MỤC LỤC
• Quan hệ 2 ngôi R trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự không chặt nếu nó có ác tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu, và được gọi là quan hệ thứ tự. ó chỉ cóù các tính phản xứng và. quan hệ thứ tự trên X. chặt nếu n bắc cầu. sánh thứ tự bộ phận. hận, tòan phần) nếu trong nó có xác định một quan hệ thứ tự (chặt, không chặt, bộ đo với R nếu luôn luôn có R b hoặc b R a. Một quan hệ thứ tự R trên X gọi là quan hệ thứ tự tòan phần nếu mọi cặp phần tử khác nhau của X đều so được, còn trái lại thì được gọi là quan hệ. a) Quan hệ bé hơn ≤ thông thường trong 3 là một quan hệ thứ tự không chặt, tòan phần. một quan hệ thứ tự không chặt, bộ phận. c) Quan hệ bao hàm ⊂ trong tập các tập con của X là một quan hệ thứ tự bộ phận. Ta nói một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và mọi bộ phận khác.
Cấu trúc đại số (X, ), trong đó là phép toán trong trên X, được gọi là. a) nửa nhóm nếu phép toán * có tính chất kết hợp. b) vị nhóm nếu phép toán có tính kết hợp, có phần tử đơn vị ) nhóm nếu phép toán. Một modul trên một trường được gọi là là một không gian vector hay không.
Cho E là một tập hợp, R là một quan hệ phản xạ trong E sao cho với. Cho E là một tập hợp, R là một quan hệ phản xạ và bắc cầu trong E. Chứng tỏ R là một quan hệ tương đương, và xác định lớp tương đương chứa phần tử x: [x]S.
Xét tính kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử đơn vị trái - phải của phép toán * trên tập hợp X. Ngòai ra phép toán * phân phối trái đối với phép ⊥ và phép toán ⊥ phân phối trái đối với phép *.
Thật vậy vì với mọi x. nh chất 4: Mọi vành nguyên hữu hạn đều là trường. Ta có fa là đơn ánh vì nếu có fa. ũng là song ánh. như vậy với 1x. Tính chất 3: Mọi trườn đều là vành guy Chứng minh: G. thì do X là trường. Vành con – Trường con. ) Bất kì một vành X nào cũng có hai vành con tầm. Cuối cùng luật phân phối có hiệu lực trong X tất nhiên cũng có hiệu lực trong A.
Khi đó, giao của các à nó là ideal nhỏ nhất của vành X chứa sinh ra bởi tập S và ký hiệu < S >. Bây giờ ta muốn trang bị trên X / I một phép tóan nhân để nó trở thành một vành.
Bây giờ ta muốn trang bị trên X / I một phép tóan nhân để nó trở thành một vành. k ta định nghĩa phép nhân giữa uựng nhử sau. Đồng cấu vành. m ác đồng cấu của nhó. đồng cấu vành. ) Giả sử I là một ideal của vành X. Các tính chất sau đây là tương tự như trong nhóm mà việc chứng minh nó là tương tự hoặc được trực tiếp suy ra từ kết quả về đồng cấu nhóm. Tương tự như trường hợp đồng cấu nhóm, ở đây cũng có đ h lí cấu vành như.
• CHÚ Ý: Ta hiểu một đồng cấu f (đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu) từ trường X đến trường Y như là một đồng cấu (đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu) vành. Vì trong trường không có ideal nào khác ngòai các ideal tầm thường nên ta có hoặc kerf = {0} hoặc kerf = X.
• CHÚ Ý: Ta hiểu một đồng cấu f (đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu) từ trường X đến trường Y như là một đồng cấu (đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu) vành. Vì trong trường không có ideal nào khác ngòai các ideal tầm thường nên ta có hoặc kerf = {0} hoặc kerf = X. Vậy ùi đồng cấu trường. ) Xây dựng vị nhóm X. Khi đó có thể kiểm tra rằng X là vị nhóm giao hoán, với phần tử đơn vị là (e,e). đều có phần tử nghịch đảo nên là một nhóm. rằng vị nhóm X được nhúng đẳng cấu vào nhóm X, và có thể đồng nhất phần tử ). Mọi phần tử của X. ) Ta có thể chứng minh được rằng cặp (X. ) Số nguyên. Khi đó có một trường X và một đơn cấu (vành) f từ X đến X thỏa các tính chất sau. b) Các phần tử của.
Các phần tử của Θ được gọi là các số hữu tỉ thể viết dưới dạng m n–1 hoặc.
Mọi phần tử của y. ỗi phần tử của X còn được gọi là một phân thức. M do đó còn được gọi. Thỉnh là trừơng các phân thức hay trường các thương. Trường các phân thức của 9 được kí. Như vậy mỗi số hữu tỉ có thương của vành nguyên X. Các phần tử của Θ được gọi là các số hữu tỉ thể viết dưới dạng m n–1 hoặc. Phần tử p D∈ * được gọi là phần tử bất khả qui nếu p không khả nghịch và. không có ước thực sự. Nếu d i gọi là ước chung của các phần tử a1. 8) Nếu tích a1a2 … an khả nghịch thì từng nhân tử của nó cũng khả nghịch. 0) Hai phần tử liên kết với nhau khi và chỉ khi chúng sai khác nhau một nhân tử ) Hai phần tử khả nghịch thì liên kết. 12) Nếu p là bất khả qui thì các ước của p hoặc là khả nghịch hoặc là liên kết với p. 9) Quan hệ liên kết là một quan hệ tương đương. Do đó, nếu a không kha. • Miền nguyên D được gọi là vành chính nếu mọi ideal của D đều là ideal chính. Thật vậy giả sử I là một ideal của 9. yên bất kì trong I. Gọi n là số nguyên dương bé nhất trong I. Trong một vành chính D ta có. 5) Khái niệm phần tử bất khả qui và khái niệm nguyên tố là trùng nhau. ) Vì p là bất khả qui nên các ước của p hoặc là phần tử khả nghịch hoặc là. Do đó (p, a) chỉ có thể khả nghịch hoặc liên kết với p. Một vành nguyên D được gọi là vành Euclide nếu tồn tại một ánh xạ g :. Điều kiện 2) là điều kiện xác định phép chia có dư của phần tử a cho phần tử b ≠ 0, được gọi là phần dư của phép chia. NHẬN XÉT: Từ 6.4 và 6.7 ta thấy trong vành Euclide hai phần tử bất kì đều có trong vành Euclide ta còn có thể chỉ ra thuật tóan để tìm UCLN đó.
• Một vành nguyên D được gọi là vành Gauss hay vành nhân tử hóa nếu và chỉ áu mỗi phần tử p khác 0 và không khả nghịch của nó đều phân tích được thành. CHÚ Ý: Khi phân tích một phần tử p thành tích các nhân tử bất khả qui, một vài ùng lũy thừa thỡ sẽ dẫn đến dạng. Kết hợp các nhân tử giống nhau lại và biểu diễn tích của chúng dưới da.
Một miền nguyên là vành Gauss nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện ƯCLN và điều kiện dãy dừng các ước thực sự. • Theo lí luận trên thì a có ít nhất một ước bất khả qui, giả sử. Điều kiện dãy dừng các ước thực sự : Giả sử a∈ D, a khác 0 và không khả nghịch.
Đặt l(a) là số các nhân tử trong sự phân tích a thành tích các phần tử bất khả qui. Khi đó a có ít nhất một ước là phần tử bất khả qui, thật vậy. Nếu quá trình dư phần tử đứng sau là ước thực sự của phần tử đ.
Do đó, từ định lí 6.10, ta chỉ cần chứng minh điều kiện dãy dừng những ư thực sự cũng được thỏa mãn trên vành chính.
Trong một vành giao hoán X, hãy chứng minh công thức nhị thức Newton 7. ân các hàm số thông thường chứng tỏ tập. Các tập hợp sau có phải là. Cho Θ là tập các số hữu tỉ. uy ra rằng mọi vành có thể xem như là vành con của vành các tự đồng cấu của. Cho một vành X.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu vành f :9. Chứng minh rằng các vành 9).
Cho Θ là tập các số hữu tỉ. uy ra rằng mọi vành có thể xem như là vành con của vành các tự đồng cấu của. Cho một vành X.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu vành f :9. Chứng minh rằng các vành 9).
Chứng tỏ phần tử 4 có hai dạng phân tích thành nhân tử bất khả qui khác nhau.
Việc tính toán các số phức viết dưới dạng đại số như tính toán trên số thực với chú ý rằng. Mặt phẳng tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức, trục Ox gọi là trục thực, Oy là trục ảo. Ta thấy rằng số 0 có modul là 0 và argument tùy ý, còn mỗi số phức khác 0 có modul định sai khác nhau một bội nguyên của 2.
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Giả sử tồn tại một đa thức f(z) = ∑.