TỔNG QUAN
Đặt vấn đề
Để dự đoán ứng xử của vật liệu composite, nhiều kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đã được áp dụng Tuy nhiên, hầu hết các phương pháp hiện có không hiệu quả trong trường hợp có biến dạng lớn và tải trọng phức tạp, cũng như không thể xử lý khi hình dáng kết cấu thay đổi Khi đặc trưng không đồng nhất của vật liệu quá nhỏ so với tỉ lệ của bài toán, khối lượng tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn trở nên quá lớn Để khắc phục điều này, kỹ thuật đồng nhất Multi-Scale đã được phát triển, giúp giảm khối lượng tính toán mà vẫn giữ được các đặc tính không đồng nhất của vật liệu Ma trận độ cứng tại các điểm vật liệu được tính toán thông qua các phần tử thể tích đại diện (RVEs), được rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng điều kiện biên tuần hoàn lên các RVEs Phương pháp này giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp: một ở cấp độ vi mô và một ở cấp độ vĩ mô, với các ten sơ biến dạng vĩ mô được tính toán tại mỗi điểm vĩ mô để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại diện RVE Sau khi giải quyết bài toán giá trị biên ở cấp độ vi mô, các ten sơ ứng suất ở cấp độ vĩ mô được tính bằng cách lấy trung bình kết quả trường ứng suất vi mô trên toàn bộ thể tích của phần tử đại diện RVE.
Trong luận văn này, chúng tôi thay thế phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) để tính toán ở cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô trong bài toán multi-scale với vật liệu đàn hồi có biến dạng nhỏ Phương pháp ES-FEM sử dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì biến dạng tương thích, giúp ma trận độ cứng được mềm hóa Nhờ đó, phương pháp này mang lại kết quả chính xác hơn so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống.
Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Hầu hết các nghiên cứu về tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp Multi-scale hiện nay sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thông thường Danh sách các bài báo và sách tham khảo từ nước ngoài liên quan đến chủ đề này cũng được đề cập.
[1] Miehe, C and Koch, A (2002) Computational micro-to-macro transition of discretized microstructures undergoing small strain.Arch Appl Mech., 72:300–
[2] Nemat-Nasser, S and Hori, M (1993).Micromechanics: overall properties of heteroge-neous materials Elsevier, Amsterdam
[3] V.-D Nguyen, E B ´ echet, C Geuzaine, L Noels (2011) Imposing periodic boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation
[4] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2000a) Micro- macro modeling of heterogeneous materials In Proceedings of the European
Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS,on CD–ROM, CIMNE, Barcelona, Spain
[5] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2001a) An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials.Comput Mech., 27:37–48
[6] Kouznetsova, V (2002) Computational homogenization for the multi-scale analysis of multi-phase materials PhD thesis Technische Universiteit
[7] H W Zhangã J K Wuã J Lv (2011) A new multiscale computational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials Computational Mechanics, 49:149-169
1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Nghiên cứu trong nước về đề tài này vẫn chưa được thực hiện nhiều
The article discusses the work of Canh V Le, Harm Askes, and Inna M Gitman on computational homogenization methods for determining the effective properties of heterogeneous materials This research was presented at the 1st International Conference on Computational Science and Engineering held in Ho-Chi-Minh City, Vietnam, from December 19 to 21, 2011.
[9] Vinh Phu Nguyen, Oriol Lloberas-Valls, Martijn Stroeven and Lambertus
Johannes Sluys (2011) Computational homogenization for multiscale crack modeling.Implementational and computational aspects, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 89:192–226
[10] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung
(2012) Isogeometric-based Heterogeneous Multiscale Method International Conference on Advances in Computational Mechanics
[11] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung
(2012) An efficient high order NURBS-based heterogeneous multiscale method 9th National Congress in Mechanics.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Mục tiêu nghiên cứu là phát triển phương pháp tính toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi thông qua kỹ thuật đa quy mô kết hợp với phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) Nghiên cứu sẽ được thực hiện qua nhiều giai đoạn khác nhau.
Rời rạc hóa miền vật liệu trong bài toán vĩ mô được thực hiện thông qua phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) Quá trình này bao gồm việc xác định các điểm Gauss và gán mỗi điểm Gauss với một phần tử RVE tương ứng.
Phương pháp tính toán đồng nhất hóa bậc nhất (first order) của Multi-scale được áp dụng để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô, đồng thời kết hợp chuyển đổi giữa tỉ lệ vi mô và vĩ mô.
Lập trình tính toán số cho các bài bài toán phẳng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab
Phân tích đánh giá tính hiệu quả của phương pháp thông qua việc so sánh kết quả thu đƣợc với kết quả số khác.
TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002))
Giả thiết cơ bản
Trong tính toán đồng nhất hóa, vật liệu được coi là đồng nhất và liên tục ở cấp độ vĩ mô, nhưng lại có tính chất rời rạc ở cấp độ vi mô Hình 1 minh họa rằng tỉ lệ chiều dài vi mô (l micro) lớn hơn nhiều lần so với kích thước của các phân tử (l discrete), trong khi tỉ lệ chiều dài vi mô được giả định là nhỏ hơn nhiều lần chiều dài của phần tử vĩ mô (l macro).
Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dưới cấu trúc vi mô rời rạc
2.1.1 Tính tuần hoàn cục bộ
Hầu hết các phương pháp tiếp cận đồng nhất đều dựa trên giả định về tính chu kỳ tổng thể của các cấu trúc vi mô, trong đó toàn bộ miền vật liệu vĩ mô chứa các phần tử đơn vị không gian lặp lại Tuy nhiên, một giả định sát thực tế hơn là tính tuần hoàn cục bộ, cho phép các cấu trúc vi mô có hình thái khác nhau tại các điểm vĩ mô khác nhau, trong khi vẫn tự lặp lại trong vùng kế cận nhỏ Khái niệm này được minh hoạ qua hình 2, cho thấy cách mà giả định về tính tuần hoàn tổng thể và cục bộ được áp dụng trong tính toán đồng nhất hoá, giúp mô hình hoá tác động của sự phân bổ không đồng đều của các cấu trúc vi mô lên ứng xử của cấu trúc vĩ mô, như chức năng cường độ của các loại vật liệu.
(a) tuần hoàn cục bộ (b) Tính tuần hoàn tổng thể
Hình 2: Tính tuần hoàn cục bộ (a) và tính tuần hoàn tổng thể (b)
2.1.2 Nguyên lý tính toán đồng nhất hóa
Nguyên lý cơ bản của tính toán đồng nhất hoá bậc nhất đã được phát triển từ các khái niệm sử dụng trong nhiều phương pháp đồng nhất hoá khác nhau, và phù hợp với quy trình 4 bước đồng nhất hoá do Suquet (1985) đề xuất.
1 Định nghĩa một phần tử thể tích cấu trúc vi mô đại diện (RVE) , với các ứng xử cơ bản của các thành phần cấu tạo độc lập, được giả định là đã biết trước;
2 Thành lập các điều kiện biên cấp độ vĩ mô từ các biến đầu đầu vào cấp độ vĩ mô và áp đặt lên các RVE (phép chuyển đổi từ vĩ mô sang vi mô);
3 Tính toán các biến đầu ra của cấp độ vĩ mô từ việc phân tích biến dạng của cách phần tử cấu trúc vi mô RVE (chuyển đổi từ vi mô sang vĩ mô);
4 Có đƣợc mối liện hệ (về số) giữa các biến đầu vào và các biến đầu ra
2.1.3 Quy trình tính toán đồng nhất hóa
Trong phương pháp tính toán đồng nhất hoá bậc nhất, ten sơ biến dạng vĩ mô F M được tính tại mỗi điểm vật liệu trong cấu trúc vĩ mô, với chỉ số “M” đại diện cho đại lượng vĩ mô và “m” cho đại lượng vi mô Ten sơ biến dạng M tại điểm vĩ mô được sử dụng để xây dựng các điều kiện biên cho phần tử đại diện RVE Sau khi giải quyết bài toán biên cho RVE, ten sơ ứng suất M được xác định bằng cách lấy kết quả trung bình của trường ứng suất RVE trên toàn bộ thể tích của phần tử Mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng tại các điểm vĩ mô trở nên rõ ràng, và ma trận mô đun đàn hồi tuyến tính của vật liệu được suy ra từ độ cứng của cấu trúc vi mô Kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý ứng xử của cơ học môi trường liên tục, cho thấy phản ứng tại các điểm vật liệu vĩ mô chỉ phụ thuộc vào độ dốc ban đầu của trường chuyển vị.
Hình 3: Quy trình tính toán đồng nhất hóa bậc nhất
Trong khuôn khổ của phương pháp tính toán đồng nhất hóa vĩ mô này phương pháp này có thể được xếp loại là hướng pháp tiếp cận bậc nhất
2.1.4 Các quy trình điều khiển các đại lƣợng động học Multi-scale
Quy trình chuyển đổi vi mô và vĩ mô, được gọi là “điều khiển chuyển vị”, cho phép xác định ứng suất và các thành phần mô đun đàn hồi dựa trên phản ứng ở cấp độ vi mô Một phương pháp khác, “điều khiển ứng suất”, có thể thu được biến dạng từ ứng suất vĩ mô cục bộ, nhưng không hoàn toàn phù hợp với các chuẩn chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn Trong trường hợp biến dạng lớn, ảnh hưởng của góc xoay cấp độ vĩ mô làm cho việc xác định ten sơ biến dạng trở nên phức tạp Do đó, phương pháp “điều khiển ứng suất” chỉ được áp dụng cho phân tích các phần tử đơn giản và không phù hợp trong quá trình kết hợp tính toán giữa cấp độ vi mô và vĩ mô.
Xác định các biến của bài toán ở cấp độ vi mô
2.2.1 Phần tử thể tích đại diện
Các đặc trƣng hình học và vật liệu của các cấu trúc vi mô được xác định bởi phần tử thể tích đại diện (RVE) Hình 4 minh họa một phần tử RVE hai chiều Việc lựa chọn phần tử RVE thực tế là cần thiết, nó phải đủ lớn để đại diện cho cấu trúc vi mô mà không gây ra các đặc tính không tồn tại, như thuộc tính bất đẳng hướng không mong muốn Do đó, các bài toán ở cấp độ phần tử RVE có thể thiết lập các bài toán giá trị biên tương tự như trong cơ học vật rắn biến dạng.
Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài toán phẳng
2.2.2 Phương trình cân bằng và các đặc trưng cơ bản ở tỉ lệ vi mô
Các trường biến dạng của phần tử RVE tại một điểm với vector vị trí ban đầu X trong miền tham chiếu V0 và vector vị trí thực tế x trong miền V thực tại được mô tả bởi ten sơ biến dạng cấu trúc vi mô εm = (∇0,m x)c, trong đó toán tử gradient ∇0,m được lấy đối với các hình dạng tham chiếu của cấu trúc vi mô Ký hiệu “c” là chỉ số liên hiệp.
Phần tử RVE ở trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng ten sơ ứng suất Cauchy (bỏ qua lực khối): m m 0
Trong đó toán tử gradient 0m có mối liên hệ với hình dạng hiện tại ở tỉ lệ vi mô
Những đặc trƣng cơ học của các thành phần cấu trúc vi mô sẽ đƣợc mô tả bởi các định luật cơ bản
2.2.3 Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô
Chuyển đổi từ tỉ lệ vĩ mô sang vi mô là sự áp đặt các gradient ten sơ biến dạng vĩ mô
M hay ứng suất vĩ mô M lên cấu trúc RVE vi mô Để thực hiện quá trình này ta có các phương pháp như sau:
Bằng cách áp dụng các giả định Taylor hoặc Voigt, chúng ta có thể áp đặt các thành phần cấu trúc vi mô chịu biến dạng hằng số tương tự như ở cấp độ vĩ mô.
Bằng cách áp đặt toàn bộ ứng suất của các thành phần là không đổi (kể cả góc xoay), giả định này gọi là giả định Sachs (hay Reuss)
Các phương pháp trung gian cho thấy rằng các giả định của Sachs và Taylor chỉ áp dụng cho một số thành phần nhất định của ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất.
Các phương pháp hiện tại chưa đáp ứng đầy đủ các phương trình cân bằng tĩnh học và điều kiện tương thích, dẫn đến chỉ cung cấp những đánh giá sơ bộ về tính chất tổng thể của vật liệu, không phù hợp cho trạng thái làm việc phi tuyến Giả định Taylor thường đánh giá quá cao độ cứng tổng thể, trong khi giả định Sachs lại đánh giá quá thấp Tuy nhiên, các phương pháp trung bình theo Taylor và Sachs đôi khi được áp dụng để có những ước lượng ban đầu về độ cứng tổng thể của vật liệu liên hợp.
Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mô
Có nhiều phương pháp chính xác để tính toán giá trị biên của cấu trúc vi mô bằng cách chuyển đổi các biến số vĩ mô thành vi mô thông qua các điều kiện biên Ba kiểu điều kiện biên thường được áp dụng cho phần tử RVE bao gồm:
2.3.1 Điều kiện biên chuyển vị
Vector vị trí tại mỗi điểm trên biên phần tử RVE được xác định thông qua ten sơ biến dạng vĩ mô theo công thức x = εM X, với X là vị trí trên biên trước khi biến dạng.
2.3.2 Điều kiện biên chịu kéo Điều kiện biên này đƣợc xác định bởi tất cả các lực kéo ràng buộc trên biên RVE thông qua các ten sơ ứng suất vĩ mô theo công thức sau:
Trong đó: t là lực kéo trên biên m của phần tử RVE n là pháp vector trên biên của phần tử RVE
Trong điều kiện biên chịu kéo, không thể xác định hoàn toàn bài toán giá trị biên cấp độ vi mô như đã nêu trong mục 2.2.2 Thêm vào đó, các điều kiện này không phù hợp với phương pháp điều khiển chuyển vị, do đó chúng không được áp dụng trong phương pháp này Những điều kiện biên chịu kéo chỉ được trình bày ở đây với tính chất tổng quát.
2.3.3 Điều kiện biên tuần hoàn
Dựa trên giả định về tính tuần hoàn cục bộ của cấu trúc vi mô, điều kiện về tính tuần hoàn của RVE được trình bày dưới dạng tổng quát.
Công thức (2.4) mô tả tính biến dạng tuần hoàn, trong khi công thức (2.5) thể hiện lực kéo bất tuần hoàn tại các biên đối xứng của RVE Các phần trên biên và m và m cũng được đề cập trong nội dung này.
của phần tử RVE được định nghĩa là n n tại các điểm tương ứng trên biên m
Điều kiện về tính tuần hoàn (2.4) được duy trì trên các phần tử RVE dù chúng có bị biến dạng Nghiên cứu trước đây của Van der Sluis et al (2000) và Terada et al (2000) chỉ ra rằng điều kiện biên tuần hoàn mang lại kết quả tốt hơn so với điều kiện biên chuyển vị và lực kéo Do đó, luận văn này chỉ áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho các phép tính Đối với các RVE 2 chiều như mô tả trong hình 4, điều kiện (2.4) có thể được chuyển đổi thành các mối quan hệ ràng buộc phù hợp hơn cho việc tính toán thực tế.
Trong bài viết này, các ký hiệu véc tơ L, R, B và T đại diện cho các điểm trái, phải, dưới và trên của biên phần tử RVE tương ứng Đồng thời, các véc tơ vị trí x_i (với i = 1, 2, 4) được xác định tại các điểm góc 1, 2 và 4 trong trạng thái biến dạng.
Các điều kiện biên khác có thể được áp dụng cho phần tử RVE, với yêu cầu chính là phải tuân thủ định lý trung bình Định lý này sẽ được sử dụng để giải quyết bài toán kết hợp vi mô – vĩ mô và sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
Kết hợp tính toán ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô
Sự kết hợp giữa cấp độ vi mô và vĩ mô dựa trên lý thuyết trung bình, với công thức tích phân trung bình theo biến dạng nhỏ được Hill đề cập lần đầu.
(1963), và sau đó đƣợc mở rộng ra biến dạng lớn bởi Hill (1984) và Nemat- Nasser(1999)
Trong việc kết hợp vi mô và vĩ mô, các đại lượng động học là mối quan hệ quan trọng cần chú ý Ten sơ biến dạng vĩ mô (εM) được xác định bằng cách lấy trung bình từ thể tích của ten sơ biến dạng vi mô (εm).
Trong đó định lý phân Green’s Lemma sử dụng để chuyển đổi tích phân từ đạng thể tích V m sang tích phân mặt của RVE
Kiểm tra điều kiện biên (2.4) thực sự đáp ứng đƣợc (2.9) Thay thế (2.4) vào (2.9) và sử dụng định lý trung bình với m X I biên m chia thành các phần m và m
Tương tự cách lấy trung bình cho ten sơ biến dạng , ten sơ ứng suất được tính như sau :
Biểu diễn ứng suất vĩ mô \(\sigma_M\) có thể được thực hiện thông qua các đại lượng vi mô trên bề mặt RVE, sử dụng các mối liên hệ nhất định.
Thay (2.12) vào (2.11), áp dụng định lý trung bình với t n c m ta đƣợc:
Thay điều kiện (2.4) vào phương trình dẫn đến đẳng thức trên
Sau khi hoàn tất việc giải bài toán điều kiện biên cho cấu trúc vi mô RVE bằng kỹ thuật xấp xỉ như FEM, ta có thể tính toán ten sơ ứng suất M bằng cách thực hiện tích phân trên biên RVE theo công thức (2.13) Trong trường hợp áp dụng điều kiện biên chuyển vị, phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn.
- f i là nội lực tại các nút trên biên
- X i là véc tơ vị trí của nút ở trạng thái biến dạng
- N p là số nút trên biên
Dùng các điều kiện (2.7)-(2.9) cho phần tử 2D mô tả trong hình 2.4 ta nhận thấy tích phân (2.17) chỉ phụ thuộc vào nội lực tại 3 điểm góc
2.4.3 Công nội Định lý bảo toàn năng lƣợng trung bình, còn gọi là điệu kiện Hill – Mandel hay điều kiện đồng nhất vĩ mô (Hill (1963); Suquet(1985)), Yêu cầu sự biến thiên công đƣợc lấy trung bình trên ở cấp độ vi mô trên RVE phải bằng với sự thay đổi cục bộ của công ở cấp độ vĩ mô Thành lập công thức dạng kết hợp công của ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất ban đầu Piola-Kirchhoff theo điều kiện Hill-Mandel được viết dưới dạng: c c m M M
Vế trái của công thức (2.16) có thể chuyển đổi về dạng các đại lƣợng bề mặt RVE:
Trong đó các mối liên hệ (đƣợc đánh dấu cho sự cân bằng của cấu trúc vi mô)
Thay thế điều kiện biên tính tuần hoàn (2.4), (2.5) vào (2.17) ta đƣợc: c c c
Điều kiện biên tuần hoàn thỏa mãn điều kiện Hill-Mandel, cùng với hai điều kiện biên khác là điều kiện biên chuyển vị tuyến tính và điều kiện biên chịu kéo, cũng đều đáp ứng yêu cầu của điều kiện Hill-Mandel Sự chứng minh cho điều này được trình bày trong tài liệu của Kouznetsova.
2.4.5 Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu
Khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán từ vi mô lên vĩ mô, ma trận độ cứng tại mỗi điểm tích phân vĩ mô sẽ được xác định thông qua mối liên hệ giữa biến ứng suất và biến dạng Phương pháp đồng nhất hóa không hoàn toàn chính xác với các quy luật ứng xử ở cấp độ vĩ mô, do đó việc tính toán ưu tiên tập trung vào ma trận độ cứng Các phương pháp số khác nhau đã được Miehe (1996) trình bày để thực hiện điều này Một phương pháp quan trọng là thu gọn độ cứng của cấu trúc vi mô thành độ cứng của cấu trúc vĩ mô, nhằm giảm số phương trình hệ thống từ mối quan hệ lực tác dụng trên biên của RVE kết hợp với điều kiện biên chuyển vị Phương pháp này áp dụng nhân tử Lagrange để áp đặt điều kiện biên, được chứng minh bởi Miehe và Koch (2002), và đã được cải tiến bằng cách rút gọn số bậc tự do bị ràng buộc theo nghiên cứu của Kouznetsova và các cộng sự (2001a).
Trong điều kiện biên tuần hoàn, các RVE 2 chiều được mô tả trong Hình 4 áp dụng công thức (2.6) và (2.8) Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để chia lưới sao cho các nút trên các biên đối diện của RVE là bằng nhau Qua cách rời rạc này, các công thức (2.6) và (2.7) được viết lại thành: d di i u C u.
- u i : bậc tự do độc lập ( được giữ lại trong phương trình hệ thống);
- u d : bậc tự do phụ thuộc ( sẽ bị loại trừ khỏi phương trình hệ thống);
- C di : ma trận tính phụ thuộc
Việc loại trừ các bậc tự do phụ thuộc trong phương trình hệ thống có thể áp dụng các phương pháp khác của cơ học kết cấu như phương pháp hàm phạt và phương pháp nhân tử Lagrangian, theo nghiên cứu của Cook et al (1989) Phương pháp này cho phép phân chia phương trình tuyến tính của hệ thống tổng quát thành các thành phần riêng biệt, giúp đơn giản hóa quá trình phân tích.
Phương trình trên được thu gọn bằng cách loại trừ ra những bậc tự do phụ thuộc
Với K * K ii K C id di C K di T di C K C di T dd di ,
Phương trình (2.21) được điều chỉnh để phản ánh các biến tự do khác nhau, ký hiệu là δu p, tại các vị trí của ba nút góc theo công thức (2.8) Các biến ngoại lực tại những nút này được ký hiệu là δf p *, trong khi các biến chuyển vị được giữ nguyên.
Ma trận độ cứng suy giảm K M * trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn:
K u f với K M K * pp K * pf K * ff 1 K * fp (2.25)
Chú ý rằng K M * là một ma trận [6x6] (trong trường hợp bài toán phẳng)
Cuối cùng, từ mối liên hệ giữa lực và chuyển vị theo công thức (2.25), ta có thể chuyển đổi thành mối quan hệ giữa ten sơ ứng suất và ten sơ biến dạng.
Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu tại từng điểm tích phân vĩ mô được biểu diễn bởi 4 C P M Để xác định các thành phần của ma trận này từ độ cứng đã được rút gọn K * M, công thức (2.25) cần được điều chỉnh và viết lại dưới dạng ij.
Trong đó: i, j=1,2,4 : trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn
Thay thế phương trình u j X j c M vào phương trình (2.28) ta được:
Trong đó LC là ký hiệu lƣợng liên hiệp trái, nghĩa là một ten sơ bậc bốn 4 T đƣợc xác định theoT ijkl LC T jikl
Cuối cùng từ phương trình (2.26) cùng với (2.29) ta rút ra được ma trận mô đun đàn hồi của vật liệu nhƣ sau:
3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH (ES-FEM)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn ES-FEM, quá trình rời rạc hóa được thực hiện theo cách tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống Cụ thể, miền được chia thành N e phần tử, với điều kiện là e 1.
Miền bài toán được phân chia thành một hệ lưới phần tử với tổng số nút là Nn và tổng số cạnh là Neg Dựa trên lưới này, miền Ω sẽ được chia thành các miền trơn Ns = Neg không chồng lấn và cách khoảng, tương ứng với từng cạnh sao cho: eg 1.
Trong đó số miền trơn sẽ bằng chính số cạnh trong lưới phần tử Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn k
Cạnh k được hình thành bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xem xét và phần tử tam giác kề bên, như được minh họa trong hình 5.
VÍ DỤ TÍNH TOÁN
Ảnh hưởng của các thành phần cấu trúc vi mô rời rạc đến các đặc trưng đồng nhất của vật liệu
Khảo sát các mẫu RVE khác nhau với các pha vật liệu vi mô đƣợc phân bố khác nhau
4.1.1 Mẫu RVE với 2 pha vật liệu khác nhau
Khảo sát các mẫu RVE với 2 pha vật liệu đƣợc phân bố nhƣ trong hình 6 với các thông số vật liệu của 2 pha nhƣ sau:
Pha 1: Mô đun đàn hồi E1= 70GPa, hệ số poisson 1 = 0.2, mô đun cắt G 1 ).2 GPa
Pha 2: Mô đun đàn hồi E 2 = 700GPa, hệ số poisson 2 = 0.3, mô đun cắt G 2 &9 GPa
(a) vật liệu phân bố theo phương x
(b) vật liệu phân bố theo phương y (c) Vật liệu phân bố xen kẽ
Hình 6: Các mẫu RVE với các pha vật liệu phân bố khác nhau
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng dạng phân bố vật liệu được tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 1 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu với các kiểu phân bố khác nhau
Kiểu phân bố vật liệu
Mô đun đàn hồi tính toán E (KPa)
Mô đun cắt G tính toán (KPa)
Chênh lệch so với E 1 ban đầu [%]
Chênh lệch so với G 1 ban đầu [%]
Kết quả phân tích cho thấy mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu có sự khác biệt rõ rệt khi phân bố khác nhau Cụ thể, kiểu phân bố vật liệu theo phương x và y cho kết quả tương đương, trong khi kiểu phân bố xen kẽ đạt giá trị cao hơn, vượt trội hơn 77% so với mô đun đàn hồi của pha 1.
4.1.2 Mẫu RVE có chứa lỗ rỗng
Khảo sát các mẫu RVE có lỗ rỗng với kích thước lỗ rỗng thay đổi sử dụng vật liệu mang pha 1 có độ đàn hồi E1 = 70 GPa và hệ số Poisson 1 = 0.2 Mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm V biểu thị thể tích lỗ rỗng, trong đó V0 là thể tích của RVE không có lỗ rỗng, được minh họa trong Hình 7.
Hình 7: Các mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm với các kích thước lỗ rỗng khác nhau
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE đƣợc tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 2 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có lỗ rỗng tại tâm
Mô đun đàn hồi tính toán E [KPa]
Mô đun cắt G tính toán [KPa]
50% 1.22 x10 7 0.51 x10 7 -83 % -83% b) Mẫu RVE có 2 lỗ rỗng.Trong đó V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng , đƣợc minh họa nhƣ trong hình 8
Các mẫu RVE có hai lỗ rỗng bên trong với kích thước khác nhau, trong đó V là thể tích lỗ rỗng và V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng Kết quả cho thấy ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE được tính toán theo điều kiện biên tuần hoàn.
Bảng 3: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 2 lỗ rỗng
Mô đun đàn hồi tính toán E (KPa)
Mô đun cắt tính toán G (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
50% 2.11 x10 7 0.88 x10 7 -69 % -70% c) Mẫu RVE có 4 lỗ rỗng đƣợc minh họa nhƣ trong hình 9.Trong đó V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng
Các mẫu RVE 4 được thiết kế với bốn lỗ rỗng bên trong, mỗi lỗ có kích thước khác nhau Trong đó, V đại diện cho thể tích của các lỗ rỗng, trong khi V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng.
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE đƣợc tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 4: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 4 lỗ rỗng
Mô đun đàn hồi E tính toán (KPa)
Mô đun cắt G tính toán (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
Sự suy giảm mô đun cắt G được thể hiện qua hình 10, cho thấy mối quan hệ giữa kích thước lỗ rỗng và mô đun cắt của các mẫu RVE có 1, 2, và 4 lỗ rỗng Dựa vào số liệu từ bảng 2, 3, và 4, khi thể tích lỗ rỗng gia tăng, mô đun cắt giảm dần Cụ thể, khi thể tích lỗ rỗng chiếm 50%, mô đun đàn hồi giảm 83% so với giá trị ban đầu Trong trường hợp RVE có 2 lỗ rỗng, mức giảm là 69%, và với 4 lỗ rỗng, mô đun đàn hồi giảm 28% Kết quả khảo sát cho thấy, mẫu vật liệu có 1 lỗ rỗng tại tâm mang lại mức giảm thấp nhất.
4.1.3 Mẫu RVE có hai thành phần vật liệu
Khảo sát các mẫu RVE có hai thành phần vật liệu khác nhau đƣợc minh họa nhƣ trong hình 11:
Hình 11: các mẫu RVE với hai thành phần vật liệu, với thành phần vật liệu bên trong chiếm chỗ lần lƣợt là (a) 10% ; (b) 30% ; (c) 50%
Bảng 5: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có 2 vật liệu nhƣ Hình 11
Mô đun đàn hồi E (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
Chênh lệch với G 1 ban đầu
Trong nghiên cứu của A J Carneiro Molina et al (2005), điều kiện biến dạng phẳng được áp dụng cho mẫu RVE với hai pha vật liệu Pha 1 là vật liệu Epoxy với mô đun đàn hồi Young E = 3.13 GPa và hệ số Poisson ν = 0.34 Pha 2 là vật liệu sợi thủy tinh với mô đun đàn hồi Young E_s và hệ số Poisson ν = 0.2 Tỉ số giữa các thông số này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tính chất cơ học của vật liệu composite.
Mô đun cắt của RVE được xác định bằng phương pháp Multi-scale khi có sự hiện diện của hai loại vật liệu, và được so sánh với mô đun cắt của RVE chỉ chứa một thành phần vật liệu Epoxy Kết quả này cũng được đối chiếu với lời giải tích của Nemat-Nasser (1999).
Nemat-Nasser Periodic [A.J Carneriro Molina]
Hình 12 cho thấy sự so sánh tỉ số giữa G/G matrix giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và các phương pháp khác, trong đó G matrix đại diện cho mô đun cắt của RVE với chỉ một thành phần vật liệu là Epoxy Khi thể tích các thành phần vật liệu bên trong nhỏ hơn 20%, mô đun cắt của vật liệu không có sự khác biệt lớn giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và phương pháp Multi-scale Điều kiện biên tuần hoàn mang lại kết quả gần gũi hơn với nghiệm giải tích so với điều kiện biên chuyển vị tuyến tính Nghiệm giải của Nemat-Nasser chứng tỏ hiệu quả trong việc dự đoán các thành phần vật liệu tương đương cho các mẫu vật liệu có phần trăm thể tích của pha 2 nhỏ, như được chỉ ra bởi A J Carneiro Molina et al (2005).
Pha 1: Epoxy matrix có E=3.13GPa, =0.34
Pha 2: Sợi thủy tinh có EsGPa, =0.2
4 2 Bài toán dầm một đầu ngàm chịu uốn
Dầm chịu tải trọng tập trung ở đầu dầm PKN được minh họa trong Hình 13 với các thông số kích thước: chiều dài L=4m, đường kính D=1m, và bề rộng dầm B=0.1m Các thông số vật liệu của dầm cũng được cung cấp để phục vụ cho việc tính toán và phân tích.
Pha 1 : Mô đun đàn hồi E 1 = 70GPa, hệ số poisson =0.2
Pha 2: Mô đun đàn hồi E 2 = 700GPa, hệ số poisson =0.3
Khảo sát ảnh hưởng của các thành phần vật liệu vi mô rời rạc đến ứng xử của kết cấu là cần thiết, với việc áp dụng bài toán kết hợp ở hai cấp độ vi mô và vĩ mô Sử dụng phương pháp ES-FEM cho cả hai cấp độ này, nghiên cứu tìm ra phương pháp tối ưu nhất và so sánh với các phương pháp số khác nhằm đánh giá tác động của các thành phần cấu trúc vi mô lên ứng xử của kết cấu.
Hình 13: Mô hình dầm 1 đầu ngàm chịu tải tập trung ở đầu tự do
Trong bài viết này, chúng tôi áp dụng phương pháp multi-scale kết hợp với FEM và ES-FEM để phân tích ở hai tỉ lệ với ba trường hợp cụ thể: đầu tiên, sử dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở cấp độ vi mô (ESFEM-M); thứ hai, áp dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở cấp độ vi mô (ESFEM-m); cuối cùng, sử dụng ES-FEM cho cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô (ESFEM-M-m).
Cả ba bài toán trên đều áp dụng các phần tử RVE có lỗ rỗng tại tâm đƣợc minh họa nhƣ Hình 14b
Kết quả từ ba bài toán sẽ được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn ở cả cấp độ vi mô và vĩ mô (FE 2) của Canh V.Le et al (2011) Nghiệm chuyển vị giải tích cho bài toán này được tham khảo từ Timoshenko và Goordier như trình bày trong bài báo của G.R Liu et al (2008).
` (a) Lưới phần tử vĩ mô (b) Lưới phần tử RVE vi mô
Hình 14: chia lưới ở phần tử vĩ mô và vi mô 4.2.1 Áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cấp độ vĩ mô, và FEM đƣợc ứng dụng để giải bài toán ở cấp độ vi mô
Timochensko FEM-T3 ESFEM-M(10% hole) ESFEM-M(30% hole) ESFEM-M(50% hole)
Hình 15: So sánh chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ
10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
4.2.2 Áp dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cấp độ vi mô, và FEM đƣợc ứng dụng để giải bài toán ở cấp độ vĩ mô
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i t ai d uo ng t ru ng h oa
Timochensko FEM-T3 ESFEM-m(10% hole) ESFEM-m(30% hole) ESFEM-m(50% hole)
Hình 16: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-
50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
4.2.3 Áp dụng ES-FEM ở cả hai cấp độ vĩ mô vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cả hai cấp độ vĩ mô, và cấp độ vi mô
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i ta i d uo ng tr un g ho a
Timochensko FEM-T3 ESFEM-M-m(10% hole) ESFEM-M-m(30% hole) ESFEM-M-m(50% hole)
Hình 17: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-
50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i ta i d uo ng tr un g ho a
Timochensko FEM-T3 ESFEM-m(50% hole) ESFEM-M(50% hole) ESFEM-M-m(50% hole)
Hình 18: Chuyển vị tại trục trung hòa với các phương pháp khác nhau thể tích lỗ rỗng là 50%
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 a) Chia lưới phần tử ở cấp độ vĩ mô b) Hình dáng chuyển vị của dầm
Hình 19: chia lưới phần tử vĩ mô và hình dáng chuyển vị của dầm 1 đầu ngàm
Bảng 6: so sánh sự gia tăng thời gian và chuyển vị so với phương pháp FE 2
Phương pháp Chuyển vị tại điểm A Time[s]
Kết quả phân tích cho thấy khi sử dụng phương pháp ES-FEM ở cấp độ vi mô, chuyển vị tại đầu dầm tăng 3% và thời gian tính toán tăng gấp 8 lần so với giải pháp FE 2 của Canh et al (2011) Đối với việc áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô kết hợp với FEM ở vi mô, chuyển vị tại đầu dầm tăng 28% và thời gian tính toán tăng 1.6 lần so với giải pháp FE 2.
1.5 hai bài toán vi mô và vĩ mô cho kết quả chuyển vị tại đầu dầm tăng 32% và thời gian tính toán tăng 14.4 lần so với phương pháp FE 2 Theo kết quả trên ta thấy việc áp dụng ES-FEM ở bài toán vĩ mô và ở cả hai cấp độ vi mô và vĩ mô cho ra kết quả gần bằng nhau chênh lệch 4% nhƣng thời gian tính toán của ES-FEM ở vĩ mô cho nhanh hơn so với ES-FEM ở cả hai cấp độ 9 lần Trong khi đó nghiệm chuyển vị tính theo ES-FEM ở vi mô và FE 2 chênh lệch chỉ có 3% nhƣng thời gian tính toán theo ES-FEM ở vi mô cao hơn FE 2 8 lần Dựa vào những nhận xét trên ta thấy rằng việc ứng dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô sẽ cho kết quả tối ƣu hơn so với 2 cách áp dụng còn lại.
Bài toán tấm vô hạn có lỗ tròn
Trong bài toán này, chúng ta xem xét một tấm vô hạn có lỗ tròn bán kính a=1m, chịu tải trọng kéo theo phương x với cường độ q=1N/m Nhờ tính chất đối xứng, tấm được mô hình hóa ở góc trên bên phải Điều kiện biến dạng phẳng được áp dụng với chiều dày tấm t=1m Ba phần tử RVE sẽ được mô phỏng trong ví dụ này: phần tử RVE thứ nhất có hai pha vật liệu với pha 1 có E1=1x10^3 MPa và hệ số Poisson v1=0.3, pha 2 có E2=1x10^4 MPa và v2=0.3; phần tử RVE thứ hai chứa lỗ rỗng với chỉ một thành phần vật liệu là pha 1; phần tử RVE thứ ba là phần tử liền khối, được xem như vật liệu đồng nhất với pha 1.
Theo nhận xét tại mục (3.2), phương pháp ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở cấp độ vi mô cho kết quả tương đồng với nhau, đồng thời thời gian tính toán nhanh hơn Do đó, trong ví dụ này, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở cấp độ vi mô trong quá trình tính toán.
Trong bài này nghiệm giải tích của chuyển vị đƣợc tham khảo trong tài liệu của G.R Liu et al (2008):
(4.2) a/ Mụ hỡnh đầy đủ b/ Mụ hỡnh ẳ gúc trờn bờn phải
Hình 20: Tấm vô hạn có lỗ tròn chịu kéo ở vô cực theo phương x
(a) Chia lưới phần tử vĩ mụ ẳ tấm (b) Chuyển vị của ẳ tấm
Hỡnh 21: Chia lưới phần tử vĩ mụ và hỡnh dỏng chuyển vị của ẳ tấm q=1N/m q=1N/m
(a) Hai thành phần vật liệu (b) vật liệu có lỗ rỗng (c) Vật liệu đồng nhất
Hình 22: Ba phẩn tử thể tích đại diện với các cấu trúc khác nhau
Hình 23: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
Hình 24: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
RVE có lỗ rỗng tại tâm
Hình 25: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
RVE có hai thành phần vật liệu
Bảng 7: so sánh kết quả chuyển vị giữa FE 2 và ESFEM-M
FE 2 ESFEM-M Đồng nhất Phương x(x=1,y=0) 2.52 x10 -3 2.7 x10 -3 1%
Giai tich Vat lieu dong nhat the tich lo rong chiem 50% hai thanh phan vat lieu
Hình 26 trình bày sự chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái x(y=0) bằng phương pháp ESFEM-M với ba mẫu RVE khác nhau Kết quả được so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích để đánh giá tính chính xác và hiệu quả của phương pháp.
Vat lieu dong nhat the tich lo rong chiem 50% hai thanh phan vat lieu
Hình 27 thể hiện sự chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái y(x=0) khi áp dụng phương pháp ESFEM-M với ba mẫu RVE khác nhau Kết quả được so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích để đánh giá độ chính xác của phương pháp.
Bảng 8: so sánh chênh lệch chuyển vị khi sử dụng các phần tử RVE khác nhau so với nghiệm chuyển vị giải tích.
Chênh lệch với nghiệm giải tích theo phương x
Chênh lệch với nghiệm giải tích theo phương y
Có hai thành phần vật liệu 0.826 x10 -3 -0.22 x10 -3 -70% -76%
Kết quả phân tích từ bảng 7 và hình ảnh quan sát cho thấy, khi tính toán với mẫu RVE đồng nhất, chuyển vị dọc trục theo phương x và y gần giống với nghiệm giải tích Tuy nhiên, đối với mẫu RVE có lỗ rỗng, chuyển vị của tấm cao hơn nghiệm giải tích, cụ thể là cao hơn 40% theo phương x và 59% theo phương y Sự khác biệt này có thể được giải thích bởi việc lỗ rỗng làm giảm độ cứng của vật liệu so với vật liệu liền khối Ngược lại, trong mẫu RVE có hai pha vật liệu với đặc trưng của pha 2 cao hơn pha 1, độ cứng của vật liệu tăng lên, dẫn đến chuyển vị của tấm theo phương x thấp hơn nghiệm giải tích 70% và theo phương y thấp hơn 76%.