Nhóm giải được
Chương này nhấn mạnh các khái niệm về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn, đồng thời giới thiệu tác động của nhóm lên một tập hợp Thông qua định lý Sylow, bài viết nêu ra một số ứng dụng thực tiễn Ngoài ra, chương còn ôn lại khái niệm nhóm giải được và nhóm giải được hữu hạn, kèm theo ví dụ cụ thể và chứng minh một số tính chất liên quan Nội dung được phân chia thành các mục rõ ràng: § 1 Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn; § 2 Tác động của một nhóm trên một tập; § 3 Nhóm giải được; § 4 Nhóm giải được tổng quát.
Tính địa phương của nhóm giải được
Chương này tập trung vào khái niệm nhóm hữu hạn địa phương và phân tích một số tính chất liên quan Tác giả sẽ nghiên cứu các đặc điểm địa phương của nhóm giải được, được trình bày qua hai mục chính: mục đầu tiên là khái niệm nhóm hữu hạn địa phương, và mục thứ hai là tính địa phương của nhóm giải được.
Khóa luận này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của Ths Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì những hỗ trợ quý báu và những góp ý thiết thực trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể lớp 48B – Toán đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa luận này.
Với thời gian và năng lực có hạn, tác giả nhận thức rằng khóa luận còn nhiều thiếu sót và rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo từ các thầy cô giáo cũng như bạn bè để có thể hoàn thiện hơn.
CHƯƠNG 1 NHÓM GIẢI ĐƢỢC §1 NHÓM HỮU HẠN VÀ NHÓM CON VỚI CHỈ SỐ HỮU HẠN
1.1 Khái niệm về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn
1.1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm hoặc một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu có hữu hạn phần tử
Khi đó, số các phần tử trong G được gọi là cấp của G Giả sử G có n phần tử, khi đó cấp của G được kí hiệu là: G = n hoặc là ord (G) = n
1.1.2 Mệnh đề Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi phép toán trong X có luật giản ước
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với mọi x,y.z X ta có: xy = xz x 1 (xy) = x 1 (xz) (x 1 x)y = (x 1 x)z
Ta suy ra phép toán trong X có luật giản ước trái
Tương tự, phép toán trong X có luật giản ước phải
Khi X là một nhóm, phép toán trong X phải tuân theo luật giản ước Để chứng minh rằng X là một nhóm, cần có điều kiện đủ: giả sử X là nửa nhóm khác rỗng và hữu hạn, và phép toán trong X có luật giản ước.
Giả sử X = {a 1 ,…,a n }; a,b là các phần tử bất kỳ của X
Ta có: aa 1 ,…,aa n là n phần tử khác nhau của X ( do trong X có luật giản ước)
Do đó aX = {aa 1 ,…,aa n } là tập con của X và có cùng số phần tử với
Vì aX, X hữu hạn nên aX = X
Vì b X nên b aX Do đó, tồn tại a k X (1 k n) sao cho aa k = b
Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a k trong X
Tương tự, phương trình ya = b có nghiệm trong X Theo định nghĩa của nhóm ta suy ra X là một nhóm
1.1.3 Hệ quả Một nửa nhóm con khác rỗng H của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con của G
Chứng minh Vì G là một nhóm hữu hạn phần tử nên theo Mệnh đề 1.1.2
G có luật giản ước Khi đó với a,b,c H và ac = bc thì a,b,c G và ac bc ( Vì H G) a = b
Tương tự, a,b,c H và ca = cb a = b Do đó H có luật giản ước
Vì H là tập con của G và G có hữu hạn phần tử, nên H cũng phải có hữu hạn phần tử Theo mệnh đề 1.1.2, nếu H là nửa nhóm con khác rỗng, thì H là một nhóm, từ đó khẳng định rằng H là nhóm con của G.
Giả sử G là một nhóm hữu hạn với cấp n và H là một nhóm con cấp m của G Tập thương Q được định nghĩa là G/H = {xH : x ∈ G}, đại diện cho các lớp ghép trái của G theo H, và Q là một tập hữu hạn Số lượng phần tử k trong Q được gọi là chỉ số của nhóm con H trong G, ký hiệu là G : H.
1.1.5 Định lý Lagrange: Giả sử T là nhóm con của S trong đó S là nhóm con của nhóm hữu hạn G Khi đó: G : T G : S S : T
Chứng minh Giả sử {x 1 ,…,x n } (tương ứng { y 1 ,…,y n }) là tập các đại diện của các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S)
Khi đó, m = G : S ,n = S : T và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc:
Theo luật giản ước ta có: x i S x i y 1 T x i y n T m i n j j i y T x
Vậy x i y j , i 1 , m , j 1 , n là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G
1.1.6 Hệ quả Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước của cấp của G
Nếu a = {e} thì a = 1 nên a là ước của G
Nếu a {e} thì cấp của a là cấp của nhóm xyclic (hữu hạn) a sinh bởi a
Vì a là ước của G nên a là ước của G
1.1.7 Định lý Keli: Mọi nhóm con hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng S n
Chứng minh Giả sử G = {x 1 ,…x n } là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm các song ánh từ G lên G
Với mỗi a G, ta có ánh xạ a : G G là một song ánh x ax
Thật vậy, x1,x2 G ta có: a (x1) = a (x2) ax1 = ax2 x1
= x 2 (vì G là một nhóm nên có luật giản ước) Vậy a đơn ánh
Với g G, x = a 1 g G sao cho: a (x) = ax = a(a 1 g) = (aa 1 )g
Khi đó ánh xạ : G P(X) là một đồng cấu a a
Thật vậy, ta có: ( a b )(x) = a ( b (x)) = a (bx) = a(bx) = ab(x) ab (x), a.bG,xG a b = ab
a = b a (e) = b (e) (e là đơn vị của nhóm G)
đơn ánh Vậy là đơn cấu
G (G), trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n
1.1.8 Khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn
Giả sử G là một nhóm và H là một nhóm con hữu hạn trong G, với G không nhất thiết phải là nhóm hữu hạn Khi đó, tỷ lệ G : H bằng m, và các phần tử x1, , xm là đại diện cho các lớp ghép phải của G theo nhóm con H.
Khi đó ta có ánh xạ :
G g ĝ Thật vậy, với g 1 , g 2 G ta có: g 1 g 2
1.1.9 Định lý Poincare: Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m đều chứa một ước chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!
Chứng minh Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và
Khi đó N chuẩn tắc trong G và được chửa trong H nên
Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn nên G/N đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử Khi đó: T m !
Theo định lý Lagrange, G / N là ước của m! hay G : N là ước của m!
1.1.10 Mệnh đề Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G
Chứng minh Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh:
A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G
(1) Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: A A B G B cho bởi f(x(AB)) xB
Với x,y A, ta có: f(x(AB)) = f(y(AB)) xB = yB x 1 y
Từ (1), (2) suy ra G : A B G : A G : B §2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP
Giả sử S là một tập và G là một nhóm Khi đó ánh xạ: GS S
( x ,s) x s được gọi là tác động của G trên S (bên trái) nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: i) ( xy) s = x ( ys ) ii) es s với x , y G , s S , e là đơn vị của G
Trong trường hợp đó ta nói rằng G tác động trên tập S(bên trái) hay
Ta xét G – tập S, x G cảm sinh ánh xạ: Tx : S S từ S vào chính nó cho bởi công thức: T x ( s ) xs , s S
Ngoài ra, theo định nghĩa với s S ta có:
( x y xy x y xy s xys xs ys T s T s T T T
Vì G là một nhóm nên ánh xạ T x có ánh xạ ngược là ( ) 1
Do đó, mỗi T x là một phép thế trên tập S
Xét ánh xạ : x T x ,ta có:
. ( xy ) ( x ) ( y ).Vậy là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của S và ta nói rằng G biểu diễn được dưới dạng nhóm các phép thế
(hoặc nói rằng đã cho một sự biểu diễn từ nhóm G vào nhóm các phép thế)
Nếu S là một tập (có thể vô hạn), thì tập hợp các song ánh từ S đến chính nó với phép nhân ánh xạ sẽ tạo thành một song ánh Tập hợp này được gọi là nhóm các phép thế của S.
Phép liên hợp là một tác động của nhóm G lên chính nó, được xác định bởi ánh xạ \(\sigma_x: G \rightarrow G\) với công thức \(\sigma_x(y) = xyx^{-1}\) cho mỗi \(x \in G\).
Thử trực tiếp các điều kiện của tác động: i) x 1 , x 2 , y G ta có:
Từ (1) và (2) ta suy ra: ( x 1 , x 2 ) y x 1 ( x 2 y ) ii) ey = e ( y ) = ey e 1 = y , yG
Trong thực tế, mỗi x là một tự đẳng cấu của G, nghĩa là x , y , z G ta có:
và x có nghịch đảo là
Vì vậy, ánh xạ : x x là một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của nó
Hạt nhân đồng cấu là:
Vậy hạt nhân đồng cấu trùng với tâm của G Để tránh nhầm lẫn, ta không dùng cách viết xy cho x ( y ) Đôi khi ta viết x y x yx y x
tức là dùng kí hiệu mũ, như thế các quy tắc sau được thỏa mãn: y xz ( y x ) z , y e y , x , y , z G
Nhờ vào phép liên hợp, nhóm G có khả năng tác động lên tất cả các tập con của nó Cụ thể, nếu S là tập hợp tất cả các tập con của G và A, thì xax⁻¹ thuộc S và có thể được ký hiệu là σₓ(A).
Thử trực tiếp thấy: ( x , A ) xax 1 là tác động của G trên S
Ngoài ra, ta chú ý rằng nếu A là nhóm con của G thì xAx 1 cũng là nhóm con của G
Như vậy, nhờ phép liên hợp G cũng tác động trên họ tất cả các nhóm con
Giả sử A, B là hai tập con của G Khi đó A, B được gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tử x G sao cho B xAx 1
Ví dụ 2 (phép chuyển dịch) Đối với mỗi x G, ta xác định phép chuyển dịch
Khi đó, ánh xạ (x,y) xy = T x (y) xác định một tác động của nhóm
Chú ý : T x không phải là một đồng cấu nhóm mà chỉ là một phép thế của G
Tương tự, G tác động trên tập tất cả các tập con của nó nhờ phép chuyển dịch (vì xA=T x (A) là tập con của G cùng với A )
Nếu H là một nhóm con của G, thì T x (H) có thể không phải là nhóm con của G, nhưng nó được xem là một lớp ghép trái của G theo H Do đó, G tác động lên tập hợp các lớp ghép trái của G theo H thông qua các phép chuyển dịch.
Kí hiệu tập các ghép trái của G theo H là G/H Khi đó, G/H là một
G- tập ngay cả khi H không phải là ước chuẩn Tập các ghép bên phải được kí hiệu là H/G
Hai cách biểu diễn của nhóm G dưới dạng nhóm các phép thế thường được sử dụng trong lý thuyết nhóm Đặc biệt, biểu diễn bằng phép liên hợp sẽ được áp dụng để chứng minh định lý Sylow.
Nhóm đẳng hướng là một nhóm con của nhóm G, được xác định bởi các phần tử x thuộc G thỏa mãn điều kiện xs = s, với s là một phần tử trong tập S mà nhóm G tác động lên.
Khi G tác động trên chính nó nhờ phép liên hợp, nhóm đẳng của một phần tử chẳng qua là cái chuẩn tắc hóa của phần tử đó
Khi nhóm G tác động qua phép liên hợp lên một nhóm con, nhóm đẳng hướng của nhóm con đó sẽ trở thành chuẩn tắc hóa của nhóm con đã cho.
Giả sử G tác động trên tập S, s,s ' là các phần tử của S, yG sao cho ys=s '