PHẫP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN KIEU TÍCH CHắP FOURIER
Đ%nh lí kieu Watson
Trưóc tiên, ta chúng minh đang thúc Parseval sau đây
Bo đe 1.1.1 Cho hai hàm f, g ∈ L 2(R+) Khi đó ta có đang thúc Parseval sau f (u)[sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|) + sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|)
Chúng minh Gia su f 1 và g 1 tương úng là mo r®ng le cna f và g tù R+ vào
R Khi đó trên R+ ta có Ff 1 = −iF s f và Fg 1 = −iF s g Su dung đang thúc
Parseval đoi vói phép bien đői Fourier ta có
Hàm số \( Ff_1(u)F g_1(u) \sin(x + 1)u \) và hàm số \( Ff_1(u)F g_1(u) \sin(x - 1)u \) là các hàm số lẻ đối với \( u \), do đó tích phân trên \( R \) của chúng bằng 0 Từ đó, ta suy ra rằng \( f(u) \left[ \text{sign}(x + u - 1)g(|x + u - 1|) + \text{sign}(x - u + 1)g(|x - u + 1|) \right] \).
(Ff 1)(u)(F g 1)(u) sin u sin(xu)du
(Ff 1)(u)(F g 1)(u) sin u sin(xu)du
Bő đe đã chúng minh xong Q Σ Σ Đ%nh lí 1.1.1 Gia su k 1 , k 2 là hai hàm so trong không gian L 2(R+) Khi đó đieu kiắn
|2 sin y(F s k 1)(y) + (F c k 2) (y)| √ 1 2π(1 + y 2 ), (1.5) là can và đu đe phép bien đői tích phân dang f (x) ›→ (K 1;k 1 ,k 2 f )(x) g(x), trong đó g(x) xác đ%nh như sau
0 , , (1.6) là unita trên L 2(R+) và phép bien đői ngưac có dang sau f (x) d 2
0 , , (1.7) á đây k 1 , k 2 là liên hap phúc tương úng cua k 1 , k 2
Nhắn xột 1.1.1 Phộp bien đői (1.6) và phộp bien đői ngưoc cna nú (1.7) cú the viet lai dưói dang sau
Chỳng minh (Đ%nh lớ 1.1.1) Đieu kiắn can Gia su k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (1.5) Ta biet rang cỏc hàm h(y), yh(y), y 2 h(y) thuđc khụng gian
L 2(R) khi và chi khi đong thòi các hàm (Fh)(x), d (Fh)(x) và d 2 (Fh)(x) cũng dx thu®c L 2(R) (Đ%nh lí 68, tr 92, [41]) Ngoài ra, dx 2 d2 1 d 2
−ix y Σ 2 Σ Đắc biắt, neu h tương ỳng là hàm chan hay hàm le sao cho h(y) và y 2 h(y) thu®c L 2(R+) thì ta có các đang thúc sau
Theo đieu kiắn (1.5), suy ra √2π(1+y 2 ) 2 sin y(F k 1)(y)+(F k 2)(y) b% chắn, nên √
2π(1 + y 2 ) 2 sin y(F s k 1)(y) + (F c k 2)(y) (F s f )(y) ∈ L 2(R+) Tù đó, su dung bő đe 1.1.1, đang thỳc Parseval đoi vúi tớch chắp suy rđng (0.13) và công thúc (1.8) ta có g(x) d 2 Σ Σ √ √ Σ
Theo đang thúc Parseval đoi vói phép bien đői tích phân Fourier sine ǁfǁ L 2 (R + ) = ǁF s fǁ L 2 (R + ) và chỳ ý rang k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (1.5) ta có ǁgǁ L 2 (R + ) =ǁ√
Vắy phộp bien đői (1.6) là đang cn.
Tự đieu kiắn (1.5) suy ra
Lai tự đieu kiắn (1.5) đoi vúi k 1 , k 2 dan túi √2π(1 + y 2 ) 2 sin y(F k 1)(y) + (F c k 2)(y)Σ(F s g)(y) ∈ L 2(R+) Su dung công thúc (1.8) ta có f (x) = F s Σ√2π(1 + y 2 )(2 sin y(F s k 1)(y) + (F c k 2)(y))(F s g)(y)Σ
Vắy phốp biến đổi (1.6) là unita trên L²(R+) và phốp biến đổi ngược có dạng (1.7) Điều kiện đủ cho phốp biến đổi (1.6) là unita trên L²(R+) với phốp biến đổi ngược dạng (1.7) Khi đó, theo công thức Parseval kết hợp với phốp biến đổi Fourier sine, ta có ǁgǁ L(R) = √.
Xột toỏn tu nhõn M θ [ã] xỏc đ%nh boi M θ [f ](y) = θ(y)f (y), trong đú θ(y)
= 2π(1 + y )(2 sin y(F s k 1)(y) + (F c k 2)(y) Tự (1.9) suy ra M θ [ã] là toán tu unita trong L 2(R+) Đieu này xay ra khi và chi khi
Do đú k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (1.5) Đ%nh lớ đưoc chỳng minh xong Q
Tớch chắp suy rđng cna hai hàm f và g đoi vúi cỏc phộp bien đői tớch phân Fourier cosine và sine có dang (xem [23])
0, (1.10) tớch chắp suy rđng này thoa món đang thỳc nhõn tu hoỏ và đang thỳc
Dưúi đõy ta chi ra mđt lúp hàm k 1, k 2 thoa món đieu kiắn (1.5) Gia su h 1 , h 2 ∈ L 2(R+) thoa món đieu kiắn
√(1 + y 2 )(1 + sin 2 y) Σ(x); Σ(x), trong đó u, v là các hàm xác đ%nh trên R+
(1.10) Khi đó k 1 , k 2 ∈ L 2(R+) và tù các đang thúc nhân tu hoá (1.2), (1.11) ta có
Vắy k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (1.5).
Mối liên hệ giữa hai hàm f và g có thể được thể hiện qua hàm TRQNG γ(y) sin y, liên quan đến các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine, cùng với các yếu tố nhân tu hóa tương ứng.
Vói hai hàm h 1 và h 2 thu®c không gian hàm L 2(R+) sao cho
|(F c h 1)(y)(F c h 2)(y)| 1 và k 1 , k 2 đưoc xác đ%nh boi
F ∗ ã) xỏc đ%nh boi (0.10) Khi đú k 1 , k 2 ∈ L 2(R+) và ta có
Vắy k 1 và k 2 xỏc đ%nh như trờn cũng thoa món đieu kiắn (1.5).
Đ%nh lí kieu Plancherel
Đ%nh lớ 1.2.1 Gia su k 1 , k 2 là cỏc hàm so thoa món đieu kiắn (1.5) sao cho
Gia su f ∈ L 2(R+), vỏi mői so tn nhiờn N, đắt
1) g N ∈ L 2(R+) và khi N → ∞, g N h®i tn theo chuan trong L 2(R+) tái hàm g nào đó, hơn nua,ǁgǁ L 2 (R + ) = ǁfǁ L 2 (R + )
(1.18) cũng thu®c không gian L 2(R+) và h®i tn theo chuan trong L 2(R+) tái hàm f khi N → +∞.
Chúng ta chứng minh rằng các tích phân xác định của các hàm f N và g N là hữu hạn trên đoạn hữu hạn, do đó chúng hiển nhiên hội tụ Hơn nữa, chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi hàm và tích phân Đặt f N = f.χ (0,N), khi đó g N (x) được xác định bởi công thức 0 f (u)[sign(x + u − 1)K 1(|x + u − 1|) − K 1(x + u + 1)].
Theo Đ%nh lí 1.1.1 suy ra g N ∈ L 2(R+) Hơn nua, GQI g là anh cna hàm f qua phép bien đői (1.6), ta có ǁgǁ L 2 (R + ) = ǁfǁ L 2 (R + ) và có công thúc ngưoc (1.7) thoa mãn Ta có
Lai theo Đ%nh lí 1.1.1, g − g N ∈ L 2(R+) và
Vì ǁf −f N ǁ L (R ) → 0 khi N → ∞, suy ra g N h®i tu theo chuan trong L 2(R+) tói hàm g khi N → ∞ Phan m®t cna đ%nh lí đưoc chúng minh.
Chỳ ý rang tớch chắp cna hai hàm f, g vúi hàm TRQNG γ(y) = sin y đoi vói phép bien đői Fourier sine là giao hoán (xem [50]), do đó ta có đang thúc
Tự đú, bang kĩ thuắt bien đői như trong chỳng minh phan thỳ nhat, ta nhắn đưoc phan còn lai cna đ%nh lí.
Nhắn xột 1.2.1 Đ%nh lớ 1.1.1 cho thay phộp bien đői (1.6) là unita trong
Trong không gian L²(R+), phép biến đổi ngược được trình bày dưới dạng (1.7) Theo định lý 1.2.1, với mọi hàm f thuộc L²(R+), các hàm theo công thức (1.6) và (1.7) có thể được xấp xỉ theo chuẩn trong L²(R+) thông qua các dãy hàm được xác định bởi (1.17) và (1.18) Để xem xét tính bền vững của phép biến đổi (1.6) trong các không gian Lp(R+), cần phân tích sâu hơn.
1 ™ p ™ 2 ta nhac lai đ%nh lí n®i suy Riesz dưói đây. Đ%nh lí 1.2.2 (Đ%nh lí n®i suy Riesz [14, 40]) Gia su p 0 “ 1, p 1 “ 1 và
1 1 1 1 q 0 , q 1 tương úng là so mũ liên hap cua p 0 , p 1 , túc là
N su T là phộp bien đői tuyen tớnh b% chắn đong thài tự L p 0 (R+) vào L q 0 (R+), và tự L p 1 (R+) vào L q 1 (R+) Khi đú T là phộp bien đői tuyen tớnh b% chắn tự
L p (R+) vào L q (R+), trong đó q là so mũ liên hap cua p, và p xác đ%nh bái
, 0 < α < 1 Hơn nua, neu p p 0 p 1 ǁT fǁ L q
1 (R + ) , thì ta có ǁT fǁ L (R ) ™ M 1−α M α ǁfǁ L (R ) q + 0 1 p +
Neu ta gia thiet thêm rang các hàm so K 1(x) và K 2(x) xác đ%nh như trong Đ%nh lí 1.2.1 là giói n®i trên R+ Khi đó ton tai M thoa mãn |
K 1(x)| < M,|K 2(x)| < M vói MQI x ∈ R+, tù công thúc xác đ%nh (1.6) ta suy ra
Do đú phộp bien đői (1.6) là mđt toỏn tu b% chắn tự khụng gian L 1(R+) vào
L ∞ (R+) Hơn nua, theo Đ%nh lớ 1.2.1, phộp bien đői (1.6) là toỏn tu b% chắn trên L 2(R+) Do đó, theo đ%nh lí n®i suy Riesz ta có
Mắnh đe 1.2.1 Gia su k 1 , k 2 là cỏc hàm thoa món đieu kiắn (1.5) và gia su
K 1(x) và K 2(x) xác đ%nh như trong Đ%nh lí 1.2.1 là giái n®i trên R+ Gia su
1 ™ p ™ 2 và q là so mũ liên hap cua p, túc là 1 + 1 = 1 Khi đó các phép p q bien đői tích phân
(1.20) là cỏc toỏn tu b% chắn tự L p (R+) vào L q (R+), trong đú cỏc giỏi han đưac hieu là theo chuan trong L q (R+).
1.3 Úng dnng giai phương trỡnh và hắ phương trình tích phân Đoi vói các bài toán úng dung giai các phương trình tích phân trong không gian L 1(R+), cũng như nhung úng dung trình bày o chương cuoi, đ%nh lí Wiener-Lévy dưói đây rat quan TRQNG và đưoc su dung trong viắc xõy dnng cụng thỳc đúng cho nghiắm cna cỏc bài toỏn. Đ%nh lí 1.3.1 (Wiener-Lévy [30]) Gia su f là bien đői Fourier cua m®t hàm thuđc L 1(R), và ϕ là hàm giai tớch trong mđt lõn cắn cua goc, chỳa mien
{f (y), ∀y ∈ R} và thoa mãn ϕ(0) = 0, khi đó ϕ(f ) cũng là anh qua phép bien đői Fourier cua m®t hàm thu®c L 1(R).
Nhắn xột 1.3.1 Đoi vúi phộp bien đői Fourier cosine, đ%nh lớ Wiener-Lộvy đưoc hieu như sau: Neu f là bien đői Fourier cosine cna m®t hàm thu®c
L 1(R+), và ϕ là mđt hàm giai tớch trong mđt lõn cắn cna goc, chỳa mien
Nếu \( f(y) \) là một hàm xác định cho mọi \( y \in R^+ \) và \( \phi(0) = 0 \), thì \( \phi(f) \) cũng là một hàm thông qua phép biến đổi Fourier cosine của một hàm thuộc \( L^1(R^+) \) Để xây dựng lớp phương trình tích phân dạng chắp, ta nhắc lại rằng tích chắp liên quan đến các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine, với hàm trọng γ(y) = sin y được xác định như đã nêu (xem [51]).
Tớch chắp suy rđng này thoa món đang thỳc nhõn tu hoỏ [51]
−31− a) Xét phương trình tích phân sau f (x)
(1.23) trong đó, hàm θ(x, y) xác đ%nh như sau θ(x, y) = sign(x + y − 1)ϕ(|x + y − 1|) + sign(x − y + 1)ϕ(|x − y + 1|)
1 ϕ 2)(x), λ là hang so phúc, ϕ 1 , ϕ 2 , ψ và h là các hàm so thu®c
Hàm L 1(R+) và phương trình tích phân (1.23) với nhân tích phân chính là nhân tích phân của phép biến đổi tích phân (1.6) đã được xây dựng ở mức trước đó Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm và các phương trình tích phân trong bối cảnh nghiên cứu.
(1.25) thoa món Khi đú phương trỡnh tớch phõn (1.23) cú nghiắm duy nhat thuđc
L 1(R+), nghiắm này cú bieu dien dưỏi dang đúng như sau f (x) = h(x) − λ(h ∗
1 l)(x), trong đó l ∈ L 1(R+) xác đ%nh như sau√
Chúng minh Áp dung bien đői Fourier sine vào hai ve cna phương trình
(1.23) và su dung cỏc đang thỳc nhõn tu hoỏ đoi vúi cỏc tớch chắp (1.1) và (0.13) ta có
Tự đú, vúi đieu kiắn (1.25) suy ra
= 1 + z thoa món cỏc đieu kiắn cna đ%nh lớ
Wiener-Lévy, do đó ton tai hàm l ∈ L 1(R+) sao cho
Tự đú, do h, l ∈ L 1(R+) và theo tớnh chat cna tớch chắp suy rđng (ã ∗
1 ã) suy ra f (x) ∈ L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong.
−31− b) Xột hắ phương trỡnh tớch phõn f (x)
0 trong đó, θ(x, y) xác đ%nh boi (1.24), ϕ(x) = (ϕ 1 ∗
1 ϕ 2)(x), λ 1 và λ 2 là các hang so phúc, các hàm ϕ 1 , ϕ 2 , ψ, ξ, h, k thu®c L 1(R+), f và g là các an hàm.
−33− Đ%nh lớ 1.3.3 Gia su đieu kiắn sau thúa món
Khi đú hắ (1.26) cú nghiắm duy nhat trong khụng gian L 1(R+) ì L 1(R+), nghiắm này cú the bieu dien dưỏi dang đúng như sau f (x) = h(x) − λ 1
(x), (1.28) trong đó l ∈ L 1(R+) và đưac xác đ%nh như sau λ 12√
Nhắn xột 1.3.2 Boi vỡ ϕ 1 và ϕ 2 là cỏc hàm thuđc L 1(R+), nờn rừ ràng ϕ thu®c L 1(R+).
Chúng tôi áp dụng phép biến đổi Fourier sine cho phương trình thứ nhất và biến đổi Fourier cosine cho phương trình thứ hai Bằng cách sử dụng các đại lượng nhân từ hóa đối với các tích chắp (1.1), (0.13) và (1.10), chúng tôi có thể viết lại phương trình (1.26) dưới dạng mới.
Tù gia thiet (1.27) ta có
= 1 + z thoa món cỏc đieu kiắn cna đ%nh lớ
Wiener-Lévy, suy ra ton tai hàm l ∈ L 1(R+) sao cho
Ket hop vúi gia thiet và theo tớnh chat cna cỏc tớch chắp (ã ∗
F ∗ ã), de dàng suy ra f ∈ L 1(R+), g ∈ L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong Q c) Cuoi cựng, ta xột hắ phương trỡnh tớch phõn f (x) + λ 1
> 0, trong đó, θ(x, y) xác đ%nh boi (1.24), ϕ(x) = (ϕ 1 ∗
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hệ số phức λ1 và λ2, cũng như các hàm ϕ1, ϕ2, ψ, ξ, h, k thuộc không gian L1(R+) Bên cạnh đó, f và g được định nghĩa là các hàm an toàn Chúng ta tiến hành thay đổi biến và nhơn tích phân trong phương trình, dẫn đến việc hai căn hằng này chính là nhơn tích phân của phép biến đổi Cuối cùng, chúng ta xác lập điều kiện cần thiết để đảm bảo tính đúng đắn của các giả thiết đã đưa ra.
(1.31) khi đú hắ phương trỡnh tớch phõn (1.30) cú duy nhat nghiắm trong khụng gian
L 1(R+) ì L 1(R+), nghiắm này cú bieu dien dưỏi dang đúng như sau γ √ γ f (x) =h(x) + (h ∗
2πλ ((h ∗ ξ) ∗ l)(x), (1.32) trong đó l ∈ L 1(R+) đưac xác đ%nh bái
Chúng minh Tù công thúc xác đ%nh suy ra hàm ϕ thu®c không gian hàm
L 1(R+) Su dung cỏc đang thỳc nhõn tu hoỏ đoi vúi cỏc tớch chắp (1.1),(0.13) ta cú the viet lai hắ (1.30) dưúi dang như sau
1 ϕ 2)(x), và tự đieu kiắn (1.31), ta cú 1
(y) Đe ý rang đieu kiắn (1.31) tương đương vúi
Vúi đieu kiắn này, hàm Ψ(z) = 1 − z thoa món cỏc đieu kiắn cna đ%nh lớ Wiener-Lévy, do đó ton tai duy nhat hàm l ∈ L 1(R+) thoa mãn
Vắy hắ phương trỡnh đai so (1.33) cú nghiắm duy nhat xỏc đ%nh như sau
Do các hàm so đưoc gia thiet thu®c không gian L 1(R+) nên f, g xác đ%nh như trên rõ ràng thu®c không gian L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong.
Như vắy, trong chương này, chỳng ta xõy dnng và nghiờn cỳu mđt lúp phộp bien đői tớch phõn kieu tớch chắp Fourier sine vúi hàm TRQNG
Sử dụng các kỹ thuật phân tích Fourier và các phương pháp trong không gian L p (R+), chúng tôi tìm ra điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (1.6) là đơn vị trong không gian L 2(R+) và tính toán phép biến đổi ngược của nó Định lý kiểu Plancherel cung cấp cho chúng tôi một dãy toán tử tuần hoàn trong không gian L 2(R+) liên quan đến toán tử phân mảnh Chúng tôi cũng chứng minh tính bền vững của toán tử tích phân mới xây dựng trong không gian L p (R+) với 1 ≤ p ≤ 2 Trong một số công trình nghiên cứu [11, 5, 6, 54, 59], các tác giả cũng xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chắp không có hàm trọng Cách xây dựng này không áp dụng được với các tích chắp và tích chắp suy giảm có hàm trọng do những hàm trọng này có những điểm không xác định Phép biến đổi tích phân (1.6) được xây dựng trong chương này liên quan đến tích chắp với hàm trọng (1.1), kết hợp với tích chắp suy giảm (0.13) trong công thức phép biến đổi giúp giải quyết được khó khăn đối với hàm trọng Nội dung của chương 1 được trình bày trong bài báo [3], mục.
Danh mnc cụng trỡnh đó cụng bo liờn quan đen Luắn ỏn.
Úng dung giai phương trỡnh và hắ phương trỡnh tớch phõn
CÁC PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN KIEU TÍCH
CHắP SUY RđNG VộI HÀM TRONG
2.1 Phộp bien đoi tớch phõn kieu tớch chắp suy r®ng Fourier sine-cosine vái hàm TRQNG
Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu một lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chắp suy rộng Cụ thể, lớp phép biến đổi có dạng f(x) → (K2; k1, k2 f)(x) = g(x), trong đó g(x) được xác định như sau: g(x) = (K2; k1, k2 f).
CÁC PHẫP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN KIEU TÍCH CHắP SUY R®NG VéI HÀM TRONG 40
Phộp bien đői tớch phõn kieu tớch chắp suy rđng Fourier cosine-
%nh lí 2.1.2, các toán tu này đưoc xap xi theo chuan trong L 2(R+) boi dãy các toán tu xác đ%nh boi (2.10), (2.11).
2.2 Phộp bien đoi tớch phõn kieu tớch chắp suy r®ng Fourier cosine-sine vái hàm TRQNG
Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập một mô hình lũy thừa các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy diễn (1.21), cụ thể là phép biến đổi tích phân có dạng sau.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các hệ số a_i (i = 1, n) và chứng minh các định lý kiểu Watson, định lý kiểu Plancherel, cũng như tính bền vững của phép biến đổi (2.21) từ không gian L^p(R+) sang L^q(R+) với 1 ≤ p < 2 Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng một số ví dụ cụ thể để minh họa cho các lớp phép biến đổi này Cuối cùng, ứng dụng cụ thể của phép biến đổi trên trong việc giải quyết các bài toán vi-tích phân sẽ được trình bày chi tiết trong chương 3.
2.2.1 Tính unita trong không gian L 2 (R + )
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một lớp mới các phép biến đổi tích phân liên quan đến tách chắp suy diễn Định lý dưới đây cung cấp điều kiện cần và đủ cho các phép biến đổi này là đơn vị trên không gian L²(R+).
−59− Đ%nh lí 2.2.1 Gia su a i , (i = 0, n) là các hang so sao cho đa thúc Σ n a k x 2k khụng cú nghiắm thnc, và k 1 , k 2 là cỏc hàm so trong khụng gian L 2(R+) Khi đú đieu kiắn
0 a k y 2 k (2.22) là can và đu đe phép bien đői f (x) ›→ (K 3;k 1 ,k 2 f )(x) = g(x) xác đ%nh như sau g(x) n k=
(2.23) là unita trong L 2(R+) và có phép bien đői ngưac dang đoi xúng như sau f (x) n k=
Chỳng minh Đieu kiắn can Gia su k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (2.22).
Ta biet rang h(y), yh(y), y 2 h(y) ∈ L 2(R) khi và chi khi (Fh)(x), d (Fh)(x), dx d 2
2 (Fh)(x) ∈ L 2(R) (Đ%nh lí 68, trang 92, [41]) Suy ra, h(y), yh(y), y 2 h(y), ã ã ã , dx y n h(y) ∈ L 2(R) neu và chi neu (Fh)(x), d n d(Fh) dx(x), d 2 dx 2 (Fh)(x),
, dx n (Fh)(x) ∈ L 2(R) Hơn nua, vói moi so tn nhiên n ta có
0 a k y 2 k h(y) ∈ L 2(R+) ta có đang thúc sau n k=
Tự đieu kiắn (2.22), suy ra
(y) thu®c L 2(R+) Su dung các đang thúc (2.3), (0.12) và công thúc (2.25) ta có Σ n g(x) d 2k Σ Σ √ dx 2k
Từ đó, ta có thể thay g(x) ∈ L²(R+) Theo định lý Parseval, đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, ta có ǁfǁ L²(R+) = ǁF_c fǁ L²(R+) = ǁF_s fǁ L²(R+) Lưu ý rằng k₁ và k₂ phải thỏa mãn điều kiện (2.22), do đó ta có ǁgǁ L²(R+) < ∞.
Do đú phộp bien đői (2.23) là đang cn Mắt khỏc, lai tự đieu kiắn (2.22) ta n có 2π k=0 a k y
Tự đú, đieu kiắn (2.22) cho ta n
√ Σ n 2k Σ thu®c không gian L 2(R+) Su dung công thúc (2.25) ta đưoc Σ√ Σ n
Phép biến đổi (2.23) là một đơn vị trong không gian L²(R+), trong khi phép biến đổi ngược có dạng (2.24) Điều kiện cần là nếu phép biến đổi (2.23) là đơn vị, thì định lý Parseval sẽ áp dụng cho phép biến đổi Fourier cosine, dẫn đến ǁgǁ L²(R+) = ǁfǁ L²(R+).
= ǁF c fǁ L 2 (R + ) Suy ra ǁgǁ L (R ) = √
√ Σ n 2k Σ là unita trên L 2(R+) Đieu này tương đương vói θ(y) ≡ 1, túc là n
Do đú k 1 và k 2 thoa món đieu kiắn (2.22) Đ%nh lớ đưoc chỳng minh xong Q
Suy ra toỏn tu nhõn M θ [ã], vúi θ(y) | )(y)]| 1.
Nhắn xột 2.2.1 Trưũng hop riờng khi n = 1 và a 0 = a 1 = 1 đưoc nghiờn cúu trong công trình [1], muc Danh mnc công trình đã công bo liên quan đen Luắn ỏn.
Nhắn xột 2.2.2 Phộp bien đői (2.23) và phộp bien đői ngưoc (2.24) cú the viet lai như sau
= k = dx k 2 F c d 2k Σ √ γ √ Σ dx 2k c Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cắp hàm so (k 1 , k 2) thoa món đieu kiắn (2.22), đưoc GQI là mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine (vúi đa thỳc đắc trưng n k=
0 a k y 2k ). Đ%nh nghĩa 2.2.2 (xem [11]) M®t hàm so h ∈ L 2(R+) đưoc GQI là m®t nhõn Fourier cosine đoi xỳng (vúi đa thỳc đắc trưng đieu kiắn sau n k=
Định lý 2.27 cung cấp một tính chất quan trọng liên quan đến các cặp nhân Fourier cosine-sine và mối liên hệ giữa chúng với nhân Fourier cosine đối xứng Cụ thể, gia số (k1, k2) và (l1, l2) là hai cặp nhân Fourier cosine-sine với đa thức đặc trưng tương ứng n1 = k.
Fourier cosine đoi xỳng vỏi đa thỳc đắc trưng γ n 3 k=0 c k y 2k Σ Σ
F ∗ l 2) là cỏc cắp nhõn Fourier cosine- sine. s c γ b) 2(k 1 ∗
F ∗ h) là m®t nhân Fourier cosine đoi xúng. c
Chúng minh a) Su dung đang thúc Parseval đoi vói các phép bien đői Fourier sine và Fourier cosine, ta có the de dàng chúng minh rang (k 1 ∗
F ∗ h) là các hàm bình phương kha tích trên R+ (xem [5, 54]) Hơn nua
Tù (2.28) và tù gia thiet ta de thay
F ∗ h)) xỏc đ%nh mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine. Các ý còn lai cna đ%nh lí đưoc chúng minh tương tn Q
Bõy giũ ta se chi ra sn ton tai cna cắp nhõn Fourier cosine-sine Gia su h 1 , h 2 là các hàm trong L 2(R+) thoa mãn
|(F s h 1)(y)(F s h 2)(y)| = n 1 , (2.29) và k 1 , k 2 ∈ L 2(R+) xác đ%nh boi a k y 2k (1 + sin 2 y) k=0
2 ã) xỏc đ%nh boi (1.10) Khi đú k 1 , k 2
L 2(R+) và tù các công thúc (1.2), (1.11) ta có
Vắy (k 1 , k 2) là mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine.
Mđt vớ du khỏc cho sn ton tai cna cắp nhõn Fourier cosine-sine như sau.
Gia su h 1 , h 2 là các hàm trong không gian L 2(R+) thoa mãn
|(F c h 1)(y)(F c h 2)(y)| 1 và k 1 , k 2 ∈ L 2(R+) xác đ%nh boi n a k y (1 + sin y) k=
F ∗ ã) xỏc đ%nh boi (0.10) Khi đú de thay (k 1 , k 2) là mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine.
2.2.2 Xap xi theo chuan trong không gian L 2 (R + ) Đ%nh lí 2.2.3 Gia su k 1 , k 2 là các hàm trong không gian L 2(R+) thoa mãn đieu kiắn (2.22), hơn nua cỏc hàm K 1(x) n k=
(−1) k d 2k k dx 2k k 2(x) b% chắn đ%a phương Vỏi f ∈ L 2(R+) và vỏi mői so tn nhiờn N, đắt
N trong đó f N = f.χ (0,N) , han che cua hàm f trên (0, N ) Ta có
1) g N ∈ L 2(R+), và khi N → ∞, g N h®i tn theo chuan trong không gian
L 2(R+) tái m®t hàm g ∈ L 2(R+), hơn nua ǁgǁ L 2 (R + ) = ǁfǁ L 2 (R + )
(2.32) thu®c không gian L 2(R+) và h®i tn theo chuan trong L 2(R+) tái hàm f khi
Chúng tôi chứng minh rằng, theo định nghĩa của hàm f N và g N, các tích phân thỏa mãn trên các đoạn hữu hạn, do đó chúng hội tụ Hàm hiển thị biến tại g N (x) đã được xác định.
Do các tích phân thnc chat được xác định trên các đoạn hữu hạn, ta có thể áp dụng định lý cơ bản của đạo hàm và tích phân Điều này cho phép chúng ta liên hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó, từ đó rút ra các kết quả liên quan đến hàm N(x).
Theo Định lý 2.2.1, ta có g N thuộc L 2(R+) Hàm g có thể được biểu diễn qua phép biến đổi (2.23) Theo Định lý 2.2.1, g ∈ L 2(R+) thỏa mãn điều kiện ǁgǁ L 2 (R + ) ≤ ǁfǁ L 2 (R + ) và tồn tại công thức ngược (2.24) Khi xem xét g − g N, ta có được kết quả mong muốn.
Lai áp dung Đ%nh lí 2.2.1, (g − g N )(x) ∈ L 2(R+) và ǁg − g N ǁ L 2 (R + ) = ǁf − f N ǁ L (R )
Bên canh đó, do lim ǁf − f N ǁ L (R
) = 0, suy ra g N h®i tu theo chuan trong
Không gian L²(R+) là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc nghiên cứu các hàm g Định lý đầu tiên đã được chứng minh thành công Tiếp tục áp dụng Định lý 2.2.1 và kỹ thuật đánh giá như đã nêu, chúng ta có thể xác định phần còn lại của định lý một cách chính xác.
Tớnh b% chắn cna toỏn tu tớch phõn (2.23) trong khụng gian L p (R+), 1 ™ p ™
2, đưoc chúng minh trong đ%nh lí dưói đây Đ%nh lớ 2.2.4 Gia su k 1 , k 2 là cỏc hàm thoa món đieu kiắn (2.22) sao cho
K 1(x) và K 2(x) xỏc đ%nh như trong đ%nh lớ trưỏc là b% chắn trờn R+ Gia su
1 ™ p ™ 2 và q là so mũ liên hap cua p Khi đó phép bien đői f → g, trong đó g(x) lim N→∞
, , (2.33) xỏc đ%nh mđt toỏn tu b% chắn tự L p (R+) vào L q (R+), ỏ đõy giỏi han đưac hieu theo nghĩa giá tr% chính theo chuan trong L q (R+).
Chỳng minh Tự tớnh b% chắn cna K 1 và K 2, suy ra phộp bien đői (2.33) xỏc đ
%nh mđt toỏn tu b% chắn tự L 1(R+) vào L ∞ (R+).
Mắt khỏc, theo Định luật 2.2.1, phép biến đổi (2.33) xác định một toán tử bậc chắn tự từ L²(R+) vào L²(R+) Theo định lý nêu suy Riesz, phép biến đổi (2.33) xác định toán tử bậc chắn tự từ Lᵖ(R+) vào Lᵖ(R+), trong đó 1 ≤ p ≤ 2 và q là số mũ liên hợp với p.
Nhắn xột 2.2.3 Khi n = 1 và a 0 = a 1 = 1 ta nhắn đưoc cỏc ket qua tương úng trong bài báo [1] muc Danh mnc công trình đã công bo liên quan đen Luắn ỏn.
Sau đõy chỳng ta se xõy dnng mđt so vớ du ve cắp nhõn Fourier cosine-sine.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét trường hợp n = 1 với a0 = a1 = 1 Đây là phép biến đổi nghiên cứu được đề cập trong tài liệu [1] liên quan đến Luận án Rõ ràng, cặp (k1, k2) được xác định như một cặp nhân Fourier cosine-sine với đa thức đặc trưng y² + 1.
Khi đó, su dung công thúc (1.4.1) trong [8] ta có k 1(x)
Ví dn 2.2.2 Bây giò, ta xét m®t ví du tőng quát cna ví du 2.2.1 CHQN
De thay cắp (k 1 , k 2) xỏc đ%nh boi cụng thỳc (2.37) o trờn là mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine vúi đa thỳc đắc trưng (y 2 + a 2 ) n+1 Su dung cụng thỳc (1.3.28) trong [8] ta có Σ sin y Σ 1 ∫
Cũng tù công thúc 1.3.28 trong [8], ta có k 2(x)
Ví dn 2.2.3 Gia su k 1 và k 2 là các hàm so trong L 2(R+) xác đ%nh boi
Rừ ràng (k 1 , k 2) xỏc đ%nh boi (2.40) là mđt cắp nhõn Fourier cosine-sine; hơn nua, ví du 2.2.3 là m®t mo r®ng khác cna ví du 2.2.1.
Tù k 1 và k 2 là các hàm trong L 2(R+), su dung công thúc (1.3.29) trong
Cũng tù công thúc 1.3.9 trong [8], ta có k 2(x) F s
Ví dn 2.2.4 Cuoi cùng, ta cHQN k 1 , k 2 thoa mãn i
Rừ ràng (k 1 , k 2) xỏc đ%nh boi (2.43) là mđt cắp nhõn Fourier cosine - sine Hơn nua k 1 và k 2 là các hàm trong không gian L 2(R+), suy ra k 1(x) F s i
Tù công thúc (2.2.14) trong [8] ta có i k 1(x) 2π (2a) −1 [e −ay Ei(ay) − e ay Ei(−ay)], (2.44) trong đó Ei(x) là tích phân mũ (xem [8])
− ∞ t và các tích phân o đây đưoc hieu theo nghĩa giá tr% chính Cauchy.
Mắt khỏc, su dung cụng thỳc (1.2.11) trong [8] ta cú Σ Σ Σ Σ
2.3 Phộp bien đoi tớch phõn kieu tớch chắp suy r®ng Fourier sine, Fourier và Fourier cosine vái hàm TRQNG
Trong nghiên cứu về hàm TRQNG γ(y) = e^(-y) sin(y), các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine đã được phân tích Những kết quả này được trình bày chi tiết trong tài liệu [25, 49].
Vói h ∈ L 1(R, √1 + x 2 ) và f ∈ L 1(R+), ta có đang thúc nhân tu hoá sau (xem [49, 25])
Trong muc này, ta se tắp trung nghiờn cỳu mđt so lúp phộp bien đői tớch phân dang γ f (x) ›→ (K 4;h 1 ,h 2 f )(x) = g(x) = D[(h 1 ∗
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu các toán tử trong không gian hàm L^p(R+), đặc biệt là khi D là một toán tử đồng nhất Chúng tôi xem xét các tính chất của toán tử tích chập suy rộng và thiết lập điều kiện cần và đủ để phép biến đổi (2.51) là unita trong không gian L^2(R+) Đồng thời, chúng tôi xây dựng phép biến đổi ngược của nó Ở chương 3, chúng tôi áp dụng phép biến đổi này để giải quyết một loạt bài toán vi-tích phân và hệ phương trình vi-tích phân với D là một lớp toán tử vi phân bậc hữu hạn.
2.3.1 Tớnh chat toỏn tE tớch chắp suy rđng
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của toán tử tích chập suy rộng (2.47), (2.48) Định lý dưới đây cung cấp kết quả rõ ràng hơn so với các kết quả trình bày trong tài liệu [25, 49], trong đó chứng minh sự tồn tại của toán tử tích chập suy rộng (2.47), (2.48) trong không gian L¹(R+) với h ∈ L¹(R) và f ∈ L¹(R+) Định lý 2.3.1 chỉ ra rằng với h ∈ L¹(R) và f ∈ L¹(R+), các toán tử tích chập suy rộng (2.47), (2.48) xác định trong không gian L¹(R+) và thỏa mãn các điều kiện nhân tụ hòa (2.49), (2.50) Hơn nữa, các toán tử tích chập suy rộng (2.47), (2.48) cũng thuộc không gian Lᵖ(R+), với p = 2 và các điều kiện Parseval dưới đây được thỏa mãn.
0 sin y(Fh)(y)(F s f )(y) cos xy dy, x > 0.
Chúng minh Su dung công thúc 1.4.1 trong [8], ta có
= sin(xt) sin t cos(tv)e −(1+iu)t
™ | sin(xt) sin t cos(tv)e −(1+iu)t
Suy ra cỏc tớch chắp suy rđng (2.47), (2.48) xỏc đ%nh.
Bên canh đó, su dung đánh giá (2.55), do h ∈ L 1(R), f ∈ L 1(R+), nên các tớch phõn là hđi tu tuyắt đoi Su dung đ%nh lớ Fubini, ta nhắn đưoc cỏc đang thúc Parseval (2.52), (2.53).
Bõy giũ ta se chỳng minh cỏc tớch chắp suy rđng (2.47), (2.48) thuđc không gian L 1(R+) Trưóc het, đe ý rang h(x) = g 1(x) + g 2(x), trong đó g 1 , g 2 ∈ L 1(R) xác đ%nh boi g 1 (x) = ( xh ) + h ( − x )
Do g 1 là hàm chan, g 2 là hàm le nên (Fg 1)(y) = (F c g 1)(y), (Fg 2)(y) −i(F s g 2)(y) Hơn nua, su dung các công thúc (1.6.6, tr.28) và (2.9.20, tr.79) trong [8]) ta có e −y sin y
Vỡ vắy cỏc đang thỳc Parseval (2.52) cú the viet lai dưúi dang sau:
1 ã) xỏc đ%nh boi (0.13) Tương tn, đang thúc Parseval (2.53) có the viet lai dưói dang sau
Tự cỏc cụng thỳc (2.59), (2.60) và tớnh chat cna cỏc tớch chắp (0.10), (0.13), (1.10), suy ra cỏc tớch chắp suy rđng (2.47), (2.48) thuđc L 1(R+).
M®T SO ÚNG DUNG 77
M®t so lóp các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel
3.2 M®t so láp các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel
3.2.1 Phương trỡnh Toeplitz-Hankel cú nhõn đắc biắt
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt của phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.16) có thể giải được nhờ các tích chập suy rộng Cụ thể, chúng ta sẽ phân tích phương trình tích phân Toeplitz-Hankel f(x).
(3.38) trong đó nhân Hankel k 1 và nhân Toeplitz k 2 xác đ%nh như sau
Ngoài ra, gia su rang h 1(x) = (ϕ 1 ∗
1 ϕ 2)(x); ϕ 1, ϕ 2 và h 2 là các hàm thu®c
L 1(R+). Đ%nh lớ 3.2.1 Gia su đieu kiắn sau thoa món
Khi đú phương trỡnh tớch phõn Toeplitz-Hankel (3.38) cú nghiắm duy nhat trong L 1(R+) và có dang đóng như sau f (x) = g(x) + (g ∗
Chúng minh Ta viet lai phương trình (3.38) dưói dang sau
∫∞ Áp dung phép bien đői Fourier sine lên hai ve cna phương trình (3.44) và su dung đang thúc nhân tu hoá (1.2), (0.14) ta đưoc
1 ϕ 2)(x) và theo đieu kiắn (3.41) ta cú Σ sin y(F s h 1)(y) + (F c h 2)(y)Σ Σ
Vúi đieu kiắn (3.41), theo đ%nh lớ Wiener-Lộvy, ton tai duy nhat hàm l ∈
Vỡ g, l ∈ L 1(R+) và theo tớnh chat cna tớch chắp (ã ∗
Như vắy ta nhắn đưoc nghiắm cna phương trỡnh tớch phõn Toeplitz-Hankel (3.38), trong đó nhân Hankel k 1 và nhân Toeplitz k 2 xác đ%nh boi (3.39) và
(3.40) Đ%nh lí chúng minh xong.
1 2 c 2 b) Đa chắp đoi vúi cỏc phộp bien đői Fourier cosine và Fourier sine đưoc xõy dnng và nghiờn cỳu trong [44] Đa chắp này thoa món mắnh đe sau
Mắnh đe 3.2.1 ([44]) Gia su f, g, h là cỏc hàm so thuđc L 1(R+), Khi đú đa chắp đoi vỏi cỏc phộp bien đői Fourier cosine và sine sau
(3.45) xác đ%nh và thu®c không gian L 1(R+), hơn nua, ta có đang thúc nhân tu hoá sau
Dna vào mắnh đe trờn, ta cú the xột phương trỡnh tớch phõn kieu đa chắp
(3.45) Ta có đ%nh lí sau Đ%nh lí 3.2.2 Gia su các hàm so h 1 , h 2 , h 3 , g ∈ L 1(R+), thoa mãn đieu kiắn sau
Khi đó phương trình tích phân f (x) + (f ∗
(3.47) cú nghiắm duy nhat trong khụng gian L 1(R+) dang f (x) = g(x) − (g ∗
1 l)(x), trong đó l ∈ L 1(R+) và xác đ%nh bái
Chúng tôi áp dụng phép biến đổi Fourier cosine vào hai biểu thức (3.47) và sử dụng các dạng thức nhân tử hòa tan từ tích chắp (0.10) và đa chắp (3.45).
Vói gia thiet đã cho, hàm so ϕ(z) z
= 1 + z thoa món cỏc đieu kiắn cna đ%nh lí Wiener-Lévy, suy ra, ton tai duy nhat m®t hàm l ∈ L 1(R+) thoa mãn
Vỡ g, l ∈ L 1(R+) và theo tớnh chat cna tớch chắp (ã ∗
L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong.
Nhắn xột 3.2.1 Đieu kiắn (3.46) se thoa món neu chang han c c
Nhắn xột 3.2.2 Đ%nh lớ trờn cho ta thay phương trỡnh (0.16) vúi
2π cú nghiắm duy nhat trong khụng gian L 1(R+) cú bieu dien dưúi dang đúng như sau: f (x) = g(x) − (g ∗
Dưói đây ta xây dnng m®t ví du cho phương trình tích phân (3.47) và (0.16).
Theo các công thúc (1.2.11, tr 17), (2.4.1, tr 71), (2.2.1, tr 64) trong
[8], và tù công thúc (3.48) ta đưoc
Do đó, theo công thúc (1.2.11, tr 17) trong [8] ta có l(x) = F Σ 1 Σ(x) = √ π e − √ 2x
Bên canh đó, cHQN g(t) = π (t + 1)e −t , khi đó theo công thúc (1.4.5, tr.
23) trong [8], và do (F c f )(y) = (F c g)(y)(1 − (F c l)(y)), ta có
Bây giò ta se xác đ%nh các nhân Hankel k 1(t) và nhân Toeplitz k 2(t) trong
3.2.2 Phương trỡnh Toeplitz-Hankel cú ve phai đắc biắt
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tách chắp suy diễn để giải phương trình tích phân Toeplitz-Hankel trong trường hợp các nhân k1 và k2 bất kỳ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng phương pháp này phải thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc nhất định.
∫ Đ%nh lí 3.2.3 Gia su rang g 1 , g 2 , k 1 , k 2 ∈ L 1(R+), g = g 1 + g 2 , thoa món cỏc đieu kiắn
(((g 2 ∗ l) − g 2) ∗ (k 1 − k 2))(x), trong đó l là m®t hàm thu®c không gian L 1(R+), xác đ%nh bái π F c [k 1 + k 2](y)
Khi đú phương trỡnh tớch phõn (0.16) cú duy nhat nghiắm trong khụng gian
L 1(R+) có bieu dien dưái dang đóng như sau f (x) = g 2(x) − (g 2
Chúng tôi mở rộng hàm g lên toàn trục số như một hàm số lẻ, và chia hàm f, g thành các hàm số chẵn Đồng thời, chúng tôi mở rộng g lên toàn trục số sao cho g(x) = g1(x) + g2(x) Khi đó, phương trình tích phân (0.16) được áp dụng trên toàn trục.
(3.50) Phương trình (3.50) có the viet lai dưói dang sau
(3.51) Áp dung phép bien đői Fourier vào hai ve (3.51) và đe ý rang (Fh)(y) (F c h)(y), y ∈ R, neu h là hàm so chan,(F h)(y) = −i(F s h)(y), y ∈ R, neu h là hàm so le, ta đưoc
Nhắc lại rằng g(x) = g1(x) + g2(x), trong đó g1 và g2 tương ứng là các thành phần chẵn và lẻ của g Do đó, f là nghiệm của phương trình (3.50) nếu cả hai điều kiện sau đều thỏa mãn.
Phương trình (3.53) có the bieu dien dưói dang
Theo đ%nh lớ Wiener-Lộvy [30], vúi đieu kiắn (3.49), ton tai duy nhat hàm so l ∈ L 1(R+) thoa mãn
Do đó, tù (3.55) ta có
Tự cỏc cụng thỳc (3.52), (3.53), (3.54) và (3.56) ta nhắn đưoc nghiắm cna phương trình (0.16) trong L 1(R+) dưói dang đóng như sau: f (x) = g 2(x) − (g 2 ∗
Vỡ g 2 , l ∈ L 1(R+) và theo tớnh chat cna tớch chắp (ã ∗
L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong.
Bây giò ta xét m®t thí du cu the cho Đ%nh lí 3.2.3 CHQN k 1(t) = π
Su dung công thúc (1.4.1, tr 23) trong [8], ta có
Su dung đang thỳc nhõn tu hoỏ (0.11) đoi vúi tớch chắp
Dùng công thúc (1.2.18, tr 18) trong [8] ta đưoc
Su dung đang thỳc nhõn tu hoỏ (0.14) cho tớch chắp suy rđng ∗ (0.13) ta đưoc 1
Su dung công thúc (2.2.35, tr 67) và (2.2.25, tr.66) trong [8] ta đưoc π − √ 2x π − √ 2x −x
3.3 M®t so láp các bài toán vi-tích phân
Giống như đối với phương trình tích phân, việc nghiên cứu ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau vẫn còn nhiều hạn chế Đến nay, chưa có nhiều phương trình vi-tích phân có thể giải được nghiệm dưới dạng đóng Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số lớp bài toán vi-tích phân có thể giải được nghiệm dưới dạng đóng thông qua các phép biến đổi tích phân nghiên cứu ở chương 2, với công thức g(x) = g1(x) + g2(x) - 2e√.
3.3.1 Bài toán vi-tích phân kieu phép bien đoi tích chắp suy rđng a) Bài toỏn vi-tớch phõn kieu phộp bien đoi tớch chắp suy rđng
Fourier cosine-sine vái hàm TRQNG
Xét bài toán vi tích phân f (x) + (K 3;ϕ,ψ f )(x) g(x), x > 0 d 2k−1 dx 2k−1 f (0) = 0, k = 1, n, lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n
(3.57) trong đú f là an hàm và (K 3;ϕ,ψ f ) kớ hiắu phộp bien đői (2.23) trong trưũng hop Σ k=0
= n k=1 d 2 dx 2 + (2k − 1) , ϕ, ψ, và g là các hàm cho trưóc trong L 1(R+) sao cho ϕ(x) = ϕ 1(t) ∗
Để giải bài toán 2e^t + e^(-t), trước hết, chúng ta cần nhắc lại một số tính chất của phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Theo định lý 3.3.1, giả sử f là hàm liên tục, trơn từng khúc và có đạo hàm cấp hai, sao cho f, f' và f'' là các hàm số trong không gian L^1(R+) Khi đó, ta có các hệ thức quan trọng liên quan đến phép biến đổi này.
Theo đ%nh lí trên, vói h ∈ L 1(R+) sao cho h(0) = 0, lim h J (x) = lim h J (x)
J ton tai bien đői Fourier sine và Fourier cosine cna h, h Ngoài ra, x→∞
(F c h J )(y) = y(F s h)(y) (3.59) Đ%nh lí 3.3.2 Gia su rang trong đó
Khi đú bài toỏn (3.57) cú nghiắm duy nhat trong L 1(R+) vỏi dang đúng như sau f (x) = g(x) + g F ∗ lΣ
(x), (3.61) trong đó, l ∈ L 1(R+) xác đ%nh bái
Chúng minh Phương trình (3.57) có the viet lai dưói dang sau c
(3.62) Áp dung bien đői Fourier lên hai ve cna (3.62), su dung các đang thúc nhân tu hoá (1.22), (0.11) và các công thúc (3.58), (3.59) ta đưoc n
F ∗ sech t Σ(x), và su dung công thúc (1.9.1) trong [8] ta đưoc
Tù đó và tù (3.63) ta có
Theo công thúc (1.9.4) in [8], ta có
(3.65) Theo đieu kiắn (3.60) ta cú
Theo đ%nh lí Wiener-Lévy [30], ton tai hàm l ∈ L 1(R+) sao cho
Vắy phương trỡnh (3.64) tro thành
F ∗ l)(x) Vì g, l ∈ L 1(R+) và theo tính chat cna tớch chắp (ã
F ∗ ã) suy ra f ∈ L 1(R+) Đ%nh lớ chỳng minh xong.
Nhắn xột 3.3.1 Neu gia thiet thờm
Khi (2k − 1) ψ(x) b% chắn, chúng ta có thể thực hiện việc đổi thứ tự đạo hàm và tích phân Trong trường hợp này, phương trình vi-tích phân (3.57) trở thành một trường hợp riêng của phương trình tích phân n.
Toeplitz-Hankel (0.16), trong đó k 1(t) =K 1(t + 1) − sign(t − 1)K 1(|t − 1|) + K 2(t), k 1(t) =K 1(t + 1) sign(t + 1) − sign(t − 1)K 1(|t − 1|) + K 2(| t|), o đây,
1) ψ(x). b) Bài toỏn vi-tớch phõn kieu tớch chắp suy rđng Fourier sine,
Fourier, Fourier cosine vái hàm TRQNG
Trong phan này, ta xét bài toán vi-tích phân sau d f (x) + dx(K 4;ϕ,ψ f )(x) = g(x), x > 0, f J (0) = 0, (3.66) x→ lim
∞ f J (x) = 0, trong đó (K 4;ϕ,ψ f ) là phép bien đői (2.65) vói ϕ(x) = (ϕ 1(τ )
1 sech(τ ))(x); ϕ 1 , ψ 1 , g là các hàm đã biet trong L 1(R+), và f là an hàm. Đ%nh lớ 3.3.3 Gia su ta cú đieu kiắn sau
Khi đú bài toỏn (3.66) cú nghiắm duy nhat trong khụng gian L 1(R+), nghiắm có dang đóng như sau f (x) = g(x) − (g
Chỳng minh Su dung đang thỳc Parseval đoi vúi tớch chắp suy rđng (2.47) (Đ
%nh lí 2.3.1), vói ϕ ∈ L 1(R), f ∈ L 1(R+), khi đó (Fϕ)(y) ∈ C 0(R),
(F c f )(y) ∈ C 0(R+), nờn b% chắn Suy ra tớch phõn (2.52) hđi tu tuyắt đoi Do
−104− đó ta có the đői thú tn đao hàm và tích phân, ta có
Khi đó phương trình (3.66) có the viet lai dưói dang sau
d d 3 Σ Áp dung phép bien đői Fourier cosine lên hai ve cna phương trình (3.71), và su dung đang thúc nhân tu hoá (0.14) và các công thúc(3.58), (3.59), (3.70) ta đưoc
(ϕ ∗ 3 f )(x) (3.69) dx − e dx − e sin y(F ϕ)(y)(F c f )(y) sin xy dy dx −
Su dung công thúc (xem (1.9.4) trong [8] vói n = 1):
Khi đó phương trình (3.73) tro thành
+ (F s ψ 1)(y) (F c f )(y) = (F c g)(y). Mắt khỏc, bang tớch phõn tựng phan ta de thay yF c [sech 3 (τ )](y) = −3F s [sinh(τ ) sech 4 (τ )](y).
Su dung đieu kiắn (3.67) ta đưoc
Vúi đieu kiắn (3.67) đó cho, hàm so ϕ(z) = z thoa món cỏc đieu kiắn cna đ%nh lớ Wiener-Lộvy, vỡ vắy, ton tai duy nhat hàm l ∈ L 1(R+) sao cho
Do đó phương trình (3.74) tro thành
F ∗ l)(x) ∈ L 1(R+) Vì g, l ∈ L 1(R+) và theo tính chat cna tớch chắp (ã
F ∗ ã) suy ra f ∈ L 1(R+) Đ%nh lớ đưoc chỳng minh xong.Q
Nhắn xột 3.3.2 DNA vào công thức 1.9.4 trong [8] trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải quyết bài toán tổng quát cna bài toán (3.66) khi thay toán từ vi phân D n k =.
− dx 2 + (2k − 1) d 2 thay cho 1 − dx 2 vúi cỏc đieu kiắn ban đau tương úng là d 2k−1 dx 2k−1 f (0) = 0, k = 1, n, lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n 1. x→∞
3.3.2 Hắ phương trỡnh vi-tớch phõn kieu phộp bien đoi tớch chắp suy rđng
Cuoi cựng, ta xột hắ hai phương trỡnh vi-tớch phõn kieu tớch chắp suy r®ng Fourier sine, Fourier, Fourier cosine vói hàm TRQNG dưói đây f (x) + (K 4;ϕ,ψ g)(x) = p(x), g(x) + (K 4 − ; 1 f )(x) q(x),
(3.75) vúi cỏc đieu kiắn ban đau f J (0) = 0, g J (0)
∞ g J (x). trong đú, K 4;ϕ,ψ [ã] kớ hiắu phộp bien đői (2.65) vúi c c
1 sech(τ ))(x); ϕ 1 , ψ 1 , ξ, η, g, p.q là các hàm đã biet trong L 1(R+), và f là an hàm. Đ%nh lớ 3.3.4 Vỏi đieu kiắn trong đó
(y), hắ phương trỡnh (3.75) vỏi đieu kiắn ban đau (3.76) cú nghiắm duy nhat trong khụng gian L 1(R+) ì L 1(R+) Nghiắm cua hắ đưac bieu dien dưỏi dang đúng như sau f (x) =p(x) −
(x), (3.79) trong đó l ∈ L 1(R+) và đưac xác đ%nh như sau
Chúng tôi áp dụng phép biến đổi Fourier sine cho phương trình thứ nhất và phép biến đổi Fourier cosine cho phương trình thứ hai, từ đó thu được những kết quả quan trọng.
1 sech(τ ))(x), su dung các đang thúc nhân tu hoỏ đoi vúi tớch chắp Fourier và cỏc tớch chắp suy rđng (0.13) (2.49), (2.50) và theo công thúc 1.9.4 trong [8] ta đưoc
Do đú, hắ (3.80) cú dang
Tự đieu kiắn (3.77), theo đ%nh lớ Wiener-Lộvy ton tai hàm l ∈ L 1(R+) sao
∆ = 1 + (F c l)(y) Suy ra, giai hắ (3.81) ta đưoc f (x) =p(x) −
Do các hàm p, q, l, ϕ 1 , ψ 1 , ξ 1 , η 1 là các hàm trong không gian L 1(R+) và theo Đ%nh lí 2.3.1, suy ra f, g thu®c không gian L 1(R+) Đ%nh lí đưoc chúng minh xong.
Sử dụng công thức 1.9.4 trong tài liệu [8], chúng ta có thể giải hệ phương trình vi tích phân tổng quát hơn (3.75) khi thay toán tử vi phân D với n và k.
− dx 2 + (2k − 1) d 2 thay cho 1 − dx 2 và các đieu kiắn ban đau tương ỳng là d 2k−1 dx 2k−1 f (0) = 0, k = 1, n, lim f (k) (x) = 0, k = 0, 2n1 x→∞
Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu ứng dụng của các tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Bằng việc xây dựng bất đẳng thức với trọng số đối với tích chập Fourier cosine, chúng tôi nhấn mạnh được đánh giá nghiêm cẩn các bài toán phương trình vi phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng trong các không gian L p (R+, ρ) với ρ dương Một số lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel và nhân đặc biệt, cũng như với nhân bất kỳ nhưng về phải đặc biệt, được giải, nhấn mạnh được dưới dạng đóng Các lớp phương trình này giải được nhờ sử dụng các tích chập suy rộng đã xây dựng, và cũng như khía cạnh việc giải được nhiều kỹ thuật khác Ngoài ra, bên cạnh việc nghiên cứu sâu hơn các tính chất toán tử trong không gian L p (R+) của các tích chập suy rộng, chúng tôi tìm được ứng dụng cần các phép biến đổi tích phân tương ứng vào giải các bài toán vi-tích phân và hệ phương trình vi-tích phân Các ứng dụng này là mới, hơn nữa, trong các công trình gần đây nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đều không xây dựng các ứng dụng tương ứng Nội dung của chương này dựa vào một phần của nhiều bài báo đã công bố liên quan đến luận án.
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát các phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine Các kết quả chính của luận văn là:
Xõy dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chắp Fourier sine với hàm TRQNG; phép biến đổi tích phân kiểu tích chắp Fourier sine-cosine với hàm TRQNG; phép biến đổi tích phân kiểu tích chắp Fourier cosine-sine với hàm TRQNG; và phép biến đổi tích phân kiểu tích chắp Fourier sine, Fourier, Fourier cosine với hàm TRQNG Các tích chắp suy diễn đối với nhóm các phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine đã được xây dựng và nghiên cứu trước đó (xem [48, 45]).
Xây dựng điều kiện cần và đủ cho các phép biến đổi xây dựng trong không gian L²(R+) và thiết lập công thức phép biến đổi ngược Chứng minh định lý Plancherel và xét tính bền vững trong không gian Lp(R+) với 1 ≤ p ≤ 2 Đồng thời, xây dựng một số ví dụ minh họa cho các lớp phép biến đổi tích phân mới được xây dựng.