1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CƠNG LÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 1.1 Giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ 1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic 1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ p p .3 .7 trường số p .12 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 14 2.1 Đa giác định giá 14 2.2 Độ cao chuỗi lũy thừa 18 2.3 Độ cao hàm chỉnh hình 21 2.4 Độ cao hàm phân hình 23 2.5 Các tính chất độ cao 24 KẾT LUẬN .33 TÀI LIỆU THAM KHẢO .34 MỞ ĐẦU Trong năm cuối kỷ XX, lý thuyết hàm trường phi Ácsimét phát triển mạnh mẽ tìm thấy nhiều ứng dụng vấn đề khác toán học Lý thuyết độ cao hàm chỉnh hình p-adic hay nhiều biến xây dựng lần cơng trình Hà Huy Khối Luận văn tơi dựa tài liệu [3], [5] để tìm hiểu số tính chất độ cao hàm phân hình p-adic Ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận, dự kiến luận văn chia thành hai chương sau: Chương Trường số phức p – adic Trong chương này, hệ thống kiến thức xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p dẫn số kết qủa q trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ trường p để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Một số tính chất độ cao hàm phân hình p-adic Trong chương chúng tơi trình bày độ cao chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh hình, hàm phân hình số tính chất độ cao Luận văn hoàn thành với hướng dẫn khoa học bảo tận tình TS Mai Văn Tư - Khoa Toán Trường Đại Học Vinh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý quan tạo điệu kiện giúp đỡ mặt để luận văn hồn thành kế hoạch Tơi xin cảm ơn q Thầy Cơ khoa Tốn, Phịng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh Trường Đại Học Đồng Tháp, quý Thầy Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học tốn 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc cơng ơn dạy dỗ suốt q trình giáo dục, đào tạo nhà trường Đồng thời gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Tốn Khóa 20 động viên giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tuy nhiên hiểu biết thân thời gian học tập, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến quý Thầy Cô độc giả quan tâm đến luận văn Nghệ An, ngày 10 tháng 10 năm 2014 Tác giả Chương TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 1.1 Giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ 1.1.1.Định nghĩa, phụ thuộc độc lập 1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối x K hàm số tự K vào (ký hiệu v( x)  x v , x K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a x v  , với x K x v  x = b xy v  x v y v với x, y K c x  y v  x v  y v với x, y K Một hàm giá trị tuyệt đối trường K gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét thỏa mãn điều kiện:   c ' x  y v  max x v , y v với x, y K 1.1.1.2 Chú ý - Khi làm việc với giá trị tuyệt đối ta viết x thay cho x v nói giá trị tuyệt đối trường K - Giá trị tuyệt đối trường K xác định mêtric Khoảng cách hai điểm x, y thuộc K mêtric x  y Như giá trị tuyệt đối trường K xác định tôpô Bộ  K ,v  gồm trường K hàm giá trị tuyệt đối v K gọi trường định giá (còn gọi trường định chuẩn) 1.1.1.3 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trường K gọi phụ thuộc (còn gọi tương đương) chúng xác định tôpô K Trong trường hợp trái lại, chúng gọi độc lập (cịn gọi khơng tương đương) Định lý sau nêu lên tiêu chuẩn cần đủ để hai giá trị tuyệt đối trường K phụ thuộc lẫn (hay chúng tương đương nhau) 1.1.1.4 Định lý Giả sử v  v  hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trường K Chúng phụ thuộc lẫn từ hệ thức x  suy  x  Nếu chúng phụ thuộc tồn số thực   cho x  x với x K Định lý sau nêu lên điều kiện tương đương giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trường K 1.1.1.5 Định lý Giả sử  K ,  trường định chuẩn với đơn vị e, điều kiện sau tương đương a phi Ácsimét b  x : x  1  x  K : e  x  1   c Tập hợp số tự nhiên bị chặn d 2e  Chứng minh Lược đồ chứng minh định lý a  b  c  d  a +) a  b  x  Giả sử tồn x K cho   e  x  Từ giả thiết a   e  x  x  max  e  x , x   Điều mâu thuẩn chứng tỏ  x  K : x  1  x  K : e  x  1   +) b  c Giả sử tập số tự nhiên cho ne    ne (n  1)e   ne ne Khi e  Đặt x  khơng bị chặn, tồn n , bé  x  1 , với e đơn vị K  Điều mâu thuẩn ne  e  x  với giả thiết Chứng tỏ tập bị chặn giá trị tuyệt đối cho ) c  d Hiển nhiên ) d  a Trước hết ta chứng tỏ n  1, n  Thực vậy, viết số tự nhiên n  hệ đếm số 2, có: n  a o a1   as 2s , a j 0,1, as  Suy n  a0   as  s  Trong bất đẳng thức thay n s nk  b o b1   2m , b j  0,1 , m  ( s  1)k Khi ta nhận được: n  m   (s  1)k k Cho k    n  lim k ( s  1)k  k  Mặt khác ( x  y)n  xn  Cn1 xn1 y   Cnn1xy n1  y n  Suy x  y  max (n  1) x ,(n  1) y n n n  Cho n  , ta có: x  y  max  x , y  Nghĩa có a Định lý chứng minh 1.1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ Giả sử  x  , x viết dạng: x   p11 p22 pkk , p j , j  1,2, , k số nguyên tố, đôi khác  j số nguyên Các số nguyên  j gọi số lũy thừa số ngun tố p j có mặt phân tích số hữu tỷ x Giả sử p số nguyên tố Kí hiệu ord p j x   j , j  1, 2, , k ,ord p x  p  p j Đặt x p  p ord p x x  p  1.1.2.1 Mệnh đề Hàm p xác định hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, p số nguyên tố Chứng minh Hai tính chất đầu định nghĩa nghiệm cách dễ dàng Ta chứng minh tính chất cịn lại x  y  max  x , y  b c Thật vậy, giả sử x  , y  , a d  ad  bc  ord p ( x  y )  ord p    ord p  ad  bc   ord p (bd )  bd   ord p (ad ),ord p (bc)  ord p (bd )  ord p (ad )  ord p (bd ),ord p (bc)  ord p (bd )  ord p a  ord pb,ord p c  ord p d  (vì dễ thấy ord p (ab)  ord p a  ord pb ) = ord p x,ord p y Khi với x, y : xy( x  y)  Chúng ta có: x y p  p  ord p x ( x  y ) p   max  ord p x , ord p y    max x p , y p Mệnh đề chứng minh Người ta gọi p giá trị tuyệt đối p – adic 1.1.2.2 Nhận xét Trên trường số hữu tỷ , giá trị tuyệt đối tầm thường giá trị tuyệt đối thông thường   , họ giá trị tuyệt đối p – adic Vấn đề đặt có tồn giá trị tuyệt đối khác hay không ? Định lý Ostrowski trả lời cho câu hỏi 1.1.2.3 Định lý (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, p số nguyên tố bất kỳ, p   1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p 1.2.1 Dãy Cauchy (dãy bản) Giả sử p số nguyên tố cố định Dãy  xn  số hữu tỷ gọi dãy theo giá trị tuyệt đối p – adic p với   , tồn số tự nhiên n0 cho với m, n  n0 ta có: xm  xn   1.2.2 Quan hệ tương đương 10 Gọi X tập hợp dãy số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic p Ta xác định quan hệ hai X sau: a  an   X ; b  b j   X a b  lim a j  b j  j  Rõ ràng " " quan hệ tương đương X Đặt p     X /  a  aj ,   a  b j   X : lim a j  b j  0 j    ta kí hiệu  x dãy Cauchy  x Đặc biệt, với x  x  x ' Giá trị tuyệt đối adic p p x ' cảm sinh giá trị tuyệt đối p –   Nếu a  a j , ta định nghĩa a p  lim a j , a j  phần tử đại j  p diện lớp tương đương a Mệnh đề sau khẳng định định nghĩa giá trị tuyệt đối p hợp lý 1.2.3 Mệnh đề   a  dãy số hữu Tồn giới hạn dãy a j j p tỷ 1.2.4 Phép toán p     Ta xây dựng hai phép toán sau: a  b  a  b  , ab  a b  Giả sử a  a j , b  b j  j j p j j 22 Nếu chuỗi lũy thừa (1) phân kỳ z0 phân kỳ điểm thuộc miền  z  C p : v( z )  v( z0 ) Thực từ mệnh đề (i) giả thiết ta có: lim[v(an )  nv( z0 )]   n Mặt khác lim [v(an )  nv( z )]  [v(an )  nv( z0 )] n   lim n[v( z )  v( z0 )]= n  với v( z )  v( z0 ) Chứng tỏ, với z, v( z )  v( z0 ) Khi lim[v(an )  nv( z )]   n  Vậy chuỗi (1) phân kỳ điểm thuộc miền  z  C p : v( z )  v( z0 ) Chứng minh định lý Giả sử chuỗi lũy thừa (1) hội tụ đĩa Dr theo bổ đề 2.2.4 ta nhận limv(an )  nt   với z  Dr n Vì z p  r nên t  z (v)  t0 , z  Dr Chứng tỏ t0   log p r đường tiệm cận đa giác Newton Ngược lại, t0   log p r đường tiệm cận đa giác h( , t ) , với t  t0  , ta có: limv(an )  nt   n Sử dụng bổ đề khẳng định chuỗi (1) hội tụ đĩa Dr Định lý chứng minh 2.2.6 Ví dụ 23 (i) Xét chuỗi  p n2 zn n 0 Chúng ta có v(an )  nt  n2  nt   n   , với t Vì v(an )  nt triệt tiêu t0  n , n   t0   Vậy chuỗi hội tụ toàn mặt phẳng p (ii) Cho chuỗi lũy thừa  p  n2 zn n 0 Chúng ta nhận v(an )  nt  n2  nt triệt tiêu t0  n , n   , ta có t0   , nghĩa r  Vậy chuỗi phân kỳ điểm thuộc p \ 0 2.3 Độ cao hàm chỉnh hình Giả sử f ( z ) hàm chỉnh hình đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi lũy thừa hội tụ  f ( z )   an z n n 0 Vì limv(an )  nt   , với t  v( z )  0, chứng tỏ với t > tồn n để n v(an )  nt đạt giá trị bé Ta ký hiệu nf ,t , nf ,t tương ứng giá trị nhỏ nhất, lớn cho v(an )  nt đạt giá trị nhỏ Đặt hf ,t  nf ,t t , hf ,t  nf ,t t , h f ,t  hf ,t  hf ,t 2.3.1 Định nghĩa Chúng ta gọi hf ,t , hf ,t , h f ,t tương ứng độ cao phải, độ cao trái độ cao địa phương hàm chỉnh hình p – adic t  v( z )   log p z p 2.3.2 Định nghĩa 24 Độ cao toàn phần (hay độ cao) hàm chỉnh hình f ( z ) xác định hệ thức: h( , t )  v(an )  nt Ví dụ Xét hàm  zn f ( z )  log(1  z )   (1) n n 1 n Khi thấy phần trước, ta có 1  t  k  kt ,  k  p  p  pt   k  kt , p  k  p  p  p 2t  tk  điểm tới hạn f ( z ) p  p k 1 k h f ,tk  p , h f ,tk  p 1 p 1 h f ,tk  1, h f ,t  0, t  tk h(log(1  z ), tk )  k  p p 1 2.3.3 Mệnh đề (i) Nếu t không điểm tới hạn f ( z ) h f ,t = 0, f ( z )  f ( z ) p  p  h ( f ,t ) (ii) Nếu t điểm tới hạn f ( z ) h f ,t  0, f ( z )  h f ,t  t số không điểm f ( z ) v( z )  t 25 (iii) Số không điểm f ( z ) điểm tới hạn v( z )  t nf ,t , nf ,t (iv) Trong đoạn hữu hạn [r,s], < r < s <  , có hữu hạn điểm tới hạn hàm f ( z ) 2.4 Độ cao hàm phân hình Giả sử  ( x) hàm phân hình đĩa Dr , theo định nghĩa xác định hệ thức  ( x)  f ( x) , f ( x), g ( x) hàm chỉnh hình khơng có g ( x) điểm chung 2.4.1 Định nghĩa Độ cao hàm phân hình  ( x)  f ( x) xác định hệ thức g ( x) h( , t )  h( f , t )  h( g, t ) 2.4.2 Nhận xét Độ cao hàm phân hình khơng phụ thuộc vào ánh xạ biểu diễn Thực   f h , mệnh đề 2.5.4 (ii), có g.h h( , t )  h( f h, t )  h( g.h, t )  h( f , t )  h( g , t ) 2.4.3 Độ cao ánh xạ chỉnh hình khơng gian xạ ảnh P n ( Giả sử f  ( f1, f , , f n1 ) : p  Pn ( p p ) ) ánh xạ chỉnh hình (cịn gọi đường cong chỉnh hình), f i hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung Đường cong f  ( f1, f , , f n1 ) : p  Pn ( p ) gọi khơng suy biến ảnh khơng chứa khơng gian tuyến tính 26 Pn ( p ) với số chiều nhỏ n Ta biết đường cong f không suy biến Wronskian W ( f ) không đồng không 2.4.4 Định nghĩa Độ cao đường cong chỉnh hình xác định bời hệ thức h( f , t )  h( fi , t ) , 1i n1 h( fi , t ) độ cao hàm chỉnh hình v( z )  t Đặt h ( f , t )  max h ( fi , t ) 1i n1 2.4.5 Nhận xét (i) Độ cao đường cong chỉnh hình f xác định sai khác đại lượng giới nội Thực vậy, f  ( f1, f , , f n1 )  g  ( g1, g2 , , gn1 ) , nhận gi ( z)  fi ( z). ( z), i  1,2, , n  Do f i g i khơng có khơng điểm chung nên  ( z ) khơng có khơng điểm Từ tính chất đa giác Newton suy  ( z )   số Bởi h( g , t )  h( f , t )  0(1) (ii) Độ cao đường cong chỉnh hình p – adic tương tự độ cao Cartan ánh xạ chỉnh hình phức, xác định hệ thức T ( f , r)  2  2 2  log max i 2  log max i fi  ,r d  log max f i ( ) fi (rei ) d  0(1) Trong 0(1)   log max fi (0) đại lượng giới nội 1i n1 2.5 Các tính chất độ cao 2.5.1 Mệnh đề i 27 Giả sử f ( z ) hàm chỉnh hình khác số Khi h( f , t )  h( f , t )  t  0(1) với 0(1) đại lượng giới nội t   Chứng minh Ta có  f ( z )   an z n n 1 nên  f ( z )   nan z n1 n 1 Khi h( f , t )  v(an )  nt  t  0(1)  h( f , t )  t  0(1) Do mệnh đề chứng minh 2.5.2 Hệ Giả sử f ( z ) hàm chỉnh hình p khác số, h( f ( k ) , t )  h( f , t )  kt  0(1), 0(1) đại lượng giới nội t   Thực h( f ( k ) , t )  h( f , t )  [h( f ( k ) , t )  h( f ( k 1) , t )]+ +[h( f (1) , t )  h( f , t )] Sử dụng mệnh đề 2.5.1 cộng bất đẳng thức chiều, nhận h( f ( k ) , t )  h( f , t )  kt  0(1) 2.5.3 Mệnh đề Nếu f ( z ) hàm chỉnh hình khác số lim h( f , t )   t  2.5.4 Mệnh đề Giả sử f ( z ), g ( z ) hàm chỉnh hình p Chúng ta có 28 (i) h( f  g , t )  h( f , t ), h( g , t ) (ii) h( f g , t )  h( f , t )  h( g , t )   n 1 n 1 Chứng minh (i) Giả sử f ( z )   an z n , g ( z )   bn z n , hàm chỉnh hình  n p , f ( z )  g ( z )   ( an  bn )z n 1 Từ định nghĩa độ cao, nhận h( f  g , t )  v(an  bn )  nt  n   v(an )  nt , v(bn )  nt = h( f , t ), h( g , t ) (ii) Trước hết nhận xét đường đa giác h( f , t ) đường cong liên tục, nên tính chất hàm liên tục điểm t không điểm giới hạn điểm tới hạn hàm chỉnh hình f ( z ) Do cần chứng minh (ii) trường hợp t không điểm tới hạn Chúng ta có: f g p  p  h ( f g ,t ) f p g p  p h ( f ,t )  h ( g ,t ) (2) (3) Từ hệ thức (2) (3) ta có: h( f g , t )  h( f , t )  h( g , t ) Mệnh đề chứng minh 2.5.5 Mệnh đề (i) Hàm chỉnh hình f ( z ) đa thức h( f , t )  0(1) t   29 (ii) Hàm chỉnh hình f ( z ) số h( f , t ) đại lượng bị chặn t   Chứng minh Mệnh đề (ii) hệ mệnh đề 2.5.3 Ta cần chứng minh mệnh đề (i) Thực f ( z ) đa thức bậc d h( f , t )  dt  0(1) Do h( f , t )  0(t ) t   Ta chứng tỏ f ( z ) đa thức Giả sử ngược lại f ( z )  lim Sd , d  h( f , t )   t  t S d tổng riêng bậc d f ( z ) h(Sd , t )  dt  0(1) Bởi lim Điều mâu thuẫn với giả thiết mệnh đề chứng minh 2.5.6 Mệnh đề Nếu f1, f , , f n hàm chỉnh hình khác số f  f1 f f n , h( f , t )  h( fi , t )  0(1) , t   1i n Chứng minh Đặt f ( z )  fi ( z ) Ai ( z ), Theo mệnh đề 2.5.4 có: h( f , t )  h( fi , t )  h( Ai , t ), Vì Ai ( z ) hàm chỉnh hình khác số nên h( Ai , t )   t   , h( f , t )  h( fi , t )  0(1), t   1i n 2.5.7 Mệnh đề Nếu  ( z )  f ( z) hàm phân hình Dr thì: g ( z)  k  h  , t   kt  0(1)   30 Rõ ràng  hàm chỉnh hình mệnh đề Mệnh đề chứng minh bổ đề sau 2.5.8 Bổ đề    h  , t   t  0(1)   Thực    h  , t   h  , t   h  , t   h  f g  g f , t   h( fg , t )    , t )  h( fg , t ), h( g f , t )  h( fg , t )  h( f g  h( f , t )  h( f , t ), h( g , t )  h( g , t )  t  0(1), t  0(1)    h  , t   t  0(1)   Vậy 2.5.9 Bổ đề Giả sử 1 ,2 hàm phân hình p Khi h(12 , t )  h(1, t )  h(2 , t ) Chứng minh Đặt i  fi , i  1,2, fi , gi hàm chỉnh hình khơng có điểm gi chung Từ định nghĩa độ cao tính chất nó, có: h(12 , t )  h( f1 f , t )  h( g1 g , t )   h( f1 , t )  h( g1 , t )    h( f , t )  h( g , t )  Vậy bổ đề chứng minh Sử dụng hai bổ đề trên, có: 31   (k )    ( k )  ( k 1)    h , t   h  ( k 1) ( k  2) , t           (m)    h  ( m 1) , t  m 1     kt  0(1) k Mệnh đề chứng minh 2.5.10 Mệnh đề Giả sử i hàm phân hình Dr ,i  fi , i  1,2 Khi gi nhận h(1  2 , t )  h(1, t ), h(2 , t ) Thực  f g  f g1  h(1  2 , t )  h  ,t  g g    h  f1 g  f g1 , t   h  g1 g , t   h( f1 g , t )  h( g1 g , t ), h( f g1 , t )  h( g1 g , t )  h(1 , t ), h(2 , t ) Mệnh đề chứng minh Khái niệm độ cao dùng để chứng minh số tương tự p – adic kết cổ điển 2.5.11 Hệ (Định lý Liouville) Mỗi ánh xạ chỉnh hình giới nội ánh xạ 2.5.12 Định lý (Công thức Poisson- Jensen) Giả sử f ( z ) hàm chỉnh hình đĩa đơn vị D t0  t  , ta có h( f , t0 )  h( f , t )  h f ,t  h f ,t  h t0 t 0 f ,t0 32 Trong phần sau, cho chứng minh công thức PoissonJensen (với vài phát biểu khác, tương đương) 2.5.13 Nhận xét Công thức tương tự với công thức Poisson-Jensen cổ điển Thực vậy, giả sử t0  , f (0)  t không điểm tới hạn hàm f ( z ) Chúng ta có: h( f , t0 )   log p f (0) p , h( f , t )   log p f ( z ) p , với t  v( z ), hf ,t0  0, h t0 t  f ,0  h f ,t   aDr  log p a p , tổng lấy   khơng điểm a f ( z ) đĩa z  C p : z p  p t Bởi cơng thức viết dạng: log p f ( z ) p  log p f (0) p   log aDr p a p Nhắc lại Cơng thức Poisson-Jensen cổ điển có dạng: 2 2  log f (ei ) d  log f (0)  Trong D đĩa đơn vị  aD \0 (ord a f )log a orda f bậc f a 2.5.14 Mệnh đề Giả sử A : Pn  P n phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến đường cong chỉnh hình f  ( f1 , f , , f n 1 ) : p  Pn ( p ) Khi h( A f , t )  h( f , t )  0(1), 0(1) đại lượng bị chặn, phụ thuộc vào A, không phụ thuộc vào đường cong chỉnh hình f Chứng minh Chúng ta có: 33  n 1  h( A f , t )  h   a j f j , t   h( f j , t )  0(1)  j 1  1 j  n 1  h( f , t )  0(1) Mệnh đề chứng minh 2.5.15 Mệnh đề Giả sử f  ( f1 , f , , f n 1 ) : p  Pn ( p ) đường cong chỉnh hình, f i hàm chỉnh hình, khơng có khơng điểm chung Đặt f d  ( f1d , f 2d , , f nd ) , với số nguyên dương d Chúng ta có: (i) h  f d , t   d h  f , t  (ii) f đường cong đa thức h( f , t )  0(t ) t   Chứng minh Mệnh đề (i) hệ mệnh đề 2.5.4 (ii), mệnh đề (ii) hệ mệnh đề 2.5.5 (i) Bằng ngôn ngữ độ cao, chứng minh kết tương tự [6] 2.5.16 Định lý (i) Giả sử f ( z ) hàm chỉnh hình p P( z ) đa thức bậc d Khi h( P( f ), t )  dh( f , t )  0(1) (ii) Nếu f đa thức bậc d h( f , t )  dt  0(1) 2.5.17 Định lý Giả sử f , g hàm chỉnh hình khác số Đặt   f ( g ) Khi nhận được: (i) Nếu f đa thức bậc d thì: 34 h( g , t )  t  h( , t ) d lim (ii) Nếu f siêu việt thì: h( g , t )  t  h( , t ) lim (iii) f siêu việt khi: h( f , t )   t  t lim 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày mối liên hệ số tính chất độ cao hàm phân hình p-adic tính chất trường số phức p-adic Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: Hệ thống số khái niệm, kết trường số hữu tỷ adic p , số hữu tỷ p- Trình bày mối liên hệ đa giác định giá, độ cao chuổi lũy thừa, hàm chỉnh hình hàm phân hình (Mục 2.1, 2.2, 2.3, 2.4) Trình bày chi tiết phép chứng minh số tính chất độ cao hàm phân hình p-adic (Mục 2.5.1, 2.5.4, 2.5.5, 2.5.7 2.5.10) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Mai Văn Tư (2013) Lý thuyết hàm trường phi Ácsimét, Nhà xuất đại học Vinh Tiếng Anh [2] W.W.Adam and E G Straus (1971), Non-Archimedean analytic functions taking the same Values at the same points, Illinois J Math 15, 418 - 424 [3] Ha Huy Khoai (1992), Heights for p – adic meromorphic functions and value distribution theory Vietnam J Math, V.20, No.1, pp: 14 – 29 [4] Ha Huy Khoai (1993), Heights for p – adic holomorphic functions and value applications RIMS Lecture Notes 819, pp: 96 – 105 [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat J Math, Vol 6, No.5, 710-731 [6] Ha Huy Khoai anh My Vinh Quang p-adic Nevanlinna Theory Lecture Notes in Math 1351,138-152 ... bày chương sau Chương Một số tính chất độ cao hàm phân hình p- adic Trong chương chúng tơi trình bày độ cao chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh hình, hàm phân hình số tính chất độ cao Luận văn hoàn thành... mối liên hệ số tính chất độ cao hàm phân hình p- adic tính chất trường số phức p- adic Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: Hệ thống số khái niệm, kết trường số hữu tỷ adic p , số hữu tỷ p- Trình... , h f ,t tương ứng độ cao phải, độ cao trái độ cao địa phương hàm chỉnh hình p – adic t  v( z )   log p z p 2.3.2 Định nghĩa 24 Độ cao tồn phần (hay độ cao) hàm chỉnh hình f ( z ) xác định