Tiểu luận về toán tích phân. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Nội dung gồm 2 chương: + Chương 1 : Lý thuyết gồm bảng các đạo hàm, bảng các vi phân, các công thức về giá trị lượng giác, công thức tích phân, nguyên hàm, quy tắc tính tích phân, phương pháp tính tích phân: phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân từng phần, tích phân hữu tỉ, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, tính thể tich. + chương 2 gồm các bài tập về tính tích phân (có các bài trong các đề thi đại học, cao đẳng) và các bài toán chứng minh liên quan đến tích phân, tính diện tích và thể tích. Ngoài ra, còn có các bài toán có sẵn hướng dẫn, đáp án để học sinh tự kiểm tra khả năng tính toán.
Lý thuyết
Lí thuyết cơ sở
I.1 Bảng các đạo hàm Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’
7 ( log a x ) ' = ln ln a x ÷ ' = ln 1 1 a x ,0 < a ≠ 1 7 ( log a u ) ' = ln ln u a ÷ ' = ln 1 1 a u u ' , 0 < a ≠ 1
I.2 Bảng các vi phân u = u(x) là hàm số theo biến x, u ’ là đạo hàm của u, vi phân của u là: du=u ’ dx Bảng các vi phân giúp định hướng tốt trong các bài tích phân giải bằng phương pháp đổi biến
1’ d(ax + b) = adx, suy ra dx = d ax b( ) a
+ , vậy dx đã đổi thành
2 du khi đặt u = ax + b (a ≠ 0), hay dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi u = ax + b.
( ) dx d x = − x , vậy biểu thức 1 2 x dxđã đổi thành −du khi đặt u = 1 x
2 ( ) dx ad a x b x = + , vậy biểu thức 1 x dx đã đổi thành 2adu khi đặt u = a x + b.
2 d(x 2 + 1) = 2xdx suy ra xdx ( 2 1) 2 d x + , vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2 du khi đặt u = x 2 + 1, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = x 2 + 1.
2’ d(ax 2 + b) = 2axdx suy ra xdx ( 2 1) 2 d x a
+ , vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2 du a khi đặt u = ax 2 + b, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ax 2 + b (a ≠ 0).
3 d(x 3 + 2) = 3x 2 dx suy ra x 2 dx ( 3 2) 3 d x + , vậy biểu thức x 2 dx đã đổi thành
3 du khi đặt u = x 3 + 2, hay biểu thức x 2 dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = x 3 + 2.
3’ d(ax 3 + c) = 3ax 2 dx suy ra x 2 dx ( 3 )
+ ,vậy biểu thức x 2 dx đã đổi thành du khi đặt u = ax 3 + c, hay biểu thức x 2 dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ax 3 + c.
4 d(x 4 + c) = 4x 3 dx suy ra x 3 dx ( 4 ) 4 d x +c , vậy biểu thức x 3 dx đã đổi thành
4 du khi đặt u = x 4 + c, hay biểu thức x 3 dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = x 4 + c.
4’ d(ax 4 + c) = 4ax 3 dx suy ra x 3 dx ( 4 )
+ , vậy biểu thức x 3 dx đã đổi thành
4 du a khi đặt u = ax 4 + c, hay biểu thức x 3 dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ax 4 + c.
5 d(e x ) = e x dx suy ra biểu thức e x dx = d(e x ), hay biểu thức e x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = e x
5’ d(ae x + c) = ae x dx suy ra biểu thức e x dx = d ae( x c) a
+ , hay biểu thức e x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= ae x + c
5’ d(e mx + c) = me mx dx suy ra biểu thức e mx dx = d me( x c) m
+ , hay biểu thức e mx dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = e mx + c.
6 d(lnx) = 1 xdx suy ra biểu thức 1 x dx = d(lnx), hay biểu thức 1 x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= lnx.
6’ d(alnx + c) = a1 xdx suy ra biểu thức 1 x dx = d a x c( ln ) a
+ hay biểu thức 1 x dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = alnx + c.
7 d(sinx + c) = cosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d(sinx + c) hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinx + c.
7’ d(asinx + c) = acosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d a( sinx c) a
+ hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= asinx+c
7’’ d(sinmx + c) = mcosmx dx suy ra biểu thức cosmxdx = d(sinmx c) m
+ hay biểu thức cosmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinmx+c.
8 d(cosx + c) = - sinx dx suy ra biểu thức sinxdx = - d(cosx + c) hay biểu thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosx+c.
8’ d(acosx + c) = - asinx dx suy ra biểu thức sinxdx = -d a( cosx c) a
+ hay biểu thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= acosx+c
8’’ d(cosmx + c) = -msinx dx suy ra biểu thức sinmxdx = - m
+ hay biểu thức sinmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosmx+c.
9 dtgx = 1 2 cos dx x = (1 + tg 2 x)dx suy ra biểu thức 1 2 cos dx x = (1 + tg 2 x)dx = dtgx hay biểu thức 1 2 cos dx x đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgx
9’ d(atgx + c) = a 1 2 cos dx x = a(1 + tg 2 x)dx suy ra biểu thức
1 cos dx x = (1 + tg 2 x)dx = d atgx c( ) a
+ hay biểu thức 1 2 cos dx x đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= atgx+c
9’’ d(tgmx) = m 1 2 cos dx mx suy ra biểu thức 1 2 cos dx mx = d tgmx c( ) m
+ hay biểu thức 1 2 cos dx mx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgmx
10 d(cotgx) = - 1 2 sin dx x = - (1 + cotg 2 x)dx suy ra biểu thức
1 sin dx x = - (1 + cotg 2 x)dx = d(cotgx) hay biểu thức 1 2 sin dx x đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgx.
10’ d(acotgx + c) = -a 1 2 sin dx x suy ra biểu thức
1 sin dx x = -(1 + cotg 2 x)dx = -d acotgx c( ) a
+ hay biểu thức 1 2 sin dx x đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = acotgx + c.
10’’ d(cotgmx) = -m 1 2 sin dx mx suy ra biểu thức 2 1 sin dx mx = - d cotgmx( ) m hay biểu thức 2 1 sin dx mx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgmx.
11 d(cos 2 x) = -2cosx sinx dx suy biểu thức cosx sinxdx = -
Biểu thức \( \sin 2x \, dx \) đồng nhất với \( du \) lệch đi một hằng số khi đặt \( u = \cos 2x \) Ta có \( d(\cos 2x) = -2\cos x \sin x \, dx = -\sin 2x \, dx \), từ đó suy ra \( \sin 2x \, dx = -d(\cos 2x) \).
12 d(sin 2 x) = 2 sinx cosx dx suy ra biểu thức cosxsinxdx =
Biểu thức \( \sin 2x \, dx \) đồng nhất với \( du \) khi đặt \( u = \sin 2x \), với \( d(\sin 2x) = 2\cos x \sin x \, dx \) Do đó, ta có thể suy ra rằng \( \sin 2x \, dx \) đồng nhất với \( du \), lệch đi một hằng số.
I.3 Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1 Công thức cơ bản: tan cot a a = 1
2 2 sin 1 cos sin cos 1 cos 1 sin a a a a a a
2 Cung đối : α và -α cos(-a) = cosa sin(-a) = - sina tg(-a) = - tga cotg(-a) = - cotga
Hai cung a, b phụ nhau nếu a + b 2 π vậy b 2 π - a sin( 2 π - a) = cosa cos(2 π - a) = sina tg(2 π - a) = cotga cotg(
Hai cung a,b bù nhau nếu a + b = π vậy b = π -a sin(π - a) = sina cos(π - a) = - cosa tg(π - a) = - tga cotg(π - a) = - cotga
*y = sinx, y = cosx có chu kỳ là 2 π,
*y = tgx, y = cotgx có chu kỳ là π, Nên tg(a + k π) = tga, ∀k∈Z cotg(a + k π) = cotga, ∀k∈Z
I.4 Các công thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (cosx – sinx).(cosx + sinx)
1+ sin2x = sin 2 x + cos 2 x + 2sinxcosx = (sinx + cosx) 2
1 – sin2x = sin 2 x +cos 2 x - 2sinxcosx = (sinx – cosx) 2
cos 2 (cos sin )(cos 2 sin ) cos sin
1 sin 2 (sin cos ) cos sin x x x x x x x x x x x x
cos 2 (cos sin )(cos 2 sin ) cos sin
1 sin 2 (sin cos ) cos sin x x x x x x x x x x x x
tanx + cotx = sin cos cos sin x x x + x = sin 2 os 2 cos sinx x c x x
tanx - cotx = sin cos cos sin x x x − x = sin 2 os 2 cos sinx x c x x
sin3x = 3sinx – 4sin 3 x; cos3x = 4cos 3 x – 3cosx
⇒ sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin 3 x + 4cos 3 x – 3cosx
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(cos 2 x + cosx sinx + sin 2 x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(1 + cosx sinx)
= (cosx – sinx)(1 + 4sinxcosx) sin3x - cos3x = 3sinx – 4sin 3 x - 4cos 3 x + 3cosx
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(cos 2 x - cosx sinx + sin 2 x)
= 3(sinx + cosx) - 4(sinx + cosx)(1 - cosx sinx)
1 sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x +cos 2 x) 2 – 2sin 2 x.cos 2 x = 1 – 2( 1
2 sin 6 x + cos 6 x = (sin 2 x +cos 2 x) 3 – 3sin 2 x.cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x)
3 sin 8 x + cos 8 x = (sin 4 x + cos 4 x) 2 – 2sin 4 xcos 4 x
Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) nếu với mọi x thuộc (a; b) ta có
Ví dụ: a) Hàm số F(x) = x 2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì
F ’ (x) = (x 2 ) ’ = 2x với mọi x thuộc R. b) Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên
R vì F ’ (x) = (sin x) ’ = cos x với mọi x thuộc R.
I.6.2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm
- Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x ) là F(x)+C, C là hằng số thực thay đổi trong R, ghi là
- ∫ kf x dx k f x dx( ) = ∫ ( ) với mọi số thực k ≠ 0
Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên (a; b) đều có nguyên hàm trên (a; b)
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
6.∫ cos xdx =sin x +C 6 ∫ cos udu = sin u +C
7.∫ sin xdx = −cos x C + 7 ∫ sin udu = − cos u C +
(1 tan ) tan x x dx os dx C c x
∫ ∫ 8 ∫ (1 tan ) + 2 u dx = ∫ c os 1 2 u du = tan u C +
(1 cot ) cot x dx sin dx x C
∫ ∫ 9 ∫ (1 cot ) + 2 u dx = ∫ sin 1 2 u du = − cot u C +
∫ k ≠ 0 10 ∫ sin( kx b dx + ) = − 1 k cos( kx b + + ) C , k ≠ 0
∫ k ≠ 0 11 ∫ c os( kx b dx + ) = 1 k sin( kx b + + ) C , k
Tích phân
II.1 Định nghĩa tích phân
Hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có nguyên hàm F(x) Hiệu số F(b) – F(a) được định nghĩa là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.
Công thức NEWTON-LEIBNITZ: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x = = F b − F a
∫ chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết
II.2 Các qui tắc tính tích phân a/ Đặt thừa số chung ra ngoài dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngoài cả khi thay cận lấy tích phân b/ Tích phân của tổng 2 hàm số bằng tổng 2 tích phân, có cùng cận, do đó có xu hướng phân tích thành tổng các tích phân nếu được. c/ ( ) b a cdx c b a= −
∫ ∫ g/ Phân chia cận lấy tích phân : b ( ) c ( ) b ( ) a a c f x dx = f x dx + f x dx
∫ ∫ ∫ h/ Nếu f(x) ≥ g(x), với mọi x thuộc [a; b], thì b ( ) b ( ) a a f x dx≥ g x dx
∫ ∫ , tức là dấu ≥ còn được bảo toàn sau khi lấy tích phân 2 hàm số.
II.3 Các phương pháp tính tích phân
II.3.1 Tra bảng nguyên hàm để tìm 1 nguyên hàm F(x), sau đó thay cận vào (đối với tích phân dễ, đơn giản)
1 nên π ∫ e cos x sinxdx = π ∫ e cos x d (cos ) − 1 x = - π ∫ e d cos x (cos ) x (tra bảng ∫ e du e u = + u C )
II.3.2 Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng các vi phân, nhớ kèm đổi cận
Ngoài cách đổi biến nhờ vào bảng các vi phân, chú ý 2 cách đổi biến sau đây:
Do d x 3x 2 (2x 3) dx Đặt t x 3x 2 dt 2x 3 dx x 1 t 0 Khi x 0 t 2
I e dt e dt tra bảng e du e C
= ⇒ = dt 2 = + 2 Đặt x tgt d(x) (1 tg t)dt cos t
Do đó I dt cos t dt
(1+cos2t) dt dt+ cos2t dt
II.3.3 Phương pháp tích phân từng phần: b b b a a a udv uv = − vdu
∫ vdu phải tính dễ hơn tích phân trước
Chứng minh: b b b a a a udv uv = − vdu
Ta có: uv u v uv uv dx u v uv dx u vdx uv dx
⇒∫ b / =∫ b / −∫ b / a a a uv dx uv dx u vdx
⇒∫ b = b a −∫ b a a udv uv vdu điều phải chứng minh
Các dạng sử dụng tích phân từng phần:
∫ b sin a p x dx x , với p(x) là đa thức, đều đặt u = p(x), suy ra du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử còn lại.
Để giải tích phân ∫, ta đặt u = ln(x), từ đó suy ra du = (1/x)dx, giúp loại bỏ ln Phần còn lại sẽ là nhân tử trong tích phân Lưu ý rằng trong bảng nguyên hàm, không có hàm số nào dưới dấu tích phân chứa ln.
1 u lnx du = dx1 Đặt x dv 4xdx v 2x
I lnx.2x 2 x 1dx 2 3 ln3 1 ln1 2 xdx x tra bảng xdx x C
u x2 du 2xdx Đặt dv sinxdx v cosx
I x cosx 2 xcosxdx cos 0 cos0 2 xcosxdx 2 xcosxdx
1 1 u x du dx Đặt dv cosxdx v sinx
I 2xsinx 2 sinxdx 2 sin 0sin0 2cosx
II.3.4 Tích phân hữu tỉ: =∫ a
1 1, x , 1 , 1 u x x kx b u thì áp dụng bảng nguyên hàm để tính.
Q(x) chưa có dạng nói trên (II.3.4.1) và bậc của P(x) < bậc của Q(x) thì tiến hành các bước sau:
Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) về dạng tích số.
Bước 3: Áp dụng tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân có cùng cận rồi áp dụng bảng công thức nguyên hàm để tính.
Chú ý: Nếu gặp hàm số hữu tỉ = S(x) y Q(x) mà bậc của S(x)≥ bậc của Q(x) thì ta phải thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số y về dạng
Q(x) (trong đó bậc của P(x) < bậc của Q(x) rồi tiếp tục làm như đã nói ở mục II.3.4.2 trên).
Thực hiện phép chia đa thức, ta có:
(do maãu x 3x 2 (x 1) (x 2)) Đặc biệt: a Dạng b a f (x)dx
∫g(x) với f(x) = g ’ (x) → đặt u = g(x), nguyên hàm là ln ( )g x b Dạng cơ bản 1: 1 1 m(x a) (x b) dx k
∫ + , cần tìm hai số thực m, n để mất x ở tử, sau đó tìm số thực k để cân bằng hai vế
→ tổng các tích phân có dạng dx αx a−
∫ , phân tích mẫu ax 2 + bx + c = a (x - x 1 ) (x - x 2 ) → dạng cơ bản 1. e Dạng 1 2 dx,f (x) ax bx c, f (x) 0 β α
∫ , phân tích mẫu ax 2 + bx + c về dạng a [x 2 + b’x + c’] → dạng cơ bản 2 nhờ 2 ( ) 2 ( ) 2
2 2 b b x +bx= +x − f Dạng 1 2 dx,f (x) ax bx c, f (x) 0 β α
∫ , phân tích mẫu ax 2 + bx + c về dạng a(x + b’) 2 → dạng 1 2 u du β α ∫
1 1 d(x 1) 3 d(x 3) x 1 x 3 d(x 1) dx do d(x 3) dx Tra bảng nguyên hàm du ln u C u ln x 1 3ln x 3 (ln2 ln1) 3(ln2 ln3) 2ln2 3ln3.− + − = −
2 xdx 3 dx 2 1 dx x 1 do d(x+1)=dx d(x 1)
2 xdx 3 dx 2 x 1 tra bảng du ln u C u
B 3 dx ( 3)dx dx 3 dx 7 dx
2 x 1 du tra bảng ln u C u 3x 7ln 2 x 3 0 ( 1) 7 ln 2 0 ln 2 ( 1)
154 77 ln154 ln108 ln ln ln77 ln54.
2 x 1 dx Đặt tgt 1 tg t dt dx 2 1 tg t dt
II.4 Ứng dụng của tích phân
II.4.1.1 S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a, x = b, b ≥ a,
2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x), có diện tích cũng đặt là S, thì b a
S=∫f (x) g(x) dx− yêu cầu: diện tích S ≥ 0
II.4.1.2 Chú ý 1: không thể tra bảng nguyên hàm khi còn trị tuyệt đối cho hàm số dưới dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi hoặc biến đổi sau cho tra được bảng nguyên hàm để tính được tích phân.
Có các cách xoá trị tuyệt đối như sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối
Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), trong miền a ≤ x ≤ b.
Cách 2: Dựa vào tính chất: (không được SGK giới thiệu)
Nếu ở bên trong miền giữa 2 đường thẳng x = a, x = b, 2 đường cong y = f(x), y = g(x) không có giao điểm nào, thì đưa được ttrị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân: S = ( ) ( ) b a f x −g x dx
∫ (tính tích phân trước rồi lấy trị tuyệt đối sau).
Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích → S = ( ) ( ) b a f x −g x dx
∫ → nhìn vào hình vẽ xoá trị tuyệt đối:
( ) ( ) nếu đồ thị ( ) trên đồ thị ( ) ( ) ( )
( ) ( ) nếu đồ thị ( ) trên đồ thị ( ) f x g x y f x y g x f x g x g x f x y g x y f x
(do a b− = số lớn hơn trừ số nhỏ hơn)
1 Miền S giới hạn không đủ 4 đường: x = a, x = b, y = f(x), y = g(x), chưa thể đưa ra công thức tích phân.
2 Miền S giới hạn bởi 3 đường: x = a, y = f(x), y = g(x) → Tìm phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải → vẽ hình miền S → cắt S làm vài hình thang cong → S bằng tổng các tích phân có dạng ( ) ( ) b a f x −g x dx
∫ , → nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối.
3 Miền S giới hạn bởi 2 đường: y = f(x), y = g(x) → Tìm phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) và giải → vẽ hình miền S → cắt S làm vài hình thang cong → S bằng tổng các tích phân có dạng ( ) ( ) b a f x −g x dx
Để giải bài toán tích phân, trước tiên cần nhìn hình vẽ và xác định các trị tuyệt đối Tiếp theo, vẽ hình miền S và tìm các giao điểm cần thiết Sau đó, cắt miền S thành vài hình thang cong Cuối cùng, tính toán diện tích của S bằng tổng các tích phân có dạng ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx.
→ nhìn hình vẽ xoá từng trị tuyệt đối.
II.1.4 Chú ý 3: S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường thẳng y = c, y = d,
2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c ,có diện tích cũng đặt là S, thì d c
S=∫ f (y) g(y)dy− (xem y là biến số, x là hàm số )
Ví dụ 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
Phương trình hoành độ giao điểm giữa y =2 và x y = −3 x là
Ta cĩ: y=2 là x hàm tăng
= −3 là hàm giảm y x nên 2 x = −3 x có 1 nghiệm duy nhất
Mặt khác: 2 1 = − ⇒3 1 1là nghiệm của phương trình (1)
⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất là x = 1
⇒ diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x =0, y =2 , x 3 y = −x là
S (3 x 2 )dx 3dx xdx 2 dx tra bảng x dx x C
3 dx xdx 2 dx 1 a dx a C lna x 2 1 1
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường cong là
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là
S (x x 2x)dx (x x 2x)dx x dx x dx 2xdx x dx x dx 2xdx x dx x dx 2 xdx x dx x dx 2 xdx
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ,
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
S x dx 2 x dx x dx 2dx xdx tra bảng x dx x C
= + − II.4.2 Tính thể tích: Cho Vật thể V
- cắt V bởi các mặt phẳng vuông góc với trục
- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích là
- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) khi a ≤ x ≤ b thì b a
Hệ quả: Tính thể tích vật thể tròn xoay:
+ 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a, x = b, b > a ,
Đáy cong của đồ thị y=f(x) và đáy nằm ngang của đường thẳng Ox với phương trình y=0 tạo thành miền D Khi miền D này quay quanh trục Ox, nó sẽ hình thành một vật thể V có thể tích được ký hiệu là V.
D là hình thang cong có + 2 đáy song song là 2 đường thẳng y = c, y = d, d > c,
Đáy cong của đồ thị được biểu diễn dưới dạng x = f(y), trong khi đáy nằm ngang là đường thẳng Oy với phương trình x = 0 Khi miền D quay quanh trục Oy, nó tạo ra một vật thể V có thể tích được ký hiệu là V.
Hệ quả: Miền D giới hạn bởi 4 đường:
Hai đáy song song được định nghĩa bởi hai đường thẳng x = a và x = b, với b lớn hơn a Trong khi đó, hai đáy cong là hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) nằm cùng phía với trục Ox Khi miền D quay quanh trục Ox, nó tạo ra một vật thể V có thể tích tương ứng cũng là V.
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sin , 0, 0,
= = = =π y x y x x khi nó quay xung quanh trục Ox.
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là
V sin xdx sin xdx 1 cos2x dx π π π
0 0 tra bảng dx x C dx cos(2x)dx 1
2 cos(kx b)dx sin(kx b) C k π π
Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của đường thẳng giới hạn bởi các đường
2 mà x f(y) thể tích của vật thể cần tìm là V= 2ydy 2 ydy tra bảng xdx x C