Nhóm cơ bản của phức đơn hình

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phức đơn hình

Chương 2 Nhóm cơ bản của phức đơn hình

2.2 Nhóm cơ bản của phức đơn hình

2.3 Nhóm cơ bản của đồ thị

Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về đồng luân và tương đương đồng luân, cùng với cách xây dựng nhóm cơ bản cho không gian tôpô bất kỳ Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề cập đến một số tính chất của không gian liên thông đường Chương này còn trình bày các khái niệm như đơn hình, phức đơn hình, phức con của phức đơn hình, hình sao của một đỉnh, khung r chiều và thứ phân của phức đơn hình, kèm theo các ví dụ minh họa để làm rõ hơn nội dung.

Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu về nhóm cơ bản của phức đơn hình và đồ thị, bắt đầu với khái niệm ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình cùng các định lý liên quan Tiếp theo, chúng tôi trình bày các khái niệm tương đương mật tiếp và tương đương cạnh, kèm theo ví dụ và tính chất của chúng, cũng như công thức tính nhóm cơ bản của phức đơn hình Cuối cùng, chúng tôi cung cấp công thức tính nhóm cơ bản của đồ thị và các ví dụ ứng dụng để minh họa.

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tâm và nghiêm túc từ Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc và lòng kính trọng tới thầy giáo trong dịp này!

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, tổ bộ môn Hình học, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh, và Phòng quản lý khoa học trường Đại học Hải Phòng đã tận tình giảng dạy và hỗ trợ Đồng thời, tác giả cũng trân trọng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn!

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương 1, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm như đồng luân, tương đương đồng luân, không gian co rút và cách xây dựng nhóm cơ bản cho một không gian tôpô bất kỳ Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ trình bày tính nhóm cơ bản của một số không gian tôpô đặc biệt và hệ thống hóa các khái niệm đơn hình và phức đơn hình.

Cho các không gian tôpô X, Y, f g X , :  Y là các ánh xạ liên tục,

I  là không gian con của đường thẳng thực , ánh xạ liên tục

F X   I Y sao cho F x ( , 0)  f x ( ); F x ( ,1)  g x ( ) với mọi x  X được gọi là phép đồng luân nối f và g Khi đó f được gọi là đồng luân với g bởi phép đồng luân F và ký hiệu f g

1 : X X  Y là ánh xạ đồng nhất

  là ánh xạ hằng tại x 0

Ví dụ 2: X là không gian tôpô bất kỳ, Y là tập lồi trong n ,

C X Y { f X :  Y f liên tục} Khi đó:  f g ,  C X Y ( , ) thì f g bởi phép đồng luân: F X:  I Y F x t, ( , ) (1 t f x) ( )tg x( )

1.1.3 Nhận xét Quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ là quan hệ tương đương

 Nếu f g thì g f bởi phép đồng luân:

 Nếu f g bởi phép đồng luân F 1 , g h bởi phép đồng luân F 2 thì f h bởi phép đồng luân F X:  I Y với

Vậy quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ là quan hệ tương đương

1.1.4 Bổ đề (Bổ đề dán) (Xem [7])

Cho X, Y là các không gian tôpô, X  A B, với A, B là các tập đóng (mở) trong X Giả sử f 1 : A  Y f , 2 : B  Y là các ánh xạ liên tục sao cho

1( ) 2( ), f x  f x   x A B Khi đó ánh xạ g X :  Y cho bởi:

   là ánh xạ liên tục

1.1.5 Định lý (Xem [1]) Cho X, Y, Z là các không gian tôpô Giả sử các ánh xạ f 0 , f 1 : X  Y f , 0 f 1 và g g Y 0 , 1 :  Z g , 0 g 1 Khi đó g f 0 0 g f 1 1

1.1.6 Định nghĩa (Xem [1]) Hai không gian tôpô X, Y được gọi là tương đương đồng luân (có cùng kiểu đồng luân) nếu tồn tại hai ánh xạ liên tục :f X Y g Y, : X sao cho fg 1 ; Y gf 1 X

1) Quan hệ tương đương đồng luân giữa các không gian tôpô là quan hệ tương đương

2) Các không gian đồng phôi với nhau thì tương đương đồng luân

1.1.8 Định nghĩa (Xem [1]) Không gian tôpô X được gọi là co rút được nếu ánh xạ đồng nhất trên X đồng luân với ánh xạ hằng tại x 0 X Khi đó ta còn nói X co rút được về điểm x 0 X

X là tập lồi trong n , X là không gian co rút được về điểm x 0  X vì

1.1.10 Định lý Không gian tôpô X co rút được khi và chỉ khi nó tương đương đồng luân với không gian một điểm

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X co rút được, tức 1 X  x 0 ( x 0  X )

Suy ra rằng, tập hợp X tương đương đồng luân với không gian một điểm Y, tức là Y = {a} Điều kiện cần và đủ cho sự tương đương này là tồn tại các ánh xạ f: X → Y và g: Y → X, thỏa mãn các yêu cầu nhất định.

1 ; Y 1 X fg gf Đặt x 0  g a ( ) và  x 0 : X    x 0 là ánh xạ hằng

1.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho X là một không gian tôpô, I    0,1 là không gian con của đường thẳng thực R Một đường  trong X từ x 0 đến x 1 là một ánh xạ liên tục : I  X sao cho (0)  x 0 , (1)  x 1 Điểm x 0 gọi là điểm gốc, điểm x 1 gọi là điểm cuối của đường  Nếu

    thì  được gọi là đường đóng tại x 0

1.2.2 Định nghĩa Cho  là đường từ x 0 đến x 1 ,  là đường từ x 1 đến x 2 ánh xạ liờn tục  ' : I  X cho bởi:

 nÕu 0 t nÕu được gọi là nối tiếp hai đường   , ' Đường ngược của là đường   1 từ x 1 đến x 0 cho bởi   1 ( ) t (1  t )

Chú ý rằng đường    ' có điểm gốc là    '(0)   (0)  x 0 và điểm cuối là '(1) '(1) x 2

1.2.3 Định nghĩa (Xem [1]) Cho hai đường   , ' có cùng điểm gốc x 0 và điểm cuối x 1 trong không gian tôpô X Ta nói  đồng luân với  ' và ký hiệu    nếu tồn tại một ánh xạ liên tục F I I :   X sao cho:

- Quan hệ đồng luân giữa các đường là quan hệ tương đương

- Nếu  1 đồng luân với  2 thì  1  1 đồng luân với  2  1

- Giả sử     1 2 ; 1  2  là các đường sao cho   1  1  xác định Khi đó

1.2.5 Định nghĩa Đặt           |  Tích và nghịch đảo của

   được định nghĩa như sau:                  ;   1       1 

1.2.6 Định lý: Cho X là không gian tôpô, x 0  X , 1  X x , 0  là tập hợp các lớp đồng luân của các đường đóng tại x 0 Khi đó  1  X x , 0  lập thành một nhóm với phép toán đã cho ở trên

Phần tử đơn vị là x 0

 Phần tử đối của    là     1       1  vì:

        1        1   và     1  x 0 bởi phép đồng luân:

 Phép toán  thỏa mãn tính chất kết hợp, nghĩa là:

 là phép đồng luân nối          với         

1.2.7 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, 1  X x , 0  gọi là nhóm cơ bản của X với điểm đánh dấu x 0

1.2.8 Định nghĩa (Xem [2]) Không gian tôpô X được gọi là liên thông đường nếu mọi x x 0 , 1  X luôn tồn tại đường  trong X nối x 0 với x 1

1.2.9 Định lý Nếu X là không gian tôpô liên thông đường thì  1  X x , 0  đẳng cấu với  1  X x , 1  với mọi x x 0 , 1  X

X liên thông đường nên tồn tại con đường  trong X nối x 0 với x 1

Khi đó, nếu   ' thì   1       1     ' vì:

 là phép đồng luân nối   1     với   1      (với F là phép đồng luân nối

Thật vậy, giả sử f        f        tức là     1            1     '   hay

            ' Theo chứng minh trên ta có:

Thật vậy, giả sử    1   1  X x , 1 , xét         1       1  X x , 0 và

1.2.10 Định lý Nếu 2 không gian tôpô X,Y liên thông đường, tương đương đồng luân thì nhóm cơ bản của chúng đẳng cấu với nhau

Chứng minh Giả sử f là phép đồng luân nối X, Y và g là ngược đồng luân của f Khi đó, fg 1 Y và gf 1 X

Giả sử x 0 là điểm đánh dấu của X, đặt y 0  f x   0

Xét ánh xạ  1   f xác định như sau:

Khi đó  1   f xác định và là đồng cấu nhóm

Ánh xạ đồng cấu nhóm giữa các nhóm cơ bản π₁ được xem xét qua phép ánh xạ g : π₁(Y, y₀) → π₁(X, g(y₀)) Khi xét một đường cong liên tục φ từ (I, δI) đến (X, x₀), ta có gf(φ) nối x₀ với x₁ = gf(x₀), tạo ra đường cong liên tục ω nối hai điểm này Từ đó, ta suy ra sự tồn tại của đẳng cấu hω : π₁(X, x₀) → π₁(X, x₁) và mối quan hệ giữa các ánh xạ π₁(g) và π₁(f) thông qua hω.

Vì h  và h   1 là các đẳng cấu nên  1   f là đẳng cấu hay  1  X x , 0    1  Y y , 0 

1.2.11 Hệ quả Nếu X là không gian co rút được thì  1  X x , 0  là nhóm tầm thường

Chứng minh X là không gian co rút được nên X tương đương đồng luân với không gian 1 điểm   x 0 Mà không gian 1 điểm   x 0 có nhóm cơ bản là nhóm tầm thường:  1    x 0 , x 0        , : I    x 0 , (0)    (1)  x 0 

      x 0     nên theo định lý 1.2.10,  1  X x , 0  là nhóm tầm thường

1.2.12 Hệ quả  1  R x n , 0  là nhóm tầm thường

Cho X là không gian liên thông đường, X 1 và X 2 là hai không gian con mở liên thông đường của X X ,  X 1  X 2 và X o  X 1  X 2 là liên thông đường khác rỗng Với x 0  X 0 ta có các nhúng :

1.2.13 Mệnh đề (Xem [2]) Nhóm cơ bản  1  X x , o  được sinh bởi các ảnh của các đồng cấu  1   k 1 và  1   k 2

Xét một phân hoạch của đoạn   0,1 : 0    t 0 t 1 t n t n  1 1

Như vậy  i là đường nối    t i với    t i  1 , tức là thu hẹp của  trên đoạn

 t t i , i  1  Theo giả thiết  X X 1 , 2  là một phủ mở của X, theo định lí Lebesgue về

- phủ ta có thể lựa chọn phân hoạch của   0,1 sao cho  i   I     t t i , i  1  được chứa hoàn toàn trong X 1 hoặc X 2 và  i   0     t i  X 0

Với mỗi i = 1, 2, …, n tồn tại một đường i trong X o nối x o với    t i (Vì X 0 là liên thông cung)

Các đường   0 * 1  1 ,    1 * 1 * 2  1 , ,   n * n đóng tại x 0 và chứa trong X 1 hoặc X 2 nên mệnh đề được chứng minh

1.3.1 Định nghĩa (Xem [2]) Đơn hình tiểu chuẩn k chiều hay k- đơn hình chuẩn  k là một tập con của không gian Ơclit R k  1 gồm các điểm có tọa độ  x 0, ,x k R k  1 thỏa mãn các điều kiện:

  nằm trong  k được gọi là các đỉnh của đơn hình

 Đơn hình chuẩn k chiều  k là một tập con đóng và bị chặn của không gian Ơclit R k  1 nên nó là 1 tập compact

 Đơn hình chuẩn là 1 tập lồi

  0 là một điểm,  1 là một đoạn thẳng,  2 là một tam giác đều,  3 là tứ diện đều

- Cho a a 0 , , , 1 a k là k+1 điểm độc lập trong không gian Ơclit R n , tập hợp

   gọi là đơn hình k chiều hay k- đơn hình với các đỉnh a a 0 , , , 1 a k Ký hiệu:    S  a a 0 , , , 1 a k 

- Tập hợp các điểm a thuộc đơn hình k chiều    S  a a 0 , , , 1 a k  mà

0, 1, 2, , t i  i m gọi là đơn hình mở Ký hiệu:    S  a a 0 , , , 1 a k 

- Nếu điểm a thuộc vào đơn hình k chiều,

  thì bộ số  t t 1, , ,2 t k  gọi là tọa độ trọng tâm của a

1.3.4 Nhận xét Đơn hình    S  a a 0 , , , 1 a k  chính là bao lồi của tập các đỉnh a a 0 , , , 1 a k

1.3.5 Định nghĩa (Xem [1]) Biên r chiều của một đơn hình k chiều

  S là một đơn hình r chiều có các đỉnh là tập con của các đỉnh của   S

1.3.6 Định nghĩa (Xem [1]) Phức đơn hình K là tập hợp các đơn hình trong R n thỏa mãn các điều kiện:

Nếu một đơn hình thuộc tập K, thì tất cả các biên của nó cũng thuộc tập K Hai đơn hình khác nhau trong K không giao nhau hoặc chỉ giao nhau tại một biên chung duy nhất.

Chiều của K là chiều lớn nhất của các đơn hình trong K

NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH

Nhóm cơ bản của đồ thị

Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về đồng luân và tương đương đồng luân, cùng với cách xây dựng nhóm cơ bản của không gian tôpô Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề cập đến một số tính chất của không gian liên thông đường Các khái niệm như đơn hình, phức đơn hình, phức con của phức đơn hình, hình sao của một đỉnh, khung r chiều và thứ phân của phức đơn hình cũng được trình bày, kèm theo các ví dụ minh họa để làm rõ nội dung.

Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu kiến thức về nhóm cơ bản của phức đơn hình và nhóm cơ bản của đồ thị, bắt đầu với khái niệm ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình cùng các định lý liên quan trong mục 2.1 Tiếp theo, mục 2.2 trình bày các khái niệm tương đương mật tiếp và tương đương cạnh, kèm theo ví dụ và tính chất, cũng như công thức tính nhóm cơ bản của phức đơn hình Cuối cùng, mục 2.3 nêu rõ công thức tính nhóm cơ bản của đồ thị và cung cấp ví dụ ứng dụng.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc tới thầy giáo.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán và bộ môn Hình học của Khoa sau đại học trường Đại học Vinh, cùng Phòng quản lý khoa học trường Đại học Hải Phòng, vì đã nhiệt tình giảng dạy và hỗ trợ tác giả Đồng thời, tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn!

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương 1, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm về đồng luân và tương đương đồng luân, cùng với khái niệm không gian co rút Bên cạnh đó, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách xây dựng nhóm cơ bản cho một không gian tôpô bất kỳ và tính nhóm cơ bản của một số không gian tôpô đặc biệt Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày một cách có hệ thống các khái niệm về đơn hình và phức đơn hình.