẳng thức nhân tử hoá đối với các tích chập
Hệ trên tơng đơng với
Theo định lý Wiener-Lévy (xem [2]), tồn tại duy nhất một hàm l ∈ L(R + ) sao cho λ λ F ϕ γ (ξ γ 1 ψ) Σ
Nhờ sự tồn tại của tích chập (ã
F ∗ ã) trong không gian L(R + ) và định lý
Nhờ sự tồn tại của tích chập (ã ∗ ã) và ( ) L(R trong không gian ) dẫn đến g(x) ∈
Dễ dàng kiểm tra f , g xác định nh trên đúng là nghiệm của hệ phơng trình (3.2.24) - (3.2.25) Mệnh đề đợc chứng minh xong.
Nhận xét 3.2.1 Trong một số kết quả đã biết ở [14, 35, 47, 50, 51, 53, 54, 55,
Các tích chập được xây dựng trước đây đều có đặc điểm chung là chỉ sử dụng một phép biến đổi tích phân hoặc các phép biến đổi thuộc cùng một họ Tuy nhiên, các tích chập suy rộng với hàm trọng K −1, F s, F c được giới thiệu ở đây khác biệt, vì chúng bao gồm nhiều phép biến đổi tích phân khác nhau trong các đẳng thức nhân tử hóa Những tích chập suy rộng này không giao hoán và không kết hợp Hệ phương trình tích phân được xây dựng nhằm minh họa ứng dụng của các tích chập suy rộng mới, với các mệnh đề khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm trong không gian hàm L(R +) và cấu trúc nghiệm dưới dạng đóng thông qua tích chập suy rộng mới và các tích chập đã biết trước đó Cần nhấn mạnh rằng những hệ phương trình này chỉ có thể được giải bằng công cụ tích chập suy rộng mới.
Kết quả chính của chơng của chơng này là:
• Xây dựng đợc ba tích chập suy rộng mới với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân (F s , K −1 , F c ); (F c ,
K −1 , F s ); (F c , K −1 ) cùng với các tính chất của chúng cũng nh một số mối liên hệ với các tích chập đã biết.
• ứng dụng các tích chập suy rộng mới này vào giải một số hệ phơng trình tích phân kiểu tích chập suy rộng, nghiệm nhận đợc dới dạng đóng.
Những kết quả chính của luận án là
1 Xây dựng đợc hàm dạng I với nhiều đối số ma trận, từ đó đi nghiên cứu các tính chất của chúng Xây dựng đợc tích chập đối với phép biến đổi M của hai hàm f, g với nhiều đối số ma trận, và ứng dụng để giải phơng trình tích phân kiểu tích chập.
2 Xây dựng phép biến đổi I , chỉ ra không gian hàm cho sự tồn tại của các phép biến đổi này, nhận đợc phép biến đổi ngợc và chứng minh đợc ánh xạ đồng phôi giữa các không gian đó Từ đó đi xây dựng tích chập suy rộng đối với phép biến đổi I và I −1 , nghiên cứu các tính chất của chúng Trong trờng hợp đặt biệt của các tham số r k = r i = r j = 1 Nhận đợc các đẳng thức nhân tử hóa với sự tham gia của phép biến đổi H và I Xây dựng thí dụ minh họa cho sự tồn tại của các tich chập suy rộng của phép biến đổi I và I −1 trong không gian hàm chỉ ra , nhờ một số hàm đặc biệt khác mà chúng tôi nhËn đợc các liên hệ giữa các tích chập này với nhau trong những trờng hợp chỉ số k = 3, 4, 5, 6.
3 Chọn ba phép biến đổi tích phân F s , K −1 , F c để xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân này nh là một trờng hợp áp dụng cho lí thuyết tổng quát ở chơng 1 và chơng 2 Nghiên cứu sự tồn tại của các tích chập suy rộng này Đặc biệt ứng dụng các tích chập mới này vào giải một số lớp hệ ph- ơng trình tích phân kiểu tích chập
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
1 Nghiên cứu điều kiện tồn tại của hàm dạng I với nhiều đối số ma trận, thậm chí ngay cả trờng hợp riêng là hàm H với nhiều đối số ma trận.
2 Xây dựng phép biến đổi tích phân cho lớp hàm I nhiều biến số và hàm dạng I nhiều biến số, từ đó nghiên cứu tÝch chËp suy réng theo
99 chỉ số đối với các phép biến đổi tích phân này cũng nh đa chập của nó.
3 Với mỗi tích chập suy rộng (f ∗ g) của bộ ba phép biến đổi tích phân F s , K −1 , F c ta có thể cố định một trong hai hàm f hoặc g để nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng cũng nh đa chập của ba phép biến đổi tích phân này Đặc biệt ứng dụng các tích chập suy rộng cho nhóm các phép biến đổi tích phân F s , K −1 , F c để giải một số lớp phơng trình tích phân với nhân Toeplitz +Hankel dới dạng nghiệm đóng.
Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án đã đợc công bố
1 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2003), On the Generalized Con- volution for I -transform, Acta Mathematica Vietnamica Vol.28, No 2, 159-174.
2 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2004), Basic Analogue of I− Function of Several Matrix Arguments.
Vietnam Journal of Mathemat- ics Vol 32, No 4, 419 - 431.
3 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolutions of the Integral Kontorovich
- Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales
Univ Sci Budapest, Sect Comp
4 Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier Cosine and the Inverse Kontorovich - Lebe- dev integral tranformations.
Nonlinear Functional Analysis and Appli- cations Korea Vol.12,No.2, 325 - 341.