CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nhóm cơ bản
1.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho X là một không gian tôpô, I 0,1 là không gian con của đường thẳng thực Một đường trong X từ x 0 đếnx 1 là một ánh xạ liên tục :I X sao cho (0) x 0 , (1) x 1 Điểm x 0 gọi là điểm gốc, điểm x 1 gọi là điểm cuối của đường Nếu (0) (1) x 0 X thì
được gọi là đường đóng tại x 0
1.2.2 Định nghĩa Cho là đường từ x 0 đến x 1 , là đường từ x 1 đến x 2 ánh xạ liờn tục ' : I X cho bởi:
nÕu 0 t nÕu được gọi là nối tiếp hai đường , ' Đường ngược của là đường 1 từ x 1 đến x 0 cho bởi 1 ( )t (1t)
Chú ý rằng đường ' có điểm gốc là '(0) (0) x 0 và điểm cuối là '(1) '(1) x 2
1.2.3 Định nghĩa (Xem [1]) Cho hai đường , ' có cùng điểm gốc x 0 và điểm cuối x 1 trong không gian tôpô X Ta nói đồng luân với ' và ký hiệu
nếu tồn tại một ánh xạ liên tục F I I : X sao cho:
- Quan hệ đồng luân giữa các đường là quan hệ tương đương
- Nếu 1 đồng luân với 2 thì 1 1 đồng luân với 2 1
- Giả sử 1 2 ; 1 2 là các đường sao cho 1 1 xác định Khi đó 2 2 xác định và 1 1 2 2
1.2.5 Định nghĩa Đặt | Tích và nghịch đảo của được định nghĩa như sau: ; 1 1
1.2.6 Định lý (Xem [1]) Cho X là không gian tôpô, x 0 X , 1 X x, 0 là tập hợp các lớp đồng luân của các đường đóng tại x 0 Khi đó 1 X x , 0 lập thành một nhóm với phép toán đã cho ở trên
Phần tử đơn vị là x 0
Phần tử đối của là 1 1 vì:
1 1 và 1 x 0 bởi phép đồng luân:
Phép toán thỏa mãn tính chất kết hợp, nghĩa là:
là phép đồng luân nối với
1.2.7 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, 1 X x, 0 gọi là nhóm cơ bản của X với điểm đánh dấu x 0
1.2.8 Định nghĩa (Xem [2]) Không gian tôpô X được gọi là liên thông đường nếu mọi x x 0 , 1 X luôn tồn tại đường trong X nối x 0 với x 1
1.2.9 Định lý (Xem [2]) Nếu X là không gian tôpô liên thông đường thì
đẳng cấu với 1 X x , 1 với mọi x x 0 , 1 X
X liên thông đường nên tồn tại con đường trong X nối x 0 với x 1
Khi đó, nếu ' thì 1 1 ' vì:
là phép đồng luân nối 1 với 1 (với F là phép đồng luân nối
Thật vậy, giả sử f f tức là 1 1 ' hay
' Theo chứng minh trên ta có:
Thật vậy, giả sử 1 1 X x , 1 , xét 1 1 X x , 0 và f
Hàm tử đồng luân bậc một
1.3.1 Định nghĩa (Xem[1]) Ta nói có phạm trù A khi:
- Có một lớp ký hiệu là Obj(A) mà các phần tử gọi là các vật của phạm trù
Mỗi cặp vật X, Y thuộc Obj(A) có một tập hợp được ký hiệu là Hom(X,Y), trong đó các phần tử được gọi là các cấu xạ từ X đến Y Nếu f thuộc Hom(X,Y), chúng ta cũng có thể ký hiệu f: X→Y hoặc X f Y.
Mỗi cặp cấu xạ f thuộc Hom(X,Y) và g thuộc Hom(Y,Z) sẽ tương ứng với một cấu xạ h thuộc Hom(X,Z), được gọi là hợp thành của f và g, ký hiệu h=gf Hợp thành này phải thỏa mãn các tiên đề đã được xác định.
Tính kết hợp: nếu f Hom(X,Y), g Hom(Y,Z), h Hom(Z,W) thì h(gf)=(hg)f
Tồn tại phần tử đơn vị: Đối với mọi vật Y, trong Hom(Y,Y) tồn tại cấu xạ 1 Y sao cho với mọi f Hom(X,Y), g Hom(Y,Z), 1Yf=f và g1y=g
1.3.2 Định nghĩa (Xem[1]) Giả sử A và B là các phạm trù Hàm tử hiệp biến
T từ A vào B là ánh xạ đặt tương ứng mỗi một vật X trong phạm trù A với
10 một vật T X trong phạm trù B và mỗi một cấu xạ f X : 1 X 2 trong A với một cấu xạ T f : T X 1 T X 2 trong B sao cho các hệ thức sau được thực hiện : T 1 X 1 T X và T gf T g T f
Hàm tử phản biến T từ phạm trù A vào phạm trù B là ánh xạ tương ứng mỗi vật X trong A với vật T(X) trong B Đồng thời, mỗi cấu xạ f: X1 → X2 trong A được ánh xạ thành T(f): T(X1) → T(X2) trong B, đảm bảo các hệ thức T(1_X) = 1_T(X) và T(g ∘ f) = T(f) ∘ T(g) được thực hiện.
1.3.3 Mệnh đề (Xem[1]) Cho ánh xạ liên tục f :X→Y, khi đó ánh xạ
cho bởi 1 f f là xác định và là đồng cấu nhóm.
Giả sử Khi đó f f , ánh xạ 1 f được xác định, ta có:
1.3.4 Định lý (Xem[1]) Tương ứng 1 biến mỗi cặp (X, x 0 ) thành nhóm
1 (X ,x 0 ) và biến mỗi ánh xạ cặp f: (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) thành đồng cấu
Hàm tử hiệp biến từ các không gian tô pô với điểm đánh dấu chuyển đổi vào các nhóm và đồng cấu nhóm, được gọi là hàm tử đồng luân bậc một, ký hiệu là 1.
Ta có 1 1 X 1 X với mọi 1 X x , 0 , tức n 1 X 1 1 X x , 0
Từ tính chất hàm tử của π₁, ta có thể kết luận rằng hai không gian tôpô đồng phôi sẽ có các nhóm đồng luân cùng bậc là đẳng cấu Một khẳng định mạnh mẽ hơn về các không gian tương đương đồng luân có thể được rút ra từ kết quả này.
1.3.5 Định lý (Xem[1]) Nếu f X : Y là tương đương đồng luân thì đối với mọi x X , đồng cấu 1 f : 1 X x , 1 Y f x , là một đẳng cấu
NHÓM CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ
Ánh xạ đơn hình và tương đương mật tiếp
2.2.1 Định nghĩa (Xem [7]) Cho K, L là các phức đơn hình, ánh xạ
là một ánh xạ đơn hình nếu thỏa mãn các điều kiện:
Biến mỗi đỉnh của K thành một đỉnh của L
Biến mỗi đỉnh của đơn hình S trong K thành đỉnh của đơn hình S’ trong L
S là đơn hình trong K với các đỉnh a a 0 , , , 1 a k , điểm p 0 k i i i t a S
Ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính trên mỗi đơn hình của K, biến các đỉnh thành đỉnh Định nghĩa này cho thấy ánh xạ đơn hình không chỉ phụ thuộc vào K và L, mà còn vào cấu trúc của chúng, do đó ta ký hiệu : K L.
Ví dụ Ánh xạ cho bởi hình 7 là một ánh xạ đơn hình
2.2.2 Định nghĩa (Xem [7]) K, L là các phức đơn hình, f : K L là ánh xạ liên tục Ánh xạ đơn hình : K L là một xấp xỉ đơn hình của f nếu f st a st a , với mỗi đỉnh a K
Ví dụ Cho phức đơn hình K, L như hình 8:
Giả sử p là 1 điểm thuộc L và pv p 0 , v 1
là ánh xạ đơn hình
, 0,1, 2. i i st a st a st v v v st a st v v v f st a st a i
Vậy là xấp xỉ đơn hình của f
2.2.3 Bổ đề (Xem [7]) Giả sử f : K L là một ánh xạ đơn hình, : K L là xấp xỉ đơn hình của f ,khi đó f
2.2.4 Định lý (Xem [7]) Giả sử f : K L là ánh xạ liên tục, : K L là xấp xỉ đơn hình của f Khi đó,mỗi p K , f p v à p nằm trong cùng một đơn hình của L
2.2.5 Định lý (Xem [7]) Cho là một xấp xỉ đơn hình của ánh xạ liên tục
: f K L , K 1 là một phức con của K và
K 1 f là ánh xạ đơn hình Khi đó, sẽ tồn tại phép đồng luân nối f với và
2.2.6 Định lý (Xem [7]) Cho f : K L là ánh xạ liên tục và : K 0 L 0 là ánh xạ đỉnh Khi đó, có thể mở rộng thành xấp xỉ đơn hình của f khi và chỉ khi f st v st v , v K 0
2.2.7 Định nghĩa Cho K, L là các phức đơn hình, 1 , 2 :KL là các ánh xạ đơn hình 1 , 2 được gọi là mật tiếp nếu mỗi đơn hình S a 0 , , a k K tồn tại đơn hình S L sao cho 1 a 0 , , 1 a k và 2 a 0 , , 2 a k là các đỉnh của S
Ví dụ K là phức đơn hình 3 chiều với các đỉnh a a a a 0 , , 1 2 , 3
L là phức đơn hình 1 chiều với các đỉnh v v v 0 , , 1 2
Ta xác định các ánh xạ đơn hình 1 , 2 , 3 như sau:
Khi đó 1 mật tiếp với 2 vì tồn tại đơn hình S 1 L S , 1 v v 0 , 1 mà 1 a 0
1 mật tiếp với với 3 vì tồn tại đơn hình S 2 L S , 2 v v 1 , 2 mà 1 a 0
là các đỉnh của (S’) Tuy nhiên 2 không mật tiếp với 3 vì không tồn tại đơn hình nào trong L nhận v v v 0 , , 1 2 là đỉnh
Vậy quan hệ mật tiếp không phải là quan hệ tương đương
2.2.8 Định nghĩa Hai ánh xạ đơn hình , được gọi là tương đương mật tiếp nếu tồn tại dãy hữu hạn các ánh xạ đơn hình 0 , 1 , , k : K L sao cho
Nhận xét Quan hệ tương đương mật tiếp là quan hệ tương đương a 2 a 0 a 1 a 3 v 0 v 1 v 2
Nếu C bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 , , k : K L thì C bởi dãy các ánh xạ đơn hình k , k 1 , , 0 : K L
Nếu C bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 , , k : K L và C bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 , , k : K L thì C bởi dãy các ánh xạ đơn hình 0 , 1 , , k , 0 , 1 , , k : K L
2.2.9 Định lý (Xem [7]) Cho K là một phức đơn hình, 0 , 1 : I 0,1 K là các đường trong K , 0 1 Khi đó sẽ tồn tại thứ phân I’ của I và các ánh xạ đơn hình 0 , 1 : I K sao cho:
(i) j là xấp xỉ đơn hình của j , j 0,1
Tương đương cạnh và nhóm cơ bản của đồ thị
Cho K là một phức đơn hình Một cạnh trong K là một cặp sắp thứ tự
1 2 e a a với a a 1 , 2 là các đỉnh của cùng một đơn hình nào đó trong K a 1 gọi là điểm gốc, a 2 gọi là điểm ngọn của e
Nếu cạnh e a a 1 2 thì cạnh a a 2 1 được ký hiệu bằng e 1
Một đường trong K được định nghĩa là dãy hữu hạn các cạnh \( \omega = e_1, e_2, \ldots, e_k \) của K, trong đó điểm ngọn của mỗi cạnh \( e_i \) (với \( i \in \{1, 2, \ldots, k\} \)) trùng với điểm gốc của cạnh kế tiếp \( e_{i+1} \) Điểm gốc của đường \( \omega \) là điểm gốc của cạnh \( e_1 \), và điểm ngọn của đường \( \omega \) chính là điểm ngọn của cạnh \( e_k \).
Cho 2 đường e e 1 2 ;e k e e 1 2 e k với điểm ngọn trùng với điểm gốc
22 của ta định nghĩa tích hai đường là đường e e 1 2 e e e k 1 2 e k
Đường ngược của đường e e 1 2 e k là đường 1 e e k 1 k 1 1 e 1 1
Một quan hệ tương đương trên tập hợp các đường trong K được xác định khi hai đoạn thẳng e = aa1, f = aa2 và a3 là các đỉnh của cùng một đơn hình, thì ef được coi là tương đương cạnh với cạnh aa1 3 Hai đường ω và ω' được gọi là tương đương cạnh, ký hiệu ω ∼ ω', nếu ω' có thể được tạo ra từ ω thông qua một chuỗi các tương đương cạnh sơ cấp như đã nêu.
1) Quan hệ tương đương cạnh là một quan hệ tương đương
2) Nếu là một đường với điểm gốc a 1 thì 1 E a a 1 1
3) Nếu a a 1, 2, ,a k là các đỉnh của 1 đơn hình nào đó của K thì
Ví dụ Giả sử K là phức đơn hình 2 chiều như hình vẽ Khi đó:
2.3.2 Định nghĩa Đặt K | E , E K a , 0 { là đường trong a 3 a 0 a 2 a 1
K có điểm gốc trùng điểm ngọn và bằng a 0 } Tích của và được định nghĩa như sau: , E K a , 0
2.3.3 Định lý (Xem [7]) E K a , 0 lập thành một nhóm với phép toán đã cho.
Nếu E , 1 E 1 thì ’ và 1 có được từ và 1 bằng dãy tương đương sơ cấp nên 1 E 1 Vậy phép toán trên không phụ thuộc vào đại diện
Phần tử đơn vị của E K a , 0 là a a 0 0
Phần tử nghịch đảo của là 1 1 vì 1 1 a a 0 0
Phép toán có tính chất kết hợp vì:
Vậy E K a , 0 là 1 nhóm với phép toán đã cho
Giả sử là một đường trong K với điểm gốc trùng điểm ngọn và bằng a 0,
với a 0 a k và a 0, ,a k là các đỉnh của K
Coi I 0,1 là không gian của phức đơn hình với các đỉnh 0, , , 1 k 1 ,1 k k
Khi đó, 0 sẽ xác định một ánh xạ đơn hình :I K Ta có các kết quả sau:
Ta chỉ cần chứng minh nếu tương đương cạnh sơ cấp với thì
Thật vậy, tương đương cạnh sơ cấp với nên và có dạng:
( a a k , k 1 , a k 2 là các đỉnh của cùng một đơn hình.) a a a a 0 1 1 2 a a a a a a k 1 k k k k k 2 a a k l k l 1
Ta có: và xác định các ánh xạ đỉnh 0 và 0 :
Các ánh xạ đỉnh 0 , 0 sẽ xác định các ánh xạ đơn hình , :I K.
Rõ ràng F xác định, liên tục và F t 1, 0 t 1 ; F t 1,1 t 1
Vậy F là phép đồng luân nối , hay
2.3.5 Mệnh đề Giả sử , là các đường trong K, khi đó
Với a 0, ,a k l là các đỉnh của K và a 0 a k a k l
Rõ ràng F xác định, liên tục và F t 1, 0 t 1 ; F t 1,1 t 1
Vậy F là phép đồng luân nối , hay
2.3.6 Định lý (Xem [7]) Cho K là một phức đơn hình, a 0 là một đỉnh của K Khi đó E K a , 0 đẳng cấu với 1 K a, 0
Xét ánh xạ h E K a: , 0 1 K a, 0 ,h Theo các Mệnh đề 2.3.4,
2.3.5 thì h xác định và h là đồng cấu
Ta cần chứng minh h là song ánh Thật vậy :
Giả sử 1 K a, 0 Theo Định lý 2.2.9 thì tồn tại thứ phân I’ của I và ánh xạ đơn hình : I’ K là xấp xỉ của và
Gọi t 0 < t 1 < < t k là các đỉnh của I’, là đường liên kết với , tức:
Khi đó h hay h là toàn ánh
Để chứng minh h là đơn ánh, ta phải chứng minh nếu là đường sao cho a 0
Theo Định lý 2.2.9, tồn tại thứ phân I’ của I và các ánh xạ đơn hình
Để chứng minh rằng \( \omega : E \to a_0 \) là ánh xạ đơn hình, trước tiên cần xác định \( \varphi_0 \) là xấp xỉ đơn hình của \( \varphi_\omega \) và \( \varphi_1 \) là xấp xỉ đơn hình của \( \epsilon a_0 \) với \( \varphi \varphi_0 : C^1 \) Vì \( \epsilon a_0 \) là ánh xạ đơn hình, suy ra \( \varphi_1 \) cũng là xấp xỉ đơn hình của \( \epsilon a_0 \), theo bổ đề 2.2.3 Việc này dẫn đến kết luận rằng \( \varphi \epsilon_1 = a_0 \).
(i) Nếu , : I K là các ánh xạ đơn hình và C thì E với , là các đường liên kết với và Thật vậy:
Vì C nên t k 1 , t k , t k , t k 1 là đỉnh của cùng một đơn hình thuộc
(ii) Nếu : I K là ánh xạ đơn hình và : I’ K là xấp xỉ đơn hình của trên thứ phân I’ của I thì E Thật vậy:
Giả sử I là phức con của I, chứa các đỉnh t t 0 , , , 1 t k của I Theo định lý 2.2.5, ta có I I , dẫn đến t i t i với mọi i từ 0 đến k Vì là ánh xạ đơn hình, nên cặp t i , t i 1 tạo thành đơn hình (S) trong K có chiều 0 hoặc 1 Đối với mỗi đỉnh u của I thỏa mãn t i u t i 1, thì u sẽ là đỉnh của (S) Do là xấp xỉ đơn hình của , nên ta có u st u st u , dẫn đến S st u .
Do đó, nếu t i u 1 u r 1 t i 1 là các đỉnh của I thì u 1 , , u r 1 là các đỉnh của cùng một đơn hình (S) của K Hơn nữa ta có:
Vì vậy u 0 , u 1 , , u r là các đỉnh của cùng một đơn hình (S) của K
Từ hai chứng minh trên ta có:
Theo (ii), vì 0 là xấp xỉ đơn hình của nên 0 0
Vậy h là đẳng cấu hay E K a , 0 đẳng cấu với 1 K a , 0
Ví dụ Nếu K là một đơn hình và a0 là một đỉnh của K thì 1 K a, 0 là nhóm tầm thường
Thật vậy, giả sử E K a , 0 , a a a a 0 1 1 2 a a k 0 Do K là đơn hình nên
Nếu T là một cây và a 0 là một đỉnh của T thì: E T a , 0 1 T a , 0 0
Cho tập S = {a 1 , a 2, , a n} và các ký hiệu a 1 -1 , , a n
T là tập hợp tất cả các từ được tạo ra bằng cách sắp xếp các ký hiệu theo thứ tự tùy ý trong một hàng hữu hạn, cho phép lặp lại các ký hiệu Phép toán trên T được thiết lập dựa trên nguyên tắc này.
, T, tích . được xác định bằng phép ghép: được gắn vào điểm cuối của Chẳng hạn: nếu a a a a 1 2 3 1 4 ; a a a a a 1 1 2 3 4 5 1 thì
Từ ngược của một chuỗi ký tự được xác định bằng cách đảo ngược thứ tự các phần tử trong chuỗi đó, với quy tắc thay thế các ký tự a j bằng a j 1, a j 1 bằng a j và giữ nguyên ký tự e Ví dụ, nếu chuỗi là a a a a a 1 1 2 3 1 4 5 1 , thì từ ngược của nó, 1, sẽ là a a a a a 5 4 1 3 2 1 1 .
Một quan hệ tương đương giữa các từ trên T được định nghĩa như sau:
Hai từ bất kỳ là tương đương nhau nếu một từ có thể thu được từ từ còn lại bằng dãy các phép tương đương cơ bản như trên
Nhóm tự do sinh bởi n phần tử, ký hiệu F n, được hình thành từ việc tập hợp các lớp tương đương giữa các từ, với phép toán Đơn vị của nhóm này là lớp tương đương của e.
2.3.9 Nhận xét Nếu F n là nhóm tự do với các phần tử sinh: a 1 , a 2 , , a n và G là một nhóm bất kỳ, thì khi đó mỗi ánh xạ h: {a 1 , a 2 , , a n } G có thể mở rộng thành một đồng cấu h F : n G xác định bởi:
2.3.10 Định lý (Xem [7]) Nếu K là một đồ thị liên thông đường, a 0 là một đỉnh của K thì 1 K a , 0 F n với n 1 K
Ta sẽ xây dựng các đồng cấu: h: E(K, a 0 ) F n và h 1: F n E(K, a 0) sao cho
F n E K a hh h h Khi đó E K a , 0 F n , mà theo Định lý 2.3.6 thì
Xây dựng h: Gọi (s1), , (sn) (n = -1 χ(K)) là các đơn hình mở 1 chiều của K, sao cho T = -K {s1 ∪ s2 ∪ ∪ sn} là một cây Gọi Fn là nhóm tự do sinh bởi {s1, s2, , sn} Với mỗi j ∈ {1, 2, , n}, đặt sj+ là cạnh aj aj' trong K và sj- là cạnh aj aj', trong đó aj và aj' là các đỉnh của sj Do đó, mỗi đường ω trong K có dạng: s1 s2 sj.
với i là đường trong cây T Đặt 1 2
k j j j h s s s Ta phải kiểm tra h là xác định
Do h chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương cạnh của nên ta chỉ cần chứng minh: nếu 1 và 2 tương đương cạnh sơ cấp thì h 1 h 2
Giả sử 1 a a a a 1 2 2 3 , 2 a a 1 3 , ở đây và là các đường trong K,
1, 2, 3 a a a là các đỉnh của cùng một đơn hình trong K Do K là một đồ thị nên không có đơn hình 2 chiều, vì vậy xảy ra các trường hợp:
Trong 3 trường hợp đầu thì ít nhất một trong các đơn hình a a 1 , 2 , a a 2 , 3 là đơn hình 0 chiều, nên trong 3 trường hợp đầu ta có h 1 h 2
Nếu a a 1 , 2 không là (s j ) thì h 1 h 2 Nếu a a 1 , 2 là (s j ) với j nào đó thì :
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có h 1 h 2 h xác định và h là một đồng cấu nhóm
Do F n là một nhóm tự do, h 1 được định nghĩa dựa trên các phần tử sinh (s j) = (a j, a j’) Gọi j là đường trong cây T từ a 0 đến a j, và j là đường trong cây T từ a 0 đến a j’ H 1(s j) là lớp tương đương cạnh của đường và j, được biểu diễn bởi công thức s j = + j - j 1.
1 j h s xác định và độc lập với j (vì T là cây nên liên thông, theo định lý
2.1.6 thì mọi đường từ a 0 đến a j đều tương đương cạnh với j ) Khi đó, h 1 mở rộng duy nhất một đồng cấu từ F n E(K, a 0)
Vì với mỗi phần tử sinh s j của F n ta có: h h 1 s j h j s j j s j nên h h 1 là đồng nhất
là một đường trong K thì: h h 1 h 1 s j 1 1 s j 2 1 s j k 1
đều là các đường trong T từ a 0 đến điểm gốc của s j i Do T là liên thông nên
là tương đương cạnh Tương tự
là tương đương cạnh Tiếp tục quá trình nên ta được 1
Tính nhóm cơ bản của một số hình
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá các nhóm cơ bản của một số hình dạng đồ thị và cách chuyển đổi các hình này về dạng đồ thị thông qua Định lý 2.3.10 Hơn nữa, dựa vào Định lý 2.3.10, chúng tôi cũng sẽ chứng minh một số mệnh đề liên quan đến nhóm cơ bản của đồ thị.
2.4.1 Tính nhóm cơ bản của một số hình quen thuộc
Xét K là không gian một điểm, khi đó K là đồ thị 0 chiều với số cạnh là 0 số đỉnh là 1
Xét K là đoạn thẳng đóng khi đó k là đồ thị liên thông đường.
Xét K là nửa đường tròn, khi đó K đồng phôi với đoạn thẳng nên
Xét K là đường gấp khúc n cạnh, khi đó số đỉnh của nó là n+1 nên ta có
Xét K là đa giác lồi n – cạnh, khi đó K là đồ thị liên thông đường với số cạnh bằng số đỉnh
Xét K là đường tròn hoặc elip
Đường tròn và elip đồng phôi với tam giác, trong đó nhóm cơ bản của tam giác tương đương với nhóm các số nguyên Z Do đó, ta có thể biểu diễn mối quan hệ này bằng phương trình K x , 0 .
K là một bó gồm m đường tròn, khi đó K tương ứng đồng phôi với K’ là một bó m biên tam giác, khi đó số đỉnh của K’ là 2m+1, số cạnh của K’ là
Xét K là mặt phẳng bỏ đi một điểm, ta chứng minh được K co rút biến dạng về đường tròn
Thật vậy, cho S 1 là đường tròn đơn vị trong 2 Xét phép biến dạng:
S 1 là điểm co rút biến dạng mạnh của tập hợp 2 \ 0 Khi chọn điểm bỏ đi của mặt phẳng trùng với 0, K sẽ co rút biến dạng mạnh về S 1, từ đó suy ra mối quan hệ giữa K và S 1.
S 1 có cùng kiểu đồng luân
Bó hai đường tròn là một biến dạng của mặt phẳng khi bỏ đi hai điểm, trong khi bó m đường tròn là biến dạng khi bỏ đi m điểm Nhóm cơ bản của mặt phẳng bỏ đi hai điểm tương đương với nhóm F2, và nhóm cơ bản của mặt phẳng bỏ đi m điểm tương đương với nhóm Fm.
Xét K là hình biểu diễn các chữ số trong hệ thập phân:
- K=0 có hình dạng của một đường tròn nên K x, 0
- K=1;7;2;3;5 khi đó K x, 0 Tính toán cụ thể như sau :
K=1, khi đó K là đồ thị liên thông đường 4 cạnh 5 đỉnh
Tương tự với K=7, ta có: K x, 0
K=2, khi đó K đồng phôi với đường gấp khúc ABCD nên K x , 0
Tương tự với K=3 và K=5, khi đó K đồng phôi với đường gấp khúc ABCDE nên K x , 0
Tính toán cụ thể như sau: Hình 20
K=4, khi đó K là đồ thị liên thông đường với số cạnh là 5 và số đỉnh là 5
K=6, khi đó K đồng phôi với đồ thị liên thông đường gồm 5 đỉnh và 5 cạnh nên ta có:
K=9, tương tự như K=6 ta cũng được kết quả K x , 0 Z
- K=8, Ta có thể xem K là một bó 2 đường tròn nên K x , 0 F 2
Nhóm cơ bản của các chữ cái in hoa trong bảng chữ cái
Với cách làm tương tự như các số ta có thể tính được nhóm cơ bản của các chữ cái in hoa như sau:
- Nhóm cơ bản của các chữ C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X,
Y, Z đẳng cấu với nhóm tầm thường
- Nhóm cơ bản của các chữ O, P, Q, A, D đẳng cấu với tập các số nguyên Z
- Nhóm cơ bản của chữ B tương đẳng cấu với nhóm F 2
Nhóm cơ bản của đường thắt nút Đường thắt nút đồng phôi với đồ thị liên thông đường gồm 3 đỉnh và 5 cạnh Ta có:
Vậy nhóm cơ bản của đường thắt nút đẳng cấu với nhóm các số nguyên Z
Nhóm cơ bản của sợi dây có hình nơ
Dây hình nơ đồng phôi với đồ thị liên thông đường gồm 7 đỉnh và 8 cạnh Ta có:
Vậy nhóm cơ bản của sợi dây hình nơ đẳng cấu với nhóm F 2
2.4.2 Mệnh đề Cho K là khung 1 chiều của hình đa diện lồi m mặt, khi đó
Chứng minh Gọi đ, c, m lần lượt là số đỉnh , số cạnh , số mặt của hình đa diện lồi; Áp dụng công thức Euler ta có: đ – c + m = 2 nên
- Hình tứ diện có 4 mặt nên nhóm cơ bản của khung hình tứ diện đẳng cấu với F 3
- Hình lập phương có 6 mặt nên nhóm cơ bản của khung hình lập phương đẳng cấu với F 5
2.4.3 Hệ quả Các khung 1 chiều của những hình đa diện lồi có số mặt khác nhau thì không tương đương đồng luân
Ta có thể đơn giản cách tính nhóm cơ bản của một đồ thị liên thông đường nhờ các mệnh đề sau:
2.4.4 Mệnh đề Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường có K 1 F n , K 2 là một cây, K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một đỉnh của
K 2 với một đỉnh của K 1 , khi đó K K 1 F n
Chứng minh.Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường với K 2 là một cây Do K 2 có số đỉnh nhiều hơn số cạnh là 1 nên K K 1 Vậy K K 1 F n
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đồ thị liên thông đường K1 có đặc điểm là (K1) Fn và r cây Đồ thị K được tạo thành bằng cách dán r cây vào K1, trong đó một đỉnh của mỗi cây được đồng nhất với một đỉnh của K1 Kết quả là, ta có thể khẳng định rằng (K) (K1) = Fn.
Nhận xét Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường có K 1 F n , K 2 là một cây,
K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một cạnh của K 2 với một cạnh của K 1 , khi đó K K 1 F n
2.4.5 Mệnh đề Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường có K 1 F n , K 2 là khung 1 chiều của hình đa diện lồi m mặt , K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một đỉnh của K 2 với một đỉnh của K 1 , khi đó
Gọi đ 1 , đ 2 lần lượt là số đỉnh của K 1 , K 2 và c 1 , c 2 lần lượt là số cạnh của K 1 ,
= K 1 + ( đ2 – c2 ) – 1 ( theo công thức tính hằng số Euler )
Do K 1 F n nên n = 1 – K 1 hay K 1 1 – n, thay vào (*) ta được
2.4.6 Hệ quả Giả sử K 1 là khung 1 chiều của hình đa diện lồi m mặt , K 2 là khung 1 chiều của hình đa diện lồi m’ mặt , K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một đỉnh của K 2 với một đỉnh của K 1 , khi đó
Giả sử K1 và K2 là hai khung một chiều của hình tứ diện Hình K được tạo ra bằng cách dán K2 vào K1, đồng nhất một đỉnh của K2 với một đỉnh của K1 Theo hệ quả 2.4.5, ta có thể hình dung được cấu trúc của hình K như trong Hình 25.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét đồ thị liên thông K1 có cấu trúc gần giống với F n và các khung 1 chiều của hình đa diện lồi Cụ thể, khung 1 chiều của hình đa diện lồi sẽ bao gồm nhiều mặt khác nhau, từ m1 đến m r Hình K được tạo thành bằng cách gắn r khung hình đa diện vào K1, trong đó mỗi khung hình đa diện sẽ chia sẻ một đỉnh với K1, tạo nên một cấu trúc liên kết chặt chẽ giữa các hình.
Thay vì gắn đỉnh của khung một chiều của hình đa diện lồi vào đồ thị liên thông đường, ta gắn đỉnh của đồ thị liên thông phẳng Sử dụng công thức Euler đ – c + m = 2, trong đó đ, c, m lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số miền của đồ thị liên thông phẳng, ta có thể đạt được kết quả mong muốn.
2.4.7 Mệnh đề Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường có K 1 F n , K 2 là đồ thị liên thông phẳng với m là số miền liên thông tạo thành , K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một đỉnh của K 2 với một đỉnh của
Chứng minh (Tương tự chứng minh mệnh đề 2.4.5)
K 1 là khung 1 chiều của hình tứ diện,
K 2 là một tam giác, K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất Hình 26 một đỉnh của K 2 với một đỉnh của K 1 , khi đó K F 3 2 1 F 4
Đồ thị liên thông đường K1 có thể được biểu diễn bằng (K1) Fn Khi kết hợp r đồ thị liên thông phẳng, mỗi đồ thị tạo thành các miền liên thông m1, m2, , mr Hình K được tạo ra bằng cách dán r đồ thị này vào K1, đồng nhất một đỉnh của mỗi đồ thị với một đỉnh của K1 Kết quả là, (K) Fn + m1 + m2 + + mr - 1.
2.4.8 Mệnh đề Giả sử K 1 là đồ thị liên thông đường có K 1 F n , K 2 là khung 1 chiều của hình đa diện lồi m mặt , K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một cạnh của K 2 với một cạnh của K 1 , khi đó
Gọi đ 1 , đ 2 lần lượt là số đỉnh của K 1 , K 2 và c 1 , c 2 lần lượt là số cạnh của
= K 1 + ( đ2 – c2 ) – 1 ( theo công thức tính hằng số Euler )
Do K 1 F n nên n = 1 – K 1 hay K 1 1 – n, thay vào (*) ta được
Ví dụ K 1 , K 2 là khung 1 chiều của hình lăng trụ tam giác, K là hình được dán bởi K 2 vào K 1 bằng cách đồng nhất một cạnh của K 2 với một cạnh của
K 1, theo mệnh đề 2.4.8 ta có K F n m 1 F 4 5 1 F 8
Đồ thị liên thông K1 có thể được mô tả bởi F(n) và có r khung 1 chiều của hình đa diện lồi, bao gồm khung 1 chiều của các hình đa diện m1 mặt, m2 mặt, cho đến mr mặt Hình K được tạo ra bằng cách dán r khung hình đa diện vào K1, với việc gán một cạnh của mỗi khung hình đa diện cho một đỉnh của K1.
Thay vì dán cạnh của khung một chiều của hình đa diện lồi vào đồ thị liên thông đường, ta dán cạnh của đồ thị liên thông phẳng Sử dụng công thức Euler đ - c + m = 2, trong đó đ, c, m lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số miền của đồ thị liên thông phẳng, ta có thể đạt được kết quả mong muốn.