Bài toán cauchy và hàm chậm trong thang không gian banach với điều kiện độ đo phi compact

Ngoài nước

[1] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg, J Differential Geom Volume

Bài báo nghiên cứu bài toán Cauchy trong thang không gian Banach, tác gỉa đưa ra điều kiện có tính chất “ bản lề ": ở dạng: kF u − F vk s ≤ C s 0 − s ku − vk s 0

[2] R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, B N Sadovskii, Mea- sure of Noncompactness and Condensing operators, Bivkauser Veriang, Berlin, 1992.

Cuốn sách này cung cấp tài liệu toàn diện về độ đo phi-compact và toán tử cô đặc Tác giả đã thành công trong việc giải quyết bài toán liên quan đến hệ số chậm, mang lại những hiểu biết sâu sắc cho lĩnh vực này.

[3] M Kawagishi,A generalized Cauchy - Kovalevskaja - Nagumo theorem with shrinkings, Sci Math Japonicae 54 (1) (2001) 39– 50.

Tác giả nghiên cứu bài toán với hệ số chậm sau:

Trong đó u(t,x) mang giá trị thực, max{|α(t)|; |β(t)|} < 1 và cũng đã có một số kết quả trong lớp hàm Gevrey vi

Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116

Trong nước

Nguyễn Bích Huy (1993) trong bài báo "On a Cauchy problem in scale of Banach spaces" đã tổng hợp các kết quả và phương pháp chứng minh liên quan đến bài toán Côsi trong thang không gian, áp dụng cho nhiều trường hợp khác nhau Bài viết cũng làm nổi bật đặc trưng của việc ứng dụng thang không gian vào các bài toán phương trình vi tích phân, cung cấp cái nhìn sâu sắc về lĩnh vực này.

Tính cấp thiết của đề tài

Bài toán Cô si trong không gian Banach có ứng dụng quan trọng trong giải quyết các vấn đề trong Vật lý và Kỹ thuật Nghiên cứu về bài toán này là cần thiết để áp dụng vào nhiều tình huống cụ thể hơn.

Mục tiêu đề tài

Mục tiêu của đề tài khoa học này là xem xét sự tồn tại nghiệm bài toán:

Trong đó toán tử f hoạt động trên thang không gian Banach X s Tức là với mỗi t ∈ [0, T ], u, v ∈ X s 0 , s < s 0 thì f (t, u, v) ∈ X s Đề tài sẽ sử dụng điều kiện: α s (f (t, Ω 1 , Ω 2 )) ≤ C s 0 − s h α s 0 (Ω 1 ) + (α s 0 (Ω 2 )) p i

Trong đó 0 ≤ h(t) ≤ t 1/p , 0 < p < 1 và α s (B ) ký hiệu độ đo Kuratowski trong

Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

Cách tiếp cận

Tìm đọc tài liệu và các bài báo khoa học

Phương pháp nghiên cứu

Tìm kiếm, chứng minh và áp dụng

Tóm tắt nội dung báo cáo

Chương 1 trình bày những kiến thức căn bản về bài toán Cauchy trong thang không gian Banach Cuối chương 1 có trình bày kết quả của Akhmerov, đây là một kết quả về bài toán chậm trong không gian Banach mà đề tài sẽ mở rộng lên thang không gian.

Chương 2 trình bày những khái niệm về độ đo phi compact và toán tử cô đặc Đây là những kiến thức mà tác giả sử dụng để mở rộng kết quả của Akhmerov Chương này cũng trình bày các định lý về điểm bất động toán tử cô đặc của R.R.Akhmerov và Nguyễn Bích Huy Hai định lý này được áp dụng trong hai kết quả về sự tồn tại của bài toán Cauchy với hàm chậm được trình bày trong chương 3.

Chương 3 trình bày kết quả của đề tài khoa học này Đó là định lý về sự tồn tại nghiệm bài toán Cauchy với hàm chậm trong thang không gian Banach. Tuy nhiên, trước khi trình bày kết quả này, chương 3 nhắc lại kết quả của Akhmerov, đây là một kết quả về bài toán chậm trong không gian Banach mà đề tài sẽ mở rộng lên thang không gian.

Phần kết luận có trình bày một số hướng nghiên cứu được đề nghị từ đề tài này.

Bài toán Cauchy và hàm chậm viii

Thang không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Một thang không gian Banach là họ các không gian Ba- nach X s , ||.|| s theo chỉ số s ∈ [a, b] sao cho với mỗi s 0 là thang không gian Banach thỏa các điều kiện trong định nghĩa.

Trước khi xét tiếp ví dụ thứ hai, ta nhắc lại một số khái niệm.

Xét hàm liên tục Holder bậc τ ∈ [0; 1] f : Ω ⊂R m → R Nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mọi x, y ∈ Ω thì:

|f (x) − f(y)| ≤ c|x − y| τ Đặt C m+τ = {f ∈ C m (Ω) : f (m) là liên tục Holder bậc τ}.

Khi đó ta có thang không gian Banach:

Hai ví dụ trên đã được trình bày trong [2]

Bài toán Cauchy trong thang không gian Banach

Bài toán Cauchy có dạng:

Trong đó t ∈ [0, T ], u(t) và f(t,u(t)) nhận giá trị trong không gian trừu tượng

X, ví dụ một không gian Banach.

Khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm bài toán Cauchy đã được nghiên cứu từ lâu với nhiều kết quả đáng chú ý Tuy nhiên, một thách thức lớn là trong một số trường hợp, các hàm u(t) và f(t, u(t)) không nằm trong cùng một không gian Bài toán Cauchy trên thang không gian Banach X s, với chuẩn ||.|| ss và s thuộc đoạn [a, b], được định nghĩa với x 0 thuộc X b Nếu t thuộc [0, T] và x(t) thuộc X s 0, thì f(t, u(t)) sẽ thuộc X s cho mọi a ≤ s < s 0 ≤ b.

Một không gian Banach có thể được hình dung như một thang không gian, trong đó X s ≡ X cho mọi s Điều này cho phép bài toán Cauchy thông thường, trong đó u và f(t,u) thuộc cùng một không gian, được xem xét như một bài toán trên thang không gian Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ được tham khảo trong tài liệu [2].

Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên thống kê, mật độ xác suất của biến x theo thời gian t được xét là hàm u(t, x) :R + , R → R Hàm u có tính chất: u(t, x) ≥ 0 và R

R u(t, x)dx = 1. Người ta quan tâm phương trình khuyếch tán có dạng:

(u t = u xx + axu x + bx 2 u u(0, x) = ϕ(x) Đồng thời cần tính các đại lượng moments u n (t) = R

R u(t, x)x n dx, n ∈ N Để các đại lượng này tồn tại chúng ta cần có điều kiện x→∞ lim u(t, x)x n = 0, ∀t > 0, n ∈N

Bài toán Cauchy và hàm chậm 2

Từ phương trình khuyếch tán, nhân thêm x n , ta có: u t x n = (ux n ) xx − 2(nux n−1 ) x + n(n − 1)ux n−2 + a[(ux n+1 ) x − (n + 1)ux n ] + bux n+2

Lấy tích phân hai vế với lưu ý điều kiện cần nêu trên chúng ta có hệ đếm được các phương trình vi phân: u 0 n (t) = n(n − 1)u n−2 − a(n + 1)u n + bu n+2 , n ∈N

Hệ này có thể viết dưới dạng bài toán Cauchy:

Trong đó u(t) = {u n (t)} n ; Au = {n(n − 1)u n−2 − a(n + 1)u n + bu n+2 } n và u 0 =R

Xem xét toán tử A, giả sử u thuộc không gian X s, chúng ta không thể khẳng định chắc chắn rằng Au cũng thuộc X s Tuy nhiên, có thể chắc chắn rằng Au thuộc X s 0 với mọi 0 < s 0 < s Cụ thể, kAuk s 0 = X k≥1 e ks 0.

Với lưu ý rằng nếu 0 < s 0 < s thì chuỗi số P k k α e k(s 0 −s) là hội tụ với mọi α, cho nên chúng ta có: kAuk s 0 ≤ M kuk s

Vậy chúng ta có ví dụ:

Ví dụ 3 Bài toán Cauchy:

Trong đó với mọi u ∈ X s định nghĩa trong ví dụ (1) thì Au ∈ X s 0 với mọi

0 < s 0 < s và A là toán tử tuyến tính với kAk L(X s ,X s 0 ) ≤ M

Chương 2 ĐỘ ĐO PHI - COMPACT GIÁ

Độ đo Kuratowski

Xét không gian Banach(X, ||.||) Đường kính một tập A ⊂ X được định nghĩa là: d(A) = sup{||x − y|| : x, y ∈ A} Định nghĩa 2.1.1 Độ đo Kuratowski của tập Ω ⊂ X là số không âm α(Ω) được định nghĩa là: α(Ω) = inf{r > 0 : Ω ⊂ ∪ n k=1 S k ; S k ⊂ X; d(S k ) < r, k = 1, 2, , , n}

Tính chất 2.1.2 1 α(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là compact tương đối

Ngoài ra thì lưu ý các tính chất trên không độc lập.

1 Nếu α(Ω) = 0 thì với mọi ε > 0, Ω luôn có phủ hữu hạn có đường kính không quá ε nên Ω là compact tương đối

3 Nếu Ω 1 , Ω 2 lần lượt bị phủ bởi n tập {S i } i=1, ,n, m tập {T j } j=1, ,m thì

Ω 1 ∪ Ω 2 phủ bởi (n+m) tập {S i , T j } i,j nên ta có đều cần chứng minh

4 Nếu Ω phủ bởi n tập {S i } i=1, ,n thì tΩ phủ bởi n tập {tS i } i=1, ,n

Mặt khác d(tS i ) = sup{||tx − ty|| : x, y ∈ S i } = |t|d(S i ) Suy ra điều cần chứng minh

5 Nếu Ω 1 , Ω 2 lần lượt bị phủ bởi n tập {S i } i=1, ,n , m tập {T j } j=1, ,m thì

Ω 1 + Ω 2 phủ bởi (nm) tập {(S i + T j )} i,j Mặt khác: d(S i + T j ) = sup{||x + y − x 0 − y 0 || : x, x 0 ∈ S i ; y, y 0 ∈ T j }

Chúng ta chứng minh điều còn lại Nếu Ω phủ bởi n quả cầu {S i } i=1, ,n thì (coΩ) phủ các tập có dạng Pn i=1 k i S i trong đó k i là số không âm và

Tập hợp k = {(k1, , kn) : ki ≥ 0; Pki = 1} có vô hạn các phần tử, tuy nhiên theo tính chất Hausdorff, với ε > 0 cho trước, tồn tại tập con kε ⊂ k là hữu hạn Ngoài ra, có số δε (δε → 0 khi ε → 0) sao cho α(coΩ) ≤ α(∪ (ki)∈k n).

Giả sử d(coS i ) = d(S i ) < r, ∀i thì ta có α(coΩ) ≤ r + 2δ ε

Cho ε → 0 và do đặc điểm r thì ta có được α(coΩ) ≤ α(Ω).

Chiều ngược lại là dễ thấy.

K-độ đo phi compact

Xét không gian tuyến tính Q trên trường số thực, tập đóng K ⊂ Q được gọi là nón nếu λK ⊂ K với mọi λ không âm và K ∩ −K = {θ}.

Khi đó ta định nghĩa được một thứ tự trên Q là: Định nghĩa 2.2.1 x ≤ y ⇔ y − x ∈ K.

Không gian Q khi đó được sắp thứ tự một phần.

Ánh xạ A : M ⊂ Q → Q được gọi là tăng nếu với mọi u, v ∈ M, từ u ≤ v dẫn đến A(u) ≤ A(v) Ngoài ra, A được coi là ánh xạ dương nếu AK ⊂ K Nếu A là tuyến tính, thì A sẽ là tăng khi và chỉ khi A là dương Định nghĩa một độ đo phi compact tổng quát, ánh xạ Φ xác định trên lớp các tập con bị chặn của không gian Banach E và nhận giá trị trong tập được sắp thứ tự một phần (Q, ≤) nếu Φ(coΩ) = Φ(Ω) với mọi Ω bị chặn trong E, trong đó coΩ là bao lồi đóng của Ω.

Nếu Q là không gian tuyến tính mà thứ tự trên đó được sinh bởi nón K trong nó thì ta gọi vắn tắt Φ là K-độ đo phi compact.

Xem xét không gian Q chứa các hàm liên tục trên tập hợp ∆ = {(s, t) : a ≤ s < b, t ∈ [0, T ]} với phép cộng nhân thông thường Trong không gian này, thứ tự "≤" được xác định bởi nón K, bao gồm các hàm không âm trong Q.

K = {k ∈ C(∆) : k(s, t) ≥ 0, ∀(s, t) ∈ ∆} Dễ thấy thứ tự này có thể hiểu theo nghĩa tự nhiên là u ≤ v ⇔ u(s, t) ≤ v(s, t), ∀(s, t) ∈ ∆.

Xét thang không gian Banach(X s , ||.|| s )và độ đo Kuratowski α s trênX s Đặt

∪ s≥a X s , ||.|| a và chuẩn trên không gian các hàm liên tục C([0,T],X) là |u| = sup t∈[0,T ]

||u(t)|| a Ký hiệu họ các tập con đồng liên tục, bị chặn trong

Khi đó chúng ta có K-độ đo phi compact:

Chúng ta cần chứng minh (2.1) đúng.

Thật vậy, từ tính chất ((co)Ω)(t) ⊂ (co)(Ω(t)) cho nên: α s (((co)Ω)(t)) ≤ α s ((co)(Ω(t))) = α s (Ω(t)) với mọi s, t.

Chiều ngược lại của bao hàm thức là dễ thấy Vậy (2.1) đúng.

Tính chất 2.2.3 K-độ đo (2.2) có các tính chất:

1. Φ(Ω) = θ khi và chỉ khi Ω là compact tương đối (2.3)

1 Cho trước t, độ đo Kuratowski có tính chất: α s 0 (Ω(t)) = 0 khi và chỉ khi Ω(t)là compact tương đối trong X s với mọis ≤ s 0 Sau đó chúng ta dùng tính đồng liên tục của Ω và định lý Azela - Ascoli thì chúng ta chứng minh được rằng Ω là compact tương đối khi và chỉ khi Ω(t) là compact tương đối với mọi t ∈ [0, T ] Do đó ta có (2.3)

3 Cố định t và s, ta có α s (Ω 1 (t) ∪ Ω 2 (t)) = max{α s (Ω 1 (t)); α s (Ω 2 (t))} Theo (2.2) ta có điều cần chứng minh

Ánh xạ cô đặc

Trong không gian Banach X₁ và X₂ được trang bị độ đo phi compact tổng quát Φ₁ và Φ₂, một ánh xạ f: D ⊂ X₁ → X₂ được gọi là (Φ₁, Φ₂) cô đặc nếu với mọi tập con Ω ⊂ D, điều kiện Φ₂(f(Ω)) ≥ Φ₁(Ω) dẫn đến việc Ω là tập compact tương đối.

Nếu X = X 1 = X 2 và Φ 1 = Φ 2 = Φ(như định nghĩa ở 2.2) thì sau đây chúng ta gọi tắt f là cô đặc.

Nhận xét: Đối với K - độ đo được định nghĩa ở 2.2 thì lớp ánh xạ cô đặc bao hàm lớp ánh xạ compact và ánh xạ co.

Nếu Ω là tập bị chặn, thì tính compact của hàm f suy ra rằng f(Ω) là tập compact tương đối, tức là Φ 2 (f(Ω)) = 0 Giả sử Φ 2 (f(Ω)) ≥ Φ 1 (Ω), khi đó nếu Φ 1 (Ω) = 0, điều này dẫn đến Ω là tập compact tương đối, hay nói cách khác, hàm f là cô đặc.

Nếu f là ánh xạ co với hệ số 0 ≤ k < 1, từ định nghĩa độ đo Kuratowski α s, ta có Φ 2 (f (Ω)) ≤ kΦ 1 (Ω) Điều này dẫn đến bất đẳng thức kΦ 1 (Ω) ≥ Φ 1 (Ω), suy ra Φ 1 (Ω) = 0, do đó f là cô đặc.

Điểm bất động ánh xạ cô đặc

Định lý 2.4.1 trong không gian Banach X với độ đo phi compact tổng quát Φ, nếu ánh xạ f: M ⊂ X → M là Φ cô đặc, thì tồn tại ít nhất một điểm bất động trong M.

Nhắc lại: Nếu f(x) = x thì x gọi là điểm bất động của f.

Chứng minh: Đặt A 0 = M và A n+1 = cof(A n ) Rõ ràng là A 0 ⊃ A 1

Giả sử A n−1 ⊃ A n và x ∈ A n+1 Khi đó tồn tại Pn i=1 k i = 1 và y i ∈ A n sao cho x = n

X i=1 k i f (y i ) Mà A n−1 ⊃ A n cho nên y i ∈ A n−1 hay f(y i ) ∈ A n Do đó x ∈ A n Tính bất kỳ của x suy ra A n ⊃ A n+1

Dãy A_n là một dãy giảm, đóng và khác rỗng Gọi C = ∩ n∈ N A_n, khi đó C có tính chất lồi và đóng, đồng thời C = f(C) hay Φ(C) = Φ(f(C)) Từ đó, có thể suy ra rằng C là compact do tính chất Φ cô đặc của f.

Chọn giá trị x₀ ∈ M và đặt xₙ = fⁿ(x₀), ta thấy xₙ ∈ Aₙ Tính chất (2.4) cho thấy Φ({xₙ}ₙ) = Φ(f({xₙ}ₙ), kết hợp với tính chất Φ cô đặc của f, suy ra {xₙ}ₙ là tập compact tương đối Do đó, tồn tại dãy con {xₙₖ}ₖ hội tụ, và giới hạn của dãy này thuộc C, chứng tỏ C không rỗng.

Sử dụng định lý bất động Schauder, ánh xạf : C → C có điểm bất động trong

C cũng là điểm bất động đang cần tìm.

Chúng ta chứng minh xong.

Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số T2015-116 đề cập đến Định lý 2.4.2 trong tài liệu tham khảo [3], trong đó nghiên cứu không gian Banach X với K - độ đo phi compact Φ thỏa mãn các điều kiện (2.3) và (2.4) Đồng thời, không gian Q chứa các giá trị của Φ được xác định là một không gian tuyến tính định chuẩn.

Cho f : M ⊂ X → X là liên tục Giả sử có một toán tử A : K → K là tăng và thỏa mãn:

• (i): Φ(f(Ω)) ≤ A(Φ(Ω)) nếu Ω ⊂ M và Ω, f(Ω) là bị chặn

• (ii): lim n→∞ A n (x) = 0 với mọi x thuộc K (sự hội tụ trong Q)

Khi đó có ít nhất một điểm bất động trong M

Sử dụng định lý (2.4.1), chúng ta chỉ cần chứng minh f là Φ cô đặc.

Xét tập bị chặn Ω ⊂ M và giả sử Φ(f (Ω)) ≥ Φ(Ω) Đặt x = Φ(Ω) ∈ K.

Do đó, kết hợp tính tăng của A, suy ra A(x) ≤ A 2 (x) hay một cách tổng quát là 0 ≤ x ≤ A n (x).

Sử dụng giả thiết định lý, khi n tiến tới vô hạn, ta có x = lim n→∞ A n (x) = 0, điều này cho thấy Ω là tập compact tương đối Do đó, f là Φ cô đặc và chúng ta đã hoàn thành chứng minh.

Trong phần này chúng ta quan tâm sự tồn tại nghiệm bài toán toán sau đây đã được khảo sát sự tồn tại nghiệm trong [1]:

(3.1) Trong đó t ∈ [0, T ] và số p ∈ (0, 1) sao cho 0 ≤ h(t) ≤ t 1/p , ∀t ∈ [0, T ].

Trước khi trình bày kết quả nghiên cứu, chúng ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) đã được khảo sát trong tài liệu [1] Ánh xạ f: [0, T].X → X và nghiệm của bài toán là hàm u ∈ C 1 ([0, T], X) thỏa mãn (3.1), trong đó X là không gian Banach Để dễ hiểu, chúng ta sẽ định nghĩa một số tính chất của độ đo phi compact tổng quát Định nghĩa 3.1.1: Độ đo phi compact tổng quát Φ trên lớp tập bị chặn trong không gian định chuẩn X nhận giá trị trong không gian định chuẩn có thứ tự.

• Chính quy nếu Φ(M ) = 0 ⇔ M là compact tương đối

• Nửa thuần nhất nếu Φ(tM ) = |t|Φ(M )

• Bất biến đối với dịch chuyển nếu Φ(x + M ) = Φ(M)

• Liên tục nếu với Ω và ε > 0 cho trước thì tồn tại số δ > 0 sao cho:

Ký hiệu quả cầu B(u 0 , r) = {x ∈ X : ||x − u 0 || ≤ r}, hình trụ S = {(t, x) : t ∈

[0, T ]; x ∈ B(u 0 , r)} Sau đây là kết quả của bài toán (3.1) được chứng minh trong [1]. Định lí 3.1.2 Cho f liên tục đều trong hình trụ R.

Giả sử độ đo phi-compact tổng quát Φ trên không gian X là một hàm số thực có các đặc tính chính quy, nửa cộng tính, nửa thuần nhất, liên tục và bất biến với dịch chuyển.

Ngoài ra Φ thỏa điều kiện:

Tồn tại hằng số C để với mọi Ω ⊂ B(u 0 , r), t ∈ [0, T ] thì Φ[f (t, Ω)] ≤ C[Φ(Ω)] p Khi đó tồn tại t 1 > 0 để bài toán (3.1) có nghiệm u ∈ C 1 ([0, t 1 ], X )

1 , ∀(t, x) ∈ S Việc chọnt 1 là tốt nhờ tính liên tục đều của f.

Cũng do tính liên tục của f, có thể khẳng định nghiệm bài toán là điểm bất động ánh xạ F : C([0, t 1 ], X ) → C([0, t 1 ], X) xác định bởi:

M ⊂ C([0, t 1 ], X ) là lồi, đóng và bị chặn.

Giả sử u ∈ M Khi đó với 0 ≤ s ≤ t 1 thì ||u(h(s)) − u 0 || ≤ rh(s) t

1 Từ công thức của F chúng ta chứng minh được: F M ⊂ M.

Chúng ta sẽ xây dựng độ đo phi compact tổng quát Φ C trên lớp tập con bị chặn, đồng liên tục Ω ⊂ M, với giá trị trong không gian C([0, t 1 ], R) Độ đo này được định nghĩa theo thứ tự thông thường, tức là u ≤ v tương đương với u(t) ≤ v(t) cho mọi t thuộc [0, t 1] Cụ thể, Φ C (Ω)(t) được xác định là Φ(Ω(t)), trong đó Ω(t) là tập hợp các giá trị u(t) với u thuộc Ω.

Chúng ta sử dụng định lý (2.4.1) bằng cách chứng minh F : M → M là Φ C cô đặc. Để chứng minh F là Φ C cô đặc, giả sử Φ C (Ω) ≤ Φ C (F (Ω)) Sử dụng các tính

Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 chất của Φ nêu trong giả thiết định lý, chúng ta suy ra (với t ∈ [0, t 1 ]): m(t) := Φ(Ω(t)) ≤ Φ(F (Ω(t)))

Bằng cách lặp lại các lập luận trên nhiều lần chúng ta có: m(t) ≤

Do 0 ≤ p ≤ 1 nên chuỗi Pn i=0 p i hội tụ Ngoài ra t 1 ≤ 1 và mẫu số (n − i) p i ≥ 1 với mọi 0 ≤ i ≤ n − 2 cho nên VP hội tụ về 0 khi n ra vô hạn.

Vậy m(t) := Φ(Ω(t)) = 0, ∀t ∈ [0, t 1 ] Sử dụng tính đồng liên tục của Ω và tính chính qua của Φ, chúng ta suy ra tính compact tương đối của Ω.

Vậy các giả thiết của định lý (2.4.1) thỏa mãn, nghĩa là chúng ta chứng minh xong.

Mở rộng hơn [1], chúng ta xét bài toán (3.1) trong thang không gian Banach

Thay vì sử dụng một độ đo tổng quát giá trị thực, chúng ta áp dụng độ đo Kuratowski, trong đó lớp ánh xạ cô đặc được xây dựng như (2.2) bao hàm cả lớp ánh xạ co và lớp ánh xạ compact.

Ký hiệu ϕ s (B) là độ đo Kuratowski trên X s Kết quả của chúng ta như sau:

Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Định lí 3.2.1 Giả sử:

• f : [0, T ]X s 0 → X s là liên tục với mỗi s α

Và K là nón các hàm không âm trong Y.

Ta đặt E=C(I, X b ) và xét B là một tập bị chặn trong E. Đặt B(t) = {v (t)|v ∈ B} ⊂ X b ⊂ X s , ∀s < b.

Chúng ta xây dựng K độ đo phi compact trên lớp tập con bị chặn của E, nhận giá trị trong K như sau : φ(B)(t, s) = ϕ s (B (t)) ∀(t, s) ∈ ∆ Định nghĩa là tốt vì (b − s) β φ(B)(t, s) ≤ (b − a) β ϕ b (B(t))

Tiếp theo, chúng ta xây dựng toán tử A : K → K là:

Khi đó A(g) ∈ K là do với lựa chọn s 0 = (b + s)/2 thì:

Chúng ta sẽ dùng quy nạp chứng minh với mọi n>1 và s ≤ s n < < s 1 < b thì

Từ định nghĩa toán tử A, dễ thấy với (s < s 1 < b) thì :

Nghĩa là (3.3) đúng với n=2, giả sử (3.3) đúng

Tức là (3.3) đúng với mọi n.

Chúng ta tiếp tục đánh giá vế phải (3.3) bằng cách chọn s i sao cho:

Suy ra β < 1 + p Khi đó với M đủ lớn thì :

Khi n đủ lớn để (β − α)p n − p 2 < 0 thì vế phải (2.7) hội tụ về 0 khi n ra vô hạn

Ta thấy rằng (3.4) ≤ M (n + 1) q T n , trong đó q = β − 1 − p − p 2 + (β − α)p là giá trị cố định Do đó ta cũng dễ dàng chứng minh được vế phải (2.7) hội tụ về 0 khi n ra vô hạn n→∞ lim T n (n + 1) q = 0

Chúng ta đã chứng minh được điều kiện (ii) trong định lý (2.4.2): n→∞ lim A n (g) = 0 với mọi g thuộc K.

Cuối cùng ta chứng minh (i) trong định lý đó, tức là φ(F (B)) ≤ A(φ(B)) Thật vật, giả sử B ⊂ E là bị chặn, dùng (3.2) ta có: φ(F (B))(t, s) = ϕ s (F (B)(t)) = ϕ s {Rt

Bất đẳng thức trên đúng với mọi s 0 > s nên ta có φ(F (B)) ≤ A(φ(B)). Áp dụng định lý (2.4.2) ta suy ra sự tồn tại điểm bất động của F cũng là nghiệm bài toán (3.1): u(t) ∈ X b , ∀t ∈ [0, T ].

Với một giá trịs 0 ∈ [a, b)cho trước, ta thay b trong chứng minh trên bằng s 0. Định lý đã chứng minh xong.

Trong định lý tiếp theo, ta xét bài toán:

Trong đó toán tử f hoạt động trên thang không gian Banach X s Tức là với mỗi t ∈ [0, T ], u, v ∈ X s 0 , s < s 0 thì f (t, u, v) ∈ X s. Định lí 3.2.2 Các giả thiết

• f : [0, T ]xX s 0 xX s 0 → X s là liên tục với mỗi s

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	2,48 MB