MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Độ đo tự đồng dạng không 1.1 Độ đo, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo hồn tồn kì dị 1.2 Không gian xác suất, biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.3 Hệ hàm lặp, tập Fractal chiều Hausdorff 1.4 Độ đo tự đồng dạng, độ đo tự đồng dạng không Chương Tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không 17 2.1 Tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không sinh ánh xạ R 17 2.2 Tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không R 22 2.3 Tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không sinh hệ hàm lặp thỏa mãn OSC 29 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Vào năm 70 kỉ XX lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng đời hình học Fractal Cơng cụ để nghiên cứu hình học Fractal chiều độ đo Có nhiều khái niệm chiều độ đo đề xướng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết tìm thấy nhiều ứng dụng hữu ích cho nhiều lĩnh vực khác Một độ đo Fractal đặc biệt quan tâm độ đo tự đồng dạng (Self - Similar Measure) Độ đo khởi xướng vào năm 1981 Hutchinson sau nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu P Erdos, A Fan, K Lau, Salem, B Solomyak, R Strichartz, J Neunhauserer, Nhờ việc nghiên cứu độ đo mà ta nghiên cứu chiều Hausdorff tập Fractal giá độ đo tự đồng dạng sinh họ ánh xạ đồng dạng tập Fractal sinh ánh xạ Mặt khác, nhờ nghiên cứu độ đo tự đồng dạng ta nghiên cứu cấu trúc địa phương tập Fractal Chính thế, độ đo ln thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Với lí tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn Về tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng khơng Mục đích luận văn thơng qua tài liệu, chúng tơi tìm hiểu, trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết kết độ đo tự đồng dạng, nghiên cứu tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng khơng Ngồi phần Mở đầu, Mục lục Tài liệu tham khảo, Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Độ đo tự đồng dạng khơng Chương trình bày số kiến thức sở độ đo, độ đo kỳ dị, độ đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên, độ đo tự đồng dạng Đây khái niệm sở sử dụng xuyên suốt luận văn Trình bày chứng minh chi tiết số bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh kết luận văn Chương Tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không Chương trình bày chứng minh chi tiết kết đạt tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng không Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cơ giáo tổ Giải tích Khoa Tốn - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q Thầy, Cơ giáo Phịng Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến góp ý Thầy, Cơ giáo bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHƠNG ĐỀU Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở độ đo, độ đo kỳ dị, độ đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên, độ đo tự đồng dạng Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết tính chất độ đo tự đồng dạng không 1.1 Độ đo, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo hồn tồn kì dị 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập hợp khác rỗng C lớp tập X Khi đó, C gọi đại số X i) X ∈ C; ii) Với A ∈ C X\A ∈ C; iii) Với A, B ∈ C A ∪ B ∈ C C gọi σ -đại số X thỏa mãn hai điều kiện i), ii) điều kiện iii’) sau ∞ An ∈ C iii’) An ∈ C với n = 1, 2, n=1 Giả sử X = (X, d) khơng gian tơpơ Khi đó, σ-đại số nhỏ chứa lớp tập mở không gian tôpô X gọi σ-đại số Borel không gian X, tập thuộc σ-đại số gọi tập Borel không gian X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho C đại số tập hợp tập hợp X hàm tập µ : C → [0, ∞] µ gọi độ đo i) µ(∅) = 0; ii) µ σ- cộng tính, nghĩa A1 , A2 , họ đếm tập hợp đơi rời thuộc C ∞ µ( ∞ An ) = n=1 µ(An ) n=1 Hàm µ gọi độ đo ngồi i) µ(∅) = 0; ii) µ(A) ≤ µ(B), với A ⊂ B, A ∈ C, B ∈ C; ∞ iii) µ( ∞ An ) ≤ n=1 µ(An ), với An ∈ C, n = 1, 2, n=1 Độ đo µ thỏa mãn µ(X) = gọi độ đo xác suất Ta nói µ độ đo Borel tất tập Borel đo với A ⊂ X tồn tập Borel B ⊃ A cho µ(A) = µ(B) Độ đo µ gọi độ đo σ-hữu hạn ∞ Xn , Xn ∈ C, µ(Xn ) < ∞ với n X= n=1 Gian R có dạng (∗) (∗∗) (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] (*) (−∞, a), (−∞, a], (b, +∞), [b, +∞), (−∞, +∞) (**) n Đặt C = { Fi : Fi gian rời nhau, Fi ∈ C} ta có C đại số i=1 Xây dựng hàm tập µ : C → [0, ∞] n n Fi → i=1 |Fi | i=1 với |Fi | = |bi − | đường kính (xem Định nghĩa 1.3.5) tập Fi µ(C) =   n |bi − | Fi ∈ (∗) i=1  Fi ∈ (∗∗) +∞ Khi đó, µ độ đo C Độ đo sinh độ đo µ gọi độ đo Lebesgue Kí hiệu µL 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho µ độ đo C Khi đó, giá độ đo µ (nếu tồn tại) tập đóng bé với phần bù có độ đo 0, ký hiệu sptµ Khi đó, µ(X \ sptµ) = 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho X tập hợp khác rỗng, C σ-đại số tập hợp X hàm tập µ : C → [0, ∞] độ đo Khi đó, i) Cặp (X, C) gọi không gian đo Mỗi A ∈ C gọi tập đo ii) Bộ ba (X, C, µ) gọi khơng gian đo iii) Nếu µ độ đo σ-hữu hạn ba (X, C, µ) gọi khơng gian đo σ-hữu hạn 1.1.5 Định nghĩa ([7]) Giả sử µ ν độ đo xác định khơng gian đo (X, C) Ta nói µ ν kì dị lẫn tồn tập A, B ∈ C cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X ν(A) = µ(B) = 0, ký hiệu µ ⊥ ν Nếu µ ⊥ µL (µL độ đo Lebesgue) ta nói µ hồn tồn kì dị 1.1.6 Ví dụ ([7]) Cho a ∈ R ta xác định hàm tập ν ν(E) = a ∈ E a ∈ E với E tập đo Lebesgue Khi đó, ν hồn tồn kỳ dị Chứng minh Dễ kiểm tra với cách xác định ν độ đo Lấy A = R \ {a}, B = {a} ta có A ∩ B = ∅, A ∪ B = R ν(A) = µL (B) = Vậy, ν ⊥ µL , nghĩa độ đo ν xây dựng ví dụ độ đo hoàn toàn kỳ dị 1.1.7 Định nghĩa ([7]) Giả sử µ ν độ đo xác định C Khi đó, ta nói ν liên tục độ đo µ ν(E) = với E ∈ C thỏa mãn µ(E) = 0, ký hiệu ν Nếu µ µ µL ta nói µ liên tục tuyệt đối 1.1.8 Ví dụ Giả sử λ ∈ (0, 1), {Xi } dãy biến ngẫu nhiên rời rạc (xem Định nghĩa 1.2.1), nhận giá trị a1 = −1, a2 = với xác suất tương ứng p1 = 21 , p2 = 12 Khi đó, phân phối biến ngẫu nhiên ∞ ∞ n Yλ = ±λn λ (±1) = n=0 n=0 νλ xác định νλ (E) = P rob{ω : Yλ (ω) ∈ E}, với E ⊂ R gọi tích chập Bernoulli Với < λ < νλ hồn tồn kì dị với < λ < νλ liên tục tuyệt đối 1.1.9 Định lý phủ Vitali ([4]) Giả sử µ độ đo Khi đó, µ liên tục tuyệt đối giới hạn D(µ, x) < ∞ với µ hầu hết x ∈ R D(µ, x) = limr→0 µ(Br (x)) 2r với Br (x) lân cận tâm x, bán kính r 1.1.10 Định lý phân tích Lebesgue ([5]) Giả sử (Ω, F) không gian đo σ-hữu hạn ν độ đo σ-hữu hạn Ω Khi đó, tồn độ đo νa νs cho νs ⊥ ν, νa ν ν = νa + νs Hơn nữa, độ đo νa , νs 1.2 Không gian xác suất, biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.2.1 Định nghĩa ([9]) i) Cho (Ω, F) không gian đo được, P độ đo xác suất Ω Khi đó, ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất ii) Một biến số gọi biến ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên iii) Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm giá trị 1.2.2 Định nghĩa ([9]) Cho (Ω, F) không gian đo được, P độ đo xác suất Ω Họ biến ngẫu nhiên {Xi }i∈I gọi độc lập (độc lập đôi một) họ σ-đại số σ(Xi )i∈I độc lập (độc lập đôi một) 1.2.3 Định nghĩa ([9]) i) Cho (Ω, F, P) không gian xác xuất X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX (x) = P (X < x) = P (ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X ii) Nếu X biến nhẫu nhiên rời rạc hàm phân phối có dạng pi (xi < x), FX (x) = i {pi > 0, pi = 1} S = {xi : i = 1, 2, } tập không i đếm R 1.3 Hệ hàm lặp, tập Fractal chiều Hausdorff 1.3.1 Định nghĩa ([3]) i) Cho D = ∅, D ⊂ Rn , ánh xạ f : D→D gọi ánh xạ co D tồn c ∈ [0; 1) để |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D c gọi tỷ số co ánh xạ f ii) Nếu dấu "=" bất đẳng thức xảy với x, y ∈ D ánh xạ f gọi ánh xạ đồng dạng D c gọi tỷ số đồng dạng ánh xạ f iii) Ánh xạ f : D→Rn gọi ánh xạ Lipschitz tồn số c > cho |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ D iv) Ánh xạ f : D→Rn gọi ánh xạ Holder tồn số c > α > cho |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α , ∀x, y ∈ D 1.3.2 Định nghĩa ([3]) i) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co {f1 , f2 , , fm } D gọi hệ hàm lặp (viết tắt IFS - Iterated Function System) D ii) Cho hệ hàm lặp {f1 , f2 , , fm } Ta nói hệ hàm lặp cho thỏa mãn điều kiện tập mở (viết tắt OSC-Open Set Condition) tồn tập mở, bị chặn, khác rỗng V ⊂ Rn cho m  f (V ) ⊆ V ; i i=1  fi (V ) fj (V ) = ∅ (i = j) 1.3.3 Định lý ([3]) Cho hệ hàm lặp {f1 , f2 , , fm } D, K lớp tập compact, khác rỗng D ánh xạ f : K→K xác định m E → f (E) = fi (E) i=1 Khi đó, ln tồn tập F ∈ K cho f (F ) = F hay m F = fi (F ) i=1 Hơn nữa, có tập E ∈ K cho fi (E) ⊆ E, ≤ i ≤ m ∞ F = f k (E) với f k lặp lại k lần ánh xạ f k=1 1.3.4 Định nghĩa ([3]) i) Cho hệ hàm lặp {f1 , f2 , , fm } D Khi m đó, tập F thỏa mãn F = fi (F ) gọi tập bất biến hay tập hút i=1 (attractor) hệ hàm lặp {f1 , f2 , , fm } ii) Nếu fi (1 ≤ i ≤ m) ánh xạ đồng dạng tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng (Self-similar Set) iii) Nếu fi (1 ≤ i ≤ m) ánh xạ đồng dạng với tỉ số đồng dạng λi > tồn λk = λj , k = j tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng khơng Ngược lại, tập bất biến F gọi tập tự đồng dạng iv) Các tập bất biến xem tập fractal 1.3.5 Định nghĩa ([3]) i) Cho U ⊆ Rn , U = φ Đường kính U kí hiệu |U | xác định |U | = sup{|x − y| : x, y ∈ U } ii) Cho {Ui } họ đếm tập Rn (1.1) ∞ Nếu F ⊂ Ui i=1 {Ui } gọi phủ F Nếu thêm điều kiện < |Ui | ≤ δ với i, δ > cho trước {Ui } gọi δ− phủ F Với F ⊆ Rn , s ≥ δ > ta đặt ∞ Hδs (F ) |Ui |s : {Ui } δ − phủ F } = inf{ (1.2) i=1 1.3.6 Mệnh đề ([3]) Cho F ⊆ Rn , s ≥ 0, đặt Hs (F ) = lim+ Hδs (F ) δ→0 hàm tập Hs : P(Rn )→R độ đo Rn , với P(Rn ) lớp tất tập Rn 1.3.7 Định nghĩa ([3]) Độ đo sinh độ đo Hs gọi độ đo Hausdorff Rn ta ký hiệu Hs Tập F ⊂ Rn thỏa mãn < Hs (F ) < +∞ gọi s-tập 1.3.8 Định lý ([2]) Cho F ⊂ Rn Khi đó, tồn giá trị sF ∈ [0, +∞) cho i) Hs (F ) = với s > sF 10 Do đó, g(λ) ∈ G thỏa mãn điều kiện gác ngang [0, λ0 ] Với n ≥ 1, kí hiệu Gn,α := {Fi,j (λ, α) ∈ Fα : i(k) = 2, ≤ k ≤ n}, Hn,α := Fα \Gn,α Với kí hiệu ta có bổ đề sau 2.1.5 Bổ đề ([13]) Bất kì hàm h1 (λ) có dạng ∞ k−1 i h1 (λ) = − k αλi αλ + cλ + i=1 i=k+1 với c ∈ R k ≥ n − (∗)− hàm Hn,b với b thỏa mãn < b ≤ α Chứng minh Lấy g(λ) = Fi,j (λ, b) ∈ Hn,b Khi đó, i(1) = 2, j(1) = i(l) = với l ≤ n Do đó, ∞ ∞ |im |1 m Si [λ, b] = i(m+1) b αm λ m λ =: + n=0 m=1 cho αm ≤ b ≤ α với m ≥ n, = 0, = Hơn nữa, j(1) = nên Sj [λ, b] có dạng ∞ ∞ Sj [λ, b] = j(m+1) b |jm |1 m αm λm λ =: m=0 m=1 cho αm ≤ b ≤ α với m ≥ Như vậy, g(λ) = Fi,j (λ, b) thỏa mãn p ∞ m b m λm bm λ − g(λ) = h1 (λ) = m=1 m=p+1 với bm ≥ p = k − p = k Vậy, bổ đề chứng minh 2.1.6 Bổ đề ([13]) Bất kì hàm h2 (λ) có dạng ∞ n+k−1 i h2 (λ) = − n+k λ + cλ i=n λi + i=n+k+1 20 với c ∈ R k ≥ (∗)− hàm Gn,b với b mà < b < Chứng minh Lấy g(λ) = Fi,j (λ, b) Khi i(j) = với j thỏa mãn ≤ j ≤ n j(1) = Do đó, ∞ n−1 i Si [λ, b] = + b i λi λ + i=1 i=n đây, bi ≤ với i ≥ n Vì hệ số Sj [λ, b] vượt 1, nên n hệ số đầu g(λ) không âm Dễ dàng thấy p ∞ i g(λ) − h2 (λ) = ci λi ci λ − i=1 i=p+1 với ci ≥ 0, p = n + k − p = n + k Vậy, bổ đề chứng minh Lấy µρ1 ,ρ2 độ đo tự đồng dạng sinh IFS gồm S1 (x) = ρ1 x, S2 (x) = ρ2 x + 1, ρ1 = ρ2 , ρ1 , ρ2 ∈ (0, 1) với p1 = p, p2 = − p p thay đổi (0, 1), p = 21 Đặt Ωp := {(ρ1 , ρ2 ) : ρp1 ρ21−p > pp (1 − p)1−p , < ρ1 , ρ2 < 1} Với cặp số thực λ0 , α ∈ (0, 1) lấy Kλ0 ,α hai hình tam giác Kλ0 ,α := {(ρ1 , ρ2 ) : < ρ1 ≤ λ0 , ρ2 ρ1 ≤ α}∪{(ρ1 , ρ2 ) : < ρ2 ≤ λ0 , ≤ α} ρ1 ρ2 Với kí hiệu ta có định lí sau 2.1.7 Định lý ([13]) Cho n ≥ < α ≤ Giả sử tồn h1 (λ) h2 (λ) tương ứng Bổ đề 2.1.5 Bổ đề 2.1.6 cho hi (λ0 ) ≥ δ, hi (λ0 ) ≥ −δ, i = 1, với λ0 ∈ (0, 1) δ > Khi đó, µρ1 ,ρ2 liên tục tuyệt đối Chứng minh Ta ký hiệu hai hình tam giác Kλ0 ,α T1 T2 Vì h1 (λ) (∗)− hàm Hn,α với < b ≤ α, theo Bổ đề 2.1.5 21 ta có điều kiện gác ngang thỏa mãn Hn,b với λ ∈ [0, λ0 ] Sự tồn điều kiện gác ngang h2 (λ) Gn,α với λ ∈ [0, λ0 ] thỏa mãn Do đó, với b cố định thỏa mãn < b ≤ α hệ hàm lặp IFS S1 (x) = ρ1 x, S2 (x) = ρ2 x + với ρ1 = ρ2 ∈ (0, 1) xác định thông qua tham số ρ1 = bλ ρ2 = λ với λ ∈ [0, λ0 ] thỏa mãn điều kiện gác ngang Do đó, µρ1 ,ρ2 họ tham số với tham số λ liên tục tuyệt đối với λ ∈ [0, λ0 ], miễn (bλ, λ) ∈ Ωp Do đó, vậy, xét họ hai tham số (λ, b) độ đo µρ1 ,ρ2 liên tục tuyệt (λ, b) ∈ [0, λ0 ] × (0, α], miễn (ρ1 , ρ2 ) ∈ Ωp Miền Ωp ∩ T2 Để chứng minh tính liên tục tuyệt đối µρ1 ,ρ2 với (ρ1 , ρ2 ) ∈ Ωp ∩ T1 , ta xét độ đo tự đồng dạng µρ1 ,ρ2 kết hợp với IFS {S1 , S2 }, S1 (x) = ρ1 x + 1, S2 (x) = ρ2 x kết hợp với hệ xác suất p1 = p p2 = − p Để ý S1 = ψ −1 ◦ S1 ◦ ψ, S2 = ψ −1 ◦ S2 ◦ ψ với ψ(x) = ρ1 −1 1−ρ2 x + 1−ρ2 Điều kéo theo µρ1 ,ρ2 = µρ1 ,ρ2 ◦ ψ −1 Do đó, µρ1 ,ρ2 liên tục tuyệt đối µρ1 ,ρ2 liên tục tuyệt đối Nhưng theo tính đối xứng IFS {S1 , S2 } thỏa mãn điều kiện gác ngang T1 Do đó, µρ1 ,ρ2 µρ1 ,ρ2 liên tục tuyệt (ρ1 , ρ2 ) ∈ Ωp ∩ T1 Vậy, định lý chứng minh 2.2 TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHÔNG ĐỀU TRÊN R Mục 2.1 chúng tơi xét tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không sinh ánh xạ R Trong mục này, chúng tơi trình bày 22 tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không sinh n ánh xạ R 2.2.1 Các kí hiệu Ta kí hiệu b = (β1 , , βn ) ∈ (0, 1)n n tỉ số co d = (d1 , , dn ) ∈ Rn tỉ lệ dịch chuyển xác định hệ hàm lặp IFS {T1 , T2 , , Tn } sau Ti (x) = βi x + di , i = 1, 2, , n đường thẳng thực Theo Định nghĩa 1.3.4 có tập hút ∧b,d ⊆ R hệ hàm lặp xác định thỏa mãn n ∧b,d = Ti (∧b,d ) i=1 Lấy vectơ xác suất p = (p1 , , pn ), theo Định lý 1.4.3 tồn độ đo xác suất Borel µpb,d ∧b,d thỏa mãn n µpb,d (A) pi (µpb,d ◦ Ti−1 (A)) = i=1 Lấy Σ = dN0 không gian dãy đường thẳng thực Xét phép chiếu πb,d : Σ → R xác định ∞ πb,d (s) = n sk k (s) i (s) i=1 k=0 với k βi i = Card{sj |sj = di với j = 0, 1, , k − 1} s = (sk ) ∈ Σ 2.2.2 Định lý (Ergodic Birkhoff) ([14]) Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) cho Ω ∈ L1 Khi đó, n−1 −1 Xn → E[X0 |I X ], n → ∞ n k=1 23 xác suất lẫn L1 , I := {A ∈ S : T −1 (A) = A, với S := RZ+ , T : S → S} I X := X −1 (I) = {X −1 (A) : A ∈ I} 2.2.3 Bổ đề ([2]) Với kí hiệu ta có µpb,d = bp ◦ Π−1 b,d Chứng minh Từ tính độ đo tự đồng dạng ta suy phép chiếu bp ◦ Π−1 b,d độ đo tự đồng dạng tương ứng với IFS {T1 , , Tn } Vậy, bổ đề chứng minh 2.2.4 Mệnh đề ([11]) Với kí hiệu ta có n pi log(pi ) dim µpb,d ≤ i=1 n pi log(βi ) i=1 Do đó, µpb,d kì dị n i=1 ppi i > n i=1 βipi Chứng minh Nếu ta xét mêtric dN0 d(s, t) = n i=1 ζ βi i (s) , với ζ = min{k| sk = tk } Khi đó, chiều Hausdorff độ đo Bernoulli bp (dN◦ , d) xác định vế phải công thức Mệnh đề 2.2.4 Ta chứng minh điều cách sử dụng định lý Entropy Shannon địa phương Định lý 2.2.2 Ta có ánh xạ p b,d Lipschitz với metric d chiều khơng tăng Vậy, ta có điều phải chứng minh Để chứng minh kết tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng, ta cần sử dụng khái niệm tính gác ngang Với b > 0, xét khơng gian hàm giải tích với f (0) = chuỗi lũy thừa với hệ số thuộc [−b, b], tức ∞ bk xk | bk ∈ [−b, b]} Fb = {f (x) = + k=1 24 lấy t(b) = min{x > 0| ∃f ∈ Fb , f (x) = f (x) = 0} Với > tùy ý, có ρ > cho với hàm f ∈ Fb cắt trục hoành điểm tọa độ thuộc [−ρ, ρ] khoảng nằm ngang [0, t(b) − ] Ta có mệnh đề sau 2.2.5 Mệnh đề ([11]) Hàm t xác định liên tục đơn t(1) = 0, 64913 ; t(2) = 0, t(3) = 0, 42772 điệu giảm với √ √ t(b) ≥ ( b + 1)−1 với b ∈ [1, + 8] √ √ t(b) = ( b + 1)−1 với b ∈ [3 + 8, ∞] Lấy b= max{αi dj | dj > 0} + max{−αi dj | dj < 0} |di − dj | i= j với vector α = (α1 , , αn ) ∈ (0, 1]n chọn khoảng mở J (d, α) ρ− ngác ngang [0, t(b)] 2.2.6 Bổ đề (Fatous) ([14]) Cho (X, M, µ) không gian đo fn dãy hàm đo khơng âm Khi đó, lim inf fn dµ = lim inf X n→∞ n→∞ fn dµ X 2.2.7 Định lý (Fubini) ([4]) Giả sử (X, M, µ) (X, N , γ) hai khơng gian đo, µ γ độ đo σ- hữu hạn Nếu f hàm đo không âm tập hợp A × B, A ∈ M, B ∈ N hai hàm ϕ(x) = f (x, y)dγ(y) ϕ(y) = A f (x, y)dµ(x) B 25 lần lược đo trờn X, Y Vi f d(à ì ) = ( A Aì B f (x, y)d(y))dà(x) B = ( B f (x, y)dµ(x))dγ(y) A 2.2.8 Định lý ([8]) Cố định vector dịch chuyển d = (d1 , , dn ) ∈ Rn , vector xác suất p = (p1 , , pn ) vector α = (α1 , , αn ) ∈ (0, 1]n Khi đó, với hầu hết β ∈ (( p1 p1 p2 p2 pn pn ) ( ) ( ) , 1) ∩ J (d, α) α1 α2 αn độ đo tự đồng dạng µpβα,d với vector dịch chuyển (βα1 , , βαn ) liên tục tuyệt đối Chứng minh Cố định α, d, p theo giả thiết Định lý 2.2.8 Ta sử dụng phương pháp đạo hàm Mattila [6] để chứng minh tính liên tục tuyệt đối độ đo µpβα,d Xét đạo hàm độ đo xác định µpβα,d (x) := lim inf r→0 µpβα,d (Br (x)) 2r Từ Định lý 1.1.9, ta chứng minh µpβα,d liên tục tuyệt đối tương ứng với độ đo Lebesgue µpβα,d (x) < ∞ với x ∈ R Do đó, ta chọn µpβα,d (x)dµpβα,d (x)dβ < ∞ C := J R với J := (β0 , 1) ∩ J (d, α) β0 > p21 /α1 + p22 /α2 + + p2n /αn tùy ý, ta vừa chứng minh tính liên tục tuyệt đối độ đo µpβα,d Hơn nữa, độ đo µpβα,d liên tục tuyệt β µpβα,d đạo hàm Radon-Nykodien µpβα,d /dx, (µpβα,d /dx)2 dxdβ < ∞ C := J R 26 Bây giờ, ta ước tính tích phân Từ Bổ đề 2.2.6, ta có µpβα,d (Br (x))dµpβα,d (x)dβ C ≤ lim inf (2r)−1 r→0 J R Ta sử dụng µpβα,d = bp ◦ Π−1 b,d thu µpβα,d (Br (Πβα,d (s)))dbd (s)dβ C ≤ lim inf (2r)−1 r→0 J dN0 Lấy 1M hàm đặc trưng tập M Lại sử dụng µpb,d = bp ◦ Π−1 b,d ta thu µpβα,d (Br (Πβα,d (s)) = R 1Br (Πβα,d (s)) (x)dµpβα,d (x) = p Πβα,d (t)−Πβα,d (s) ≤r} db (t) 1{t∈dN0 dN0 Do đó, C ≤ lim inf (2r)−1 r→0 J dN0 dN0 = lim inf (2r)−1 r→0 1{t∈dN0 dN0 J dN0 = lim inf (2r)−1 r→0 p p Πβα,d (t)−Πβα,d (s) ≤r} db (t)db (s)dβ 1{t∈dN0 Πβα,d (t)−Πβα,d (s) ≤r} dβdb p (t)dbp (s) ({β ∈ J Πβα,d (t)−Πβα,d (s) ≤ r})dbp (t)dbp (s) dN0 dN0 cách thay đổi thứ tự việc lấy tích phân, đây, kí hiệu độ đo Lebesgue Ta phải bổ sung tính gác ngang để ước tính tích phân Lấy Φs,t (β) = Πβα,d (t) − Πβα,d (s) ∞ n = (tk (βαi ) (tk i=1 n αi ∞ =β k i (t) − sk i=1 k=0 ζ αi k i (s) )β k i=1 n n (tζ+k k=0 k (βαi ) i (s) ) − sk i=1 n k=0 ∞ = n k i (t) αi i=1 ζ+k (t) i − sζ+k αi i=1 27 ζ+k (s) i )β k n n ζ = β (tζ ζ i (t) αi − sζ αi i=1 ζ i (s) ) i=1 β ζ (t ∞ n αi ζ+k ζ+k (t) i i=1 n (1 + − sζ+k αi ζ+k (s) i i=1 (tζ k=1 n n ζ i (t) αi − sζ i=1 αi ζ i (s) ) βk) ) i=1 n n ζ = β (tζ αi ζ i (t) − sζ αi i=1 ζ i (s) )gs,t (β) i=1 n ζ = β (tζ − sζ ) αi ζ i (t) gs,t (β) i=1 ∞ ck (s, t)β k với ζ = min{k|sk = tk } gs,t (β) = + k=0 Để thiết lập tính ρ− gác ngang chuỗi lũy thừa g ta phải ước tính n αi (tζ+k ζ+k (t) i αi (tζ − sζ+k ζ i (t) n − sζ n =| ≤ ζ+k (s) i ) αi αi | ζ i (s) ) i=1 i=1 (tζ+k αi i=1 i=1 n |ck (s, t)| = | n ζ ζ i (σ (t)) n − sζ+k i=1 αi ζ ζ i (σ (s) i=1 ) | (tζ − sζ ) max{αi dj | dj > 0} + max{−αi dj | dj < 0} |di − dj | i= j Theo giả thiết hàm g thỏa mãn ρ - gác ngang với β ∈ J , ta ước tính tích phân cách sử dụng ({β ∈ J Πβα,d (t) − Πβα,d (s) ≤ r}) n ζ = ({β ∈ J | |gs,t (β)| ≤ rβ −ζ (tζ − sβ )−1 αi − i (t) }) i=1 28 n ≤ ({β ∈ J | |gs,t (β)| ≤ rβ0−ζ (tζ ζ −1 αi − i (t) }) − sβ ) i=1 n ≤ 2Cρ −1 ζ rβ0−ζ αi − i (t) i=1 với C = max{|du − dv |−1 với ≤ u, v ≤ n} Bây giờ, ta dùng ước tính vào ước tính tích phân cuối C Ta có n C ≤ Cρ −1 dN0 dN0 ζ β0−ζ αi − i (t)dbp (t)dbp (s) i=1 với ζ = min{k|sk = tk } Đặt ζ = |s ∧ t|, ta có n dN0 dN0 −|s∧t| β0 |s∧t| αi − i (t)dbp (t)dbp (s) i=1 ∞ n β0−k = αi −ki )bp × bp ( k1 +k2 + +kn =k i=1 k=0 {với (s, t) ∈ (dN0 )2 , |s∧t| = k, ∞ n β0−k = ( k1 +k2 + +kn =k i=1 k=0 ∞ = với β0 > αi −ki β0−k ( k=0 p21 /α1 + p22 /α2 k (s) i = k! ) ( k1 !k2 ! kn ! k (t) i = ki } n i p2k i ) i=1 p21 p2 p2 + + + n )k α1 α2 αn + + p2n /αn Do đó, chuỗi hình học hội tụ C < ∞ Vậy, tính liên tục tuyệt đối độ đo µpβα,d chứng minh 2.2.9 Hệ ([9]) i) Với d = {0, 1}; p = ( 21 , 12 ) α = (1, 1) tích chập Bernoulli liên tục tuyệt hầu hết bβ ; β ∈ (0.5, 0.649) ii) Với d = (0.1); p = ( 12 , 12 ) α = (1, c) với c ∈ (0, 1) độ đo tự đồng dạng không bβ,cβ liên tục tuyệt β ∈ ( 2√ ; 0, 649) c 29 2.3 TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHÔNG ĐỀU SINH BỞI HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN OSC Mục 2.1 2.2 nghiên cứu tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng không R Trong mục này, nghiên cứu tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng khơng Rd sinh hệ hàm lặp thỏa mãn OSC 2.3.1 Các kí hiệu Đặt q n q = {i, 2, , q}, = {(1, , q) : qi ∈ tập hữu hạn đếm ∗ q, Với j = (j1 , , jn ) ∈ q } q Kí hiệu ∗ q, N q kí hiệu |j| = n lực lượng j, |j|i số phần tử i j Đặt pj := pj pj n , ρj := ρj ρj n , Sj := Sj ◦ ◦ Sj n Kí hiệu µ độ đo tự đồng dạng sinh IFS {S1 , Sq }, ta có pj µ ◦ Sj−1 µ= j∈ (2.2) n q 2.3.2 Định nghĩa ([10]) Cho IFS {S1 , , Sn }, chiều tự đồng dạng tập bất biến F sinh {S1 , , Sn } số thực α thỏa mãn phương n trình i=1 ραi = với ρi tỉ số đồng dạng Si , i = 1, , n 2.3.3 Bổ đề ([10]) Giả sử F tập bất biến hệ hàm lặp {S1 , , Sn }, α chiều tự đồng dạng F sF = dimH F chiều Hausdorff F Khi đó, α ≥ sF 2.3.4 Bổ đề ([10]) Giả sử F tập bất biến hệ hàm lặp {S1 , , Sq } Rd sF = dimH F chiều Hausdorff F Khi đó, d ≥ sF độ đo tự đồng dạng µ sinh IFS {S1 , , Sq } kết hợp với vector xác xuất (p1 , , pq ) kỳ dị 30 n 2.3.5 Nhận xét Nếu i=1 ρdi < d > α với α chiều tự đồng dạng tập bất biến F sinh IFS {S1 , , Sn } ρi tỉ số đồng dạng ánh xạ Si , ρi ∈ (0, 1) Theo Bổ đề 2.3.3 d ≥ sF Khi đó, theo Bổ đề 2.3.4 độ đo tự đồng dạng µ sinh IFS {S1 , , Sq } kết hợp với vector xác xuất (p1 , , pq ) kỳ dị Từ nhận xét trên, để đến xét tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng ta phải xét trường hợp tỷ số đồng dạng xác n suất kết hợp thỏa mãn với pi = ρdi , n i=1 ρdi ≥ Trước hết, ta xét trường hợp n i=1 ρdi = pi = Khi đó, ta có định lý sau i=1 2.3.6 Định lý ([7]) Cho {S1 , , Sq } IFS Rd Si (x) = ρi Ri x + bi , < ρi < 1, bi ∈ Rd Ri ma trn trc giao c d ì d Cho l độ đo tự đồng dạng sinh IFS {S1 , , Sq } kết hợp với vector xác xuất (p1 , , pq ) Giả sử pi = ρdi với i Khi đó, µ liên tục tuyệt đối hệ IFS {S1 , , Sq } thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC) Trong trường hợp µ = αLd |F với F tập bất biến IFS, α = 1|Ld (F ) Ld độ đo Lebesgue Rd Chứng minh Giả sử pi = ρdi với i Khi đó, chiều tự đồng dạng IFS {S1 , , Sq } d Do đó, giá độ đo tự đồng dạng µ sinh {S1 , , Sq } kết hợp với vector xác xuất (p1 , , pq ) có độ đo Lebesgue dương {S1 , , Sq } thỏa mãn điều kiện OSC Đặc biệt, {S1 , , Sq } phải thỏa mãn điều kiện (OSC) µ liên tục tuyệt đối Ngược lại, {S1 , , Sq } thỏa mãn điều kiện OSC µ = αLd |F với F tập bất biến IFS {S1 , , Sq } α = 1|Ld (F ) hiển nhiên thỏa mãn (2.2) nên liên tục tuyệt đối Vậy, định lý chứng minh 31 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống khái niệm độ đo, độ đo kì dị, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo tự đồng dạng, độ đo tự đồng dạng khơng (trình bày Chương 1) Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu chưa chứng minh hay chứng minh vắn tắt Định lý 1.4.2, Định lý 1.4.3, Định lý 1.4.6, Định lý 1.4.8, Định lý 2.1.7, Định lý 2.2.8, Định lý 2.3.6 Tìm số ví dụ minh họa cho định nghĩa, định lý Ví dụ 1.1.4, 1.1.6, 1.1.8, 1.4.5, 1.4.7 Trình bày chứng minh chi tiết tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng khơng ba trường hợp sinh ánh xạ R, sinh n ánh xạ R, sinh ánh xạ thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] P Erdos (1939), On family of symmetric Bernoulli convolutions, Amer J Math 62, 180-186 [3] K Falconer (1990), Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley [4] R Hamos (1974), Measure theory, Spinger-Verlag New Youk - Heisenberg - Berlin [5] J E Hutchinson (1981), Fractals and self similar, Indiana Univ Math 30, 271-280 [6] P Mattila (1995), Geometry of Sets and Measures in Euclidean spaces, Cambridge University Press [7] D Mauldin and K Simon (1998), The equivalence of some Bernoulli convolution to Lebesgue measure, Proc of the Amer Math Soc 26/9, 2733-2736 [8] J Neunhăeuserer (2008), A general result on absolute continuity of nonuniform self-similar measure no the real line Fractals, Factals, Vol.16, No , 299-304 [9] Y Peres, W Schlag and B Solomyak (2000), Sixty years of Bernoulli convolutions, Progress in probability 46, 39-65 [10] M Pollicott and K Simon (1995), The Hausdorff dimension of λexpansions with deleled digits, Trans Amer Math Soc 347 No 3, 967-983 33 [11] B Solomyak (1998), Measures and dimension for some fractal familis, Proc Cambridge phil Soc 124/3, 531-546 [12] B Solomyak (1995), On the random series ±λi , Annals of Math, 8, 133-141 [13] Y Peres, B Solomyak (1996), Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof, Mathematical Research letters 3, 231-239 34 ... 2.2 TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHÔNG ĐỀU TRÊN R Mục 2.1 chúng tơi xét tính liên tục tuyệt đối độ đo tự đồng dạng không sinh ánh xạ R Trong mục này, chúng tơi trình bày 22 tính. .. tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết tính liên tục tuyệt đối số độ đo tự đồng dạng không 2.1 TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHÔNG ĐỀU SINH BỞI ÁNH XẠ TRÊN R Trong mục ta xét... độ đo tự đồng dạng µ liên tục tuyệt đối hoàn toàn kỳ dị 17 CHƯƠNG TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG KHÔNG ĐỀU Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết tính