B i toĂn °t khổng ch¿nh
CĂc kián thực trong phƯn n y ữủc chúng tổi tham khÊo trong cĂc t i liằu
KhĂi niằm b i toĂn °t khổng ch¿nh ữủc trẳnh b y trản cỡ sð x²t mởt b i toĂn dÔng phữỡng trẳnh toĂn tỷ
A(u) = f, ð Ơy A : E → F l toĂn tỷ tứ khổng gian ành chuân E v o khổng gian ành chuân F , f l phƯn tỷ thuởc F
1.1.1 ành nghắa Cho A l toĂn tỷ tứ khổng gian ành chuân E v o khổng gian ành chuân F B i toĂn A(u) = f ữủc gồi l °t ch¿nh náu
(i) Phữỡng trẳnh A(u) = f cõ nghiằm vợi mồi f ∈ F,
(iii) Nghiằm phử thuởc liản tửc v o dỳ kiằn b i toĂn.
Náu mởt trong cĂc iãu kiằn trản khổng thọa mÂn thẳ b i toĂn ữủc gồi l °t khổng ch¿nh.
Bí toán tầm nhìn u phụ thuộc vào dự kiện f (khi hiểu u = R(f)) được gọi là ánh trản cấp không gian (E, F) Nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho nếu kf₁ - f₂k ≤ δ(ε) thì ku₁ - u₂k ≤ ε, trong đó uᵢ = R(fᵢ), uᵢ ∈ E, fᵢ ∈ F, với i = 1, 2.
Trong nhiều ứng dụng thực tiễn, việc tối ưu hóa hàm A(u) = f là rất quan trọng cho bài toán tối ưu Điều này có nghĩa là giá trị chính xác của f sẽ phụ thuộc vào việc thỏa mãn điều kiện kf δ ≤ δ Giới hạn u δ là nghiệm của phương trình A(u) = f khi f thay đổi bời f δ (giới hạn thiết yếu tồn tại) Khi δ tiến về 0, f δ tiến về f, nhưng bài toán tối ưu không nhất thiết phải có nghiệm duy nhất.
1.1.2 Vẵ dử X²t b i toĂn tẳm h m u tứ hằ
(i) Náu lĐy f (x) = f 1 (x) ≡ 0 v ϕ(x) = ϕ 1 (x) = 1 a sin(ax) (a > 0) thẳ nghiằm cừa b i toĂn trản l u 1 (x, y) = a 1 2 sin(ax) sh (ay )
(ii) Náu lĐy f (x) = f 2 (x) = ϕ(x) = ϕ 2 (x) ≡ 0 thẳ nghiằm cừa b i toĂn l u 2 (x, y) ≡ 0 Vợi khoÊng cĂch giỳa cĂc h m cho trữợc v nghiằm ữủc x²t l khoÊng cĂch sinh ra tứ chuân sup , ta cõ kf 1 − f 2 k = sup x∈ R
|ϕ 1 (x) − ϕ 2 (x)| = 1 a , vợi a khĂ lợn thẳ khoÊng cĂch kϕ 1 − ϕ 2 k lÔi khĂ nhọ Trong khi õ, khoÊng cĂch giỳa cĂc nghiằm ku 1 − u 2 k = sup x∈ R
= 1 a 2 sh (ay), vợi y > 0 cố ành lÔi lợn tũy ỵ Do õ b i toĂn khổng ờn ành.
Trong phần 1.1.3, chúng ta xem xét phương trình parabol ngữ thời gian u_t + Au = 0 với điều kiện 0 < t < T Điều kiện biên ku(T) - f k ≤ ε được đưa ra để đảm bảo tính chính xác của giải pháp Để giải quyết bài toán này, cần lựa chọn một không gian Hilbert H với các vectơ riêng chuẩn {φ_i} (i ≥ 1) và các giá trị riêng {λ_i} (i ≥ 1), sao cho chúng thỏa mãn các điều kiện cần thiết trong quá trình tính toán.
Ta thĐy rơng v n (t) = λ 1 n e −λ n (t−T) φ n , 0 ⩽ t ⩽ T l nghiằm cừa phữỡng trẳnh
( v t + Av = 0, 0 < t < T, v(T ) = 1 λ n φ n , v v(t) = 0, 0 ⩽ t ⩽ T l nghiằm cừa phữỡng trẳnh v t + Av = 0, 0 < t < T, v(T ) = 0.
Rã r ng kv n (T ) − v(T )k = λ 1 n φ n = λ 1 n kφ n k = λ 1 n → 0 khi n → +∞ nh÷ng vợi mồi t ∈ [0, T ) ta cõ kv n (t) −v(t)k =
= λ 1 n e λ n (T −t) → +∞ khi n → +∞ iãu n y chựng tọ lới giÊi cừa b i toĂn khổng phử thuởc liản tửc v o dỳ kiằn tÔi thới iºm cuối t = T Do õ b i toĂn n y l b i toĂn °t khổng ch¿nh.
Ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa
Để giải quyết phương trình A(x) = f0 trong không gian ma trận E và F, ta cần xác định nghiệm x0 Đối với toán tỷ R(f, α) với tham số α, tác động giữa E và F được gọi là toán tỷ chính hóa cho phương trình A(x) = f0 Cụ thể, cần tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tỷ R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ F, thỏa mãn điều kiện dF(f, f0) ≤ δ, với δ ∈ (0, δ1) Hơn nữa, tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) ≤ δ1 cho mọi f ∈ F.
Trong ành nghắa trản, náu α ữủc chồn khổng phử thuởc v o f thẳ ta gồi l cĂch chồn tiản nghiằm Náu α ữủc chồn phử thuởc f v δ thẳ ta gồi l cĂch chồn hêu nghiằm.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá nội dung liên quan đến việc xác định tham số tối ưu α trong hàm R(f, α) thông qua phương trình A(x) = f 0 Việc này liên quan đến việc tối ưu hóa hàm số và hiểu rõ cách thức tham số α ảnh hưởng đến kết quả Để đạt được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước như xác định hàm R(f, α) và phân tích giá trị của tham số tối ưu α dựa trên thông tin từ bài toán và phần tỷ f δ cùng với sai số δ.
Phữỡng phĂp tẳm nghiằm xĐp x¿ theo quy tưc trản ữủc gồi l phữỡng phĂp ch¿nh hâa.
1.2.3 Vẵ dử 1) Tẵnh Ôo h m z = df dt (t) , khi f (t) cho xĐp x¿ Ôo h m z tẵnh ữủc dỹa v o t sai phƠn
Náu thay cho f (t) ta biát xĐp x¿ cừa nõ l f δ (t) = f (t) + g(t) , ð Ơy |g(t)| ≤ δ vợi mồi t , khi õ
Số hÔng thự hai ữủc Ănh giĂ bði g(t + α) − g(t) α
Náu chồn α sao cho α = η(δ) δ , vợi η(δ) → 0 khi δ → 0 , thẳ 2δ α = 2η(δ) → 0 Vẳ vêy, vợi α = α 1 (δ) = δ η (δ) , R(f δ , α 1 (δ)) → z.
2) B i toĂn khổi phửc h m số, khi biát hằ số Fourier cừa nõ GiÊ sỷ ϕ k (t) l mởt hằ trỹc chuân Ưy ừ cõ sup t∈[a,b]
X k=1 a k ϕ k (t), ữủc xĐp x¿ bði c = (c 1 , c 2 , ) sao cho
X k=1 c k ϕ k (t), l xĐp x¿ cừa f (t) ữủc º tẳm giĂ trà xĐp x¿ f tÔi iºm t 0 n o õ, tực l tẳm f (t 0 ), ta dũng phữỡng phĂp hiằu ch¿nh vợi
P k=1 c k ϕ k (t 0 )(α = n 1 ), trong õ n = n(δ) = [ η(δ) δ 2 ] l phƯn nguyản cừa η(δ) δ 2 , ð Ơy δ, η(δ) → 0 , khi n(δ) → ∞ Thêt vêy,
Vẳ chuội P ∞ k=1 a k ϕ k (t 0 ) hởi tử nản phƯn dữ
Vã cĂc b i toĂn ngữủc cừa phữỡng trẳnh truyãn nhiằt vợi nguỗn nhiằt chữa biát
Giợi thiằu b i toĂn
Cho T l số nguyản dữỡng, °t Q T = {(x, t) : 0 < x, 0 < t < T } v giÊ sỷ u(x, t) thọa mÂn
−∂ x u(0, t) = g(t), 0 < t < T, (2.3) ð Ơy, nguỗn S(u) chữa ữủc biát, v s³ ữủc xĂc ành tứ dỳ kiằn u(0, t) = f (t), 0 < t < T (2.4)
Ta biát rơng náu S(u) v g(t) Â ữủc biát thẳ tỗn tÔi duy nhĐt u = u(x, t) thọa mÂn (2.1) - (2.3), với các điều kiện biên thỏa mãn một số giới hạn nhất định Điều kiện (2.4) là thông tin bổ sung, nhằm xác định mức độ chính xác của S(u) trong trường hợp S(u) chữa ữủc biát.
Khi õ phữỡng trẳnh (2.1) ữủc chuyºn th nh
Ta s³ xĐp x¿ phữỡng trẳnh (2.7) bði phữỡng trẳnh
− h −2 [f (φ(u)) − 2u(h, φ(u)) + u(2h, φ(u))], (2.8) trong õ h l số dữỡng b² tũy ỵ Khi cho h dƯn tợi 0, thẳ phữỡng trẳnh (2.8) xĐp x¿ phữỡng trẳnh (2.7) v ta hy vồng rơng nghiằm cừa b i toĂn (2.8), (2.2), (2.3) xĐp x¿ nghiằm cừa b i toĂn (2.7), (2.2), (2.3).
Chú ỵ rơng số hÔng nguỗn thự nhĐt ð vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.8) cõ d¤ng f 0 (φ(u(x, t))) = F 1 (φ(u)) (2.9) trong khi số hÔng nguỗn thự hai cõ dÔng
− h −2 [f (φ(u)) − 2u(h, φ(u)) + u(2h, φ(u))] = F 2 (u(h, φ(u))) (2.10) iãu n y dăn án viằc xem x²t b i toĂn sau
−∂ x u(0, t) = g(t), 0 < t < T, trong õ, vợi mội b i toĂn ta tẳm h m φ thọa mÂn (2.6).
Trong mục 2.2 và 2.3 của Luận văn này, chúng ta sẽ chứng minh các bài toán (2.11) và (2.12), tập trung vào hàm φ tương ứng với u = u(x, t) của bài toán giá trị biên, thỏa mãn (2.6) và Từ nhọ Tiếp theo, trong mục 2.4, chúng ta sẽ áp dụng những kết quả thu được từ các mục 2.2 và 2.3 để giải bài toán (2.8), (2.2), (2.3).
B i to¡n I
Cho T > 0 , giÊ sỷ u(x, t) l mởt h m thọa mÂn b i toĂn sau
−∂ x u(0, t) = g(t), 0 < t < T, (2.15) ð Ơy ta giÊ thiát rơng g l h m khÊ vi thọa mÂn g(0) > 0 v 0 ≤ g 0 (t) ≤ K, vợi t ≥ 0, (2.16) trong õ K l mởt hơng số dữỡng F 1 xĂc ành, liản tửc trản [0, ∞) v tỗn tÔi cĂc hơng số C 1 , C 2 > 0 sao cho
Ta kẵ hiằu u + (x, t) tữỡng ựng l nghiằm cừa b i toĂn
Ta kẵ hiằu u − (x, t) tữỡng ựng l nghiằm cừa b i toĂn
Theo nguyản lỵ cỹc Ôi ta cõ ω ± (x, t) ≡ ∂ x u ± (x, t) ≤ 0 trong Q T
Tứ õ suy ra u ± (x, t) ≤ u ± (0, t) vợi (x, t) ∈ Q T (2.27) °t v(x, t) = u + (x, t) − u − (x, t) Vẳ u + (x, t) l nghiằm cừa b i toĂn (2.18) (2.20) v u − (x, t) l nghiằm cừa b i toĂn (2.21)(2.23) nản v(x, t) l nghiằm cõa b i to¡n
Tứ iãu kiằn (2.17) ta cõ C 1 ≥ 0 suy ra 2C 1 ≥ 0 Tứ õ suy ra v(x, t) ≥ 0 hay u − (x, t) ≤ u + (x, t) Vẳ u ± (0, t) = g(0)
Vợi T, M l cĂc số dữỡng cố ành, °t à T = P + (T ) (2.34)
Ta ành nghắa mởt lợp cĂc h m S(M, T ) nhữ sau
2.2.1 ành nghắa Cho M, T l cĂc số thỹc dữỡng Mởt h m φ(u) xĂc ành vợi mồi u , ữủc gồi l thuởc lợp h m S(M, T ) náu
• (ii) 0 ≤ φ(u) ≤ T mồi u thọa mÂn 0 ≤ u ≤ à T v tỗn tÔi b u ∈ [0, à T ] sao cho φ( b u) = T (2.35)
• (iii) 0 ≤ φ(u 2 ) − φ(u 1 ) ≤ M (u 2 − u 1 ) vợi mồi u 1 , u 2 thọa mÂn u 1 < u 2
2.2.2 Chú ỵ Tứ ( 2.29iii ) ta cõ φ l h m khổng giÊm Do õ φ(u) = T vợi mồi u ≥ b u, trong õ b u ữủc cho bði ( 2.29ii ) v u b ữủc hiºu l giĂ trà b² nhĐt cõa u m φ(u) = T
H m φ trẳnh b y trong chữỡng n y ữủc giÊ thiát thuởc v o lợp h m
S M ≡ S (M, T ∗ ) vợi T ∗ ữủc xĂc ành theo cổng thực (2.43).
2.2.3 Bờ ã GiÊ sỷ u(x, t) thọa mÂn cĂc iãu kiằn tứ (2.13) - (2.15), vợi g, F 1 thọa mÂn (2.16), (2.17) tữỡng ựng v φ thuởc S(M, T ) Khi õ u − (x, t) ≤ u(x, t) ≤ u + (x, t) ∀(x, t) ∈ Q T (2.36) Chùng minh °t z(x, t) = u(x, t) − u + (x, t) Khi â
Theo nguyản lỵ cỹc Ôi ta cõ z(x, t) = u(x, t) − u + (x, t) ≤ 0 trong Q T
Tữỡng tỹ u − (x, t) − u(x, t) ≤ 0 trong Q T Bờ ã ữủc chựng minh.
2.2.4 Bờ ã Vợi cĂc giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ trong Bờ ã 2.2.3 ta cõ Ănh giĂ sau
1 2 vợi mồi (x, t) ∈ Q T (2.37) Chùng minh Ta câ u(x, t) =
(2.38) Vẳ k(x, t − τ ) v N (x, ξ; t − τ ) l cĂc h m khÊ vi theo x nản theo tẵnh chĐt cừa tẵch phƠn phử thuởc tham số u x (x, t) =
, (2.41) trong õ C 2 l hơng số ữủc xĂc ành ð (2.17) Khi õ tỗn tÔi mởt giĂ trà
2.2.5 Bờ ã GiÊ sỷ g, F 1 tữỡng ựng thọa mÂn (2.16), (2.17) v φ thuởc
S (M, T ∗ ) vợi T ∗ ữủc xĂc ành theo cổng thực (2.43) Khi õ u(x, t) thọa mÂn min
Chựng minh Vẳ k(x, τ ) v N x (x, ξ; t − τ ) l cĂc h m khÊ vi theo t nản theo tẵnh chĐt cừa tẵch phƠn phử thuởc tham số, tứ (2.38) ta cõ
Ta nhên thĐy rơng lim h↓0 |h −1 {F 1 (φ(u(ξ − h, τ ))) − F 1 (φ(u(ξ, τ )))}|
Kát hủp cĂc Ănh giĂ trản, ta thu ữủc Ănh giĂ sau vợi mồi t, 0 ≤ t ≤ T ∗ ,
Sỷ dửng (2.41), (2.42), (2.43) ta cõ min
GiÊ sỷ u(x, t) thọa mÂn (2.13) - (2.15), vợi g, F 1 tữỡng ựng thọa mÂn (2.16), (2.17) v φ thuởc S (M, T ∗ ) º ỡn giÊn ta s³ kẵ hiằu S M thay cho S(M, T ∗ ) , trong õ T ∗ phử thuởc v o M Náu f (t) = u(0, t), 0 ≤ t ≤ T ∗ , thẳ tứ (2.32) v (2.36) ta cõ
0 ≤ f (t) ≤ à T ∗ 0 ≤ t ≤ T ∗ (2.45) Hỡn nỳa tứ (2.44) ta cõ f 0 (t) > 1/M, 0 ≤ t ≤ T ∗ (2.46)
Do õ h m ngữủc f −1 ho n to n ữủc xĂc ành trản [0, T ∗ ] v náu ta kẵ hiằu h m ngữủc n y l ψ thẳ ta cõ ψ(f (t)) = t vợi mồi 0 ≤ t ≤ T ∗ , (2.47) v
0 ≤ ψ(u) ≤ T ∗ vợi 0 ≤ u ≤ à T ∗ (2.48) Chi tiát hỡn ta cõ
0 ≤ ψ(u) ≤ T ∗ vợi 0 ≤ u ≤ b u, trong â u b = f (T ∗ ) ≤ à T ∗ , v ta mð rởng h m nhữ sau: ψ(u) = 0 vợi u ≤ 0, (2.49) ψ(u) = T ∗ vợi u ≥ b u.
0 < ψ(f (t 2 )) − ψ(f (t 1 )) < M (f (t 2 ) − f (t 1 )), ho°c bơng cĂch °t u i = f (t i ), i = 1, 2, ta cõ
Vợi mởt h m h ∈ S M chuân cừa h m h ữủc hiºu l chuân supremum Khi õ ta cõ bờ ã sau
Trong phần 2.2.6, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa φ và ψ thông qua các phương trình (2.16) và (2.17) Đối với một φ duy nhất thuộc S M, ta có thể xác định một ψ duy nhất thông qua các phương trình (2.47) và (2.49) Nếu biểu diễn mối liên hệ giữa φ và ψ dưới dạng ψ = f(φ), thì f sẽ là một ánh xạ từ S M vào chính nó.
Chựng minh Ta biát rơng vợi giÊ thiát (2.16) ối vợi g , giÊ thiát (2.17) ối vợi F 1 v φ thuởc S M luổn tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm u = u(x, t) cừa b i toĂn (2.13) - (2.15).
Ta thĐy rơng ψ ữủc ành nghắa theo cổng thực (2.47) - (2.49) thuởc S M º chựng tọ f l Ănh xÔ co, lĐy φ 1 , φ 2 l hai phƯn tỷ cừa S M v u 1 , u 2 tữỡng ựng l nghiằm cừa (2.13) - (2.15) trong D b T ∗ Khi õ u 1 (0, t)−u 2 (0, t) = t
Chú ỵ rơng náu 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ T ∗ v f 1 (t 1 ) = u = f 2 (t 2 ) thẳ theo ành lỵ Lagrange, ta câ f 1 (t 2 ) − f 2 (t 2 ) ψ 2 (u) − ψ 1 (u) = f 1 (t 2 ) − f 1 (t 1 ) ψ 2 (f 2 (t 2 ) − ψ 1 ((f 1 (t 1 )) = f 1 (t 2 ) − f 1 (t 1 )
M vợi τ thọa mÂn t 1 ≤ τ ≤ t 2 iãu n y k²o theo sup
2 ||φ 1 − φ 2 ||. iãu n y chựng tọ f l mởt Ănh xÔ co.
Tứ cĂc bờ ã trản ta cõ kát quÊ chẵnh cừa phƯn n y nhữ sau.
2.2.7 ành lẵ Tỗn tÔi duy nhĐt mởt phƯn tỷ ψ ∞ thuởc S M sao cho b i toĂn
−∂ x (0, t) = g(t) 0 < t < T ∗ , cõ mởt nghiằm duy nhĐt u ∞ (x, t) , v hỡn nỳa ψ ∞ (u ∞ (0, t)) = t vợi 0 ≤ t ≤ T ∗ , trong õ g, F 1 tữỡng ựng thọa mÂn (2.16), (2.17).
B i to¡n II
Vợi T > 0 , giÊ sỷ rơng u(x, t) thọa mÂn
Chúng ta tiếp tục giải thiết ràng buộc thỏa mãn (2.16) và (2.17) Ngoài ra, giải thiết φ thuộc lớp hàm S (M, T) với các hướng số dữ dướng M, T Khi áp dụng các Bờ ã 2.2.3 và 2.2.4 cho nghiệm u(x, t) của bài toán (2.51) - (2.53), hình thức ta cần xem xét.
2.3.1 Bờ ã Vợi g, F 2 tữỡng ựng thọa mÂn (2.16) v (2.17), cho h > 0 v
T > 0 ừ nhọ, ta cõ Ănh giĂ sup
|∂ t u(h, t)| ≤ (4/eh)(g(0) + KT ) + 2C 1 (2.54) trong õ K v C 1 l cĂc hơng số trong cĂc cổng thực (2.16) v (2.17)
Chựng minh Vợi h > 0 , tứ (2.38) ta cõ
N ξξ (h, ξ; t − τ )F 2 (u(h, φ(u(ξ, τ ))))dξdτ Để chứng minh tính chất F 2 và φ là các hàm khả vi, ta cần sử dụng điều kiện Lipschitz (chứng minh trong trường hợp Lipschitz là điều kiện đủ để chứng minh Bờ ã 2.2.5) Với giả thiết F 2 và φ là các hàm khả vi, theo công thức thực tiễn, ta có phân tách phần ω(h, t) = t.
[0,T ] |ω(h, t)| (2.62) Khi õ, chúng ta cõ thº viát lÔi (2.55) dữợi dÔng
B 2 (T ) ≤ (2/eh)(g(0) + KT ) + C 1 + B 3 (T ) (2.63) BƠy giớ, ta Ănh giĂ B 3 (T ) Tứ (2.57) - (2.60), (2.37) v (2.40) ta cõ
1 + M C 2 G(T )(4T /π) 1/2 (2.64) vợi G(T ) xĂc ành theo cổng thực (2.40) Ta cõ thº chồn mởt giĂ trà T 0 > 0 sao cho
2 (2.65) khi õ vợi mồi T ≤ T 0 ta cõ
Kh¯ng ành trong bờ ã ữủc k²o theo tứ (2.63) v (2.66).
2.3.2 Bờ ã Cho g, F 2 tữỡng ựng thọa mÂn (2.16) v (2.17) v φ thuởc
S (M, T ) khi õ tỗn tÔi T 1 , 0 < T 1 < T sao cho min
(2.68) vợi mồi T ≤ T 0 v mồi t thọa mÂn 0 < t < T − T 0 °t
Khi õ tỗn tÔi mởt hơng số T M > 0 sao cho H (T M ) = 1/M Do õ, náu chúng ta chồn
(2.70) vợi T 0 ữủc xĂc ành bði cổng thực (2.65) thẳ bờ ã ữủc chựng minh.
Trong mửc n y, ta có thể thay S M bằng S(M, T 1 ) với T 1 được xác định theo công thức thực (2.70) Giá trị rỗng u(x, t) thỏa mãn các điều kiện từ (2.51) đến (2.53) cho g, và F 2 thỏa mãn (2.16) và (2.17) với φ thuộc S M Đặt f(t) = u(0, t) theo (2.71), và giá trị ψ(u) được xác định trong (2.47) và (2.49), từ đó suy ra ψ thuộc S M.
Trong phần 2.3.3, chúng ta xem xét bờ ã và các điều kiện liên quan đến hệ thống Các phương trình (2.16) và (2.17) mô tả sự tồn tại duy nhất của nghiệm u = u(x, t) cho bài toán (2.51) đến (2.53) Đồng thời, chúng ta xác định một hàm duy nhất ψ ∈ S M thông qua các phương trình (2.71), (2.47) và (2.49) Nếu biểu diễn ψ = f(φ), thì f sẽ là một ánh xạ từ S M vào không gian n-dimensional.
Chứng minh kát quết n y của Bờ ã 2.2.6 là phần chứng minh f l lĩnh xướng Lấy φ1, φ2 là hai phần tử của S M với u1(x, t) và u2(x, t) là các nghiệm tương ứng của (2.51) - (2.53) trong QT1, với T1 được xác định theo (2.70) Khi đó, ta có u1(x, t) − u2(x, t).
N (x, ξ; t − τ )[F 2 (u 1 (h, φ 1 (ξ, τ ))) − F 2 (u 2 (h, φ 2 (ξ, τ )))]dξdτ, vợi mồi (x, t) ∈ Q T 1 v ta cõ thº viát u 1 (x, t) − u 2 (x, t)
N (x, ξ; t − τ )dξdτ = t vợi t > 0, (2.72) do õ tứ (2.17), 2.34 v (2.61) ta cõ sup
Tứ (2.73) ta suy ra sup
Tữỡng tỹ nhữ trong chựng minh Bờ ã 2.2.6, ta cõ sup
Chồn T 1 > 0 sao cho 1−C C 2 2 T M B 1 (1+M B 2 (T 1 )T 2 (T 1 1 )) < 1 , thẳ tứ (2.76) ta suy ra f l Ănh x¤ co.
Tứ cĂc bờ ã trản ta cõ ành lỵ sau:
2.3.4 ành lẵ Tỗn tÔi mởt phƯn tỷ duy nhĐt ψ ∞ trong S M sao cho b i toĂn
−∂ x u(0, t) = g(t), 0 < t < T 1 , cõ duy nhĐt nghiằm u ∞ (x, t) thọa mÂn ψ ∞ (u ∞ (0, t)) = t vợi 0 ≤ t ≤ T 1 , ð Ơy F 2 , g tữỡng ựng thọa mÂn (2.16), (2.17).
XĂc ành nguỗn nhiằt
BƠy giớ chúng ta quay lÔi b i toĂn xĂc ành mởt nguỗn chữa ữủc biát
S (U ) trong phữỡng trẳnh truyãn nhiằt tứ dỳ kiằn ữủc o Ôc trản biản. Chúng ta xem x²t b i toĂn (2.8), (2.2), (2.3) vợi iãu kiằn (2.4).
Ta tiáp tửc sỷ dửng ành nghắa 2.6 cho h m φ v giÊ thiát rơng h m f trong (2.4) thọa mÂn f ∈ C 1 [0, ∞) vợi f (0) = 0 (2.77)
F 1 (w) = f 0 (w) − h −2 f (w), 0 ≤ w < ∞, (2.78) thẳ F 1 thọa mÂn (2.17) náu f thọa mÂn (2.77) Thêt vêy, vẳ f v f 0 thọa mÂn (2.17) nản tỗn tÔi cĂc hơng số p, q > 0 sao cho
Khi õ F 2 cụng thọa mÂn (2.17) BƠy giớ, chúng ta cõ thº viát lÔi (2.8) dữợi d¤ng
Tứ ành lỵ 2.2.7 v 2.3.4 cừa cĂc phƯn trữợc, ta cõ ành lỵ sau
2.4.1 ành lẵ GiÊ sỷ g thọa mÂn (2.16), f thọa mÂn (2.77), h > 0, T > 0 Â cho, F 1 v F 2 tữỡng ựng ữủc xĂc ành theo cổng thực (2.78) v (2.79). Tỗn tÔi T ∗ > 0 v mởt h m duy nhĐt φ ∗ trong S M sao cho b i toĂn
−∂ x u(0, t) = g(t), 0 < t < T ∗ , (2.83) cõ duy nhĐt nghiằm u ∗ (x, t) v ngo i ra, φ ∗ (u ∗ (x, t)) = t vợi 0 < t < T ∗ (2.84)
2.4.2 Nhên x²t Tứ ành lỵ 2.2.7 v cổng thực (2.5), ta thĐy rơng cõ thº xĐp x¿ nguỗn nhiằt chữa ữủc biát S(u) xuĐt hiằn trong biºu thực (2.1) bði Ôi lữủng
Kát quÊ Ôt ữủc trong luên vôn n y l
1 Trẳnh b y khĂi niằm °t khổng ch¿nh v cĂc vẵ dử minh hồa.
2 Trẳnh b y khĂi niằm phữỡng phĂp ch¿nh hõa v cĂc vẵ dử minh hồa.
3 Giợi thiằu b i toĂn xĂc ành nguỗn cừa phữỡng trẳnh truyãn nhiằt.
4 Trẳnh b y B i toĂn I, B i toĂn II v B i toĂn xĂc ành nguỗn nhiằt trản cì sð tham kh£o [3]