Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự

Các khái niệm và tính chất cơ bản về dàn và nửa dàn

Nửa dàn và dàn

1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng Khi đó quan hệ hai ngôi ≤ trên X được gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận nếu với mọi x,y zX, các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

P2 Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y (phản xứng)

P3 Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z (bắc cầu)

Tập hợp X kết hợp với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được gọi là một tập được sắp thứ tự bộ phận (poset).

Giả sử (X, ≤) là một tập hợp thứ bậc (poset) với x, y thuộc X Khi x ≤ y và x khác y, ta ký hiệu x < y, nghĩa là x nhỏ hơn y hoặc x được thực sự chứa trong y Quan hệ x ≤ y cũng có thể được viết là y ≥ x, thể hiện rằng y chứa x Tương tự, x < y cũng có thể được ký hiệu là y > x.

1.1.2 Định nghĩa Giả sử (P, ≤) là một poset và X là một tập con của P Khi đó phần tử aP được gọi là một cận trên (upper bound) của X nếu a chứa mỗi x  X Cận trên nhỏ nhất (least upper bound) của X là một cận trên của X được chứa trong mỗi cận trên khác của X, được ký hiệu bởi l u b X hay sup

X Theo P2, sup X là duy nhất nếu nó tồn tại

Các khái niệm cận dưới (lower bound) của X – ký hiệu là g 1 b X hay infX – được định nghĩa đối ngẫu Lại theo P2, infX là duy nhất nếu nó tồn tại

1.1.3 Định nghĩa Giả sử L là một poset Khi đó L được gọi là một dàn

Trong lý thuyết lưới, nếu hai phần tử a và b thuộc tập L, thì cận trên nhỏ nhất của chúng, được ký hiệu là a ∧ b, và cận dưới lớn nhất, ký hiệu là a ∨ b, phải tồn tại và cũng thuộc tập L.

Dàn L được gọi là dàn đầy đủ (complete) nếu mỗi tập con X của nó có một cận trên nhỏ nhất và một cận dưới lớn nhất thuộc L

1.1.4 Định nghĩa (i) Quan hệ ≤ trên tập hợp S được gọi là một tựa – thứ tự

(quasi- ordering) nếu nó thỏa mãn các tiên đề P1 và P3 nhưng không thỏa mãn P2

(ii) Cặp (S, ≤) lúc đó sẽ được gọi là tập được sắp tựa thứ tự (quasi - ordered set)

Các tập hợp tựa – thứ tự có thể được hình thành từ các đồ thị định hướng, bao gồm các điểm liên thông được kết nối bởi các đoạn thẳng định hướng Hình 1a minh họa một ví dụ về đồ thị định hướng.

Trong một đồ thị định hướng với các đỉnh x, y, ta định nghĩa x < y nếu x = y hoặc tồn tại một quỹ đạo từ x đến y theo hướng của các mũi tên Ví dụ, trong hình 1a, ta có b ≤ e do có quỹ đạo b → d và d → e Các quan hệ này cho thấy tính chất bắc cầu Tuy nhiên, trong hình 1a cũng có b ≤ e và e ≤ b, điều này chứng tỏ luật phản xứng không được thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ một poset được xây dựng từ một tựa thứ tự đã cho như thế nào

1.1.5 Bổ đề Trong một tập tựa – thứ tự Q = (S,  ), định nghĩa x ~ y khi và chỉ khi x  y và y  x Thế thì:

(i) ~ là một quan hệ tương đương trên S

(ii) Nếu E và F là hai lớp tương đương đối với ~, thế thì x  y hoặc không tồn tại x  E, y  F hoặc đối với mọi x  E, y  F

(iii) Tập thương S/~ là một poset nếu E  F được định nghĩa bởi x  y đối với x  E, y  F nào đó

Quan hệ ~ không phản xạ vì x ≤ x đối với tất cả x thuộc S Nếu x ~ y và y ~ z, điều này dẫn đến x ≤ y và y ≤ z, do đó x ≤ z theo P3 Tương tự, z ≤ x cho thấy x ~ z, do đó quan hệ này cũng không bắt cầu Cuối cùng, quan hệ ~ là đối xứng theo định nghĩa.

(ii) Nếu x  y đối với x  E, y  F nào đó, thế thì x    x 1 y y 1 đối với tất cả x 1  E, y 1  F, dó đó x 1  y 1 bởi tính bắc cầu

(iii) Rõ ràng E ~ F (vì x ~ x) đối với tất cả E Hơn nữa, E  F và F  G kéo theo x  y  z đối với tất cả x  E, y  F, z  G, từ đó x  z theo P3 về  và

 trên S/ ~ bắc cầu Cuối cùng, E  F và F E kéo theo đối với tất cả x  E, y

Trong đồ thị định hướng của hình 1a, các lớp tương đương là các tập   a ,

 b , d , e ,   c và poset tương ứng có biểu đồ phác họa trong hình 1b

Vì có Bổ đề 1.1.5 nên một tựa – thứ tự thường được gọi là một tiền thứ tự (pre-order)

Bổ đề 1.1.5 có nhiều ứng dụng, chẳng hạn được thể hiện trong ví dụ sau

1.1.6 Ví dụ Giả sử S là một nửa nhóm với đơn vị Ta định nghĩa một quan hệ \ trên S như sau: a \ b nếu và chỉ nếu ac = b đối với c  S nào đó Thế thì \ là một tựa - thứ tự trong S; các phần tử của S là “tương đương” theo ý nghĩa của Bổ đề 1.1.5 nếu và chỉ nếu chúng là “liên kết” theo nghĩa lý thuyết số

Bây giờ ta hãy xét sâu hơn các tiên đề dàn

1.1.7 Mệnh đề Trong một poset tùy ý, các toán tử hợp và giao thỏa mãn các tính chất sau đây

Ngoài ra, x  y tương đương với mỗi điều kiện x  y = x và x  y = y (phi mâu thuẫn)

Luật lũy đẳng và giao hoán trong đại số Boole là rõ ràng, cho thấy tính chất của phép toán Luật kết hợp L3 cũng được khẳng định khi x ∧ (y ∧ z) và (x ∧ y) ∧ z đều cho kết quả giống nhau, tức là g.l (x, y, z) khi tất cả các biểu thức được xác định tồn tại Sự tương đương giữa x ≥ y, z ∧ y và x cũng nhấn mạnh tính chất của các phép toán này.

 y =x được kiểm tra trực tiếp và suy ra L4 □

1.1.8 Mệnh đề Nếu một poset P có O thì O  x = O và O  x = x đối với mọi x  P Đối ngẫu, nếu P có một cận trên phổ dụng I, thế thì x  I = x và x  I = I đối với mọi x  P

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ các định nghĩa □

1.1.9 Mệnh đề Trong một dàn tùy ý, các toán tử hợp và giao được bảo toàn thứ tự nghĩa là

Chứng minh Theo L1 – L4 và luật phi mâu thuẫn có x  y = (x  x)  (y

 z) = (x  y)  (x z), dó đó x  y  x  z theo luật phi mâu thuẫn

Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu □

1.1.10 Mệnh đề Trong một dàn tùy ý có: x  (y  z)  (x  y)  (x  z) x  (y  z)  (x  y)  (x  z)

Chứng minh Rõ ràng, x  y  x và x  y  y y  z; từ đó z  y  x 

(y  z) Ta lại có x  z  x, x  z  z  y  z, từ đó x  z  x  (y z) Nghĩa là, x  (y z) là một cận trên của x  y và x  z Từ đó, x  (y  z) 

Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu □

1.1.11 Mệnh đề Các phần tử của một dàn tùy ý thỏa mãn bất đẳng thức modular: z  x kéo theo x  (y  z)  (x  y)  z

Chứng minh x  x  y và x  z Từ đó x  (x  y)  z Ta lại có y  z  y  x  y và y  z  z Do đó y  z  (x  y)  z, từ đó x  (y  z)  (x  y)  z.□

Từ các mệnh đề 1.1.5 – 1.1.10, có thể nhận thấy rằng lý thuyết dàn mang đậm tính chất đại số Chúng ta sẽ chứng minh rằng, khi xem xét lý thuyết dàn như một ngành đại số, các đồng nhất thức L1 – L4 có khả năng đặc trưng đầy đủ cho các dàn Để thực hiện điều này, cần phải đưa vào khái niệm mới.

1.1.12 Định nghĩa Một hệ với một phép toán hai ngôi đơn, lũy đẳng, giao hoán và kết hợp được gọi là một nửa dàn (semilattice)

Mệnh đề 1.1.6 có một hệ quả trực tiếp sau đây và một hệ quả đối ngẫu đối với các hợp cũng đúng

Hệ quả Giả sử P là một poset trong đó hai phần tử tùy ý có giao Thế thì

P là một nửa dàn với phép toán  Các nửa dàn như vậy được gọi là nửa dàn với giao (meet – semilattice) Đảo lại ta có

1.1.13 Mệnh đề Dưới quan hệ được xác định bởi

(*) x  y nếu và chỉ nếu xoy = x nửa dàn tùy ý với phép toán hai ngôi o là một poset mà trong đó xoy = g.l.b.  x, y

Luật lũy đẳng xác định rằng xox = x dẫn đến luật phản xạ x ≤ x Luật giao hoán cho thấy xoy = x và y ≤ x, từ đó suy ra x = xoy = yox = y, khẳng định luật phản xứng P2 Luật kết hợp cho biết nếu x ≤ y và y ≤ z thì x = xoy = xo(yoz) = (xoy)oz = xoz, dẫn đến x ≤ z, chứng minh luật bắc cầu P Hơn nữa, có (xoy)ox = xo(xoy) = (xox)oy = xoy, do đó xoy ≤ x.

Tương tự xoy  y Cuối cùng, nếu z  x và z  y, thế thì zo (xoy) = (zox) oy = zoy = z, từ đó z  xoy, chứng tỏ rằng xoy = g.l.b.  x, y □

1.1.14 Định lý Một hệ L bất kì với hai phép toán hai ngôi  và  thỏa L1 – L4 là một dàn và ngược lại

Theo Mệnh đề 1.1.13, trong một poset L thỏa mãn L1 – L4, ta có x  y = g.l.b.{x, y}, từ đó suy ra x ≤ y tương đương với x  y = x Tiếp theo, từ L4, nếu x  y = x thì x  y = (x  y)  y = y, và điều này cũng đúng với trường hợp đối ngẫu Do đó, x ≤ y tương đương với x  y Bằng đối ngẫu, ta cũng suy ra rằng x  y = l.u.b.{x, y}, khẳng định rằng L là một dàn đã được chứng minh trong Mệnh đề 1.1.6.

Các tiên đề L1 – L4 áp dụng cho một dàn không độc lập, trong đó luật lũy đẳng được suy ra từ L4 Cụ thể, ta có x ∨ x = x ∨ [x ∧ (x ∨ x)] = x, với đẳng thức đầu tiên dựa trên luật tương phản thứ nhất x = x ∧ (x ∨ y) khi y = x, và luật tương phản thứ hai do tính đối ngẫu với y = x ∨ x Từ đó, ta cũng chứng minh được rằng x ∧ x = x.

Sáu đẳng thức còn lại của L2 – L4 là độc lập, nghĩa là không thể chứng minh một đẳng thức nào từ năm đẳng thức còn lại Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng phương pháp đối ngẫu, bằng cách đưa ra các tập hợp và toán tử phù hợp thỏa mãn năm trong sáu đẳng thức của L2 - L4 nhưng không thỏa mãn đẳng thức còn lại Chúng ta sẽ thực hiện điều này thông qua các ví dụ cụ thể.

1.1.15 Ví dụ (i) Giả sử N + là tập hợp các số nguyên dương Định nghĩa x  y = max(x, y) và x  y = x Thế thì tất cả các đẳng thức của L2 – L4 (trừ đẳng thức x y = y  x) là đúng

(ii) Xét biểu đồ ở hình 2

Cấu xạ và iđêan

Cấu xạ trong dàn có bốn cách hiểu khác nhau, mỗi cách mang lại những ứng dụng quan trọng riêng Dưới đây, chúng ta sẽ mô tả chi tiết về từng khái niệm này.

1.2.1 Định nghĩa Giả sử : L → M là một ánh xạ từ dàn L đến dàn M Thế thì

(i)  được gọi là bảo toàn thứ tự ( isotone) khi x  y kéo theo (x) 

(ii)  được gọi là một cấu xạ hợp ( join – mophism) khi (x  y) = (x)

(iii)  được gọi là một cấu xạ giao (meet – mophism) nên (x  y) (x)  (y) đối với mọi x, y  L

(iv)  được gọi là một cấu xạ (mophism) nếu nó vừa là cấu xạ giao vừa là cấu xạ hợp

Giả sử  là một cấu xạ, nó được phân loại thành đơn cấu xạ, toàn cấu xạ hay đẳng cấu xạ tùy thuộc vào việc  là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Nếu L = M,  được gọi là tự cấu xạ, và trong trường hợp L = M và  là song ánh, nó được gọi là tự đẳng cấu xạ.

Cấu xạ - hợp và cấu xạ - giao có ứng dụng rộng rãi cho các nửa dàn hợp và nửa dàn giao, trong khi ánh xạ bảo toàn thứ tự được áp dụng cho các poset Những kết quả dưới đây là hiển nhiên.

1.2.2 Bổ đề Cấu xạ hợp tùy ý giữa các nửa dàn hợp là bảo toàn thứ tự; kết luận này cũng đúng cho cấu xạ - giao giữa các dàn giao

1.2.3 Bổ đề Song ánh bảo toàn thứ tự tùy ý với ánh xạ ngược bảo toàn thứ tự là một đẳng cấu – dàn

Như vậy, đối với các song ánh đặc điểm phân biệt trên là cần thiết Hơn nữa, chúng cũng cần thiết đối với các toàn ánh và đơn ánh

Khái niệm hạt nhân của ánh xạ là một yếu tố quan trọng trong lý thuyết nhóm và lý thuyết vành, và nó cũng mang nhiều tính chất tương tự khi áp dụng cho các cấu xạ dàn.

1.2.4 Định nghĩa Một tập con khác rỗng J của một dàn (hay nửa dàn – hợp)

L được gọi là một iđêan (ideal) nếu thỏa mãn hai điều kiện:

Khái niệm đối ngẫu (trong một dàn hay nửa dàn) được gọi là iđêan đối ngẫu (dual ideal) hay iđêan giao (meet – ideal)

1.2.5 Ví dụ Trong “Tập hợp lực lượng” (power set) P (E) tất cả các tập hợp con của E, một iđêan đối ngẫu (không phải P(E) tự đối ngẫu) được gọi là cái lọc (fillter) của các tập hợp

1.2.6 Định lý Dưới cấu xạ - hợp  tùy ý từ nửa dàn – hợp L lên nửa dàn – hợp M với 0, tập hợp Ker  là một iđêan của L (Ker  là hạt nhân của  nghĩa là Ker  =  x  L / ( )  x  O M )

Chứng minh Giả sử (a) = 0, (b) = 0 Thế thì (a)  (b) = 0, nhưng khi đó (a) = 0 và (b) = 0 Đảo lại, nếu (a  b) = 0 thì (a)  (b) = 0, nhưng khi đó (a) = 0 và (b) = 0 Như vậy tập Ker là một iđêan theo nghĩa trên □

Đòi hỏi khác rỗng của iđêan mang lại cả lợi thế và trở ngại Lợi thế này giúp mệnh đề đảo của Định lý 1.2.6 trở nên đúng Tuy nhiên, trở ngại chính là giao của một họ tùy ý các iđêan trong một dàn không chứa phần tử nhỏ nhất 0 có thể là rỗng Hơn nữa, nếu dàn có phần tử 0, tất cả các iđêan chứa 0 và các phần tử khác có thể không xuất hiện.

1.2.7 Định nghĩa Cho trước một phần tử a  L

Tập con L(a) =  x  L / x  a là một iđêan của L và được gọi là iđêan chính

(principal ideal) của L sinh bởi a

Trong một dàn tùy ý có độ dài hữu hạn, mỗi iđêan (khác rỗng) đều là một iđêan chính Kết luận này cũng đúng trong trường hợp mỗi chuỗi tăng trong dàn L là hữu hạn.

Nếu J = L(a) là một iđêan chính của L được sinh bởi a thì ánh xạ x → (x)

= x  a là một tự đồng cấu – hợp với hạt nhân J, vì (x  y) = (x  y)  a Lại có, nếu z  J thì z  a và z  a = a, do đó (z) = a Đối với x  L tùy ý,

1.2.8 Định lý Tập hợp tất cả các iđêan của một dàn tùy ý được sắp theo thứ tự bao hàm tạo thành một dàn L Tập hợp tất cả các iđêan chính của L tạo thành một dàn con của dàn L, đẳng cấu với L

Chứng minh Cho trước hai iđêan J và K của L, chúng có một phần tử chung vì nếu a  J và b  K, thì a  b  J  K Như vậy ta có thể làm cho J

 K như giao (theo lý thuyết tập hợp) của J và K, rõ ràng nó là một iđêan

Một iđêan tùy ý chứa cả J và K phải bao gồm tập hợp M, trong đó tất cả các phần tử x thỏa mãn x ≤ a ∨ b với a ∈ J và b ∈ K Tập hợp M được coi là một iđêan nếu khi x ∈ M và y ≤ x ∨ b, thì x ≤ a ∨ b và y ≤ a₁ ∨ b₁ với a, a₁ là các phần tử tương ứng.

 J và b, b 1  K nào đó; x  y  (a  b)  ( a 1  b 1 ) = (a  a 1 )  (b  b 1 ), trong đó a  a 1  J và b  b 1  K vì J và K là những iđêan Từ đó M sup(J, K) trong tập hợp tất cả các iđêan của L

Nếu J và K là các iđêan chính được sinh bởi các phần tử a và b, thế thì J 

K và J  K là các iđêan chính được sinh bởi a  b và a  b tương ứng Các iđêan như vậy tạo thành một dàn con của dàn L đẳng cấu với dàn L □

Các quan hệ tương đẳng

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa dàn – hợp (tương ứng, nửa dàn – giao) và  là một quan hệ tương đương trên S Khi đó,  được gọi là một quan hệ tương đẳng (congruence relation) nếu a  b (mod ) kéo theo a  x  b  x (tương ứng a  x  b  x) với mọi x  S

1.3.2 Bổ đề Giả sử J là một iđêan trong nửa dàn – hợp S Thế thì quan hệ

* a  b (mod J) nếu và chỉ nếu a  d  b  d (mod J) đối với d  J nào đó là một quan hệ tương đẳng trên S

Chúng ta có thể chứng minh rằng quan hệ (*) là quan hệ tương đương và tương thích với hợp (a  c)  d = (b  c)  d nếu và chỉ nếu a  d = b  d Từ đó, Bổ đề 1.3.2 được suy ra như một hệ quả của Định lý sau đây.

1.3.3 Định lý Nếu J là một iđêan của nửa dàn – hợp S vơi 0, thế thì có một tự đồng cấu – hợp  từ L lên nửa dàn – hợp T sao cho Ker  = J

Chứng minh rằng các lớp tương đương được tạo thành bởi quan hệ tương đẳng – hợp a  b (mod J) là đồng cấu Ánh xạ mỗi phần tử của S vào lớp tương đương chứa phần tử đó giữ tính chất ôphộp thếằ của quan hệ tương đẳng – hợp: a  b (mod ) kéo theo a  x  b  x đối với mọi x thuộc S Tập hợp T các lớp tương đương là một nửa dàn – hợp, do đó tập hợp J tạo thành một trong các lớp tương đương Vì 0 thuộc S nằm trong J, nên ta có Ker = J.

1.3.4 Định lý Cho trước một iđêan trong dàn phân phối L Thế thì a  b (mod J) xác định một toàn cấu  từ L lên dàn M với 0, sao cho L = Ker  Chứng minh Chúng ta đã chứng minh được rằng a  b (mod J) kéo theo a  c (mod J) với c  J tùy ý (phép chứng minh sẽ được hoàn thành bằng cách chứng minh rằng a  b (mod J) kéo theo a  c  b (mod J)) Điều này suy ra từ, nếu a d  b d đối với d  J nào đó, thế thì

Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số tính chất của đồng cấu và hạt nhân của nó Cụ thể, hạt nhân của đồng cấu – dàn không được xác định duy nhất bởi tương đẳng liên kết, điều này trái ngược với tình huống trong các nhóm Hình 3 minh họa hai cấu xạ giữa các chuỗi có cùng hạt nhân nhưng lại có các tương đẳng khác nhau Thêm vào đó, trong một số ví dụ khác, ảnh đồng cấu có thể không đẳng cấu.

Hơn nữa tính nhập nhằng trên đây không có thể xuất hiện trong dàn đầy đủ tương đối Điều đó được chứng minh dễ dàng

1.3.5 Bổ đề Nếu u  v (mod  ) trong một dàn L, thế thì x  y (mod  ) đối với tất cả x, y nằm trong đoạn [u  v, u  v]

Chứng minh Theo giả thiết, x = x  (u  v)  x  (u  u)  x  u (mod

) và đối ngẫu: x  x  v (mod ) Từ đó u = u  (u  x)  u  x  x (mod

) Tương tự, u y (mod ) nên x y (mod ) do tính bắc cầu □

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các iđêan chuẩn (standard ideals) trong các dàn đầy đủ tương đối Có thể thiết lập một song ánh giữa các quan hệ tương đẳng và một lớp con các iđêan Cụ thể, theo Định lý 1.3.4, ta có thể khẳng định rằng a  b (mod J) nếu và chỉ nếu (a  b)  c = a  b với c thuộc một tập hợp nhất định.

Trong một dàn L tổng quát, một iđêan J được xem là chuẩn (standard) nếu quan hệ tương đương này giữ tính chất phép thế đối với cả hợp và giao.

Theo Bổ đề 1.3.2, một dàn phân phối được coi là tương đẳng Định lý 1.3.4 khẳng định rằng nếu mỗi iđêan trong một dàn phân phối là chuẩn, thì ngược lại, nếu tất cả iđêan của dàn L đều là iđêan chuẩn, thì L sẽ là một dàn phân phối.

1.3.6 Định nghĩa Dàn L được gọi là dàn bù được từng đoạn ( sectionally comlemented) khi nó có 0 và mỗi đoạn [0,a] là bù được

Rõ ràng dàn bù được tương đối với 0 là bù được từng đoạn

1.3.7 Định lý Giả sử  là một quan hệ tương đẳng trên một dàn L bù được từng đoạn Thế thì x  0 tạo thành một iđêan đối với a  J(  ) nếu và chỉ nếu (x  y)  a = x  y đối với a  J(  ) nào đó Đảo lại, mỗi iđêan chuẩn J của L xác định một tương đẳng bằng cách như vậy

Trong một dàn tùy ý, nếu x  a = y  a với a  0, thì suy ra x = y() Ngược lại, giả sử x  y() trong một dàn bù từng đoạn và a là phần tử của x  y trong [0, x  y] với điều kiện x  y  a = 0 và (x  y)  a = x  y, thì a ≤ x  y Từ đó, a = 0() và x  y ≥ x  a ≥ (x  y)  a = x  y Do đó, x  a = x  y và tương tự y  a = x  y = x  a, hoàn thành phép chứng minh □

1.3.8 Hệ quả Trong một dàn bù được tương đối với độ dài hữu hạn, mội quan hệ tương đẳng  tương ứng một phần tử a sao cho x  y (  ) nếu và chỉ nếu x  a = y  a

Phần tử a là phần tử nhỏ nhất của iđêan (chính) J trong Định lý 1.3.7

1.3.9 Định nghĩa (i) Một iđêan của dàn L được gọi là nguyên tố (prime) khi phần bù của nó là một iđêan đối ngẫu Điều đó rõ ràng tương đương với điều kiện a  b kéo theo a P hoặc b  P Từ đó trong một dàn phân phối, mỗi iđêan chính J(c) là nguyên tố nếu và chỉ nếu c là bất khả quy – giao

Một iđêan thực sự A được gọi là tối đại (maximal) khi trong dàn L không tồn tại iđêan nào thực sự lớn hơn A Điều này có nghĩa là A là nguyên tố đối ngẫu của dàn L.

Từ Định lý 1.2.6 và Định lý 1.3.3 trực tiếp suy ra

1.3.10.Hệ quả Iđêan nguyên tố của một dàn L đã cho là hạt nhân của toàn cấu dàn  : L→ 2

Không như trong lý thuyết vành, iđêan tối đại nói chung không nguyên tố hoặc ngược lại Tuy nhiên ta có

1.3.11 Định lý (Stone) Một iđêan của một vành Boole không tầm thường A nguyên tố khi và chỉ khi nó tối đại.

Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự

Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm a) Một quan hệ thứ tự  S được gọi là tương thích với phép nhân trên S nếu thoả mãn điều kiện a  b (a, b  S) kéo theo ac  bc và ca  cb với mọi c

 S b) Nửa nhóm được gọi là nửa nhóm sắp thứ tự nếu trên S xác định được một thứ tự tương thích

2.1.2 Định nghĩa Giả sử (S, ,  ) là một nửa nhóm sắp thứ tự a) S được gọi là nửa nhóm  – nửa dàn dưới quan hệ  nếu S là một  – nửa dàn (nghĩa là với mỗi cặp phần tử a, b  S có một cận trên nhỏ nhất a  b 

S) và thỏa mãn điều kiện : với mọi a, b, c  S có c (a  b) = ca  cb và (a  b)c

= ac  bc b) S được gọi là nửa nhóm  - nửa dàn dưới quan hệ  nếu S là một 

- nửa dàn (nghĩa là với mọi cặp phần tử a, b  S có một cận dưới lớn nhất a  b thuộc S) và thỏa điều kiện: với mọi a, b, c,  S có c(a b) = ca  cb và (a

2.1.3 Ví dụ a) Giả sử S = (N, +) là nửa nhóm cộng các số tự nhiên với quan hệ thứ tự  thông thường Khi đó (S, ) là nửa nhóm sắp thứ tự, hơn nữa nó là nửa nhóm  - nửa dàn đồng thời là nửa nhóm  - nửa dàn b) Nửa nhóm P = (Z, ) các số nguyên với quan hệ thứ tự  thông thường không phải là nửa nhóm sắp thứ tự vì thứ tự đó không tương thích với phép nhân: 3  5 nhưng 5(-1)  3(-1)

2.1.4 Định nghĩa a) Một tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là một iđêan của S nếu thỏa mãn hai điều kiện:

Trong suốt chương 2, S luôn luôn được ký hiệu là nửa nhóm được sắp thứ tự và giao hoán

2.1.5 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử S là nửa nhóm sắp thứ tự giao hoán a) Một iđêan I của S được gọi là iđêan nguyên tố nếu đối với mọi a, b  S, ab  I kéo theo a  I hoặc b  I Điều kiện này tương đương với điều kiện A,

Trong lý thuyết vành, nếu B là tập con của S, và AB là tập con của I, thì sẽ dẫn đến A cũng là tập con của I hoặc B là tập con của I Một iđêan I của S được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu A^2 là tập con của I thì A cũng phải là tập con của I Đối với phần tử a thuộc S, ký hiệu I(a) đại diện cho iđêan của S được sinh ra bởi a, và có thể được biểu diễn dưới dạng I(a) = (a ∪ aS) = (a ∪ Sa) Nếu H là tập con của S, ký hiệu [H] được định nghĩa là tập hợp các phần tử t thuộc S sao cho tồn tại h trong H với điều kiện t nhỏ hơn hoặc bằng h.

2.1.6 Định nghĩa Giả sử I là một iđêan của S, x  S Thế thì tập hợp x, I :  a  S / xa  I  được gọi là mở rộng của I bởi x

2.1.7 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của S, x  S Thế thì

Chứng minh 1) Giả sử a  x, I , b  S Vì xa  I nên x(ab) = (xa)b  IS 

I, với mọi b  S Do đó ab  x, I

Giả sử a  x, I , b  S và b  a Vì xa  I và S xb  xa nên xb  I, nghĩa là b  x, I

2) Nếu a  I, thế thì xa  SI I, nghĩa là a  x, I Nếu a  x, I , thế thì x 2 a = x(xa)  SI  I, nghĩa là a  x 2 , I

3) Giả sử x  I, a  S Vì xa  IS  I nên a  x, I □

2.1.8 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của S Thế thì I là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu: đối với mọi x  I, có x, I = I

Chứng minh (  ) Giả sử x  I, a  x, I Vì xa  I và I nguyên tố nên a  I

(  )Giả sử x, y  S, xy I, x I Vì xy I nên y  x, I Vì x  I nên x, I I Do đó y I □

2.1.9 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của S,  P  ,   A  là một họ các iđêan của S;

Thế thì, đối với mọi x  S, x, I là một iđêan nửa nguyên tố của S

Chứng minh: Giả sử x  S Khi đó

Giả sử   A nếu x  P  , thế thì x P ,  = S theo Mệnh đề 2.1.7 Nếu x  P  , thế thì x P ,  = P  (theo Mệnh đề 2.1.8) Giả sử B: =   A x /  P  Thế thì

   Vì P  nguyên tố,    A nên x, I nửa nguyên tố □

2.1.10 Mệnh đề Giả sử S có một đơn vị e, và giả sử a, b  S Thế thì I(a) 

I(b) nếu và chỉ nếu, đối với mỗi iđêan J của S, có a, J  b, J

Chứng minh.(  ) Giả sử J là một iđêan của S, z  b J , Khi đó a  I(b) (Sb], nghĩa là a  xb với x S nào đó Thế thì ax  ( xb z )  ( bz x )  JS  J az ,  J z ,  a J ,

() a  I(b) Thật vậy: vì I(b) là một iđêan của S, theo giả thiết, ta có

, I b a  b , I ( b ) Vì b  I(b) nên theo Mệnh đề 2.1.7 có b , I ( b ) = S Thế thì

, I b a = S, nghĩa là e  a , I ( b ) , và a = ae  I(b) Vì I(b) là một iđêan của S chứa a nên I(a)  I(b) □ Đối với mỗi iđêan I của S, chúng ta định nghĩa quan hệ hai ngôi  I trên S bởi:  I =  ( , ) / x y x I ,  y I , 

2.1.11 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan nửa nguyên tố của S Thế thì  I là một tương đẳng nửa dàn trên S thỏa mãn tính chất x  y  (x, xy)   I

Chứng minh  I là một tương đẳng trên S Giả sử (x, y)   I , c  S Thế thì (xc, yc)   I Thật vậy: a  xc, I  (xc)a  I x(ca) I  ca  x I ,

 ca  y I ,  y(ca)  I  (yc)a  I  a  yc, I Giả sử x  S Thế thì (x 2 , x)  I Thật vậy, theo Mệnh đề 2.1.7, có x, I  x I 2 ,

Mặt khác: a  x I 2 ,  x a 2  I  ( xa ) 2  ( x a a 2 )  IS   I xa  I ( vì I nửa đơn)  a  x, I

Giả sử x, y  S Vì xy  S,  I phản xạ nên (xy, xy)   I Vì S là giao hoán, nên (xy, yx)   I

Giả sử x  y Thế thì (x, xy)   I Thật vậy: x  x, I  xz   I ( xz y )  IS   I ( xy z )    I z xy I , x  xy I ,  ( xy z )   I ( xz ) 2  xz 2  xyz 2  ( xyz z )  IS   I xz (vì I nửa đơn)

 z  x, I □ Đối với một nửa nhóm được sắp thứ tự S các quan hệ N và  I – trong đó I là iđêan nguyên tố của S - được định nghĩa như sau:

( N x ( ) là cái lọc của S được sinh bởi x(x  S) ; xem thêm ví dụ 1.2.5)

2.1.12 Mệnh đề Nếu I là một iđêan nguyên tố, thế thì  I =  I và N   I Chứng minh Giả sử ( ; ) x y   I Thế thì x y ,  I hoặc x y ,  I Thật vậy: Giả sử x  I , y  I Thế thì theo Mệnh đề 2.1.7, có x, I = S và theo Mệnh đề 2.1.8 có y, I = I Vì ( , ) x y   I nên x, I = y, I Thế thì S = I và do đó y  S : mâu thuẫn Tương tự, từ x  I , y  I ta cũng nhận được mâu thuẫn

Giả sử \(x, y \in \rho I\), khi đó \(x, I = y, I\) Nếu \(x \in I\), thì do \((x, y) \in \rho I\) nên \(y \in I\) Theo Mệnh đề 2.1.7, ta có \(x, I = y, I = S\) Ngược lại, nếu \(x \notin I\) thì \((x, y) \in \rho I\) dẫn đến \(y \notin I\) Theo Mệnh đề 2.1.8, ta suy ra \(x, I = I\) và \(y \notin I\) Theo Mệnh đề trong [2], có \(N = \bigcap \rho I\) với \(I \in J(S)\), trong đó \(J(S)\) là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của \(S\).

Nếu I là một iđêan nguyên tố của S và ab thuộc S với a ≤ b, thì I là một iđêan nửa nguyên tố của S, dẫn đến (a, ab) thuộc ρI theo Mệnh đề 2.1.11 Hơn nữa, nếu I là iđêan nguyên tố của S, thì N thuộc ρI.

(xem Mệnh đề 2.1.12) Nếu a,b   I , a  b thế thì (a, ab)  N ([8], Mệnh đề

Các iđêan n – nguyên tố

2.2.1 Định nghĩa Một iđêan I của S được gọi là n – nguyên tố (n  2, n là số tự nhiên) nếu đối với mọi x i  S, i = 1, 2, 3, n sao cho x 1 x 2 x 3 …… x n-2 x n-1 x n

 I, ít nhất n – 1 phần tử của tập hợp {x2x3… x n-2 xn-1xn, x1x3….x n-2 xn-1xn, x1x2x4… x n-2 xn-1xn, …., x 1 x2x3….x n-2 xn, x1x2x3….x n-2 xn-1} thuộc I (iđêan 2 – nguyên tố và chính là iđêan nguyên tố)

2.2.2 Mệnh đề Mỗi iđêan (n-1) - nguyên tố là iđêan n – nguyên tố (với n  3) Chứng minh Giả sử I là một iđêan (n-1) – nguyên tố, và giả sử x 1 x 2 x3x4…… x n-3 xn-2xn-1xn  I, xi  S, i = 1, 2, 3,………….n Vì (x1x2)x3x4………xn-3xn-2xn-1xn  I nên theo giả thiết, ít nhất n-2 phần tử của tập hợp M = {x3x4…xn-1xn, (x1x2) x 4… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x5… xn-3xn-2xn-1xn, (x 1 x 2 )x 3 x 4 … x n-3 x n-1 x n , (x 1 x 2 )x 3 x 4 … x n-3 x n-2 x n , (x 1 x 2 )x 3 x 4 … x n-3 x n-2 x n-1 } thuộc

I Tập M có n-1 phần tử Bây giờ chúng ta xét 2 trường hợp sau:

A) Giả sử x 3 x4…x n-3 xn-2xn-1xn  I Thế thì tất cả các phần tử của tập hợp sau sẽ thuộc I:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các biểu thức toán học phức tạp như (x1x2)x4…xn-3xn-2xn-1xn và (x1x2)x3x5…xn-3xn-2xn-1xn Đặc biệt, vì x1x2x3x4…xn-3xn-2xn-1 thuộc tập I, nên có ít nhất n-2 phần tử trong tập hợp K, bao gồm các biểu thức như x2x3x4…xn-3xn-2xn-1 và x1x3x4…xn-3xn-2xn-1 Điều này cho thấy sự đa dạng và tính phức tạp trong việc kết hợp các biến số trong toán học.

1, x1x2x3x4 xn-3xn-2} sẽ thuộc I Tập K có n - 1 phần tử Như vậy x2x3x4… xn-

3xn-2 xn-1  I hoặc x1 x3 x4 xn-3xn-2xn-1  I

Nếu x 1 x3x4 … x n-3 xn-2 xn-1  I thì x1x3x4… x n-2 xn-1xn  I

B) Giả sử x3x4… x n-3 xn-2xn-1xn  I Thế thì có ít nhất n-3 phần tử của tập hợp

T = {(x1x2) x 4… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x5… xn-3xn-2xn-1xn, …., (x1x2)x3x 4… x n-3 x n-1 x n , x 1 x 2 x 3 x 4 … x n-3 x n-2 x n , x 1 x 2 x 3 x 4 … x n-3 x n-2 x n-1 } thuộc I T có n - 2 phần tử, hơn nữa, x 3 x4… x n-2 xn-1  I kéo theo x2x3x4… x n-3 xn-2 xn-1  I và x1x3x4… xn-3xn-2xn-1xn  I □

Các iđêan n – nguyên tố có thể không phải là iđêan (n – 1) – nguyên tố Chúng ta chứng tỏ điều đó bằng ví dụ sau

2.2.3 Ví dụ Giả sử S là một nửa nhóm được sắp thứ tự bởi bảng nhân và thứ tự sau: a b c d a b b d d b b b d d c d d c d d d d d d

Tập hợp {d} là một iđêan của S và là 3-nguyên tố, nhưng không phải là iđêan 2-nguyên tố vì có điều kiện bc = d, trong khi b và c không bằng d Để xác định xem một tập hợp với phép nhân và thứ tự có phải là tập hợp được sắp thứ tự hay không, có thể tham khảo thêm tài liệu liên quan.

2.2.4 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của S Thế thì I là n – nguyên tố nếu và chỉ nếu mở rộng bất kỳ của I là (n - 1) – nguyên tố (với n  3)

Giả sử I là một tập hợp các nguyên tố n và x thuộc S Nếu x1, x2, x3, , xn-1 là các phần tử trong x và I, thì theo giả thiết, ít nhất n-1 phần tử của tập hợp I sẽ được tạo thành từ các phần tử x1, x2, x3, , xn-1.

Tập hợp I có n phần tử, trong đó chứa các chuỗi như 2xn-1, xx1x3x4,… và nhiều chuỗi khác Do đó, có ít nhất n-2 phần tử thuộc tập hợp {x2x3x4… xn-3xn-2xn-1, x1x3x4…}.

Chúng ta chứng minh với n = 5 và áp dụng lập luận tương tự cho trường hợp tổng quát Giả sử x, I là một iđêan 4-nguyên tố với mỗi x ∈ I, và giả sử x1x2x3x4x5 ∈ I Do đó, có ít nhất 4 phần tử của tập hợp sau thuộc I.

Thực tế vì x 1 x2x3x4  nên có ít nhất 3 phần tử thuộc tập hợp { x2x3x4, x1x3x4, x1x2x4, x1x2x3} thuộc I

Chúng ta xét các trường hợp: a) x 1 x 3 x 4 , x 1 x 2 x 4 , x 1 x 2 x 3  b) x2x3x4, x1x2x4, x1x2x3  c) x2x3x4, x1x3x4, x1x2x3  d) x2x3x4, x1x3x4, x1x2x4 

Vì x 1 x 2 x 3 x 4 x 5  I nên x 1 x 3 x 4 x 5  Thế thì có ít nhất 3 phần tử của tập hợp {x 3 x 4 x 5 , x 1 x 4 x 5 , x 1 x 3 x 4 , x 1 x 3 x 5 } thuộc a) Giả sử x 1 x4x5, x1x3x5, x1x3x4  Thế thì x 1 x2x3x4  I b) Giả sử x3x4x5, x1x3x5, x1x3x4  Thế thì x2x3x4x5, x1x2x3x4  I c) Giả sử x3x4x5, x1x4x5, x1x3x4  Thế thì x2x3x4x5, x1x2x3x4  I d) Giả sử x 3 x 4 x 5 , x 1 x 4 x 5 , x 1 x 3 x 5  Thế thì x 2 x 3 x 4 x 5  I

Vì x1x2x3x4x5  I nên x2x3x4x5  Có ít nhất 3 phần tử thuộc tập hợp { x3x4x5, x2x4x5, x2x3x5, x2x3x4} thuộc a) Giả sử x 2 x 4 x 5 , x 2 x 3 x 5 , x 2 x 3 x 4  Thế thì x 1 x 2 x 3 x 4  I b) Giả sử x 3 x4x5, x2x3x5, x2x3x4  Thế thì x 1 x3x4x5, x1x2x3x4  I c) Giả sử x 3 x4x5, x2x4x5, x2x3x4  Thế thì x 1 x2x4x5, x1x2x3x4  I d) Giả sử x3x4x5, x2x4x5, x2x3x5  Thế thì x1x2x4x5  I

Mặt khác, từ x 2 x3x4x5  nên x1x2x3x5, x1x2x3x4  I hoặc x1x2x3x4  I hoặc x1x2x4x5  I (xem trường hợp trên)

Mặt khác từ x 2 x3x4x5  có x1x2x3x5, x1x2x3x4  I hoặc x1x2x3x4  I hoặc x 1 x2x3x5  I (xem B)

2.2.5 Mệnh đề Nếu S có một phần tử đơn vị e, thế thì các khái niệm iđêan n

– nguyên tố và iđêan (n - 1) – nguyên tố của S trùng nhau

Chứng minh Giả sử I là một iđêan n – nguyên tố của S Theo Mệnh đề

2.2.4, iđêan e, I là (n - 1) – nguyên tố Nếu a  e, I , thế thì a = ea  I, nên I

Theo Mệnh đề 2.2.2, phép chứng minh được hoàn thành □

2.2.6 Mệnh đề Nếu I là 1 iđêan nửa nguyên tố của S thế thì 

, (theo Mệnh đề 2.1.9) Giả sử a

, Thế thì a  a, I nên a 2  I Vì I là iđêan nửa nguyên tố nên a  I

2.2.7 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan n – nguyên tố, nửa nguyên tố của S, n 

P = { T T là iđêan (n - 1) – nguyên tố của S, T  I } Thế thì I = 

Chứng minh Vì I là iđêan nửa nguyên tố, nên theo Mệnh đề 2.2.6 có

Vì I là iđêan n – nguyên tố, nên x, I là iđêan (n - 1) – nguyên tố, x  S (xem Mệnh đề 2.2.4) Do đó I =  x, I  T với x  S, T  P

Mặt khác, vì I  T, T  P nên I   T với T  P □

Trong Mệnh đề 2.2.7, I phải là nửa nguyên tố Chúng ta chứng tỏ điều đó bằng ví dụ sau

2.2.8 Ví dụ Giả sử S = {a, b, c, d} là nửa nhóm giao hoán được sắp thứ tự bởi bảng nhân và thứ tự sau: a b c d a a a a a b a a a a c a a a a d a a a d

Thế thì {a} là một iđêan của S nhưng không phải là iđêan nửa đơn (b 2 = a, b

Chúng ta có thể chứng tỏ rằng {a} là iđêan 3 – nguyên tố Các iđêan đơn của S chứa là tập hợp {a, b, c} của S Hơn nữa {a, b, c}  S = { a, b, c} {a}

2.2.9 Hệ quả Nếu nửa nhóm được sắp thứ tự giao hoán S là một băng (nghĩa là a 2 = a,  a  S) hay nói cách khác S là một nửa dàn, thế thì mỗi iđêan n – nguyên tố của S, n  3 được biểu diễn như là giao của tất cả các iđêan nửa nguyên tố của S chứa nó.