BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Bình NGHỆ AN - 2012 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Ơclit hình học giả Ơclit nội dung quan trọng mơn hình học Việc nắm vững hiểu nội dung không đơn giản Trên sở kiến thức hình học Ơclit hình học giả Ơclit, chúng tơi trình bày nghiên cứu bước đầu trường hợp riêng hình học giả Ơclit hình học khơng gian Lorentz-Minkowski Được hướng dẫn tận tình, chu đáo Ts-Nguyễn Duy Bình, tơi nghiên cứu hoàn thành luận văn “Một số yếu tố hình học khơng gian LorentzMinkowski” Luận văn chia làm hai chương: Chương I: Không gian giả Ơclit: Hệ thống, trình bày khái niệm, tính chất không gian vectơ giả Ơclit, đẳng cấu trực giao không gian giả Ơclit, tảng cho kiến thức chương II Chương II: Khơng gian Lorentz-Minkowski: Trình bày định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski vấn đề liên quan Trong §1, trình bày đặc trưng vectơ không gian không gian Lorentz-Minkowski Đóng góp luận văn trình bày mục §2, dựa sở bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, khai thác trình bày số trường hợp cụ thể bất đẳng thức khơng gian Lorentz-Minkowski ứng dụng vào để xét tính cực đại tính độ dài đường cong tựa thời gian khơng gian Lorentz-Minkowski Vì kiến thức cịn nhiều hạn chế thời gian có hạn nên luận văn cịn có nhiều thiếu sót nội dung lẫn hình thức, tơi mong nhận bảo, góp ý Thầy Cơ giáo bạn đọc Luận văn thực hoàn thành khoa Toán – Trường Đại học Vinh Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Ts Nguyễn Duy Bình – Người dày cơng hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Thầy Cơ giáo khoa tổ Hình học, tập thể học viên khóa 17, 18 chun ngành Hình học tạo điều kiện giúp tơi hoàn thành luận văn Vinh, tháng 09 năm 2012 MỤC LỤC Nội dung Trang Chƣơng I: Không gian giả Ơclit §1 Khơng gian vectơ giả Ơclit §2 Đẳng cấu trực giao 14 §3 Không gian giả Ơclit 18 Chƣơng II: Không gian Lorentz – Minkowski 23 §1 Đặc trưng vectơ không gian khơng 23 gian Lorentz-Minkowski §2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Độ dài đường thẳng tựa 30 thời gian Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 CHƢƠNG I KHƠNG GIAN GIẢ ƠCLIT §1 KHƠNG GIAN VECTƠ GIẢ ƠCLIT 1.1 Định nghĩa Cho không gian vectơ V trường số thực gọi không gian vectơ giả Ơclit n chiều số k, kí hiệu E nk , với cặp có thứ tự a, b  V có ứng với số thực xác định gọi tích vơ hướng hai vectơ a, b , kí hiệu a.b cho tiên đề sau thoã mãn: E1* a.b  b.a E 2* a.(b  c)  a.b  a.c với a, b, c  V E 3* ( a).b   (a.b) với số thực  E 4* có n vectơ a i với i  1, n cho: ai  với i  k ai  với i > k a j  với i  j Khi k = khơng gian khơng gian vectơ Ơclit Ví dụ 1: Mơ hình số thực Vn trở thành mơ hình E nk ta định nghĩa tích vô hướng hai vectơ a(a1 , a2 , , an ); b(b1 , b2 , , bn ) số thực:  a1 b1  a2 b2   ak bk  ak 1 bk 1   an bn , dễ dàng kiểm tra V n khơng gian vectơ giả Ơclit Ví dụ 2: Xét không gian vectơ Vn, gọi S : Vn  Vn  R dạng song tuyến tính đối xứng p( x)  S ( x, x) dạng tồn phương tương ứng có hạng n số k Khi đó, đặt a.b  S (a, b) từ tiên đề E1* đến E4* nghiệm đúng, suy Vn trở thành không gian vectơ giả Ơclit   Trong không gian vectơ giả Ơclit E nk ta chọn sở e1 , e2 , , en đặt aij  ei e j Bây giờ, vectơ x y có toạ độ là: x1 , x2 , , xn   y1 , y , , y n  , theo tiên đề E 2* , E3* ta có:  n  n  n x y    xi ei    y j e j    xi y j ei e j  i 1   j 1  i j 1 n Vậy x y   j xi y j  x* A y  (1) i j 1 đó: A ma trận aij  Từ cơng thức (1) để tính tích vơ hướng ta có tính chất sau đây: a) 0.a  với a b) a.(b)  a.b   c) a b  c  a.b  a.c 1.2 Định nghĩa Hai vectơ a , b E nk gọi vng góc với tích vô hướng chúng Ta thấy rằng, có vectơ khác vectơ mà lại vng góc với Những vectơ gọi vectơ đẳng hướng Từ định nghĩa, a.b số thực nên u.u số thực, tích u.u dương, âm, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Môđun vectơ u số cho: u.u  u  u.u u  i  u.u u.u < Số i số  nên hai trường hợp ta kí hiệu u  u.u Như vậy: Mơđun vectơ số thực dương, số ảo Vectơ có môđun i gọi vectơ đơn vị Từ định nghĩa 1.2 1.3 ta có tính chất sau: 1.4 Mệnh đề (Xem [1]) 2 a) a  a với a b) .a   a với a số thực  c) Vectơ vng góc với vectơ 2 d) Hai vectơ a , b vng góc với a  b  a  b Chứng minh: Tính chất a, b, c hiển nhiên Ta chứng minh tính chất d: 2 2 a  b  (a  b)  a  2a.b  b  a  2a.b  b 2 2 Mà a  b  a  b  2ab   a vng góc với b 1.5 Định lý (Xem [2]) Hệ trực giao với vectơ có mơđun khác (do hệ giả trực chuẩn) hệ độc lập tuyến tính Chứng minh:   Cho hệ trực giao a1 , a2 , , am , ta xét đẳng thức: m  a i 1 i i  với j,  j  m ta có: m a j  i  a j  hay  j a j    j a j  theo giả thiết hệ giả trực giao i j i 1 từ đẳng thức cuối suy  j  Vậy hệ cho độc lập tuyến tính 1.6 Định nghĩa   Hệ vectơ a1 , a2 , , an E nk gọi hệ giả trực giao vectơ hệ khác hai vectơ vng góc với Một hệ giả trực giao gồm toàn vectơ đơn vị gọi hệ giả trực chuẩn   Cơ sở e = e1 , e2 , , en E nk gọi sở giả trực chuẩn hệ giả trực chuẩn, toạ độ vectơ sở giả trực chuẩn gọi hệ toạ độ giả trực chuẩn   Như vậy, điều kiện cần đủ để hệ e1 , e2 , , en làm thành sở giả trực chuẩn E nk là: e 1  i   ei e j  với i  j Tức vectơ hệ vectơ đơn vị vng góc với 1.7 Định lý (Xem [2]) Mỗi không gian E nk có sở giả trực chuẩn, có k vectơ cho 2 ei  1 n  vectơ cho ei  Chứng minh: Do tiên đề E 4* ta thấy khơng gian E nk ln có mục tiêu giả trực chuẩn Thật vậy, đặt: ei  ei   ai với i  k với i > k (I) ai đó: a i vectơ nói tiên đề E 4* 1.8 Định lý (Xem [2]) Trong E nk ta có n vectơ bi với i  1, n cho bi bi  với i bi bi  với i  j ta có k vectơ bi cho bi bi < n  k vectơ b j , cho b j b j > Chứng minh: Giả sử bi bi < với j  t bi bi > với j  t ta cần chứng minh t  k Dễ thấy, t vectơ b1 , b2 ,…, bi độc lập tuyến tính, chúng sinh không gian vectơ t chiều V = (a  a   a 2 2 n 1 bn2  c )(1  ) bn2 = (a12  a22   an21 ) c 0 bn2 Nếu a12  a22   an21 = => a n2 = => a = 0, vô lý Vậy a12  a22   an21  an2 > hay a, a > 0, mệnh đề chứng minh Chú ý: Một vectơ trực giao với vectơ tựa khơng gian chưa vectơ tựa thời gian 1.2 Không gian không gian Lorentz – Minkowski 1.2.1 Định nghĩa Cho W không gian vectơ Ln (+) W gọi tựa khơng gian chứa vectơ tựa không gian vectơ (+) W gọi tựa thời gian có chứa vectơ tựa thời gian (+) W gọi tựa ánh sáng chứa vectơ tựa ánh sáng không chứa vectơ tựa thời gian 1.2.2 Định lý (Xem [4]) Cho W không gian vectơ Ln (i) W gọi tựa không gian /W xác định dương (ii) W gọi tựa thời gian /W không suy biến có số (iii) W gọi tựa ánh sáng /W suy biến Chứng minh: (i) W  Ln tựa khơng gian  x W x = >  x  W , x  > hay /w xác định dương 25 Ngược lại, /w xác định dương  > x  , x  W  W chứa vectơ tựa không gian hay W tựa không gian (ii) Không gian W W0 = x  W  x, y  0, y  W  W tựa ánh sáng nên x  0, x W cho = Mặt khác, W tựa ánh nên y  W  0, t  R  = 0, y  W  /W suy biến Ngược lại, /W suy biến  x  0, x W cho = 0, y  W  = 0,  x  W => x vectơ tựa ánh sáng thuộc W Giả sử W chứa vectơ tựa thời gian, nghĩa 0  y W : x, y  <  > (mâu thuẫn với x vectơ tựa ánh sáng)  W không chứa vectơ tựa thời gian Vậy W tựa ánh sáng (iii) W tựa thời gian Giả sử /W suy biến  W tựa không gian (vô lý)  /W không suy biến số Ngược lại, /W không suy biến số  Tồn không gian {0}  A  W cho /A xác định âm  0  x  A : x, x  Không gian phương W siêu phẳng HP(q,c) có phương trình là: q1x1 + q2x2 + … + qn-1xn-1 - qnxn = (+) HP(q,c) siêu phẳng tựa không gian: => W tựa không gian => W chứa vectơ tựa không gian vectơ Giả sử q  W => q12  q22   qn21  qn2  => q2 vectơ tựa ánh sáng (mâu thuẫn với W chứa vectơ tựa không gian) => q  W => q12  q22   qn21  qn2  27 => q, q  => q vectơ tựa thời gian Ngược lại, q vectơ tựa thời gian Giả sử  x W ta có x, q  => x vectơ tựa không gian => W chứa vectơ tựa không gian => W tựa không gian => HP(q,c) siêu phẳng tựa không gian (+) HP(q,c) siêu phẳng tựa thời gian => W tựa thời gian => 0  x W cho x, x  Mà (q,x) = => q vectơ tựa không gian Ngược lại, q vectơ tựa không gian (+) HP(q,c) siêu phẳng tựa ánh sáng => W tựa ánh sáng Giả sử, q vectơ tựa ánh sáng => q, q   q  W Giả sử W chứa vectơ tựa thời gian =>  x  0, x  W : x, x  Mà q, x  => q vectơ tựa không gian, mâu thuẫn Vậy, W không chứa vectơ tựa thời gian => W tựa ánh sáng 1.2.6 Định lý (Xem [4]) Giả sử f phép đẳng cấu trực giao Ln Khi đó, qua f, khơng gian tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng tương ứng biến thành không gian tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng 28 Chứng minh: Giả sử f phép đẳng cự Ln W1; W2; W3 không gian tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng Ln W1’; W2’; W3’ ảnh không gian W1; W2; W3 qua f (+) W1'  f (W1 )  f ( x) x  W1  Ta có:  W1 => = f(0)  W1’ Lấy y  W1’ => x  W1 cho y = f(x) => y, y  f ( x), f ( x)  x, x  => y vectơ tựa không gian Vậy W1’ tựa không gian (+) W2'  f (W2 )  f ( x) x  W2  Ta có: W2 tựa thời gian => x  W2 cho x tựa thời gian => y  W2' : y = f(x) Khi y, y  f ( x), f ( x)  x, x  => y vectơ tựa thời gian => W2’ tựa thời gian (+) W3'  f (W3 )  f ( x) x  W3  W3 tựa ánh sáng => x  W3 cho x tựa ánh sáng => y  W3' : y = f(x) => y, y  f ( x), f ( x)  x, x  => y vectơ tựa ánh sáng 29 Mặt khác, giả sử W3' chứa vectơ tựa thời gian => y  W3' cho y, y  => x  W3 cho f(x) = y Mà x, x  f ( x), f ( x)  y, y  => x vectơ tựa ánh sáng (mâu thuẫn với W tựa ánh sáng) W3’ không chứa vectơ tựa thời gian Vậy W3’ tựa ánh sáng §2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG THẲNG TỰA THỜI GIAN Trên sở bất đẳng thức Cauchy – Schwarz không gian Ơclit, phần ta chủ yếu nghiên cứu bất đẳng thức loại vectơ không gian Lorentz – Minkowski ứng dụng để so sánh độ dài đường tựa thời gian 2.1 Định nghĩa Giả sử x vectơ Ln Độ dài vectơ x kí hiệu x xác định x = x  x (ta viết x  x để thay cho x, x phần chứng minh sau) x số phức, nên x dương, 0, ảo Ta kí hiệu x mơđun x Nếu x vectơ Rn-1 có tọa độ (x2, x3, …, xn), ta có: 30 x 2   x12  x , x độ dài x Nếu x y vectơ Ln, ta có x  y   x1 y1  x y Một vectơ tựa thời gian x gọi dương (âm) x1 > ( x1 < 0) 2.2 Định nghĩa Một ma trận A cấp n  n gọi ma trận Lorentz có ánh xạ tuyến tính A: Ln  Ln xác định A(x) = Ax phép biến đổi Lorentz (là đẳng cấu trực giao Ln) Tập hợp tất ma trận Lorentz A với phép nhân ma trận làm thành nhóm O(1, n-1), gọi nhóm Lorentz ma trận cấp n  n A  O(1, n-1) nhóm dương cho Ax tựa thời gian dương x tựa thời gian dương Khi đó, PO(1, n-1) = { A  O(1, n-1), A ma trận dương} Tập hợp ma trận dương O(1, n-1) kí hiệu PO(1, n-1), hay cịn gọi nhóm Lorentz dương 2.3 Định lý (Xem [4]) Giả sử x, y vectơ tựa thời gian dương (âm) L n Thế x  y  x y x y hệ phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Ta có A PO(1, n – 1) cho Ax = te1 Vì A bảo tồn tích Lorentz, ta thay x y Ax Ay Do vậy, ta giả thiết x = x 1e1, ta có: x y 2   x12 ( y12  y )  x12 y12  x12 y  x12 y12  ( x  y) đẳng thức xảy y  , có nghĩa y  y1e1 , tức x y phụ thuộc tuyến tính Vì x  y   x1 y1  , ta có: x  y  x y đẳng thức xảy x y hệ phụ thuộc tuyến tính 31 2.4 Định nghĩa  1 0   Cho x, y vectơ L ma trận J =    0 1   Tích Lorentz vectơ x y xác định bởi: x  y  J ( x  y) 2.5 Định lý (Xem [4]) Nếu w, x, y, z vectơ L3 thì: (1) x  y  y  x (2) x1 ( x  y )  z  y1 x2 y2 x3 y3 z1 z2 z3 (3) x  ( y  z)  ( x  y) z  ( z  x) y (4) ( x  y )  ( z  w)  xw x z yw yz Hệ 1: Nếu x, y vectơ tựa thời gian dương (âm) độc lập tuyến tính L3 x  y tựa không gian x  y   x y sinh ( x, y) Chứng minh: Theo 2.6 (4) ta có: x y  ( x  y)  x y  x y cosh  ( x, y )  x  x y sinh  ( x, y ) 2 y 2 Hệ 2: Nếu x, y vectơ tựa khơng gian L3 thì: (1) x y  x y x  y tựa thời gian (2) x y  x y x  y tựa ánh sáng (3) x y  x y x  y tựa không gian 32 Chứng minh: Theo định lý 2.6 (4), ta có: x  y  ( x  y)  x y 2.6 Định lý (Xem [4]) Giả sử x y vectơ tựa khơng gian độc lập tuyến tính L n+1 Khi điều sau tương đương: (1) Các vectơ x y thoã mãn x  y  x y (2) Không gian vectơ V sinh x y tựa không gian (3) Các siêu phẳng P Q Hn tương ứng trực giao với x y giao Chứng minh: Giả thiết (1) thỏa mãn, với số thực s t khác 0, ta có: sx  ty  sx  2st ( x  y)  ty 2  sx  st x y  ty 2 = ( sx  ty )  Do vậy, V tựa không gian Ngược lại, (2) thỏa mãn tích Lorentz V xác định dương Vì bất đẳng thức Cauchy thoả mãn V, nên (1) thoả mãn Do vậy, (1) (2) tương đương Bây (2) (3) tương đương, V L  x  y L L (với VL = {x  Ln+1: x  y = với y V}, gọi phần bù vng góc V Ln+1, (VL)L = V VL = J(VL) Hn = {x  Ln+1, x  x = -1} Giao không gian tựa thời gian n chiều L n+1 với Hn gọi siêu phẳng Hn) 2.7 Định lý (Xem [4]) Giả sử x y vectơ tựa không gian độc lập tuyến tính L n+1, điều sau tương đương: 33 (1) Các vectơ x y thoã mãn bất đẳng thức x  y  x y (2) Không gian vectơ V sinh x y tựa thời gian (3) Các siêu phẳng P Q Hn tương ứng trực giao Lorentz với x y rời có đường hypebolic trực giao Lorentz chung Chứng minh: Loại trừ bội vô hướng x, phần tử không gian V bội vô hướng phần tử có dạng tx + y, với t số thực Ta thấy biểu thức tx  y  t x  2t ( x  y)  y 2 đa thức bậc t Đa thức nhận giá trị âm biệt thức   4( x  y)  x y 2 dương Do vậy, (1) (2) tương đương Giả sử V khơng gian tựa thời gian Khi V L tựa không gian Từ V L  ( x) L  ( y) L , ta có P Q rời Để ý N  V  H n đường hyperbolic V  ( x) L không gian chiều L n+1 Hơn nữa, phương trình tx  y  ( x  y) x Do u có nghiệm tựa thời gian, (tx  y)  x   y V  ( x) L  ( x  y )( x / x )  x y  ( x  y)  x 2 y t  x  y / x Ngoài ra, 0 N P điểm , đó, dấu “+” hay dấu “-” chọn cho u tựa thời gian dương Tương tự N  Q điểm v Giả sử  : R  H n đường trắc địa cho  (0)  u  ( R)  N Vì  ' (0) x trực giao Lorentz với u V, ta có  ' (0) bội vô hướng x Do vậy, N trực giao Lorentz với P Tương tự, N trực giao Lorentz với Q 34 Ngược lại, giả sử (3) thoã mãn Giả sử N đường hyperbolic trực giao Lorentz chung với P Q Khi đó, có không gian tựa thời gian chiều W Ln+1 cho N = W  Hn Vì N trực giao Lorentz với P, ta có x nằm W Tương tự y nằm W Do đó, V = W V tựa thời gian Chú ý: Chứng minh định lý chứng tỏ P Q siêu phẳng rời Hn, với đường hyperbolic trực giao Lorentz chung N, N Hơn nữa, x y vectơ tựa không gian L n+1 trực giao Lorentz tương ứng với P Q x y vectơ tiếp xúc N 2.8 Định lý (Xem [5]) Nếu x y vectơ tựa thời gian không gian Ln x, y  x y Chứng minh: Ta viết y  ax  y , với y  (x)  Theo định lý 1.2.5 y tựa khơng gian Khi y tựa thời gian, ta có y, y  a x, x  y, y  x, y  a x, x  ( y, y  y, y ) x, x  y, y x, x  x y , 2 2 (vì y, y  0, x, x  ) Trái ngược với tính cực tiểu đoạn thẳng nối điểm khơng gian, đoạn thẳng nối điểm khơng gian Lorentz-Minkowski có tính cực đại Áp dụng kiến thức trình bày trên, ta có kết sau 35 2.9 Độ dài đƣờng thẳng tựa thời gian  B A Cho  : I  L2 t   (t )  gọi tựa không gian (tương ứng tựa thời gian, tựa ánh sáng) với t,  ' (t ) vectơ tựa không gian (tương ứng tựa thời gian, tựa ánh sáng)  gọi tham số hóa tự nhiên |||  ' (t ) ||| = 2.9.1 Bổ đề Mọi đường cong tựa thời gian tựa khơng gian có tham số hóa tự nhiên 2.9.2 Định nghĩa Cho  : [a,b]  Ln+1 đường cong khả vi Độ dài  xác định b b a a d(  ) =  |||  ' (t ) ||| dt =  ds Gọi AB đường thẳng tựa thời gian không gian Lorentz (< AB, AB > < 0) 36 Gọi  đường cong có mút A B với tham số hoá tự nhiên  : a, b  Ln  đường cong tựa thời gian (  ' ,  '  1 ) Khi đó,  gọi đường cong tựa thời gian Ln 2.8.3 Mệnh đề Cho AB đoạn thẳng tựa thời gian khơng gian Ln Khi đó, AB có độ dài lớn tất đường cong tựa thời gian có hai đầu mút A B Chứng minh: Giả sử  đường cong có hai đầu mút A B  : I  Ln tham số hóa tự nhiên  Gọi  ' dạng vi phân Ln đối ngẫu trường vectơ e1, e1  AB (  (e1 )  1, (ei )  với i  , e1 , e2 , , en sở trực chuẩn i AB Ln) Khi ta có: d ( AB )'   ds    AB AB   (theo công thức Stokes)     ( ' )ds     e1 ,  '  ds   (ds vi phân độ dài)     e1 ,  '    e  ' (t ) ds  =  ds  d () 37  KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Luận văn trình bày nội dung sau: Trình bày, hệ thống lại kiến thức không gian vectơ giả Ơclit, đẳng cấu trực giao khơng giả Ơclit Trình bày đặc trưng vectơ không gian không gian Lorentz-Minkowski Trên sở bất đẳng thức Cauchy-Schwarz không gian Ơclit, đưa bất đẳng thức loại vectơ không gian Lorentz-Minkowski ứng dụng để xét tính cực trị độ dài đường tựa thời gian Đóng góp luận văn phần chương II, §2 Bất đẳng thức CauchySchwarz ứng dụng để xét tính cực trị đường thẳng tựa thời gian Trong hình học Ơclit, khoảng cách điểm có giá trị nhỏ nhất, luận văn không gian Lorentz-Minkowski, khoảng cách hai điểm lại có giá trị lớn Mặc dù có nhiều cố gắng nghiêm túc q trình hồn thành Luận văn, song khơng thể tránh thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn bè đồng nghiệp để Luận văn hoàn thiện 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Văn Như Cương – Tạ Mân (1998) Hình học Afin hình học Ơclit NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Cảnh Tồn (1979) Hình học cao cấp NXB giáo dục [3] Đồn Quỳnh (2001) Hình học vi phân NXB Đại học sư phạm TIẾNG ANH [4] Rafael Lo’pez (2008) Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Mini-Course taught at the Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica (IME-USP) University of Sao Paulo, Brasil [5] Reese Harvey (1990), Spinovs and Calibrations, Academic press, N.Y, [6] Barrett O’ nell (1983), Semi-Rimannian geometry, Academic press 39 ... ĐẠI HỌC VINH - - TRẦN VĂN LÂM MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠ PƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: ... riêng hình học giả Ơclit hình học khơng gian Lorentz- Minkowski Được hướng dẫn tận tình, chu đáo Ts-Nguyễn Duy Bình, tơi nghiên cứu hồn thành luận văn ? ?Một số yếu tố hình học khơng gian LorentzMinkowski”... Như vậy, không gian giả Ơclit không gian afin mà không gian vectơ giả Ơclit Không gian giả Ơclit gọi n chiều số k không gian vectơ giả Ơclit n chiều số k Không gian giả Ơclit không gian afin