KIẾN THỨC CƠ SỞ
Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann
1.1 Liên thông tuyến tính trên đa tạp
Cho M là đa tạp khả vi Liên thông tuyến tính trên M là ánh xạ
thỏa mãn các điều kiện sau:
gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X
Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E ,E , ,E1 2 n .Với
Khi đó, là một liên thông tuyến tính trên M Thật vậy, với X,X',Y,Y' B M ; F M ta có:
1.2 Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann
Cho M là đa tạp Riemann Liên thông tuyến tínhtrên M được gọi là liên thông Levi-Civita trên M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
Có nghĩa là T X,Y XY YXX,Y0 với X, Y B M
Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E ,E , ,E1 2 n
Khi đó, là một liên thông Levi-Civita trên M
Thật vậy, theo ví dụ 1.1.2 ta đã chứng minh là liên thông tuyến tính trên M Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Levi-Civita
Vậy là một liên thông Levi-Civita trên M
Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann M luôn tồn tại và duy nhất
+ Sự tồn tại của liên thông Levi-Civita trên M
Giả sử X,Y B(M) ta xác định X Y bởi phương trình sau
1 2 Z, X,Y Y, Z,X X, Y, Z (1) trong đó Z là trường vectơ tùy ý của B(M)
X,Y X Y là liên thông tuyến tính
Ta chứng minh là liên thông Levi-Civita trên M Đặt T X,Y XY YXX,Y
Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được T X,Y , Z 0, Z B M
Bây giờ, ta chứng minh g 0
Thật vậy, với X,Y, Z B M ta có
Để chứng minh tính duy nhất của phép kết nối Levi-Civita trên M, ta cần chỉ ra rằng nếu X Y thỏa mãn điều kiện T(X,Y) = 0 và = g 0, thì cũng sẽ thỏa mãn phương trình (1) Cụ thể, với mọi X, Y, Z thuộc B M, ta có công thức X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z.
Ta có XY YXX,Y 0 YX XYX,Y(4)Y Z,X YZ,X Z,XY Z, X,Y (7)
Cộng vế theo vế của (3) và (7) rồi trừ vế theo vế cho (6) ta có
1 2 Z, X,Y Y, Z,X X, Y, Z Đây chính là đẳng thức (1)
Vậy tính duy nhất được chứng minh.
Đa tạp con Riemann
Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều, ( M , g ) là đa tạp Riemann n+k chiều, f :MM là một nhúng khả vi Khi đó ,M,f * g là đa tạp Riemann con của đa tạp Riemann M
Dưới đây ta dùng kí hiệu , để chỉ tích vô hướng tương đương với mêtric
Cho M là đa tạp con của M và lần lượt là liên thông Levi-Civita trên M và M Khi đó, với X,Y B M ta có sự phân tích:
X Y X Y T X Y trong đó, X Y T là thành phần tiếp xúc của XY trên TM; X Y là thành phần pháp dạng của XY trên TM
X,Y X Y X Y T là liên thông Levi-Civita trên M
Dễ dàng kiểm tra là liên thông tuyến tính trên M
Bây giờ ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Levi-Civita
- Thật vậy , với X,Y B M ta có
Vậy là liên thông Levi-Civita trên M
2.3 Định lí Ánh xạ II : B M B M B M
X,Y II X,Y X Y là dạng song tuyến tính đối xứng
II được gọi là dạng cơ bản thứ hai
Vậy II tuyến tính đối với biến X
Chứng minh tương tự ta có II tuyến tính đối với biến Y
Vậy II là dạng song tuyến tính đối xứng
Từ các chứng minh trên ta suy ra:
Hoàn toàn tương tự với X B M ,Y B M ta có
Các tính chất của X Y T ; X Y ta sẽ tìm hiểu ở chương 2
2.5 Tenxơ độ cong trên đa tạp Riemann
Cho M là đa tạp Riemann, là liên thông Levi-Civita trên M Ánh xạ R : B M B M B M B M
X,Y, Z RXYZ X YZ Y XZ X,Y Z được gọi là tenxơ độ cong của M
Để chứng minh các tính chất liên quan, ta chỉ cần xem xét các trường vectơ cơ sở của một bản đồ địa phương tùy ý Khi đó, tích Lie của các trường vectơ này sẽ bằng 0, từ đó xác nhận tính chất 1).
Do là liên thông Levi-Civita trên M nên T(X,Y) = 0, vì vậy X Y Y X với X,Y B M (do X,Y 0) (1) và R XY Z X Y Z Y X Z (2)
Từ (1) và (2) ta có tính chất 2) Để chứng minh tính chất 3) ta chứng tỏ R XY Z, Z 0 với Z B M
Thật vậy, vì là liên thông Levi-Civita nên ta có
Vậy R XY Z, Z 0 với Z B M (6) Áp dụng (6) ta có
Vậy tính chất 3) được chứng minh
Chứng minh tính chất 4) : R XY Z, U R X,Y ZU
Mặt khác theo t/c 2 và t/c 3 ta có
Cộng vế theo vế (7) và (8) ta có
2 R XY Z, U R Y, U XZ R X, U ZY R YU X, Z R UX Y, Z (9)
2 R X,Y ZU R U,Y ZX R XU Z,Y R UY Z,X R U,X YZ
ZU XZ UX YU ZY
ZU XZ ZY YU UX
Từ (9) và (10) suy ra R XY Z, U R X,Y ZU
Cho M là đa tạp con của M ; R và R lần lượt là tenxơ độ cong của M và M ;
II là dạng cơ bản thứ hai Khi đó, với X,Y, Z, W B M ta có
X YZ, W II Y, Z ,II X, W ( Áp dụng 2.4)
X YZ, W II X, YZ , W II Y, Z ,II X, W
(3) Thay (1), (2) và (3) vào (*) ta có
R XY Z, W RXYZ, W II X, Z ,II Y, W II X, W ,II Y, Z
RXYZ, W R XY Z, W II X, Z ,II Y, W II X, W ,II Y, Z
Chuyển dịch song song trên đa tạp Riemann
Cho là liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann M Đường cong trên
M xác định bởi tham số hóa : I M, t t
Một trường vectơ X dọc đường cong là việc đặt tương ứng mỗi tI với một vectơ tiếp xúc X(t) của M tại t
3.1 Định nghĩa Đạo hàm của trường vectơ X dọc đường cong là một trường vectơ khả vi dọc đường cong kí hiệu X ' hay X dt
thỏa mãn các điều kiện sau
2) fX df X f X dt dt dt
3) Nếu Y là mở rộng của X(được hiểu Y t X t ) thì
Giả sử là đường cong trên đa tạp Riemann M xác định bởi tham số hóa : I M
Trường vectơ X dọc được gọi là trường vectơ song song dọc nếu và chỉ nếu X dt 0
3.3.1 Giả sử X là trường vectơ song song dọc , X t 0 với t; F
Khi đó, X là trường vectơ song song dọc khi và chỉ khi là hàm hằng trên
3.3.2 Giả sử X,Y là các trường vectơ song song dọc Khi đó,
cũng là trường vectơ song song dọc ; , là các hằng số thuộc
( Do X,Y là các trường vectơ song song dọc , , là các hằng số thuộc )
Vậy, X Y là trường vectơ song song dọc
Cho đường cong trên đa tạp Riemann M xác định bởi tham số hóa : I M
Với mỗi t0 I, với mỗi t 0 vT M thì có một và chỉ một trường vectơ X song song dọc sao cho X t0 v
Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử (I) nằm trong tập mở V M mà trên V có trường mục tiêu trực chuẩn E i i 1 n dọc Khi đó, ta đặt
Từ đó, suy ra X song song dọc
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (*) với điều kiện ban đầu f i (a) = c i
Vậy X tồn tại và duy nhất
Giả sử A a ,B b là hai điểm trên Ánh xạ : T M A T M B
với X là trường vectơ song song dọc có X A ; X B
Khi đó, ta nói là phép chuyển dịch song song dọc từ A đến B
Phép chuyển dịch song song từ A đến B là phép đẳng cấu tuyến tính trực giao
Giả sử : I M là đường cong trên MM ; A a ;B b là hai điểm trên đường cong ; : T M A T M B là phép chuyển dịch song song dọc
từ A đến B Giả sử ; ' T M A có X, Y tương ứng là các trường vectơ song song dọc sao cho X a ; ' Y a
Ta có X Y X Y dt dt dt
(Do X, Y là các trường vectơ song song dọc )
Suy ra, X+Y là trường vectơ song song dọc
Với và X là trường vectơ song song dọc ta có X là trường vectơ song song dọc
Từ (1) và (2) ta suy ra tuyến tính
Ta chứng minh tính chất trực giao của Để chứng minh trực giao ta chứng minh bảo toàn môdun
( Do X là trường vectơ song song dọc )
Suy ra X,X là hàm hằng dọc
LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON
Liên thông pháp dạng trên đa tạp con Riemann
Cho M là đa tạp Riemann, M là đa tạp con của M Liên thông pháp dạng trên M là ánh xạ
với X B M ; Y B M trong đó là liên thông Levi-Civita trên M ; X Y là thành phần pháp dạng của trường vectơ XY; B M là tập hợp các trường vectơ khả vi vuông góc với M
Cho M là một đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita ∇ M được định hướng bởi một trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Gọi α là trường vectơ tiếp xúc của M Mục tiêu là xác định ∇ ⊥ α n.
Cho Y là trường vectơ vuông góc với M Y được gọi là trường vectơ song song pháp nếu X Y0 với X B(M)
Trên siêu mặt, vectơ pháp tuyến đơn vị là vectơ song song với pháp Cụ thể, từ ví dụ 1.3, ta có ∇α ⊥ n=0 với mọi α là vectơ tiếp xúc của M, trong đó n là vectơ pháp tuyến đơn vị của M, cho thấy rằng vectơ pháp tuyến đơn vị thực sự song song với pháp.
Cho M là đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita , trong đó M là siêu mặt được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Nếu Y là trường vectơ vuông góc với M, thì Y sẽ là trường vectơ song song pháp khi và chỉ khi Y=k.n, với k là hằng số trên các thành phần liên thông của M.
Gọi X là trường vectơ tiếp xúc của M
Ta có n trường vectơ pháp tuyến đơn vị nên n là trường vectơ song song pháp
- Giả sử Y = k.n với k là hằng trên các thành phần liên thông của M ta chứng minh Y là trường vectơ song song pháp
Vậy, Y là trường vectơ song song pháp
- Giả sử Y là trường vectơ song song pháp Ta chứng minh Y=k.n; với k là hằng trên các thành phần liên thông của M
Thật vậy, ta có Y và n là trường các vectơ vuông góc với M nên Y=k.n Chứng minh k là hằng trên các thành phần liên thông của M
Vì Y là trường vectơ song song pháp nên X Y0 với X B(M)
Mà n trường vectơ song song pháp nên X n0
Vậy k là hằng trên các thành phần liên thông của M
Cho M là đa tạp Riemann, M là đa tạp con của M Ánh xạ
gọi là tenxơ độ cong pháp của M
Ta chỉ cần chứng minh các tính chất trên đối với các trường vectơ cơ sở của một bản đồ địa phương tùy ý Khi đó, X,Y 0
Vậy tính chất 1) được chứng minh Để chứng minh tính chất 2) ta chứng tỏ R XY Z, Z 0 với X,Y B M ;
Vậy R XY Z, Z 0 với X,Y B M ; Z B M (4) Áp dụng (4) ta có với X,Y B M ; Z, U B M
Vậy tính chất 2) được chứng minh
1.8 Định lí Với X,Y B M ; Z, W B M ta có
II X, W ,II Y, Z X Y Z, W ( Áp dụng bổ đề 1.5)
Thay (1), (2) và (3) vào (*) ta có
RXY Z, W R XY Z, W II X, Z ,II Y, W II X, W ,II Y, Z
Chuyển dịch song song pháp
Cho M là đa tạp con Riemann của M Đường cong trên M xác định bởi tham số hóa : I M t t
Cho Y là trường vectơ dọc đường cong luôn vuông góc với M có nghĩa là việc đặt tương ứng mỗi t I với một vectơ pháp của M tại t
Y : t Y T M Đạo hàm của trường vectơ Y dọc trên M là Y
Đạo hàm pháp dạng của trường vectơ Y dọc kí hiệuY ' hoặc Y dt
là thành phần pháp của Y
Gọi E i i 1 n là trường mục tiêu pháp dọc Khi đó, n i i i 1
Với mọi X, Y, Z là các trường vectơ dọc đường cong luôn vuông góc với
hY ' hY dh Y h Y dh Y h Y dh Y hY ' dt dt dt
2.4 Định nghĩa Cho đường cong trên M xác định bởi tham số hóa : I M
Cho Y là trường vectơ dọc đường cong luôn vuông góc với M Trường vectơ Y được gọi là trường vectơ song song pháp dọc nếu Y '=0
Ví dụ về trường vectơ song song pháp dọc cung
Cho M là một đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita ∇ M được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, và là đường cong được xác định bởi tham số hóa từ Iρ đến M, trong đó M là một siêu mặt trong M.
thành phần pháp của n bằng 0
Vậy n là trường vectơ song song pháp dọc
Nếu X,Y là các trường vectơ song song pháp dọc thì aX+bY cũng là trường vectơ song song pháp dọc với a,b là các hằng số thuộc
Ta có aX+bY ' aX ' bY ' da db aX ' X bY ' Y dt dt
( Do X,Y là các trường vectơ song song pháp dọc và a, b là các hằng số thuộc )
Vậy, aX+bY là trường vectơ song song pháp dọc
Cho : I M là tham số hóa của đường cong trên MM; aI; v là vectơ pháp của M tại a Tồn tại duy nhất trường vectơ song song pháp X dọc trong một lân cận của a sao cho X a v.
Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử (I) nằm trong tập mở V M mà trên V có trường mục tiêu pháp E i i 1 n dọc Khi đó, ta đặt n n n
Từ đó, suy ra X song song pháp dọc
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (*) với điều kiện ban đầu f i (a) = c i
Vậy X tồn tại và duy nhất
2.7 Định nghĩa Cho : I M là tham số hóa của đường cong trên
MM Giả sử A a ; B b là hai điểm trên đường cong Ánh xạ
trong đó X b , X là trường song song pháp dọc sao cho X a
Khi đó, được gọi là phép chuyển dịch song song pháp dọc từ A đến B
Phép chuyển dịch song song pháp dọc là phép đẳng cấu tuyến tính trực giao
Giả sử : I M là tham số hóa của đường cong trên MM; A a ;
B b là hai điểm trên đường cong ; : T M A T M B là phép chuyển dịch song song pháp dọc từ A đến B
Giả sử ; ' T MA có X, Y tương ứng là các trường vectơ song song pháp dọc sao cho X a ; ' Y a
X Y ' X' Y' 0 (Do X, Y là các trường vectơ song song pháp dọc ) Suy ra, X+Y là trường vectơ song song pháp dọc
Với và X là trường vectơ song song pháp dọc ta có X là trường vectơ song song pháp dọc
( VìX là trường vectơ song song pháp dọc )
Suy ra, X,X là hàm hằng dọc
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra phép đẳng cấu tuyến tính trực giao
2.9 Định nghĩa nhóm Hôlômôni pháp
Với mỗi điểm x thuộc tập M, ký hiệu C(x) đại diện cho tập hợp các đường cong đóng có điểm đầu và điểm cuối tại x Nếu ρ1 và ρ2 là hai tham số hóa của các đường cong trong C(x), thì ρ2 cũng là tham số hóa của các đường cong thuộc C(x) Đối với mỗi đường cong Γ trong C(x), phép chuyển dịch song song của Γ là một tự đẳng cấu tuyến tính trực giao trên không gian tiếp tuyến T Mx Tập hợp các phép tự đẳng cấu này tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm Hôlômôni pháp của M tại x.
Trên siêu mặt nhóm Hôlômôni pháp là nhóm tầm thường
Cho M là đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita M là siêu mặt trong M , định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho
là tham số hóa của đường cong kín trên MM; a,bI;
là điểm trên đường cong Ánh xạ : T M A T MA
trong đó n b , n là trường song song pháp dọc sao cho n a là phép chuyển dịch song song pháp dọc đường cong
Vectơ pháp của mặt M tại điểm A được ký hiệu là α, và trong một lân cận của điểm A, tồn tại duy nhất trường vectơ song song pháp đơn vị n dọc theo đường cong Γ, sao cho n(A) = α Trường vectơ n này là vectơ pháp tuyến đơn vị trên siêu mặt M.
n a n b Suy ra Vậy là tự đẳng cấu đồng nhất Từ đó ta suy ra nhóm Hôlômôni pháp trên siêu mặt là nhóm tầm thường.
