Độ cong trên đa tạp nửa Riemann
1.2.1 Định nghĩa (Xem [4]) Cho M là đa tạp nửa Riemann với liên thông Levi–civita ∇ Hàm khả vi xác định như sau
(X, Y, Z) 7→ R XY Z trong đó R XY Z = ∇ X ∇ Y Z− ∇ Y ∇ X Z− ∇ [X,Y ] Z được gọi là tenxơ cong của đa tạp nửa Riemann M.
1.2.2 Mệnh đề (Xem [4]) Nếu x, y, z, v,w∈ T p M thì
(ii) hR xy v,wi = − hR xy w, vi;
(iv) hR xy v,wi = hR vw x, yi.
(ii) Vì x[yhv, wi] = x[h∇ y v, wi+hv,∇ y wi]
= h∇ x ∇ y v, wi+h∇ y v,∇ x wi+h∇ x v,∇ y wi+hv,∇ x ∇ y wi nên
[x, y]hv, wi = x[yhv, wi]−y[xhv, wi]
Suy ra hR xy v, wi +hR xy w, vi = [x, y]hv, wi − ∇ [x,y] v, w − v,∇ [x,y] w
= [x, y]hv, wi −[x, y]hv, wi = 0, hay hR xy v, wi = − hR xy w, vi.
Suy ra Rxyz+Ryzx+ Rzxy = 0.
=hR xy v, wi − hR xy w, vi
=− hR yv x, wi − hR vx y, wi +hR yw x, vi+ hR wx y, vi
=hR yv w, xi +hR vx w, yi +hR wy v, xi+hR xw v, yi
=− hR vw y, xi − hR wv x, yi
Suy ra hR xy v, wi = hR vw x, yi.
1.2.3 Định nghĩa (Xem [5]) Một không gian con hai chiều Π của không gian tiếp xúc T p M được gọi là một mặt phẳng tiếp xúc với M tại p.
Cho vectơ tiếp xúc v, w ∈ Π, đặt Q(v, w) = hv, vi hw, wi − hv, wi 2 Một mặt phẳng tiếp xúc Π không suy biến nếu và chỉ nếu Q(v, w) 6= 0, với v, w ∈ Π và v, w độc lập tuyến tính.
Q(v, w) là hàm xác định dương khi và chỉ khi Q(v, w) > 0.
1.2.4 Nhận xét Q(v, w) là hàm xác định dương nếu g/Π là xác định, xác định âm nếu nó không xác định.
Chứng minh Thật vậy, ta có Π = span(v, w)
• g/Π xác định g/Πxác định dương hoặcg/Πxác định âm nếu tồn tại cơ sở{e 1 , e2}củaΠ tương ứng sao cho he 1 , e2i = 0 , e1 2 = e2 2 = 1 hoặc he 1 , e2i = 0 , e1 2 = −1, e2 2 = −1.
Khi đó ta cần chứng minh Q(v, w) =hv, vi hw, wi − hv, wi 2 > 0.
− hv 1 w1 +v2w2i 2 > 0 (theo bất đẳng thức Bunhiacopski)
• g/Π không xác định Tồn tại cơ sở {e 1 , e2} của Π sao cho e 1 2 = −1 , he 1 , e 2 i = 0 , e 2 2 = 1.
1.2.5 Bổ đề (Xem [5]) Giả sử Π là mặt phẳng tiếp xúc không suy biến của
Q(v, w) là độc lập với mọi v, w ∈ Π và được gọi là độ cong tiết diện tương ứng với hai phẳng Π, kí hiệu K(Π).
Chứng minh Đặt v = ax+by và w = cx+dy, trong đó ad−bc 6= 0 Khi đó hR vw v, wi = (ad−bc) 2 hR xy x, yi và Q(v, w) = (ad−bc) 2 Q(x, y).
Q(v, w) = (ad−bc) 2 hR xy x, yi
(ad−bc) 2 Q(x, y) = hR xy x, yi
Do đó, độ cong tiết diện K của M là một hàm giá trị thực trên tập các mặt phẳng không suy biến của M.
Theo định nghĩa, tenxơ cong R xác định độ cong tiết diện K, ta cũng suy ra được K xác định R.
Bổ đề 1.2.6 nêu rõ rằng trong một không gian tiếp xúc, cho hai vectơ v và w có tích vô hướng, sẽ tồn tại các vectơ v̄ và w̄ tương ứng với v và w, sao cho không gian sinh bởi v̄ và w̄ không suy biến.
1.2.7 Mệnh đề (Xem [5]) Nếu K = 0 tại p ∈ M thì R = 0 tại p, nghĩa là nếu K(Π) = 0 với mọi mặt phẳng không suy biến trong TpM thì Rxyz = 0 với mọi x, y, z ∈ TpM.
Chứng minh Ta xét các trường hợp
Trong trường hợp 1, với mọi vectơ v và w thuộc không gian tiếp xúc T p M, nếu v và w tạo thành một mặt phẳng không suy biến, thì hR vw v, wi = 0 Theo Bổ đề 1.2.6, mọi cặp vectơ trong không gian tiếp xúc đều có thể được xem như là giới hạn của các cặp vectơ như vậy Hơn nữa, vì hR vw x, yi là đa tuyến tính, nên nó liên tục trên T p (M) Do đó, kết luận rằng hR vw v, wi = 0 với mọi v, w thuộc T p M.
Trường hợp 2 R vw v = 0 với mọi v, w ∈ T p M (1.2) Cho tùy ý x ta có hR v,w+x v, w +xi = hR vw v, wi+hR vx v, wi+hR vw v, xi+hR vx v, xi.
Theo (1.1) ta có hR vw v, wi = 0 và hR vx v, xi = 0.
Mặt khác, ta có hR vx v, wi = hR vw v, xi (theo Mệnh đề 1.2.2) nên hR v,w+x v, w +xi = 2hR vw v, xi = 0.
Suy ra hR vw v, xi = 0 Do đó, hR vw v, xi = 0 với mọi x.
Trường hợp 3 R vw x = R wx v với mọi v, w, x ∈ T p M (1.3)
Ta có R v+x,w (v+ x) =R vw v+R vw x+R xw v +R xw x Theo (1.2) ta được
R vw v = 0,R xw x = 0 và R v+x,w (v+x) =0 Khi đó
Rvwx = −R wx v ⇔ Rvwx = Rwxv, với mọi v, w, x ∈ T p M Suy ra R vw x = R wx v = R xv w Mặt khác theo Mệnh đề 1.2.2 ta có R xw v + R wv x+ R vx w = 0 Suy ra R vw x = 0 với mọi v, w, x ∈ T p M Vậy R = 0 tại p.
Một đa tạp nửa Riemann M được gọi là phẳng nếu tenxơ cong R = 0 tại mọi điểm Theo mệnh đề, M sẽ phẳng khi và chỉ khi hàm độ cong tiết diện K = 0.
Hàm độ cong F : T p (M) 4 → R được định nghĩa khi nó thỏa mãn bốn tính chất theo Mệnh đề 1.2.2 Nếu F (v, w, v, w) = 0 với mọi v, w ∈ T p M tạo ra một mặt phẳng không suy biến, thì theo chứng minh trong Mệnh đề 1.2.7, F phải bằng 0.
K xác định R theo định lý sau.
1.2.9 Định lý (Xem [5]) Giả sử F là một hàm độ cong trên T p M sao cho
K(v, w) = F (v, w, v, w) hv, vi hw, wi − hv, wi 2 trong đó v, w sinh ra một mặt phẳng không suy biến.
Khi đó hR vw x, yi = F (v, w, x, y) với mọi v, w, x, y ∈ TpM.
Hàm ∆ (v, w, x, y) = F (v, w, x, y) − hR vw x, y là một hàm độ cong Theo giả thiết, nếu v và w tạo ra một mặt phẳng không suy biến, thì ∆ (v, w, v, w) = 0, điều này có nghĩa là span(v, w) không suy biến.
K(v, w) = hR vw v, wi hv, vi hw, wi − hv, wi 2 = F (v, w, v, w) hv, vi hw, wi − hv, wi 2
Suy ra ∆ (v, w, v, w) = F (v, w, v, w) − hR vw v, wi = 0 Do đó, theo nhận xét sau Định nghĩa 1.2.8 thì ∆ = 0 hay hR vw x, yi = F (v, w, x, y) với mọi v, w, x, y ∈ T p M.
1.2.10 Định lý (Xem [5]) Nếu M có độ cong hằng C thì
R xy z = C{hz, xiy − hz, yix}.
Đặt F(x, y, v, w) = C{hv, xi hy, wi − hv, yi hx, wi} để xác định một hàm độ cong tại mọi điểm, với F(x, y, x, y) = CQ(x, y) Điều này cho thấy rằng nếu x và y tạo thành một mặt phẳng không suy biến, thì hàm độ cong sẽ được xác định một cách rõ ràng.
Q(x, y) Theo kết quả của Định lý 1.2.9 ta có
=C{hx, zi hw, yi − hx, wi hz, yi}
=C{hhx, ziy, wi − hhz, yix, wi}
=C{hhx, ziy− hz, yixi, w}, với mọi w.
Suy ra R xy z = C{hz, xiy − hz, yix}.
Định lý 1.2.11 nêu rõ rằng cho M là một đa tạp con nửa Riemann của M¯, với R và R¯ lần lượt là tenxơ cong Riemann và II dạng tenxơ Khi đó, cho các trường vectơ V, W, X, Y tiếp xúc với M, phương trình Gauss được biểu diễn như sau: hR V W X, Yi = R¯ V W X, Y + hII(V, X), II(W, Y)i − hII(V, Y), II(W, X)i.
Chứng minh Ta có [V, W] = 0 Do đó, R¯ V W X, Y = − hV, Wi + hW, Vi, trong đó hV, Wi = ∇¯ V ∇¯ W X, Y = ∇¯ V ∇ W X, Y + ∇¯ V (II(W, X)), Y
Do Y tiếp xúc với M nên V hII(W, X), Yi = 0.
Mặt khác, vì II (W, X) là trực giao của M nên
Khi đó hV, Wi = h∇ V ∇ W X, Yi − hII (W, X), II(V, Y)i Thay vào biểu thức − hV, Wi+hW, Vi ta được điều phải chứng minh.
1.2.12 Định lý (Xem [5]) Nếu v, w sinh ra một mặt phẳng tiếp xúc không suy biến trên M thì
K(v, w) = ¯K(v, w) + hII(v, v), II(w, w)i − hII(v, w), II(v, w)i hv, vi hw, wi − hv, wi^2, trong đó K(v, w) đại diện cho độ cong tiết diện của đa tạp nửa Riemann M, còn K¯(v, w) là độ cong tiết diện của đa tạp nửa Riemann M¯.
Áp dụng Định lý 1.2.11 cho các vector v và w sinh ra một mặt phẳng tiếp xúc không suy biến trên M với điều kiện v và w độc lập tuyến tính, ta có công thức hR vw v, wi = R¯ vw v, w + hII(v, v), II(w, w)i − hII(v, w), II(v, w)i.
Chia cả hai vế cho hv, vi hw, wi − hv, wi 2 ta được hR vw v, wi hv, vi hw, wi − hv, wi 2
R¯ vw v, w +hII (v, v), II(w, w)i − hII (v, w), II(v, w)i hv, vi hw, wi − hv, wi 2 hay hR vw v, wi hv, vi hw, wi − hv, wi 2
R¯ vw v, w hv, vi hw, wi − hv, wi 2 + hII(v, v), II(w, w)i − hII(v, w), II(v, w)i hv, vi hw, wi − hv, wi 2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Toán tử dạng và tính rốn trên siêu mặt nửa Riemann
1.3.1 Định nghĩa (Xem [5])Dấu ε của một siêu mặt nửa RiemannM ⊂M¯ là
+1 nếu đối chỉ số của M là 0, hz, zi > 0 với mọi vectơ pháp z 6= 0;
-1 nếu đối chỉ số của M là 1, hz, zi < 0 với mọi vectơ pháp z 6= 0.
Chú ý Kí hiệu: ind là đối chỉ số Nếu ε = 1 thì indM = indM¯ Nếu ε = −1 thì indM = indM¯ −1.
Một siêu mặt nửa Riemann M ⊂ M¯ là đa tạp nửa Riemann với đối chiều 1.
Trường vectơ pháp đơn vị U trên siêu mặt nửa Riemann M ⊂ M¯ được định nghĩa thông qua toán tử dạng S kiểu (1,1) trên M Toán tử này được xác định bởi hS(V), Wi = hII (V, W), Ui với V, W thuộc B(M).
Toán tử tuyến tính S được xác định như S : T p M → T p M với p ∈ M Theo bổ đề, nếu S là toán tử dạng xác định, thì S(v) = −∇¯ v U, và S là tự liên hợp trên T p M.
Chứng minh Từ hU, Ui là hằng số ta có ∇¯ V U, U = 0 Do đó, ∇¯ V U là tiếp xúc của M với mọi V ∈ B(M) Nếu W ∈ B(M) thì hS(V), Wi = hII (V, W), Ui = ∇¯ V W − ∇ V W, U = ∇¯ V W, U
Mặt khác, hW, Ui = 0 ⇒ V hW, Ui = 0
Khi đó hS(V), Wi = − ∇¯ V U, W Do đó S(V) = −∇¯ V U Tính đối xứng của II kéo theo S là tự liên hợp.
1.3.4 Hệ quả (Xem [5]) Cho S là toán tử dạng của siêu mặt nửa Riemann
M ⊂ M¯ Nếu v, w sinh ra một mặt phẳng tiếp xúc không suy biến trên M thì độ cong tiết diện được xác định bởi
K(v, w) = ¯K(v, w) +εhSv, vi hSw, wi − hSv, wi 2 hv, vi hw, wi − hv, wi 2 , trong đó ε là dấu của M ⊂ M¯.
Chứng minh Từ Định nghĩa 1.3.2 ta có
II(v, w) = εhSv, wiU, trong đó hU, Ui = ε.
Thay vào Định lý 1.2.12 ta được
K (v, w) = ¯K(v, w) +εhSv, vi hSw, wi − hSv, wi 2 hv, vi hw, wi − hv, wi 2
1.3.5 Định nghĩa (Xem [5]) Một điểm p ∈ M ⊂ M¯ được gọi là điểm rốn nếu có một vectơ pháp z ∈ T p (M) ⊥ sao cho
II (v, w) = hv, wiz với mọi v, w ∈ T p M.
Khi đó, z được gọi là vectơ độ cong pháp của M tại p.
Một đa tạp nửa Riemann M ⊂ M¯ được gọi là rốn hoàn toàn khi mọi điểm của M đều là rốn Điều này cho phép tồn tại một trường vectơ pháp khả vi Z trên M, được gọi là trường vectơ độ cong pháp của M, thỏa mãn điều kiện II (V, W) = hV, WiZ cho mọi vectơ V và W.
1.3.6 Định lý (Xem [5]) Một siêu mặt nửa Riemann M ⊂ M¯ là rốn hoàn toàn nếu và chỉ nếu toán tử dạng S = f.id với id (V) =V.
Giả sử M là rốn hoàn toàn với trường vectơ pháp Z và S là toán tử dạng tương ứng với trường vectơ U Khi đó, ta có các mối quan hệ hSV, Wi = hII (V, W) và Ui = hV, Wi hZ, Ui, trong đó V và W là các trường vectơ tiếp xúc.
Do đó SV = hU, ZiV với mọi V hay S(V) =hU, Zi(V) với mọi V. Vậy S = f.id với id (V) =V.
Ngược lại với việc chọn U, giả sử S = f.id Điều đó có nghĩa là SV = f V với mọi V, khi đó
II (V, W) =εhSV, WiU = εf hV, WiU. Đặt trường vectơ Z = εf.U phương trình trên trở thành
Nhận xét Điểm p ∈ M được gọi là điểm rốn nếu các giá trị riêng của
Đường trắc địa trên đa tạp nửa Riemann
1.4.1 Định nghĩa (Xem [4]) Cho X là trường vectơ dọc ρ ta có X 0 = ∇X dt là đạo hàm của trường vectơ dọc ρ thỏa mãn các tính chất
Đường trắc địa trên đa tạp nửa Riemann M với liên thông Levi-Civita ∇ được định nghĩa qua một đường cong khả vi γ : J → M Đường cong này được coi là đường trắc địa nếu trường vectơ song song dọc theo γ, ký hiệu là γ 0 : J → T M, thỏa mãn điều kiện ∇ dt γ 0 = 0.
1.4.3 Mệnh đề (Xem [8]) Cho M là đa tạp nửa Riemann Khi đó, với mọi p ∈ M và v ∈ T p M tồn tại một khoảng mở I = (−ε, ε) và một đường trắc địa duy nhất γ :I → M, sao cho γ(0) = p và γ˙ (0) = v.
Chứng minh Giả sử (U, x) là một bản đồ trên M sao cho p ∈ U và đặt
Giả sửγ : J → M, (J ⊂ R)là đường cong khả vi Đặt γ i = x i ◦γ : J → R thì x◦γ : J →R 1 n+1 là đường cong khả vi nên ta có
X i=0 ˙ γ i (t)e i , với {e 0 , e 2 , , e n } là cơ sở trong R1 n+1
Do đó, γ là đường trắc địa khi và chỉ khi ¨ γ k (t) + n
X i,j=0 ˙ γ j (t) ˙γ i (t) Γ k ij (γ(t)) = 0, với mọi k = 0,1, , n. Đây là phương trình vi phân với điều kiện ban đầu q 0 = x(p) và w 0 = (x ∗ ) p v.
Suy ra tồn tại khoảng mở I = (−ε, ε) và nghiệm duy nhất (γ 0 , γ 1 , , γ n ) thỏa mãn điều kiện đầu
Chú ý.(i) Một đường trắc địa γ : I →M trong đa tạp nửa Riemann được gọi là cực đại nếu nó không thể mở rộng thành đường trắc địa trên khoảng
(ii) Đa tạp nửa Riemann M được gọi là đầy đủ nếu với mọi v ∈ T p M tồn tại một đường trắc địa γ : R → M sao cho γ(0) = p và γ˙ (0) = v với mọi p∈ M.
Giả sử v ∈ T p M là một vectơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M và c ∈ R là một hằng số bất kỳ Đường trắc địa γ cv được xác định tại t nếu đường trắc địa γ v được xác định tại ct, và trong trường hợp đó, ta có γ cv (t) ≡ γ v (ct).
Chứng minh Với mọi p ∈ M và v ∈ T p M Xét đường trắc địa cực đại γ v : I → M sao cho γ v (0) = p và γ˙ v (0) = v. Đặt γ(t) = γ v (t), với mọi t ∈ c −1 I.
Do đó ∇ γ(t) ˙ γ˙ (t) = ∇ c γ(ct) ˙ cγ˙ (ct) = c 2 ∇ γ(ct) ˙ γ˙ (ct) = 0.
Suy ra γ(t) là đường trắc địa và γ c −1 t = γ v (t).
Mặt khác γ cv (0) = p = γ(0) và γ˙ cv (0) = cv = ˙γ(0).
1.4.5 Định lý (Xem [5]) Giả sử Y là một trường vectơ tiếp xúc với M dọc đường cong α trong M ⊂M¯ thì
Y˙ = Y 0 +II (α 00 , Y), trong đó Y 0 là tiếp xúc của M, II (α 00 , Y) là trực giao của M,
∂˙ i | α = ¯∇ α 0 (∂ i ) = ∇ α 0 (∂ i ) + II (α 0 , ∂ i ) nên thế vào phương trình trên ta có được điều phải chứng minh.
1.4.6 Hệ quả (Xem [5]) Một đường cong α trong M ⊂ M¯ là một đường trắc địa của M nếu và chỉ nếu gia tốc của α trong M¯ trực giao với M tại mọi điểm.
Chứng minh rằng xét Y = α 0 = ˙α là trường vectơ dọc α Theo Định lý 1.4.5, ta có α¨ = α 00 + II (α 00 , α 0 ) Do đó, α là trắc địa của M khi và chỉ khi α 00 = ∇α 0 dt = 0, tương đương với α¨ = II (α 00 , α 0 ) Điều này cho thấy α¨ = ∇α ¯ dt 0 trực giao với M tại mọi điểm.
MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN
TRÊN KHÔNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG
Trong chương này, chúng tôi phát triển ánh xạ Weigarten trên siêu mặt trong không gian R n+1 1, từ đó tiến hành nghiên cứu về độ cong, điểm rốn và đường trắc địa của siêu mặt hyperbolic trong không gian này.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá không gian R n+1 1 cùng với dạng song tuyến tính không suy biến có chỉ số quán tính (1, n), được gọi là không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu là R n+1 1 Để đơn giản hóa việc trình bày các khái niệm như giả trực giao và giả pháp vectơ trong R n+1 1, chúng tôi sẽ lần lượt gọi chúng là trực giao và pháp vectơ mà không cần giải thích thêm.
2.1.1 Định nghĩa Cho R1 n+1 = {(x 0 , x 1 , , x n )|x i ∈ R, i = 0,1, , n} là không gian vectơ(n+ 1)- chiều Vớix = (x 0 , x 1 , , x n )vày = (y 0 , y 1 , , y n ) ∈
R1 n+1 ta định nghĩa tích vô hướng của x và y như sau hx, yi = −x 0 y 0 + n
Ta gọi R1 n+1,h,i là không gian Lorentz – Minkowski (n+ 1)- chiều và ký hiệu: R n+1 1 thay cho R1 n+1,h,i
Với x ∈ R n+1 1 , độ dài của vectơ x được xác định theo tích vô hướng là kxk= p|hx, xi|.
2.1.2 Các loại vectơ và tích có hướng của n véctơ trong không gian Lorentz – Minkowski
(i) x được gọi là vectơ tựa không gian nếu hx, xi > 0,
(ii) x được gọi là vectơ tựa ánh sáng nếu hx, xi = 0,
(iii) x được gọi là vectơ tựa thời gian nếu hx, xi < 0.
Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0.
(b) Với x 1 , x 2 , , x n ∈ R n+1 1 ta định nghĩa tích có hướng của n vectơ x 1 , x 2 , , x n là một vectơ, ký hiệu là x 1 ∧x 2 ∧ ∧x n và được xác định bởi x 1 ∧x 2 ∧ ∧x n
−e 0 e 1 e n x 1 0 x 1 1 x 1 n x n 0 x n 1 x n n trong đó, {e 0 , e 1 , , e n } là cơ sở chính tắc của R n+1 1 , x i = x 1 i , x 2 i , , x n i ∈
Do đó x 1 ∧x 2 ∧ ∧x n trực giao với mọi x i ,∀i = 1,2, , n
2.1.3 Nhận xét (i) Hai vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau,
(ii) Hệ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau,
(iii) Với a, b ∈ R n+1 1 Nếu a 6= 0 mà hb, bi = −λ < 0 và ha, bi = 0 thì ha, ai > 0.
Nói cách khác, một vectơ khác không trực giao với vectơ tựa thời gian thì nó là vectơ tựa không gian.
Giả sử hai vectơ a và b trong không gian R n+1 là phụ thuộc tuyến tính, thì tồn tại một số thực λ khác không sao cho a = λb Do đó, tích vô hướng giữa a và b sẽ bằng 0, tức là ha, bi = hλb, bi = λhb, bi = λ.0 = 0, điều này chứng tỏ rằng a và b là trực giao với nhau.
Giả sử a là vectơ tựa không gian, b là vectơ tựa thời gian, và c là vectơ tựa ánh sáng Nếu a và b là hai vectơ phụ thuộc tuyến tính trong R n+1, thì tồn tại một hằng số λ khác không sao cho a có thể biểu diễn dưới dạng a = λb.
0 < ha, ai = hλb, λbi = λ 2 hb, bi < 0.
Do đó, {a, b} độc lập tuyến tính.
Tương tự, ta có các hệ {b, c},{c, a} là độc lập tuyến tính.
(iii) Với a, b ∈ R n+1 1 và a 6= 0 , theo giả thiết ta có hb, bi = −λ ⇔b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n−1 +b 2 n = b 2 0 −λ (2.1) ha, bi = 0 ⇔a 2 0 b 2 0 = (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2
Từ (1) ta suy ra b0 6= 0 nên ta có a 2 0 = (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 b 2 0
+ + an 2b 0 2 −λ b 2 0 Mặt khác ha, ai = −a 2 0 +a 2 1 + +a 2 n ≥ a 2 1 +a 2 1 + + a 2 n − a 2 1 + a 2 2 + +a 2 n b 2 0 −λ b 2 0
Vì nếu a 2 1 + +a 2 n = 0 thì a 2 0 = 0 Do đó a = 0 (vô lý).
Do đó, a là vectơ tựa không gian.
Chú ý Một vectơ trực giao với vectơ tựa không gian thì chưa hẳn là vectơ tựa thời gian.
Ví dụ Cho vectơ tựa không gian a = (2,1,0) và b⊥a , khi đó b(1,2,0) là vectơ tựa không gian.
2.1.4 Định nghĩa (Xem [5]) Cho V là không gian vectơ con củaR1 n+1 Khi đó,
(i) V được gọi là tựa không gian nếu g V xác định dương, điều này có nghĩa là V là một không gian với tích vô hướng xác định dương;
(ii) V được gọi là tựa thời gian nếu g V không suy biến với chỉ số 1;
(iii) V được gọi là tựa ánh sáng nếu g V suy biến.
2.1.5 Bổ đề (Xem [5]) Cho V là không gian vectơ con của R 1 n+1 Khi đó (i) V là tựa thời gian khi và chỉ khi V chứa ít nhất một vectơ tựa thời gian;
(ii) V là vectơ tựa ánh sáng khi và chỉ khi V chứa một vectơ tựa ánh sáng nhưng không chứa vectơ tựa thời gian nào.
Trong không gian Lorentz – Minkowski, một siêu phẳng được xác định bởi một vectơ không v thuộc R n+1 và một số thực c Siêu phẳng này có tính chất trực giao với vectơ v.
HP (v, c) = x ∈ R n+1 1 | hx, vi = c trong đó v được gọi là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng HP (v, c) Khi đó
HP (v, c) được phân loại thành ba loại siêu phẳng: siêu phẳng tựa không gian khi v là vectơ tựa thời gian, siêu phẳng tựa thời gian khi v là vectơ tựa không gian, và siêu phẳng tựa ánh sáng khi v là vectơ tựa ánh sáng Điều này cho thấy HP (v, c) có phương là không gian.
(i) W là tựa không gian nếu v là vectơ tựa thời gian;
(ii) W là tựa thời gian nếu v là vectơ tựa không gian;
(iii) W là tựa ánh sáng nếu v là vectơ tựa ánh sáng.
Khi v là vectơ tựa thời gian và x thuộc W, ta có hx, vi = 0, theo Nhận xét 2.1.3, suy ra x là vectơ tựa không gian Điều này chứng minh rằng g W xác định dương, từ đó kết luận rằng W là tựa không gian.
Khi v là vectơ tựa không gian, ta có thể xác định e1 = kvk v và e1^2 = 1, từ đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn {e1, e2, , en+1} với các đặc tính e2^2 = = en^2 = 1 và en+1^2 = -1, nghĩa là he n+1, vi = 0 Điều này dẫn đến kết luận rằng en+1 thuộc W và là vectơ tựa thời gian, do đó W được xác định là không gian tựa thời gian.
(iii) Khi v là vectơ tựa ánh sáng ta có hv, vi = 0 suy ra v ∈ W ta chứng minh W không chứa vectơ tựa thời gian nào.
Giả sử x ∈ W là vectơ tựa thời gian với điều kiện hx, vi = 0, theo Nhận xét 2.1.3, chúng ta suy ra rằng v là vectơ tựa không gian, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
W chứa vectơ tựa ánh sáng và không chứa vectơ tựa thời gian nào nên W là không gian tựa ánh sáng.
2.1.7 Các loại giả cầu và n - không gian trong không gian Lorentz – Minkowski
(a) Các loại giả cầu thường gặp.
(i) H n = x ∈ R n+1 1 | hx, xi = −1 được gọi là siêu mặt hyperbolic n – chiều;
(ii) S 1 n = x ∈ R n+1 1 | hx, xi = 1 được gọi là không gian de Sitter n – chiều; (iii) LC a = x ∈ R n+1 1 | hx−a, x −ai = 0 được gọi là nón ánh sáng đóng với đỉnh a.
(i)n– không gian hyperbolic tâma ∈ R n+1 1 ,bán kínhr ∈ R + , ký hiệu H + n (a, r) và được xác định bởi
(ii) n – không gian de Sitter tâm a ∈ R n+1 1 , bán kính r ∈ R + , ký hiệu S 1 n và được xác định bởi
(iii) Tập LC + ∗ = {x = (x 0 , x 1 , , x n ) ∈ LC 0 /x 0 > 0} được gọi là nón ánh sáng đóng tương lai tại gốc.
Với x = (x 0 , x 1 , , x n ) là một vectơ tựa ánh sáng thì x 0 6= 0 Giả sử ngược lại, x 0 = 0 ta có 0 = −x 0 2 + n
P i=1 x i 2 Suy ra x i = 0, với mọi i = 1,2, , n hay x = 0 (điều này mâu thuẫn với định nghĩa x là vectơ tựa ánh sáng).
Do đó, x 0 6= 0 Khi đó, đặt xe
∈ S + n−1 = {x = (x 0 , x 1 , , x n )| hx, xi = 0, x 0 = 1} và gọi S + n−1 là (n−1) – cầu nón ánh sáng. n– không gian hyperbolic, ký hiệu H + n (1) được xác định
Các độ cong và điểm rốn trên siêu mặt trong không gian Lorentz -
Chúng tôi đã áp dụng các kết quả từ Chương 1 về tính rốn, độ cong và đường trắc địa của đa tạp con trên đa tạp nửa Riemann tổng quát để khảo sát một đa tạp con đặc biệt, cụ thể là siêu mặt hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski.
2.2.1 Mệnh đề Cho siêu mặt H n trong không gian R n+1 1 Khi đó ánh xạ
X i=0 a i ˆe i (p) là một trường vectơ pháp của siêu mặt, trong đó eˆ i , i = 0,1, , n là trường mục tiêu tọa độ.
Chứng minh Xét siêu mặt hyperbolic
Xét điểm p = (a0, an) trên H n , α ∈ TpH n và lấy đường cong ρ trên H n qua p Khi đó ρ(t) = (x0(t), , xn(t)) và ρ 0 (t0) =α.
Lấy đạo hàm hai vế theo t tại t = t0 ta được
= hU (p), αi = 0,∀α ∈ TpH n Do đó U là một trường pháp vectơ.
U là một trường pháp đơn vị dọc H n với U 2 = −1, cho thấy U là vectơ tựa thời gian của H n Điều này dẫn đến việc H n trở thành siêu mặt tựa không gian, vì không gian tiếp xúc tại mọi điểm đều là tựa không gian.
VậyH n là một đa tạp con nửa Riemann của không gian Lorentz - Minkowski.
2.2.2 Mệnh đề Mọi điểm trên siêu mặt H n trong R n+1 1 đều là điểm rốn.
Chứng minh Xét siêu mặt hyperbolic
X i=0 a i eˆ i là một trường vectơ đơn vị dọc H n Ta có S(v) =−∇ v U Lấy đường c trong
Do đó S = −id Vậy mọi điểm trên H n là điểm rốn.
2.2.3 Mệnh đề Với n≥ 2 thì không gian H n là đa tạp con Riemann với độ cong âm, hằng có giá trị k = −1.
Chứng minh Với n≥ 2 áp dụng Hệ quả 1.3.4 ta có
K(v,w) = ¯K(v,w) +εhSv, vi hSw,wi − hSv,wi 2 hv, vi hw,wi − hv,wi 2
Theo kết quả trong Mệnh đề 2.2.2 ta có S(v) = −v thế vào phương trình trên ta được
K(v, w) = ¯K(v, w) +εhh−v, vi,h−w, wii − h−v, wi 2 hv, vi hw, wi − hv, wi 2
= −hv, vi hw, wi − hv, wi 2 hv, vi hw, wi − hv, wi 2 = −1 trong đó K¯ (v, w) = 0 (vì không gian Lorentz - Minkowski có độ cong hằng và bằng 0).
Vậy không gian H n có độ cong âm, hằng có giá trị k = −1.
Đường trắc địa hyperbolic trong không gian R n+1 1
2.3.1 Định nghĩa Đường hyperbolic của H + n là giao của H + n với không gian con vectơ tựa thời gian 2 chiều Π của R n+1 1 vì vậy
H = H + n ∩ Π, là đường hyperbolic duy nhất của H + n Khi đó, H là một nhánh của hyper- bolic.
2.3.2 Mệnh đề Nếu α : J → H + n là đường hyperbolic của H + n thì α có tham số hóa là đường trắc địa của H + n ⊂ R n+1 1
Giả sử p thuộc H, một tập con của H + n, và Π là mặt phẳng trong R n+1 đi qua 0 và p Nếu g là tích vô hướng của R n+1, thì p được xem là vectơ tựa thời gian, và g Π không suy biến với chỉ số 1 Trong không gian Π, ta xét cơ sở trực chuẩn {e 0 = p , e 1} với e 0^2 = -1, e 1^2 = 1, và he 0, e 1i = 0.
Ta có q = ae 0 +be 1 ∈ Π∩H + n nếu và chỉ nếu q 2 = hae 0 + be 1 i hae 0 +be 1 i = −a 2 + b 2 = −1.
Suy ra −a 2 +b 2 = −1 hay a 2 −b 2 = 1 Do đó, đường hyperbolic có tham số hóa α(t) ∈ Π∩H + n với α(t) = chte 0 +shte 1 ; t∈ R
Do đó α˙ (t) = α 0 (t) =shte 0 +chte 1 nên α¨(t) =chte 0 +shte 1 Thế thì ¨ α(t) ≡ α(t).
Từ đó ta có hα,˙ αi˙ = e 0 2 sht 2 +e 1 2 cht 2 = −sht 2 +cht 2 = 1.
Suy ra, α˙ là vectơ tựa không gian Do α¨ = U ◦α trong đó U là trường vectơ vị trí U (x) = x, trực giao với H+ n
(theo Mệnh đề 2.2.1) nên α¨ trực giao với H+ n
, tức là α 00 = 0 Do đó, theo Hệ quả 1.4.6 Chương 1, α là đường trắc địa của H+ n
2.3.3 Mệnh đề Nếu α : J → H + n là đường trắc địa của H + n ⊂ R n+1 1 thì ảnh của α chứa trong đường hyperbolic của nó.
Giả sử α là đường trắc địa trong không gian H + n với điểm bắt đầu α(t 0 ) = p và vectơ tiếp tuyến α 0 (t 0 ) = v Xét mặt phẳng Π được tạo bởi p và v, theo Mệnh đề 2.3.2, tồn tại đường trắc địa γ có giao điểm với mặt phẳng Π và H + n, với γ(t) thuộc Π∩H + n cho mọi t Do γ(t) thuộc Π, nên đạo hàm γ 0 (t) cũng thuộc Π, và vì γ(t) thuộc H + n, ta có γ 0 (t) thuộc T γ(t) H + n Có thể chọn tham số hóa sao cho γ(t 0 ) = p và γ 0 (t 0 ) = v.
Theo tính duy nhất của đường trắc địa, ta có α = γ trong một lân cận của t0, do đó ảnh của α trong lân cận này nằm trong γ Từ tính khả vi của α, ta suy ra rằng ảnh của α chỉ nằm trên một mặt phẳng duy nhất, dẫn đến việc α = γ trên J Như vậy, ảnh của α chứa trong đường hyperbolic, là giao của mặt phẳng với H + n.
2.3.4 Mệnh đề Cho hai điểm bất kỳ phân biệt p,q ∈ H + n luôn tồn tại một đường trắc địa đi qua hai điểm đó.
Chứng minh Giả sử p, q ∈ H + n Khi đó, ba điểm 0, p, q không thẳng hàng. Thật vậy, giả sử ngược lại, q = λp ta có
−1 = hq, qi = hλp, λpi = λ 2 hp, pi = −λ 2
Nếu p, q ∈ H + n thì λ^2 = 1 dẫn đến p ≡ q, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p và q là hai điểm phân biệt Ta xác định mặt phẳng Π đi qua ba điểm 0, p, q không thẳng hàng, từ đó suy ra p, q ∈ Π ∩ H + n Theo Định nghĩa 2.3.1, H được định nghĩa là H + n ∩ Π, là đường hyperbolic duy nhất trong H + n chứa cả hai điểm p và q Do đó, luôn tồn tại một đường trắc địa đi qua hai điểm phân biệt p, q ∈ H + n.
Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau.
1 Trình bày khái niệm về không gian Lorentz – Minkowski và một số tính chất nó.
2 Trình bày một số tính chất về độ cong của đa tạp nửa Riemann; toán tử dạng và tính rốn trên siêu mặt nửa Riemann.
3 Chứng minh được siêu mặt H n là siêu mặt tựa không gian (Mệnh đề 2.2.1).
4 Khảo sát độ cong và tính rốn của hyperbolic trong không gian Lorentz – Minkowski (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3).
5 Khảo sát đường trắc địa của siêu mặt hyperbolic trong không gian Lorentz – Minkowski (Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4).
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các tính chất đặc biệt của siêu mặt hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski, bao gồm các khía cạnh như v-rốn và trắc địa hoàn toàn.