Tập bài giảng Đồ họa máy tính

Tập bài giảng Đồ họa máy tính gồm có 6 chương với những nội dung chính như sau: Chương 1 tổng quan về đồ hoạ máy tính, chương 2 các giải thuật xây dựng các thực thể cơ sở, chương 3 các giải thuật đồ hoạ cơ sở, chương 4 các phép biến đổi hình học 2 chiều, chương 5 các phép biến đổi hình học 3 chiều, chương 6 màu sắc trong đồ họa. Mời các bạn cùng tham khảo.

TỔNG QUAN VỀ ĐỒ HOẠ MÁY TÍNH

Các khái niệm tổng quan của kỹ thuật đồ họa máy tính

Đồ họa máy tính đề cập đến việc sử dụng máy tính để tạo ra hình ảnh, bao gồm các hoạt động như tạo, lưu trữ và thao tác trên các mô hình cũng như hình ảnh Các vấn đề liên quan đến đồ họa máy tính chủ yếu xoay quanh việc xử lý các mô tả hình học của đối tượng và quản lý hình ảnh.

1.1.1 Kỹ thuật đồ họa máy tính

Kỹ thuật đồ hoạ máy tính là một lĩnh vực trong công nghệ thông tin, nghiên cứu và phát triển các công cụ lý thuyết và phần mềm để tạo ra, lưu trữ và xử lý các mô hình và hình ảnh của các đối tượng trong cuộc sống Những mô hình và hình ảnh này có thể được thu nhận từ nhiều ngành khoa học khác nhau như vật lý, toán học và thiên văn học, bao gồm các thể loại như cấu trúc phân tử, cấu trúc sinh học và mô hình vũ trụ.

Thuật ngữ "đồ hoạ máy tính" được William Fetter, một nhà khoa học người Mỹ, giới thiệu vào năm 1960 trong quá trình nghiên cứu mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing Ông đã sử dụng hình ảnh ba chiều của mô hình phi công để phát triển một mô hình tối ưu cho buồng lái, mang lại những ưu điểm vượt trội so với các phương pháp nghiên cứu trước đó Phương pháp này cho phép các nhà thiết kế quan sát trực quan vị trí của người lái trong khoang buồng lái, đánh dấu một bước tiến quan trọng trong lĩnh vực thiết kế hàng không.

1.1.2.Kỹ thuật đồ họa tương tác

Trong lĩnh vực công nghệ thông tin, hệ thống sử dụng kỹ thuật đồ hoạ tương tác bao gồm ba thành phần chính, mỗi thành phần thực hiện các thao tác xử lý thông tin tương ứng.

 Nhập (vào) dữ liệu: thông qua các thiết bị vào dữ liệu nhƣ chuột, máy quét, bàn phím

 Xử lý và lưu trữ dữ liệu

 Hiển thị/ kết xuất kết quả: thông qua các thiết bị nhƣ màn hình, máy in

Hệ thống kỹ thuật đồ hoạ tương tác không chỉ có những đặc thù chung mà còn cho phép người dùng quan sát và thay đổi thông tin một cách trực quan Người sử dụng có thể tương tác với dữ liệu, điều chỉnh giá trị hoặc hình dạng và ngay lập tức, hệ thống sẽ ghi nhận và xử lý những thay đổi này Kết quả sẽ được thể hiện ngay trên các mô hình, cấu trúc hoặc hình ảnh của đối tượng trên màn hình mà người dùng mong muốn.

Hình 1.1 Mô hình chung của hệ đồ họa tương tác

Người sử dụng có thể giao tiếp tương tác với hệ thống đồ hoạ trong cả ba giai đoạn của quá trình xử lý thông tin, theo mô hình chung của một hệ thống sử dụng kỹ thuật này.

Hệ thống đồ hoạ tương tác đầu tiên, Sketchpad, được Ivan Sutherland thiết kế và xây dựng vào năm 1963 Nó được sử dụng chủ yếu để thiết kế mạch điện và bao gồm nhiều thành phần quan trọng.

 Bút chì sáng và một bàn phím bao gồm một số phím bấm chức năng

 Máy tính chứa chương trình xử lý các thông tin

Người dùng có thể dễ dàng vẽ mạch điện trực tiếp trên màn hình bằng bút sáng, và chương trình sẽ tự động phân tích cũng như tính toán các thông số cần thiết của mạch điện mà người dùng đã tạo ra.

Các kỹ thuật đồ họa

Hiện nay, số lượng hệ thống sử dụng kỹ thuật đồ họa tương tác ngày càng phong phú Dựa vào phương pháp xử lý dữ liệu, kỹ thuật đồ họa có thể được phân thành hai loại chính: kỹ thuật đồ họa điểm (Sample-Based Graphics) và kỹ thuật đồ họa vector (Geometry-Based Graphics).

Nhập dữ liệu Xử lý lưu trữ Hiển thị kết quả

1.2.1.Kỹ thuật đồ hoạ điểm

Nguyên lý xây dựng mô hình và hình ảnh trong kỹ thuật đồ họa điểm dựa trên việc hiển thị các đối tượng thông qua từng điểm ảnh (pixel) Kỹ thuật này đặc trưng bởi khả năng tạo ra hình ảnh rõ nét từ các điểm ảnh, mỗi điểm ảnh đóng vai trò quan trọng trong việc tái tạo chi tiết và màu sắc của đối tượng.

- Có thể tạo ra, thay đổi thuộc tính, xoá đi từng điểm ảnh của mô hình và hình ảnh các đối tƣợng

Các mô hình hình ảnh được trình bày dưới dạng lưới các điểm ảnh rời rạc, trong đó mỗi điểm ảnh có vị trí xác định và được thể hiện bằng giá trị rời rạc, chẳng hạn như màu sắc hoặc độ sáng.

- Tập hợp tất cả các điểm ảnh của lưới điểm cho ta mô hình, hình ảnh đối tượng ta muốn hiển thị để nghiên cứu hoặc xây dựng

Có hai phương pháp để tạo ra các điểm ảnhtrong kỹ thuật đồ họa điểm:

Sử dụng phần mềm để vẽ từng điểm ảnh một, dựa trên lý thuyết mô phỏng, giúp tạo ra các đối tượng và hình ảnh thực của sự vật.

Rời rạc hóa hình ảnh thực của đối tượng thông qua số hóa cho phép sửa đổi và xử lý mảng điểm ảnh theo nhiều phương pháp khác nhau, từ đó tạo ra hình ảnh đặc trưng của đối tượng.

Hình 1.2 Ví dụ ảnh đồ họa điểm

1.2.2.Kỹ thuật đồ hoạ Vector

Kỹ thuật này dựa trên nguyên lý xây dựng mô hình hình học cho hình ảnh đối tượng, xác định các thuộc tính của mô hình và sử dụng mô hình đó để thực hiện quá trình tô trát, từ đó hiển thị từng điểm trên mô hình và tạo ra hình ảnh của đối tượng.

Mô hình hóa hình ảnh cần phản ánh chính xác và làm nổi bật các điểm chính của hình ảnh Quá trình này thường áp dụng phương pháp thiết kế từ trên xuống (top-down), dẫn đến việc tạo ra một sơ đồ phân cấp Sơ đồ này phải chỉ rõ các thành phần cơ bản của đối tượng và cách kết nối giữa chúng Kỹ thuật này cho phép lưu trữ mô hình toán học của các thành phần trong mô hình hình học cùng với các thuộc tính liên quan, mà không cần lưu trữ toàn bộ pixel của hình ảnh đối tượng.

Các thành phần trong mô hình hình học được gọi là thực thể cơ sở hình học Hình ảnh được tạo ra từ những thực thể này và được tô trát theo điểm ảnh, tuy nhiên, các điểm ảnh này không được lưu trữ như một phần của mô hình Do đó, hình ảnh có thể được tô trát từ nhiều góc nhìn và điểm nhìn khác nhau dựa trên cùng một mô hình mẫu.

Hình 1.3 Kỹ thuật đồ họa điểm

1.2.3 Sự phát triển của kỹ thuật hiển thị Đồ hoạ máy tính là một trong những lĩnh vực quan trọng nhất đóng góp cho quá trình phát triển của môi trường giao diện trong lịch sử phát triển của máy tính Những phát triển này đƣợc nảy sinh nhƣ sau:

 Giao diện đồ họa tương tác với người sử dụng

 Xây dựng các phần mềm trực quan (thiết kế quảng cáo, hiển thị khoa học, )

Hình 1.5 Kỹ thuật đồ họa Vector Hình 1.4 Ví dụ về hình ảnh đồ họa vector

Yêu cầu về giao diện người dùng đẹp và dễ sử dụng đã thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật đồ họa, làm nổi bật những công nghệ mới trong lĩnh vực này.

Các kỹ thuật hiển thị đã nảy sinh và phát triển theo những giai đoạn sau:

1) Kỹ thuật hiển thị bằng ký tự

Kỹ thuật này chỉ cho phép hiển thị văn bản và hình đồ hoạ đơn giản, giao tiếp với người sử dụng thông qua các lệnh văn bản Để mã hoá các phương thức hiển thị khác nhau, người ta sử dụng các ký tự mã hoá đặc biệt Tất cả các chương trình và phần mềm được thực hiện đều là đơn nhiệm, như hệ điều hành MS-DOS, một ví dụ tiêu biểu của những năm 1980 và đầu những năm 1990 từ Microsoft, và phần mềm soạn thảo văn bản BKED chạy trên môi trường MS-DOS.

2) Kỹ thuật hiển thị vector

Kỹ thuật này, phát triển từ 1963 đến 1980, cho phép hiển thị văn bản và vẽ các đường thẳng cùng mô hình mô phỏng đơn giản, mang đến khả năng quan sát hình ảnh 2D và 3D của các đối tượng Người dùng tương tác thông qua dòng lệnh, phím nóng và menu chọn, dẫn đến sự hình thành ý tưởng ban đầu về phương thức WYSIWYG (What You See Is What You Get) Môi trường sử dụng có thể là hệ điều hành đơn nhiệm hoặc đa nhiệm phân tán.

Kỹ thuật này cho phép hiển thị cửa sổ, biểu tượng và dòng văn bản, giúp giảm thiểu việc gõ lệnh trong giao tiếp với người sử dụng, mặc dù vẫn cho phép nhập lệnh theo phương thức truyền thống Tương tác với người sử dụng được thực hiện thông qua các kỹ thuật tiêu biểu.

Giao diện đồ họa WIWP (Windows, Icon, Menus, Pointer) cho phép người dùng dễ dàng chọn và nhấn vào các thực đơn mà không cần phải viết lệnh.

Xử lý trực tiếp các đối tượng bằng phương thức drag and drop đã được cải tiến và phát triển theo mô hình WYSIWYG Môi trường làm việc thường là đa nhiệm hoặc sử dụng cơ chế Client-Server qua mạng.

Ví dụ điển hình cho các hệ điều hành thuộc kỹ thuật này là các hệ điều hành windows 3x và sau đó là windows 9x của hãng Microsoft

4) Trạm làm việc đồ hoạ (3D Graphics workstation) và các công nghệ hiển thị tiên tiến khác

Phân loại các lĩnh vực của kỹ thuật đồ họa

1.3.1 Phân loại theo mục đích xử lý dữ liệu

Hình 1.6 Phân loại theo các lĩnh vực của đồ họa máy tính

Kỹ thuật xử lý ảnh (Computer Imaging) là quá trình biến đổi hình ảnh thành dạng số, sử dụng nhiều kỹ thuật phức tạp như khôi phục ảnh, làm nổi ảnh và xác định biên ảnh Các ứng dụng của kỹ thuật này bao gồm việc xử lý ảnh chụp từ vũ trụ và ảnh truyền qua vệ tinh, giúp cải thiện chất lượng và độ chính xác của hình ảnh.

Kỹ thuật nhận dạng (Pattern Recognition) cho phép phân loại các hình ảnh mẫu dựa trên cấu trúc hoặc tiêu chí đã được xác định trước Qua việc áp dụng các thuật toán chọn lọc, quá trình này giúp phân tích và tổng hợp hình ảnh thành một tập hợp các ảnh gốc Những ảnh gốc này được lưu trữ trong một thư viện, từ đó tạo cơ sở để phát triển các thuật giải phân tích và tổ hợp hình ảnh hiệu quả.

Kỹ thuật tổng hợp ảnh là lĩnh vực nghiên cứu chuyên sâu về việc xây dựng mô hình và hình ảnh của các vật thể, dựa trên các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng.

- Các hệ CAD/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Manufacture

Kỹ thuật đồ họa là tập hợp các công cụ và kỹ thuật hỗ trợ thiết kế cho nhiều chi tiết và hệ thống khác nhau, bao gồm hệ thống cơ, hệ thống điện và hệ thống điện tử.

Đồ hoạ minh hoạ (Presentation Graphics) là các công cụ hỗ trợ hiển thị số liệu thí nghiệm một cách trực quan, sử dụng các mẫu đồ thị hoặc thuật toán có sẵn.

Đồ hoạ hoạt hình và nghệ thuật là lĩnh vực sử dụng các công cụ chuyên biệt giúp các hoạ sĩ và nhà thiết kế phim hoạt hình tạo ra những kỹ xảo ấn tượng và các tác phẩm nghệ thuật độc đáo Những phần mềm như 3D Studio, 3D Animation và 3D Studio Max đóng vai trò quan trọng trong quá trình sản xuất và phát triển nội dung hoạt hình chuyên nghiệp.

1.3.2 Phân loại theo hệ tọa độ dùng trong kỹ thuật đồ họa

Hình 1.7 Phân loại theo hệ tọa độ

Kỹ thuật đồ hoạ hai chiều là một phương pháp đồ hoạ máy tính sử dụng hệ tọa độ hai chiều, thường được ứng dụng rộng rãi trong xử lý bản đồ và đồ thị.

Kỹ thuật đồ hoạ ba chiều là một phương pháp đồ hoạ máy tính sử dụng hệ tọa độ ba chiều, yêu cầu nhiều tính toán và phức tạp hơn so với kỹ thuật đồ hoạ hai chiều.

Giới thiệu một số ứng dụng của kỹ thuật đồ họa

Đồ họa máy tính, đặc biệt là CAD (Computer Aided Design), đóng vai trò quan trọng trong thiết kế hiện đại Hiện nay, CAD được áp dụng rộng rãi trong việc thiết kế cao ốc, ô tô, máy bay, tàu thủy, tàu vũ trụ, máy tính, mẫu vải trang trí và nhiều sản phẩm khác.

Sử dụng các chương trình thiết kế, người dùng có thể xem các đối tượng dưới dạng phác thảo khung (wireframe outline), giúp hiển thị toàn bộ hình dạng và các thành phần bên trong Kỹ thuật này cho phép nhà thiết kế dễ dàng nhận diện các thay đổi của đối tượng khi điều chỉnh chi tiết hoặc thay đổi góc nhìn.

Sau khi hoàn thiện thiết kế khung của đối tượng, việc kết hợp các mô hình chiếu sáng, tô màu và tạo bóng bề mặt sẽ mang lại kết quả cuối cùng gần gũi với thế giới thực.

Hình 1.8 Phác thảo phần khung và kết quả của thiết kế xy lanh

1.4.2 Biểu diễn thông tin Đây là các ứng dụng sử dụng đồ họa máy tính để phát sinh các biểu đồ, đồ thị,… dùng minh họa mối quan hệ giữa nhiều đối tượng với nhau Các ứng dụng này thường đƣợc dùng để tóm lƣợc các dữ liệu về tài chính, thống kê, kinh tế, khoa học, toán học,… giúp cho việc nghiên cứu, quản lí, … thêm có hiệu quả

Hình 1.9 Thông tin tóm lược được biểu diễn qua các biểu đồ

1.4.3 Lĩnh vực giải trí, nghệ thuật

Trong lĩnh vực nghệ thuật, các phần mềm như Paint Shop Pro, Adobe Photoshop và 3D Studio đóng vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ họa sĩ và nhà tạo mẫu, giúp nâng cao chất lượng và tính sáng tạo của tác phẩm.

Trong thiết kế hình ảnh sống động và chân thực, các chương trình đồ họa hiện đại cung cấp cho người họa sĩ trải nghiệm như làm việc ngoài đời thực Những công cụ như khung vẽ, giá vẽ, bảng pha màu và hiệu ứng ba chiều giúp họ cảm thấy thoải mái và tiện lợi khi sáng tạo.

Đồ họa máy tính đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các chương trình trò chơi và giải trí, đồng thời hỗ trợ các kĩ xảo điện ảnh cho các nhà làm phim Nhiều bộ phim nổi tiếng như Công viên Khủng long kỉ Jura, Titanic và Thế giới nước đã ghi dấu ấn nhờ vào những kĩ xảo ấn tượng này.

Hình 1.10 Hình ảnh được tạo ra từ chương trình đồ họa

1.4.4 Điều khiển các quá trình sản xuất

Các chương trình mô phỏng cho phép theo dõi toàn bộ quá trình xảy ra trong thực tế Bằng cách này, người dùng có thể kiểm soát các diễn biến trong quá trình thực hiện thông qua các giao thức ghép nối.

1.4.5 Lĩnh vực bản đồ Đồ họa máy tính đƣợc sử dụng để xây dựng và in các bản đồ địa lý nhƣ bản đồ địa hình, bản đồ dân số, Một trong những ứng dụng hiện nay là hệ thống thông tin địa lý GIS (Geographical Information System), kết hợp giữa đa phương tiện (Multimedia) và cơ sở dữ liệu (Database)

1.4.5 Giáo dục và đào tạo

Hiện nay, các chương trình mô phỏng cấu trúc vật thể, quá trình phản ứng hóa học và hoạt động của gói tin trên mạng máy tính đang được sử dụng rộng rãi để hỗ trợ giảng dạy.

Trong đào tạo, các ứng dụng mô phỏng được dùng để kiểm tra trình độ người lái, huấn luyện phi công, điều khiển giao thông, …

Hình 1.11 Chương trình học về máy tính

1.4.6 Giao tiếp giữa máy tính và người dùng

Mọi ứng dụng cần có giao diện người dùng, và giao diện đồ họa đã mang lại sự tiện lợi và thoải mái cho người sử dụng Các ứng dụng trên hệ điều hành MS Windows là ví dụ điển hình cho giao diện đồ họa, nơi người dùng tương tác thông qua các biểu tượng mô tả chức năng như lưu tập tin với biểu tượng đĩa mềm hay in ấn với biểu tượng máy in Việc sử dụng chuột để chọn các chức năng qua biểu tượng giúp tiết kiệm không gian và dễ dàng hơn cho người dùng, đặc biệt khi họ gặp khó khăn về ngôn ngữ Hơn nữa, giao diện đồ họa còn cho phép người dùng làm việc với nhiều cửa sổ và tài liệu khác nhau cùng lúc, nâng cao hiệu suất làm việc.

Hình 1.12 Giao diện của chương trình MS Word

Hệ đồ họa tương tác

1.5.1.Mô hình hệ tọa độ tương tác

1) Khái niệm xử lý theo lô (Batch processing)

Xử lý theo lô là chế độ hoạt động của máy tính, trong đó các lệnh chương trình được thực hiện liên tiếp mà không cần sự can thiệp của người dùng Phương pháp này tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên của máy tính, nhưng lại gây bất tiện khi người dùng cần chỉnh sửa lỗi và giao tiếp với hệ thống.

2) Khái niệm tương tác (Interactive processing) Đây là phương pháp xử lý của máy tính, cho phép người dùng có thể bắt giữ và hiệu chỉnh các sai sót trước khai thao tác xử lý được hoàn chỉnh Tính năng này của các phần mềm hiện nay cho phép người sử dụng xử lý dễ dàng hơn, các thao tác thực hiện mềm dẻo hơn

1.5.2 Các thành phần của hệ đồ họa tương tác

Hình 1.13 Mô hình của hệ đồ họa tương tác

 Mô hình ứng dụng (application model)

 Phần mềm ứng dụng (application program)

 Hệ thống đồ họa (phần mềm hệ thống) o Thƣ viện đồ họa (phần mềm đồ họa hệ thống) o Phần cứng đồ họa

 Thành phần xử lý tương tác người dùng (Interaction Handling)

 Các chuẩn của hệ đồ họa

1) Mô hình ứng dụng và xây dựng mô hình ứng dụng (Application Model)

Mô hình ứng dụng cần lưu trữ tất cả dữ liệu, các đối tượng và mối liên kết giữa chúng để có thể hiển thị hoặc biểu diễn một cách tổng quát.

Một đối tượng trong lập trình hướng đối tượng có thể được biểu diễn thông qua sự kết hợp giữa dữ liệu và các thủ tục mô tả chúng Do đó, mô hình ứng dụng có thể được chia thành hai thành phần chính.

Mô hình dữ liệu là cấu trúc lưu trữ thông tin về các đối tượng, bao gồm mảng ghi tọa độ các pixel và danh sách các đối tượng Thông thường, dữ liệu này được lưu trữ trong các cơ sở dữ liệu (database) để quản lý và truy xuất hiệu quả.

Thư viện mô tả là tập hợp các thủ tục giúp xây dựng các đối tượng từ các thực thể cơ sở Nó cho phép mô tả các thành phần và thuộc tính của chúng, cũng như các phương thức kết nối giữa các thành phần này.

2) Phần mềm ứng dụng (application program)

Phần mềm ứng dụng được thiết kế để tạo, lưu trữ và truy xuất dữ liệu cùng các thủ tục từ mô hình ứng dụng Dựa trên mô hình này, phần mềm hiển thị các đối tượng và dữ liệu theo cách mà người dùng mong muốn Để tạo ra một hệ thống đồ họa tương tác, phần mềm cần xây dựng giao diện thân thiện, cho phép người dùng thực hiện các thay đổi và phản hồi ngay lập tức trên các đối tượng hiển thị.

3) Hệ thống đồ họa (graphics system)

Phần mềm đồ họa hệ thống bao gồm các lệnh đồ họa đầu ra, cần thiết để thực hiện việc hiển thị nội dung Các lệnh này giúp xác định cách thức và hình thức mà thông tin được trình bày trên màn hình.

Phần mềm đồ họa hệ thống được phát triển dựa trên một loại phần cứng cụ thể và phụ thuộc vào đặc điểm của phần cứng đó Điều này ảnh hưởng đến cách mà các đối tượng sẽ được hiển thị trong môi trường đồ họa.

Phần cứng đồ họa: là tập hợp các thiết bị điện tử (CPU, màn hình, chuột, bàn phím, ) giúp cho việc thực hiện các phần mềm đồ họa

Phần mềm đồ họa sử dụng các hàm và thủ tục trong thư viện đồ họa để vẽ các đối tượng, đồng thời khai thác tài nguyên của phần cứng đồ họa.

4) Thành phần thƣ viện đồ họa a) Các thực thể cơ sở (các ảnh gốc)

Thực thể cơ sở là những đối tượng cơ bản nhất trong việc xây dựng các đối tượng và hình ảnh Thông thường, các thực thể cơ sở bao gồm những thành phần thiết yếu cho quá trình này.

- Đa giác (polygon) b) Các thuộc tính

Các thuộc tính của thực thể cơ sở và việc thay đổi chúng đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng đối tượng và hình ảnh Những thuộc tính này thường có thể được liệt kê như sau:

- Kiểu đường vẽ (line style)

- Kiểu văn bản (text style)

Các phép biến đổi và hệ quan sát là yếu tố quan trọng trong việc xây dựng hình ảnh xác định trong không gian thực Sau khi tạo ra ảnh gốc và thuộc tính, cần thực hiện các phép biến đổi để chiếu phần quan sát của các đối tượng lên thiết bị xuất cụ thể Điều này giúp đảm bảo rằng hình ảnh được hiển thị một cách chính xác và rõ ràng.

Để đạt được hình ảnh hoàn chỉnh, ngoài việc chiếu phần quan sát được, cần phải tính toán cường độ sáng của từng điểm ảnh Quá trình này phức tạp và dựa trên các công thức toán học cũng như nguyên lý quang học và sinh học liên quan đến hấp thụ và phản chiếu ánh sáng.

Phần cứng đồ họa

1.6.1 Các thành phần phần cứng của hệ tọa độ tương tác

Các thành phần phần cứng của hệ đồ hoạ tương tác gồm:

- CPU:thực hiện các chương trình ứng dụng

- Bộxửlý hiển thị(Display Processor): thực hiện công việc hiển thịdữliệu đồhoạ

- Bộnhớhệthống (System Memory): chứa các chương trình và dữliệu đang thực hiện

- Gói phần mềm đồhoạ(Graphics Package): cung cấp các hàm đồhoạcho chương trình ứng dụng

- Phần mềm ứng dụng (Application Program): phần mềm đồhoạ ứng dụng

- Bộ đệm (Frame buffer): có nhiệm vụ chứa các hình ảnh hiển thị

- Bộ điều khiển màn hình(Video Controller): điều khiển màn hình, chuyển dữliệu dạng số ởframe buffer thành các điểm sáng trên màn hình

Hình 1.14 Các thành phần cứng của hệ đồ hoạ tương tác

1.6.2 Các thiết bị hiển thị (thiết bị ra dữ liệu)

Màn hình là thiết bị hiển thị phổ biến nhất trong hệ đồ họa, với các thao tác chủ yếu dựa trên thiết kế ống tia âm cực (CRT – cathode ray tube).

Hình ảnh dưới đây minh họa cách hoạt động cơ bản của ống tia âm cực, trong đó chùm tia điện tử phát ra từ súng điện tử được hội tụ và dẫn hướng đến các vị trí xác định trên màn hình phủ lớp phosphor Tại mỗi điểm tương tác, hạt phosphor phát ra ánh sáng tạo thành chấm sáng nhỏ Do ánh sáng từ hạt phosphor mờ dần nhanh chóng, cần có phương pháp duy trì hình ảnh trên màn hình, một trong số đó là lặp lại nhanh chóng việc vẽ lại hình ảnh bằng cách hướng các tia điện tử trở lại vị trí cũ, được gọi là refresh CRT.

Hình 1.15 Cấu tạo của CRT

Hình 1.16 Công nghệ màn hình CRT

Độ phân giải (Resolution) của một màn hình CRT được xác định bởi số lượng tối đa các điểm có thể hiển thị Cụ thể, độ phân giải là tổng số điểm có thể được vẽ trên một cm theo chiều ngang và chiều dọc.

Kích thước vật lý của màn hình đồ hoạ được tính từ độ dài của đường chéo màn hình và thường dao động từ 12-27 inch, hoặc lớn hơn

Tỷ số phương (aspect ratio) là thuộc tính quan trọng của màn hình, thể hiện tỷ lệ giữa các điểm dọc và ngang cần thiết để tạo ra các đoạn thẳng có độ dài đơn vị theo cả hai hướng Khi tỷ số phương không bằng một, hình vuông hiển thị sẽ trở thành hình chữ nhật và hình tròn sẽ chuyển thành hình ellipse.

Căn cứ vào phương thức hiển thị các dữ liệu hình học trên màn hình, người ta có hai loại thiết bị hiển thị:

Các thiết bị hiển thị dạng vector

Quét vector theo tọa độ của điểm đầu và điểm cuối cho phép tạo ra các đoạn thẳng Để vẽ một đối tượng đồ họa, cần phân tích nó thành các đoạn thẳng cơ bản và vẽ từng đoạn một cách tuần tự.

Các thiết bị hiển thị dạng đường rất hiệu quả trong việc thể hiện các đối tượng hình học và thực hiện các thao tác như tịnh tiến hay quay Tuy nhiên, chúng gặp khó khăn trong việc tô màu các vùng kín do cần phải vẽ nhiều đường thẳng gần nhau, dẫn đến giảm tốc độ ứng dụng Điều này đặc biệt rõ rệt khi xử lý các ảnh phức tạp, gây ra thời gian vẽ lâu và tốc độ làm tươi chậm, khiến màn hình có thể bị nháy.

Hình 1.17 Kiến trúc hiển thị Vector

Kiến trúc hiển thị vector làm việc với tệp hiển thị chứa những vector mà hệ thống cần phải hiển thị (display commands)

Các thiết bị hiển thị dạng điểm

Tia điện tử quét ngang trên màn hình từ trái sang phải và khi hoàn thành một dòng, tia điện tử sẽ dừng lại và quay về đầu dòng tiếp theo Mỗi hàng bao gồm một tập hợp các điểm X, trong khi tia điện tử cũng di chuyển theo chiều dọc từ trên xuống dưới Y Mỗi điểm trên màn hình, có thể là sáng hoặc tối, được gọi là pixel.

Hình 1.18 Kiến trúc hiển thị Bitmap

Bộ đệm (frame buffer) được tổ chức trong bộ nhớ hệ thống 8086/8088 và có một bộ xử lý hiển thị riêng Dữ liệu hiển thị được sử dụng chung, trong khi bộ nhớ được cấu trúc thành không gian nhớ ảo, với Video RAM được phân biệt trong các hệ thống 80486/80586.

Hình 1.19 Mô hình dữ liệu của thiết bị hiển thị điểm

2) Màn hình tinh thểlỏng (Liquid Crystal Display – LCD)

Công nghệ truyền ánh sáng qua điện cực với cuộn dây xoắn ở giữa cho phép ánh sáng truyền thẳng khi không có từ trường Tuy nhiên, khi cuộn dây có dòng điện và tạo ra từ trường, hướng truyền của ánh sáng sẽ thay đổi.

Hình 1.17 Công nghệ truyền ánh sáng trong màn hình tinh thể lỏng

Hiện nay, có nhiều loại máy in với các công nghệ khác nhau như in kim, in phun và in laser Tuy nhiên, từ góc độ của những người nghiên cứu đồ họa vi tính, chất lượng bản in là yếu tố quan trọng cần được xem xét.

 Dot size: đường kính của một điểm in bé nhất mà máy in có thể in được

 Addressability: khả năng địa chỉ hoá các điểm in có thể có trên một đơn vị độ dài (dot per inch)

 Số lƣợng màu có thể vẽ trên một điểm

Dot size Point per inch

1.6.3 Các thiết bị vào dữ liệu

Bàn phím là thiết bị quan trọng xuất hiện trên hầu hết các máy tính, cho phép người dùng nhập dữ liệu văn bản và số liệu Mặc dù đây là thiết bị quen thuộc và phổ biến, nhưng nhược điểm lớn của nó là tốc độ tương tác chậm.

Chuột là thiết bị ngày càng phổ biến nhờ sự phát triển của các ứng dụng đồ họa tương tác cao Người dùng sử dụng chuột để chỉ và chọn các chức năng phù hợp, tạo ra một cách giao tiếp thân thiện và dễ dàng hơn giữa con người và máy tính.

CÂU HỎI CHƯƠNG 1 Chọn một phương án đúng cho mỗi câu hỏi sau:

1 Để tạo ra các điểm ảnh (pixel) thì các phương pháp nào không đúng:

[b] Rời rác hoá (số hoá) hình ảnh thực của đối tƣợng

[c] Dựa vào các lý thuyết mô phỏng (Fract )

[d] Dùng phần mềm vẽ trực tiếp từng điểm ảnh một

2 Chọn phương án sai cho kỹ thuật đồ hoạ điểm:

[a] Dễ dàng thay đổi thuộc tính của đối tƣợng (màu sắc, độ sáng)

[b] Quan sát đối tƣợng ở nhiều góc nhìn khác nhau bằng cách thay đổi góc nhìn

[c] Xoá đi dễ dàng từng pixel của đối tƣợng

[d] Đối tƣợng đƣợc hiển thị thông qua từng mẫu rời rạc

3 Chọn phương án không phải là ứng dụng của kỹ thuật đồ hoạ:

[a] Tính khối lƣợng vật liệu (sắt, thép…) cho một toà nhà

[b] Điều khiển các quá trình sản xuất

[c] Tính thể tích hoặc diện tích các hình trong thiết kế công trình xây dựng [d] Giải trí nghệ thuật và mô phỏng

4 Các chuẩn sau thì chuẩn nào không thuộc chuẩn giao diện của hệ đồ hoạ:

5 Tỷ số phương (aspect ratio) của màn hình là 1,4 vậy một hình tròn khi hiển thị trên màn hình đó sẽ cho:

[a] Hình ellipse nằm ngang (bán kính theo trục x dài hơn bán kính theo trục y) [b] Hình tròn

[d] Hình ellipse đứng (bán kính theo trục x ngắn hơn bán kính theo trục y)

6 Giả sử màn hình của bạn đang sử dụng có độ phân giải (Resolution) là 1024x768 thì số điểm ảnh của màn hình là:

7 Giả sử màn hình của bạn đang sử dụng có độ phân giải (Resolution) là 640x480 thì số điểm ảnh của màn hình là:

8 Nói rằng : kỹ thuật đồ hoạ điểm giúp cho chúng ta quan sát hình ảnh ở nhiều góc độ khác nhau bằng cách thay đổi góc nhìn là đúng hay sai?

9 Phát biểu: kỹ thuật đồ hoạ vector = mô hình hình học + tô trát, là đúng hay sai?

10 Khi biểu diễn tường minh đoạn thẳng có dạng y=kx+m, trong đó k là hệ số góc của đoạn Phương trình không thể nhận giá trị k= ∞

11 Trong hệ tọa độ thiết bị sử dụng để hiển thị các hình ảnh :

[b] Hệ tọa độ thế giới thực

[c] Hệ tọa độ thiết bị

12 Hệ tọa độ thực thường được dùng để mô tả các đối tượng trong thế giới thực là hệ tọa độ :

13 Các điểm trong hệ tọa độ thực đƣợc định nghĩa là :

Chương 2 CÁC GIẢI THUẬT XÂY DỰNG CÁC THỰC THỂ CƠ SỞ

Giới thiệu

Mỗi bức ảnh mô tả thế giới thực đều được hình thành từ các đối tượng đơn giản hơn Chẳng hạn, một bức ảnh về bài trí trong một căn phòng bao gồm các yếu tố như cây cảnh, tủ kính, bàn ghế, tường và ánh sáng đèn.

Với ảnh đồ họa máy tính, hình dạng và màu sắc của mỗi đối tượng có thể được mô tả bằng hai phương pháp: thông qua dãy pixel tương ứng hoặc bằng tập hợp các đối tượng hình học cơ bản như đoạn thẳng và vùng tô đa giác Sau đó, các ảnh này sẽ được hiển thị bằng cách nạp pixel vào vùng đệm khung.

Để chuyển đổi các hình ảnh được mô tả bằng các đối tượng hình học cơ sở thành dạng ma trận pixel, cần thực hiện quá trình gọi là chuyển đổi bằng dòng quét (scan-converting) Mọi công cụ lập trình đồ họa đều cần cung cấp các hàm để mô tả hình ảnh dưới dạng các đối tượng đồ họa cơ sở (output primitives) và các hàm cho phép kết hợp các đối tượng này để tạo ra những cấu trúc phức tạp hơn.

Mỗi đối tượng đồ họa cơ sở được mô tả bằng dữ liệu tọa độ và các thuộc tính liên quan, cung cấp thông tin về cách thức hiển thị của đối tượng đó.

Hình 2.1 Ảnh cánh tay robot được cấu tạotừ các đối tượng đồ họa cơ sở

Đối tượng đồ họa cơ sở bao gồm các điểm, đoạn thẳng, đường tròn, đường conics, mặt bậc hai, mặt và đường splines, cùng với các vùng tô đa giác và chuỗi ký tự Những đối tượng này là nền tảng để xây dựng các hình ảnh phức tạp Chương này sẽ khám phá các thuật toán hiển thị những đối tượng đồ họa cơ sở trên các thiết bị hiển thị dạng điểm.

Các thuật toán chuyển đổi đồ họa thực hiện việc chuyển đổi các đối tượng đồ họa từ hệ tọa độ thực sang dãy pixel có tọa độ nguyên trên thiết bị hiển thị Quá trình này yêu cầu rời rạc hóa và nguyên hóa các đối tượng, nhằm xác định các điểm nguyên xấp xỉ tốt nhất cho đối tượng Điều này đảm bảo rằng hình dạng hiển thị trên lưới nguyên của thiết bị tương tự như đối tượng trong lưới tọa độ thực, tạo cảm giác liên tục và liền nét Sự liên tục này xuất phát từ khả năng của mắt người không phân biệt được các điểm quá gần nhau.

Các đối tượng đồ họa cơ sở là thành phần chính trong cấu trúc các đối tượng phức tạp, do đó, các thuật toán hiển thị chúng cần được tối ưu hóa về tốc độ Đây chính là yếu tố quan trọng dẫn đến sự phát triển của nhiều thuật toán khác nhau.

Các đối tƣợng đồ họa cơ sở

2.2.1 Điểm Điểm là thành phần cơ sở đƣợc định nghĩa trong một hệ tọa độ Đối với hệ tọa độ hai chiều mỗi điểm đƣợc xác định bởi cặp tọa độ (x, y)

Ngoài thông tin về tọa độ, điểm còn có thuộc tính là màu sắc

Hình 2.2 Quá trình chuyển đổi một đoạn thẳng về dãy các pixel tương ứng

2.2.2 Đường thẳng, đường gấp khúc a Đường thẳng

Một đường thẳng có thể xác định nếu biết hai điểm thuộc nó Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (x1, y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) có dạng sau: x - x 1 y - y 1 = x 2 - x 1 y 2 - y 1

1) Khai triển có dạng y = mx+k với m= y 2 -y 1 x 2 -x 1 = Dy Dx , k = y 1 – mx 1 Đây được gọi là phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Nếu khai triển dưới dạng (y 2 –y 1 )x –(x 2 – x 1 )y –x 1 y 2 + x 2 y 1 = 0 và đặt A = y 2 – y 1 , B = -(x 2 – x 1 ), C = x 2 y 1 – x 1 y 2 thì phương trình đường thẳng có dạng Ax + By + C

= 0 Dạng này gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng được biểu diễn qua các tọa độ x và y cùng với một tham số t, giúp dễ dàng khảo sát các đoạn thẳng Cụ thể, công thức được trình bày như sau: x = (1-t)x1 + tx2 và y = (1-t)y1 + ty2.

1+ty 2 Nếu t  [0,1], các điểm (x,y) thuộc về đoạn thẳng giới hạn bởi 2 điểm (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), nếu t  [-,+] ta có toàn bộ đường thẳng

Một đoạn thẳng được định nghĩa là một đường thẳng có hai điểm đầu và cuối Trong khi đó, đường gấp khúc là tập hợp các đoạn thẳng được nối với nhau một cách tuần tự, không yêu cầu phải tạo thành hình khép kín và có khả năng cắt lẫn nhau.

Hình 2.3 Dạng tham số của phương trình đường thẳng

Điểm giao của hai đoạn thẳng được gọi là đỉnh, và các đường gấp khúc được xác định qua danh sách các đỉnh Mỗi đỉnh được biểu diễn bằng các cặp tọa độ (x i, y i).

Một đa giác là một đường gấp khúc có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Các thuộc tính của đoạn thẳng bao gồm:

- Độ rộng của nét vẽ

- Kiểu nét vẽ của đoạn thẳng có thể là một trong các dạng nhƣ hình 2.5

Hầu hết các công cụ đồ họa cho phép người dùng định nghĩa kiểu nét vẽ đoạn thẳng thông qua các mẫu gồm các số 0 và 1 Đối với đường gấp khúc, tất cả các đoạn thẳng trong cùng một đường gấp khúc sẽ có cùng một thuộc tính.

Một vùng tô được xác định bởi đường biên khép kín, chẳng hạn như đa giác, và vùng bên trong Các thuộc tính của vùng tô rất quan trọng để hiểu rõ cấu trúc và hình dạng của nó.

Thuộc tính của đường biên: chính là các thuộc tính như thuộc tính của đoạn thẳng

Thuộc tính của vùng bên trong: bao gồm màu tô và mẫu tô

Hình 2.5 Kiểu nét vẽ của đoạn thẳng Hình 2.4: Đường gấp khúc (a) và đa giác (b)

2.2.4 Kí tự, chuỗi kí tự

Các chuỗi kí tự giúp hiển thị nội dung các thông điệp theo một ngôn ngữ nào đó.Các thuộc tính của kí tự bao gồm :

Màu sắc của các kí tự

Font chữ là bộ ký tự được sử dụng để hiển thị văn bản, định nghĩa kiểu và kích thước của các ký tự Hình dạng của mỗi ký tự có thể được xác định thông qua các đường gấp khúc (đối với font vector) hoặc mẫu pixel (font bitmap) Hiện nay, có nhiều loại font khác nhau như font bitmap, font truetype, và font CHR.

Kích thước của ký tự, bao gồm chiều cao và chiều rộng, có thể được điều chỉnh dễ dàng hơn khi ký tự được định nghĩa bằng đường gấp khúc so với khi sử dụng mẫu pixel.

Khoảng cách giữa các kí tự

Sự canh chỉnh (gióng lề): canh trái (left text), canh phải (right text), canh giữa (center text), canh đều nhau (justify text)

Cách hiển thị tuần tự của các kí tự: có thể là phải sang trái, từ trên xuống dưới, từ trái sang phải, từ dưới lên trên

Hình 2.7 Dạng Bitmap và vector của font ký tự B Hình 2.6 Vùng tô với các mẫu đường biên và mẫu tô

Giải thuật sinh đường thẳng

Trên mặt phẳng, một điểm được xác định bởi cặp tọa độ x và y, thể hiện khoảng cách đến các trục Điểm sẽ nằm trên đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của đường thẳng đó.

Xét bài toán: Vẽ đoạn thẳng đi qua 2 điểm A(x 1 ,y 1 ) và B(x 2 ,y 2 )

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) có thể được biểu diễn dưới dạng y = mx + k, với m = (y2 – y1)/(x2 – x1) và k = y1 – mx1 Từ phương trình này, quá trình vẽ đường thẳng có thể được thực hiện bằng cách thay đổi một thành phần tọa độ (x hoặc y) theo từng đơn vị và tính giá trị nguyên của thành phần còn lại Mặc dù các đường thẳng được mô tả trong hệ tọa độ thực, khi hiển thị trên máy tính, hệ tọa độ sử dụng lưới nguyên, do đó, quá trình vẽ đường thẳng thực chất là việc nguyên hóa các tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng và vẽ các điểm ảnh tương ứng.

Nguyên lý chung là điều chỉnh một thành phần tọa độ theo từng đơn vị, đồng thời tính toán tọa độ nguyên còn lại để đảm bảo sự gần gũi với tọa độ thực tế nhất Quyết định chọn x hay y để biến đổi phụ thuộc vào độ rộng của đường thẳng.

Trong trường hợp hệ số góc 0 < m < 1 và Dx > 0, độ biến thiên trên trục x sẽ lớn hơn độ biến thiên theo trục y Khi x thay đổi mỗi lần một điểm ảnh (Δx = 1) từ x1 đến x2, độ biến thiên của y theo x tối đa chỉ là một điểm ảnh.

Hình 2.8 minh họa nguyên hóa của các tọa độ khi sinh đường thẳng, trong đó có hai trường hợp: (a) độ biến thiên của x lớn hơn độ biến thiên của y và (b) độ biến thiên của y lớn hơn độ biến thiên của x.

Để đơn giản hóa việc xây dựng giải thuật, chúng ta xem xét các đường thẳng có hệ số góc dương và nhỏ hơn 1 Điều này giúp đảm bảo rằng độ biến thiên theo trục x lớn hơn độ biến thiên theo trục y Khi đó, x sẽ thay đổi mỗi lần một pixel, và độ biến thiên của y sẽ được tính dựa trên giá trị của x.

Giả sử điểm (x_i, y_i) đã được xác định ở bước thứ i, điểm cần chọn ở bước (i+1) sẽ là một trong hai trường hợp (x_{i+1}, y_{i+1}) như hình vẽ minh họa.

Hình 2.9 Các điểm  x i  1 ,y i  1  chọn ở bước (i+1) cho trường hợp đoạn thẳng có hệ số góc 0 Max thì dừng

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = Sin(x)

Procedure VeHinhSin(ChukyDau,ChuKyCuoi:real); var x1,y1,x2,y2:integer; a,x,k:real; x0,y0:word;

Begin x0:=GetMaxX div 2; y0:=GetMaxY div 2;

K:=GetMaxX/30; a:=Pi/180; x:=ChuKyDau; x1:=x0 + Round(x*k); y1:=y0 - Round(F(x)*k); Moveto(x1,y1);

InitGraph(Gd,Gm,’C:\BP\BGI’);

VeHinhSin(Dau,cuoi); repeat until KeyPressed;

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Chọn một phương án đúng cho mỗi câu hỏi sau:

1 Xây dựng giải thuật tổng quát để vẽ đoạn thẳng ta có xét hệ số k (hệ số góc của đoạn thẳng) có tất cả các trường hợp của k:

2 Để biểu diễn đoạn thẳng thông qua phương trình tham số như sau:

3 Trong giải thuật Bresenham (vẽ đoạn thẳng) dùng biểu diễn đoạn thẳng là:

[a] Phương trình không tường minh

[c] Phương trình các điểm gần với đoạn thẳng

4 Trong giải thuật Midpoint (vẽ đoạn thẳng) dùng biểu diễn đoạn thẳng là:

[a] Phương trình không tường minh

5 Giải thuật sau là giải thuật nào đã học? procedure Function(xt,yt,r,c:integer){ var x, y, d:integer; x := 0; y := r; d := 3 - 2 * r;

The algorithm iteratively plots pixels to create a symmetrical shape, using the coordinates (xt, yt) as the center It continues the process while the variable x is less than or equal to y, drawing pixels in all eight symmetrical positions The decision-making structure adjusts the value of d based on its current state, either incrementing it or modifying both d and y The loop concludes by incrementing x, ensuring that the shape is rendered accurately in a graphical context.

[a] Giải thuật Bresenham xây dựng đường tròn [b] Giải thuật Midpoint xây dựng đường tròn [c] Giải thuật Bresenham xây dựng đường Ellipse [d] Giải thuật Midpoint xây dựng đường Ellipse

6 Giải thuật sau là giải thuật nào đã học? procedure Function(xt, yt, r, c:integer){ var x, y, d:integer; x := 0; y := r; d := 1 - r; while (x 0 Áp dụng giải thuật, tính các điểm đƣợc vẽ trên đoạn thẳng giới hạn bởi 2 điểm với các tọa độ A(15, 27), B(22, 35)

4 Trình bày giải thuật Midpoint sinh đường thẳng với hệ số góc m > 1, Dx >0 Áp dụng giải thuật, tính các điểm đƣợc vẽ trên đoạn thẳng giới hạn bởi 2 điểm A(12, 19); B(18, 27)

5 Trình bày giải thuật Bresenham sinh đường thẳng với hệ số góc m > 1, Dx >0 Áp dụng giải thuật, tính các điểm đƣợc vẽ trên đoạn thẳng giới hạn bởi 2 điểm A(20, 22); B(25, 30)

6 Áp dụng giải thuật Bresenham viết hàm sinh đoạn thẳng (xét tất cả các trường hợp của hệ số góc)

7 Áp dụng giải thuật Midpoint viết hàm sinh đoạn thẳng (xét tất cả các trường hợp của hệ số góc)

8 Áp dụng giải thuật DDA viết hàm sinh đoạn thẳng (xét tất cả các trường hợp của hệ số góc)

9 Dùng giải thuật Midpoint viết hàm sinh đường tròn có toạ độ tâm (x c , y c ) và bán kính r

10 Áp dụng các giải thuật DDA, Bresenham, Midpoint tính các điểm đƣợc vẽ trên các đoạn thẳng giới hạn bởi các cặp điểm sau: a A(9, 22), B(19, 28) b C(10,10), D(15, 21) c E(9, 19), F(1, 29)

11 Tính các điểm được vẽ trên các đường tròn sau: a Đường tròn có phương trình (x – 2) 2 + (y-7) 2 = 121 theo thuật toán Midpoint b Đường tròn có bán kính bằng 13 và tâm tại điểm (1, -5) theo thuật toán Bresenham

12 Cài đặt thủ tục vẽ đoạn thẳng theo thuật toán Bresenham và MidPoint cho các trường hợp hệ số góc m>1, m P = M -1 *Q trong đó M -1 là ma trận của phép biến đổi ngƣợc

Ma trận phép biến đổi ngƣợc của phép tịnh tiến (Tx,Ty)

Ma trận phép biến đổi ngƣợc của phép co giãn (Sx,Sy)

Biến dạng theo phương trục x

Biến dạng theo phương trục y Đối xứng qua trục x Đối xứng qua trục y Đối xứngqua gốc tọa độ

Ma trận phép biến đổi ngƣợc của phép Quay góc 

Kết hợp các phép biến đổi

Quá trình kết hợp các phép biến đổi liên tiếp nhằm tạo ra một phép biến đổi tổng thể được gọi là sự kết hợp các phép biến đổi.

Giả sử điểm P(x,y) bị biến đổi qua n phép biến đổi T 1 , T 2 ,…, T n với các ma trận biến đổi tương ứng M 1 , M 2 , , M n (n>0) thành điểm P‘(x‘,y‘) Khi đó công thức biến đổi tổng hợp là: P‘= P*M

Trong đó M = M1*M 2 *…*Mn gọi là ma trận biến đổi tổng hợp

Thực hiện phép nhân ma trận với n ma trận yêu cầu thực hiện từ n phép biến đổi trở lên Cần lưu ý rằng do tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận, thứ tự các phép biến đổi không thể đảo ngược.

4.5.1 Kết hợp các phép tịnh tiến

Thực hiện tịnh tiến điểm X(x,y) theo vector (Tx 1 ,Ty 1 ) đƣợc X‘(x‘,y‘), tiếp tục tịnh tiến điểm P‘(x‘,y‘) theo vector (Tx 2 ,Ty 2 ) đƣợc X‖(x‖,y‖)

Hai ma trận biến đổi tương ứng:

Hay ma trận biến đổi tổng hợp M = T 1 *T 2

Nhận xét: Kết hợp 2 phép tịnh tiến đƣợc một phép tịnh tiến => Kết hợp nhiều phép tịnh tiến đƣợc 1 phép tịnh tiến

Cho tứ giác ABCD với các đỉnh A(3,3), B(5,2), C(6,5), D(2,5) Để xác định tọa độ mới của tứ giác, trước tiên cần tính toán để trọng tâm của tứ giác trùng với điểm Q(8,8) Sau đó, thực hiện tịnh tiến tứ giác theo vector tịnh tiến (2, 2) để có được vị trí cuối cùng của các đỉnh.

Tứ giác ABCD với: A(3,3), B(5,2), C(6,5), D(2,5) có trọng tâm G(4,4) Dịch chuyển tứ giác sao cho trọng tâm trùng với điểm Q(8,8) :

  ( dx, dy là khoảng dịch chuyển theo trục x;y)

- Tịnh tiến tứ giác theo vector tịnh tiến (2, 2):

- Công thức biến đổi tổng hợp:

Hình 4.7 Ví dụ phép tịnh tiến

4.5.2 Kết hợp các phép tỉ lệ

Thực hiện co giãn điểm X(x,y) theo vector (Sx 1 ,Sy 1 ) đƣợc X‘(x‘,y‘), tiếp tục co giãn điểm P‘(x‘,y‘) theo vector (Sx 2 ,Sy 2 ) đƣợc X‖(x‖,y‖)

Hai ma trận biến đổi tương ứng:

Hay ma trận biến đổi tổng hợp M = S 1 *S 2

Nhận xét: Kết hợp hai phép co giãn là một phép co giãn => Kết hợp nhiều phép co giãn cũng là một phép co giãn

Cho tam giác ABC với các đỉnh A(3,4), B(5,4) và C(2,3) Sau khi phóng to tam giác này lên gấp 2 lần, tọa độ mới của các đỉnh sẽ là A'(6,8), B'(10,8) và C'(4,6) Tiếp theo, thực hiện phép tỉ lệ với hệ số Sx=Sy=-1, tọa độ cuối cùng của tam giác sẽ là A''(-6,-8), B''(-10,-8) và C''(-4,-6).

Bước 1: Phóng to tam giác lên gấp 2 lần  thực hiện phép tỉ lệ với hệ số

Bước 2: phép tỉ lệ với hệ số Sx=Sy=-1

+ Công thức biến đổi tổng hợp:

Hình 4.8 Ví dụ về phép tỉ lệ

4.5.3 Kết hợp các phép quay

Thực hiện quay điểm X(x,y) theo góc  1 đƣợc X‘(x‘,y‘), tiếp tục quay điểm X‘(x‘,y‘) theo góc  2 đƣợc X‖(x‖,y‖)

Hai ma trận biến đổi tương ứng:

Hay ma trận biến đổi tổng hợp M = R1*R 2

Nhận xét: Kết hợp hai phép quay là một phép quay => Kết hợp nhiều phép quay cũng là một phép quay

4.5.4 Phép quay có tâm quay là điểm bất kỳ

Giả sử tâm quay có tọa độ (x f , y f ), khi đó phép quay được đưa về trường hợp quay quanh gốc tọa độ theo các bước:

- Tịnh tiến đối tƣợng theo vector tịnh tiến (-xf, -y f ) để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ

- Thực hiện quay theo góc α cho trước

- Tịnh tiến ngƣợc đối tƣợng theo vector tịnh tiến (xf , y f ) để dịch chuyển tâm quay về vị trí ban đầu

Phép quay quanh một điểm bất kỳ bao gồm các bước: (a) Đối tượng ban đầu trước khi biến đổi, (b) Tịnh tiến đối tượng về gốc tọa độ, (c) Thực hiện phép quay với góc α, và (d) Tịnh tiến đối tượng trở lại vị trí tâm quay ban đầu.

Ma trận phép biến đổi

4.5.5 Phép tỉ lệ giữ nguyên điểm chốt

Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (S x , S y ) sao cho điểm chốt (x 0 , y 0 ) không đổi

- Dịch đối tƣợng sao cho điểm chốt trùng gốc tọa độ

- Thực hiện co dãn theo tỷ lệ cho trước

- Dịch ngƣợc đối tƣợng sao cho điểm chốt về vị trí ban đầu

Hình 4.10 Phép tỉ lệ giữ nguyên điểm chốt

Bước 1: Phép tịnh tiến tỉ lệ đến gốc tọa độ có ma trận là:

−𝑥 0 −𝑦 0 1 Bước 2: Phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, S y )

Bước 3: Phép tịnh tiến tỉ lệ về vị trí ban đầu có ma trận là

𝑥 0 𝑦 0 1 Bước 4: Ma trận của phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (S x ,S y ) giữ nguyên điểm chốt (x 0 , y 0 ) đƣợc thực hiện bởi tích của 3 phép biến đổi sau:

Phép biến đổi giữa các hệ tọa độ

Để mô tả đối tượng một cách hiệu quả, thường sử dụng các hệ tọa độ cục bộ gắn liền với chúng Tuy nhiên, để hiển thị một bức ảnh chứa nhiều đối tượng, cần chuyển đổi các mô tả này về một hệ tọa độ chung Việc chuyển đổi thường được chia thành hai loại: chuyển từ các hệ tọa độ phi Descartes sang hệ tọa độ Descartes và chuyển đổi giữa các hệ tọa độ Descartes Phần này sẽ tập trung vào việc khảo sát phép biến đổi giữa các hệ tọa độ Descartes.

Hình 4.11 Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ

Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O và các vector đơn vị lần lƣợt là i, j

Hệ tọa độ (II) là kết quả của phép biến đổi T(M) từ hệ tọa độ (I), với gốc tọa độ O‘ và các vector đơn vị u, v Một điểm P(x, y) trong hệ tọa độ (I) sẽ được chuyển đổi thành điểm Q(a, b) trong hệ tọa độ (II) Câu hỏi đặt ra là mối liên hệ giữa các giá trị a, b với x, y và M như thế nào.

Hình 4.12 Tọa độ của một điểm qua phépbiến đổi hệ tọa độ

Người ta chứng minh được rằng Q=PM -1

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Chọn một phương án đúng cho mỗi câu hỏi sau:

Giả sử ma trận biến đổi một điểm trong mặt phẳng là

1 Trong mặt phẳng phép đối xứng qua trục oy là:

2 Trong mặt phẳng phép đối xứng qua trục ox là:

3 Trong mặt phẳng phép đối xứng qua tâm O là:

4 Trong mặt phẳng, phép biến đổi tỉ lệ phóng to một đối tƣợng gấp 2 lần ban đầu là:

5 Trong mặt phẳng, phép biếnđổi thu nhỏ một đối tượng xuống một nửa kích thước ban đầu là:

6 Trong mặt phẳng để sửa một đối tƣợng sao cho đối tƣợng to lên gấp rƣỡi mà chiều cao không đổi thì :

7 Trong mặt phẳng nếu phóng to một đối tƣợng lên gấp rƣỡi sau đó lại phóng lên gấp

2 lần thì ma trận biến đổi là:

8 Trong mặt phẳng nếu phóng to một đối tƣợng lên gấp đôi sau đó thu nhỏ xuống chỉ còn 1/4 ban đầu thì ma trận biến đổi là:

9 Ta có điểm P(2 , -5) sau khi biến đổi qua phép phóng to lên gấp rƣỡi thì toạ độ P‘ là:

10 Trong mặt phẳng để sửa một đối tƣợng sao cho chiều cao tăng gấp 3 mà bề rộng không thay đổi thì :

11 Cho điểm Q (3.2 , - 11.5) sau khi cho nó cao lên gấp 2 lần mà vẫn giữ chiều rộng không đổi, rồi lại thu nhỏ nó xuống 1/4 thì Q‘ là:

12 Cho đoạn thẳng AB có toạ độ là A(1,-1) và B(-2,6), dãn đoạn thẳng đó theo chiều trục ox lên gấp 3 lần sau đó phóng to lên gấp rƣỡi thì thu đƣợc A‘ và B‘ là:

13 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(-3.6, 4), B(12,-1) và C(-9,- 5) Thu hẹp tam giác đi 3 lần (theo trục ox), kéo dài tam giác lên gấp 3 lần (theo trục oy) sau đó đối xứng tam giác qua trục oy Tam giác A‘B‘C‘ cuối cùng thu đƣợc sẽ có toạ độ là:

14 Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB có các toạ độ là A(1.5,-3) và B(6,2) Phóng lớn đoạn thẳng lên gấp 1.8 lần sau đó lấy đối xứng qua trục ox Đoạn thẳng A‘B‘ cuối cùng thu đƣợc có toạ độ là:

15 Trong mặt phẳng có điểm A(-2,6), quay A quanh gốc toạ độ 1 góc -60o ta đƣợc điểm A‘ là:

16 Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng MN có các toạ độ là M(-12,-4) và N(16,2) Quay đoạn thẳng này quanh O một góc 60o sau đó lấy đối xứng qua trục ox Đoạn thẳng M‘N‘ cuối cùng thu đƣợc có toạ độ là:

17 Trong mặt phẳng có đoạn thẳng CD có toạ độ là C(2,-6) và D(18,8), quay đoạn thẳng một góc -90o sau đó phóng to lên gấp 2 lần Toạ độ C‘ và D‘ cuối cùng thu đƣợc là:

1 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng khi thực hiện các phép biến đổi: a Đối xứng qua điểm có tọa độ (x0, y 0 ) b Đối xứng qua đường thẳng song song với trục tung, cách trục tung một khoảng x = x0 c Đối xứng qua đường thẳng song song với trục hoành, cách trục hoành một khoảng y = y 0

Đối xứng qua đường phân giác góc phần tử thứ nhất được thể hiện bằng đường thẳng y = x + a, trong khi đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ hai được mô tả bằng đường thẳng y = -x + a Để xây dựng công thức biến đổi đối tượng khi thực hiện các phép biến đổi, trước tiên, thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy), sau đó quay đối tượng một góc α quanh gốc tọa độ Ngoài ra, có thể thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) giữ nguyên điểm chốt (x0, y0) và sau đó quay một góc α quanh (x0, y0).

3 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, S y ) với điểm chốt (x0, y 0 ) và phép quay một góc α quanh điểm (x 0 , y 0 )

4 Cho tam giác ABC với các tọa độ A(20, 10), B(10, 30), C(30,20) Hãy xác định tọa độ mới của tam giỏc sau khi thực hiện thu nhỏ kớch thước tam giỏc bằng ẵ kích thước tam giác ban đầu sao cho tọa độ trọng tâm tam giác không đổi, sau đó quay tam giác 45 0 quanh điểm trọng tâm

6 Cho tam giác ABC với các tọa độ A(5,0), B(10,10), C(30,20) Hãy xác định tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện quay tam giác 30 0 ngƣợc chiều kim đồng hồ quanh trọng tâm giác sau đó phóng to kích thước tam giác bằng 2 lần kích thước tam giác ban đầu sao cho tọa độ trọng tâm không đổi

8 Cho tam giác ABC với các tọa độ A(0,10), B(5, 5), C(10,30) Hãy xác định tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện phóng to kích thước tam giác bằng 2 kích thước tam giác ban đầu sao cho tọa độ điểm A không đổi sau đó lấy đối xứng qua điểm A

5 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi quay đối tƣợng một góc α ngƣợc chiều kim đồng hồ quanh điểm có tọa độ (x0, y 0 ) rồi thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (S x , S y ) với điểm chốt (x 0 , y 0 )

7 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (S x , S y ) với điểm chốt (x 0 , y 0 ) không đổi sau đó lấy đối xứng qua điểm (x 0 , y 0 )

Giới thiệu đồ họa ba chiều

Trong thế giới thực, các đối tượng chủ yếu là ba chiều, vì vậy việc thể hiện chúng trên máy tính là rất cần thiết để kết nối công nghệ với thực tế Giống như các phương pháp biểu diễn ba chiều khác như máy ảnh, việc mô phỏng trên máy tính cũng phải tuân theo các quy luật về phối cảnh, ánh sáng và bóng tối, giúp người xem hình dung chính xác hơn Hơn nữa, việc biểu diễn này cho phép người dùng quan sát các đối tượng từ nhiều góc độ và khoảng cách khác nhau, mang lại cái nhìn toàn diện hơn.

5.1.1 Tổng quan về đồ họa ba chiều

Khi mô hình hóa và hiển thị một cảnh ba chiều, cần xem xét nhiều khía cạnh phức tạp hơn là chỉ thêm tọa độ thứ ba cho các đối tượng Bề mặt của các đối tượng có thể được tạo thành từ nhiều tổ hợp khác nhau của mặt phẳng và mặt cong, đồng thời cần mô tả thông tin bên trong các đối tượng Các công cụ đồ họa thường cung cấp hàm hiển thị các thành phần bên trong và các đường nét tiêu biểu của đối tượng ba chiều Hơn nữa, phép biến đổi hình học trong đồ họa ba chiều đa dạng và phức tạp hơn so với đồ họa hai chiều, vì việc chọn lựa tham số để mô tả cảnh ba chiều trên màn hình đòi hỏi nhiều yếu tố hơn.

Hình 5.1 Một cảnh đồ họa ba chiều

Mô tả cảnh ba chiều trải qua quy trình xử lý phức tạp, bao gồm việc biến đổi hệ tọa độ quan sát và chuyển đổi từ hệ tọa độ ba chiều sang hai chiều Các phần nhìn thấy của cảnh cần được xác định dựa trên hệ quan sát đã chọn, và cuối cùng, thuật toán vẽ mặt sẽ được áp dụng để tạo ra hình ảnh trung thực, gần gũi với thực tế.

5.1.2 Sơ lƣợc về quy trình hiển thị

Quy trình xử lý thông tin trong đồ họa ba chiều bao gồm các bước liên tiếp, trong đó kết quả của mỗi bước trở thành đầu vào cho bước tiếp theo.

Quy trình thiết kế bắt đầu bằng việc xây dựng các mô hình đối tượng trong không gian ba chiều (x,y,z) Các mô hình này có thể đại diện cho vật thể (solid) hoặc bề mặt (boundaries) của đối tượng, dẫn đến hai kiểu mô hình hóa khác nhau Trong mô hình hóa solid, các đối tượng đồ họa cơ sở thường được sử dụng để mô tả chi tiết và chính xác hơn về hình dạng và cấu trúc của vật thể.

Hình 5.2 Quy trình hiển thị đối tượng ba chiều

125 đối tƣợng có thể tích (volume) Trong boundary representations(B-reps), các đối tƣợng đƣợc định nghĩa bởi bề mặt của chúng

Các mô hình thường được thể hiện trong hệ tọa độ cục bộ, gọi là hệ tọa độ đối tượng Trong hệ này, chỉ có đối tượng được định nghĩa, do đó gốc tọa độ và đơn vị đo lường được lựa chọn để tối ưu hóa việc biểu diễn đối tượng.

Bước đầu tiên trong quy trình hiển thị là chuyển đổi các đối tượng từ không gian đối tượng sang không gian thực, nơi mà các đối tượng, nguồn sáng và người quan sát đồng thời tồn tại Giai đoạn này được gọi là biến đổi mô hình.

Bước tối ưu hóa tiếp theo là loại bỏ các đối tượng không thể nhìn thấy trong giai đoạn loại bỏ đơn giản Việc này giúp tránh xử lý các phần không cần thiết của cảnh, từ đó nâng cao hiệu suất hiển thị trong các bước tiếp theo.

Để tạo ra ánh sáng cho các đối tượng có thể nhìn thấy, cần gán màu sắc cho chúng dựa trên đặc tính của vật liệu và nguồn sáng có trong cảnh.

Sau khi chiếu sáng, cần thực hiện phép biến đổi hệ tọa độ để đưa vị trí quan sát về gốc tọa độ và mặt phẳng quan sát đến vị trí mong muốn Bước này được gọi là đổi hệ quan sát, giúp chuyển các đối tượng từ không gian thực sang không gian quan sát (eye space).

Trong quá trình quan sát, việc xén các đối tượng trong cảnh là cần thiết để chúng nằm gọn trong không gian chóp cụt gọi là viewing frustum Bước này giúp loại bỏ hoàn toàn những đối tượng không hiển thị trong ảnh, tối ưu hóa hiệu suất hiển thị.

Bước tiếp theo trong quá trình là chiếu các đối tượng xuống mặt phẳng hai chiều, thực hiện phép biến đổi từ không gian quan sát sang không gian màn hình (screen-space).

Trong bước rời rạc hóa (rasterization) ta sẽ chuyển đối tượng thành các pixel Cuối cùng, toàn cảnh sẽ đƣợc hiển thị lên màn hình

5.1.3 Mô hình khung nối kết (Wireframe Model) a Khái niệm

Một phương pháp thông dụng và đơn giản để mô hình hóa đối tượng là mô hình khung nối kết

Mô hình khung nối kết bao gồm tập hợp các đỉnh và các cạnh nối giữa chúng, tạo ra hình ảnh ba chiều có vẻ rỗng và không thực tế Để cải thiện tính chân thực, các kỹ thuật tạo bóng và loại bỏ các đường và mặt khuất được áp dụng Mặc dù vậy, mô hình này thường được sử dụng để xem phác thảo nhanh chóng các đối tượng, đặc biệt trong các hệ thống CAD.

Mô hình khung nối kết của đối tượng ba chiều được thể hiện qua hai danh sách: danh sách các đỉnh (vertices) và danh sách các cạnh (edges) kết nối các đỉnh Danh sách đỉnh cung cấp thông tin về vị trí của các đỉnh, trong khi danh sách cạnh xác định sự kết nối giữa các đỉnh, cho biết cặp đỉnh nào tạo thành một cạnh Hãy xem xét một vật thể ba chiều được biểu diễn bằng mô hình khung nối kết để hiểu rõ hơn về cấu trúc này.

Bảng danh sách các cạnh và đỉnh biểu diễn vật thể:

Hình 5.3 Vật thể ba chiều được biểu diễn bằng mô hình khung nối kết

Có nhiều phương pháp để đặc tả mô hình khung nối kết trên máy tính, chẳng hạn như sử dụng xâu hay mảng, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng phù hợp với từng ứng dụng cụ thể Trong bài viết này, chúng tôi sẽ minh họa cách biểu diễn mô hình khung nối kết bằng cấu trúc dữ liệu mảng.

#define MAXVERTS 50 //số đỉnh tối đa có thể biểu diễn

#define MAXEDGES 100 //số cạnh tối đa typedef struct { float x, y, z;

} POINT3D; typedef struct { int NumVerts; //Số đỉnh trong mô hình int NumEdges; //Số cạnh trong mô hình

POINT3D Vert[MaxVerts]; int Edge[MaxEdges][2];

Một số khái niệm

5.2.1 Phương pháp biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều

Biểu diễn và hiển thị đối tượng trong không gian 3 chiều là yếu tố quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hình dạng của các đối tượng Qua việc này, người dùng có thể quan sát đối tượng từ nhiều góc độ khác nhau và dễ dàng thao tác như quay, tịnh tiến hay thay đổi tỉ lệ Chỉ cần nhấn chuột vào các đối tượng phức tạp, kết quả sẽ được hiển thị ngay lập tức trên màn hình, mang lại trải nghiệm tương tác mượt mà và trực quan.

Trong đồ họa 3D, các đối tượng được mô tả như một tập hợp các điểm trong mặt phẳng, với tọa độ của chúng được biểu diễn dưới dạng ma trận hay vector vị trí Có hai phương pháp chính để biểu diễn ma trận cho phép biến đổi đồ họa, bao gồm ma trận 1 hàng 3 cột và ma trận 3 hàng 1 cột.

Các điểm được lưu trữ trong máy tính dưới dạng ma trận hay chuỗi điểm giúp kiểm soát hình dạng của đường thẳng, đường cong hay hình ảnh thông qua các phép biến đổi đồ họa Các phép biến đổi này được mô tả bằng ma trận, cho phép thực hiện biến đổi tọa độ của các điểm qua phép toán nhân ma trận Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho người dùng hình dung và thao tác với các đối tượng hình học một cách dễ dàng, là một trong những tính năng mạnh mẽ của đồ họa máy tính.

5.2.2 Phương pháp biểu diễn sử dụng hệ tọa độ đồng nhất

Ma trận 3x3 có khả năng biểu diễn các phép biến đổi như quay, tỉ lệ, đối xứng và biến dạng, cho phép xây dựng ma trận tổng hợp từ các phép biến đổi thành phần Tuy nhiên, các phép tịnh tiến trong không gian 3 chiều không thể được biểu diễn bằng ma trận 3x3, với các phương trình x‘= x + tx, y‘= y + ty, z‘= z + tz Điều này cho thấy rằng khi có sự tồn tại của phép tịnh tiến, không thể tạo ra một ma trận biến đổi tổng hợp duy nhất Do đó, cần tìm ra giải pháp mới hiệu quả hơn, trong đó việc biểu diễn điểm thông qua các ma trận đồng nhất là một lựa chọn tối ưu.

Phương pháp biểu diễn mở rộng với tọa độ đồng nhất của các vector vị trí không đồng nhất [x y z] là một ứng dụng quan trọng của phép chiếu hình học, trong đó tọa độ điểm được thể hiện dưới dạng ma trận.

[hx hy hz h] và h là một số thực tùy ý Để đơn giản chọn h = 1 Vậy một điểm trong mặt phẳng ở hệ tọa độ đồng nhất sẽ có 4 thành phần là

[x y z 1] Các phép biến đổi trong mặt phẳng được biểu diễn dưới dạng

[ X‘ ] = [X ] * [ T ] trong đó [ X‘] = [x‘ y‘ z‘ 1], [ X] = [x y z 1], [T] là ma trận vuông cấp 4

Cải tiến ma trận vuông cấp 3 thành ma trận vuông cấp 4 trong các phép biến đổi có thể thực hiện mà không làm thay đổi bản chất của phép biến đổi, chỉ cần thêm các yếu tố cần thiết.

1 hàng, 1 cột vào ma trận

5.2.3 Công thức biến đổi Affine

Phép biến đổi affine là một phương pháp biến đổi tuyến tính, chuyển đổi tọa độ của các điểm đặc trưng trong đối tượng thành các điểm mới tương ứng, nhằm tạo ra những hiệu ứng cho toàn bộ đối tượng.

Với M 4x4 là ma trận biến đổi

Một số tính chất của các phép biến đổi ba chiều :

- Tính chất đường thẳng được bảo toàn Nghĩa là, một đường thẳng trong không gian ba chiều khi biến đổi sẽ thành một đường thẳng

- Tính song được bảo toàn Nghĩa là, hai đường thẳng song khi biến đổi cũng sẽ thành hai đường thẳng song

Tỉ lệ khoảng cách được bảo toàn có nghĩa là nếu ảnh của một điểm P chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ f, thì ảnh A‘B‘ của đoạn thẳng AB cũng sẽ được chia theo tỉ lệ f.

Hình 5.4 Một cảnh ba chiều được tạo nhờ các phép biến đổi

5.2.4 Các hệ trục tọa độ theo quy ƣớc bàn tay phải và bàn tay trái

Hệ tọa độ Descartes ba chiều có thể định nghĩa theo quy ƣớc bàn tay trái hoặc bàn tay phải

Hình 5.5(a)Các hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải, (b) quy ước bàn tay trái Định nghĩa:

Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải là một hệ tọa độ ba chiều với các trục x, y, z Để xác định hướng của các trục, bạn hãy đặt bàn tay phải sao cho ngón cái chỉ về phía trục z Khi nắm tay lại, chiều chuyển động của các ngón tay sẽ từ trục x sang trục y.

Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái là một hệ tọa độ ba chiều với các trục x, y, z Trong đó, nếu bàn tay trái được đặt sao cho ngón cái chỉ hướng trục z, thì khi nắm tay lại, các ngón tay sẽ chuyển động từ trục x sang trục y.

Các phép biến đổi hình học 3 chiều cơ sở

Hình 5.6 Phép tịnh tiến với vector tịnh tiến tr=(tr x , tr y , tr z )

Vector tịnh tiến tr trong phép biến đổi ba chiều tác động trực tiếp đến vị trí của các điểm, khi mỗi điểm được dịch chuyển một khoảng cách tương ứng là tr x, tr y và tr z theo ba trục không gian.

Ma trận phép tịnh tiến có dạng nhƣ sau:

[ trz try trx trz try trx

5.3.2 Phép biến đổi tỉ lệ

Phép biến đổi tỉ lệ trong ba chiều là sự mở rộng của phép biến đổi tỉ lệ trong hai chiều Khi thay đổi đối tượng với tỷ lệ sx theo trục Ox, sy theo trục Oy và sz theo trục Oz, tọa độ của đối tượng sẽ được điều chỉnh theo công thức tương ứng.

Trong đó các hằng số s x , s y , s z là các hệ số tỉ lệ tương ứng theo các trục x, y, z.

Hình 5.7 Phép biến đổi tỉ lệ

Khi sx = -1, sy = sz = 1, phép tỉ lệ sẽ là đối xứng qua mặt phẳng yOz Ngược lại, nếu sy = -1, sx = sz = 1, phép tỉ lệ sẽ là đối xứng qua mặt phẳng xOz Tương tự, khi sz = -1, sy = sx = 1, phép tỉ lệ sẽ là đối xứng qua mặt phẳng xOy Cuối cùng, nếu sx = sy = sz = 1, đối tượng sẽ giữ nguyên hình dạng ban đầu.

Nếu 0 < sx, sy, sz < 1 thì phép biến đổi tương ứng là thu nhỏ đối tượng

Nếu sx, sy, sz > 1 thì phép biến đổi thu đƣợc là phép phóng to đối tƣợng

Khi các hệ số tỉ lệ sx, sy, sz bằng nhau, ta có phép biến đổi đồng dạng

Trong phép biến đổi S(sx, sy, sz), gốc tọa độ O giữ nguyên hình ảnh của nó, do đó O được gọi là điểm bất động (fixed point) của S, hay còn được xem là tâm của phép biến đổi.

Phép biến đổi tỉ lệ theo một tâm (xf, xf, xf) có thể được mô tả tổng quát bằng ba phép biến đổi liên tiếp.

Tịnh tiến điểm bất động (xf, xf, xf) về gốc tọa độ

Thực hiện phép biến đổi tỉ lệ theo công thức

Tịnh tiến ngƣợc điểm bất động từ gốc tọa độ trở về vị trí ban đầu

Kết hợp ba bước biến đổi, ta có ma trận biến đổi cho phép biến đổi tỉ lệ theo tâm (xf, xf, xf) với hệ số tỉ lệ sx, sy, sz.

Biến dạng theo bất kỳ trục tọa độ nào đều bị ảnh hưởng bởi tọa độ của hai trục còn lại; tức là sự thay đổi của x phụ thuộc vào y và z, và ngược lại.

 z dy bx z fz y ax y ez cy x x

Hình 5.8 Phép biến dạng theo trục x: a = b = 1, các hệ số khác bằng 0

Phép biến dạng Sh tương tự như phép biến đổi tỉ lệ, với điểm bất động là gốc tọa độ O Ngoài ra, phép biến dạng này cũng có thể được xây dựng với tâm biến dạng tại một điểm bất kỳ (x f , x f , x f ).

Ma trận biến đổi của phép biến dạng với tâm tại (x f , x f , x f ) là:

5.3.4 Phép quay a Phép quay quanh một trục tọa độ

Phép quay là phép biến đổi làm thay đổi hướng của đối tượng nhưng kích thước và hình dạng của đối tƣợng vẫn đƣợc giữ nguyên

Khi quay đối tƣợng quanh một trục nào đó thì tọa độ của đối tƣợng tại trục đó sẽ không đổi

Chiều dương của phép quay được xác định theo quy ước của hệ tọa độ, áp dụng cho cả bàn tay phải và bàn tay trái Cụ thể, chiều dương được định nghĩa dựa trên các quy tắc nhất định để đảm bảo tính nhất quán trong các phép toán hình học.

Quay quanh trục x: từ trục dương y đến trục dương z

Quay quanh trục y: từ trục dương z đến trục dương x

Quay quanh trục z: từ trục dương x đến trục dương y

Hình 5.9 Cách xác định chiều quay dương a Quay đối tượng quanh trục Ox

Là phép quay mà giá trị của x trong vector vị trí không thay đổi Mặt phẳng xoay sẽ vuông góc với trục Ox

Hình 5.10 Quay đối tượng quanh trục Ox Công thức biến đổi

Tx  b Quay đối tượng quanh trục Oy

Là phép quay mà giá trị của y trong vector vị trí không thay đổi Mặt phẳng xoay sẽ vuông góc với trục Oy

Hình 5.11 Quay đối tượng quanh trục Oy Công thức biến đổi

Ty c Quay đối tượng quanh trục Oz

Là phép quay mà giá trị của z trong vector vị trí không thay đổi Mặt phẳng xoay sẽ vuông góc với trục Oz

Hình 5.12 Quay đối tượng quanh trục Oz Công thức biến đổi

Tz b Quay quanh một trục bất kỳ song song với các trục tọa độ

Các ma trận biến đổi quay quanh trục tọa độ rất hiệu quả trong việc xử lý biến đổi các đối tượng Tuy nhiên, việc quay các đối tượng thường dựa trên các trục song song với các trục tọa độ gốc Quá trình quay đối tượng quanh các trục của chúng tuân thủ theo một số bước cụ thể.

Bước 1: Dịch chuyển đối tượng sao cho trục quay trùng với trục tọa độ

Bước 2 : Quay đối tượng quanh trục của nó (tương đương với trục tọa độ gốc) Bước 3 : Đưa trả đối tượng về vị trí ban đầu

Ví dụ: Quay đối tƣợng quanh trục song song với trục Ox, cách trục Oy, Oz một khoảng ty, tz

Bước 1: Tịnh tiến sao cho trục quay trùng với trục Ox:

Bước 2: Quay quanh trục Ox:

Bước 3: Tịnh tiến ngược về vị trí ban đầu:

Bước 4: Ma trận của phép quay quanh trục song song với trục Ox cách trục Oy,

0 𝑡 𝑦 ∗ 1 − cos 𝛼 + 𝑡 𝑧 ∗ sin 𝛼 𝑡 𝑧 ∗ (1 − cos 𝛼) − 𝑡 𝑦 ∗ sin 𝛼 1 c Phép quay quanh một trục bất kì

Giả sử có một trục quay đi qua hai điểm P0 và P1, với phương được biểu diễn bởi vector đơn vị k Khi quay điểm (x, y, z) quanh trục k theo một góc Ɵ, điểm này sẽ được biến đổi thành điểm mới (x‘, y‘, z‘).

Hình 5.13 – Quay đối tượng quanh trục bất kỳ Để thực hiện phép quay quanh k một góc Ɵ, ta có thể thực hiện một chuỗi các thao tác sau:

Tịnh tiến trục k về gốc tọa độ: tr(-P 0 ) (thành trục k')

Quay quanh trục x một góc α để đặt trục k' nằm trên mặt phẳng Oxz: rot(x, α) (thành trục k‖)

Quay quanh trục y góc β để đƣa trục k‖ về trục z: rot(y,- β)

Thực hiện phép quay quanh trục z một góc Ɵ: rot(z, Ɵ)

Thực hiện chuỗi các phép biến đổi ngƣợc lại quá trình trên

Góc quay α được xác định qua chiếu của k' lên mặt phẳng Oyz, mà không cần tính toán cụ thể giá trị của α Thay vào đó, chúng ta có thể tính trực tiếp giá trị của sin(α) và cos(α).

Tương tự, từ hình 5.14 ta có:

Phép quay quanh trục P0P1 một góc β, rot(P0P1, β), có thể được phân rã thành chuỗi các biến đổi cơ sở như sau: tr(-P0) rot(x, α) rot(y, -β) rot(z, β) rot(y, β) rot(x, -α) tr(P0).

5.3.5.Phép đối xứng a Đối xứng qua mặt phẳng xOy

Là phép biến đổi mà giá trị của x, y trong vector vị trí không thay đổi Giá trị của z = -z

Hình 5.15 Đối xứng qua mặt phẳng xOy

0 0 0 1 b Đối xứng qua mặt phẳng xOz

Là phép biến đổi mà giá trị của x và z trong vector vị trí không thay đổi Giá trị của y = -y

Hình 5.16 Đối xứng qua mặt phẳng xOz Công thức biến đổi

0 0 0 1 c Đối xứng qua mặt phẳng yOz

Là phép biến đổi mà giá trị của y và z trong vector vị trí là không thay đổi Giá trị của x = -x

Hình 5.17 Đối xứng qua mặt phẳng zOy Công thức biến đổi

Để thực hiện phép đối xứng của một đối tượng qua mặt phẳng song song với mặt phẳng gốc, cần tuân theo các bước cụ thể.

Bước 1: Tịnh tiến đối tượng sao cho mặt phẳng đối xứng trùng với mặt phẳng tọa độ

Bước 2 : Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng tọa độ

Bước 3 : Tịnh tiến về vị trí ban đầu

Ví dụ: Đối xứng với mặt phẳng song song với mặt phẳng xOy

Bước 1: Dịch chuyển đối tượng sang hệ tọa độ tạm thời O‘x‘y‘z‘

Với O‘z‘ cách Oz một khoảng là dz

Bước 2 : Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng x‘O‘y‘

Bước 3 : Quay lại vị trí ban đầu

0 0 0 1 dz 2 e Đối xứng với mặt phẳng song song với mặt phẳng xOz

Bước 1: Dịch chuyển đối tượng sang hệ tọa độ tạm thời O‘x‘y‘z‘ Với O‘y‘ cách Oy một khoảng là dy

Bước 2 : Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng x‘O‘z‘

Bước 3 : Quay lại vị trí ban đầu

1 dy 2 f Đối xứng với mặt phẳng song song với mặt phẳng yOz

Bước 1: Dịch chuyển đối tượng sang hệ tọa độ tạm thời O‘x‘y‘z‘

Với O‘x‘ cách Ox một khoảng là dx

Bước 2 : Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng y‘O‘z‘

Bước 3 : Quay lại vị trí ban đầu

5.3.6 Kết hợp các phép biến đổi affine ba chiều Để kết hợp các phép biến đổi affine ba chiều, chúng ta cũng thực hiện tương tự nhƣ ở phép biến đổi hai chiều bằng cách dùng hệ tọa độ thuần nhất

Các phép chiếu của vật thể trong không gian lên mặt phẳng

5.4.1 Định nghĩa chung Đồ họa 3 chiều (3D computer graphics) bao gồm việc bổ sung kích thước về chiều sâu của đối tƣợng, cho phép biểu diễn chúng trong thế giới thực một cách chính xác và sinh động hơn

Các thiết bị truy xuất hiện tại chủ yếu hoạt động ở dạng 2 chiều, do đó việc thể hiện hình ảnh 3D được thực hiện thông qua kỹ thuật tô trát (rendering) nhằm tạo ra ảo giác về độ sâu Đồ hoạ 3D chuyển đổi thế giới tự nhiên thành các mô hình hiển thị trên thiết bị thông qua quá trình này Phép chiếu được định nghĩa là quá trình chuyển đổi các điểm của đối tượng trong hệ thống tọa độ n chiều thành các điểm trong hệ thống tọa độ có số chiều nhỏ hơn n Hình chiếu là ảnh của đối tượng trên mặt phẳng chiếu, được hình thành từ phép chiếu qua các tia chiếu xuất phát từ tâm chiếu và giao với mặt phẳng chiếu.

Các bước xây dựng hình chiếu

1 Đối tƣợng trong không gian 3D với tọa độ thực đƣợc cắt theo một không gian xác định gọi là view volume

2 View volume đƣợc chiếu lên mặt phẳng chiếu Diện tích choán bởi view volume trên mặt phẳng chiếu đó sẽ cho ta khung nhìn

3 Ánh xạ khung nhìn vào trong một cổng nhìn bất kỳcho trước trên màn hình để hiển thị hình ảnh

Các phép chiếu hình học phẳng được xây dựng dựa trên hai phép chiếu cơ bản: phép chiếu song song và phép chiếu phối cảnh Sự khác biệt chính giữa hai phép chiếu này nằm ở vị trí của tâm chiếu Phép chiếu phối cảnh được áp dụng khi khoảng cách giữa tâm chiếu và mặt phẳng chiếu là hữu hạn, trong khi phép chiếu song song xảy ra khi khoảng cách này là vô hạn.

Hình 5.15 Mô hình nguyên lý của tiến trình biểu diễn đối tượng 3D

146 và mặt phẳng chiếu là vô hạn thì các tia chiếu đƣợc coi nhƣ song song với nhau và phép chiếu đƣợc gọi là phép chiếu song song

Việc phát triển của các phép biến đổi có 2 phương pháp được sử dụng:

- Thứ nhất: Khi tâm phép chiếu trùng với mắt người sử dụng là cố định và mặt phẳng chiếu vuông góc với hướng của mắt nhìn

Khi đối tượng là cố định và tâm chiếu tự do di chuyển trong không gian 3D, mặt phẳng chiếu không nhất thiết phải vuông góc với hướng nhìn.

Phép chiếu song song (Parallel Projections) là phép chiếu mà ở đó các tia chiếu song song với nhau hay xuất phát từ điểm vô cùng

Phân loại phép chiếu song song dựa trên hướng của tia chiếu (Direction Of Projection)và mặt phẳng chiếu (projection plane)

1) Phép chiếu trực giao (Orthographic projection)

Hình 5.16 Phân loại phép chiếu

Phép chiếu trực giao là phương pháp chiếu song song với tia chiếu vuông góc lên mặt phẳng chiếu Trong toán học, phép chiếu này sử dụng mặt phẳng tọa độ có giá trị bằng 0, thường là mặt phẳng z = 0, bên cạnh đó cũng có thể sử dụng x = 0 và y = 0 Mỗi mặt phẳng chiếu tương ứng sẽ có một ma trận chiếu riêng.

Hình 5.18 Phép chiếu trực giao

Thông thường, khi suy diễn ngược hình của một đối tượng, người ta chỉ sử dụng một trong ba mặt phẳng chính: hình chiếu bằng, hình chiếu đứng hoặc hình chiếu cạnh, thay vì sử dụng cả sáu mặt phẳng.

Tất cả sáu góc nhìn có thể được thu nhận từ một mặt phẳng chiếu thông qua các phép biến đổi hình học như quay, dịch chuyển và đối xứng.

Khi có hình chiếu bằng trên mặt phẳng z=0, việc quay đối tượng quanh trục một góc 90 độ sẽ tạo ra hình chiếu cạnh Tuy nhiên, đối với các đối tượng có mặt không song song với các mặt phẳng hệ tọa độ, phép chiếu này không phản ánh đúng hình dạng thực của vật thể Để có cái nhìn chính xác hơn về vật thể, cần thực hiện phép chiếu bằng cách quay và dịch chuyển đối tượng sao cho mặt phẳng chiếu song song với các trục tọa độ.

Hình của đối tƣợng quá phức tạp cần thiết phải biết các phần bên trong của đối tƣợng đôi lúc chúng ta phải tạo mặt cắt đối tƣợng

2) Phép chiếu trục lƣợng (Axonometric)

Phép chiếu trục lượng là một phương pháp chiếu trong đó hình chiếu được tạo ra bằng cách quay đối tượng, giúp ba mặt của đối tượng hiển thị rõ ràng nhất Thông thường, mặt phẳng chiếu được đặt tại z=0.

- Phép chiếu Isometric a) Phép chiếu Trimetric

Phép chiếu hình là quá trình tạo ra hình ảnh bằng cách quay tự do đối tượng quanh các trục trong hệ tọa độ, sau đó thực hiện phép chiếu song song đối tượng lên mặt phẳng chiếu, thường là mặt phẳng z = 0.

Ngoại trừ các mặt phẳng song song với mặt phẳng chiếu, hình dạng của đối tượng thường bị biến dạng sau khi chiếu Tỉ lệ co (Shortening Factor - SF) là tỷ số giữa độ dài đoạn thẳng chiếu và độ dài thực tế của đối tượng Dựa trên SF, phép chiếu trục lượng được phân loại thành ba loại chính: phép chiếu Trimetric, phép chiếu Dimetric và phép chiếu Isometric.

Việc tính các giá trị SF này của các trục tương ứng dựa vào công thức [U]* [T]

[ U ]: là ma trận vector đơn vịcủa các trục x, y, z bất biến

[ T ]: là ma trận chiếu tổng hợp tương ứng

SF- tỉlệco theo các trục là:

Là phép chiếu Trimetric với 2 hệsốtỉlệco bằng nhau, giá trịthứ3 còn lại là tuỳ ý

Phép chiếu được thực hiện bằng cách quay đối tượng quanh trục y theo một góc φ, sau đó quay quanh trục ox một góc ϕ, và cuối cùng là chiếu lên mặt phẳng z=0 với tâm chiếu nằm ở vô tận.

Hình 5.19 Ảnh của phép chiếu Trimetric với các tham số góc xoay thay đổi

Tỷ lệ co trên x và y bằng nhau nên ta có: cos 2 ∅ =cos 2 ∅+sin 2 ∅.sin 2 ∅

1- sin 2 ∅ =1- sin 2 ∅ +sin 2 ∅.sin 2 ∅ sin 2 ∅(sin 2 ∅ − 1) = −sin 2 ∅ sin 2 ∅ = sin 2 φ

= sin 2 ∅ +sin 2 𝜑(1- sin 2 ∅)= sin 2 𝜑 +sin 2 ∅(1- sin 2 𝜑) sin 2 ∅ = 𝑓 𝑧 2 −sin 2 φ

Ta thấy tỷ lệ co thuộc khoảng [0 1], với mỗi f z ta có bốn khả năng của phép chiếu f z = 0 f z =1/2 f z = 1

Hình 5.20 Phép chiếu hình hộp với f=0, f=1/2 và f=1

Là phép chiếu trục lƣợng mà ở đó hệsốco cạnh trên 3 trục là bằng nhau

Góc quay tương ứng là 35.26° và 45°, được ứng dụng rộng rãi trong việc xây dựng các góc quan sát chuẩn cho đối tượng trong các hệ soạn thảo đồ họa Công thức sin 2φ = 1 - 2sin²φ cũng thường được sử dụng trong các tính toán liên quan đến góc quay.

Ví dụ các phép chiếu song song:

Hình 5.21 Ví dụ các phép chiếu song song

Hình 5.22 Phép chiếu với tâm chiếu trên trục oz

Phép chiếu cavalier là phép chiếu xiên đƣợc tạo thành khi các tia chiếu làm thành với mặt phẳng chiếu một góc 45 0

Hệ số co trên các hệtrục toạ độbằng nhau

Vector đơn vị theo trục z được biểu diễn là P=[0 0 1] Khi tia chiếu tạo với mặt phẳng một góc, P được chiếu lên mặt phẳng chiếu Hai tia chiếu P1O và PP2 là kết quả của phép chiếu xiên với góc β so với mặt phẳng chiếu, trong đó P2 là ảnh của P và P1 là điểm dịch chuyển của P, tạo ra tia chiếu song song PP2.

Tia chiếu P1O có thểthu đƣợc từ phép biến đổi P đến điểm [-a-b]

Trong không gian hai chiều dịch chuyển sẽ là:

Trong không gian ba chiều, f là chiều dài của hình chiếu vector đơn vị trục z trên mặt phẳng chiếu, đó chính là hệ số co

0 0 0 1 f = 0, b = 90 0 phép chiếu sẽ trở thành phép chiếu trực giao

Còn với f = 1 kích thước của hình chiếu bằng kích thước của đối tượng

Phép chiếu Cavalier cho phép giá trịcủa a biến đổi một cách tựdo a = 30 0 và 45 0

Phép chiếu xiên với hệ số co tỉ lệ f = 1/2

Với phép chiếu cabinet, giá trị của α có thể thay đổi tuỳ ý Thông thường thì các giá trị hay đƣợc sử dụng là 30 0 và 45 0

Phép chiếu xiên cho phép hiển thị một số mặt của đối tượng với hình dạng thực tế, rất phù hợp để mô tả các đối tượng có hình dạng tròn hoặc bề mặt cong.

Ví dụ về phép chiếu xiên (Oblique Projections)

Hình 5.23 Ví dụ các phép chiếu xiên hình hộp

5.4.4 Phép chiếu phối cảnh (Perspective Projection)

Phép biến đổi mô hình và phép biến đổi hệ trục toạ độ

Trong quá trình làm việc với các đối tượng ba chiều, chúng ta thường cần chuyển đổi giữa các hệ tọa độ khác nhau Việc này bao gồm việc dịch chuyển một đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác trong một hệ tọa độ nhất định Đặc biệt, khi hiển thị đối tượng ba chiều, cần đặt chúng vào hệ tọa độ chung cho toàn cảnh (hệ tọa độ thế giới thực) Sau đó, xác định tia nhìn và thực hiện chuyển đổi từ hệ tọa độ thế giới thực sang hệ tọa độ quan sát, cuối cùng là chuyển từ hệ tọa độ quan sát sang hệ tọa độ thiết bị để hiển thị các đối tượng.

Khi mô hình hóa đối tượng, chúng ta thường sử dụng hệ tọa độ cục bộ để thuận tiện cho quá trình này Sau đó, thông qua các phép biến đổi, chúng ta có thể đặt đối tượng vào cảnh hiển thị Phương pháp này cho phép mô hình hóa theo chủng loại đối tượng mà không cần quá nhiều chi tiết Việc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ tương tự như trong đồ họa hai chiều, yêu cầu xây dựng ma trận biến đổi để khớp các trục tọa độ Đầu tiên, cần thực hiện phép tịnh tiến để hai gốc tọa độ trùng nhau, sau đó là một chuỗi các phép quay để khớp các trục tương ứng Nếu các hệ tọa độ có tỉ lệ đo lường khác nhau, cần thêm một phép biến đổi tỉ lệ để đồng nhất chúng.

Hình 5.27Mô hình hóa và phép biến đổi hệ tọa độ

Để chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ, nếu hệ tọa độ thứ hai có gốc tọa độ tại (x₀, y₀, z₀) và các vector cơ sở như mô tả trong hình 6.15, trước tiên cần thực hiện phép tịnh tiến T(-x₀, -y₀, -z₀) Sau đó, ta xây dựng ma trận quay R dựa trên các vector cơ sở, ma trận này sẽ biến đổi các vector đơn vị u'x, u'y, u'z thành các trục x, y, z tương ứng.

Ma trận của phép biến đổi hệ tọa độ được gọi là tích T.R, có khả năng chuyển đổi hệ tọa độ Descartes này sang một hệ tọa độ Descartes khác, bất kể đó là hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải hay bàn tay trái.

Hình 5.28 Chuyển đổi hệ tọa độ

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5

Chọn một phương án đúng cho các câu hỏi sau

1 Trong 3D toạ độ vector của điểm P(-1,3,6) vậy trong các toạ độ sau toạ độ nào không phải là toạ độ đồng nhất của P:

2 Trong 3D có điểm Q(-4 , 1.6 , -7), đối xứng qua trục ox đƣợc Q‘ là:

3 Trong 3D có điểm M(5.34 , - 31.8 , - 0.3), đối xứng qua mặt xOy đƣợc Q‘ là:

4 Trong 3D có điểm Q(-4 , 1.6 , -7), đối xứng qua trục oz đƣợc Q‘ là:

5 Trong 3D có điểm A(2 , -3 , 1.4) sau khi biến đổi nó cho cao lên 2 lần (theo oy), mỏng đi 1/2 (theo oz) và mặt tiền tăng 3 lần thì thu đƣợc Q‘ là:

6 Trong 3D có điểm A(2.7, -3 , 2.5), quay A xung quanh trục oz một góc 90o Toạ độ mới A‘ sẽ là:

7 Trong 3D có điểm B(-11.5 , -2 , 4.2), quay B xung quanh trục ox một góc -90o Toạ độ mới B‘ sẽ là:

8 Trong 3D có điểm H(2, -12, -4), quay H xung quanh trục oz một góc 60o Toạ độ mới H‘ là:

9 Trong 3D có điểm H(2,-4,6), quay điểm H quanh trục oy một góc 45o sau đó lấy đối xứng qua mặt xOy Điểm H‘ có toạ độ là:

10 Trong 3D có điểm V(2,-4,6), quay điểm V quanh trục ox một góc -45o sau đó lấy đối xứng qua mặt xOy Điểm V‘ có toạ độ là:

11 Trong 3D có điểm L(2,-4,6), quay điểm L quanh trục oz một góc 30o sau đó phóng to gấp đôi Điểm L‘ có toạ độ là:

12 Cho hình kim cương ABCD có các toạ độ là A(5,6,1), B(0,0,0), C(3,2,5) và D(8,2,4) Quay hình kim cương quanh trục oy một góc 900 Toạ độ mới của hình kim cương là:

13 ―Phép ……không phải là phép chiếu‖ Chọn một phương án điền vào chỗ trống

14 Trong các phép sau thì phép nào không phải thuộc phép chiếu trực giao :

15 Hai góc đƣợc dùng phổ biến trong phép chiếu xiên là các góc có :

16 Khi góc chiếu đƣợc chọn để tg φ = 2, kết quả quang cảnh đƣợc gọi là phép chiếu :

[a] Phép chiếu cùng kích thước

[b] Phép chiếu trực giao trục lƣợng học

Phép chiếu trimetric là một loại phép chiếu song song, trong đó các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu Hình chiếu được tạo ra sau khi quay đối tượng sao cho cả ba mặt của đối tượng đều có thể nhìn thấy, thường là mặt phẳng chiếu z=0 Hệ số co trong phép chiếu này cần được xác định chính xác để đảm bảo tính chính xác của hình ảnh.

Phép chiếu Isometric là một loại phép chiếu song song, trong đó các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu Hình chiếu được tạo ra sau khi đối tượng được quay để hiển thị ba mặt của nó, thường là mặt phẳng chiếu z=0 Điều này giúp tạo ra hình ảnh rõ ràng và dễ hiểu cho người xem.

19 Phép chiếu Cabinet là phép chiếu có tỷ lệ co là:

20 Hình sau là phép chiếu:

21 Hình sau là phép chiếu:

22 Hình sau là phép chiếu:

[b] Phối cảnh một tâm chiếu

[d] Phối cảnh hai tâm chiếu

23 Hình sau là phép chiếu:

[a] Phối cảnh một tâm chiếu

[c] Phối cảnh hai tâm chiếu

24 Hình sau là phép chiếu:

[a] Phối cảnh một tâm chiếu

[d] Phối cảnh hai tâm chiếu

25 Hình sau là phép chiếu:

26 Hình sau là phép chiếu:

27 Các phép sau phép nào không phải phép chiếu phối cảnh:

28 Trường hợp φ = 45 o và quang cảnh đạt được gọi là :

[d] Phép chiếu axonometric orthographic projection

29 Trong phép chiếu cavalier, tất cả các đường vuông góc với mặt phẳng chiếu được chiếu với chiều dài:

[a] Ngắn hơn 1/2 chiều dài ban đầu

[b] Dài hơn 1/2 chiều dài ban đầu

[c] Tỉ lệ phụ thuộc vào chiều dài của vật đƣợc chiếu

[d] Chiều dài không thay đổi

30 Khi góc chiếu đƣợc chọn để tgφ = 2, kết quả quang cảnh đƣợc gọi là :

[d] Phép chiếu axonometric orthographic projection

1 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(2, 3, 5); B(2, 0, 5) xác định công thức biến đổi của 1 điểm sau khi quay quanh AB một góc 90 o sau đó quay quanh trục Ox một góc -90 o

2 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng khi thực hiện phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, Sy, Sz) giữ nguyên điểm chốt (x0, y0, z0)

3 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng sau khi thực hiện phép đối xứng qua điểm có tọa độ (x0, y0, z0)

4 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng sau khi thực hiện phép đối xứng qua trục song song với trục Ox, cách trục Oy, Oz một khoảng ty, tz

5 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng sau khi thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng song song với mặt phẳng xOy, cách mặt phẳng xOy một khoảng tz

6 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng khi quay đối tƣợng một góc α quanh trục Oy rồi quay một góc β quanh trục Oz

7 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng sau khi tịnh tiến đối tƣợng theo vector tịnh tiến (tx, ty, tz) rồi quay quanh trục Ox một góc α sau đó quay quanh trục

8 Cho đoạn thẳng AB với điểm A(0, 0 , 0), B(0, 10, 5) Hãy xác định tọa độ mới của đoạn thẳng AB sau khi thực hiện quay một góc 30 0 quanh trục Oy và phép quay một góc 45 0 quanh trục Oz

9 Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong không gian sau khi quay đối tƣợng một góc α quanh trục song song với trục Ox, cách trục Oy, Oz một khoảng ty, tz

10 Cho đoạn thẳng AB với điểm A(0, 0 , 0), B(10, 0, 1) Hãy xác định tọa độ mới của đoạn thẳng AB sau khi quay đoạn thẳng một góc 30 0 quanh trục song song với trục Ox, cách trục Oy, Oz một khoảng t y = 5, t z = 10

11 Cho hình hộp chữ nhật ABCDEFGH với các tọa độ A(0,0,1), B(5,0,1), C(5,3,1), D(0,3,1), E(0,0,0), F(5,0,0), G(5,3,0), H(0,3,0)

Để chuyển hình hộp đã cho thành hình hộp đơn vị, cần tìm ma trận tỉ lệ phù hợp Tiếp theo, thực hiện phép chuyển đổi hình hộp bằng cách quay 1 góc -90 độ quanh trục z, sau đó quay 45 độ quanh trục y.

12 Cho hình hộp chữ nhật ABCDEFGH với các tọa độ A(0,0,1), B(5,0,1), C(5,3,1), D(0,3,1), E(0,0,0), F(5,0,0), G(5,3,0), H(0,3,0) Tìm ma trận biến đổi khi quay hình hộp một góc 45 0 quanh trục đi qua trọng tâm hình hộp và song song với trục

13 a Xây dựng công thức biến đổi của đối tƣợng trong không gian sau khi thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy, Sy) sao cho điểm chốt (x 0 , y 0 , z 0 ) không đổi b Cho hình hộp chữ nhật ABCDEFGH với các tọa độ A(0,0,1), B(5,0,1), C(5,3,1), D(0,3,1), E(0,0,0), F(5,0,0), G(5,3,0), H(0,3,0) Xác định tọa độ mới của hình hộp sau khi thu nhỏ bằng 1/2 kích thước ban đầu sao cho tọa độ trọng tâm hình hộp không đổi

Ánh sáng đơn sắc

Ánh sáng đơn sắc là loại ánh sáng mà chúng ta thấy trên màn hình tivi hoặc màn hình đen trắng, khi mắt không nhận biết được các màu sắc khác như vàng, đỏ hay tím Đặc điểm duy nhất của tia sáng đơn sắc là định lượng, được xác định bởi năng lượng của tia sáng, thể hiện qua cường độ hoặc độ chiếu sáng.

Dưới góc độ cảm nhận về mặt tâm lý thì cường độ của tia sáng chính là độ sáng của vật (brighness)

Sử dụng phổ kế -photometer để đo độ sáng thấp nhất (min) và độ sáng cao nhất (min) của màn hình Và đó là khoảng động

Khoảng cường độ ánh sáng nhận giá trị min là 𝐼 0 , đến mã là 1.0 Làm thế nào để thể hiện đƣợc 256 mức xám khác nhau?

6.1.1 Cường độ sáng và cách tính

Khi hiển thị hình ảnh xám trên màn hình, cường độ ánh sáng sẽ thay đổi theo một thang đo từ 0 đến 1, trong đó 0 đại diện cho màu đen và 1 đại diện cho màu trắng.

Giả sử muốn hiển thị trên 256 mức độ sáng khác nhau , làm thế nào để phân chia khoảng giữa các mức của cường độ sáng

Khoảng thể hiện của cường độ sáng không có tính tuyến tính với mức độ chia Cụ thể, khi chia khoảng từ 0 đến 0.1 thành 128 phần, giá trị tăng cường độ tại mỗi phần không đồng đều và khác biệt rõ rệt so với cùng số thang chia trong khoảng từ 0.9 đến 1.

Sự thay đổi từ 0.1 đến 0.11 tương đương với khoảng từ 0.5 đến 0.55, cho thấy cường độ sáng tăng theo hàm logarit Để đạt được 256 mức độ sáng liên tục, với mức thấp nhất là I0 và mức tối đa là 1, các mức biến đổi tỷ lệ sẽ có giá trị r, có thể được xác định bằng công thức sau:

Với số khoảng phân chia của cường độ sáng tổng quát là n+1 ta có: r=(1/I 0 ) 1/n I j = I 0 (n – j )/n

Các giá trị tương ứng

Giá trị I 0 của màn hình CRT thường dao động từ 1/200 đến 1/40, do độ phản xạ của màn hình phốt pho cho phép cường độ sáng đạt mức tối thiểu.

Tỉ số giữa giá trị lớn nhất và bé nhất của cường độ sáng đặc trưng cho mỗi loại màn hình đƣợc gọi là khoảng biến động

Việc phân chia cường độ sáng trên màn hình CRT rất phức tạp, và quá trình ghi hình lên phim cũng trở nên rắc rối do tính phi tuyến tính giữa màn hình và phim Cường độ ánh sáng trên màn CRT tỷ lệ với số lượng hạt điện tử phát ra từ cathode Nếu giả sử số lượng hạt phát ra tại một thời điểm là N, thì công thức đo cường độ ánh sáng sẽ có dạng nhất định.

I=k 𝑁 𝛾 Với k, γ là các hằng số

Giá trị γ của hầu hết các màn hình CRT dao động từ 2.2 đến 2.6, trong khi số lượng hạt điện tử N tỷ lệ thuận với điện áp V tại mỗi điểm ảnh Do đó, công thức I = k N^γ có thể được diễn đạt lại một cách rõ ràng.

Để xác định cường độ ánh sáng I, bước đầu tiên là tìm giá trị Ij gần nhất thông qua phép làm tròn Giá trị j được xác định sẽ là kết quả cần thiết cho quá trình tiếp theo.

Thay j vào công thức ta có: I= r j I 0

Bước tiếp theo của tiến trình là xây dựng mức điện áp Vj cho điểm ảnh mà cường độ ánh sáng có giá trị tương ứng là I j

Nếu màn hình raster không có bảng mở rộng (look up table) thì giá trị

Vj được xác định tại điểm hiển thị, và nếu không, giá trị của j sẽ được dùng làm chỉ số để tra cứu giá trị tương ứng của V trong bảng.

 Giá trị gama là số mũ của hàm lũy thừa, giá trị đó đối với loại phim nhựa 35mm thiết kế để xem trong phòng tối là 1.5

 Hệ số gama của phim lại không giống với hệ số gama đối với loại màn hình

CRT, loại thiết bị độ sáng phụ thuộc vào ống phóng tia điện tử

Độ sáng trên màn hình CRT tỷ lệ với điện áp theo hàm mũ, với giá trị mũ đạt tới 5/2 Giá trị gamma thực tế của màn hình CRT dao động trong khoảng 2.3 đến 2.6, với giá trị trung bình là 2.5.

Hàm vẽ dưới đây minh họa mối quan hệ không tuyến tính giữa điện áp đầu vào và cường độ sáng trên màn hình CRT, thể hiện một đặc điểm cố hữu của loại màn hình này.

Sự phản hồi tuyến tính của CRT có thể đƣợc bù bởi phần cứng và phép bù này đƣợc gọi là phép hiệu chỉnh gama(gama correction)

Việc sử dụng chỉ số I j trong bảng tra cứu (look-up table - LUT) để xác định cường độ sáng của các điểm ảnh trên màn hình được gọi là phép hiệu chỉnh gamma.

Khi này giá trị của I j được sử dụng chứ không phải Vj để đưa vào bộ đệm làm tươi hay bảng look-up table

Vậy một câu hỏi đặt ra là bao nhiêu khoảng sẽ là đủ cho việc thể hiện một ảnh đen trắng liên tục?

Theo tính toán, hệ số tỉ lệ r=1.01 là ngưỡng phân biệt của mắt Khi r nhỏ hơn 1.01, mắt sẽ không thể phân biệt được sự khác biệt giữa hai cường độ sáng lân cận I j.

I j+1 Và nhƣ vậy số khoảng đủ n đƣợc tính ngƣợc theo công thức r=(1/I 0 ) 1/𝑛 => 1.01=(1/I 0 ) 1/𝑛 n=log 1.01 (1/I 0 )

Với 1/I 0 là khoảng biến động của thiết bị phần cứng

Thiết bị hiển thị Khoảng biến động thông thường Số lượng khoảng biến động n

Giấy phủ in đen trắng 100 465

Hình 6.2 Bảng so sánh khoảng biến động của các thiết bị truy xuất đồ họa

Phương pháp này dựa vào cấu tạo mắt của người cũng như nguyên lý thu nhận ảnh của mắt khi nhìn những vùng nhỏ ở khoảng cách xa

Mắt không thể phân biệt các vật một cách cụ thể, mà chỉ ghi nhận cường độ trung bình của vùng ảnh Phương pháp này được gọi là xấp xỉ bán tông.

Phương pháp này cho phép đạt độ phân giải trong in ảnh báo vào khoảng từ 60-

>80 dpi, còn trong tạp chí và sách cao hơn khoảng từ 110->120dpi

Phương pháp xấp xỉ bán tông hình dung mỗi vùng đơn vị độ phân giải như một ô vuông trắng, được điền bởi các đường tròn đen tùy thuộc vào cường độ sáng trung bình của các điểm ảnh trong ảnh gốc Khi vùng ảnh có màu thẫm, số lượng và kích thước của các đường tròn đen sẽ tăng lên Do đó, kích thước của các đường tròn đen tương ứng với mức độ xám của vùng ảnh gốc.

Lý thuyết màu sắc trong đồ họa

Giác quan của con người có khả năng cảm nhận các vật thể xung quanh thông qua ánh sáng màu, mang lại trải nghiệm phong phú hơn so với những vật chỉ có hai màu đen trắng.

Nghiên cứu ánh sáng màu không chỉ dựa vào các yếu tố vật lý mà còn liên quan đến ba yếu tố lượng tính quan trọng ảnh hưởng đến cảm nhận sinh lý của mắt người Các yếu tố này bao gồm sắc màu (Hue), độ bão hòa (Saturation) và độ sáng (Lightness) của chùm ánh sáng màu phát ra từ vật thể.

 Hue: Sắc màu để chỉ ra sự khác biệt giữa các màu nhƣ xanh,đỏ ,vàng

 Saturation: Chỉ ra mức độ thuần của một màu hay khoảng cách của màu tới điểm có cường độ cân bằng

 Lightness: Mô tả cường độ sáng từ ánh sáng phản xạ nhận được từ đối tượng

Thỉnh thoảng thuật ngữ thứ tƣ cũng đƣợc dùng thay vào vị trí của lightness là Brightness

Trong đồ họa máy tính điều cần thiết là đƣa ra các mẫu đo để so sánh

Hệ thống màu Munsell, được giới thiệu bởi A.H Munsell vào năm 1976, là một trong những hệ thống màu phổ biến đầu tiên Hệ thống này bao gồm một tập hợp các màu chuẩn được sắp xếp trong không gian ba chiều, với ba yếu tố chính là Hue (sắc thái), Lightness (độ sáng) và Saturation (độ bão hòa).

Sắc độ, hay độ giảm màu, là kết quả của việc thêm màu đen vào các màu nguyên chất để làm giảm độ sáng Trong khi đó, tông màu được hình thành từ hai quá trình, bao gồm việc thêm cả màu trắng và màu đen vào các màu nguyên chất.

Nhiều màu sắc khác nhau có thể được tạo ra từ cùng một màu gốc, nhưng chúng có sự khác biệt về độ bão hòa và độ sáng Để tạo ra các màu sắc sử dụng trong nghệ thuật, các sắc tố màu cần được trộn lẫn theo tỷ lệ phù hợp, dựa trên mối quan hệ giữa ba yếu tố của màu sắc theo mô hình của các họa sĩ.

Hình 6.7 Quan hệ ba yếu tố của gam màu họa sĩ

Phương pháp phối màu Munsell của các họa sĩ phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm cảm nhận của người quan sát, độ sáng và kích thước của màu sắc, cũng như ảnh hưởng của các màu sắc xung quanh và ánh sáng môi trường.

Bước sóng giới hạn là bước sóng của màu sắc chủ đạo trong tia sáng, giúp phân biệt các màu sắc theo Hue Độ thuần khiết tương ứng với độ bão hòa của màu, trong khi độ sáng thể hiện tổng cường độ của ánh sáng.

Brightness Đo Dominant Wave Length Excitation purity

6.2.2 Yếu tố vật lý Ánh sáng phụ thuộc vào mức năng lượng được truyền hay bước sóng của ánh sáng Ánh sáng trắng, hay dải sóng mà mắt người có thể cảm nhận được sau khi phân tích qua các lăng kính thành các phổ mầu đi từ tím, chàm, lam, lục, vàng, da cam, đỏ với một dải các bước sóng λ đi từ 400nm-700nm

Tổng năng lượng đặc trưng cho từng loại bước sóng được biểu diễn bằng hàm phân bổ năng lƣợng P(λ)

Khi các vật có kích thước nhỏ và màu sắc khác nhau được đặt gần nhau, mắt người sẽ không thể phân biệt ranh giới giữa các màu, mà thay vào đó sẽ cảm nhận một màu mới, là sự pha trộn của các màu thành phần Nguyên lý pha màu này đã được biết đến từ thời cổ đại, với ba sắc tố màu cơ bản là đỏ, lục và lam (RGB).

Theo lý thuyết 3 màu này một màu bất kỳ đều có thể tạo ra đƣợc từ ba màu cơ bản là đỏ, lục, lam

Hình 6.8 Hàm phân bổ năng lượng phổ P(λ)

 Lam: bước sóng trong khoảng từ 440nm

 Lục: Bước sóng trong khoảng từ 545nm

 Đỏ: Bước sóng trong khoảng từ 580nm

Lý thuyết 3 màu đóng vai trò quan trọng trong đồ họa, giúp chúng ta xác định mọi màu sắc từ ba màu cơ bản Mắt người có khả năng phân biệt hàng trăm ngàn màu sắc khác nhau trong không gian màu.

Khi các màu đứng gần nhau, thì việc phân biệt giữa các màu sẽ ra sao?

Các màu sắc được phân biệt dựa trên bước sóng, với sự khác biệt giữa các màu thường thay đổi từ 10nm Tại điểm cao nhất của phổ, sự chênh lệch này giảm xuống dưới 2nm xung quanh các bước sóng 480nm (màu lam) và 580nm (màu vàng).

Ngoại trừ đỉnh của đồ thị, hầu hết các khoảng phân biệt màu sắc là 4nm Mắt người sẽ cảm nhận màu sắc kém hơn khi chúng nằm trong không gian màu có độ bão hòa thấp, và khi độ bão hòa đạt 0, tất cả màu sắc sẽ chuyển thành trắng.

Khi sắc màu cố định và độ sáng vượt quá đỉnh của phổ sóng khả năng nhìn thấy, mắt có thể phân biệt 23 bước khác nhau Tuy nhiên, xung quanh 575nm, số bước phân biệt chỉ giới hạn ở 16 bước do độ bão hòa.

Lý thuyết ba màu cơ bản rất thú vị vì cho thấy mọi màu sắc đều có thể được tạo ra từ sự kết hợp của ba màu này Tuy nhiên, giá trị âm chỉ ra rằng có những màu sắc không thể hình thành từ các màu cơ bản.

Khi một trong các màu cơ bản được thêm vào mẫu màu, bất kỳ màu nào cũng có thể được tạo ra bằng cách trộn hai màu còn lại với màu đã thêm Giá trị âm trong hình vẽ biểu thị lượng màu đã được bổ sung vào mẫu màu ban đầu.

Giới thiệu về các hệ màu trong màn hình đồ họa

Mô hình màu là một chỉ số kỹ thuật trong hệ tọa độ màu ba chiều, bao gồm các màu thành phần có thể nhìn thấy trong một gam màu đặc trưng.

Mô hình màu có mục đích quy định các chỉ số kỹ thuật cho các loại màu sắc, giúp xác định sự tương thích giữa chúng và các gam màu khác.

Ba mô hình mầu định hướng phần cứng được sử dụng rộng rãi là:

+ RGB: Dùng với các màn hình CRT + YIQ: Trong hệ thống tivi màu băng tần rộng + CYM: Sử dụng cho một số thiết bị in màu

Hệ màu RGB mô tả màu sắc thông qua ba thành phần chính: Đỏ, Xanh lá cây và Xanh dương, trong một mô hình gọi là "không gian màu" Không gian này được hình dung như một khối lập phương với các trục chính tương ứng với ba màu R, G, B.

Hình 6.9 Mô hình không gian màu RGB

Mỗi màu trong không gian RGB được biểu diễn dưới dạng một vector thông qua ba màu cơ bản: Đỏ, Xanh lá, và Xanh dương Các tổ hợp khác nhau của ba màu này tạo ra một màu sắc mới, mang đến sự đa dạng trong việc hiển thị màu sắc.

Trong hình lập phương màu, mỗi màu cơ bản (Đỏ, Xanh lá, Xanh dương) nằm ở góc đối diện với màu bù của nó, cụ thể là Đỏ đối diện với Xanh lam, Xanh lá đối diện với Magenta, và Xanh dương đối diện với Vàng Hai màu bù nhau khi kết hợp sẽ tạo ra màu trắng hoặc xám Giá trị xám nằm trên đường chéo nối hai đỉnh (0,0,0) và (1,1,1) của hình lập phương Thông thường, các trục R, G, B được chuẩn hóa, và khi kết hợp hai màu, màu mới sinh ra có vector bằng tổng của các vector thành phần.

Gam màu trong hệ màu RGB được xác định dựa vào đặc tính phát quang của các chất phốt pho trong màn hình CRT.

Màn hình CRT với hai loại phốt pho khác nhau tạo ra các gam màu khác nhau, và sự biến đổi màu sắc được xác định rõ trong mỗi gam màu của màn hình Để chuyển đổi gam màu từ một CRT này sang CRT khác, chúng ta có thể sử dụng các ma trận chuyển đổi M1 và M2, giúp chuyển đổi từ không gian RGB của từng màn hình sang không gian màu (X, X, Z).

Trong hệ RGB của màn hình, các trọng số tương ứng với các màu được ký hiệu là 𝑋 𝑟, 𝑋 𝑔 và 𝑋 𝑏 Tương tự, Y và Z cũng có các trọng số riêng Để xác định hệ số chọn màu M, chúng ta sử dụng ma trận 3×3 chứa các trọng số này và có thể viết lại công thức như sau:

Sự biến đổi gam màu giữa hai màn hình được mô tả qua công thức M 2 -1 * M 1, trong đó M 1 và M 2 là các ma trận hệ số Điều này có nghĩa là quá trình chuyển đổi từ RGB của màn hình một sang RGB của màn hình hai.

Nếu màu C 1 là gam màu của một hình nhƣng không là gam màu của màn hình hai, màu tương ứng C 2 =M 2 * M 1 sẽ bên ngoài khối lập phương đơn vị

Các sắc độ màu trong mẫu phốt pho RGB luôn có sẵn như thông số kỹ thuật của công nghệ CRT Để đo trực tiếp các giá trị mẫu tọa độ màu, có thể sử dụng thiết bị so màu hoặc thiết bị đo quang phổ để đo P(λ) Sau đó, các giá trị này có thể được chuyển đổi thành tọa độ màu thông qua các phương trình đã được xác định.

𝑦 Y (***) Biểu thị các tọa độ thông qua (X r , Y r ) cho màu đỏ (X g , Y g ) cho màu xanh và (X b ,Y b ) cho màu lam và xác định C r nhƣ sau:

Chúng ta có thể tính cho màu đỏ gốc theo:

Với cách xác định tương tự cho C g và C b phương trình có thể được viết như sau:

Các ẩn số Cr, C g , C b có thể đƣợc tìm bằng hai cách

Để đo độ sáng của màu đỏ và màu lam, có thể sử dụng quang kế chất lượng cao để xác định các thể sáng Y r, Y g và Y b Các thước đo này có thể được kết hợp với các đại lượng y r, y g, y b đã biết để tính toán giá trị chính xác.

Không gian RGB là tiêu chuẩn công nghiệp cho các thao tác đồ họa máy tính, nơi các thao tác màu sắc có thể được tính toán trên nhiều không gian màu khác nhau Tuy nhiên, để hiển thị trên màn hình, tất cả các màu sắc cuối cùng cần được chuyển đổi về không gian RGB, do phần cứng được thiết kế dựa trên mô hình này.

Có thể chuyển đổi qua lại giữa không gian RGB với các không gian màu khác nhƣ CIE, CMY, HSL, HSV

Các thao tác tính toán trên không gian RGB thường đơn giản hơn

Giá trị R, G, B của một màu có sự khác biệt giữa các màn hình, dẫn đến việc màu sắc hiển thị trên một màn hình không nhất thiết phải giống màu sắc đó trên màn hình khác.

Mô tả các màu sắc trong thế giới thực bằng không gian RGB gặp nhiều hạn chế, do không gian này không hoàn toàn phản ánh được cách mà con người cảm nhận màu sắc.

192 con người Hai điểm phân biệt trong không gian RGB, với mắt người có thể hoặc không thể là thể hiện của hai màu khác nhau

Hình 6.10 Mô hình màu CMY

CMY là phần bù tương ứng cho các màu đỏ, lục và lam, được sử dụng như những bộ lọc để loại trừ các màu này từ ánh sáng trắng Do đó, CMY còn được gọi là các phần bù loại trừ của màu gốc.