ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả luận văn Vũ Thị Thanh Huyền Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thủy i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác giả luận văn Vũ Thị Thanh Huyền ii MỤC LỤC Lời cam đoan…………………………………………………………………i Lời cảm ơn……………………………………………………………… .ii MỤC LỤC……………………………………………….………………… iii MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………… 1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng……………………… 1.2 Phép biến đổi Fourier ………………………………8 1.3 Phép biến đổi Fourier …………………………… 13 1.4 Các công thức đơn giản biến đổi Fourier………………… 19 1.5 Biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản………………….22 Chƣơng BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không với hệ số …………………………………………29 2.1.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 29 2.1.2 Tìm nghiệm toán (2.1.1), (2.1.2)………………… 29 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số …………………………………………31 2.2.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 31 2.2.2 Tìm nghiệm toán (2.2.1), (2.2.2)………………… 31 2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số phụ thuộc biến thời gian ……………… 33 2.3.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 33 2.2.2 Tìm nghiệm toán (2.3.1), (2.3.2)………………… 34 KẾT LUẬN…………………………………………………………………39 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình parabolic lớp phương trình mơ tả q trình truyền nhiệt, khuyếch tán Các tốn có chứa phương trình parabolic nghiên cứu từ lâu lý thuyết phương trình đến tương đối hồn chỉnh Khi nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn học Pháp Poisson thiết lập cơng thức tính nghiệm, mang tên ông có nhiều ứng dụng Ngày có nhiều phương pháp để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phương pháp biến đổi Fourier nhiều trường hợp tỏ quan trọng hiệu Phương pháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu lớp phương trình khác thiết lập công thức biểu diễn nghiệm tốn Khơng phương pháp biến đổi Fourier cịn nghiên cứu tính chất cơng thức biểu diễn nghiệm Theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn “ Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không ” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng việc giải toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau - Trình bày tổng quan phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), tính chất chúng - Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 , hệ số Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp giải tích, sử dụng hệ thống phép biến đổi Fourier, cơng thức Poisson để nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị để thực nội dung chương sau: Phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống phép biến đổi Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), công thức đơn giản biến đổi Fourier, biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản Chương Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 , hệ số Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức quan trọng làm tảng để nghiên cứu chương sau, kiến thức phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11] 1.1 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Định nghĩa 1.1.1.1 Cho k số nguyên dương U tập mở Rn Một biểu thức có dạng F x, u (x) , Du (x) , , Dk u (x) = 0, x∈U (1.1.1) gọi phương trình đạo hàm riêng bậc k với k F : U × R × Rn × · · · × Rn → R, hàm cho trước, u : U → R hàm cần tìm Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) gọi giải tìm tất hàm số u thoả mãn (1.1.1) Định nghĩa 1.1.1.2 Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) gọi tuyến tính phương trình có dạng aα (x)Dα u = f (x) , |α|≤k aα (x), f (x) hàm số cho Phương trình tuyến tính gọi f ≡ Định nghĩa 1.1.1.3 Giả sử u = u (x, y) hàm xác định R2 , a (x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến phương trình có dạng a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Xét phương đạo hàm riêng trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.1.2) có biệt thức ∆ = b2 − ac Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.1.2) điểm (x0 , y0 ) gọi - Thuộc loại elliptic điểm b2 − ac < - Thuộc loại hypecbolic điểm b2 − ac > - Thuộc loại parabolic điểm b2 − ac = Nếu điểm miền G mà phương trình (1.1.2) thuộc loại ta nói phương trình (1.1.2) thuộc loại miền G b) Dạng tắc phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Ta đưa phương trình (1.1.2) dạng tắc sau - Với b2 − ac > dạng tắc phương trình loại hypecbolic uxx − uyy = Φ hay uxy = Φ - Với b2 − ac < dạng tắc phương trình loại elliptic uxx + uyy = Φ - Với b2 − ac = dạng tắc phương trình loại parabolic uxx = Φ 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử u = u (x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp n− biến phương trình có dạng n aij uxi xj + F (x1 , , xn , u, ux1 , , uxn ) = 0, (1.1.3) i,j=1 với aij = aji hàm biến x1 , , xn a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Ta ký hiệu x = (x1 , x2 , , xn ) điểm không gian Ơ – clit n chiều với tọa độ x1 , , xn Xét ma trận A(x) = aij (x) (1.1.4) Coi (1.1.4) ma trận đối xứng Ta cố định điểm x0 = x1 , , xn Khi ma trận A(x) trở thành ma trận A(x0 ) Phương trình det(A(x0 ) − λE) = 0, (1.1.5) E ma trận đơn vị, λ vô hướng, gọi phương trình đặc trưng điểm x0 phương trình (1.1.3) Từ ta có - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại elliptic điểm x0 = x1 , , xn điểm đó, tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) khác không dấu - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại hypecbolic điểm x0 = x1 , , xn điểm đó, tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) khác khơng có n − nghiệm dấu, cịn nghiệm cuối cịn lại có dấu khác - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại parabolic điểm x0 = x1 , , xn điểm đó, n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) có nghiệm khơng, cịn n−1 nghiệm cịn lại khác không dấu Nếu điểm miền Ω khơng gian E mà phương trình (1.1.3) thuộc loại, ta nói phương trình (1.1.3) thuộc loại Ω Nếu ta đặt A = aij ni,j=1 A ma trận vuông đối xứng, xác định dương ⇒ ∃n giá trị riêng dương λ1 , λ2 , , λn tồn ma trận C ma trận trực giao (tức ma trận có hàng trực giao hàng véctơ đơn vị)   c11 c12 c1n  c c22 c2n  C =  21  cn1 cn2 cnn cho CAC −1 Suy n  λ1 0 λ  =  0  0   = D λn aij xi xj = (Ax, x) = C −1 DCx, x = (DCx, Cx) = (Dy, y),(đặt Cx = y ) i,j=1 Trong công thức (1.5.4), đổi biến x = C −1 y, det C −1 = ±1 = ⇒ dx = det C −1 dy n ⇒F e − aij xi xj i,j=1 n (ξ) = (2π)− C −1 y,ξ e−i e−(Dy,y) det C −1 dy Rn Do det C −1 = nên ta có n F e − aij xi xj i,j=1 n (ξ) = (2π)− 2 e−i y,Cξ e−λ1 y1 −λ2 y2 − −λn yn dy Rn Đặt Cξ = η , ηj = n cjk ξk k=1 n F e − aij xi xj i,j=1 +∞ n (2π) (ξ) = − n2 j=1 e−i yj ,ηj e−λj yj dyj −∞ Đây phép biến đổi Fourier hàm f (x) = e−λj |x| (λj > 0) Áp dụng công thức (1.5.3) ta n F e − aij xi xj i,j=1 (ξ) = √ n n√ e λ1 λn 27 − j=1 ηj2 4λj = √ n (det (A)) e − 41 n j=1 ηj2 λj Vậy n F 1.5.5 e − aij xi xj i,j=1 (ξ) = √ n (det (A)) e − 41 n n λ j=1 j cjk ξk k=1 (1.5.5) Biến đổi Fourier hàm f (x) =e−α|x| , α > R1 Theo Định nghĩa biến đổi Fourier R1 , ta có f (λ) = √ 2π ∞ ∧ =√ 2π −∞ ∞ −∞ λ cos λxdx = √ λ 2π  −αx e sin λx π π α λ2 =− e α|x|  = λ = e−α|x| (cos λx − i sin λx)dx ∞ =√ 2π = f (x) e−iλx dx α λ2 −α λ  ∞ ∞ ∞ +α  e−αx sin λxdx −1 + α π ∞ ∞ +α π 28 α λ2 + α  e−αx cosλxdx π ∧ f (λ) Suy ∧ e−α|x| d sin λx e−αx dcosλx  −αx e cosλx π f (λ) = ∞ Chương BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT Trong chương này, ta áp dụng kiến thức phương trình đạo hàm riêng phép biến đổi Fourier để tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 , Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [3], [4], [7], [8], [9], [12] 2.1 2.1.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Tìm u (x, t) nghiệm phương trình ∂u 2∂ u =a + f (x, t) , ∂t ∂x2 x ∈ R, t > (2.1.1) Thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.1.2) u (x, 0) = 2.1.2 Tìm nghiệm tốn (2.1.1), (2.1.2) Theo [3], hàm V (x, τ, t) = √ 2a πt +∞ e− −∞ 29 (ξ−x)2 4a2 t f (ξ, τ ) dξ, (2.1.3) thỏa mãn phương trình ∂V 2∂ V =a , ∂t ∂x2 (2.1.4) V (x, τ, 0) = f (x, τ ) (2.1.5) điều kiện ban đầu Ta chứng minh hàm t V (x, τ, t − τ ) dτ u (x, t) = (2.1.6) nghiệm toán (2.1.1) (2.1.2) Thật vậy, hàm (2.1.6) thỏa mãn điều kiện (2.1.2) Bây ta chứng minh hàm (2.1.6) nghiệm toán (2.1.1) Ta thấy V (x, τ, t) thỏa mãn phương trình (2.1.4) hàm V (x, τ, t − τ ) thỏa mãn phương trình Ta có t ∂u = ∂t ∂V (x, τ, t − τ ) dτ + V (x, τ, 0), ∂t (2.1.7) t ∂ 2u a2 = ∂x a2 ∂ V (x, τ, t − τ ) dτ ∂x2 Lấy (2.1.7)trừ (2.1.8), kết hợp với điều kiện (2.1.4), (2.1.5) ta ∂u 2∂ u −a = f (x, t) ∂t ∂x2 hay ∂u 2∂ u =a + f (x, t) ∂t ∂x2 Từ (2.1.6), (2.1.3) nghiệm tốn (2.1.1), (2.1.2) +∞ t u(x, t) = dτ −∞ f (ξ, τ ) − 4a(ξ−x) (t−τ ) dξ e 2a π (t − τ ) 30 (2.1.8) 2.2 2.2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không với hệ số Rn Bài tốn Cauchy Tìm nghiệm u(x, t) phương trình ut − a2 ∆u = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0, (2.2.1) thỏa mãn điều kiện đầu x ∈ Rn u(x, 0) = u0 (x), (2.2.2) Trong f (x, t), u0 (x) hàm cho ∆u = ux1 x1 + ux2 x2 + + uxn xn 2.2.2 Tìm nghiệm tốn (2.2.1, (2.2.2) Để tìm nghiệm Bài tốn (2.2.1) (2.2.2) ta tìm nghiệm hai tốn sau a) Bài tốn Tìm nghiệm v(x, t) toán vt − a2 ∆v = 0, x ∈ Rn , (2.2.3) t > 0, thỏa mãn v(x, 0) = u0 (x), Trong u0 (x) hàm cho trước x ∈ Rn (2.2.4) ∆v = vx1 x1 + vx2 x2 + + vxn xn Theo [9] ta có nghiệm tốn √ 2a πt u0 (y) e− |y−x|2 4a2 t dy (2.2.5) wt − a2 ∆w = f (x, t) , x ∈ Rn , t > 0, (2.2.6) w(x, 0) = 0, x ∈ Rn (2.2.7) v(x, t) = n Rn b) Bài tốn Tìm nghiệm w (x, t) toán thỏa mãn 31 Ta giải Bài toán (2.2.6), (2.2.7) phương pháp Duamel Ta xét hàm số g ( x, t, τ ) phụ thuộc tham số τ nghiệm toán gt (x, t, τ ) − a2 ∆g = 0, x ∈ Rn (2.2.8) g (x, t, τ ) |t=τ = f (x, τ ) , x ∈ Rn (2.2.9) Bằng cách đặt t′ = t − τ ⇒ gt = gt′ g (x, t, τ ) = g (x, τ + t′ , τ ) Ta đưa toán (2.2.8), (2.2.9) toán sau gt′ − a2 ∆g = 0, x ∈ Rn , t > g (x, τ + t, , τ ) |t′ =0 = f (x, τ ) , x ∈ Rn (2.2.10) (2.2.11) Trong f (x, τ ) hàm cho trước Theo [9] ta có nghiệm Bài tốn (2.2.10) (2.2.11) g(x, τ + t , τ ) = √ 2a t′ π ′ f (y, τ ) e n − |y−x| 4a2 t′ dy (2.2.12) Rn Suy nghiệm Bài toán (2.2.8) (2.2.9) g(x, t, τ ) = 2a π(t − τ ) f (y, τ ) e n − 4a|y−x| (t−τ ) dy (2.2.13) Rn Ta chứng minh nghiệm Bài toán (2.2.6) (2.2.7) biểu diễn công thức Duamel t g (x, t, τ ) dτ w(x, t) = ⇔ w(x, t) = √ (2a π) t f (y, τ ) n n Rn (t − τ ) e − |y−x|2 4a2 (t−τ ) dτ dy (2.2.14) Thật vậy, ta có w(x, 0) = Mặt khác t gt (x, t, τ ) dτ wt = g (x, t, t) + 32 (2.2.15) t (2.2.16) ∆x g (x, t, τ ) dτ ∆x w = Lấy (2.2.15) trừ (2.2.16) ta wt − a2 ∆w = g (x, t, t) Theo (2.2.6) suy g (x, t, t) = f (x, t) wt − a2 ∆x w = f (x, t) Vậy nghiệm toán (2.2.14) c) Nghiệm toán (2.2.1), (2.2.2) Nghiệm toán (2.2.1) (2.2.2) u (x, t) = v (x, t) + w (x, t) u(x, t) = √ 2a πt n √ n + (2a π) 2.3 2.3.1 u0 (y) e −|y−x|2 4a2 t dy+ Rn t f (y, τ ) n Rn (t − τ ) e − |y−x|2 4a2 (t−τ ) dτ dy Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn Bài toán Cauchy Tìm nghiệm u(x, t) phương trình n ut − aij (t)uxi xj = f (x, t), i,j=1 với aij (t) = aji (t) λ1 |ξ| ≥ n i,j=1 x ∈ Rn , t > 0, (2.3.1) aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ|2 thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), u0 (x), f (x, t) hàm cho trước 33 x ∈ Rn , (2.3.2) 2.3.2 Tìm nghiệm tốn (2.3.1), (2.3.2) Để tìm nghiệm Bài tốn (2.3.1), (2.3.2) ta tìm nghiệm hai tốn sau a)Bài tốn Tìm nghiệm v (x, t) phương trình n vt − với aij (t) = aji (t), x ∈ Rn , t > 0, aij (t)vxi xj = 0, i,j=1 λ1 |ξ|2 ≥ n i,j=1 (2.3.3) aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ|2 Thỏa mãn điều kiện ban đầu x ∈ Rn , v(x, 0) = u0 (x), (2.3.4) u0 (x) hàm cho trước Để tìm nghiệm tốn ta áp dụng biến đổi Fourier theo biến x lên phương trình (2.3.3) ta   n n F (vt ) = F  i,j=1 Mặt khác ta có F (vt ) = (2π) − n2 aij (t)vxi xj  = − aij (t)ξi ξj F (v) i,j=1 vt e−i dx = (2π) − n2 Rn Vậy (2.3.5) ∂ ∂t ∧ Rn ∂v v e−i dx = ∂t ∧ ∂v F (vt ) = ∂t Từ (2.3.5) suy ∧ n ∂v ∧ aij (t)ξi ξj v =− ∂t i,j=1 (2.3.6) Vì (2.3.6) phương trình vi phân tuyến tính cấp theo biến t nên t n ∧ v(ξ, t) = C(ξ) e Gọi A = aij (t) n i,j=1 − aij (s)ξi ξj ds i,j=1 ma trận vuông, đối xứng xác định dương 34 (2.3.7) Với t > 0, đặt t B(t) = A(s)ds Khi với t > B (t) ma trận vuông, đối xứng xác định dương Gọi µj (t) giá trị riêng dương B (t) Khi tồn ma trận G(t) = gij (t) ni,j=1 ma trận trực giao cho   µ1 (t)  µ2 (t)  −1 (2.3.8) B(t) = G(t)   G (t) 0 µn (t) Từ (2.3.4) ta có ∧ ∧ v(ξ, 0) = F (v(x, 0)) = F (u0 (x)) = u0 (ξ) Theo (2.3.7) suy ∧ C(ξ) = u0 (ξ) Khi (2.3.7) viết thành t ∧ v(ξ, t) = ∧ u0 (ξ) e − n aij (s)ξi ξj ds i,j=1 (2.3.9) Từ công thức (1.3.7), (1.3.8) Chương suy ∧ ∧ n = (2π)− f ∗ g F −1 f g Do từ cơng thức (2.3.10) suy n v(x, t) = (2π)− u0 (x) ∗ H(x), (2.3.10) biến đổi Fourier H (x) n ∧ H (ξ) = e − bij (t)ξi ξj i,j=1 , với bij (t) = t aij (s)ds Vì − n bij (t)ξi ξj dạng tồn phương nên hàm chẵn e i,j=1 hàm chẵn Theo công thức (1.4.6) Chương ta ∧ ∧ F −1 (H ) = F (H ) 35 − n bij (t)ξi ξj i,j=1 ∧ ∧ Mặt khác H = F −1 (H ) , ta có H = F (H ) Áp dụng công thức (1.5.5) Chương ta n ∧ F (H ) = F e − e |det B(t)| = √ n ( 2) bij (t)ξi ξj i,j=1 − 41 n µ (t) j=1 j n gjk (t)xk k=1 (2.3.11) Thay (2.3.11) vào (2.3.10) ta v(x, t) = (2π) − n2 u0 (x) ∗ √ n ( 2) |det B(t)| e − 41 n j=1 µj (t) n gjk (t)xk k=1 Như ta nhận công thức Poisson suy rộng sau v(x, t) = √ (2 π) n |B(t)| u0 (x) ∗ e − 41 n j=1 µj (t) n gjk (t)xk k=1 , (2.3.12) ∗ phép tích chập theo biến x Vậy (2.3.12) nghiệm tốn b) Bài tốn Tìm nghiệm w (x, t) tốn n wt − i,j=1 với aij (t) = aji (t), aij (t)wxi xj = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0, λ1 |ξ|2 ≥ n i,j=1 (2.3.13) aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ|2 , thỏa mãn điều kiện ban đầu x ∈ Rn w(x, 0) = (2.3.14) Ta giải toán (2.3.13), (2.3.14) phương pháp Duamel Xét hàm số g(x, t, τ ) phụ thuộc tham số τ , thỏa mãn n g(x, t, τ ) − aij (t)gxi xj = 0, i,j=1 g(x, t, τ ) |t=τ = f (x, τ ), 36 x ∈ Rn , t > (2.3.15) x ∈ Rn (2.3.16) Đặt t′ = t − τ ⇒ gt = gt′ g(x, t, τ ) = g(x, t′ + τ, τ ) Ta đưa Bài toán (2.3.15), (2.3.16) toán sau n gt′ − aij (t′ + τ )gxi xj = 0, i,j=1 x ∈ Rn , t > (2.3.17) x ∈ Rn (2.3.18) g(x, t′ + τ, τ ) |t′ =0 = f (x, τ ), f (x, τ ) hàm cho trước vế phải (2.3.1) Bài toán (2.3.17), (2.3.18) Bài tốn (2.3.3), (2.3.4) Do áp dụng cơng thức (2.3.12) ta có g(x, t′ + τ, τ ) = √ (2 π) n f (x, τ ) ∗ e |B1 (t′ , τ )| − 41 n j=1 µj (t′ ) n gjk (t′ )xk k=1 (2.3.19) τ +t′ t′ B1 (t′ , τ ) = A(τ + s) ds = τ τ +t′ = A(s) ds τ A(s) ds − A(s) ds = B(τ + t′ ) − B(τ ), t B(t) = A(s) ds Giả sử µ1 (t, τ ), µ2 (t, τ ) µn (t, τ ) nghiệm đặc trưng ma trận B (t) − B (τ ), G(t, τ ) = gjk (t, τ ) njk=1 ma trận trực giao cho B(t) − B(τ ) = G(t, τ ) µ1 0 µ2 0 µn G−1 (t, τ ) Suy nghiệm Bài toán (2.3.15), (2.3.16) g(x, t, τ ) = √ (2 π) n f (x, τ ) ∗ e |B(t) − B(τ )| 37 − 14 n j=1 µj (t,τ ) n gjk (t,τ )xk k=1 (2.3.20) Ta chứng minh nghiệm Bài toán (2.3.13), (2.3.14) biểu diễn công thức Duamel t w(x, t) = g(x, t, τ )dτ w(x, t) = t √ n (2 π) f (x, τ ) ∗e |B(t) − B(τ )| − 41 n j=1 µj (t,τ ) n gjk (t,τ )xk k=1 dτ (2.3.21) Thật vậy, w (x, 0) = t (2.3.22) gt (x, t, τ )dτ wt = g(x, t, t) + t n n i,j=1 (2.3.23) aij gxi xj (x, t, τ )dτ aij wxi xj = i,j=1 Lấy (2.3.22) trừ (2.3.23), từ (2.3.17) suy n wt − aij wxi xj = g(x, t, t) i,j=1 Theo (2.3.16) suy n wt − aij wxi xj = f (x, t) i,j=1 Vậy nghiệm toán (2.3.21) c) Nghiệm toán (2.3.1), (2.3.2) Nghiệm toán (2.3.1), (2.3.2) u (x, t) = v (x, t) + w (x, t) u(x, t) = u0 (x) √ n√ (2 π) |B(t)| + √ n (2 π) t ∗e − 41 n µ (t) j=1 j f (x, τ ) ∗e |B(t) − B(τ )| 38 n gjk (t)xk k=1 − 41 n j=1 µj (t,τ ) + n gjk (t,τ )xk k=1 dτ KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: - Lý thuyết biến đổi Fourier không gian hàm số L1 (Rn ) L2 (Rn ) - Dẫn dắt công thức Poisson cổ điển biểu diễn nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không với hệ số - Trên sở áp dụng biến đổi Fourier, luận văn trích dẫn cơng thức Poisson mở rộng biểu diễn tập nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không với hệ số R1 , hệ số Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2007), “Biến đổi tích phân”, Nxb Giáo Dục, Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000), “Phương trình đạo hàm riêng”, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Thừa Hợp (1999), “Phương trình đạo hàm riêng”, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Phạm Thị Thủy (2001), “Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt”, Luận văn Thạc sĩ Khoa học, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên [5] Trần Đức Vân (2008), “Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng”, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [6] C Fefferman (1971), “On the dive rgence of multiple Fourier series”, Bull Amer Math Soc 77No.2, pp 744 - 745 [7] C Fefferman (1971), “On the divergence of multiple Fourier series”, Bull Amer Math Soc 77No.5, pp 191 - 195 40 [8] F.John (1971), “Partial Differential Equations”, Springer, USA [9] G.E Shylov (1970), “Mathematical Analysis, Functions of one Variable”, Nauka, Moscow [10] H Brezis and F Browder (1999), “Partial Differential Equations in the 20th Century”, Preprint [11] M Freidlin (1985), “Functional Integration and Partial Differential Equations”, Princeton University Press, New Jersey [12] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1984), “User’s Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations”, Bulletin Amer Math Soc 27, pp 1-67 41 ... Chƣơng BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số …………………………………………29 2.1.1 Bài toán Cauchy? ??………………………………………... Chương BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT Trong chương này, ta áp dụng kiến thức phương trình đạo hàm riêng phép biến đổi Fourier để tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương. .. [12] 2.1 2.1.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không với hệ số R1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Tìm u (x, t) nghiệm phương trình ∂u 2∂ u =a + f (x, t) , ∂t ∂x2 x ∈