0 bài giảng đại số tuyến tính Người soạn: Lê Thị Nguyệt 1 Chương 0 tập hợp và ánh xạ Bài 1: tập hợp I. Khái niệm tập hợp. 1.1. Định nghĩa. Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của một phương trình, Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn. Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào đó hợp lại tạo thành một tập hợp. Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳn hạn, khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp họ c, các đối tượng của tập hợp là học sinh của lớp họ c đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các số nguyên. Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a ∈ A(đọc là a thuộc A). Viết a/∈ A(đọ c là a không thuộc A) nghĩa là a không là phần tử của tập A. Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau a) Tập hợp N các số tự nhiên. b) Tập hợp Z các số nguyên c) Tập hợp Q các số hữu tỉ d) Tập hợp R các số thực. 1.2 Cách mô tả tập hợp. Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không. Thường có hai cách 1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp. 2) Mô tả tính chất của tập hợp. 1.3 Tập rỗng. Là tập hợp không có phần tử nào và được ký hiệu là ∅ II. Sự bằng nhau của hai tập hợp. III. Các phép toán trên tập hợp. 3.1 Phép hợp. Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc một trong hai tập A hoặc B, ký hiệu là A ∩B. Như vậy A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B} Tổng quát  i∈I A i = {x|∃i ∈ I : x ∈ A i } 3.2 Phép giao. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử đồng thời thuộc A và B. Ký hiệu là A ∩ B. Như vậy A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B} Tổng quát  i∈I A i = {x|∀i ∈ I,x ∈ A i } 2 3.3 Phép hiệu. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu là A|B.Vậy A|B = {x|x ∈ A và x/∈ B} Nếu B là con của A thì A|B được gọi là phần bù của B trong A. 3.4 Tích đề các. Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập tất cả các cặp (a, b), trong đó a ∈ A, b ∈ B. Ký hiệu là A ×B.Vậy A ×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} Tương tự ta có thể định nghĩa tích đề các của n tập hợp A 1 ,A 2 , , A n là A 1 × A 2 × ×A n = {(a 1 ,a 2 , , a n )|a 1 ∈ A 1 ,a 2 ∈ A 2 , , a n ∈ A n } Nếu A 1 = A 2 = = A n thì ta viết A n thay cho A × A × ×A(n lần). 3.5 Các tính chất. a) A ∪B = B ∪ A b) A ∩B = B ∩ A c) A ∪ A = A d) A ∩A = A e) (A ∪ B) ∩C = A ∪ (B ∩ C) f) (A ∩ B) ∩C = A ∩(B ∩ C) g) A ∪(B ∩C)=(A ∪ B) ∩(A ∪C) h) A ∩(B ∪C)=(A ∩B) ∪(A ∩C) Tính chất phân phối (  α∈I A α )  B =  α∈I (A α  B) (  α∈I A α )  B =  α∈I (A α  B) Quy tắc De Morgan. Cho A α ,α∈ I là các tập con của tập X.Tacó X|  α∈I A α =  α∈I (X|A α ) X|  α∈I A α =  α∈I (X|A α ) 3 Bài 2: ánh xạ I. Các khái niệm cơ bản 1.1 Định nghĩa. Cho X và Y là các tập khác rỗng. Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một phần tử xác định duy nhất y của tập Y . Khi đó phần tử y được gọi là ảnh của của phần tử x qua ánh xạ đã cho. Thông thường, ánh xạ được ký hiệu bằng một chữ. Thuật ngữ "ánh xạ f từ X vào Y mà phần tử x được đặt tương ứng với ảnh y = f(x)” được ký hiệu như sau f : X −→ Y x → y = f(x) Tập hợp X được gọi là tập nguồn hoặc là miền xác định của f. Tập hợp Y được gọi là tập đích của f. Ví dụ: 1) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng f : X −→ Y 1 → a 2 → c 3 → d 4 → b là ánh xạ. 2) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng g : X −→ Y 1 → a 2 → a 3 → d 4 → b là ánh xạ. 3) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng h : X −→ Y 1 → a 2 → a 3 → d 4 → b 4 không là ánh xạ. 4) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, d}. Khi đó tương ứng k : X −→ Y 1 → a 2 → a 3 → d 4 → b là ánh xạ. 5) Cho X = N tập các số tự nhiên, Y = {0, 1}. Quy tắc m xác định bởi m(x)= 1 − (−1) x 2 =  0, nếu x chẵn 1, nếu x lẻ là ánh xạ. 6) Tương ứng n : R −→ Z x → n(x)=[x] là ánh xạ. 1.2 Định nghĩa. Hai ánh xạ f : X −→ Y và f 1 : X 1 −→ Y 1 được gọi là bằng nhau nếu X = X 1 ,Y = Y 1 và với mọi x ∈ X,f(x)=f 1 (x). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ. Tập hợp f(X)={f(x) |x ∈ X} được gọi là ảnh của ánh xạ f và được ký hiệu là Imf. Nếu A là tập con của X thì tập f(A)={f(x)|x ∈ A} được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Nếu y ∈ Y là một phần tử cố định thì tập f −1 (y)={x ∈ X|f(x)=y} được gọi là nghịch ảnh của y bởi ánh xạ f. Nếu B ⊂ Y thì tập hợp f −1 = {x ∈ X|f(x) ∈ B} được gọi là nghịch ảnh của B 1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Đơn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ Y, tập f −1 (y) có không quá một phần tử. Như vậy, f là đơn ánh khi và chỉ khi ∀x 1 ,x 2 ∈ X, f(x 1 )=f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 5 hay x 1 = x 2 ⇒ f(x 1 ) = f(x 2 ) Toàn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh ếu với mọi y ∈ Y, tập hợp f −1 (y) = ∅ . Tức là ∀y ∈ Y,∃x ∈ X : f(x)=y. Như vậy f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = Y. Song ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là nếu f đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh. Như vậy f là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f(x)=y. Câu hỏi: Trong các ánh xạ f,g,k,m,n ở trên ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? II. Tích các ánh xạ. 2.1 Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X −→ Y,g : Y −→ Z. Tích của hai ánh xạ f và g là ánh xạ h : x −→ Z được định nghĩa theo quy tắc sau ∀x ∈ X,h(x)=g(f(x)). Tích của hai ánh xạ f và g được ký hiệu là g o f hoặc gf . Như vậy ta có ∀x ∈ X, (g o f)(x)=g(f(x)). Ví dụ: Cho f : R −→ R; g : R −→ R được xác định bởi f(x)=x 2 ,g(x)=x 2 +2x+8. Khi đó (g o f)(x)=g(f(x)) = g(x 2 )=x 4 +2x 2 +8. và (f o g)(x)=f(g(x)) = f(x 2 +2x +8)=(x 2 +2x +8) 2 . Như vậy, nói chung g o f = f o g. 2.2 Định lý. Cho các ánh xạ f : X −→ Y,g : Y −→ Z, h : Z −→ W. Khi đó h o (g o f)=(h o g) o f 2.3 Định lý. Cho f : X −→ Y,g : Y −→ Z là các ánh xạ. Khi đó a) Nếu f và g là đơn ánh thì g o f là đơn ánh. b) Nếu f và g là toàn ánh thì g o f là toàn ánh. c) Nếu f và g là song ánh thì g o f là song ánh. III. ánh xạ ngược. 3.1 Định nghĩa. Cho f : X −→ Y là song ánh. Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất một phần tử x sao cho f(x)=y. ánh xạ f −1 : Y −→ X đặt tương ứng mỗi phần tử y với nghịch ảnh x của nó bởi f được gọi là ánh xạ ngược của f. Như vậy ta có ∀y ∈ Y,f −1 (y)=x ⇔ f(x)=y. Ta thấy rằng ánh xạ ngược f −1 của song ánh f cũng là song ánh và ta có 3.2 Mệnh đề. Nếu f : X −→ Y là song ánh thì a)(f −1 ) −1 = f, b) f o f −1 =1 Y ,f −1 o f =1 X . 3.3 Định lý. Cho ánh xạ f : X −→ Y . Nếu tồn tại ánh xạ g : Y −→ X sao cho g o f =1 X ,f o g =1 Y thì f là song ánh và g = f −1 . 3.4 Định lý. Nếu f : X −→ Y,g : Y −→ Z là song ánh thì g o f là song ánh và (g o f) −1 = f −1 g −1 . 6 bài tập Bài 1: Cho các ánh xạ f : A −→ B sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh a) A = R,B = R,f(x)=x +7; b) A = R,B = R,f(x)=x 2 +2x − 3; c) A =[4, 9],B = [21, 96],f(x)=x 2 +2x − 3; d) A = R,B =(0, +∞),f(x)=e x+1 ; e) A = N,B = N,f(x)=x(x +1). Bài 2: a)Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x)= 2x 1+x 2 Nó có đơn ánh, toàn ánh? Tìm ảnh f(R). b) Cho ánh xạ g : R/{0}−→R xác định bởi x → 1 x . Tìm ảnh f o g. Bài 3: Xét hai ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x)=|x|; g :[0, +∞) −→ R xác định bởi x → √ x Hãy so sánh f o g và g o f. Bài 4: Cho hai tập E và F và ánh xạ f : E −→ F . A và B là hai tập con của A. Chứng minh a) A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B); b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩f(B); c) f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B); d) Nếu f là đơn ánh thì f(A ∩ B)=f(A) ∩ f(B). 7 Chương I Cấu trúc đại số - số phức Bài 1: luật hợp thành trong trên một tập hợp I. Khái niệm luật hợp thành trong. 1.2 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E, là một quy luật khi tác động lên hai phần tử a và b của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của E. Theo nghĩa ánh xạ, luật hợp thành trong trên tập E là một ánh xạ từ E tới E. 1.2 Tính chất của một luật hợp thành trong. Một luật hợp thành trong (∗) trên tập E có thể có một số tính chất sau đây. 1. Tính kết hợp. Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính kết hợp nếu ∀a, b, c ∈ E : a ∗(b ∗c)=(a ∗ b) ∗ c Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính kết hợp. 2. Tính giao hoán: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính giao hoán nếu ∀a, b : a ∗b = b ∗ a. Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính giao hoán. 3) Phần tử trung hòa: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính trung hòa là e nếu e ∈ E và ∀a ∈ E : a ∗e = e ∗ a = a. Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có phần tử trung hòa là 0. 4) Phần tử đối xứng: Phần tứ a  ∈ E được gọi là phần tử đối của a ∈ E nếu a ∗ a  = a  ∗ a = e. Vd: Đối với phép cộng trên tập hợp Z, Q, R, mọi phần tử a đều có phần tử đối là −a. 1.3. Khái niệm về cấu trúc đại số. Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong nhãng đối tượng toán học được gọi là cấu trúc đại số. Sau đây ta sẽ nghiên cứu các cấu trúc nhóm, vành, trường và đặc biệt là trường số phức. 8 Bài 2: các cấu trúc đại số I. Cấu trúc Nhóm. 1.1 Định nghĩa: Một tập G không rỗng được trang bị một luật hợp thành trong (∗) được ký hiệu là (G, ∗). Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất sau 1) Phép toán (∗) có tính kết hợp. 2) Phép toán (∗) có phần tử trung hòa e. 3) Mội phần tử của G đều có phần tử đối. Ba tính chất trên được gọi là ba tiên đề của nhóm. Nếu có thêm tính chất thứ tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Ví dụ: Các cặp (Z, +), (Q, +), (R, +) là những nhóm giao hoán. 1.2 Một số tính chất của nhóm. Ta có các tính chất sau đây: 1) Phần tử trung hòa e là duy nhất. 2) Phần tử đối của một phần tử a bất kỳ là duy nhất. 3) Có quy tắc giản ước a ∗ x = a ∗y ⇒ x = y. II. Cấu trúc vành. 2.1 Định nghĩa: Tập A khác rỗng được trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất gọi là phép cộng, viết là +, phép toán thứ hai gọi là nhân, viết là Bộ ba (A, +,.) được gọi là một vành nếu thỏa mãn các tính chất sau đây. 1) Cặp (A, +) là một nhóm giao hoán. 2) Phép nhân có tính chất kết hợp. 3) Phép nhân có tính phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b + c)=a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a Nếu phép nhân có tính giao hoán thì ta nói vành A có tính chất giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1 thì vành A được gọi là vành có đơn vị. Ví dụ: Các vành (Z, +,.), (Q, +,.), (R, +,.) là các vành có đơn vị. 2.3 Vành nguyên Định nghĩa: Vành (A, +,.) được gọi là vành nguyên nếu có tính chất a.b =0⇒ a =0hoặc b =0. Ví dụ: Các vành (Z, +,.), (Q, +,.), (R, +,.) là các vành nguyên. Vậy trong vành nguyên ta có: Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một trong hai nhân tử phải bằng không. III. Cấu trúc trường. 3.1 Định nghĩa: Cho K là một tập khác rỗng được trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.).Tanóibộba(K, +,.) hay K là một trường nếu thỏa mãn cá tính chất sau: 1) (K,+,.) là một vành giao hoán có đơn vị. 2) Với mọi a ∈ K, a =0(phần tử trung hòa của phép +), tồn tại phần tử a  sao cho a.a  = a  .a =1, phần tử a  được gọi là phần tử nghịch đảo của a. 3.2. Một số tính chất 9 1) Trường là một vành nguyên. 2) K là một trường thì K{0} là một nhóm đối với phép nhân. Bài 3: số phức 1. Tính chất của tập hợp số thực: Trên tập hợp R các số thực ta có các phép toán cộng hai số thực và nhân hai số thực. Các tính chất này có tính chất cơ bản sau đây. Với mọi số thực a 1 ,a 2 ,a 3 ∈ R, 1) a 1 + a 2 = a 2 + a 1 , 2) (a 1 + a 2 )+a 3 = a 1 +(a 2 + a 3 ), 3) a 1 +0=a 1 , 4) a 1 +(−a 1 )=0, 5) a 1 a 2 = a 2 a 1 , 6) (a 1 a 2 )a 3 = a 1 (a 2 a 3 ), 7) a 1 .1=a 1 , 8) a 1 . 1 a 1 =1, (a 1 =0), 9) a 1 (a 2 + a 3 )=a 1 a 2 + a 1 a 3 . Các tính chất 1) −9) của các phép toán cộng và nhân trên R được gọi là tính chất trường của R và tập hợp R được gọi là trường số thực. 2. Xây dựng trường số phức. Nhiều bài toán trong toán học dẫn đến các phương trình đại số. Để giải quyết các bài toán này, một trong những yêu cầu được đặt ra là mở rộng các hệ thống số để cho các phương trình đó có nghiệm. Trong tập hợp N các số tự nhiên, phương trình x +3=0không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta đã mở rộng tập hợp N ra tập hợp Z. Trong tập Z, phương trình 3x =1không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập Z ra tập hợp Q. Trong tập hợp Q, phương trình x 2 =3không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập Q ra rập R. Khi mở rộng hệ thống số, hệ thống mới giữ nguyên các tính chất của hệ thống trước đó và có thêm các tính chất thuận tiện cho việc tính toán. Ta thấy rằng, phương trình x 2 +1=0 không có nghiệm trong tập hợp các số thực R. Vì vậy cần thiết phải mở rộng hệ thống số R ra hệ thống số mới, được gọi là số phức mà phương trình x 2 +1=0có nghiệm trong tập hợp các số phức. Ký hiệu C = R 2 = {(x, y)/x, y ∈ R}, mỗi phần tử của C được gọi là một số phức. Phép cộng và nhân số phức. Cho hai số phức z 1 =(x 1 ,y 1 ),z 2 =(x 2 ,y 2 ) ∈ C. Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân số phức như sau. z 1 + z 2 =(x 1 + x 2 ,y 1 + y 2 ) z 1 z 2 =(x 1 x 2 − y 1 y 2 ,x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Đặc biệt, (x 1 , 0)+(x 2 , 0)=(x 1 + x 2 , 0), (x 1 , 0)(x 2 , 0) = (x 1 x 2 , 0) Như vậy khi cộng và nhân các số phức dạng (x, 0) ta được một số phức dạng (x, 0). Vì vậy có thể đồng nhất số phức dạng (x, 0) với số thực x. Tức là x =(x, 0). [...]... của số phức z, số thực x được gọi là phần thực của số phức z và được ký hiệu là Rez, số thực y được gọi là phần ảo của số phức z và được ký hiệu là Imz Dùng công thức (∗), phép cộng và nhân số phức được viết lại như sau (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ), (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2 ) + i(x1y2 + x2 y1) Dễ dàng chứng minh được rằng phép cộng và phép nhân số phức có đầy đủ các tính. .. tập số thực R được xem là tập con của tập hợp các số phức C Ký hiệu i = (0, 1) ∈ C, ta có i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Như vậy i2 + 1 = 0, nên i là nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0 Số phức i được gọi là đơn vị ảo của C Với cách đồng nhất x = (x, 0), một số phức z = (x, y) được viết dưới dạng z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy(∗) Công thức (∗) được gọi là dạng đại số. .. thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại Hệ quả: Cho hệ véc tơ a1, a2, , an trong không gian véc tơ V a) Nếu trong các véc tơ đó có một véc tơ không thì hẹ là phụ thuộc tuyến tính b) Nếu có một bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính c) Nếu hệ a1, a2, , an độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó cũng độc lập tuyến tính 26 Ví... dụ: ánh xạ tuyến tính f : R2 −→ R3 xác định bởi f (x1 , x2) = (2x1 , x1 −x2, x1 +x2) 35 có kerf = (0, 0) nên f là đơn cấu 2.3 Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ V , trong đó V, V là các không gian véc tơ hữu hạn chiều Số chiều của Imf được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f , số chiều của kerf được gọi là khuyết của f Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa hạng, số khuyết và số chiều của không... tuyến tính của các hàng Ai = (ai1 , ai2, , ain); 1 i m nếu có các số α1 , α2, , αm sao cho A = α1 A1 + + αm Am hay aj = α1 a1j + α2 a2j + + αm amj , j = 1, 2, , n - Các hàng A1, A2 , , Am được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực α1 , α2 , , αm không đồng thời bằng không sao cho α1 A1 + α2 A2 + + αn An = 0(∗) - Các hàng A1, A2, , An không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính. .. Định nghĩa: Hệ véc tơ a1, a2, , an được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số α1 , α2, , αn ∈ K không đồng thời bằng không sao cho tổ hợp tuyến tính (1) bằng θ Tức là ta có α1 a1 + α2 a2 + + αn an = θ (2) Hệ véc tơ a1, a2 , , an không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính Như vậy hệ véc tơ a1 , a2, , an độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (2) chỉ xảy ra khi α1 = α2 = = αn = 0 1.3... 6 = 1 −2 +3 =0 8 9 7 9 7 8 7 8 9 II Tính chất của định thức Tính chất 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n và Ac là chuyển vị của A thì |A| = |Ac | Từ tính chất này ta tháy rằng, các tính chất của định thức đúng với hàng thì sẽ đúng với cột và ngược lại Do đó từ đây về sau ta chỉ chứng minh các tính chất của định thức đối với hàng và kết quả đó cũng đúng đối với cột Tính chất 2 Nếu ma trận vuông cấp n A... chiều nếu tồn tại một cở sở trong V gồm một số hữu hạn véc tơ Số véc tơ trong một cơ sở của V được gọi là số chiều của V 2.10 Định nghĩa: Không gian véc tơ V được gọi là vô hạn chiều nếu với mọi số nguyên dương n tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính Khi đó ta ký hiệu dim V = +∞ 2.11 Định lý: Nếu V là không gian véc tơ n chiều thì mọi hệ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V Chứng minh: Giả... độc lập tuyến tính trong V và x ∈ V Vì số chiều của V là n nên V có một cơ sở gồm n véc tơ, do đó theo Định lý 2.6, hệ véc tơ x, e1, e2, , en phụ thuộc tuyến tính Như vậy tồn tại các số α0 , α1, , αn không đồng thời bằng không sao cho α0x + α1 e1 + + αn en = θ (6) Vì e1 , e2, , en độc lập tuyến tính nên α0 = 0(?) Suy ra αn α1 α2 − − x=− − α0 α0 α0 28 Như vậy x được biểu thị tuyến tính qua các véc... Số chiều của không gian véc tơ L(a1 , a2, , am) bằng hạng của hệ véc tơ a1, a2, , am Chứng minh: Giả sử có k véc tơ độc lập tuyến tính là a1, a2, , ak và mỗi véc tơ của hệ véc tơ a1, a2, , am đều được biểu thị tuyến tính qua hệ véc tơ a1, a2, , ak Khi đó mỗi ai với i = k = 1, , m là tổ hợp tuyến tính của a1, a2 , , ak Do đó mỗi tổ hợp tuyến tính của các véc tơ a1, a2, , am cũng là tổ hợp tuyến tính . Trên tập hợp R các số thực ta có các phép toán cộng hai số thực và nhân hai số thực. Các tính chất này có tính chất cơ bản sau đây. Với mọi số thực a 1 ,a 2 ,a 3 ∈. các số thực R. Vì vậy cần thiết phải mở rộng hệ thống số R ra hệ thống số mới, được gọi là số phức mà phương trình x 2 +1=0có nghiệm trong tập hợp các số