Đường cong pháp trong không gian lorentz minkoski 3 chiều

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Các định nghĩa cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Xét không gian vectơ R n trên không gian vectơ này ta trang bị một tích vô hướng xác định bởi:

    với x x x  1 , 2 , , x n , y y y ( , 1 2 , , y n )  R n Khi đó không gian R n trở thành không gian giả Ơclit chỉ số 1 và gọi là không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu là E 1 n

+ Tích vô hướng , được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski

+ Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski và tích vô hướng , cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski

+ Với n  3 ta có không gian Lorentz – Minkowski 3 chiều Trong luận văn này từ đây về sau chúng ta xét trên không gian Lorentz – Minkowski 3 chiều

1.1.2 Định nghĩa (xem [4]) Cho vectơ x  E 1 3 , khi đó:

 x được gọi là vectơ kiểu không gian nếu x x ,  0 hoặc x  0

 x được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu x x ,  0

 x được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu x x ,  0 và x  0

Nhận xét: Vectơ x  0 có x x ,  0 nhưng vẫn được xem là vectơ kiểu không gian

1.1.3 Định nghĩa (xem [4]) Hệ vectơ  a a a 1 , 2 , 3  thỏa mãn:

1 , 1 1; 2 , 2 1; 3 , 3 1; , 0 , 1,3, i j a a   a a  a a  a a   i j  i  j được gọi là một cơ sở trực chuẩn của không gian Lorentz – Minkowski

Trong không gian E 1 3 với cơ sở trực chuẩn  e e e 1 , 2 , 3 , khi đó: e 1 là vectơ kiểu thời gian vì: e e 1 , 1    1 0

2 , 3 e e là các vectơ kiểu không gian vì:

2 3 e  e là các vectơ kiểu không gian vì:

1 i 2,3 e  e   i là các vectơ kiểu ánh sáng vì:

1.1.5 Định nghĩa (xem [4]) Với x  E 1 3 ta gọi môđun hoặc chuẩn của vectơ x là x x , và ký hiệu: x  x x , Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu có môđun bằng 1

 Nếu x là vectơ kiểu không gian thì x  x x ,

 Nếu x là vectơ kiểu thời gian thì x   x x ,

1.1.6 Sự trực giao của vectơ a Định nghĩa (xem [8]) Hai vectơ x y E ,  1 3 ; , x y  0 được gọi là trực giao với nhau nếu thỏa mãn x y ,  0 b Mệnh đề (xem [3]) Cho không gian Lorentz – Minkowski E 1 3 , khi đó: i Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau ii Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau iii Với x y E ,  1 3 , nếu x  0, y y ,  0, x y ,  0 thì x x ,  0 Nói cách khác, một vectơ khác không nếu trực giao với vectơ kiểu thời gian thì nó là một vectơ kiểu không gian

Một vectơ trực giao với vectơ kiểu không gian chưa chắc là vectơ kiểu thời gian Ví dụ, trong không gian E^1 3, vectơ x = (1, 2, 0) là vectơ kiểu không gian vì x · x > 0 Đồng thời, vectơ y = (2, 1, 2) cũng thỏa mãn điều kiện x ⊥ y.

, 0 x y  nhưng y là vectơ kiểu không gian vì y y ,   1 0.

Không gian con của không gian Lorentz - Minkowski

Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski

+) W được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không gian

+) W được gọi là kiểu thời gian nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian

+) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào

Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski E 1 3

W được gọi là kiểu không gian khi và chỉ khi W có xác định dương Ngược lại, W được gọi là kiểu thời gian khi và chỉ khi W không suy biến và có chỉ số 1.

(iii) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu , / Wlà suy biến và W  0

Trong không gian E 1 3 với cơ sở trực chuẩn  e e e 1 , 2 , 3

+ Ta xét mặt phẳng sinh bởi  e e 1 , 2 , kí hiệu là span e e  1 , 2 Khi đó ta có:

  e e 1 , 1   1 suy ra e 1 vectơ là kiểu thời gian do đó span e e  1 , 2 chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian nên theo định nghĩa nó là không gian kiểu thời gian

+ span e e  2 , 3là kiểu không gian vì:

Suy ra u u ,  x 2 2  x 3 2  0, do đó u là vectơ kiểu không gian Vậy

 2 , 3 span e e là kiểu không gian.

Không gian con trực giao

Cho  V , ,  là không gian với tích vô hướng không suy biến và U  V là không gian vectơ con của không gian V Khi đó ta gọi:

U    v V u v    u U là không gian con trực giao với không gian U

1.3.2 Bổ đề (xem [4]) Cho  V , ,  là không gian với tích vô hướng không suy biến Khi đó:

(i) Nếu U là không gian con của V thì dim( U  ) dim( ) dim(  V  U )

(ii) Nếu U là không gian con của V thì ( U   )  U

(iii) Nếu U là không gian con không suy biến của V thì U  cũng là không gian con không suy biến

Trong không gian E 1 3, vectơ v được coi là vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi nó vuông góc với không gian kiểu không gian, dẫn đến mối quan hệ E 1 3 = v ⊕ v ⊥ Ngược lại, v sẽ là kiểu không gian khi và chỉ khi nó vuông góc với kiểu thời gian.

(ii) Cho U là không gian con của không gian V , khi đó U là kiểu không gian khi và chỉ khi ( ) U  là kiểu thời gian

(iii) Cho U là không gian con của không gian V , khi đó U là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi ( ) U  là kiểu ánh sáng

Nếu v là vectơ kiểu thời gian, chúng ta có thể xem v như một phần tử của cơ sở trực chuẩn của E1 3 bằng cách nhân lên với một số nếu cần thiết.

 2 , 3 v   span e e và nó là một không gian con kiểu không gian

Ngược lại, cho e e 2 , 3 là một cơ sở trực chuẩn của v  , ở đây

Tích vô hướng \( v \cdot v^\perp \) được xác định là dương, điều này cho thấy vector \( v \) không nằm trong không gian span của \( e_2 \) và \( e_3 \) Giả sử \( v \) thuộc vào không gian span của \( e_2 \) và \( e_3 \), thì \( v^\perp \) cũng thuộc vào không gian này, dẫn đến việc \( v \) có thể được biểu diễn dưới dạng \( v = a_2 e_2 + a_3 e_3 \), trong đó \( a_i \neq 0 \) với \( i = 2, 3 \) Nếu \( a_2 \neq 0 \), điều này càng khẳng định rằng \( v \) không thể thuộc vào không gian span của \( e_2 \) và \( e_3 \).

Với điều kiện 0 v e  a  (mâu thuẫn với ( )  ), ta có v không thuộc span e e  2 , 3, tức là  v e e , , 2 3 là độc lập tuyến tính với v v ,  0 Nếu v v ,  0, thì hệ  v e e , 2 , 3 sẽ là xác định dương, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng span v e e  , , 2 3 thuộc không gian chỉ số 1 E 1 n Do đó, v được xác định là vectơ kiểu thời gian.

Nếu U là một không gian con kiểu không gian và v là một vectơ thuộc U, thì không gian v ⊥ chứa U ⊥ Hơn nữa, vì v ⊥ là không gian kiểu thời gian, nên U ⊥ cũng được xác định là không gian kiểu thời gian.

Nếu U  là một không gian con kiểu thời gian và v U   là một vectơ kiểu thời gian, thì (U  ) sẽ thuộc v  Vì v  là không gian kiểu không gian (theo i), nên ta có (U  ) = U, cho thấy U cũng là một không gian kiểu không gian.

Giả sử U là không gian kiểu ánh sáng và v là một vectơ thuộc không gian này Khi đó, vectơ v không thuộc kiểu không gian và cũng không phải là vectơ kiểu thời gian, tức là v và không gian thời gian là vuông góc với nhau.

Không gian v  không phải là không gian kiểu thời gian hay không gian kiểu không gian (theo i), mà là không gian kiểu ánh sáng Hơn nữa, vì U  là tập con của v  và v  là không gian kiểu ánh sáng, nên U  cũng được xác định là không gian kiểu ánh sáng.

Các hệ thức liên quan về môđun, tích Lorentz của các vectơ trong không

Dựa vào các tính chất tích có hướng của vectơ trong R³, nghiên cứu đã mở rộng sang không gian Lorentz-Minkowski, nơi các vectơ được xem xét thông qua tích Lorentz trong không gian E₁³.

Cho x x x ( , 1 2 , x 3 ) và y y y y ( , 1 1 , 1 ) là các vectơ trong E 1 3 , khi đó tích Lorentz của x và y được định nghĩa là:

Trong không gian E 1 3 cho các vectơ x x x x ( , 1 2 , 3 ); y y y y ( , 1 2 , 3 ), khi đó:

Nếu x, y, z, t là các vectơ trong E 1 3 khi đó tích Lorentz các vectơ có tính chất sau: i) x     y y x ii)

Trong không gian E 1 3, nếu x và y là các vectơ, thì có các điều kiện sau: i) x y,  x y khi và chỉ khi tích vô hướng x  y là kiểu thời gian; ii) x y,  x y khi và chỉ khi x  y là kiểu ánh sáng; iii) x y,  x y khi và chỉ khi x  y là kiểu không gian Bên cạnh đó, đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski cũng được nghiên cứu để hiểu rõ hơn về các tính chất của các vectơ này.

Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không

Đường cong  trong không gian E 1 3 được gọi là đường cong kiểu không gian tại điểm t nếu vectơ tiếp tuyến ' (t) là vectơ kiểu không gian Tương tự, nếu vectơ tiếp tuyến thuộc kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng, thì đường cong được phân loại theo các kiểu tương ứng.

+ Đường cong  được gọi là đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) nếu nó thỏa măn với mọi t  I

Trong không gian E 1 3, một đường cong bất kỳ  có thể có các kiểu khác nhau như kiểu không gian, kiểu thời gian và kiểu ánh sáng tại mỗi điểm t I thuộc khoảng I Tuy nhiên, tính chất này có thể không được duy trì trên toàn bộ khoảng I.

Xét đường cong  cho bởi tham số hóa :  ( ) t   sinh ( ), t t 2 , cosh ( ) t 

Do đó, đường cong  là kiểu không gian trong các khoảng ; 1

 ; đường cong  là kiểu thời gian trong khoảng 1 1 ;

 ; đường cong  là kiểu ánh sáng tại các điểm 1 1 ;

2.1.4 Định nghĩa (xem [4]) Cho  là đường cong trong E 1 3 Khi đó  được gọi là chính quy tại t 0  I nếu  ' ( ) t 0  0 Nếu  chính quy tại mọi điểm t 0  I thì  được gọi là chính quy.

Các tính chất của đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski

Đường cong  có thể được mô tả dưới dạng không gian hoặc thời gian Có một tham số hóa của  được biểu diễn bởi (s) = ((s)), trong đó '(s) = 1 Tham số hóa này được gọi là tham số hóa độ dài cung.

Cho  là một đường cong kiểu ánh sáng trong E 1 3 Khi đó tồn tại một tham số hóa của  cho bởi  ( ) s    ( ( )) s sao cho  '' ( ) s  1 Ta gọi tham số hóa

Trong toán học, khi tham số hóa một đường cong bằng độ dài cung, ta gọi đường cong đó là đường cong có vận tốc đơn vị Ngược lại, nếu tham số hóa bằng tham số hóa giả độ dài cung, đường cong được gọi là đường cong có gia tốc đơn vị.

Để mô tả các tính chất hình học của một đường cong chính quy, chúng ta gán một cơ sở trực chuẩn tại mỗi điểm của đường cong Sự thay đổi của cơ sở này dọc theo đường cong cung cấp thông tin về hình dáng của nó trong không gian.

Độ cong và độ xoắn của đường cong trong không gian Lorentz –

Xét đường cong  trong không gian Lorentz – Minkowski:

+ Trường hợp đơn giản của đường cong là đường thẳng Nếu điểm p  E 1 3 và

0 v  , đường thẳng qua điểm p và theo hướng v có tham số hóa cho bởi

   Khi đó  '' ( ) t  0 hay gia tốc có mô đun 0, ta nói rằng độ cong của đường thẳng bằng 0

Khi đảo ngược hướng của đường, vectơ tiếp xúc sẽ thay đổi hướng, trong khi vectơ α''(t) vẫn không thay đổi Điều này cho thấy rằng vectơ α''(t) và độ cong là những bất biến không phụ thuộc vào hướng của đường.

Đường cong  chính quy được biểu diễn bằng tham số độ dài cung hoặc tham số giả độ dài cung Vectơ tiếp tuyến tại điểm s được định nghĩa là T s ( ) =  ' ( ) t Có thể nhận thấy rằng T s T s ( ), ' ( ) = 0 Giả sử T s ' ( ) ≠ 0 và vectơ T s ' ( ) không tỷ lệ với T s ( ) cho mọi s, điều này giúp loại trừ khả năng đường cong trở thành đường thẳng.

Ta xét ba trường hợp đối với đường cong:

2.3.2 Trường hợp đường cong kiểu thời gian

Giả sử  là một đường cong kiểu thời gian Khi đó T s ' ( )  0 là một hàm vectơ kiểu không gian độc lập với T s ( ) với T s ( )   ' ( ) s  1

Do  là một đường cong chính quy nên  ' ( ) s  0 và T s ' ( )  0 Đặt k s 1 ( )  T s ' ( ) , ta gọi k s 1 ( ) là độ cong của  tại s

Vectơ pháp tuyến N của  tại s được định nghĩa là:

Ta gọi vectơ trùng pháp tuyến B(s) là :

B s  T s  N s Khi đó B(s) là vectơ đơn vị kiểu không gian

Ta định nghĩa độ xoắn của  tại s là hàm:

2 ( ) ( ), ( ) k s  N s B s Với mỗi s thì  T N B , ,  là mục tiêu trực chuẩn của E 1 3 , và được gọi là mục tiêu Fretnet dọc  Bây giờ ta tìm cách biểu diễn  T N B ' , ' , '  qua mục tiêu trực chuẩn  T N B , , 

+ Với mọi s,  T N B , ,  là mục tiêu trực chuẩn nên ta có thể biểu diễn N s ' ( ) dưới dạng:

Lấy tích vô hướng của cả hai vế của (2) với N(s) ta được:

   (vì  là một đường cong kiểu thời gian nên

  Lấy tích vô hướng của cả hai vế của (3) với B(s) ta được:

 B s cùng phương với N(s), hay nói cách khác là tồn tại số  sao cho B s ' ( )   N s ( )(4)

Lấy tích vô hướng cả hai vế của (4) với  N s ( ) ta được:

Từ đó ta thu được phương trình Fretnet như sau:

2.3.3 Trường hợp đường cong kiểu không gian

Cho  là một đường cong không gian, có ba trường hợp xảy ra tùy thuộc vào tính chất của vectơ T s'() Trường hợp đầu tiên là khi vectơ T s'() thuộc kiểu không gian.

+ Độ cong của  tại s là: k s 1 ( )  T s ' ( )

+ Vectơ trùng pháp tuyến B là: B s ( )  T s ( )  N s ( )

+ Độ xoắn của  tại s là: k s 2 ( )   N s ' ( ), B s ( )

Mỗi s thì tập hợp  T N B , ,  đại diện cho mục tiêu Fretnet dọc  Chúng ta sẽ tìm cách biểu diễn tập hợp  T N B ' , ' , '  thông qua mục tiêu  T N B , , , tương tự như cách mà chúng ta đã thực hiện với đường cong kiểu thời gian.

+   s I ta có thể biểu diễn N s ' ( ) đưới dạng:

Lấy tích vô hướng cả hai vế của (2) với N(s) ta được:

   (vì  là đường cong kiểu không gian nên

Lấy tích vô hướng cả hai vế của (3) với B(s) ta được:

Suy ra B s ' ( ) cùng phương với N s ( ), hay nói cách khác tồn tại số  sao cho B s ' ( )   N s ( ) ( 4) Lấy tích vô hướng hai vế của (4) với N(s) ta được:

Khi đó phương trình Fretnet là:

  b) Trường hợp vectơ T s ' ( ) là kiểu thời gian

Khi đó T s T s ' ( ) , ' ( )  0 , đặt k s 1 ( )  T s ' ( )   T s T s ' ( ) , ' ( ) Khi đó ta định nghĩa:

+ Độ cong của  tại s là: k s 1 ( )  T s ' ( )

+ Vectơ trùng pháp tuyến B là: B s ( )  T s ( )  N s ( ) là vectơ đơn vị kiểu không gian + Độ xoắn của  tại s là: k s 2 ( )  N s ' ( ), B s ( )

Tương tự các trường hợp trên ta có phương trình Fretnet là:

  c) Trường hợp T s ' ( ) là kiểu ánh sáng

Nhớ rằng vectơ T s ' ( ) không bằng 0 và không tỷ lệ với T s ( ) Do đó, vectơ pháp tuyến N s ( ) được định nghĩa là T s ' ( ) và nó độc lập tuyến tính với T s ( ) Đối với mỗi s cho trước, tồn tại duy nhất một vectơ kiểu ánh sáng B s ( ) sao cho N s ( ), B s ( ) = 1 và B s ( ) trực giao với T s ( ) Vectơ B s ( ) được gọi là vectơ trùng pháp tuyến.

 tại s Khi đó phương trình Fretnet là:

Trong đó hàm k 2 được gọi là hàm độ xoắn của  và ở đây ta không định nghĩa hàm độ cong của 

2.3.4 Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng (xem [4])

Cho  là đường cong kiểu ánh sáng được tham số hóa bởi tham số hóa giả độ dài cung, nghĩa là  '' ( ) s  1 và  '' ( ) s là vectơ kiểu không gian

+ Vectơ trùng pháp tuyến B s ( ) duy nhất kiểu ánh sáng trực giao với N(s) sao cho T s ( ), B s ( )    1, s I

Khi đó ta xây dựng được phương trình Fretnet là:

Hàm k2 đại diện cho độ xoắn của đường cong α, tương tự như trường hợp đường cong không gian với kiểu ánh sáng Ts'( ) Tuy nhiên, chúng ta không thể xác định độ cong của α trong tình huống này.

Trong không gian Lorentz – Minkowski, có thể xác định công thức cho độ cong và độ xoắn của đường cong mà không cần sử dụng tham số hóa độ dài cung Cụ thể, đối với đường cong kiểu thời gian , độ cong và độ xoắn của nó được tính toán theo các phương pháp đặc thù trong không gian này.

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHÁP

Xét trường mục tiêu Frenet {T, N, B} dọc theo đường cong α(s) trong không gian E³ Đối với đường cong α(s) kiểu thời gian, kiểu ánh sáng hoặc kiểu không gian trong một khoảng xác định, chúng ta có thể biểu diễn đường cong này thông qua trường mục tiêu Frenet.

    , trong đó a s b s c s ( ), ( ), ( ) là các hàm khả vi, s là tham số hóa hóa độ dài cung hoặc tham số hóa giả độ dài cung

 Định nghĩa Xét một đường cong  ( ) s trong không gian E 1 3 Giả sử vectơ vị trí  thỏa mãn:

     , trong đó   , là các hàm khả vi của s   I , khi đó  ( ) s được gọi là đường cong pháp trong không gian

 Lấy m là một điểm cố định trong E 1 3 và r  0là một hằng số:

+ Giả cầu được định nghĩa bởi:

+Không gian giả hyperbolic được định nghĩa bởi:

+ Nón ánh sáng được định nghĩa:

Đường cong có thể thuộc kiểu thời gian, ánh sáng hoặc không gian Bài viết này sẽ khám phá đường cong pháp tương ứng với các kiểu trong không gian Lorentz – Minkowski, đặc biệt là đường cong pháp kiểu thời gian.

Nếu  ( ) s là một đường cong kiểu thời gian, khi đó công thức Frenet là:

1.1 Định lý (xem [5]) Cho  ( ) s là một đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị trong không gian E 1 3 với độ cong k s 1 ( )  0, k s 2 ( ) 0,  s   I Khi đó

 là một đường cong pháp nếu và chỉ nếu thành phần pháp tuyến chính

 và thành phần trùng pháp tuyến  , B của vectơ vị trí của  tương ứng cho bởi:

Chứng minh Giả sử  ( ) s là một đường cong pháp, với s là tham số hóa độ dài cung Khi đó theo định nghĩa ta có:

     Lấy vi phân phương trình đối với biến s và dùng tương ứng công thức Frenet (1.1) tương ứng ta tìm được:  k 1  1,   '  k 2  0,  k 2   '  0 (1)

Từ phương trình thứ nhất và thứ hai trong (1) ta nhận được:

Do đó:   (1/ k N 1 )  (1/ k 2 )(1/ k 1 ) ' B (2) Điều đó nghĩa là:  , N  1/ k 1 ,  , B  (1/ k 2 )(1/ k 1 ) '

Ngược lại, giả sử  , N  1/ k 1 ,  , B  (1/ k 2 )(1/ k 1 ) ' Lấy vi phân phương trình  , N  1/ k 1 đối với s ta thu được:

Từ đó, sử dụng  , B  (1/ k 2 )(1/ k 1 ) ' phương trình (3) trở thành:

Suy ra  , T  0 , điều đó có nghĩa  là một đường cong pháp

Định lý 1.2 (xem [5]) nêu rằng, cho đường cong thời gian  ( ) s có vận tốc đơn vị trong không gian E 1 3 với độ cong k s 1 ( )  0 và k s 2 ( ) 0, s thuộc tập hợp I, thì  được gọi là sai khác một phép tịnh tiến với đường cong pháp nếu và chỉ nếu điều kiện trên được thỏa mãn.

Để chứng minh, giả sử rằng  ( ) không phải là một phép tịnh tiến với một đường cong pháp Từ ba phương trình trong (1), ta có thể suy ra hệ thức (4) Ngược lại, nếu có hệ thức (4), áp dụng phương trình công thức Frenet (1.1) sẽ giúp thu được kết quả một cách dễ dàng.

  là một đường cong pháp (theo định lý 1.1)

Vậy  sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp

Định lý cho biết rằng, đối với một đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị trong không gian E³ với độ cong k₁(s) > 0 và k₂(s) ≠ 0, thì đường cong này nằm trên giả cầu S² nếu và chỉ nếu nó là một đường cong pháp.

Chứng minh: Đầu tiên ta giả sử  ( ) s nằm trên giả cầu S m r 1 2 ( , ) Khi đó:

Lấy vi phân phương trình này bốn lần và sử dụng công thức Fretnet ta thu được:

Từ đó, qua phép tịnh tiến thì  là một đường cong pháp

Ngược lại, giả sử  là một đường cong pháp Khi đó, từ định lý (1.2) chúng ta có:

Bằng cách đạo hàm m đối với s ta thu được m '  0 Do đó m  c ons t Tiếp theo, phương trình k 2 / k 1   ((1/ k 2 )(1/ k 1 ) ) ' ' là đạo hàm của phương trình

(1/ k )  ((1/ k )(1/ k ) )  c onst  0 Từ đó ta thu được:

Ta có thể lấy c  r 2 Điều đó nghĩa là  nằm trong S r 1 2 ( ) §2 Đường cong pháp kiểu ánh sáng (xem [5])

Đường cong ánh sáng  trong không gian E 1 3 chỉ có thể có độ cong đầu tiên k s 1 nhận hai giá trị: k 1  0 nếu  là đường thẳng ánh sáng, hoặc k 1  1 trong các trường hợp còn lại Nếu k 1  0, thì  trở thành phương của vectơ tiếp xúc T và không thể là đường cong pháp Chúng tôi cũng sẽ trình bày một số đặc trưng của đường cong pháp kiểu ánh sáng với tham số hóa giả độ dài cung s và độ cong k 1  1 Tham số hóa giả độ dài s được định nghĩa trong tài liệu [1].

Nếu  ( ) s là đường cong kiểu ánh sáng, khi đó công thức Fretnet là:

Trong trường hợp này k 1 chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: k 1  0khi  ( ) s là một đường thẳng kiểu ánh sáng hoặc k 1  1trong các trường hợp khác Hàm

1 ( ), 2 ( ) k s k s tương ứng là độ cong thứ nhất và độ xoắn của 

2.1 Định lý (xem [5]) Cho  ( ) s là một đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E 1 3 với độ cong k s 1 ( ) 1,  k s 2 ( )  0, s   I Khi đó  ( ) s là một

21 đường cong pháp nếu và chỉ nếu thành phần tiếp xúc và thành phần pháp tuyến chính của vectơ vị trí  được cho tương ứng bởi:

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử rằng  ( ) s là một đường cong pháp Khi đó theo nghĩa ta có:

     (5) trong đó  và  là các hàm khả vi đối với ẩn s Bằng cách lấy đạo hàm (5) theo s và áp dụng công thức Fretnet ta tìm được: ' '

Do đó (5) kéo theo  , T    (1/ k 2 )(1/ k 2 ) , '  , N    1/ k 2 Ngược lại, giả sử  , T  (1/ k 2 )(1/ k 2 ) , '  , N  1/ k 2 , đạo hàm hàm , N 1/ k 2   đối với s ta thu được: '

Phân tích vectơ  ( ) s theo trường mục tiêu  T N B , ,  bởi ( ) s a s T s ( ) ( ) b s N s ( ) ( ) c s B s ( ) ( ),     trong đó a s b s c s ( ), ( ), ( ) là các hàm khả vi đối với s Khi đó ta dễ dàng tìm được: '

Do đó, α = (1/kN²) + (1/k²)(1/k²) cho thấy α là một đường cong pháp Định lý (xem [5]) chỉ ra rằng, với α(s) là một đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E¹³ có độ cong k₁(s) = 1 và k₂(s) ≠ 0, thì α sẽ sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp nếu và chỉ nếu.

Để chứng minh, giả sử đường cong  không phải là một phép tịnh tiến Khi đó, theo phép đẳng cự trong không gian E13, đường cong  có phương trình (5) và thỏa mãn hệ thức (6) Từ hệ thức (6), ta có thể suy ra hệ thức (8).

Ngược lại, giả sử đã có hệ thức (8) Áp dụng công thức Fretnet (2.2), ta thu được:

  Vậy  ( ) s sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp

Định lý 2.3 (xem [5]) khẳng định rằng cho đường cong ánh sáng \(\alpha(s)\) trong không gian \(E^3\) với độ cong \(k_1(s) = 1\) và \(k_2(s) \neq 0\) với \(s \in I\), thì \(\alpha(s)\) sẽ là một đường cong pháp nếu và chỉ nếu vectơ vị trí của \(\alpha\) thỏa mãn một phương trình cụ thể.

Chứng minh Giả sử  ( ) s là một dường cong pháp Khi đó từ hệ thức (5) và

(7) ta dễ dàng tìm được   ,  (1/ k 2 ) 2

Ngược lại, giả sử có   ,  (1/ k 2 ) 2 , bằng cách đạo hàm phương trình này ba lần đối với s ta thu được:

Phân tích vectơ  ( ) s theo cơ sở  T N B , ,  bởi:

    , trong đó a s b s c s ( ), ( ), ( ) là các hàm khả vi đối với s Khi đó ta nhận được:

Thế (9) vào (10) và (11), ta tìm được:

Từ đẳng thức trên ta có ((1/ k 2 )(1/ k 2 ) ) ' '  1/ k 2 Khi đó theo định lý 2.2  ( ) s là một đường cong pháp

Định lý 2.4 (xem [5]) khẳng định rằng, cho đường cong kiểu ánh sáng  ( ) s trong không gian E 1 3 với độ cong k s 1 ( ) = 1 và k s 2 ( ) ≠ 0, với s thuộc I Khi đó,  ( ) s sẽ trở thành một đường cong pháp nếu và chỉ nếu qua phép đổi tham số hóa, nó được biểu diễn theo một dạng nhất định.

  (12) trong đó y t ( ) là một đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị nằm trên giả cầu S m r 1 2 ( , )

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử  là một đường cong pháp Khi đó theo định lý (2.3) kéo theo   ,  (1/ k 2 ) 2 Đặt  ( ) s   ( ) s , có nghĩa là  2  (1/ k 2 ) 2 Ta xác định đường cong y s ( ) bởi ( ) ( )

Bằng cách đạo hàm (15) theo s ta có:

Từ y y ,  1, tức là đường cong y s ( ) nằm trong mặt cầu S 1 2 với bán kính là 1 và tâm tại gốc tọa độ, suy ra y y , '  0, vậy phương trình (14) kéo theo:

  Vậy y là một đường cong kiểu thời gian với vận tốc

Khi đó ta thu được:

Do đó 1/ k 2  e t , thế kết quả này vào (13) ta được (12)

Ngược lại, giả sử đường cong  ( ) t được xác định bởi công thức (12), ta có thể tham số hóa lại đường cong này bằng t  ln 1 / k s 2 ( ), với s là hàm độ dài của  Như vậy, phương trình (12) sẽ được chuyển đổi tương ứng.

  k s và do đó   ,  (1/ k 2 ) 2 Vậy theo định lý (2.3) có nghĩa  là một đường cong pháp §3 Đường cong pháp kiểu không gian (xem [6])

Giả sử  là một đường cong kiểu không gian với pháp tuyến chính kiểu không gian hoặc kiểu thời gian N , khi đó công thức Frenet là:

Nếu  là một đường cong kiểu không gian với pháp tuyến chính kiểu ánh sáng N , khi đó công thức Fretnet là:

(3.2) trong đó: T T ,  1, N N ,  0, B B ,  0, T N ,  T B ,  0, N B ,  1 Trong trường hợp này k 1 chỉ lấy hai giá trị: k 1  0khi  là một đường thẳng;

1 1 k  trong tất cả các trường hợp khác

Định lý 3.1 (xem [6]) khẳng định rằng nếu α(s) là một đường cong không gian có vận tốc đơn vị, với pháp tuyến chính kiểu không gian hoặc kiểu thời gian N, và độ cong k_s1(s) > 0, k_s2(s) ≠ 0, với s thuộc tập I, thì có các mệnh đề liên quan đến đặc điểm hình học của đường cong này.

(i) Các độ cong k s 1 ( ) và k s 2 ( ) thỏa mãn đẳng thức:

(ii) Thành phần pháp tuyến chính và thành phần trùng pháp tuyến của vectơ vị trí của đường cong được cho tương ứng là:

(iii) Nếu vectơ vị trí của đường cong là vectơ kiểu ánh sáng, khi đó  nằm trong nón ánh sáng C m ( ) và có độ cong k s 1 ( ) và k s 2 ( ) thỏa mãn:

Nếu đường cong  ( ) s có vận tốc đơn vị trong không gian E 1 3 với pháp tuyến chính N kiểu không gian hoặc kiểu thời gian, và độ cong k s 1 ( )  0, k s 2 ( )  0 cho s thuộc I, cùng với việc thỏa mãn một trong các mệnh đề (i), (ii), (iii), thì  sẽ là một đường cong pháp hoặc khác với một phép tịnh tiến của đường cong pháp.

Giả sử đường cong pháp kiểu không gian (s) có vận tốc đơn vị trong không gian E³ với pháp tuyến chính kiểu không gian hoặc kiểu thời gian N, trong đó s là tham số hóa độ dài cung Theo định nghĩa, ta có những đặc điểm quan trọng về đường cong này.

Lấy đạo hàm phương trình trên đối với s và dùng công thức Frenet tương ứng (3.1) ta tìm được:

Từ phương trình đầu và thứ hai trong (3) ta có:

1 2 1 ( ) e e ( 1 ) s N B k k k     (5) Hơn nữa, từ phương trình thứ ba trong (3) và dùng (4) ta tìm được phương trình vi phân sau: ' ' 2

1 1 ( ) , ( ) y s p s k k   , khi đó phương trình (6) được viết lại là:  ( ) ( ) '  ' ( ) 0 ( ) p s y s y s  p s  Đổi biến cho phương trình trên với 1 t ( ) ds   p s , ta có: 2

2 0 d y y dt   Nghiệm của phương trình vi phân là:

Do đó chúng ta chứng minh được mệnh đề (i) Tiếp theo thế (7) vào (4) và (5) ta được:        

1 2 2 2 cosh ( ) sinh ( ) sinh ( ) cosh ( ) e c k s ds c k s ds e c k s ds c k s ds                    và:        

1 2 2 2 cosh ( ) sinh ( ) sinh ( ) cosh ( ) e c k s ds c k s ds e c k s ds c k s ds               (8)

Do đó, từ (8) ta dễ dàng tìm được:

     (11) trong đó a 1   c a 1 , 2   c 2 Do đó ta chứng minh được (ii)

Tiếp theo, giả sử  là một đường cong pháp với vectơ vị trí kiểu ánh sáng Khi đó chúng ta có   ,  0, thế vào phương trình (9) ta thu được

  Đạo hàm phương trình trên đối với biến s và dùng công thức Frenet tương ứng ở phương trình (3 1) chúng ta tìm được m '  0, do đó m  c ons t Khi đó :

     , điều này có nghĩa  nằm trong C m ( ) Vậy ta chứng minh được mệnh đề (iii)

Ngược lại, giả sử đã có mệnh đề (i) Khi đó ta có:

( ) c k s ds c k s ds k s    Đạo hàm phương trình trên theo s chúng ta có:

Sử dụng công thức Frenet (3 1) chúng ta thu được:

Vậy  sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp

Giả sử đã có mệnh đề (ii), phương trình (9) và (10) được thỏa mãn Khi đạo hàm phương trình (9) theo s và sử dụng phương trình (10), chúng ta xác định được , với T  0, chứng tỏ rằng  là một đường cong pháp Tiếp theo, giả sử đã có mệnh đề (iii), khi đó  nằm trong nón ánh sáng với đỉnh cố định m, m  c onst và độ cong k s 1 ( ), k s 2 ( ) thỏa mãn phương trình (12).

     Đạo hàm phương trình trên theo biến s và dùng công thức Frenet (3 1) chúng ta thu được: