Nhóm giải được
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn, đồng thời nhấn mạnh tác động của một nhóm lên một tập Dựa vào định lý Sylow, chương cũng khám phá một số ứng dụng thực tiễn của nó Bên cạnh đó, khái niệm về nhóm giải được và nhóm giải được hữu hạn được nhắc lại, kèm theo ví dụ minh họa và chứng minh một số tính chất quan trọng Nội dung cụ thể được phân chia thành các mục: Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn, Tác động của một nhóm trên một tập, Nhóm giải được, và Nhóm giải được tổng quát.
Tính địa phương của nhóm giải được
Chương này tập trung vào việc nhắc lại khái niệm nhóm hữu hạn địa phương và phân tích một số tính chất quan trọng của nó Tác giả cũng nghiên cứu các tính chất địa phương của nhóm giải được, được trình bày chi tiết qua hai mục chính: nhóm hữu hạn địa phương và tính địa phương của nhóm giải được.
Khóa luận này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của Ths Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì những hỗ trợ quý báu và những góp ý thiết thực trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể lớp 48B – Toán đã hỗ trợ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa luận này.
Với thời gian và năng lực có hạn, khóa luận này còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo từ các thầy cô giáo cũng như các bạn để hoàn thiện hơn nội dung của khóa luận.
CHƯƠNG 1 NHÓM GIẢI ĐƯỢC §1 NHÓM HỮU HẠN VÀ NHÓM CON VỚI CHỈ SỐ HỮU HẠN
1.1 Khái niệm về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn
1.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm hoặc một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu có hữu hạn phần tử
Khi đó, số các phần tử trong G được gọi là cấp của G Giả sử G có n phần tử, khi đó cấp của G được kí hiệu là: G = n hoặc là ord (G) = n.
1.1.2 Mệnh đề Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi phép toán trong X có luật giản ước.
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với mọi x,y.z
X ta có: xy = xz x 1 (xy) = x 1 (xz) (x 1 x)y = (x 1 x)z
Ta suy ra phép toán trong X có luật giản ước trái.
Tương tự, phép toán trong X có luật giản ước phải.
Khi X là một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, và phép toán trong X có luật giản ước, thì điều kiện đủ để chứng minh rằng X là một nhóm.
Giả sử X = {a1,…,a n }; a,b là các phần tử bất kỳ của X.
Ta có: aa1,…,aa n là n phần tử khác nhau của X ( do trong X có luật giản ước).
Do đó aX = {aa1,…,aa n } là tập con của X và có cùng số phần tử với X.
Vì aX, X hữu hạn nên aX = X.
Vì b X nên b aX Do đó, tồn tại a k X (1 k n) sao cho aa k = b. Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a k trong X.
Tương tự, phương trình ya = b có nghiệm trong X Theo định nghĩa của nhóm ta suy ra X là một nhóm
1.1.3 Hệ quả Một nửa nhóm con khác rỗng H của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con của G.
Chứng minh Vì G là một nhóm hữu hạn phần tử nên theo Mệnh đề 1.1.2 G có luật giản ước Khi đó với a,b,c H và ac = bc thì a,b,c G và ac = bc ( Vì H G) a = b
Tương tự, a,b,c H và ca = cb a = b Do đó H có luật giản ước.
Vì H là tập con của G và G có hữu hạn phần tử, nên H cũng sẽ có hữu hạn phần tử Theo mệnh đề 1.1.2, nửa nhóm con khác rỗng H là một nhóm, do đó H được xác định là nhóm con của G.
Giả sử G là một nhóm hữu hạn với cấp n và H là một nhóm con cấp m của G Tập thương Q được định nghĩa là G/H = {xH : x ∈ G}, đại diện cho các lớp ghép trái của G theo H Tập Q là hữu hạn và số lượng phần tử k của Q được gọi là chỉ số của nhóm con H trong G, ký hiệu là G : H.
1.1.5 Định lý Lagrange: Giả sử T là nhóm con của S trong đó S là nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đó: G : T G : S S : T
Chứng minh Giả sử {x1,…,x n } (tương ứng { y1,…,y n }) là tập các đại diện của các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S).
Khi đó, m = G : S , n = S : T và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc:
Theo luật giản ước ta có: x i S x i y 1 T x i y n T m i n j j i y T x
Vậy x i y j , i 1 , m , j 1 , n là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G.
1.1.6 Hệ quả Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước của cấp của G.
Nếu a = {e} thì a = 1 nên a là ước của G
Nếu a {e} thì cấp của a là cấp của nhóm xyclic (hữu hạn) a sinh bởi a.
Vì a là ước của G nên a là ước của G
1.1.7 Định lý Keli: Mọi nhóm con hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng S n
Chứng minh Giả sử G = {x1,…x n } là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm các song ánh từ G lên G.
Với mỗi a G, ta có ánh xạ a : G G là một song ánh x ax
Thật vậy, x1,x2 G ta có: a (x1) = a (x2) ax1 = ax2 x1 = x2 (vì
G là một nhóm nên có luật giản ước) Vậy a đơn ánh.
Với g G, x = a 1 g G sao cho: a (x) = ax = a(a 1 g) = (aa 1 )g = eg = g
Khi đó ánh xạ : G P(X) là một đồng cấu a a
Thật vậy, ta có: ( a b )(x) = a ( b (x)) = a (bx) = a(bx) = ab(x) = ab (x), a.b G,x G a b = ab
a = b a (e) = b (e) (e là đơn vị của nhóm G).
đơn ánh Vậy là đơn cấu
G (G), trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n
1.1.8 Khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn.
Giả sử G là một nhóm và H là một nhóm con có chỉ số hữu hạn trong G, với G không nhất thiết phải là nhóm hữu hạn Khi đó, chỉ số của H trong G được ký hiệu là G : H = m, và x₁, x₂, , xₘ là các đại diện cho các lớp ghép phải của G theo nhóm con H.
Khi đó ta có ánh xạ : G G H g ĝ Thật vậy, với g 1 , g 2 G ta có: g 1 g 2
1.1.9 Định lý Poincare: Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m đều chứa một ước chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!.
Chứng minh Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và
Khi đó N chuẩn tắc trong G và được chửa trong H nên G : N G : H H : N
Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn nên G/N đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử Khi đó: T m !
Theo định lý Lagrange, G / N là ước của m! hay G : N là ước của m!
1.1.10 Mệnh đề Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G.
Chứng minh Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh:
A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G.
Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: A A B G B cho bởi f(x(A B)) = xB. Với x,y A, ta có: f(x(A B)) = f(y(A B)) xB = yB x 1 y B mà x
Từ (1), (2) suy ra G : A B G : A G : B §2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP
Giả sử S là một tập và G là một nhóm Khi đó ánh xạ: G S S
( x ,s) x s được gọi là tác động của G trên S (bên trái) nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: i) ( xy) s = x ( ys ) ii) es s với x , y G , s S , e là đơn vị của G.
Trong trường hợp đó ta nói rằng G tác động trên tập S(bên trái) hay S là một
Ta xét G – tập S, x G cảm sinh ánh xạ: Tx : S S từ S vào chính nó cho bởi công thức: T x ( s ) xs , s S
Ngoài ra, theo định nghĩa với s S ta có:
( x y xy x y xy s xys xs ys T s T s T T T
Vì G là một nhóm nên ánh xạ T x có ánh xạ ngược là ( T x ) 1 T x 1
Do đó, mỗi T x là một phép thế trên tập S.
Xét ánh xạ : x T x , ta có:
( xy ) ( x ) ( y ) Vậy là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của
S và ta nói rằng G biểu diễn được dưới dạng nhóm các phép thế (hoặc nói rằng đã cho một sự biểu diễn từ nhóm G vào nhóm các phép thế).
Chú ý rằng nếu S là một tập hợp (không nhất thiết phải hữu hạn), thì tập hợp các song ánh từ S đến chính nó với phép nhân ánh xạ sẽ tạo thành một song ánh Tập hợp này được gọi là nhóm các phép thế của S.
Phép liên hợp là một tác động của nhóm G lên chính nó, được xác định bởi ánh xạ x : G G với công thức x ( y ) xyx 1 cho mỗi x thuộc G.
Thử trực tiếp các điều kiện của tác động: i) ta có:
Từ (1) và (2) ta suy ra: ( x 1 , x 2 ) y x 1 ( x 2 y ) ii) ey = e ( y ) = ey e 1 = y , y G
Trong thực tế, mỗi x là một tự đẳng cấu của G, nghĩa là x , y , z G ta có:
và x có nghịch đảo là ( x ) 1 = x 1
Vì vậy, ánh xạ : x x là một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của nó.
Hạt nhân đồng cấu là:
Vậy hạt nhân đồng cấu trùng với tâm của G. Để tránh nhầm lẫn, ta không dùng cách viết xy cho x ( y ) Đôi khi ta viết x x y x yx y
1 tức là dùng kí hiệu mũ, như thế các quy tắc sau được thỏa mãn:
Chú ý rằng nhờ phép liên hợp, G cũng tác động trên họ các tập con của nó.
Thật vậy, giả sử S là tập hợp tất cả các tập con của G và A Khi đó, xax 1 S và có thể kí hiệu: x ( A ).
Thử trực tiếp thấy: ( x , A ) xax 1 là tác động của G trên S.
Ngoài ra, ta chú ý rằng nếu A là nhóm con của G thì xAx 1 cũng là nhóm con của G.
Như vậy, nhờ phép liên hợp G cũng tác động trên họ tất cả các nhóm con.
Giả sử A, B là hai tập con của G Khi đó A, B được gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tử x G sao cho B xAx 1
Ví dụ 2 (phép chuyển dịch) Đối với mỗi x G, ta xác định phép chuyển dịch
Khi đó, ánh xạ (x,y) xy = T x (y) xác định một tác động của nhóm G trên chính nó.
Chú ý rằng T x không phải là đồng cấu nhóm mà chỉ là phép thế của G Đồng thời, G tác động lên tất cả các tập con của nó thông qua phép chuyển dịch, vì xA=T x (A) là tập con của G cùng với A.
Nếu H là một nhóm con của G, thì T x (H) có thể không phải là nhóm con của G, nhưng nó vẫn là một lớp ghép trái của G theo H Do đó, G tác động lên tập hợp các lớp ghép trái của G theo H thông qua các phép chuyển dịch.
Kí hiệu tập các ghép trái của nhóm G theo nhóm H là G/H, và G/H sẽ là một G-tập ngay cả khi H không phải là ước chuẩn Tập các ghép bên phải được ký hiệu là H/G.
Hai cách biểu diễn của nhóm G dưới dạng các phép thế thường được áp dụng trong nhiều trường hợp Đặc biệt, biểu diễn bằng phép liên hợp sẽ được sử dụng để chứng minh định lý Sylow.
2.1.3 Nhóm đẳng hướng Giả sử nhóm G tác động trên một tập S nào đó và s
S Tập các phần tử x G thỏa mãn điều kiện xs = s là một nhóm con của G, nó được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G Kí hiệu là G s
Khi G tác động trên chính nó nhờ phép liên hợp, nhóm đẳng của một phần tử chẳng qua là cái chuẩn tắc hóa của phần tử đó.
Khi nhóm G tác động thông qua phép liên hợp lên một nhóm con, nhóm đẳng hướng của nhóm con đó chính là chuẩn tắc hóa của nhóm con đã cho.
Giả sử G tác động trên tập S, s,s ' là các phần tử của S, y G sao cho ys=s ' Khi đó G s ' = yG S y 1