Khảo sát tính liên tục trên tôpô zariski của các hàm số trong toán phổ thông

Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu

Chúng tôi phân tích sự tương đồng và khác biệt giữa tính liên tục của các hàm số trong toán học phổ thông với tôpô Zariski và tôpô thông thường.

Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ

Luận văn áp dụng các phương pháp như so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa và tổng hợp để đánh giá tính liên tục của các hàm số trong toán học phổ thông.

Dự kiến đóng góp

Bài viết này hệ thống hóa các kiến thức cơ bản liên quan đến luận văn, tập trung vào các hàm số trong toán phổ thông liên tục theo tôpô Zariski Đồng thời, chúng tôi đã chỉ ra nhiều hàm số trong toán phổ thông có tính liên tục theo tôpô thông thường nhưng lại không liên tục khi xét theo tôpô Zariski.

Kế cấu luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được kết cấu thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ thông.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Không gian mêtric, không gian tôpô và tính liên tục của ánh xạ

1.1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô

Cho X   là một tập Một mêtric trên X là một hàm d: X x X →ℝ thỏa mãn các tính chất sau:

Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó

Trường ℝ là một không gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y|

 n  i i i y x , x = (x1, x 2, …, xn ) ; y = (y1, y 2, …, yn ) là một mêtric trên ℝ n

Cho X là một không gian mêtric Với mọi a  X và số > 0 ta gọi:

B(a,  ) ={xX: d(x, a) <  } là -lân cận của điểm a

Tập con M X gọi là mở nếu hoặc M =  hoặc mọi a  M, tồn tại sao cho B(a, ) M

Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, là một họ các tập con của X thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

Mỗi phần tử của không gian X được gọi là một tập mở và được xác định bởi tôpô trên X Mỗi điểm x thuộc X được gọi là một điểm trong không gian tôpô, ký hiệu là (X, ) Khi chỉ đề cập đến không gian tôpô bằng ký hiệu X, chúng ta ngầm hiểu rằng X đã được trang bị một tôpô cụ thể.

Các tập mở trong không gian mêtric, như đã trình bày trong Ví dụ 1.1.1.3, tạo thành một tôpô Do đó, không gian mêtric có thể được xem là không gian tôpô, và tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi mêtric.

1) X và  là những tập mở;

2) Giao của hai tập mở là mở;

3) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở

1.1.1.7 Ví dụ là họ các tập con của tập của tập các số thực ℝ sao cho A khi và chỉ khi A là hợp của một họ nào đó các tập có dạng:

Khi đó, (ℝ, ) là một không gian tôpô

Giao hữu hạn các tập mở là mở

Tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x G V

G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó

Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x

Họ B x  V x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu VVx,

Cơ sở tôpô của không gian tôpô X là một họ các tập con của X mà mổi tập mở là hợp tùy ý của những phần tử trong họ này

Cho không gian tôpô (X, ): tập FX được gọi là một tập đóng, nếu phần bù của F (ký hiệu là X\F) là mở

Ta có kết quả hiển nhiên suy từ định nghĩa tôpô

Họ tất cả các tập đóng của không gian tôpô X có tính chất:

2) Họ tập đóng đóng kín với phép giao tùy ý, nghĩa là giao tùy ý các tập đóng là tập đóng

3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa là hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng

Xét tập hợp các số thực ℝ Tập Aℝ là mở khi và chỉ khi:

Họ các tập mở của ℝ là một tôpô trên ℝ, được gọi là tôpô tự nhiên trên ℝ (hay tôpô thông thường trên ℝ)

Họ tất cả các khoảng mở với các điểm đầu mút hữu tỉ là một cơ sở của tôpô tự nhiên

Cho dãy số {x n }ℝ Ta nói rằng dãy số này có giới hạn là x 0 và được ký hiệu bởi → = x 0 nếu      0, n * sao cho   m n thì |x m – x 0 | < 

Nếu Aℝ, thì A đóng đối với tôpô tự nhiên khi và chỉ khi

Tôpô trên ℝ n sinh bởi mêtric d(x, y) = 2

 n  i i i y x , x, y ℝ n , gọi là tôpô tự nhiên hay tôpô thông thường

Giả sử trên X trang bị hai tôpô 1, 2 ta nói rằng 1mạnh hơn 2 ( 2 yếu hơn 1), nếu 2  1 tức là mỗi tập mở đối với 2 cũng mở đối với 1

Cho (X, ) là không gian tôpô và AX là tập bất kỳ

Khi đó họ A: = {T A|  T } lập thành một tôpô trên A Cặp (A, A ) được gọi là không gian con của (X, ); A được gọi là tôpô cảm sinh bởi

Cho hai không gian tôpô (X, τ_X) và (Y, τ_Y) cùng với ánh xạ f: X → Y Ánh xạ f được coi là liên tục tại điểm x_0 thuộc X nếu với mỗi lân cận W của f(x_0) trong Y, tồn tại một lân cận V của x_0 trong X sao cho f(V) nằm trong W.

Nếu f liên tục tại x X thì f được gọi là liên tục trên X

Nếu f: (X, ) →(Y, là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là

Cho (X, ), (Y, ) là hai không gian tôpô, ánh xạ f: X Y liên tục tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) thì f  1 (W) là lân cận của x (xem [6])

Cho ánh xạ f: (X, ) (Y, ) Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

2) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y là tập mở trong X;

3) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X (xem [6])

Cho ba không gian tôpô (X, ), (Y, ), (Z, ) và hai ánh xạ liên tục f:

X Y, g:Y Z Khi đó ánh xạ tích h = gof : X Z cũng liên tục (xem [6])

Giả sử X là không gian tôpô, ℝ là tập các số thực với tôpô tự nhiên, f: X  ℝ liên tục   x  X ,    0 , tồn tại lân cận U của x sao cho

Cho (X, d) và (ℝ, |.| ) là các không gian mêtric và ánh xạ f: X  ℝ

Khi đó các điều kiện sau tương đương:

Giả sử f, g: X  ℝ liên tục Khi đó, các hàm số |f|, f + g, f - g, fg, min(f, g), max(f, g) liên tục Nếu g(x)0(x X), thì f/g cũng liên tục (xem [6] )

1.1.3 Các hàm sơ cấp cơ bản

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản

Hàm lũy thừa y = là số thực)

Hàm số lôgarít y = logax (a > 0 và a )

Hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx

Các hàm số lượng giác ngược: y = arcsinx; y = arccosx; y = arctanx; y = arccotx

1.1.4 Tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản

Mổi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục đối với tôpô thông thường tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó (xem [8]).

Tôpô Zariski

Cho A là vành giao hoán có đơn vị

Vành đa thức n biến x 1 , x2,…, x n trên A là tập A[X]: = A[x1, x2,…., x n ]

Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng

    với d là một số tự nhiên nào đó và , , , r r 1 2 rn

  A gọi là các hệ tử

Khi A là trường và , , , r r 1 2 rn

  0, ta gọi chúng là các hệ số

Các biểu thức x x 1 r 1 2 r 2 x n r n với hệ tử tương ứng khác 0 gọi là các đơn thức

Bậc của đơn thức x x 1 r 1 2 r 2 x n r n là tổng các số mũ r1 + r2 +… + rn

Bậc của f  0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f = 0, ta quy định deg f = 

Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1, trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:

1 r 2 r n r n 1 s 2 s n s n x x x x x x nếu r 1 + r 2 +… + r n > s 1 + s 2 +… + s n hoặc r1 + r2 +… + rn = s1 + s2 +… + sn và tọa độ khác không đầu tiên của vectơ (r1 - s1, r2 - s2,… , rn - sn) là dương

Nếu A là miền nguyên (nghĩa là với mọi c, dA mà cd = 0 thì hoặc c = 0 hoặc d = 0, khi này ta còn nói A không có ước của 0) thì deg fg = deg f + deg g [5]

Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A (xem [5])

Cho f là đa thức hệ số trên trường K Coi K n là không gian afin n- chiều Điểm a = (a1, a2,…., an)K n gọi là nghiệm của f nếu

Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f: K n  K a f(a) gọi là ánh xạ đa thức

Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với   a K n  f = 0(xem [5]) 1.2.1.6 Hệ quả

Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a 1 ,a 2 ,…., a n )K n thì f = g (xem [7])

Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

Cho K là trường, tập con V K n gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ (hữu hạn hay vô hạn) các đa thức n biến trong K[X]

1> Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình f = 0 với f  K mà f 0 là vô nghiệm

2> Tập 1 điểm a = (a1, a2,…., an)  K n là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình tuyến tính:

Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính

3> Các m - phẳng trong không gian afin K n là các tập đại số vì đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính dạng:

a p1 x 1 +a p2 x 2 + +a pn x n +b p =0 Trong đó n-m  p  n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m 4> K n là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

Tập đại số là khái niệm không bị ảnh hưởng bởi sự lựa chọn tọa độ Cụ thể, nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2, , xn) thuộc tập S, thì V vẫn giữ nguyên tính chất nghiệm khi chuyển sang tọa độ mới.

 thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c 1n yn,… , c n0 + cn1y1+….+ c nn yn) = 0, f  S

Ta ký hiệu tập nghiệm của đa f là Z(f)

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt

Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng

Cho S là tập con bất kỳ của K[X]

Ký hiệu Z(S) ={a  K n : f(a) = 0, f  S} là tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập đại số

Z(S) = Z(f) f S  khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S

Tương ứng S Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n

1> Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là: tập rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K

Khi n = 1, mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm, dẫn đến tập đại số trong K trở thành tập hữu hạn Ngược lại, mọi tập hữu hạn trong K đều có thể coi là tập nghiệm của một đa thức một biến.

2> Cho f = x 2 - y, thì Z(f) = { (a, a 2 ) ; a  K } Nó là một parabol x 2 - y = 0

Cho S1 và S2 là hai tập các đa thức trong K[X] Đặt S = {fg │f  S1, g  S2 } Ta có: Z(S1)  Z(S2) = Z(S) (xem [7]) 1.2.2.7 Định lý

Cho {Si}iI là một họ các tập đa thức trong K[X]

Cho S  K[X] và T  K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý Nếu ta coi ST như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S  T) (xem [7])

Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:

3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số

6/ Tương ứng Z: K[X]  K n , cho bởi S Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n

Từ nhận xét trên ta có kết quả sau

Tất cả các tập đại số trong K^n tạo thành một tôpô được gọi là tôpô Zariski Mỗi phần tử của tôpô này, hay còn gọi là tập Z(S), được xác định là một tập đóng Zariski.

Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

Ký hiệu D(f) = K n \ Z(f), thì họ tất cả các D(f) lập thành một cơ sở

Tôpô Zariski trên ℝ n thực sự thô hơn tôpô thông thường (nghĩa là

A  ℝ n là mở trong tôpô Zariski trên ℝ n thì A là tập mở trong tôpô thông thường trên ℝ n nhưng điều ngược lại không đúng) (xem [7])

Nếu A  ℝ n là mở Zariski, nghĩa là

  , trong đó Z(f) là tập nghiệm trong ℝ n của đa thức f thuộc vành đa thức ℝ n [X]

Nhưng Z(f) đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường vì đa thức f cho ta ánh xạ liên tục

K[x1, x2,…, x n ] ℝ n  ℝ a f(a) và Z f    f ({0})  1 đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường vì {0} là tập đóng trong ℝ  ℝ n \Z f mở trong tôpô thông thường  

 là tập mở trong tôpô thông thường

Trong toán học, có những tập hợp đóng A trong tôpô thông thường nhưng không đóng trong tôpô Zariski Chẳng hạn, khi A là tập hợp đóng trong tôpô thông thường, nó lại không đóng trong tôpô Zariski do tính chất vô hạn của nó.

Tập A  ℝ là tập đóng với tôpô Zarski trên ℝ khi và chỉ khi A thuộc một trong ba loại sau:

Vì mổi đa thực một biến f (x) ℝ [x] chỉ có thể có tập nghiệm là :

3) Hoặc là tập hữu hạn khi (degf ≥ 1) do đó tập nghiệm của một họ các đa thức 1 biến chỉ có thể có một trong ba dạng trên (đpcm)

Cho A  ℝ đối với tôpô Zarski cảm sinh trên A khi đóW  A là đóng trong A theo tôpô Zarski khi và chỉ khi W là rỗng hoặc cả ℝ hoặc tập hữu hạn

Tập con I của vành A gọi là iđêan của A nếu I là vành con của A thoả mãn điều kiện: hf  I với mọi h  A và f  I

1> Tập {0} và A là iđêan của A Chúng gọi là các iđêan tầm thường

Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự

2> Với mọi f  A, tập (f): = {gf ; g  A} là một iđêan, gọi là iđêan chính sinh bởi f

3> Cho S  A là tập con bất kỳ Thế thì tập

(S): = { h 1 f 1 + h 2 f 2 +……+ h r f r ; h 1 , h 2 ,…, h r  S; f 1 , f 2 ,…., f r  A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S

Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong A

Iđêan tổng của hai iđêan I và J, ký hiệu I+J, được sinh bởi các phần tử của I và J Trong khi đó, iđêan tích của I và J, ký hiệu là IJ, được sinh bởi các tích fg với f thuộc I và g thuộc J.

1) I+J = {f+g | fI, gJ} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,

2) IJ = {f1g1+…+ frgr| f1,…,fr  I, g1,…;gr  J, r ≥ 1} là một iđêan (xem [5])

IJ  IJ nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau

Cho S là một hệ đa các đa thức trong K[X] và I =(S)

Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K[X] Ta có:

Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z Cụ thể, cho V là tập bất kỳ trong K n Ký hiệu

Thế thì IVlàiđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêan của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a }

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập I V cảm sinh hai ánh xạ và I được cho trong sơ đồ sau

P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X

4> Nếu VK 2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x 2 thì IV = (x 2 - y); 5> Nếu V là d- phẳng trong K n mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng V = {(x 1 , x 2 ,…., x d, 0, …0)  K n } thì I V = (x d+1 , x d+2 ,…., x n )

Cho V là tập con của K n Ta có

1) V = Z(I ), V V là bao đóng (trong tôpô Zariski) của V;

Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

I:= {f  A; f r  I với r là một số tự nhiên nào đó}

Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I  I (xem [10])

Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn

0 là tập hợp các phần tử lũy linh của A, và nó được coi là iđêan căn khi trong A không tồn tại phần tử lũy linh Những vành này được gọi là vành rút gọn, với ví dụ điển hình là mọi miền nguyên.

IV là một iđêan căn (xem [7])

Giả sử I, J là các iđêan trong K[X] Khi đó:

Các ánh xạ và I trong sơ đồ

P P thu hẹp trên họ (K n ) tất cả các tập đại số trong K n là hai ánh xạ ngược nhau: Z(IV) = V Nói cách khác, trong sơ đồ sau,

P I Z và I là các song ánh ngược nhau, cho phép chuyển hướng nghiên cứu từ các tập đại số sang các iđêan dạng I V Tất cả các iđêan I V đều có dạng {I; V K n}.

V  là tập đại số} lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong K n

1.2.4 Vành tọa độ và iđêan của tập hợp con

Cho V  K n Hàm F: V  K gọi là hàm đa thức nếu tồn tại đa thức f K[X] sao cho F = f |V , nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a  V

Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đổi tọa, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn

Ký hiệu K[V] đại diện cho tập hợp tất cả các hàm đa thức trên không gian V Vì tổng và tích của các hàm đa thức cũng là hàm đa thức, nên K[V] tạo thành một vành giao hoán với đơn vị là hàm F = 1 K[V] được gọi là vành tọa độ của V.

Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng

Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K

Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy nhiên, do f |V  g | V suy ra f - g  IV, nên ta có khái niệm sau

Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g  A

Ta nói f đồng dư với g trên I nếu f - g  I

Quan hệ đồng dư trên A là một quan hệ tương đương, với lớp tương đương chứa f được định nghĩa là tập f + I = { f + h | h ∈ I} Định nghĩa này áp dụng cho tập thương A/I theo quan hệ đồng dư, với hai phép toán được quy định là (f + I) + (g + I) = (f + g) + I.

(f + I) (g + I) = fg + I thì A/I lập thành một vành

:A  A/I ; f (f) = f + I gọi là ánh xạ chính tắc

Ta thấy  là một toàn cấu vành và ker = I

Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu

Thế thì J/I là iđêan của A/I Ngược lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có dạng Q = J/I trong đó

Do đó, có mối quan hệ tương ứng 1 - 1 giữa các ý tưởng chứa I và các ý tưởng trong A/I Vì vậy, việc nghiên cứu các ý tưởng trong A có chứa ý tưởng I có thể được quy về việc nghiên cứu các ý tưởng trong A/I.

1.2.5 Cấu xạ trong tôpô Zariski

K  V  W  K thì F luôn có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),… , Fm(a)); a  V

Với m ánh xạ F 1 , F 2 ,…, F m : V  K gọi là hàm tọa độ thứ i của F Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i

Cho V và W là hai tập đại số Ánh xạ F nói trên gọi là ánh xạ đa thức nếu F 1 , F 2 , , F m là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu

K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xạ

Tất cả các hàm số đa thức trên không gian V đều là ánh xạ đa thức từ V vào trường K, trong đó K = K Ánh xạ đồng nhất IdV trên V cũng là một ánh xạ đa thức, được định nghĩa bởi IdV(a) = (p1(a), p2(a), …, pn(a)), trong đó pi: V → K là phép chiếu lên tọa độ thứ i.

3> Nếu F: V  K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng theo tôpô Zariski

T  V, ánh xạ F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức

4> Với mọi hàm G: W  K, ta gọi hợp thành G F: V  K là hàm lùi của G theo F

F: V  W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi G F  K[V] với mọi

Mỗi ánh xạ đa thức F: V  W cảm sinh ánh xạ

Rõ ràng F * là một đồng cấu vành, vì với mọi G, H  K[W] ta có

1> Với mọi hàm đa thức F:V K thì F * :K[x]K[V] cho bởi

2> Id * V = IdK[V] vì Id * (G) = G Id = G với mọi G  K[V]

1.2.5.6 Nhận xét Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu F*, vì F được xác định bởi hàm tọa độ F i , nhưng F i = pi F = F*(pi)

Với mọi tập điểm U  V trong tập đại số V ta có

Theo các kết quả trên, nói riêng ta có

Cho V và W là các tập đại số thì mọi ánh xạ đa thức F

K n  V F W  Km là liên tục với tôpô Zariski Hơn nữa, với mọi tập đóng Zariski T trong W ta có

Mối quan hệ F và F * cho tương ứng 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau

1.2.5.9 Định lý Ánh xạ f: ℝ ℝ liên tục trên tôpô Zariski thì liên tục trên tôpô thông thường, khi tập nguồn ℝ cho bởi tôpô Zariski và tôpô thông thường còn tập đích ℝ cho bởi tôpô thông thường, nhưng điều ngược lại không đúng

Vì tôpô Zariski thô hơn tôpô thông thường (Định lý 1.2.2.12), nên hàm số liên tục trên tôpô Zariski thì liên tục trên tôpô thông thường

Cho hàm f(x) = sinx, ta có f -1({1}) = {x ∈ ℝ | sinx = 1} = {2kπ | k ∈ ℤ}, là tập vô hạn và không phải là tập đại số trong ℝ Ngược lại, tập {1} là tập đóng trong tôpô thông thường Do đó, hàm sin không liên tục trên tôpô Zariski, vì ảnh ngược của hàm sin từ tập đóng trong tôpô thông thường không phải là tập đóng Zariski Tuy nhiên, hàm f(x) = sinx lại liên tục trên ℝ với tôpô thông thường.

Với mọi đồng cấu vành : K[W]  K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức F: V  W sao cho F * =  (xem [7]).

Ta có thể coi ánh xạ F: V  W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó

HÀM LIÊN TỤC ĐỐI VỚI TÔPÔ ZARISKI

Tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản

Đã chứng minh rằng, nếu H ℝ là tập đóng trong tôpô Zariski, thì H phải bằng ∅ ℝ hoặc là tập hữu hạn điểm (Định lý 1.2.2.13) Từ đây, chúng ta sẽ lấy H = { , , , }; m *.

2.1.1 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm lũy thừa y = x a là số thực)

(n là số tự nhiên) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Gĩa sử f(x) = Ta xét hai trường hợp sau:

1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và

; f -1 (ai) ={x ℝ | f(x) = ai = ai √ }, f -1 (H1) =⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

2) Nếu n là số chẵn ta có: ;

Xét f -1 (ci) ={x ℝ | y(x) = ci = ci √ }, f -1 (H1) =⋃ (ci) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (bj) ={x ℝ | f(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}= ,

Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski

ℝ ( , 0 [0, ) , 0 [0, ∅ ℝ ℝ ; Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy y = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

(n là số tự nhiên) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Cho f(x) = = 1 x n Ta xét hai trường hợp sau:

1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và ; f -1 (a i ) ={x ℝ | y(x) = a i = a i [ √ 0

ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

2)Nếu n là số chẵn ta có:

Xét f -1 (ci) ={x ℝ | y(x) = ci = ci √ }, f -1 (H 1 ) =⋃ (c i ) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (bj) ={x ℝ | y(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}= , Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski

Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)

Vậy f(x) = liên tục trên , 0 0, theo tôpô Zariski

(n là số nguyên) liên tục theo tôpô Zariski trên , 0 0,

Kết hợp Mệnh đề 2.1.1.1 và Mệnh đề 2.1.1.2 ta có điều phải chứng minh

√ liên tục theo tôpô Zariski trên [0,

Xét f -1 (c i ) ={x [0, | y(x) = ci √ = c i }, f -1 (H1) =⋃ (ci) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (bj) ={x [0, | y(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}= ,

Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski

Vậy f liên tục trên[0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)

Vậy f(x) = √ liên tục trên [0, theo tôpô Zariski (đpcm)

√ (n là số tự nhiên) liên tục theo tôpô Zariski trên [0,

√ (n là số tự nhiên) liên tục theo tôpô Zariski

Cho f(x) = √ Ta có f(x) là song ánh và

; f -1 (a i ) ={x ℝ | f(x) = ai √ = a i } f -1 (H) =⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy f(x) = √ liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ (đpcm)

( là số thực) liên tục theo tôpô Zariski trên 0,

Cho f(x) = ( là số thực) Ta có

Xét f -1 (c i ) ={x 0, | y(x) = ci = c i √ }, f -1 (H1) = ⋃ (ci) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (bj) = {x 0, | y(x) = bj = bj }= ,

Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski

Vậy f liên tục trên 0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)

Vậy f(x) = ( là số thực) liên tục trên 0, theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số mũ

(a là số thực dương và a 1) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Cho f(x) = (a là số thực dương và a 1) Ta có :

∅ 0 f -1 (H) = ⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ ℝ ; Vậy f = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy y = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lôgarít:

(a là số thực dương và a 1) liên tục theo tôpô Zariski trên (0,

; Xét f -1 (ai) ={x 0, | f(x) = ai = ai} = a i a f -1 (H) = ⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ 0, ; Vậy f = liên tục trên 0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy y = liên tục trên 0, theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.4 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lượng giác

Hàm số sinx: ℝ → ℝ không liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ

Cho hàm f(x) = sinx, ta có f -1({1}) = {x ∈ ℝ | sinx = 1} = {2kπ | k ∈ ℤ}, là một tập vô hạn và không phải là tập đại số trong ℝ Ngược lại, tập {1} lại là tập đóng trong tôpô Zariski Do đó, hàm sin không liên tục trên tôpô Zariski, vì ảnh ngược của tập đóng Zariski bởi hàm sin không tạo thành tập đóng Zariski.

Rõ ràng hàm f(x) = sinx xác định trên ℝ nên liên tục trên ℝ tôpô thông thường

Hay f(x) = sinx liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường và không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

Hàm số f(x) = sinx có tính chất tương tự với các hàm số f(x) = cosx, f(x) = tanx và f(x) = cotx, trong đó các hàm này không liên tục trên tập xác định theo tôpô Zariski, nhưng lại liên tục trên tập xác định theo tôpô thông thường.

Hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên tập số thực ℝ theo tôpô thông thường, nhưng không liên tục theo tôpô Zariski Trong khi đó, hàm y = tanx liên tục trên các khoảng mở ( , ) theo tôpô thông thường, nhưng lại không liên tục trên các khoảng khác.

( , ) , theo tôpô Zariski Hàm y = cotx liên tục trên các khoảng

, , Z theo tôpô thông thường và không liên tục trên các khoảng , , Z theo tôpô Zariski

2.1.5 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lượng giác ngược

Hàm số arcsinx: [ , ] → ℝ arcsinx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski

; Xét f -1 (ai) = {x [ , ] | f(x) = ai c = ai}={ sin ai} f -1 (H) = ⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ [ , ] ; Vậy f(x) = c liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập ℝ là tập đóng Zariski

Hàm số arccosx: [ , ] → ℝ arccosx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski

Chứng minh tương tự đối với hàm y = arcsinx, ta có y = arccosx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski (đpcm)

 | f(x) = ai c = ai}={ tang ai} f -1 (H) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski

 theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy f(x) = arctanx liên tục trên ( , )

Hàm số arccotx : (0, ) → ℝ arccotx liên tục trên (0, ) theo tôpô Zariski

Chứng minh tương tự đối với hàm số f(x) = c , ta có f(x) = arccotx cũng liên tục trên (0, ) theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.6 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số hypebôlníc

Hàm số shx: ℝ → ℝ (hàm số shx gọi là hàm sin hyperbolic) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

= ai} = { lnx0} với x0 là nghiệm dương của phương trình

= ai f -1 (H) = ⋃ (ai) là tập đóng Zariski

ℝ ℝ ; Vậy f(x) = liên tục trên trên ℝ theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski

Vậy f(x) = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski và tôpô thông thường (đpcm)

Hàm số chx : ℝ → ℝ (hàm số chx gọi là hàm cosin hyperbolic) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Chứng minh tương tự đối với hàm số shx, ta có hàm chx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

Hàm số thx : ℝ → ℝ liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Chứng minh tương tự đối với hàm số chx, ta có thx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Hàm số f: ℝ → ℝ liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Chứng minh tương tự đối với hàm số chx, hàm cthx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

1> f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tanx, f(x) = cotx không liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô Zariski nhưng liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô thông thường

2> Các hàm sơ cấp cơ bản còn lại liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô Zariski và tôpô thông thường

Thay vì kiểm tra tính liên tục của một hàm số trên toàn bộ tập xác định theo tôpô thông thường, chúng ta chỉ cần xem xét tính liên tục của hàm số đó theo tôpô Zariski Điều này có nghĩa là chỉ cần đánh giá tính liên tục của hàm số trên một tập hữu hạn các điểm theo tôpô Zariski.

Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski đối với các hàm số thường gặp

Trong phần này, chúng ta sẽ khảo sát tính liên tục của các hàm số thường gặp theo tôpô Zariski, dựa trên những kết quả đã được trình bày ở mục trước.

2.2.1 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số đa thức

Hàm số y: ℝ → ℝ y = f(x): (f(x) là hàm đa thức) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Ta biết y = f(x):(f(x) là hàm đa thức) là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

2.2.1.2 Mệnh đề : Cho f(x) là hàm đa thức một biến

Thế thì hàm số g: D → ℝ , y = là số nguyên) liên tục trên D theo tôpô Zariski Ở đây D := {x ℝ| f(x) 0} \ {b1, b2, , bk }

, ̅̅̅̅̅) là nghiệm của phương trình f(x) = 0)

Vì hàm số f(x), liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Và hàm số là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Nên hàm số hợp y = liên tục trên D theo tôpô Zariski (đpcm)

2.2.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số phân thức y =

: f(x), g(x) là hàm đa thức g(x) 0 2.2.1.1 Mệnh đề

: liên tục trên D theo tôpô Zariski (D := {x ℝ| g(x) 0} ℝ { } ; với , ̅̅̅̅̅) là nghiệm của phương trình g(x)=0)

Xét y -1 (ai) = {x D | y(x) = ai = ai f(x) = ai.g(x) f(x)- ai.g(x) = 0 }

Do f(x), g(x) là hàm đa thức nên f(x)- ai.g(x) là hàm đa thức y -1 (H) = ⋃ (a i ) là tập đóng Zariski

Vậy y = là hàm liên tục trên D theo tôpô Zariski (đpcm)

2.2.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số căn thức

Hàm số y: → ℝ (D : ℝ| f(x) > 0 ) y = √ : f(x) là hàm đa thức là số nguyên, f(x) là hàm đa thức) liên tục trên D theo tôpô Zariski

Ta có y = f(x) là hàm đa thức liên tục trên ℝ y= √ là số nguyên) là hàm liên tục trên (0, + ) theo tôpô Zariski

Do đó hàm số hợp y = √ liên tục trên D theo tôpô Zariski.

Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số khác

0 Không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Vậy y -1 (0) không là tập đóng theo tôpô Zariski nên hàm số đang xét không liên tục đối với tôpô Zariski trên tập xác định của nó là ℝ

Ta có: → = 0 = f(0) hàm số liên tục tại x = 0 Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường

Vậy y = { 0 0 0 là hàm liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường nhưng không liên tục trên ℝ trên tôpô Zariski (đpcm)

Hàm số y: ℝ → ℝ y = { 0 0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh

ℝ ℝ ; Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Do đó hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường

Vậy y ={ 0 0 là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)

0 liên tục trên tôpô Zariski

ℝ ℝ ; Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

0 là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Hàm số y: ℝ → ℝ y = { 0 0 không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Chứng minh rằng f -1({1}) = {x ∈ ℝ | sinx = 1} = {2kπ | k ∈ ℤ} là tập vô hạn, do đó không phải là tập đại số trong ℝ Ngược lại, tập {1} là tập đóng trong tôpô Zariski Do đó, hàm số trên không liên tục trong tôpô Zariski vì ảnh của hàm sin từ tập đóng Zariski không tạo thành tập đóng Zariski.

Ta có: → 0 → nên → = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0 trên tôpô thông thường Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường

Hay f(x) = { 0 0 liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường và không liên tục theo tôpô Zariski (đpcm)

Hàm số y: ℝ → ℝ y = { liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

; y -1 (ai) ={x ℝ | y(x) = ai { cc y -1 (H) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski

ℝ ℝ ; Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Vậy y = { c là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

* Hàm số y = sinx ; y = cosx không liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ nhưng liên tục trên các khoảng (a,b) ; [a,b) ; (a,b]; [a,b]; a< b , a, b là các số thực

* Hàm số y = tanx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k , b+k ); [a+k , b+k ); (a+k , b+k ]; [a+k , b+k ]; ( < a < b < a,b là các số thực, k là số nguyên)

* Hàm số y = cotx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k , b+k ); [a+k ,b+k ); (a+k ,b+k ]; [a+k ,b+k ]; (0 < a < b < a, b là các số thực, k là số nguyên).

Tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong hình học phổ thông

Ở mục này ta xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong toán phổ thông

2.4.1 Xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong mặt phẳng tọa độ Oxy ( theo tôpô thông thường và tôpô Zariski) Ở ví dụ 1.2.5.14 ta có: đường thẳng, parabol đồng phôi với đường Ox, mọi đường tròn đồng phôi với đường tròn đơn vị, mọi đường hypebol đồng phôi với đường hypebol y =

Do đó ta chỉ xét tính liên tục các hàm số có đồ thị là đường thẳng Ox, đường tròn đơn vị, hypebol y =

Trong mặt phẳng, đường thẳng Ox là đồ thị của hàm số y: ℝ → ℝ

0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Hàm số y = 0 là hàm hằng và hiển nhiên nó liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

2.4.1.2 Ví dụ Đường tròn đơn vị là hợp của hai đồ thị của các hàm số sau:

Hàm số y: [ , ] → ℝ với y = √ và y = - √ hai hàm số này liên tục trên [-1,1] theo tôpô Zariski

Hàm số x là hàm đa thức một biến, liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Hàm số √ và -√ cũng liên tục trên [0, +∞) theo tôpô Zariski, do đó, hai hàm số hợp y = √ và y = -√ là liên tục trên khoảng [-1, 1] theo tôpô Zariski.

Vậy y = √ và y = - √ liên tục trên [-1,1] theo tôpô Zariski (đpcm)

Tương tự đối với đường Elip là hình tạo bởi đồ thị hai hàm số liên tục trên tập xác định của nó theo tôpô Zariski

2.4.1.3 Ví dụ Đường hypebol y là đồ thị của hàm số y : * → ℝ

= hàm số này liên tục trên * theo tôpô Zariski

Hàm số y = là hàm số phân thức nên liên tục trên * theo tôpô Zariski (đpcm)

2.4.2 Xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là hình trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đối với tôpô thông thường và tôpô Zariski) Ở ví dụ 1.2.5.14 ta có: mọi mặt phẳng trong không gian đồng phôi với mặt phẳng Oxy, mọi đường thẳng trong không gian đồng phôi với đường thẳng Ox, mọi mặt cầu mặt Elipxôit đều đồng phôi trong tôpô Zariski với mặt cầu đơn vị.Do đó ta chỉ xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là đường thẳng Ox, mặt phẳng Oxy, mặt cầu đơn vị

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng Oxy là đồ thị của hàm số f(x, y) : ℝ → ℝ

( , = f(x, y) = 0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Hàm số f(x, y) = 0 là hàm hằng nên liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Vậy mọi mặt phẳng là đồ thị của các hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô

Zariski Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng nên đường thẳng cũng là đồ thị của các hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Trong không gian, mặt cầu đơn vị là hợp của hai đồ thị của hai hàm số f(x, y) Hàm số f(x, y): → ℝ (D: ={(x,y) ℝ | |)

( , = f(x, y) với z = f(x, y) = √ và z = f(x, y) = - √ hàm số này liên tục trên D theo tôpô Zariski

Hàm g(x, y) = là hàm đa thức hai biến, hàm này liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski

Và h(x) = √ là hàm số liên tục trên [0, theo tôpô Zariski

Do đó hàm số hợp của f(x,y) của hàm số f (x, y) = hog (x, y) : → ℝ

( , = f(x, y) với z = f(x, y) = √ hàm số liên tục trên D theo tôpô Zariski

Tương tự ta có z = f(x, y) = - √ hàm số liên tục trên D theovà tôpô Zariski (đpcm).