Nửa vành sắp thứ tự

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

Quan hệ thứ tự trên một tập 4

Giả sử X là một tập hợp không rỗng, thì mỗi tập con  của tích X x X được gọi là một quan hệ hai ngôi trên X Nếu (a,b) thuộc về , chúng ta có thể viết ab và diễn đạt rằng “a nằm trong quan hệ  với b”.

(ii) Nếu và  là các quan hệ hai ngôi trên X thì cái hợp thành   của chúng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (a,b)   nếu tồn tại xX sao cho   a x ,   và   x b ,  

Ký hiệu B X là tập hợp các quan hệ hai ngôi trên X

Trong không gian B X, phép toán o có tính chất kết hợp Cụ thể, với các phần tử ,  và T thuộc B X, hai khẳng định (a,b) thuộc (  T) và (a,b) thuộc .(.T) là tương đương Điều này có nghĩa là tồn tại các phần tử x, y thuộc X sao cho (a,x) thuộc .

Trong không gian (X, o), nếu (x,y) thuộc σ và (y,b) thuộc T, thì (B X, o) được xác định là một nửa nhóm các quan hệ hai ngôi trên X Nửa nhóm này có đơn vị là quan hệ bằng nhau id X, được định nghĩa bởi (a,b) thuộc i X nếu và chỉ nếu a = b Quan hệ id X còn được gọi là quan hệ đường chéo hay quan hệ đồng nhất của X Bên cạnh đó, trên X còn tồn tại quan hệ phổ dụng, được biểu diễn bởi (a,b) thuộc ω X với mọi a,b thuộc X Cuối cùng, quan hệ rỗng ∅ được xem là phần tử không của B X.

Trên B X ta còn xác định phép toán ngược nhƣ sau: Giả sử B x thì

 -1  B X cho bởi (a,b) -1 nếu và chỉ nếu (b,a)  Dễ thấy (  ) -1 =  -1  -1 và ( -1 ) -1 =  với mọi , B X

Hệ thức    biểu thị rằng  là tập con của , tương đương với việc ab dẫn đến ab Tập B X bao gồm tất cả các tập con của X x X, cho phép thực hiện các phép toán Bun (Boole) như hợp, giao và phần bù trong B X.

Quan hệ  đƣợc gọi là phản xạ nếu id X , là đối xứng nếu  -1 (và do đó  =  -1 ), là bắc cầu nếu . Quan hệ  đƣợc gọi là phản đối xứng nếu

Quan hệ hai ngôi  trên tập X được định nghĩa là quan hệ thứ tự bộ phận nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Thông thường, quan hệ này được ký hiệu bằng ký hiệu đặc trưng.

Nếu một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thoả mãn rằng với mọi a, b thuộc X, hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a, thì đó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần Trong trường hợp a ≤ b và a khác b, ta ký hiệu là a < b Quan hệ ngược lại với quan hệ ≤ (hoặc ).

Giả sử tập hợp tất cả các số nguyên dương là ¢  = {1, 2, 3, } Trên tập hợp này, quan hệ  được xác định bởi a  b nếu và chỉ nếu a - b  0 Do đó,  là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập hợp ¢ .

Quan hệ a là ước của b được định nghĩa bởi ký hiệu ab, tạo thành một quan hệ thứ tự bộ phận Tuy nhiên, đây không phải là quan hệ thứ tự toàn phần.

Giả sử S là một nửa nhóm và E(S) = { e ∈ S | e² = e } là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của S Trên E(S), quan hệ ≤ được xác định bởi e ≤ f khi và chỉ khi ef = e Do đó, ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E(S) và được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên trên E(S).

Giả sử  là một thứ tự bộ phận trên X và Y  X

Phần tử b thuộc tập X được gọi là cận trên của tập Y nếu mọi phần tử y trong Y đều nhỏ hơn hoặc bằng b Cận trên b của Y được xem là cận trên bé nhất (hay hợp) nếu b nhỏ hơn hoặc bằng mọi cận trên c của Y Nếu tập Y có một cận trên bé nhất, thì cận trên đó là duy nhất Tương tự, cận dưới và cận dưới lớn nhất (hay giao) của Y được định nghĩa theo cách đối ngẫu.

Tập sắp thứ tự (X,) được phân loại thành nửa dàn trên hoặc nửa dàn dưới, tùy thuộc vào việc mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp hoặc giao trong X Hợp của hai phần tử được ký hiệu là a  b, trong khi giao được ký hiệu là a^b Nếu (X,) là nửa dàn trên hoặc nửa dàn dưới, thì mọi tập con hữu hạn của X đều có một hợp hoặc giao nằm trong X.

(iii) Tập sắp thứ tự (X, ) đƣợc gọi là một dàn nếu nó vừa là nửa dàn trên, vừa là nửa dàn dưới

Dàn X đƣợc gọi là dàn đầy đủ nếu mọi tập con tuỳ ý của X đều có một hợp và một giao

Giả sử S là một nửa nhóm và X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của S, bao gồm cả tập rỗng Tập hợp X được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, với điều kiện A ≤ B nếu và chỉ nếu A thuộc tập con B Giao của bất kỳ họ nửa nhóm con nào của S sẽ là rỗng hoặc một nửa nhóm con, do đó (X, ≤) là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y trong X tương đương với giao theo lý thuyết tập của các phần tử thuộc Y, trong khi các hợp của Y tạo thành nửa nhóm con của S thông qua hợp theo lý thuyết tập Dàn X được gọi là dàn các nửa nhóm của nửa nhóm S và được ký hiệu là Sub(S).

(ii) Tương tự, ta có dàn các tương đẳng trên nửa nhóm S được ký hiệu bởi

C ong(S) và dàn các iđêan của S đƣợc ký hiệu bởi I(S).

Nửa nhóm S đƣợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là phần tử luỹ đẳng

Nếu S là một băng, thì trên S = E(S) có thể xác định quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên a ≤ b nếu và chỉ nếu ab = ba = a Khi đó, a ∧ b = ba nếu S giao hoán và S là nửa dàn dưới Ngược lại, nếu S là nửa dàn dưới, ta có thể xác định phép toán hai ngôi o bởi a.b = a ∧ b, dẫn đến S trở thành một băng giao hoán Do đó, nửa dàn (dưới) thường được đồng nhất với các băng giao hoán.

NỬA VÀNH SẮP THỨ TỰ 14

Nửa vành sắp thứ tự 14

Nửa vành (R, +, ) được xem là sắp thứ tự bộ phận (partially - ordered) nếu tồn tại một thứ tự bộ phận ≤ trên R, thỏa mãn điều kiện đối với các phần tử r, r', r'' thuộc R.

(ii) Một phần tử a của nửa vành sắp thứ tự bộ phận đƣợc gọi là dương

(positive) nếu và chỉ nếu a  0 Rõ ràng điều kiện này tương đương với điều kiện a + r  r đối với tất cả r  R

(iii) Tập hợp R + tất cả các phần tử dương của R được gọi là nón dương

Trong không gian R, tập hợp R + được định nghĩa là tập hợp các số dương, không rỗng vì 0 thuộc R + Hơn nữa, R + là một nửa vành con của R vì nó thỏa mãn phép cộng và nhân hữu hạn khi 1 > 0 Nửa vành được sắp thứ tự bộ phận gọi là dương nếu R + = R, trong khi các phần tử không thuộc R + được gọi là dương ngặt.

Let (R, +, ) be a partially ordered semiring If the order relation ≤ is a total order, then R is referred to as a totally ordered semiring.

Nếu a là phần tử vô hạn dương của nửa vành R, thì a = a + r ≥ r, điều này cho thấy a là phần tử tối đại duy nhất của R Cụ thể, trong trường hợp R là nửa vành đơn dương với đơn vị là 1, ta có 1 ≥ r ≥ 0 cho mọi r thuộc R.

(ii) Giả sử R là nửa vành Khi đó R nhúng đƣợc vào mở rộng Dorroh S =

R x ¥ của nó với S tương đương một nửa vành Nếu R được sắp xếp theo quan hệ , ta có thể định nghĩa quan hệ  ’ trên S bằng cách xác định (a, n) ’.

(a ’ , n ’ ) nếu và chỉ nếu n  n ’ Quan hệ này thu hẹp trên ảnh R x { } 0 của R trong S và S là nửa vành sắp thứ tự bộ phận dưới quan hệ  ’

Georg Karner đã chỉ ra rằng thứ tự từ điển trên tập S được xác định bằng quy tắc (a, n) ≤ (a', n') nếu và chỉ nếu n < n' hoặc n = n' và a ≤ a' Cụ thể, nếu S = 2¥ thì ta có (10,1) < (1,2).

(1) Một gian (frame) tuỳ ý (R,  , ^) là một nửa vành sắp thứ tự bộ phận

(2) Nửa vành ¥ với thứ tự thông thường là một nửa vành sắp thứ tự toàn phần

Tương tự, nửa vành ( ¡ { }  , min, +) cũng là nửa vành sắp thứ tự toàn phần với thứ tự thông thường

Một vành R được gọi là vành Rickart nếu không có phần tử luỹ linh nào và với mỗi a thuộc R, tồn tại ít nhất một phần tử e_a thuộc R sao cho ab = 0 nếu và chỉ nếu b = e_a b.

Chẳng hạn, miền nguyên tuỳ ý R là một vành Rickart với e a = 0 đối với a ≠ 0 và e 0

Trên một vành Rickart, thứ tự tự nhiên được xác định bởi a  b nếu và chỉ nếu ab = a², tương đương với ba = a² Lưu ý rằng 0  a với mọi a ∈ R Nếu định nghĩa a ∧ b = e^(a-b) b cho tất cả a, b ∈ R, thì (R, ∧) trở thành một nửa dàn giao với phép nhân phân phối trên phép giao từ mỗi phía Hơn nữa, a  b nếu và chỉ nếu a = e^b với một luỹ thừa e nào đó của R.

Giả sử R là một vành Rickart và  là một phần tử không thuộc R Đặt S =

R{ }  mở rộng các định nghĩa của và  lên S bằng cách đặt s = s =  và s = s = s với mỗi sS Do đó, (S, , ) trở thành một nửa vành sắp thứ tự bộ phận, trong đó 0 s =  và 1 s = 1 R Hơn nữa, S + ={ } .

Nếu A là một tập hợp khác rỗng và R = sub(A) là nửa vành, chúng ta có thể định nghĩa một thứ tự trên R bằng cách xác định f ≤ g nếu và chỉ nếu f(a) ⊆ g(a) cho mọi a ∈ A Thứ tự này biến R thành nửa vành sắp thứ tự bộ phận dương.

(5) Một nửa vành con của một nửa vành sắp thứ tự bộ phận là một nửa vành sắp thứ tự bộ phận với thứ tự cảm sinh

(6) Nếu R là một nửa vành sắp thứ tự giản ƣớc đƣợc có vành các sai phân

Nếu R là cấu xạ chính tắc và V: R → R, thứ tự bộ phận trên R có thể được mở rộng lên R bằng cách áp dụng điều kiện v(a) - v(b) ≤ v(c) - v(d) khi và chỉ khi a + d ≤ b + c Đây là phương pháp duy nhất để thực hiện việc mở rộng thứ tự của R lên R.

Nếu {\( R_i \}_{i \in \Omega} \} là một họ các nửa vành sắp thứ tự bộ phận, thì vành tích \( R = \prod_{i \in \Omega} R_i \) cũng sẽ sắp thứ tự khi ta định nghĩa \( a_i \leq b_i \) nếu và chỉ nếu \( a_i \leq b_i \) đối với tất cả \( i \in \Omega \) Thực tế, \( R \) là tích của các \( R_i \) trong phạm trù các nửa vành sắp thứ tự bộ phận Ngược lại, nếu \( R = \prod_{i \in \Omega} R_i \) được sắp thứ tự bộ phận, thì mỗi \( R_i \) cũng sẽ được sắp thứ tự bộ phận theo thứ tự thu hẹp.

Nếu mỗi R i dương thì R cũng dương và ngược lại Nửa vành R được sắp thứ tự bộ phận khi và chỉ khi R được sắp thứ tự bộ phận đối với một tập A nào đó, và nó dương nếu và chỉ nếu R dương Ví dụ, vì ¥ () là một nửa vành sắp thứ tự bộ phận, nên nửa vành các “multiset” trên một tập A tùy ý cũng được sắp thứ tự bộ phận Tương tự, vành R được sắp thứ tự bộ phận nếu và chỉ nếu vành ma trận μ n (R) được sắp thứ tự bộ phận đối với một số tự nhiên n nào đó.

(8) (Wechler, 1977) Giả sử  R i i \ là một họ các nửa vành sắp thứ tự bộ phận dương với nhau và đối với mỗi i , giả sử 0 i là đơn vị cộng tính của

Ký hiệu các phép toán trên R i bằng + i và i, cùng với quan hệ thứ tự được ký hiệu bởi  i Giả sử u, v là các phần tử không thuộc R i nào và S = { R i \ 0 | i ∈ Ω } Định nghĩa các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự trên R = S ∪ { u, z } như sau:

(i) Nếu a, b ≠ z thế thì a + b = a + i b nếu a và b thuộc vào R i , và bằng u nếu ngƣợc lại;

(ii) Nếu a, b ≠ z thế thì a.b bằng a i b nếu a và b thuộc vào R i , và bằng u nếu ngƣợc lại;

(iii) Nếu a, b  s thế thì a  b nếu và chỉ nếu a  i b với mỗi i;

(iv) z + a = a + z = a và z.a = a.z = z đối với tất cả a  R; z  a đối với tất cả a  R;

(v) u + a = a + u = u và u.a = a.u = u đối với tất cả z ≠a  R; a  u đối với tất cả a  R

Thế thì (R, +, ) là một nửa vành, và trong thực tế nó là đối tích của các R i trong phạm trù các nửa vành

Nếu n là một số nguyên dương và R là nửa vành sắp thứ tự bộ phận, thì nửa vành các ma trận M n (R) có thể được sắp thứ tự bộ phận theo quy tắc ij ij a b.

   nếu và chỉ nếu a ij b ij đối với tất cả 1i j, n Nếu n2thì thứ tự đó không là thứ tự toàn phần

Nửa vành sắp thứ tự sai phân 21

Một nửa vành sắp thứ tự bộ phận R được gọi là sai phân duy nhất nếu và chỉ nếu a ≤ b trong R khi và chỉ khi có một phần tử duy nhất c ∈ R thỏa mãn điều kiện a + c = b.

Các nửa vành sắp thứ tự sai phân rõ ràng là dương và bất khả đối Những nửa vành này có thể được xác định là các nửa vành sắp thứ tự sai phân duy nhất Đặc biệt, một nửa vành sắp thứ tự sai phân sẽ trở thành sắp thứ tự toàn phần khi nó là một Y nửa vành.

Một nửa vành R đƣợc gọi là cực trị (extrewal) nếu và chỉ nếu

  , a b  a b đối với tất cả a b, R Các nửa vành Boole và các vành

X n được định nghĩa là -∞ n với giả thiết -∞ ≤ -∞ + i, trong đó i thuộc X n và các phép toán i + h = max {i, h} được áp dụng Các nửa vành cực trị là các Y-nửa vành sắp thứ tự sai phân luỹ đẳng cộng tính, trong khi các nửa vành cực trị đơn được gọi là các nửa vành Dijkstra Các nửa vành B cũng là một phần trong cấu trúc này.

Các nửa vành Dijkstra, bao gồm các cấu trúc như \( (ax, m) \), \( (¥ \cup \infty \{ \}, min, +) \) và \( (¡ \cup \infty \{ \}, ax, min m) \), đã được nghiên cứu sâu sắc Đặc biệt, vào năm 1978, Goandran và Minoux đã khám phá định thức của các ma trận trên nửa vành cực trị Họ chứng minh rằng nếu R là nửa vành chia được cực trị và A thuộc M n(R) thỏa mãn điều kiện \( A^+ = A^- \), thì các cột và dòng của A sẽ phụ thuộc tuyến tính.

(1) Nửa vành ¥ là nửa vành sắp thứ tự sai phân duy nhất trong thứ tự thông thường

(2) Nếu R là một nửa vành thì iđêan(R) là một nửa vành sắp thứ tự sai phân đơn đối với phần tử vô hạn R

(3) Giả sử R là nửa vành luỹ đẳng cộng tính và  là quan hệ trên R cho bởi a   b a b b Thế thì (R, ) là nửa vành thứ tự sai phân

Nếu a b b, thì ab theo thứ tự sai phân Ngược lại, nếu giả thiết ab đúng, tồn tại cR sao cho a c b Từ đó, b có thể được biểu diễn dưới dạng b    a c a c c b c Cuối cùng, ta suy ra a b      a b c b b b.

Nếu R là một nửa vành thứ tự sai phân và A là một tập không rỗng thuộc R, thì nửa vành sắp thứ tự bộ phận R A cũng sẽ có thứ tự sai phân Cụ thể, nếu f và g thuộc R A và thỏa mãn f ≤ g, thì với mỗi a thuộc A, ta có f(a) ≤ g(a) Do đó, với mỗi a thuộc A, tồn tại một phần tử h(a) thuộc R.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các hàm số f và g trong không gian R A, với công thức f(a) + h(a) = g(a) Điều này cho thấy rằng f + g = f trong R A Bên cạnh đó, các nửa vành sắp thứ tự bộ phận M R n và R A cũng được đề cập, trong đó R A và R A tương ứng đại diện cho vành các đa thức hình thức và các chuỗi lũy thừa hình thức trong A trên R.

Một tập con A của vành sắp thứ tự bộ phận R gọi là tập con lồi (convex) nếu và chỉ nếu a,b A và a  r b kéo theo r A

Ta nhắc lại rằng nếu :RS là một cấu xạ nửa vành thì ta định nghĩa

  1           er 1 s \ 1 mk    U R  a U R  a  Rõ ràng 1 R mk er   và

Mỗi nửa vành bất khả đối R đều có thứ tự vi phân Ngoài ra, nếu :RS là một cấu xạ nửa vành, thì mk er() sẽ lồi với thứ tự tương ứng.

Nếu a và b là các phần tử của nửa vành chia được R, ta có thể viết a ≤ b nếu tồn tại c ∈ R sao cho a + c = b Điều này dẫn đến a ≤ a với mọi a ∈ R và nếu a ≤ b và b ≤ c thì suy ra a ≤ c Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng nếu a ≤ b và b ≤ a thì (R, ≤) là nửa vành sắp thứ tự bộ phận vi phân.

Để chứng minh khẳng định thứ 2 của Mệnh đề 2.2.4, giả sử k = mk er(γ) đối với đồng cấu nửa vành γ: R → S Cho a, b, r thuộc K với điều kiện a ≤ r ≤ b và giả thiết rằng r ≠ a, b Từ đó, tồn tại các phần tử khác không u và v thuộc R sao cho a + u = r và r + v = b Vì R bất khả đối nên u + v ≠ 0 Do R được chia nên tồn tại w = (u + v) - 1 thuộc R.

Thế thì wuwv1 và do a b, K nên awv b wuK.Nhƣng

      awv b u w awv a u v wuaw u v a v wu  a u r nên rK

Bây giờ giả sử rằng ab và ba trong R Nếu a b, đều bằng 0 thì ab

Từ đó có thể giả thiết rằng a0 Thế thì 1a b  1 1 Vì   1  mk er   i , trong đó : i RR là tự cấu xạ duy nhất của R, do đó a b  1 1 và nhƣ vậy ab 

Nhƣ một hệ quả của Mệnh đề 2.2.4, ta có thể đặc trƣng các cấu xạ từ ¤  vào các nửa vành khác

Nếu  :¤  R là một cấu xạ nửa vành thế thì

(ii) hoặc  là đơn cấu

Nếu mk er(γ) = ¤ + \{0\}, thì γ là đẳng cấu chuyển 0 thành 0 và mỗi phần tử khác không của ¤ + thành 1, dẫn đến Im(γ) ≈ B Ngược lại, nếu mk er(γ) được chứa trong ¤ + \{0\}, thì (ii) sẽ được thiết lập nếu chứng minh mk er(γ) = 1 Giả sử điều này không xảy ra với a ∈ k er(γ) sao cho a ≠ 1, thì a - 1 ∈ k er(γ) và có thể giả thiết rằng 0 < a < 1.

0 ¤b  \mker  Thế thì b  1  mk er    và do đó có thể giả thiết rằng

0 b 1 Do đó tồn tại số tự nhiên k sao cho a k  b 1 Vì a k  mk er    nên dẫn tới mâu thuẫn với tính lồi của m ker    , điều này chứng minh (ii) 

Nếu tồn tại một cấu xạ từ ¤  đến nửa vành R thì nó phải duy nhất

Giả sử tồn tại các cấu xạ \(\gamma: \mathbb{Q} \to R\) Nếu hình ảnh của \(\gamma\) là \(\{0, 1\}\), thì \(R\) là luỹ đẳng cộng tính vì \(1 = \gamma(1) = \gamma(2) = \gamma(1) + \gamma(1)\) Từ đó, không có nửa vành con nào đẳng cấu với \(\mathbb{Q}^+\), và theo Mệnh đề 2.2.5, không tồn tại cấu xạ nào khác từ \(\mathbb{Q}^+\) đến \(R\) Do đó, ta có thể giả thiết rằng \(\gamma\) là đơn ánh.

 ¤   là một cấu xạ nửa vành thì  cũng là đơn ánh Đối với mỗi

, 1 1 R 1 n¥  n n n n  n và do đó đối với mỗi p q¤ ta có

      và do đó     p q  p q Nhƣ vậy

Nếu R là một nửa vành chia đƣợc bất khả đối, thế thì tồn tại một cấu xạ nửa vành từ ¤  đến R, đó là ánh xạ  0 xác định bởi 0:p  p1 R   q1 R 1

 q   Đối với một nửa vành R nhƣ vậy, giả sử L R    r R\a b, ¤  :0   a  r 0   b 

Nếu R là một nửa vành chia được bất khả đối, thế thì L R    mk er    đối với cấu xạ :RS nào đó

Giả sử r r ,  L R   thế thì tồn tại các phần tử a a b b, , , ¤  thoả mãn

   và 0   a  r 0   b Nhƣ một hệ quả trực tiếp của định nghĩa về thứ tự bộ phận, ta có 0  aa rr0     bb ,0 b  1 r  1 0   a  1 và

          với 0 u R tuỳ ý Nhƣ vậy L R   là tập con chia đƣợc chuẩn tắc của R Hơn nữa, nếu u và v là các phần tử thuộc R thoả mãn u + v = 1 và a   min   a a ,  , b   m ax   b b ,  thì

  rur v L R Từ đây suy ra điều phải chứng minh 

Nếu R là một nửa vành sắp thứ tự bộ phận luỹ đẳng cộng tính thoả mãn

0 1 thì S    r R \ 0   r 1  là một nửa vành con của R

Rõ ràng   0,1  S Nếu s s ,  S thì 0      s s 1 1 1 và 0  0 s  ss    s 1 1 , nhƣ vậy s s S và ssS nên S là nửa vành con của R 

Nếu R và S là các nửa vành sắp thứ tự sai phân và γ: R → S là một cấu xạ nửa vành, thì γ bảo toàn thứ tự Cụ thể, nếu a ≤ b trong R, tồn tại c ∈ R sao cho a + c = b, từ đó ta có γ(a) + γ(c) = γ(b) Do đó, ta có γ(a) ≤ γ(b).

Nếu R là một nửa vành tuỳ ý thế thì tồn tại một nửa vành sắp thứ tự sai phân S và một cấu xạ toàn ánh của nửa vành r S: R

Giả sử A a r rR  là một tập hợp tương ứng song ánh với R và

Ánh xạ  * từ A * đến R được xác định bởi  * (B) = 1 và  * (w) = (a1) (an) với w = a1 an là từ khác rỗng trong A * Nếu S = ¥ A, tồn tại một cấu xạ các nửa vành : S → R, mà rõ ràng là toàn ánh, được xác định bởi : f → ∑ f(w)  * w Hơn nữa, nửa vành ¥ có sắp thứ tự sai phân n và do đó vành ¥ A cũng có sắp thứ tự sai phân.

Các điều kiện sau đây trên một nửa vành R là tương đương:

(i) R là vành sắp thứ tự sai phân;

(ii) Nếu a b c, , R thoả mãn a  a b c thì a a b

Giả sử R được sắp thứ tự sai phân với b, c thuộc R Nếu a = b + c, thì a ≤ a + b và a ≤ b, do đó a = a + b Đảo lại, nếu giả thiết (ii) đúng và định nghĩa quan hệ ≤ trên R bằng cách đặt r ≤ r' ↔ ∃ r'', r'': r + r'' = r', thì rõ ràng a ≤ a và a ≤ b, b ≤ c kéo theo a ≤ c với a, b, c thuộc R Giả sử a ≤ b, b ≤ c, thì tồn tại c, d thuộc R sao cho c = b + b và d = a Khi đó, a + c = d + a, từ đó suy ra a + c = a theo (ii) Do đó, b = a + c, chứng tỏ rằng ≤ là một thứ tự bộ phận trên R, làm cho R trở thành nửa vành sắp thứ tự bộ phận, và do đó R là sắp thứ tự sai phân.

Nếu R là nửa vành sắp thứ tự sai phân thì Z(R) là iđêan mạnh của R

Ta nhắc lại rằng Z R      r R \   a R r :   a a  Một iđêan A của R đƣợc gọi là iđêan mạnh nếu a b A kéo theo aA và bA

Giả sử b c   Z R   Thế thì  a R a b c:   a Theo Mệnh đề 2.2.12, ta có a b a và do đó b  Z R   Tương tự, c  Z R   

Một iđêan I của một nửa vành sắp thứ tự sai phân R là iđêan mạnh nếu và chỉ nếu ab và bI kéo theo aI