TỔNG QUAN
Tổng quan
Phân tích giới hạn là yếu tố then chốt trong thiết kế và đánh giá độ an toàn của kết cấu Bằng cách áp dụng định lý cận trên, chúng ta có thể xác định tải trọng giới hạn (phá hoại) của kết cấu một cách trực tiếp, mà không cần qua các giai đoạn phân tích trung gian như phương pháp từng bước Phương pháp phần tử hữu hạn nổi bật là một trong những phương pháp xấp xỉ số mạnh mẽ và phổ biến cho bài toán phân tích giới hạn của tấm dày, nhờ vào sự đơn giản trong việc thiết lập và giải các phương trình.
Kết quả thu được tốt nếu chia lưới mịn phần tử
Giải quyết hầu hết các bài toán như dao động và ổn định với nhiều hình dạng khác nhau, bao gồm tam giác và tứ giác Áp dụng đa dạng các lý thuyết giải khác nhau để đạt hiệu quả tối ưu.
Phương pháp phần tử hữu hạn có hạn chế trong việc chia lưới phần tử, và khi sử dụng phần tử bậc thấp, hiện tượng “shear locking” có thể xảy ra, dẫn đến kết quả phân tích không chính xác hoặc không hội tụ Để khắc phục hiện tượng này đối với phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp khi chiều dày tấm giảm dần về zero, đồng thời nâng cao độ chính xác và ổn định của lời giải, nhiều phương pháp đã được đề xuất, bao gồm phương pháp phần tử ứng suất bậc cao (Hybrid Stress Element), phương pháp giả định biến dạng nâng cao (Enhanced Assumed Strain Method – EAS), và phương pháp giả định biến dạng tự nhiên (Assumed Natured Strain – ANS).
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN pháp trên không phải lúc nào cũng sử dụng tốt cho mọi trường hợp, đặc biệt trong trường hợp chia lưới cho phần tử là bất kỳ, thì kết quả tính toán sẽ không tốt Gần đây, phương pháp “rời rạc lệch trượt” (Discrete shear gap – DSG3) được đề xuất bởi tác giả Bletzinger và Bischoff (2000) [18] Phương pháp “rời rạc lệch trượt” gần giống phương pháp giả định biến dạng tự nhiên ANS và làm việc tốt cho phần tử có hình dáng và bậc khác nhau Tuy nhiên phương pháp này lại có nhược điểm là tính ổn định chưa tốt
Gần đây, sự kết hợp giữa phương pháp lệch trượt và phương pháp phần tử hữu hạn trơn đã mang lại kết quả tích cực, giúp phát huy các ưu điểm và khắc phục nhược điểm trong quá trình ứng dụng.
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn do Giáo sư GR Liu đề xuất gần đây đã khắc phục những hạn chế của phương pháp truyền thống, đồng thời giữ lại các ưu điểm của nó Liu và cộng sự đã ứng dụng kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng để thiết lập công thức cho phương pháp PTHH trơn, hay còn gọi là SFEM hoặc CS-FEM, cho bài toán 2D cơ vật rắn, sau đó phát triển cho tấm và vỏ Phương pháp SFEM bao gồm ba loại: dựa trên phần tử (cell-based), dựa trên cạnh (edge-based) và dựa vào nút (node-based) Trong số đó, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh nổi bật với tính ổn định cao và nhiều ưu điểm vượt trội.
Mô hình ES-FEM cho kết quả hội tụ nhanh và chính xác hơn phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống
Không cần phải xây dựng ma trận hàm dạng một cách chính xác Áp dụng được cho tất cả phần tử: tam giác, tứ giác, đa giác n
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM kết hợp với phương pháp rời rạc lệch trượt DSG3 và kỹ thuật làm ổn định lời giải đã phát triển phương pháp ổn định cắt trên miền trơn dựa trên cạnh, gọi tắt là phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3.
Phương pháp ES-DSG3 thể hiện những ưu điểm [4]: là phương pháp đơn giản và hiệu quả cho việc phân tích tĩnh của tấm Mindlin - Reissner:
Sử dụng lưới tam giác ba nút nên dễ dàng chia lưới cho những miền phức tạp
Mỗi nút chỉ có ba bậc tự do nên không đòi hỏi nhiều chi phí và thời gian tính toán
Phần tử ES-DSG3 đã giải quyết hiệu quả hiện tượng “shear locking”, mang lại kết quả hội tụ nhanh chóng và độ chính xác cao So với các phương pháp như DSG, phần tử tam giác MIN3, ANS4, Meshless, phần tử ES-DSG3 cho kết quả chính xác hơn và thường vượt trội hơn so với phần tử MITC4 khi khảo sát với cùng số nút Kết quả của phần tử ES-DSG3 không chỉ phù hợp với các phương pháp giải tích mà còn cho thấy hiệu suất tốt khi so sánh với các phần tử khác đã được công bố.
Hầu hết các phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng Phương pháp được tác giả sử dụng trong luận văn này gặp hạn chế trong việc phân chia miền, vì lưới càng mịn thì việc tính toán càng khó khăn và yêu cầu cấu hình máy tính tương thích Do đó, việc áp dụng các thuật toán tối ưu để tiết kiệm chi phí và thời gian, đồng thời đảm bảo kết quả tối ưu là rất cần thiết Khi trường chuyển vị hay vận tốc được rời rạc và áp dụng định lý cận trên, bài toán phân tích giới hạn trở thành bài toán tối ưu toán học Chúng ta có thể sử dụng các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải quyết vấn đề này Tuy nhiên, vẫn tồn tại một số hạn chế.
Để áp dụng thuật toán tuyến tính, cần phải tuyến tính hóa tiêu chuẩn dẻo, dẫn đến số lượng ẩn số và điều ràng buộc lớn, gây tốn kém về mặt tính toán Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể giải quyết bài toán tối ưu phi tuyến liên quan đến hàm dẻo phi tuyến, nhưng hàm mục tiêu không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo, trong khi các thuật toán phi tuyến mạnh yêu cầu hàm mục tiêu phải có đạo hàm mọi nơi Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai đã được phát triển để khắc phục những vấn đề này, cho phép giải quyết các bài toán lớn một cách nhanh chóng và hiệu quả Hơn nữa, hầu hết các tiêu chuẩn chảy dẻo có thể chuyển đổi về dạng hình nón bậc hai, và các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra những ưu điểm của thuật toán này.
Kết quả từ chương trình này tương thích với các phương pháp khác, cho thấy tính chính xác cao Ứng dụng cũng đáp ứng các tiêu chuẩn dẻo, đảm bảo hiệu quả trong quá trình sử dụng.
Giải quyết hầu hết các bài toán, kể cả bài toán lớn
Chi phí và thời gian tính toán được rút ngắn
Tác giả kết hợp các ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp lệch trượt, sử dụng chương trình hình nón bậc hai để giải bài toán phân tích giới hạn cho tấm dày Mindlin – Reissner.
Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết đề tài
Các công bố về phân tích giới hạn cho tấm dày dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trong những năm gần đây gồm:
[1] A Capsoni and M Vicente da Silva A finite element formulation of Mindlin plates for limit analysis Communications in Numerical
Trong bài báo "Methods in Engineering, 27: 143–156, 2011", các tác giả đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn cho tấm hình tròn dưới tác động của tải trọng phân bố và tải trọng tập trung tại tâm tấm.
[2] A Cecchi, G Milani and A Tralli A Reissner–Mindlin limit analysis model for out-of-plane loaded running bond masonry walls International Journal of Solids and Structures, 44: 1438 -
1460, 2007 Trong bài báo này, các tác giả đã phân tích giới hạn với mô hình ngoài mặt phẳng cho tường với tải trọng thay đổi bằng lý thuyết Mindlin
[3] A Capsoni and L Corradi Limit analysis of plates - a finite element formulation Structural Engineering and Mechanics, 8: 325 – 341,
Năm 1999, các tác giả đã áp dụng phương pháp phân tử hữu hạn để phân tích giới hạn dựa trên lý thuyết tấm dày Mindlin cho tấm mỏng Phương pháp phần tử hữu hạn trơn được sử dụng trong phân tích giới hạn cho bài toán phẳng 2D, như đã được trình bày trong các công bố sau.
[1] C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Askes, S Bordas, T Rabczuk, H Nguyen-Vinh A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010; 83: 1651–1674 Trong bài báo này,
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử để phân tích giới hạn (cận trên), kết hợp với chương hình nón bậc hai cho tấm mỏng
[2] T.N Tran, GR Liu, H Nguyen-Xuan, T Nguyen-Thoi, An edge- based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of structures International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 2010; 82: 917 - 938 Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh để phân tích thích nghi cho kết cấu
Nghiên cứu trong nước về lĩnh vực phân tích giới hạn có thể được liệt kê như sau:
[1] Nguyen Dang Hung, Yan Ai-Min, Bui Cong Thanh and Jospin R.J.,
In the article "On the Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures," presented at the First Vietnam-Japan Symposium on Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics in Ho Chi Minh City, Vietnam, from January 19-21, 1998, the authors explore limit analysis and shakedown analysis techniques applied to structures that exhibit plasticity and cracking.
[2] Nguyen An Danh, Bui Cong Thanh, Nguyen Dang Hung, “A recursive approach for limit analysis of frame”, Proceedings of the
Sixth National Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11/1999
Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phân tích giới hạn cho khung
[3] Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Dang Hung Dual limit
Chi Minh City Publishing house, 476 - 494, 2006 Trong bài báo này, các tác giả đã phân tích giới hạn cho tấm mỏng.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Mục tiêu nghiên cứu này là phát triển phương pháp phân tích giới hạn cho bài toán tấm dày Mindlin – Reissner, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-DSG3) kết hợp với thuật toán tối ưu nón bậc hai Để đạt được mục tiêu này, cần thực hiện các công việc cụ thể.
Thiết lập công thức phân tích giới hạn rời rạc dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh
Biến đổi các biến dạng thu được thành hằng số bằng cách sử dụng phương pháp lệch trượt
Biến đổi bài toán tối ưu rời rạc thu được ở trên về dạng bài toán tối ưu nón bậc hai
Lập trình mô phỏng số cho bài toán đã nêu được thực hiện bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Để đánh giá tính hiệu quả của phương pháp, chúng tôi so sánh kết quả thu được với các kết quả số khác.
Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn chủ yếu tập trung vào chương 2 và chương 3:
Chương 1: giới thiệu về đề tài nghiên cứu, các hướng nghiên cứu trong và ngoài nước đã thực hiện
Chương 2: cơ sở lý thuyết cơ bản, các công thức phân tích giới hạn cho tấm dày bằng phương ES-DSG3
Chương 3: khảo sát các ví dụ số và các kết quả thu được
Chương 4: kết luận và kiến nghị
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner
Trong lý thuyết tấm mỏng, với giả thiết Kirchhoff, các biến dạng trượt
Trong lý thuyết dầm chịu uốn ngang phẳng, khi tỷ số h/a (với h là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) không đủ nhỏ, việc bỏ qua các biến dạng có thể dẫn đến kết quả không chính xác Reissner đã xem xét các góc xoay của các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình tấm trong các mặt phẳng xz và yz, cùng với hàm độ võng, được coi là các biến độc lập trong tính toán Mindlin đã đơn giản hóa giả thiết này bằng cách cho rằng các đoạn thẳng pháp tuyến vẫn thẳng sau biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung bình Hơn nữa, ứng suất pháp z (vuông góc với mặt trung bình) vẫn được xem là bỏ qua và bằng 0, tương tự như giả thiết Kirchhoff.
Moâ hình Kirchhoff Moâ hình Mindlin - Reissner
Hình 2.1 Mô hình Kirchhoff và mô hình Mindlin – Reissner
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Theo giả thiết Mindlin - Reissner chuyển vị của tấm có thể biểu diễn bởi:
Hay dưới dạng ma trận:
Các thành phần biến dạng:
Hay có thể viết dưới dạng ma trận:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng như sau:
0 0 0 0 (1 ) / 2 x x y y xy xy zx zx zy zy
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT σ = Dε (2.9)
0 0 0 0 (1 ) / 2 x y xy zx zy x y xy zx zy
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)
Có ba giả thuyết phổ biến về biến dạng cắt trong cơ học vật liệu: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Mỗi lý thuyết này cung cấp những cách tiếp cận khác nhau để phân tích và hiểu rõ hiện tượng biến dạng cắt trong các cấu trúc tấm.
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Hình 2.2: Lý thuyết biến dạng
Lý thuyết tấm cổ điển, dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff, là lý thuyết biến dạng cắt đơn giản nhất khi bỏ qua biến dạng cắt Theo lý thuyết này, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn giữ nguyên tính thẳng và vuông góc khi tấm chịu uốn, với độ dài không đổi Điều này dẫn đến việc các góc vuông giữa các phần tử thẳng và các trục x, y vẫn được duy trì trong quá trình biến dạng, cho thấy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó, tức là γ xz = γ yz = 0 Do đó, trường chuyển vị trong tấm có dạng nhất định.
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (hình 2.2) nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, trong đó đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm vẫn giữ thẳng sau biến dạng, nhưng bị lệch một góc β so với mặt phẳng trung hòa Khi đó, trường chuyển vị trong tấm sẽ trở thành: x y.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các chuyển vị u, v, w theo phương x, y, z tại mặt trung bình của tấm, với các giá trị khởi đầu là (u0, v0, w0) Khoảng cách z được xác định từ mặt trung bình đến điểm cần phân tích, trong khi các góc xoay (θx, θy) của đoạn thẳng pháp tuyến xung quanh trục y và x sẽ được thảo luận để hiểu rõ hơn về hành vi của tấm.
0 , 0 , 0 , x , y u v w là các chuyển vị suy rộng (2.13)
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, đặc biệt là lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) của Reddy, là phương pháp hiệu quả và phổ biến trong việc phân tích biến dạng cong của pháp tuyến mặt trung hòa sau khi bị biến dạng.
2.2) Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, trường chuyển vị trong tấm có dạng:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong nghiên cứu này, tác giả áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để xây dựng mô hình tính toán và khảo sát, đảm bảo độ chính xác cần thiết Một số giả thiết được đưa ra bao gồm: độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình khi bị uốn được coi là mặt trung hòa, và trong quá trình biến dạng, tấm không bị kéo, nén hay trượt.
Các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn còn thẳng và độ dài không đổi do đó z = 0
Trong quá trình biến dạng, sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình là không đáng kể và có thể bỏ qua, dẫn đến ứng suất pháp không đáng kể.
zcó thể bỏ qua (vì là nhỏ so với x , y )
Khi đó, biến dạng trong tấm:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong trường hợp tấm là tấm mỏng, các góc xoay tuyến tính với đạo hàm của độ võng:
x w, y w x y Khi đó công thức (2.15) trở thành:
Và công thức (2.16) suy biến thành 0.
Tổng quan về phân tích giới hạn
Xét các vật liệu cứng-dẻo chịu ngoại lực (f, g) với hệ số tải trọng , được biểu diễn là ( f 0 , g 0 ) Khi giá trị của nhỏ, kết cấu sẽ ứng xử đàn hồi mà không xảy ra biến dạng dẻo Tăng giá trị đến mức cho phép có thể dẫn đến một số điểm dẻo, nhưng không đủ để làm gãy đổ cơ cấu.
Đến khi cơ cấu hoàn toàn gãy đổ, giá trị của nó được xem là giá trị phá hoại dẻo Mục tiêu của phân tích giới hạn là xác định giá trị phá hoại dẻo này, dựa trên hai định lý chính: Định lý phân tích tĩnh (hay định lý cận dưới) và Định lý phân tích động (hay định lý cận trên).
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ứng suất hợp lệ được cho bởi , và hệ số tải trọng phải thỏa mãn điều kiện: trong trên biên
n (2.21) Định lý cận dưới được phát biểu như sau:
Giá trị tải trọng phá hoại được xác định là giá trị lớn nhất của tải trọng ở trạng thái khả dĩ tĩnh, tương ứng với giá trị ứng suất hợp lệ.
Việc chứng minh định lý này liên quan đến công ảo và tính chất lồi của mặt chảy dẻo, dựa trên tài liệu của Hodge (1963), Save & Massonnet (1972) và Lubliner (1990) Công thức phân tích giới hạn tĩnh được trình bày dưới dạng bài toán tối ưu.
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT trong trên biên max t
2.3.2 Định lý phân tích động–phân tích giới hạn sử dụng cận trên (kinematical /upper bound theorem ):
Trong phân tích động, trường chuyển vị u và biến dạng dẻo εhợp lệ được xác định sao cho: trong
Từ phương trình công ảo, công nội và công ngoại luôn có tỷ lệ tương ứng với hệ số tải trọng trong phân tích động Tỷ lệ này được biểu diễn qua công thức: công nội (int) và công ngoại (ext).
(2.25) Định lý cận trên được phát biểu như sau:
Giá trị tải trọng phá hoại được xác định là giá trị nhỏ nhất của lực động, tương ứng với trạng thái khả dĩ động Nó liên quan đến giá trị trường chuyển vị hợp lệ, được biểu diễn bằng ký hiệu u̇.
Giá trị tải trọng phá hoại dẻo theo phân tích cận trên được biểu diễn dưới dạng sau:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT trong
0 trên biên 1 min int u ext
Trong luận văn này tác giả sử dụng định lý cận trên (upper-bound limit analysis) để phân tích giới hạn cho tấm dày Mindlin – Reissner
Công thức phân tích giới hạn tấm dày Mindlin-Reissner
Tấm vật liệu cứng – dẻo có chiều dày h(x,y), mặt trung bình và biên d, theo lý thuyết tấm dày Mindlin, mô tả mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị thông qua công thức: z.
Trong đó ε, κ, γ lần lượt là các biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt của tấm
Theo tiêu chuẩn dẻo Von Mises, các ứng suất được biểu diễn theo hàm dẻo ( σ, τ )như sau:
Vớiσ 0 là ứng suất dẻo
Theo luật chảy dẻo thì các biến dạng dẻo của tấm được tính theo công thức:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT m 0 s 0
Năng lượng tiêu tán dẻo trong tấm:
,τ T ( ) là các ứng suất trên mặt giới hạn chảy dẻo
Từ phương trình (2.31) ta suy ra:
Thế phương trình (2.33) vào phương trình (2.29) ta có:
Thế phương trình (2.34), (2.35) vào phương trình (2.32), năng lượng tiêu tán dẻo trở thành:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
T T m m s s c κ Γ κ c γ Γ γ (2.38) Năng lượng tiêu tán dẻo của tấm là: h / 2
Lấy tích phân Gauss theo chiều dày h, thì phương trình (2.39) trở thành:
h : Trọng số Gauss, ở đây ta lấy 3 điểm Gausss (g=3)
: Mô men dẻo của tấm
Theo điều kiện phân tích giới hạn động, tấm chỉ cần dựa vào biến dạng của nó để xác định giá trị phá hoại dẻo Giá trị này được tìm ra thông qua việc giải bài toán tối ưu với mục tiêu tối thiểu hóa D u.
κ, γ c c : Là năng lượng tiêu tán dẻo của tấm
F( ) u : Công do ngoại lưc tác dụng
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Bài toán phân tích giới hạn cho tấm dày Mindlin – Reissner được giải quyết thông qua lý thuyết trượt bậc nhất (FSDT) Trong quá trình mô hình tính toán và khảo sát, một số giả thiết được đưa ra, bao gồm độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình khi bị uốn là mặt trung hòa, và tấm không bị kéo, nén hay trượt trong quá trình biến dạng.
Các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn còn thẳng và độ dài không đổi do đó z = 0
Trong quá trình biến dạng, sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình là không đáng kể và có thể bỏ qua, tức là ứng suất pháp không ảnh hưởng nhiều đến kết quả.
zcó thể bỏ qua (vì là nhỏ so với x , y ) ii) Sử dụng vật liệu cứng- dẻo tuyệt đối iii) Sử dụng tiêu chuẩn dẻo Von Mises:
Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất tiếp bát diện đạt tới ứng suất tiếp giới hạn, kv bằng 1/ 3 ứng suất giới hạn chịu kéo:
J 2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch
, vớiσ 0 là ứng suất dẻo iv) Sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn cận trên
Các bước cần phải thiết lập và tính toán trong ES-DSG3 để giải quyết bài toán phân tích (2.41) cần:
Dùng phương pháp rời rạc trường biến dạng sử dụng phương
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Để giải quyết bài toán tối ưu cần chuyển bài toán sang dạng hình nón bậc hai (second-order cone programming).
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta chia miền thành những miền "trơn" k con, được định nghĩa :
với i j, trong đó N ed là tổng số cạnh của các phần tử
Các thành phần biến dạng tại một điểm x c bất kỳ thu được như sau: k
Trong đó: là hàm làm trơn, thõa mãn điều kiện đơn vị: k d 1
Trong trường hợp đơn giản nhất, hàm làm trơn được định nghĩa như sau:
Diện tích của hàm trơn được ký hiệu là Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn k được xác định dựa trên cạnh k, được tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên.
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Hình 2.3 Phân chia miền trơn k , m
Biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt trung bình trên miền trơn k của phần tử tam giác 3 nút được định nghĩa như sau:
Công thức (2.45) được tham khảo từ tài liệu [10]
là diện tích của hàm trơn k
Với N ( k ) e : số phần tử có chung cạnh k ( N ( k ) e 1 cho cạnh biên, và
N e 2cho cạnh chung giữa hai phần tử)
A : là diện tích của phần tử thứ I có chung cạnh k
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ma trận tính biến dạng và chuyển vị
N I, là các ma trận hàm dạng trơn
2.6 Hiệu chỉnh các ma trận tính biến dạng về hằng số bằng phương pháp
"rời rạc lệch trượt" – Discrete Shear Gap (DSG3):
Theo tài liệu tham khảo [4,10], trong phần tử tam giác 3 nút bậc thấp, các thành phần ma trận tính biến dạng màng và biến dạng uốn là hằng số, trong khi ma trận tính biến dạng cắt là tuyến tính và phụ thuộc vào chuyển vị cũng như đạo hàm góc xoay Khi tấm có chiều dày nhỏ hơn chiều dài cạnh nhỏ nhất (tỷ số h/a < 1/5), năng lượng biến dạng cắt trở nên vượt trội so với năng lượng biến dạng uốn và không bị triệt tiêu khi chiều dày bằng không Điều này dẫn đến việc phần lớn năng lượng trong tấm là năng lượng do chịu cắt, trái ngược với lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff, nơi phần lớn năng lượng được cho là do chịu uốn và năng lượng cắt có thể bị bỏ qua.
Khi áp dụng lý thuyết tấm dày để giải quyết cho tấm mỏng, kết quả thu được sẽ không chính xác và không hội tụ, do năng lượng biến dạng được tính toán không đúng Hiện tượng này được gọi là hiện tượng "shear".
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT locking” Để giải quyết các vấn đề đó thì phương pháp hiệu chỉnh lệch trượt nhằm mục đích đưa các ma trận tính biến dạng trở thành hằng số
Hình 2.4 Phần tử tam giác 3 nút
Theo xấp xỉ của PTHH, véc tơ chuyển vị nút của phần tử tam giác của tấm Mindlin – Reissner được cho bởi: h h h h T x y i 3 h i i 1 i w
Trong đó d w T là véc tơ chuyển vị nút phần tử,
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ma trận nghịch đảo Jacobian và nghịch đảo của nó được xác định như sau:
Trong đó: a= x2-x 1 , b= y 2 -y 1 , c= y 3 -y 1, , d= x 3 -x 1, A i là diện tích phần tử tam giác
Các biến dạng sau khi biến đổi bằng DSG3 thu được như sau:
Trong đó d i véc tơ chuyển vị nút của phần tử, Bb ma trận tính biến dạng: b i
Trong đó di véc tơ chuyển vị nút của phần tử, Bs ma trận tính biến dạng: i s i i ac bc bd bc b c A 0 c b
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.7 Kỹ thuật tối ưu hình nón bậc hai (Second order cone programming– SOCP):
Nghiên cứu cho thấy hầu hết các tiêu chuẩn chảy dẻo truyền thống có thể được biểu diễn dưới dạng ràng buộc nón bậc hai.
Trong luận văn này, bài toán tối ưu rời rạc được chuyển đổi thành bài toán tối ưu nón bậc hai Bài toán thu được sẽ được giải quyết bằng phần mềm thương mại Mosek.
Biến đổi bài toán tối ưu về dạng hình nón bậc hai
Theo ES-DSG3, năng lượng trong tấm trở thành:
Trong đó các biến màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt được lấy từ các biến dạng trơn theo ES-DSG3 công thức (2.54 &2.56)
Lấy tích phân theo miền thì (2.60) trở thành:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Vậy bài toán phân tích giới hạn theo ES-DSG3 là:
Ta nhận thấy Γ m , Γ s luôn là ma trận xác định dương nên ta có thể viết:
Thế (2.65) vào biểu thức (2.63), bài toán phân tích giới hạn trở thành:
Từ công thức trên ta nhận thấy bài toán phân tích giới hạn cận trên có dạng hình nón bậc hai (dạng Quadratic cone), và phương trình (2.66) trở thành:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Gán các biến về dạng hình nón trong Mosek
Viết lại phương trình (2.67) ta có:
Với k=1, 2…Ned: tổng số cạnh g =3: số điểm Gauss Đặt: k k t || || ρ
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Đặt biến tổng thể:
Với 3 là số điểm Gausss
Bài toán (2.69) có thể giải quyết bằng phần mềm thương mại Mosek [24]
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
VÍ DỤ SỐ
Tấm hình vuông
Bài toán phân tích giới hạn tấm dày Mindlin - Ressiner được thực hiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn ES-DSG3, áp dụng cho tấm hình vuông với kích thước 2L = 10m Chiều dày tấm h(x,y) được xác định theo tỉ lệ 2L/h = 1:500, với tải trọng phân bố đều trên toàn bộ bề mặt tấm.
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ a Biên ngàm b Biên tựa đơn c Biên 2 ngàm – 2 tựa đơn d Biên 3 ngàm – 1 tự do
Hình 3.1 Điều kiện biên cho tấm hình vuông Điều kiện cho bài toán tấm ngàm (hình 3.1.a) w = 0; x 0; y 0 (tại x = 0; x = 2L; tại y = 0; y = 2L) Điều kiện cho bài toán tấm tựa đơn (hình 3.1.b) w = 0; y 0 (tại x = 0; x = 2L) w = 0; x 0(tại y = 0; y = 2L)
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ w = 0; x 0 (tại y = 0; y = 2L) Điều kiện cho bài toán tấm 3 ngàm – 1 tự do (hình 3.1.d) w = 0; x 0; y 0(tại x = 0; x = 2L) w = 0; x 0; y 0(tại y = 0)
3.1.2 Kết quả phân tích giới hạn (sử dụng cận trên) cho tấm hình vuông bằng phương pháp ES-DSG3:
Hình 3.2 Phân chia miền tấm hình vuông (1/4 tấm)
Kết quả của bài toán tấm hình vuông với các điều kiện biên khác nhau sẽ lần được khảo sát, các giá trị phụ thuộc theo tỉ lệ (2L/h)
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ a Biên tựa đơn b Biên ngàm
Theo hình 3.2.a và kết quả nghiên cứu của Capsoni & Corradi (1990) trong tài liệu [3], các tác giả đã áp dụng lý thuyết tấm dày để giải bài toán tấm mỏng cho tấm hình vuông biên tựa đơn chịu tải phân bố đều Kết quả thu được là 25.02, cho thấy sự chênh lệch với phương pháp khảo sát hiện tại (với chia miền lưới 11x11) là không đáng kể Cụ thể, khi chiều dày tấm mỏng dần, kết quả bài toán đạt 25.07, với chênh lệch chỉ 0.2% khi 2L/h0.
Kết quả nghiên cứu về biên ngàm cho thấy giá trị đạt được là 47.54, trong khi nghiên cứu của Capsoni & Corradi (1990) ghi nhận giá trị 45.29 cho tấm mỏng Sự chênh lệch giữa hai kết quả này là 4.97% khi áp dụng điều kiện 2L/h0.
Khi so sánh giữa lý thuyết tấm dày Mindlin – Reissner và phương pháp FEM với lý thuyết Kirchhoff, phương pháp ES-DSG3 cho kết quả cao hơn Điều này chứng tỏ rằng mô hình Mindlin là cận trên của mô hình Kirchhoff.
Dưới đây là hình mô phỏng kết quả phân bố năng lượng tiêu tán dẻo khi áp dụng phương pháp cho các tấm hình vuông, bao gồm hai trường hợp: biên tựa đơn và biên ngàm.
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ c Biên 2 ngàm – 2 tựa đơn d Biên 3 ngàm – 1 tự do (1/2 tấm)
Hình 3.4 mô phỏng kết quả phân bố năng lượng tiêu tán dẻo khi sử dụng ES-DSG3 cho tấm hình vuông chịu tải phân bố đều, thể hiện hiệu quả của phương pháp này trên 1/4 tấm.
Bảng 3.1 dưới đây trình bày kết quả khảo sát tấm Mindlin - Reissner với các giá trị 2L/h, sử dụng các miền lưới khác nhau (lưới 7x7, 9x9 và 11x11) cho tấm chịu tải phân bố đều.
Tấm tựa đơn Tấm ngàm
Bảng 3.1: Bảng kết quả phân tích giới hạn cho tấm hình vuông biên tựa đơn, biên ngàm,chịu tải phân bố đều
Và Bảng 3.2 dưới đây thể hiện kết quả phân tích của tấm hình vuông với biên 2 ngàm – 2 tựa đơn, và biên 3 ngàm – 1 tự do
Tấm 2 ngàm – 2 tựa đơn Tấm 3 ngàm – 1 tự do 2L/h
Bảng 3.2: Bảng kết quả phân tích giới hạn cho tấm hình vuông biên 2 ngàm-2 tựa đơn, 3 ngàm-1 tự do chịu tải phân bố đều
Tác giả đã áp dụng phương pháp này cho tấm mỏng và so sánh kết quả với các nghiên cứu khác Tuy nhiên, do hạn chế về bộ nhớ RAM của máy tính, tác giả chỉ thực hiện khảo sát ở một mức độ nhất định trong luận văn này.
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ lưới 11x11 cho tấm hình vuông Kết quả của việc phân tích này được thể hiện ở bảng 3.3
Kết quả phân tích giới hạn
( sử dụng cận trên) Các tác giả
Biên 3 ngàm – 1 tự do Phương pháp hiện tại 25.0703 47.8493 36.6068 29.1572
Bảng 3.3 trình bày sự so sánh kết quả phân tích giới hạn của phương pháp ES-DSG3 với các nghiên cứu của các tác giả khác, áp dụng cho tải phân bố đều và các điều kiện biên khác nhau với giá trị 2L/h0.
Hình 3.5 Kết quả phân tích giới hạn cho tấm hình vuông chịu tải phân bố đều với các điều kiện biên khác nhau (lưới 11x11)
Phương pháp này cho thấy thời gian giải quyết bài toán hình nón bậc hai một cách nhanh chóng, từ đó giúp tiết kiệm chi phí Bảng 3.4 dưới đây trình bày thời gian tính toán cho bài toán hình vuông với tỷ lệ 2L/h0.
(484 phần tử) Điều kiện biên
Kết quả Thời gian Kết quả Thời gian Kết quả Thời gian Tựa đơn 25.1564 3.58s 25.0987 9.17s 25.0703 46.34s Ngàm 50.0275 2.53s 48.6937 6.48s 47.8493 13.61s
Bảng 3.4 Thời gian phân tích bài toán hình vuông khi 2L/h0.
Tấm hình chữ nhật
Tấm hình chữ nhật có kích thước 2L x 2H = 20m x 10m, chiều dày của tấm là h(x, y) phụ thuộc tỉ lệ 2H/h = 1: 500, tải trọng phân bố đều trên tấm
3.2.1 Điều kiện biên: a Biên ngàm b Biên tựa đơn
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ c Biên 2 ngàm – 2 tựa đơn d Biên 3 ngàm – 1 tự do
Trong bài toán tấm hình chữ nhật, có các điều kiện biên khác nhau tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể Đối với tấm ngàm (hình 3.6.a), điều kiện biên là w = 0; θx = 0; θy = 0 tại các điểm x = 0, x = 2L và y = 0, y = 2H Trong trường hợp tấm tựa đơn (hình 3.6.b), điều kiện là w = 0; θy = 0 tại x = 0, x = 2L và w = 0; θx = 0 tại y = 0, y = 2H Đối với tấm 2 ngàm – 2 tự do (hình 3.6.c), điều kiện là w = 0; θx = 0; θy = 0 tại x = 0, x = 2L Cuối cùng, trong bài toán tấm 3 ngàm – 1 tự do (hình 3.6.d), điều kiện là w = 0; θx = 0; θy = 0 tại x = 0, x = a và w = 0; θx = 0; θy = 0 tại y = 0.
3.2.2 Kết quả phân tích giới hạn (sử dụng cận trên) cho tấm hình chữ nhật bằng phương pháp ES-DSG3:
Trong phần ví dụ này tác giả khảo sát tấm hình chữ nhật với các kích thước
Hình 3.7 Phân chia miền tấm hình chữ nhật (1/4 tấm)
Khi chiều dày của tấm giảm dần đến tỉ lệ 2H/h = 100, kết quả của tấm tựa đơn khi đó bằng 30, so sánh với kết quả của ông Capsoni & Corradi
Vào năm 1990, tài liệu tham khảo [3] đã áp dụng lý thuyết tấm Mindlin-Reissner cho tấm Kirchhoff, trong đó tấm chữ nhật biên tựa đơn có giá trị là 29.88, với chênh lệch không lớn chỉ 0.4%.
Hình 3.8: Kết quả phân tích giới hạn cho tấm hình chữ nhật chịu tải phân bố đều, biên tựa đơn
Kết quả mô phỏng phân bố năng lượng tiêu tán dẻo trên tấm hình chữ nhật được khảo sát dưới các điều kiện biên khác nhau, bao gồm: biên tựa đơn, biên ngàm, biên 2 ngàm - 2 tự do, và biên 3 ngàm - 1 tự do (xét 1/2 tấm).
Hình 3.9 mô phỏng kết quả phân bố năng lượng tiêu tán dẻo khi sử dụng ES-DSG3 cho tấm hình chữ nhật chịu tải phân bố đều, với việc phân tích trên 1/4 tấm.
Trong bảng 3.5 tác giả đã khảo sát và phân tích tấm hình chữ nhật chịu tải
CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ Đối với biên tựa đơn tại 2H/h =4 có kết quả là 29,1892 và hội tụ dần cho đến 2H/hP0 có kết quả là 30,0039, và biên 2 ngàm – 2 tự do tương tự như biên tựa đơn Đối với biên ngàm và biên 3 ngàm – 1 tự do thì có sự hội tụ từ 2H/h=8 đến 2H/hP0
Tựa đơn Ngàm 2 ngàm – 2 tự do 3 ngàm – 1 tự do
Bảng 3.5 trình bày kết quả phân tích giới hạn của phương pháp ES-DSG3 áp dụng cho tấm hình chữ nhật chịu tải phân bố đều, cùng với các điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3.6 so sánh kết quả từ phương pháp này với một số tác giả khác, cho thấy việc áp dụng phương pháp mang lại kết quả khả quan với sự chênh lệch tương đối nhỏ Cụ thể, đối với tấm tựa đơn, chênh lệch là 0.4% so với kết quả của Capsoni & Corradi (1999) và 0.4% EFG, trong khi với biên 2 ngàm – 2 tự do, chênh lệch là 4.5% EFG Phương pháp này cũng giải quyết hiệu quả hiện tượng shear-locking khi chiều dày của tấm mỏng dần, chứng tỏ rằng nó đã mang đến kết quả rất tốt.
Kết quả phân tích giới hạn
( sử dụng cận trên) Các tác giả
- 1 tự do Phương pháp hiện tại 30.00 60.3551 9.9236 49,2848
Bảng 3.6 trình bày sự so sánh kết quả phân tích giới hạn của phương pháp ES-DSG3 với các nghiên cứu của các tác giả khác, trong điều kiện tải phân bố đều và các điều kiện biên khác nhau.
Hình 3.10: Kết quả phân tích giới hạn cho tấm hình chữ nhật chịu tải phân bố đều, với các điều kiện biên khác nhau
Tác giả đã nghiên cứu thời gian giải quyết bài toán tấm hình chữ nhật chịu tải phân bố đều, tương tự như tấm hình vuông, nhằm làm nổi bật lợi ích của việc ứng dụng chương trình hình nón bậc 2.
392 phần tử Điều kiện biên
Bảng 3.7 Thời gian phân tích bài toán hình chữ nhật tại 2H/h0.