TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT F 7 G GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG ĐỖ NGUYÊN SƠN 2000 Đại Số Đại Cương - 2 - MỤC LỤC mục lục 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 7 1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ 7 1.1 Tập hợp 7 1.2 Ánh xạ 8 A, B ⊂ X ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ∩⊂∩ ∪=∪ )()()( )()()( BfAfBAf BfAfBAf 8 U, V ⊂ Y ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∩=∩ ∪=∪ −−− −−− )()()( )()()( 111 111 VfUfVUf VfUfVUf .9 1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được 9 1.4 Quan hệ hai ngôi. .9 1.5 Quan hệ tương đương. .10 1.6 Mệnh đề .11 1.7 Quan hệ thứ tự .12 2. Cấu trúc đại số .13 2.1 Phép tóan đại số .13 2.2 Các tính chất của phép toán đại số .14 2.3 Các phần tử đặc biệt 15 2.4 Cấu trúc đại số .15 2.5 Các cấu trúc đại số cơ bản .16 BÀI TẬP 18 CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9 21 1. Số tự nhiên .21 1.1 Xây dựng số tự nhiên .21 1.2 Phép cộng trên ∠ .21 1.3 Đònh lí .22 1.4 Phép nhân trên ∠ .23 1.5 Đònh lí 23 1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên .23 1.7 Đònh lí: 23 2. Vành số nguyên .24 2.1 Xây dựng tập số nguyên 24 2.2 Phép cộng 25 2.3 Phép nhân .25 2.4 Đònh lí .26 2.5 Quan hệ thứ tự trên 9 27 3. Sự chia hết trên tập số nguyên .27 3.1 Đònh nghóa .27 3.2 Tính chất ( a, b, c, d là các số nguyên) 27 3.3 Đònh lí ( phép chia Euclide) 28 3.4 Ước chung lớn nhất (ƯCLN) .28 3.5 Đònh líù 28 3.6 Hệ quả .29 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 3 - 3.7 Đònh líù 29 3.8 Đònh lí 30 3.9 Thuật toán tìm ƯCLN của hai số .30 4. Số nguyên tố cùng nhau. 30 4.1 Đònh nghóa .30 4.2 Đònh lí (Bezout) 31 4.3 Đònh lí (Gauss) .31 4.4 Đònh lí .31 5 Bội chung nhỏ nhất (BCNN) .32 5.1 Đònh nghóa : .32 5.2 Mệnh đề .32 5.3 Mệnh đề 33 6. Số nguyên tố .33 6.1 Đònh nghóa 33 6.2 Đònh lí 33 6.3 Đònh lí 33 6.4 Đònh lí .34 6.5 Đònh líù .34 6.6 Đònh lí .34 6.7 Sàng Eratosthène .34 6.8 Đònh lí ( cơ bản của số học) 35 6.9 Dạng phân tích chính tắc .36 6.10 Đònh lí .36 6.11 Cách tìm ƯCLN và BCNN 36 7 Đồng dư .37 7.1 Đònh nghóa 37 7.2 Lớp đồng dư 37 7.3 Tính chất 38 BÀI TẬP 39 CHƯƠNG 3: NHÓM .42 1 Nửa nhóm - Vò nhóm 42 1.1 Đònh nghóa .42 1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm 42 1.3 Đònh lí 42 1.4 Đònh lí 43 2 Nhóm .44 2.1 Đònh nghóa .44 2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm .45 3. Nhóm con 47 3.1 Đònh nghóa 47 3.2 Đònh lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con) 47 3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhóm .48 4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương 49 4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác đònh bởi một nhóm con .49 4.2 Mệnh đề .50 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 4 - 4.3 Đònh lí (Lagrange) .51 4.4 Nhóm con chuẩn tắc 51 4.5 Nhóm thương .52 5. Đồng cấu nhóm 54 5.1 Đònh nghóa .54 5.2 Ảnh và nhân của đồng cấu .55 5.3 Các tính chất của đồng cấu nhóm .55 5.4 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu nhóm) .57 5.5 Hệ quả .58 6. Nhóm cyclic .58 6.1 Đònh nghóa .58 6.2 Cấp của một phần tử trong nhóm .58 6.3 Đònh lí ( phân loại nhóm tuần hoàn) 59 7. Tác động của một nhóm lên một tập hợp .59 7.1 Đònh nghóa: 59 7.2 Nhóm con ổn đònh của một phần tử 60 7.3 Quỹ đạo của một phần tử 60 8. Nhóm đối xứng 60 8.1 Đònh nghóa .60 8.2 Đònh lí (Ceyley) 61 8.3 Nhóm đối xứng S n 61 8.4 r - chu trình 61 8.5 Tính chất .62 8.6 Đònh lí .62 8.7 Đònh liù .62 8.8 Hệ quả .63 BÀI TẬP 65 CHƯƠNG 4: VÀNH VÀ TRƯỜNG 70 1. Vành và trường 70 1.1 Đònh nghóa 70 1.2 Các tính chất .71 2. Vành con – Trường con 72 2.1 Đònh nghóa .72 2.2 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một vành con) .73 2.3 Đònh lí (tiêu chuẩn nhận biết một trường con) 73 3. Ideal - Vành thương .74 3.1 Đònh nghóa .74 3. 2 Ideal chính .75 3. 3 Vành thương 75 4. Đồng cấu vành .76 4.1 Đònh nghóa .76 4.2 Các tính chất của đồng cấu vành .77 4.3 Đònh lí ( cơ bản của đồng cấu vành) .78 4.4 Hệ quả 78 4.5 Đặc số của vành .78 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 5 - 5. Các đònh lí nhúng đẳng cấu .78 5.1 Đònh lí (nhúng đẳng cấu một vò nhóm) 78 5.2 Đònh lí ( nhúng đẳng cấu một vành nguyên) .80 6. Số học trên vành nguyên - Vành chính - Vành Euclide - Vành Gauss 82 6.1 Các đònh nghóa 82 6.2 Các tính chất .83 6.3 Vành chính .84 6.4 Đònh líù .84 6.5 Đònh lí 85 6.6 Vành Euclide 86 6.7 Đònh lí 86 6.8 Thuật tóan tìm ƯCLN 86 6.9 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa) .87 6.10 Đònh lí 88 6.11 Đònh lí 89 BÀI TẬP 91 CHƯƠNG 5: VÀNH ĐA THỨC .96 1 Vành đa thức một biến .96 1.1 Đònh nghóa 96 1.2 Đònh lí .97 1.3 Đònh lí 97 1.4 Đònh lí 98 1.5 Không điểm của đa thức .99 1.6 Đònh lí 100 1.7 Cấp của không điểm 100 1.8 Đònh lí 100 1.9 Đònh lí 100 1.10 Đònh lí 101 1.11 Hàm đa thức 101 1.12 Đònh lí 102 1.13 Đònh lí .103 2. Vành đa thức nhiều biến .104 2.1 Đònh nghóa .104 2.2 Cách sắp xếp đa thức theo lối tự điển .105 2.3 Đònh lí .105 2.4 Đa thức đối xứng 106 2.5 Đònh lí .106 2.6 Đònh lí .107 3. Các đa thức trên trường số 108 3.1 Đònh lí (d' Alermbert) .108 3.2 Đònh lí 108 3.3 Đònh lí ( tiêu chuẩn Eisenstein) 109 BÀI TẬP 110 PHỤ LỤC 112 1. Trường số thực 112 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 6 - 1.1 Lát cắt hữu tỉ 112 1.2 Các quan hệ trên 3 .112 1.3 Phép cộng .113 1.4 Phép nhân .113 2. Trường số phức 113 2.1 Xây dựng số phức .113 2.2 Đònh lí (d' Alermbert) .115 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 7 - CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ. 1.1 Tập hợp. • Tập hợp là một khái niệm ban đầu. Tập hợp được mô tả như một tòan thể nào đó bao gồm những đối tượng nào đó có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất đònh. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Ta thường kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái A, B, X, Y còn các phần tử của chúng bằng các chữ cái nhỏ a, b, x, y… Có hai cách để xác đònh một tập hợp, một là liệt kê ra tất cả các phần tử của nó, A = {a 1 ,a 2 ,…a n }; hai là miêu tả đặc tính các phần tử tạo nên tập hợp, X = {x : x có tính chất E }. Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta viết a A. Nếu a không là phần tử của tập hợp A thì ta viết a ∈ ∉ A. Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là ∅ . Ví dụ, các tập hợp số mà ta đã quen biết : tập các số tự nhiên (không có số 0) ∠ = {1, 2, 3, …, n,…}; tập số tự nhiên (với số 0), ∠ 0 = {0,1, 2, …, n,…}; tập các số nguyên 9 = {0, ± 1, ± 2,…, n,…}; tập các số hữu tỉ Θ = { ± n m : m ∈ 9, n ∈ ∠}; tập các số thực 3; tập các số phức ∀ = {a + bi : a,b ∈ 3}. • Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp B thì ta nói A nằm trong B, hay B chứa A, hay A là tập con của B , và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B A. ⊃ trong các tập hợp A và được kí hiệu là B = A VÍ DỤ: ∪ [0, 1 – • Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp đã cho. Hợp của hai tập hợp được kí hiệu là A ∪ B. Hợp của họ các tập hợp {A } là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một α α ∪ α α ∞ • = 1n n 1 ] = [0, 1) ợ ệu là A B. • Giao của họ các tập hợp {A } là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử đồng ïc kí hiệu là B = • Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử đồng thời thuộc tập hợp A và tập hợp B. Giao của hai tập hợp đư c kí hi ∩ α α ∩ A α . thời thuộc vào mọi tập hợp A α và đươ • VÍ DỤ: = ∩ 1n [– ∞ n , 1 n ] = {0} 1 B A A • Hợp và giao các tập hợp có các tính chất 1) A = B ∪ ∩ B = B ∩ A (Giao hóa ∪ n) 2) A (B C) = (A B) C A ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Kết hợp) Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 8 - 3) A A ) = (A A ) A ∩ ( α α α ∪ α ∪ ∩ α ∪ ( ∩ A ) = α α ∩ (A A ) (Phân phối) tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của tập hợp mà không phải là phần tử của tập hợp B. Hiệu của hai tập hợp được kí hiệu là A A và B là tập hợp (A – B) (B – A). Hiệu đối ∪ α • Hiệu của hai A \ B hay A – B Hiệu đối xứng của hai tập hợp• ∪ xứng của hai tập hợp được kí hiệu là A ∆ B. Rõ ràng rằng A ∆ B = B ∆ A. • Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm mọi cặp (x,y) ở đây x ∈ A và y ∈ B, và được kí hiệu là A × B. Tích D sca tes của ï các tập hợp {A } là một tập hợp gồm các họ e r ho α I.∈α (a α ) I.∈α , với a α ∈ A α với mọi α ∈ I, và được kí hiệu là ∏ ∈α I A α . • Nếu B là tập con của tập h ïp A thì A – B được go là ph àn bơ ïi a ù của tập hợp B đối với tập hợp A và được kí hiệu là C B. Đối với phần bù ta có luật đối ngẫu A ) = CA ) C A C( α ∪ α α ∩ ( α ( α ∩ A ) = CA ). α α ∪ ( α 1.2 Ánh xạ • Cho hai tập hợp X và Y. Một ánh xạ từ X vào Y là một qui luật f nào đó cho tương ứng một phần tử x ∈ X với duy nhất một phần tử y ∈ Y . X được gọi là tập nguồn hay miền xác đònh còn Y là tập đích hay miền giá trò. Phần tử y được gọi là ïo ø Y. Tập hợp f : x ủa tập hợp U qua ánh xạ f – X ( ảnh của x, còn x được gọi là ta ảnh của y qua ánh xạ f, khi đó ta viết y = f(x). Để chỉ một ánh xa từ X vào Y thường dùng kí hiệu f : X → Y, x a y = f(x) Cho ánh xạ f : X Y và U, V lần lượt là các tập con của X va • (U → ) = {f(x) ∈ U} được gọi là ảnh c , còn tập hợp f 1 (V) = {x ∈ : f x) ∈ V } được gọi là nghòch ảnh của tập hợp V. • Ánh xạ f U :U Y, xác đònh bởi f → U (x) = f(x) với mọi x ∈ U, được gọi là hạn . Ánh xạ id X : X X, id X (x) = x, được gọi là ánh xạ ⊂ X chế của ánh xạ f trên U đồng nhất trên X. → • Ta có các tính chất sau ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ∩⊂∩ ∪=∪ )B(f)A(f)BA(f )B(f)A(f)BA(f A, B Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 9 - U, V ⊂ Y ⇒ fUV fU fV fUV fU f −−− −−− ∪= ∪ ⎧ ⎨ ⎩ 111 1 1 ()()() ()( V ∩= ∩ 1 )() ) CHÚ Ý : Đẳng thức f(A ∩ B) = f(A ∩ f(B) nói chung không đúng. Chẳng hạn, xét ánh xạ f : 3 → 3 , f(x) = sinx; và A = [0, 4 3π ], B 2 π , 2 3π = [ ]. 1 2 • Hai ánh xạ f 1 : X 1 → Y 1 và f 2 : X 2 → Y 2 được gọi là bằng nhau nếu X 1 = X 2 và f 1 (x) = f 2 (x) với mọi x ∈ X 1 , khi đó ta viết f = f . • Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z . Hợp của f với g, ký hiệu là gof, là ánh xạ từ X vào Z, được xác đònh bởi (gof)(x) = g(f(x)). Nếu h : Z → T là một ánh xạ khác thì ta có ho(gof) = (hog)o f. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử khác nhau trong • X là hai phần tử khác nhau trong Y. Ánh xạ f được gọi là tòan ánh nếu f(X) = Y, tức là đối với mỗi phần tử y ∈ Y tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f(x). Một ánh xạ vừa đơn ánh vừa tòan ánh được gọi là song ánh. • Nếu f : X → Y là một song ánh thì đối với mỗi y thuộc Y có duy nhất một x thuộc X sao cho y = f(x). Điều này cho phép xác đònh một ánh xạ f –1 từ Y vào với f –1 (y) := x nếu f(x) = y. Ánh xạ f –1 được X gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f o f –1 = id Y . Ta cũng có thể dễ kiểm . Hiển nhiên rằng f –1 o f = id X và f tra rằng, nếu f : X → Y, g : Y → Z là các song ánh thì f –1 : Y → X, (g o f) : X → Z cũng là các song ánh và (g o f) –1 = f –1 o g –1 . 1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được Nếu có một song ánh f : X → Y từ tập hợp X vào tập hợp Y thì ta nói X và Y có cùng lực lượng. Tập hợp X gọi là đếm được nếu nó cùng lực lượng với tập hợp các ố tự nhiên ∠. Nói cách khác, tập hợp đếm được là tập hợp mà các phần tử của nó s có thể đánh số thành dãy vô hạn x 1 , x 2 , …, x n ,…. Một tập hợp X gọi là hữu hạn nếu nó cùng lực lượng với tập hợp {n ∈ ∠:1 ≤ n ≤ k o } (với k o là một số tự nhiên nào đó). Tập hợp không hữu hạn gọi là vô hạn. • VÍ DỤ:Tập hợp các số nguyên có cùng lực lượng với tập số tự nhiên vì ta có song ánh f : 9 → ∠, được xác đònh bởi f(n) = 2n +1 nếu n 0, và f(n) = 2 ≥ n nếu n < 0. 1.4 Quan hệ hai ngôi. • Quan hệ (hai ngôi) trên tập l ø moX a ät tập con R của X × X. Nếu cặp phần tử (x, à viết x R y. co a y) ∈ R thì ta nói x có quan hệ R vơi y, v M hệ R trên tập X được gọi là ù tính ch át• ột quan Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 10 - 1) phản xạ nếu x R x, x ∀ ∈ X ùng nếu x R y y R x. x R y và y R z x R z. ûn xạ, không đối xứng, phả 1.5 Quan hệ tương đương. 2) đối xư ⇒ 3) phản xứng nếu x R y và y R x ⇒ x = y. 4) bắc cầu nếu ⇒ • VÍ DỤ: a) Quan hệ bé hơn '' ≤ '' thông thường trên tập ∠ là pha n xứng, bắc cầu. b) Quan hệ vuông góc trong tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng là đối xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu. hệ tương đương nếu nó có các tính chất: ba Cho R là một quan hệ tương đương trên X. Đối với mỗi x thuộc X, tập hợp con R y o ] oặc • Quan hệ R trên tập X được gọi là quan phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Người ta thường kí hiệu quan hệ tương đương R èng dấu '' ~ '' và đọc '' a ~ b'' là a tương đương với b. • { y ∈ X : x } của X được gọi là một lớp tương đương của x (modulo R) và được kí hiệu là [x] , h ặc [x , h R x hoặc ∧ x . Mỗi phần tử của [x] được gọi là một đại diện của [x , R ] R . • Tập hợp R X := { [x] : x ∈ X } được gọi là tập thương của X đối với quan hệ tương đương R . Ánh xạ π : X → R X , π (x x], là một ) = [ tòan ánh và được gọi ø tòan cấu chính tắc. uan hệ bằng nhau trong một tập hợp bất kì X là một quan hệ tương la VÍ DỤ: a) Q đương. Với mỗi x thuộc X, ta có [x] = {x} và R X = {{x}, x ∈ X}. b) Với mỗi n ∈ ∠, quan hệ đồng dư modulo n trên 9, kí hiệu x ≡ y(mod n) và đọc là '' x là đồng dư với y modulo n '', được xác đònh bởi: y( . t g ơng của x được gọi là lớp đồng dư k i là x ≡ mod n) ⇔ x – y chia hết cho n là một quan hệ tương đương Lớp ươn đư x = {x + kn, k ∈ modulo n của x , và thường được í h ệu 9 }. a lớp (hay phân hoạch) của 1) X } cacù tập con của X gọi là một ph ân • Một họ P = {X I∈α α X nếu α ≠ ∅ , ∀ α ∈ I. Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin [...]... Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 35 - • Lập dãy số 1, 2, 3, 4, …, n (Số thứ nhất lớn hơn 1 của dãy số trên là 2, hiển nhiên 2 là số nguyên tố) • Trong dãy số trên, ta xóa tất cả các bội của 2 (Số thứ nhất đứng sau 2 không bò xóa là 3 Hiển nhiên 3 là số nguyên tố) • Tiếp tục ta xóa tất cả các bội của 3 • Cứ tiếp tục theo cách đó, ta xóa tất cả các bội số của các số nguyên tố... nguyên tố nếu | n | là số nguyên tố • CHÚ Ý : Số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số 6.2 Đònh lí Ước số dương nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố Chứng minh: Xét a ∈ ∠ và a >1 Gọi p là ước số dương nhỏ nhất khác 1 của a Nếu p không phải là nguyên tố thì p là hợp số, nên p có một ước số là p1 với :1 < p1 < p Nhưng khi đó p1 cũng là ước số của a, và điều này... ,an] 6 Số nguyên tố Để đơn giản, các khái niệm và kết quả trong phần này ta chỉ trình bày trên tập các số nguyên dương ∠ Các khái niệm và kết quả đó cũng có thể chuyển lên tập các số nguyên 9 6.1 Đònh nghóa • Một số tự nhiên khác 1 gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó Một số tự nhiên khác 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số Ta có thể nói số nguyên n là số nguyên... trúc đại số Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 16 - • Giả sử (X, T1, T2, ,Tn ; Y1, ⊥1, Y2, ⊥2, , Ym, ⊥m ) và (X ', T'1, T'2, ,T'n ; Y1, ⊥'1, Y2, ⊥'2, , Ym, ⊥'m ) là hai cấu trúc đại số có cùng số lượng các phép toán trong, có cùng số lượng các phép toán ngòai với cùng các tập toán tử Khi đó ánh xạ f : X → X' được gọi là một đồng cấu giữa hai cấu trúc đại số này nếu : a) f(a Ti b) = f(a) T'i... số của a, và điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của p 6.3 Đònh lí Tập các số nguyên tố trong ∠ là vô hạn Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 34 - Chứng minh: Giả sử ngược lại, ∠ chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố là p1 , , pn Từ 6.3 suy ra số tự nhiên M = p1 pn + 1 có ướùc số dương nhỏ nhất khác 1 là một số nguyên tố p Như thế tồn tại j ∈ {1, 2, …, n} sao cho p = pj, do đó p | p1... cực đại, cực tiểu hoặc có một, hoặc có nhiều Chẳng hạn: Trong (3 , ≤ ) bộ phận ∠0 không có phần tử cực đại, đoạn [0, 1] có một phần tử cực đại và chỉ một, đó là 1 đó cũng Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 13 - là phần tử lớn nhất của [0,1]; trong (∠ – {1}, ξ ) có vô số phần tử cực tiểu, đó là các số nguyên tố d) Nếu (X, ≤ ) được sắp thứ tự toàn phần thì X có nhiều nhất một phần tử cực đại, ... phép * Chứng minh rằng a * a = a và a ⊥ a = a với mọi a ∈ X 18 Phép nhân các số vô tỉ có phải là phép tóan trong trên tập các số vô tỉ không? Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 21 - CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9 1 Số tự nhiên 1.1 Xây dựng số tự nhiên • Ta xây dựng tập số tự nhiên bằng phương pháp tiên đề, đó là tập hợp ∠ cùng với ánh xạ σ : ∠ → ∠ thỏa mãn các tiên đề (gọi là tiên đề Peano) sau... Vành số nguyên 2.1 Xây dựng tập số nguyên • Xét tập ∠ ×∠ = {(m, n) : m, n ∈∠} gồm mọi cặp số tự nhiên Trên tập ∠ ×∠ đưa vào một quan hệ tương đương như sau: (m, n) ~ (p, q) ⇔ m + q = n + p Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 25 - • Ta kí hiệu [m, n] là lớp tương đương của (m,n) và 9 là tập thương của ∠ x∠ đối với quan hệ ~ 9 được gọi là là tập các số nguyên, mỗi phần tử cuả nó gọi là một số. .. đó (9100, 1848) = 28 4 Số nguyên tố cùng nhau 4.1 Đònh nghóa • Các số nguyên a1, a2, , an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận số 1 làm ƯCLN Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 31 - • Ta nói rằng các số nguyên a1, a2, , an nguyên tố cùng nhau từng đôi nếu và chỉ nếu (ai, aj) = 1 với mọi i ≠ j • NHẬN XÉT: 1) Nếu các số nguyên a1, a2, , an nguyen tố cùng nhau từng đôi thì chúng là... các bội số của các số nguyên tố nhỏ hơn một số nguyên tố p, thì tất cả các số không bò xóa nhỏ hơn p2 đều nguyên tố Thật vậy, mọi hợp số a nhỏ hơn p2 đều đã bò xóa vì là bội của ước số dương nhỏ nhất của nó, ùc số này, theo 6.6, nhỏ hơn a < p Suy ra rằng : 1) Khi xóa các bội của một số nguyên tố p, thì số đầu tiên bò xóa là p2 2) Khi đã xóa các bội của các số nguyên tố ≤ n thì hoàn thành việõc lập bảng