Ôi số tổpổ
Mửc n y trẳnh b y nhỳng khĂi niằm v vẵ dử cỡ bÊn cừa Ôi số tổpổ.
1.3.1 ành nghắa ([7])1) Cho A l mởt Ôi số phực v cụng l khổng gian vectỡ tổpổ A ữủc gồi l mởt Ôi số tổpổ náu ph²p toĂn nhƠn
2) Ôi số tổpổ ữủc gồi l Ôi số lỗi àa phữỡng náu nõ cỡ sð lƠn cên cừa 0 gỗm cĂc têp lỗi.
The Frechet distance is a metric used to measure the similarity between curves or shapes by considering the location and ordering of points along the curves It is particularly useful in various applications, such as shape recognition and pattern matching, as it accounts for the continuous nature of the curves By comparing the shapes through the Frechet distance, one can effectively analyze and quantify the differences or similarities, making it a valuable tool in computational geometry and related fields.
Trong to n bở luên vôn n y, ta luổn giÊ thiát Ôi số tổpổ chựa ỡn và e PhƯn tỷ a ∈ A l khÊ nghàch náu tỗn tÔi b ∈ A sao cho ab = ba = e.
Kỵ hiằu b = a −1 , v gồi l nghàch Êo cừa a Ta kỵ hiằu G(A) l têp tĐt c£ c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa A.
Ôi số Banach là một khái niệm quan trọng trong toán học, cho thấy mối quan hệ giữa các không gian toán học Từ Ôi số Banach, chúng ta có thể suy ra Ôi số tổpổ và Ôi số Frechet Tuy nhiên, không phải mọi Ôi số Frechet đều là Ôi số Banach, điều này sẽ được giải thích trong phần sau của bài viết.
1.3.3 ành nghắa ([7]) 1) Cho A l mởt Ôi số phực v p l mởt nỷa chuân trản A Ta gồi p l dữợi tẵch náu p(xy) 6 p(x)p(y) vợi mồi x, y ∈ A.
2) Têp con U cừa A ữủc gồi l cõ tẵnh nhƠn náu U 2 = U U ⊂ U.
1.3.4 Mằnh ã Náu p 1 , , p n l cĂc nỷa chuân dữợi tẵch trản Ôi số phực A thẳ p(x) := max{p 1 (x), p 2 (x), , p n (x)}, x ∈ A l nỷa chuân dữợi tẵch trản A.
Chựng minh Ró r ng p(x) > 0 vợi mồi x ∈ A Náu x = 0 thẳ p i (x) = 0 vợi mồi i ∈ {1, , n} Suy ra p(0) = 0.
Vợi mồi λ ∈ C v x ∈ A ta cõ p i (λx) =|λ|p i (x) vợi mồi i ∈ {1, , n} Suy ra p(λx) = max{|λ|p i (x) : i = 1,2, , n} = |λ|p(x) vợi mồi x ∈ A.
Vợi mồi x, y ∈ A ta cõ p(x+ y) = max{p i (x+y) : i = 1,2, , n}
Vợi mồi x, y ∈ A tứ 06 p i(xy) 6 p i(x)p i (y) vợi mội i = 1,2, , n ta cõ p(xy) = max{p i (xy) : i = 1,2, , n}
1.3.5 Bờ ã ([7]) 1) Náu p l nỷa chuân dữợi tẵch trản A thẳ
V p = {x ∈ A : p(x) 6 1} l têp con tuyằt ối lỗi, cƠn, hút v cõ tẵnh nhƠn cừa A.
2) Náu U l têp tuyằt ối lỗi, hút v cõ tẵnh nhƠn cừa A thẳ phiám h m Minkowsky cõa nâ p U (x) = inf{ρ > 0 : x ∈ ρU} xĂc ành mởt nỷa chuân dữợi tẵch trản A.
Chựng minh 1) CĂc tẵnh chĐt lỗi, hút v cƠn cừa V p l quen thuởc Ta chựng tẵnh nhƠn cừa V p Thêt vêy, vợi mồi x, y ∈ V p ta cõ p(xy) 6 p(x)p(y) 6 1.
Do õ xy ∈ V p iãu n y chựng tọ V p 2 ⊂ V p
2) GiÊ sỷ x, y ∈ A Khi õ, vợi mồi a > p U (x), b > p U (y) ta cõ x ∈ aU, y ∈ bU Khi â xy ∈ abU 2 ⊂ abU.
Tứ a, b tũy ỵ nản suy ra p U (xy) 6 p U(x)p U (y).
1.3.6 ành lỵ ([7]) GiÊ sỷA l Ôi số phực v {p n } l hồ cĂc nỷa chuân dữợi tẵch trản A thọa mÂn: a) p n (x) 6 p n+1(x) vợi mồi n ∈ N, vợi mồi x ∈ A b) Vợi mội x ∈ A v x 6= 0 tỗn tÔi n ∈ N sao cho p n (x) 6= 0.
Khi õ A l Ôi số tiãn Frechet. ành lỵ sau l phƯn ngữủc lÔi cừa ành lỵ trản.
Định nghĩa số Frechet trong không gian A yêu cầu rằng: a) Đối với mọi n ∈ N và x ∈ A, p_n(x) không lớn hơn p_{n+1}(x) b) Đối với mọi x ∈ A với x khác 0, tồn tại n ∈ N sao cho p_n(x) không bằng 0.
1.3.8 Nhên x²t GiÊ sỷ A l Ôi số phực cõ ỡn và e v {p n } l hồ cĂc nỷa chuân dữợi tẵch trản A thọa mÂn p n (e) 6= 0 vợi mồi n ∈ N Khi õ, vợi mội x ∈ A °t q n (x) = sup{p n (xy) : p n (y) = 1}.
Khi õ q n l mởt nỷa chuân trản A, hỡn nỳa q n (x) 6 p n(x) vợi mồi n. Vợi y = e p n (e) ta câ p n (y) = 1 Suy ra q n (x) > p n(xy) = p n (x) p n (e).
Ta có bất đẳng thức thực p_n(x) p_n(e) ≤ q_n(x) ≤ p_n(x) với mọi x ∈ E Bất đẳng thức này suy ra rằng các hàm chuẩn p_n và q_n sinh ra cũng là tổ hợp chuẩn A Chúng ta chứng minh q_n là có tính dữ dội tách Cụ thể, với mọi x, y, z ∈ A, ta có p_n(xyz) ≤ p_n(yz)q_n(x), do đó q_n(xy) = sup{p_n(xyz) : p_n(z) = 1} ≤ sup{q_n(x)p_n(yz) : p_n(z) = 1}.
BƠy giớ, vợi mội x∈ A °t q 0 n (x) = max{q i (x) : i = 1,2, , n}.
Khi õ, theo Mằnh ã 1.3.4, {q n } l hồ cĂc nỷa chuân dữợi tẵch trản A.
Ró r ng q n 0 6 q 0 n+1 vợi mồi n ∈ N, và tập hợp {q n 0 } sinh ra cũng tổpổ vợi q n Như vậy, tứ lỵ luôn trản và các định lý 1.3.6, 1.3.7 cho thấy một Ôi số Frechet A được xác định bởi hồ các nỷa chuẩn dữợi tập {p n } thỏa mãn p n ≤ p n+1 trong A với mồi n ∈ N Hơn nữa, nếu A cõn và e thẳ p n (e) = 1 với mồi n ∈ N, thì trong luận văn này, và sau đó chúng ta quy ước các Ôi số Frechet luôn cõn và.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử vã Ôi số tổpổ cử thº hỡn l Ôi số Frechet những khổng phÊi l Ôi số Banach.
1.3.9 Vẵ dử ([7]) X²t C ∞ ([0,1]) Ôi số cĂc h m khÊ vi mồi cĐp trản
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu các phép toán cường độ và nhấn vỗ ảnh hưởng theo định nghĩa thống nhất Đối với mỗi n ∈ N, chúng ta định nghĩa p_n(f) = 2^(n−1) sup{|f^(k)(x)| : x ∈ [0,1], k = 0,1,2, , n−1}, trong đó f^(k) là đạo hàm k bậc của f Khi đó, điều kiện cần kiểm tra để p_n là một chuẩn trên không gian C^∞([0,1]) Hiện tại, chúng ta chứng minh rằng các p_n có tính đồng nhất Hơn nữa, đối với mọi f, g ∈ C^∞([0,1]), theo công thức Leibniz, chúng ta có thể áp dụng các kết quả này.
= 2 n−1 sup{|(f) (k) (x)| : x ∈ [0,1], k = 0,1,2, , n−1} ×2 n−1 sup{|g (k) (x)| : x ∈ [0,1], k = 0,1,2, , n−1} = p n (f)p n (g) vợi mồi f, g ∈ C ∞ ([0,1]) Ró r ng, vợi mồi f ∈ C ∞ ([0,1]) ta cõ p n (f) 6 p n+1(f) vợi mồi n∈ N Dạ thĐy p 1 (f) = 0 khi v ch¿ khi f = 0 vợi mồi x ∈ [0,1].
Hỡn nỳa, ỡn và e cừa C ∞ ([0,1]) l h m ỗng nhĐt bơng 1 trản [0,1].
Vêy C ∞ ([0,1]) l Ôi số tiãn Frechet GiÊ sỷ {f n } l dÂy Cauchy trong
Xét dãy {f_n} là dãy Cauchy trong không gian C∞([0,1]) Khi n = 1, ta có sup{|f(x)| : x ∈ [0,1]} = f_1(f) Nếu {f_n} là dãy Cauchy với p_2, thì f_n(1) cũng là dãy Cauchy trong không gian hàm liên tục trên [0,1] Điều này dẫn đến f_n(1) hội tụ về g_1 trên [0,1] Theo tính chất của dãy hàm liên tục, ta có g_0(x) = g_1(x) với mọi x ∈ [0,1].
Tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta nhên ữủc g ∈ C ∞ ([0,1]) v {f n } hởi tử tợi g Vêy C ∞ ([0,1]) Ưy ừ v do õ nõ l Ôi số Frechet Tực l , nõ l Ôi số tổ pổ.
Tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [0,1] không phải là không gian Banach Không gian chuẩn mịn C∞([0,1]) tạo ra một tổ hợp lỗi cho các hàm trong không gian này Khi không gian C∞([0,1]) được nâng lên trên một bậc chọn U của 0, tồn tại một số k không thuộc N.
Vìi méi n ∈ N °t f n (x) = 1 k2 −k 10 −n(k−1) sin 10 n x vợi mồi x ∈ [0,1] Khi õ, ró r ng f n ∈ C ∞ ([0,1]) v p l (f n ) = 1 k2 l−k−1 10 n(l−k) , l ∈ N.
2k vợi mồi n Do õ {f n } ⊂ U vợi mồi n Tuy nhiản, vợi l > k ta cõ p l (f n ) → ∞ khi n → ∞ Do õ {p l (f n ) : n = 1,2, , ,} khổng bà ch°n vợi l > k, iãu n y mƠu thuăn vợi U bà ch°n.
C ∞ := {x = (z n) : z n ∈ C, n > 1} vợi ph²p cởng v nhƠn vổ hữợng thổng thữớng theo tứng số hÔng X²t hồ Q = {p n } l hồ ám ữủc cĂc nỷa chuân trản C ∞ xĂc ành bði p n (x) = |z n |;x = (z n ), n = 1,2,
Theo Vẵ dử 1.1.19, không gian Frechet không phải là không gian Banach Hiện tại, phép toán nhân trong không gian C ∞ được định nghĩa như sau: xy = (x₁y₁, x₂y₂, , xₙyₙ, ) với x = (xₙ), y = (yₙ) thuộc C ∞ Để chứng minh phép nhân là liên tục, ta xét các dãy (xₖ), (yₖ) thuộc C ∞ hội tụ đến x, y theo tổ hợp lỗi chuẩn pₙ Khi đó, với mọi n = 1, 2, , ta có pₙ(xₖ - x) = |xₖₙ - xₙ| → 0 và pₙ(yₖ - y) = |yₖₙ - yₙ| → 0 khi k → ∞ Tiếp theo, ta chứng minh rằng pₙ(xₖyₖ - xy) = |xₖₙyₖₙ - xₙyₙ| ≤ |xₖₙyₖ - xₖₙyₙ| + |xₖₙyₙ - xₙyₙ| → 0 khi k → ∞ Do đó, xₖyₖ hội tụ đến xy, chứng minh rằng phép nhân trong C ∞ là liên tục Như vậy, C ∞ là một không gian tổ hợp, hơn nữa nó là không gian Frechet.
Sau khi mở số khái niệm và ống cột về tràn, các khái niệm này giúp hiểu rõ hơn về ý nghĩa trong số Banach.
1.3.11 ành nghắa ([1])Cho A, B l cĂc Ôi số tổpổ.
1) Ănh xÔ tuyán tẵnh h : A → B ữủc gồi l mởt ỗng cĐu, náu h(xy) = h(x)h(y) vợi mồi x, y ∈ A.
2) Phiám h m tuyán tẵnh ϕ : A → C khổng ỗng nhĐt bơng 0 ữủc gồi l mởt ỗng cĐu phực trản A náu ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ A.
Mằnh ã sau trẳnh b y nhỳng tẵnh chĐt °c trững cừa ỗng cĐu phực. 1.3.12 Mằnh ã ([1]) GiÊ sỷ ϕ l mởt ỗng cĐu phực trản Ôi số phực
2) ϕ(x) 6= 0 náu x l phƯn tỷ khÊ nghàch.
1.3.13 ành nghắa ([1])Cho A l mởt Ôi số tổpổ.
Phờ cừa x ∈ A ữủc kỵ hiằu l σ(x), l têp hủp tĐt cÊ λ ∈ C sao cho λe−x khÊ khổng nghàch trong A, tực l λe−x /∈ G(A).
Têp hủp C\ σ(x) ữủc gồi l giÊi ( giÊi thực) cừa x ∈ A.
Số thỹc ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} ữủc gồi l bĂn kẵnh phờ cừa x.
MậT Sẩ TNH CHT CếA I Sẩ TặPặ Cè BN V
I Sẩ TặPặ Cè BN KH MTRIC
Chữỡng n y nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa Ôi số tổpổ cỡ bÊn v Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric Nởi dung cừa chữỡng n y ngo i viằc trẳnh b y chi tiát mởt số kát quÊ cừa cĂc tĂc giÊ Ansari, Zohri v Jabbari, chúng tổi cụng ã xuĐt mởt số kát quÊ mợi vã tẵnh chĐt cừa phờ, bĂn kẵnh phờ, tữỡng tỹ nhữ trong Ôi số Banach Ngo i ra mởt số vẵ dử minh hồa cho cĂc kát quÊ cụng ữủc trẳnh b y.
2.1 Mởt số tẵnh chĐt cừa Ôi số tổpổ cỡ bÊn
Mửc n y trẳnh b y khĂi niằm, vẵ dử v kát quÊ mð Ưu vã lợp Ôi số tổpổ cỡ bÊn.
2.1.1 ành nghắa ([4]) Khổng gian v²ctỡ tổpổ A ữủc gồi l cỡ bÊn náu tỗn tÔi b > 1 sao cho vợi mồi dÂy (x n ) ⊂ A, tứ dÂy b n (x n −x n−1 ) hởi tử tợi 0 k²o theo (x n ) l dÂy Cauchy.
2.1.2 ành nghắa ([4]) Mởt Ôi số tổpổ cỡ bÊn l mởt Ôi số tổpổ sao cho nõ l khổng gian v²ctỡ tổpổ cỡ bÊn.
Trong không gian Banach, với một chuỗi số thực \( (x_n) \) thuộc tập hợp \( A \), tồn tại một hằng số \( b > 1 \) sao cho \( b_n (x_n - x_{n-1}) \) tiến tới 0 khi \( n \) tiến tới vô cực Điều này dẫn đến việc \( b_n \|x_n - x_{n-1}\| \) cũng tiến tới 0 Hơn nữa, tồn tại một số nguyên dương \( n_0 \) sao cho \( \|x_n - x_{n-1}\| < \frac{1}{b_n} \) với mọi \( n > n_0 \) Đối với mọi \( m > n > n_0 \), ta có bất đẳng thức \( \|x_m - x_n\| \leq \|x_n - x_{n+1}\| + \|x_{n+1} - x_{n+2}\| + \ldots + \|x_{m-1} - x_m\| \).
Do b > 1, cho m, n → ∞ ta nhên ữủc kx m −x n k → 0.
Mằnh ã trản ữủc trẳnh b y trong [4] m khổng chựng minh Chúng tổi chựng minh chi tiát.
2.1.4 Mằnh ã ([4]) Cho A l khổng gian v²ctỡ tổpổ cỡ bÊn Khi õ, vợi mồi c > 1, vợi mồi dÂy (x n ) ⊂ A, sỹ hởi tử cừa dÂy c n (x n −x n−1 ) tợi 0 k²o theo (x n ) l dÂy Cauchy.
Chứng minh rằng trong không gian metric (A, d), tồn tại số b > 1 sao cho với mọi dãy (x_n) trong A, dãy b_n (x_n - x_{n-1}) → 0 theo (x_n) là dãy Cauchy Với bất kỳ c > 1, luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho c^(2k) > b Rõ ràng rằng điều này thỏa mãn với c^(2k) và dãy (x_n) là dãy bị chặn trong A thỏa mãn c^(2k) n.
BƠy giớ ta chựng minh rơng ành nghắa 2.1.1 cụng thọa mÂn vợi c 2 k−1 GiÊ sỷ (x n ) l dÂy bĐt ký trong A thọa c 2 k−1 n
L°p lÔi quĂ trẳnh trản, ta i án ành nghắa 2.1.1 cụng thọa mÂn vợi c 2 0 = c.
Sau Ơy chúng tổi ữa ra mởt vẵ dử vã Ôi số tổpổ cỡ bÊn.
C ∞ := {x = {x n} : x n ∈ C, n > 1} vợi ph²p cởng v nhƠn vổ hữợng thổng thữớng theo tứng số hÔng X²t hồ Q = {p n } l hồ ám ữủc cĂc nỷa chuân trản C ∞ xĂc ành bði p n (x) =|x n |;x = {x n }, n = 1,2,
Theo Vẵ dử 1.3.10 thẳ C ∞ l Ôi số Frechet những khổng phÊi l Ôi số Banach Theo Vẵ dử 1.1.19 thẳ tổpổ trản C ∞ sinh bði mảtric d(x, y) ∞
Để chứng minh rằng dãy (x_k) là dãy Cauchy, ta cần chỉ ra rằng với mỗi chuẩn p_n, có p_n(b_k(x_k - x_{k-1})) = b_k |x_k^n - x_{k-1}^n| → 0 khi k → ∞ Giả sử (x_k) ∈ C∞ và tồn tại b > 1 sao cho b_k(x_k - x_{k-1}) → 0 khi k → ∞ Điều này cho thấy rằng dãy (x_k) hội tụ và thỏa mãn điều kiện của dãy Cauchy.
|x k n −x k−1 n | < 1 b k vợi mồi k > k 0 Vẳ vêy, vợi mồi l > k > k 0 ta cõ p n (x k −x l ) =|x k n −x l n | 6 |x k n−x k+1 n |+|x k+1 −x k+2 |+ +|x l−1 −x l |
6 1 b k+1 + + 1 b l+1 Vẳ b > 1 ta nhên ữủc p n (x k −x l ) → 0 khi k, l → ∞ Do õ (x k ) l dÂyCauchy Vẳ vêy, nõ l Ôi số tổpổ cỡ bÊn.
Mởt số tẵnh chĐt cừa Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric
Mức năng nghiện cựu mởt số tẵnh chất của ôi số tổp cỡ bên khê mảtric Trong mức này, ta luôn thiết lập A cõ ỡn và l e Ảnh lỵ sau l mð rởng của ảnh lỵ 1.2.8.
2.2.1 ành lỵ ([5]) Cho A l Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric Ưy ừ v x ∈ A Khi õ vợi mội b > 1, b n x n → 0 trong A thẳ e−x khÊ nghàch v
P k=1 x k Tứ giÊ thiát, ta cõ b n (s n −sn−1) = b n x n →0.
Do A l Ôi số tổpổ cỡ bÊn nản (s n ) l dÂy Cauchy Nhớ giÊ thiát A l khÊ mảtric Ưy ừ nản (s n ) hởi tử tợiy ∈ A, tực l y = lim n→∞s n ∞
Vẳ chuội P ∞ k=1 x k hởi tử nản x n+1 → 0 Do o, tứ tẵnh liản tửc cừa ph²p nhƠn trong A ta nhên ữủc
Ta nhên ữủc ngay hằ quÊ sau.
2.2.2 Hằ quÊ ([5]) Cho A l Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric Ưy ừ v x ∈ A khi õ vợi mội b > 1, b n (e−x) n → 0 trong A thẳ x khÊ nghàch.
Ôi số tổpổ cỡ bên A ữủc gồi l Ôi số cõ tẵnh nhƠn àa phữỡng (locally multiplicative) nếu tồn tại một U₀ cừa 0 trong A sao cho mọi lơn cên V cừa 0 tồn tại k₀ sao cho U₀ k ⊂ V với mọi k > k₀ Ôi số cõ tẵnh nhƠn àa phữỡng ữủc kỵ hiằu l F LM.
2.2.4 Vẵ dử Mồi Ôi số Banach l cõ tẵnh nhƠn àa phữỡng Thêt vƠy, lĐy U 0 l hẳnh cƯu mð tƠm 0bĂn kẵnh 1
2 Dạ d ng kiºm tra ữủc U 0 thọa mÂn iãu kiằn cừa ành nghắa nõi trản.
Mằnh ã sau l mð rởng cừa ành lỵ 1.2.11, ối vợi Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ.
2.2.5 Mằnh ã ([5]) Cho A l Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ Khi õ, têp cĂc phƯn tỷ khÊ nghàch G(A) cừa A l têp mð v G(A) l mởt nhõm ối vợi ph²p toĂn nhƠn.
Chựng minh Dạ d ng kiºm tra ữủc G(A) l nhõm vợi ph²p toĂn nhƠn.
Ta cƯn chựng minh G(A) mð Gồi U 0 l lƠn cên cừa 0 trong A sao cho mồi lƠn cên V cừa 0 tỗn tÔi k 0 sao cho U 0 k ⊂ V vợi mồi k > k 0.
GiÊ sỷ u ∈ G(A), b > 1 v U l lƠn cên tũy ỵ cừa 0 Chồn lƠn cên cƠn
V 0 cõa 0 sao cho u −1 V 0 ⊂ b −1 U 0 Vợi mồi v ∈ u−V 0 ta cõ u−v ∈ V 0 v vẳ thá eưu ư1 v ∈ u ư1 V 0
Do \( b(eưu v) \in bu v_0 \subset U_0 \), ta có \( b_n(eưu v) n \in U_0 n \subset U vợi mồi n ừ lợn \) Vì vậy, \( b_n(e^{-u v}) n \rightarrow 0 \) Do đó, áp dụng Hằng quÊ, ta nhận được \( u^{-1} v \in G(A) \) Suy ra \( v = u(u^{-1} v) \in G(A) \) Cuối cùng, \( u^{-V_0} \) lớn hơn cận mð của \( u \) nằm trong \( G(A) \) nản \( G(A) \) l mð.
Ta nhên ữủc kát quÊ quan trồng sau.
2.2.6 ành lỵ ([5]) Náu A l Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ vợi ỡn và e v a ∈ A thẳ phờ cừa a l têp compact.
Chùng minh Gi£ sû a ∈ A X²t ¡nh x¤ φ : C → A x¡c ành bði φ(λ) λe−a, vợi ∀λ ∈ C Dạ d ng kiºm tra ữủc φ l Ănh xÔ liản tửc Do õ, σ(a) = C\ φ −1 G(A) l têp õng cừa C.
Ta ch¿ ra σ(a) bà ch°n GiÊ sỷ U 0 l lên cên xĂc ành nhữ trong Mằnh ã 2.2.5 Khi õ, chồn α ∈ C ∗ sao cho a ∈ αU 0 Khi õ (α −1 a) n → 0 khi n→ ∞ Gi£ sû |λ|> 1 v |λ| > b > 1 Ta câ b λ n
Vẳ vêy, theo ành lỵ 2.2.1 ta cõ e− a αλ ∈ G(A), suy ra αλ /∈ σ(a) B¥y giớ, náu β ∈ σ(a) °t λ = β α Ta nhên ữủc |λ| 6 1, tực l |β| 6 |α|.
Nhữ vêy, σ(a) l têp õng v bà ch°n cừa C, vẳ thá nõ l têp compact.
Kát quÊ sau mð rởng cừa Mằnh ã 1.2.9.
2.2.7 ành lỵ ([5]) Mồi ỗng cĐu phực trản Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ l liản tửc.
Chựng minh Cho φ : A → C l ỗng cĐu phực v b > 1 GiÊ sỷ x ∈ A v b n x n hởi tử tợi 0 Khi õ, °t s n n
P k=1 x k , n = 1,2, Ta câ (s n ) l dÂy Cauchy Vẳ vêy, (s n ) hởi tử tợi y ∈ A v y ∞
Ta câ y −xy = lim n→∞s n −x lim n→∞s n = lim n→∞(s n −xs n ) = lim n→∞(x−x n+1 ) =x.
Suy ra φ(x) 6= 1 Náu |φ(x)| > 1 thẳ chồn u = x φ(x) Ta câ b n u n = b n x n φ(x)n = 1 φ(x)nb n x n → 0.
Vẳ vêy, φ(u) 6= 1 MƠu thuăn vợi φ(u) = 1 Do õ, náu b n x n → 0 thẳ
Để xác định tính liên tục của hàm số tại điểm 0, ta cần xem xét dãy số (x_n) hội tụ về 0 trong không gian A Đối với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên n sao cho b - 1 εx_n thuộc U_0, trong đó U_0 là một tập mở lớn hơn một khoảng nhất định.
U cừa 0 tỗn tÔi số tỹ nhiản k sao cho U k ⊂ U 0 GiÊ sỷ V l lên cên tũy ỵ cừa 0 Gồi k 0 l số tỹ nhiản sao cho U 0 k ⊂ V vợi k > k 0 Khi õ b k (ε −k x k n ) ∈ V, v vẳ thá lim k→∞b k (ε −k x k n ) = 0 Vẳ vêy,
|φ(ε −1 x n )| < 1, tực l |φ(x n )| < ε vợi n ừ lợn Do õ lim n→∞φ(x n ) = 0 Do õ, φ liản tửc.
2.2.8 ành lỵ ([5]) Cho A l Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ vợi ỡn và e GiÊ sỷ φ : A → C l phiám h m tuyán tẵnh sao cho φ(e) = 1 v kerφ ⊂ A\G(A) Khi õ φ liản tửc.
Chựng minh º ỵ rơng vợi b > 1 v x ∈ A sao cho b n x n → 0 thẳ e−x ∈ G(A) Suy ra e−x /∈ kerφ, tực l φ(e−x) 6= 0 Do φ tuyán tẵnh, ta câ φ(x) 6= φ(e) = 1.
Tiáp tửc lêp luên nhữ trong chựng minh ành lỵ 2.2.7, ta nhên ữủc φ liản tửc.
ành lỵ Clesason-Zelazko cho Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric 29 2.4 Mởt số tẵnh chĐt cừa bĂn kẵnh phờ trong Ôi số F LM
Mửc n y nghiản cựu ành lỵ Clesason-Zelazko cho Ôi số tổpổ cỡ bÊn khÊ mảtric Ơy l sỹ mð rởng cừa ành lỵ 1.2.10.
Cho Ôi số Banach A v a ∈ A Khi õ, ta  biát
X n=1 a n n! luôn xác định, với vần chuỗi đa dạng và phải là hởi tử tuyệt đối Số tổpổ cỡ bên khê ma trận E(a) có thể khổng tốn tối Với mọi số tổpổ cỡ bên khê ma trận A, ta đạt được.
Vợi mội a ∈ E(A), ta °t e a = e+E(a), trong õ e l ỡn và cừa A.
2.3.1 Mằnh ã ([5]) Cho A l Ôi số cỡ bÊn khÊ mảtric Ưy ừ vợi ỡn và e Náu a,−a ∈ E(A) thẳ e a ∈ G(A).
Chựng minh º thuên tiằn, ta dũng kỵ hiằu x 0 = e vợi mội x ∈ A Khi õ, tứ giÊ thiát a,−a ∈ E(a) ta cõ e= e 0 = e a+(−a) ∞
Do â e a ∈ G(A) v (e a ) −1 = e −a ành lỵ sau cho iãu kiằn ừ º x ∈ E(A).
2.3.2 ành lỵ ([5]) Cho A l Ôi số cỡ bÊn khÊ mảtric Ưy ừ vợi ỡn và e v x ∈ A Khi õ, náu {x n : n = 0,1,2, } bà ch°n thẳ λx ∈ E(A) vợi mồi λ ∈ C.
Chựng minh GiÊ sỷ {x n : n = 0,1,2, } l têp bà ch°n Khi õ, vợi b > 1 tứ b n λ n n! →0 vợi mồi λ ∈ C, suy ra b n (λx) n n! → 0 Do õ, Ăp dửng ành lỵ 2.2.1 ta nhên ữủc chuội P n=1
(λx) n! hởi tử trong A, tực l e λx x¡c ành.
2.3.3 ành lỵ ([5]) Cho A l Ôi số F LM khÊ mảtric Ưy ừ vợi ỡn và e v ϕ : A → C l phiám h m tuyán tẵnh khĂc khổng trản A Khi õ, cĂc mằnh ã sau l tữỡng ữỡng:
Chùng minh (1) ⇔ (2) Gi£ sû ϕ(e) = 1 v kerϕ ⊂ A\ G(A) Khi â, vợi mồi a ∈ A ta cõ náu ϕ(a) ∈/ σ(a) thẳ ϕ(a)e − a ∈ G(A) Suy ra ϕ(a)e−a /∈ kerϕ Vẳ vêy, ϕ ϕ(a)e−a
6= 0 Tuy nhiản, do ϕ tuyán tẵnh v ϕ(e) = 1 ta câ ϕ ϕ(a)e−a
Để giải bài toán, ta có phương trình ϕ(a)ϕ(e)−ϕ(a) = 0, từ đó suy ra ϕ(a) ∈ σ(a) với mọi a ∈ A Nếu ϕ(e) = λ và λ ∈ σ(e), thì λe−e không thuộc G(A) Nếu λ khác 1, thì λe−e thuộc G(A) và (λe−e) −1 = e λ−1 Do đó, nếu λ = 1, thì ϕ(e) = 1 Kết luận rằng kerϕ A = G(A) Tồn tại b ∈ kerϕ sao cho b ∈ G(A), và ϕ(b) = 0 Theo định lý (2), ta có 0 ∈ σ(b), dẫn đến 0e−b = −b không thuộc G(A), và do đó b không thuộc G(A).
Ta  biát (3)⇒ (1) VĐn ã cỏn lÔi l chựng minh (1) ⇒(3).
Vợi x ∈ A v b > 1 náu b n x n → 0 thẳ vợi mồi λ ∈ C sao cho |λ| > 1 ta câ λ −n b n x n →0, tùc l b n (λ −1 x) n → 0.
Theo ảnh lũy thừa 2.2.1, ta có e−λ −1 x ∈ G(A), từ đó suy ra ϕ(x) khác λ Nếu b_n x_n tiến tới 0, thì |ϕ(x)| không lớn hơn 1 Do đó, ϕ là hàm chọn trong không gian V := b −1 U_0, với U_0 là tập mở lớn hơn 0 trong nghĩa của số F LM, và ϕ là liên tục.
GiÊ sỷ b > 1 v a ∈ V °t x = a k vợi k ∈ N Tứ (b k ) n x n = b kn a kn →
0 suy ra |ϕ(x)| 6 1, tực l |ϕ(a k )| 6 1 vợi mội k Vợi mội a ∈ V, x²t Ănh x¤ F : C → C x¡c ành bði
Vẳ |ϕ(a n )| 6 1 vợi mồi n nản chuội P∞ n=1 z n ϕ(a n ) n! hởi tử tuyằt ối v vẳ thá F(z) l h m nguyản (ch¿nh hẳnh trản to n bở m°t ph¯ng phực C). Hìn núa,
Tứ e za ∈ G(A) vợi mồi z suy ra F(z) 6= 0 vợi mồi z Vẳ vêy, tỗn tÔi α ∈ C sao cho
Khai triºn e αz th nh chuội lụy thứa v so sĂnh hai vá ta nhên ữủc ϕ(a) =α v ϕ(a 2 ) = α 2
BƠy giớ, vợi mội x ∈ A, tỗn tÔi λ >0 sao cho a = λx ∈ V Vẳ thá ϕ(λ 2 x 2 ) ϕ(λx)2
. Vẳ ϕ tuyán tẵnh ta nhên ữủc ϕ(x 2 ) = ϕ(x)2 vợi mồi x ∈ A BƠy giớ, ta ch¿ ra ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) vợi mồi x, y ∈ A. Thêt vêy, tứ ϕ (x+ y) 2
= ϕ(x+ y)2 suy ra ϕ(xy +yx) = 2ϕ(x)ϕ(y) vợi mồi x, y ∈ A Vẳ vêy, náu A giĂo hoĂn thẳ ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) Chựng minh kát thúc.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm ϕ với các phần tử a, b thuộc tập A sao cho ϕ(ab) khác ϕ(a) nhân ϕ(b) Đặt x = ϕ(a)e^(-a), ta có ϕ(x) = 0 Từ đó, nếu y là phần tử phù hợp với b, ta có ϕ(xy) = 1 Khi xem xét, ta nhận thấy rằng ϕ(xy + yx) = 2ϕ(x)ϕ(y) và từ tính chất tuyến tính của ϕ, suy ra ϕ(yx) = -1 Cuối cùng, đặt z = yxy, ta có những kết quả quan trọng liên quan đến hàm ϕ.
= ϕ(xyxy +yxyx) = ϕ[(xy+ yx) 2 −(xy) 2 −(yx) 2 ]
Ta nhên ữủc sỹ mƠu thuăn Vêy ϕ l ỗng cĐu phực.
2.4 Mởt số tẵnh chĐt cừa bĂn kẵnh phờ trong Ôi số F LM
Mửc n y nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa bĂn kẵnh phờ trong Ôi số FLM.
2.4.1 ành nghắa ([6]) Cho A l Ôi số tổpổ khÊ mảtric vợi mảtric d A
Ta gồi mảtric trản A l nỷa nhƠn náu d A (0, xy) 6 d A(0, x)d A (0, y) vợi mồi x, y ∈ A Khi õ d A ữủc gồi l ph²p o trản A.
Ta kỵ hiằu d A (0, x) bði D A (x) Ta cõ thº giÊ thiát mảtric d A l bĐt bián ối vợi ph²p tành tián, tực l d A (x + z, y + z) = d A (x, y) vợi mồi x, y, z ∈ A (xem [8]) Ta cõ mằnh ã sau.
Mằnh ã là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt khi xét đến các yếu tố như khoảng cách metric Để chứng minh điều này, giả sử x thuộc A và D_A(x) = d_A(x, 0) < 1 Chúng ta chọn b > 1 sao cho d_A(0, bx) < 1 Khi n tiến đến vô cùng, biểu thức (1 + 1/n)x sẽ hội tụ về x Từ đó, ta có d_A(0, (1 + 1/n)x) ≤ d_A(0, x) + d_A(x, (1 + 1/n)x) < 1 khi n đủ lớn.
Khi õ, tứ tẵnh nỷa nhƠn cừa mảtric d A ta suy ra d A (0, b n x n ) 6 d A(0, bx)n
Vẳ vêy, d A (0, b n x n ) → 0 khi n → ∞, tực l b n x n → 0 Do õ, Ăp dửng Hằ quÊ 2.2.2 ta cõ e−x ∈ G(A). ành lỵ sau l kát quÊ chẵnh cừa [6].
2.4.3 ành lỵ ([6]) GiÊ sỷ A l Ôi số F LM khÊ mảtric vợi ph²p o nỷa nhƠn d A Khi õ, vợi mồi x ∈ A ρ(x) = lim n→∞
Ta nhên ữủc kát quÊ sau:
2.4.4 Mằnh ã GiÊ sỷ A l Ôi số F LM khÊ mảtric vợi ph²p o nỷa nh¥n d A Khi â ρ(xy) =ρ(yx) vợi mồi x, y ∈ X.
Chựng minh Tứ (xy) n = x(yx) n−1 y suy ra
1 n. Cho n → ∞ ta nhên ữủc ρ(xy) 6 ρ(yx).
Tữỡng tỹ, ta cõ ρ(yx) 6 ρ(xy) Vẳ vêy ρ(xy) =ρ(yx).
2.4.5 Mằnh ã GiÊ sỷ A l Ôi số F LM khÊ mảtric vợi ph²p o nỷa nhƠn d A Náu d A (0, x 2 ) = d A (0, x)2 vợi mồi x ∈ A thẳ ρ(x) = D A (x). Chựng minh Tứ giÊ thiát ta cõ
Bơng quy nÔp ta cõ
2.4.6 Mằnh ã GiÊ sỷ A l Ôi số F LM khÊ mảtric vợi ph²p o nỷa nhƠn d A Náu x, y ∈ A v xy = yx thẳ ρ(xy) 6 ρ(x)ρ(y), ρ(x+y) 6 ρ(x) + ρ(y).
Chựng minh Tứ xy = yx suy ra (xy) n = x n y n vợi mồi n Khi õ, tứ tẵnh nỷa nhƠn cừa d A ta cõ ρ(xy) = lim n→∞
GiÊ sỷ ρ(x) < α v ρ(y) < β Khi õ, vợi a = x α v b = x β ta câ ρ(a) < 1, ρ(b) < 1 Tứ ρ(x) = lim n→∞
1 n vợi mội x ∈ A suy ra tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho max{D A (a 2 n ), D A (b 2 n )}< 1, vợi mồi n> N.
Bði vẳ (γ n ) l dÂy giÊm ta cõ ρ(x+ y) = lim n→∞
Doα > ρ(x), β > ρ(y) tũy ỵ nản ta nhên ữủcρ(x+y) 6 ρ(x)+ ρ(y).
Luên vôn  thu ữủc cĂc kát quÊ chẵnh sau sau:
1) Trẳnh b y nhỳng kián thực cỡ sð vã khổng gian v²ctỡ tổpổ, khổng gian lỗi àa phữỡng, khổng gian Frechet v Ôi số Banach.
2) Trẳnh b y hằ thống nhỳng vĐn ã mð Ưu vã Ôi số tổpổ.
Tránh bẫy những kết quả và nhóm các phần tỷ kheo nghạch, ống cầu phức, cầu trúc phờ, ảnh lỳ Clesason-Zelazko đối vợi lợp ôi số tổpổ cỡ bên, ôi số tổpổ cỡ bên khe mảtric.
Chứng minh chi tiết mở số các kết quả liên quan đến chứng minh học và chứng minh vốn từ như: Mành ã 1.3.4, Bờ ã 1.3.5, Nhên x²t 2.1.3, Mành ã 2.1.4, Ảnh lỵ 2.2.1, Mành ã 2.2.5, Ảnh lỵ 2.2.6, và Ảnh lþ 2.2.7.
5) ã xuĐt mởt số kát quÊ vã tẵnh chĐt cừa bĂn kẵnh phờ cừa phƯn tỷ trong Ôi số tổpổ FLM thº hiằn ð cĂc Mằnh ã 2.4.2, Mằnh ã 2.4.4, Mằnh ã 2.4.5, Mằnh ã 2.4.6.
6) ữa ra cĂc vẵ dử minh hồa cho cĂc kát quÊ nhữ: Vẵ dử 1.3.10, Vẵ dử 2.1.5.