1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Sự tồn điểm bất động không gian D-mêtric 1.1 Một số khái niệm tính chất không gian D-mêtric 1.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị không gian D-mêtric Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian D-mêtric 14 2.1 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ cặp ánh xạ nửa tương thích 14 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ tiếp xúc mạnh Kết luận Tài liệu tham khảo 24 32 33 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích hàm, có nhiều ứng dụng Giải tích số ngành tốn học khác Do nhà tốn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ nhà toán học S Banach Sau tác giả mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ nhiều không gian khác Một hướng mở rộng thay điều kiện định nghĩa không gian mêtric, từ thu lớp khơng gian rộng lớp khơng gian mêtric Sau người ta nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian Vào năm 1984, Luận án Tiến sĩ mình, B C Dhage đề xuất hướng tổng quát cho không gian mêtric cổ điển, khơng gian D-mêtric Sau đó, nhiều tác giả quan tâm hướng nghiên cứu thu số kết điểm bất động không gian D-mêtric Ahmad, Ashraf Rhoades [2], Singh Jain [6], Rao Raiju [7] Để tập dượt nghiên cứu khoa học tìm hiểu lý thuyết điểm bất động lớp không gian D-mêtric này, chọn đề tài nghiên cứu là: Sự tồn điểm bất động không gian D-mêtric Với đề tài này, chúng tơi tìm hiểu số định lý tồn điểm bất động không gian D-mêtric cho ánh xạ số điều kiện khác Bố cục luận văn gồm hai chương Chương Sự tồn điểm bất động không gian D-mêtric Trong chương này, sau nhắc lại số định nghĩa tính chất khơng gian D-mêtric, chúng tơi trình bày kết tồn điểm bất động cho ánh xạ dạng co sau cho ánh xạ giãn nở Chương Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian D-mêtric Chương gồm hai mục Mục chúng tơi trình bày tồn điểm bất động cho cặp ánh xạ cặp ánh xạ nửa tương thích Mục đề cập đến tồn điểm bất động cho ánh xạ tiếp xúc mạnh Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo, chúng tơi tìm hiểu trình bày theo bố cục Trong đó, số kết cơng bố tài liệu [3], [4] chưa xác, điều vào năm 2005 tài liệu [5] Dựa vào gợi ý [5], chỉnh sửa chứng minh lại, kết trình bày Mục 1.2 Mục 2.1 Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn nghiêm túc, tận tình Thầy giáo, PGS TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Thầy Cơ giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy Cơ giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN D-MÊTRIC Chương trình bày số định lý tồn điểm bất động không gian D-mêtric 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian Dmêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ minh hoạ số tính chất D-mêtric khơng gian D-mêtric 1.1.1 Định nghĩa Một tập X khác rỗng với ánh xạ D : X ×X ×X → [0, ∞) gọi không gian D-mêtric, ký hiệu (X, D) hay X , ánh xạ D thoả mãn điều kiện sau: (i) D(x, y, z) = x = y = z (tính đồng nhất); (ii) D(x, y, z) = D(p{x, y, z}), p hốn vị x, y, z (tính đối xứng); (iii) D(x, y, z) D(x, y, a) + D(x, a, z) + D(a, y, z) với x, y, z, a ∈ X (bất đẳng thức tứ diện) Khi đó, hàm thực khơng âm D gọi D-mêtric X Sau số ví dụ khơng gian D-mêtric 1.1.2 Ví dụ Cho tập hợp X khác rỗng, xét ánh xạ D : X × X × X → [0, ∞) cho D(x, y, z) = x = y = z, trường hợp cịn lại Khi (X, D) khơng gian D-mêtric 1.1.3 Ví dụ Cho (X, d) khơng gian mêtric thông thường Xét ánh xạ D : X × X × X → [0, ∞) cho D(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(z, x)} với x, y, z ∈ X Khi (X, D) không gian D-mêtric Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện khơng gian D-mêtric sau (i) Vì d(x, y), d(y, z), d(z, x) số thực không âm với x, y, z ∈ X nên D(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(z, x)} với x, y, z ∈ X Đẳng thức xảy x = y = z (ii) Tính đối xứng D hiển nhiên (iii) Với x, y, z, a ∈ X , ta có D(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(z, x)} max{d(x, y), d(y, z), d(z, x), d(x, a), d(y, a), d(z, a)} max{d(x, y), d(y, a), d(a, x)} + max{d(x, a), d(a, z), d(z, x)} + max{d(a, y), d(y, z), d(z, a)} = D(x, y, a) + D(x, a, z) + D(a, y, z) Vậy (X, D) khơng gian D-mêtric 1.1.4 Ví dụ Cho (X, d) không gian mêtric thông thường, xét ánh xạ D : X × X × X → [0, ∞) cho D(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) với x, y, z ∈ X Khi (X, D) khơng gian D-mêtric Thật vậy, ta dễ dàng thấy ánh xạ D thỏa mãn điều kiện (i) (ii) Định nghĩa 1.1.1 Ta kiểm tra điều kiện (iii) Giả sử x, y, z, a ∈ X , D(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) d(x, y) + d(y, a) + d(a, x) + d(x, a) + d(a, z) + d(z, x) + d(a, y) + d(y, z) + d(z, a) = D(x, y, a) + D(x, a, z) + D(a, y, z) Vậy (X, D) không gian D-mêtric 1.1.5 Nhận xét Nếu (X, d) khơng gian mêtric thơng thường ta thu D-mêtric tương ứng X định nghĩa Ví dụ 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Tuy nhiên điều ngược lại nói chung khơng Vì vậy, không gian D-mêtric tổng quát cho không gian mêtric cổ điển thông thường Cho (X, D) không gian D-mêtric với D-mêtric D tập hợp A ⊂ X Khi đường kính tập A định nghĩa δ(A) = sup{D(x, y, z) : x, y, z ∈ A} 1.1.6 Định nghĩa Tập A không gian D-mêtric X gọi D-bị chặn (hay bị chặn) tồn số M cho δ(A) M Khi M gọi D-biên A 1.1.7 Định nghĩa Một dãy {xn : n 1} điểm không gian D-mêtric X gọi D-hội tụ (hay hội tụ) hội tụ tới điểm x ∈ X , ký hiệu xn → x hay limn xn = x, với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho D(xm , xn , x) < ε với m, n 1.1.8 Định nghĩa Một dãy {xn : n n0 1} điểm không gian D-mêtric X gọi D-Cauchy, với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho D(xm , xn , xp ) < ε với m > n, p n0 1.1.9 Định nghĩa Không gian D-mêtric X gọi D-đầy đủ (hay nói gọn đầy đủ ) dãy D-Cauchy D-hội tụ 1.1.10 Định nghĩa Giả sử (X, D) không gian D-mêtric D gọi liên tục theo hai biến với {xn : n 1} {yn : n 1} dãy X mà xn → x, yn → y D(xn , yn , z) → D(x, y, z) với z ∈ X D gọi liên tục theo ba biến (nói gọn liên tục) với {xn : n {yn : n 1}, {zn : n 1}, 1} dãy X mà xn → x, yn → y , zn → z D(xn , yn , zn ) → D(x, y, z) 1.1.11 Định nghĩa Giả sử A tập không gian D-mêtric (X, D) Ta ký hiệu A = {x ∈ X : tồn dãy {xn : n 1} ⊂ A cho xn → x}, gọi A bao đóng A Với ánh xạ f : X → X x ∈ X , ta ký hiệu f x = f (x), f x = f (f (x)) = f (f x), f x = f (f x), 1.1.12 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f : X → X Quỹ đạo f điểm x ∈ X tập hợp O(f, x) = {x, f x, f x, } Không gian D-mêtric X gọi bị chặn f -quỹ đạo O(f, x) bị chặn với x ∈ X Một quỹ đạo O(f, x) gọi đầy đủ f -quỹ đạo dãy D-Cauchy O(f, x) hội tụ tới điểm thuộc X Ánh xạ f gọi liên tục f -quỹ đạo x∗ ∈ X với x ∈ X , dãy {xn : n 1} ⊂ O(f, x) mà limn xn = x∗ limn f xn = f x∗ Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X {xn : n 1} dãy X mà limn xn = x limn f xn = f x Bổ đề sau hữu ích việc chứng minh định lý điểm bất động không gian D-mêtric 1.1.13 Bổ đề Cho {xn : n 1} ⊂ X dãy bị chặn với D-chặn K thỏa mãn D(xn , xn+1 , xm ) ϕn K với số nguyên dương m > n với ϕ : R+ → R+ thỏa mãn với t ∈ R+ Khi dãy {xn : n Chứng minh Vì ∞ n n=1 ϕ t 1} D-Cauchy < ∞ nên m n ϕj t = lim ϕ t = lim n→∞ n→∞ j=n+1 ∞ n n=1 ϕ t S(0) = 1; T x = x với x ∈ X Xét dãy xn = 1/n, Sxn → T xn → (i) Ta có ST xn = Sxn → = T (0), hay ST xn → T (0) Với dãy {zn : n 1} ⊂ X mà Szn → u T zn → u ST zn = Szn → u = T u, nghĩa ST zn → T u Do (S, T ) nửa tương thích, T ánh xạ liên tục Lấy x = y = z = 1, ta có D(ST x, ST y, T Sz) = D(1, 1, 0) = D(T x, T y, Sz) = D(0, 0, 0) = Điều dẫn đến việc khơng có α ∈ (0, ∞) để D(ST x, ST y, T Sz) αD(T x, T y, Sz) Vậy (S, T ) khơng D-tương thích (ii) Ta có Sxn → 0, T xn → T Sxn → T (0) = = S(0) Do (T, S) khơng nửa tương thích Theo (i) (S, T ) nửa tương thích (iii) Chú ý ST = T S (T, S) không nửa tương thích (S, T ) nửa tương thích Từ ví dụ ta rút nhận xét 2.1.7 Nhận xét (i) Cặp (S, T ) nửa tương thích chưa suy D-tương thích, T ánh xạ liên tục (ii) Cặp (S, T ) nửa tương thích (T, S) khơng nửa tương thích (iii) Khi ST = T S từ tính nửa tương thích (S, T ) chưa suy tính nửa tương thích (T, S) Cho X không gian D-mêtric ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn S(X) ⊂ T (X) Với x0 ∈ X , xây dựng dãy {xn : n 1}, {yn : n 1} sau: Đặt y1 = Sx0 , S(X) ⊂ T (X) nên y1 ∈ T (X) Khi tồn x1 ∈ X để y1 = T x1 Đặt y2 = Sx1 , S(X) ⊂ T (X) nên y2 ∈ T (X) Khi tồn x2 ∈ X để y2 = T x2 Tiếp tục trình ta thu dãy {xn : n {yn : n 1} thỏa mãn Sxn−1 = T xn = yn , ∀n ∈ N Khi đó, ký hiệu O(T −1 S, x0 ) = {x0 , x1 , , xn , } O(ST −1 , Sx0 ) = {y1 , y2 , , yn , } 1}, 21 2.1.8 Bổ đề Cho X không gian D-mêtric ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn (i) S(X) ⊂ T (X); (ii) Tồn quỹ đạo {yn : n 1} = O(ST −1 , Sx0 ) bị chặn; (iii) Tồn ϕ ∈ Φ cho với x, y, z ∈ O(ST −1 , Sx0 ) ta có D(Sx, Sy, Sz) Khi đó, {yn : n ϕ max D(T x, T y, T z), D(Sx, T x, T z), D(Sy, T y, T z), D(Sx, T y, T z), D(Sy, T x, T z) 1} dãy D-Cauchy O(ST −1 , Sx0 ) Chứng minh Cho x0 ∈ X , S(X) ⊂ T (X) nên ta xây dựng dãy {xn : n 1} {yn : n 1} X Sxn−1 = T xn = yn , ∀n ∈ N Khi đó, D(yn , yn+1 , yn+p ) = D(Sxn−1 , Sxn , Sxn+p−1 ) ϕ max{D(yn , yn−1 , yn+p−1 ), D(yn−1 , yn , yn+p−1 ), D(yn+1 , yn , yn+p−1 ), D(yn , yn , yn+p−1 ), D(yn−1 , yn+1 , yn+p−1 )} = ϕ max{D(yn−1 , yn , yn+p−1 ), D(yn+1 , yn , yn+p−1 ), D(yn , yn , yn+p−1 ), D(yn−1 , yn+1 , yn+p−1 )} (2.1.6) Tương tự D(yn−1 , yn , yn+p−1 ) ϕ max{D(yn−2 , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn−1 , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn−2 , yn , yn+p−2 )} D(yn+1 , yn , yn+p−1 ) (2.1.7) ϕ max{D(yn , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn+1 , yn , yn+p−2 ), D(yn , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn−1 , yn+1 , yn+p−2 ), D(yn , yn , yn+p−2 )} (2.1.8) D(yn , yn , yn+p−1 ) ϕ max{D(yn−1 , yn−1 , yn+p−2 ), D(yn , yn−1 , yn+p−2 )} (2.1.9) D(yn−1 , yn+1 , yn+p−1 ) ϕ max{D(yn−2 , yn , yn+p−2 ), D(yn−1 , yn−2 , yn+p−2 ), D(yn+1 , yn , yn+p−2 ), D(yn−1 , yn , yn+p−2 ), D(yn−2 , yn−1 , yn+p−2 )} (2.1.10) Thay (2.1.7)-(2.1.10) vào (2.1.6) ta có D(yn , yn+1 , yn+p ) ϕn max{D(ya , yb , yc )}, a,b,c (2.1.11) 22 với a, b, c thỏa mãn a n, b n + 1, c = p Gọi M D-chặn O(ST −1 , Sx0 ) từ (2.1.11) ta thu D(yn , yn+1 , yn+p ) Do đó, theo Bổ đề 1.1.13, {yn : n ϕn M 1} dãy D-Cauchy O(ST −1 , Sx0 ) 2.1.9 Định lý Cho X không gian D-mêtric với D-mêtric D liên tục theo hai biến ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: • S(X) ⊂ T (X); (2.1.12) • Cặp (S, T ) nửa tương thích T liên tục; (2.1.13) • Tồn x0 ∈ X O(ST −1 , Sx0 ) bị chặn đầy đủ; (2.1.14) • Tồn ϕ ∈ Φ cho với x, y ∈ O(T −1 S, x0 ) ∪ O(ST −1 , Sx0 ) ∀z ∈ X D(Sx, Sy, Sz) ϕ max{D(T x, T y, T z), D(Sx, T x, T z), D(Sy, T y, T z), D(Sx, T y, T z), D(Sy, T x, T z)} (2.1.15) Khi S T có điểm bất động chung X Chứng minh Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn : n 1}, {yn : n 1} X cho yn = Sxn−1 = T xn , với n ∈ N Khi từ Bổ đề 2.1.8 ta suy {yn : n 1} dãy D-Cauchy O(ST −1 , Sx0 ) Từ O(ST −1 , Sx0 ) đầy đủ suy tồn u ∈ X cho yn = Sxn−1 = T xn → u ∈ X (2.1.16) Vì T liên tục (S, T ) nửa tương thích nên T xn → T u, ST xn → T u (2.1.17) Bước 1: Thay x = T xn , y = T xn z = u vào (2.1.15) ta có D(ST xn , ST xn , Su) ϕ max{D(T T xn , T T xn , T u), D(ST xn , T T xn , T u), D(ST xn , T T xn , T u), D(ST xn , T T xn , T u), D(ST xn , T T xn , T u)} Lấy giới hạn hai vế n → ∞ sử dụng (2.1.17) tính liên tục theo hai biến D cho ta D(T u, T u, Su) = 0, 23 điều kéo theo T u = Su Bước 2: Thay x = xn , y = xn z = u vào (2.1.15) ta D(Sxn , Sxn , Su) ϕ max{D(T xn , T xn , T u), D(Sxn , T xn , T u), D(Sxn , T xn , T u), D(Sxn , T xn , T u), D(Sxn , T xn , T u)} Lấy giới hạn hai vế sử dụng (2.1.16) cho ta D(u, u, Su) ϕD(u, u, Su) < D(u, u, Su) D(u, u, Su) > 0, ta có điều mâu thuẫn Vì D(u, u, Su) = 0, hay Su = u Do Su = T u = u u điểm bất động chung S T Bước 3: Ta chứng minh tính u Giả sử w điểm bất động chung khác u S T , nghĩa w = Sw = T w Thay x = xn , y = xn z = w vào (2.1.15) ta có D(Sxn , Sxn , Sw) ϕ max{D(T xn , T xn , T w), D(Sxn , T xn , T w), D(Sxn , T xn , T w), D(Sxn , T xn , T w), D(Sxn , T xn , T w)} Lấy giới hạn hai vế n → ∞ ta thu D(u, u, w) ϕD(u, u, w) < D(u, u, w) D(u, u, w) > Đây điều mâu thuẫn Vì D(u, u, w) = 0, hay u = w Hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 2.1.9 Mệnh đề 2.1.5 2.1.10 Hệ Cho X không gian D-mêtric với D-mêtric D liên tục theo hai biến ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn điều kiện (2.1.12), (2.1.14), (2.1.15) với điều kiện cặp (S, T ) D-tương thích T liên tục Khi S T có điểm bất động chung 2.1.11 Hệ Cho X không gian D-mêtric với D-mêtric D liên tục theo hai biến ánh xạ S : X → X thỏa mãn • Tồn x0 ∈ X quỹ đạo O(S, x0 ) bị chặn đầy đủ; • Tồn q ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ O(S, x0 ) z ∈ X ta có D(Sx, Sy, Sz) q max D(x, y, z), D(Sx, x, z), D(Sy, y, z), D(Sx, y, z), D(x, Sy, z) Khi S có điểm bất động 24 Chứng minh Từ Định lý 2.1.9, cho T = Id ánh xạ đồng ϕ = q ∈ Φ điều kiện (2.1.12) (2.1.13) thỏa mãn Ta có O(T −1 S, x0 ) ∪ O(ST −1 , Sx0 ) = O(S, x0 ), điều kiện (2.1.14) thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.1.9 ta có điều cần chứng minh 2.1.12 Định lý Cho X không gian D-mêtric với D-mêtric D liên tục theo hai biến ánh xạ S, T : X → X thỏa mãn điều kiện (2.1.12), (2.1.14) điều kiện sau: • Cặp (S, T ) nửa tương thích S liên tục; • Tồn ϕ ∈ Φ cho với x, y ∈ O(T −1 S, x0 ) với z ∈ X D(Sx, Sy, Sz) ϕ max{D(T x, T y, T z), D(Sx, T x, T z), D(Sy, T y, T z), D(Sx, T y, T z), D(Sy, T x, T z)} Khi đó, dãy X hội tụ tới điểm S T có điểm bất động chung Chứng minh Với x0 ∈ X , xây dựng dãy {xn : n 1}, {yn : n 1} X chứng minh Định lý 2.1.9 Do ta có kết luận (2.1.16) Vì S liên tục nên ST xn → Su, kết hợp với (S, T ) nửa tương thích nên ST xn → T u Vì giới hạn dãy nên T u = Su, phần chứng minh lại thực tương tự chứng minh Định lý 2.1.9 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ tiếp xúc mạnh Đầu tiên, tìm hiểu số khái niệm liên quan 2.2.1 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g : X → X Ta nói ánh xạ f g tiếp xúc mạnh kiểu Jungck tồn dãy {xn : n 1} X u ∈ X cho f xn = gxn+1 , ∀n ∈ N f xn → u 2.2.2 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric bốn ánh xạ f, g, S, T : X → X Ta nói ánh xạ f, g, S, T tiếp xúc mạnh tồn dãy 25 {xn : n 1}, {yn : n 1} X u ∈ X cho y0 = Sx0 , y2n+1 = f x2n = T x2n+1 , y2n+2 = gx2n+1 = Sx2n+2 , với n ∈ N, {yn : n 1} dãy D-hội tụ tới u 2.2.3 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f : X → X Đặt G(x) = min{D(x, x, f x), D(x, f x, f x)}, H(x) = max{D(x, x, f x), D(x, f x, f x)} Khi cặp có thứ tự (G, H) gọi nửa liên tục f -quỹ đạo u ∈ X với x ∈ X mà f n x → u ta có G(u) lim H(f n x) n→∞ 2.2.4 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g : X → X Đặt G(x) = min{D(f x, f x, gx), D(f x, gx, gx)}, H(x) = max{D(f x, f x, gx), D(f x, gx, gx)} Khi cặp có thứ tự (G, H) gọi nửa liên tục (f, g)-quỹ đạo kiểu Jungck u ∈ X G(u) với dãy {xn : n lim H(xn ), n→∞ 1} ⊂ X mà f xn = gxn+1 , ∀n ∈ N f xn → u 2.2.5 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g, S, T : X → X Ta ký hiệu G(x) = min{D(f x, f x, Sx), D(f x, Sx, Sx), D(gx, gx, T x), D(gx, T x, T x)}, G∗ (x) = max{D(f x, f x, Sx), D(f x, Sx, Sx), D(gx, gx, T x), D(gx, T x, T x)}, H1 (x) = max{D(f x, f x, Sx), D(f x, Sx, Sx)}, H2 (x) = max{D(gx, gx, T x), D(gx, T x, T x)} Khi đó, có thứ tự (G, H1 , H2 ) (G∗ , H1 , H2 ) gọi nửa liên tục (f, g, S, T )-quỹ đạo u ∈ X thỏa mãn G(u) lim max{H1 (x2n ), H2 (x2n+1 )}, n→∞ 26 tương ứng G∗ (u) với dãy {xn : n lim max{H1 (x2n ), H2 (x2n+1 )}, n→∞ 1}, {yn : n 1} X mà y0 = Sx0 , y2n+1 = f x2n = T x2n+1 , y2n+2 = gx2n+1 = Sx2n+2 , ∀n ∈ N {yn : n 1} dãy D-hội tụ tới u Khi S = T = Id ánh xạ đồng nhất, khái niệm (G, H1 , H2 ) nửa liên tục (f, g)-quỹ đạo định nghĩa cách tương tự 2.2.6 Định nghĩa Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g : X → X Khi f g gọi giao hốn phận hay tương thích yếu f gu = gf u với x ∈ X mà f u = gu 2.2.7 Định lý Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g, S, T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: • f, g, S, T tiếp xúc mạnh; (2.2.1) • (G, H1 , H2 ) nửa liên tục (f, g, S, T )-quỹ đạo X; (2.2.2) • f (X) ⊂ T (X), g(X) ⊂ S(X); (2.2.3) • f S ; g T giao hốn phận; (2.2.4) • Với x, y, z ∈ X mà z = f x z = gy ta có, D(f x, gy, z) < max{D(Sx, T y, z), D(f x, Sx, z), D(gy, T y, z), D(f x, T y, z), D(gy, Sx, z)} (2.2.5) Khi f, g, S T có điểm bất động chung Chứng minh Từ giả thiết (2.2.1), tồn dãy {xn : n 1}, {yn : n X u ∈ X cho y0 = Sx0 , y2n+1 = f x2n = T x2n+1 , y2n+2 = gx2n+1 = Sx2n+2 , ∀n ∈ N 1} 27 {yn : n 1} dãy D-hội tụ tới u Do {yn : n 1} dãy D-Cauchy Từ (2.2.2) ta có min{D(f u, f u, Su), D(f u, Su, Su), D(gu, gu, T u), D(gu, T u, T u)} lim max{max{D(f x2n , f x2n , Sx2n ), D(f x2n , Sx2n , Sx2n )}, n→∞ max{D(gx2n+1 , gx2n+1 , T x2n+1 ), D(gx2n+1 , T x2n+1 , T x2n+1 )}} = lim max{max{D(y2n+1 , y2n+1 , y2n ), D(y2n+1 , y2n , y2n )}, n→∞ max{D(y2n+2 , y2n+2 , y2n+1 ), D(y2n+2 , y2n+1 , y2n+1 )}} = {yn : n 1} dãy D-Cauchy Vì vậy, f u = Su gu = T u • Trường hợp 1: f u = Su Vì f (X) ⊂ T (X) nên tồn v ∈ X cho f u = T v Nếu f u = gv , từ (2.2.5) ta có D(f u, gv, f u) < max{D(Su, T v, f u), D(f u, Su, f u), D(gv, T v, f u), D(f u, T v, f u), D(gv, Su, f u)} = D(f u, gv, f u), điều vô lý Vậy f u = gv f u = Su = gv = T v Vì cặp f S giao hốn phận nên ta có f f u = f Su = Sf u = SSu (2.2.6) Vì cặp g T giao hốn phận nên ta có ggv = gT v = T gu = T T u (2.2.7) Nếu f u = f u D(f u, f u, f u) = D(f v, gv, f u) < max{D(Su, T v, f u), D(f u, Su, f u), D(gv, T v, f u), D(f u, T v, f u), D(gv, f u, f u)} = D(f u, f u, f u), 28 điều vơ lý Do ta phải có f u = f u Kết hợp với (2.2.6) ta suy f u điểm bất động chung f S Nếu gv = g v D(gv, gv, g v) = D(f u, gv, g v) < max{D(Su, T v, g v), D(f u, Su, g v), D(gv, T v, g v), D(f u, T v, g v), D(gv, f u, g v)} = D(gv, gv, g v), điều vơ lý Do ta phải có g v = gv Kết hợp với (2.2.7) ta suy gv điểm bất động chung g T Vì f u = gv nên ta có f u = gv điểm bất động chung f, g, S, T Giả sử bốn ánh xạ có điểm bất động khác w, từ (2.2.5), cho x = u, y = v, z = w ta có D(f u, gv, w) < max{D(Su, T v, w), D(f u, Su, w), D(gv, T v, w), D(f u, T v, w), D(gv, Su, w)} = D(f u, gv, w), điều vô lý Do bốn ánh xạ f, g, S, T có điểm bất động chung • Trường hợp 2: gu = T u, ta chứng minh tương tự trường hợp 2.2.8 Định lý Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g, S, T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: • f, g, S, T tiếp xúc mạnh; (2.2.8) • (G∗ , H1 , H2 ) nửa liên tục (f, g, S, T )-quỹ đạo X; (2.2.9) • Với x, y, z ∈ X mà z = f x z = gy ta có, D(f x, gy, z) < max{D(Sx, T y, z), D(f x, Sx, z), D(gy, T y, z), D(f x, T y, z), D(gy, Sx, z)} (2.2.10) Khi f, g, S T có điểm bất động chung Chứng minh Từ giả thiết (2.2.8) (2.2.9), tồn u ∈ X cho f u = Su gu = T u Ký hiệu w1 = f u = Su w2 = gu = T u 29 Giả sử w1 = w2 Khi đó, từ giả thiết (2.2.10) ta có D(w1 , w2 , w1 ) = D(f u, gu, w1 ) < max{D(Su, T u, w1 ), D(f u, Su, w1 ), D(gu, T u, w1 ), D(f u, T u, w1 ), D(gu, Su, w1 )} = max{D(w1 , w2 , w1 ), D(w2 , w2 , w1 )} Ta có D(w1 , w2 , w2 ) = D(f u, gu, w2 ) < max{D(Su, T u, w2 ), D(f u, Su, w2 ), D(gu, T u, w2 ), D(f u, T u, w2 ), D(gu, Su, w2 )} = D(w1 , w1 , w2 ) Bởi D(w1 , w2 , w1 ) < D(w2 , w2 , w1 ) < D(w1 , w1 , w1 ) = 0, điều vơ lý nên ta phải có w1 = w2 Vì f u = Su = gu = T u Giả sử f u = u Từ giả thiết (2.2.10) suy D(f u, f u, u) = D(f u, gu, u) < max{D(Su, T u, u), D(f u, Su, u), D(gu, T u, u), D(f u, T u, u), D(gu, Su, u)} = D(f u, f u, u) Điều vơ lý Do f u = u Ta suy u điểm bất động chung f, g, S, T Tính u dễ dàng suy từ (2.2.10) Các hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 2.2.8 2.2.9 Hệ Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, g : X → X thỏa 30 mãn điều kiện sau: • f, g tiếp xúc mạnh; • (G, H1 , H2 ) nửa liên tục (f, g)-quỹ đạo X; • Với x, y, z ∈ X mà z = f x z = gy ta có, D(f x, gy, z) < max{D(x, y, z), D(f x, x, z), D(gy, y, z), D(f x, y, z), D(gy, x, z)} Khi f g có điểm bất động chung Chứng minh Trong Định lý 2.2.8, lấy S = T = Id ánh xạ đồng ta thu kết cần chứng minh Định lý cho ta điều kiện đủ cho tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ tiếp xúc mạnh kiểu Jungck 2.2.10 Định lý Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, S : X → X thỏa mãn điều kiện sau: • f, S tiếp xúc mạnh kiểu Jungck; • Cặp có thứ tự (G, H) nửa liên tục (f, S)-quỹ đạo kiểu Jungck X; • Tồn số nguyên dương r cho với x, y, z ∈ X mà z = f x z = gy ta có, Dr (f x, f y, z) < max{Dr (Sx, Sy, z), Dr (f x, Sx, z), Dr (f y, Sy, z), Dr (f x, Sy, z), Dr (f y, Sx, z)} Khi f S có điểm bất động chung Chứng minh Từ điều kiện thứ điều kiện thứ hai ta suy tồn u ∈ X cho f u = Su Giả sử f u = u Khi đó, điều kiện thứ ba cho ta Dr (f u, f u, u) < max{Dr (Su, Su, u), Dr (f u, Su, u), Dr (f u, Su, u), Dr (f u, Su, u), Dr (f u, Su, u)} = Dr (f u, f u, u) 31 Điều vơ lý, f u = u Do u điểm bất động chung f S Giả sử z1 , z2 hai điểm bất động chung phân biệt f S Ta có Dr (z1 , z1 , z2 ) = Dr (f z1 , f z1 , z2 ) < max{Dr (Sz1 , Sz1 , z2 ), Dr (f z1 , Sz1 , z2 ), Dr (f z1 , Sz1 , z2 ), Dr (f z1 , Sz1 , z2 ), Dr (f z1 , Sz1 , z2 )} = Dr (f z1 , f z1 , z2 ) = Dr (z1 , z1 , z2 ) Điều vơ lý, z1 = z2 , hay f S có điểm bất động chung 2.2.11 Định lý Cho X không gian D-mêtric ánh xạ f, S : X → X thỏa mãn điều kiện sau: • f, S tiếp xúc mạnh kiểu Jungck; (2.2.11) • (G, H) nửa liên tục (f, g, S, T )-quỹ đạo kiểu Jungck X; (2.2.12) • f S giao hốn phận; (2.2.13) • Tồn số nguyên dương r cho với x, y, z ∈ X mà f z = f x f z = f y ta có, Dr (f x, f y, f z) < max{Dr (Sx, Sy, Sz), Dr (Sx, f x, Sz), Dr (Sy, f y, Sz), Dr (Sx, f y, Sz), Dr (Sy, f x, Sz)} (2.2.14) Khi f S có điểm bất động chung Chứng minh Từ (2.2.11), (2.2.12) ta suy tồn u ∈ X cho f u = Su Từ (2.2.13), ta có f f u = f Su = Sf u = SSu Nếu f u = f u điều kiện (2.2.14) cho ta Dr (f u, f u, f u) < max{Dr (Sf u, Sf u, Su), Dr (Sf u, f u, Su), Dr (Sf u, f f u, Su), Dr (Sf u, f u, Su), Dr (Sf u, f u, Su)} = Dr (f u, f u, f u) Điều vơ lý Do f u = f u Mặt khác, Sf u = f f u = f u = f u Vì f u điểm bất động chung f S Tính điểm bất động chung f S suy cách dễ dàng từ (2.2.14) 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày cách có hệ thống khái niệm khơng gian D-mêtric khái niệm liên quan - Trình bày chi tiết số kết tồn điểm bất động chung cho ánh xạ tiếp xúc mạnh, Định lý 2.2.7, Định lý 2.2.8, Hệ 2.2.9, Định lý 2.2.10 Định lý 2.2.11 - Một số kết chưa xác tài liệu tham khảo [3], [4] bổ sung điều kiện chứng minh chi tiết Đó Định lý 1.2.1, Hệ 1.2.2, 1.2.3 1.2.4, Định lý 2.1.1, Hệ 2.1.2 Mệnh đề 2.1.5 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2000), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 1-2, Nhà xuất Giáo dục [2] B Ahmad, M Ashraf and B E Rhoades (2001), Fixed point theorems for expansive mappings in D-metric space, Indian J Pure Appl Math., 32, 1513-1518 [3] B C Dhage (1999), Some results on common fixed points - I, Indian J Pure Appl Math., 30 (8), 827-837 [4] B C Dhage, A M Pathan and B E Rhoades (2000), A general existence principle for fixed point theorems in D-metric spaces, Internat J Math & Math Sci., 23 (7), 441-448 [5] S V R Naidu, K P R Rao and N S Rao (2005), On convergent sequences and fixed point theorems in D-metric spaces, Internat J Math & Math Sci., 12, 1969-1988 [6] B Singh, S Jain and S Jain (2006), Fixed point theorems in D-metric space though semi-compatibility, Novi Sad J Math., 36, 11-19 [7] K P R Rao, K R K Rao and V C C Raju (2006), Common fixed points for maps in D-metric space using strongly tangential and orbitally lower semi-continuity conditions, J Chungcheong Math Soc., 19, 1-8 ... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN D- MÊTRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động chung ánh xạ không gian D- mêtric 2.1 Sự tồn điểm bất động. .. D( x, y, z) = d( x, y) + d( y, z) + d( z, x) d( x, y) + d( y, a) + d( a, x) + d( x, a) + d( a, z) + d( z, x) + d( a, y) + d( y, z) + d( z, a) = D( x, y, a) + D( x, a, z) + D( a, y, z) Vậy (X, D) không gian D- mêtric... Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN D- MÊTRIC Chương trình bày số định lý tồn điểm bất động không gian D- mêtric 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian Dmêtric Trong mục này,