Ánh xạ co, hệ hàm lặp và định lý Collage
Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ co Banach nếu tồn tại một hằng số c ∈ [0,1) sao cho khoảng cách giữa hai điểm f(x) và f(y) không vượt quá c nhân với khoảng cách giữa x và y, tức là d(f(x), f(y)) ⩽ c d(x, y) với mọi x, y ∈ X Hằng số c này được gọi là hệ số co.
(ii) Ánh xạ f : X →X được gọi là ánh xạ co Kannan nếu tồn tại hằng số c ∈ (0,1
(iii) Ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ co Reich nếu tồn tại hằng số c, s thỏa mãn c, s ⩾ 0 và 0 < c +2s < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f x, f y) ⩽ cd(x, y) +s[d(x, f x) +d(y, f y)].
1.2.2 Nhận xét (i) Ánh xạ co Banach và ánh xạ co Kannan là độc lập với nhau.
(ii) Ánh xạ co Reich là mở rộng của co Bannach và co Kannan.
1.2.3 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric và họ hữu hạn ánh xạ co f i : X →X, với i = 1, , n.
(i) Nếu các f i là ánh xạ co Banach với i = 1, , n thì S = (X,{f i } n i=1 ) được gọi là hệ hàm lặp (viết tắt là IFS-Iterated Function System).
(ii) Nếu các f i là ánh xạ co Kannan với i = 1, , n thì S = (X,{f i } n i=1 ) được gọi là hệ hàm lặp Kannan và kí hiệu KIFS.
(iii) Nếu cácf i là ánh xạ co Reich với i = 1, , n thìS = (X,{f i } n i=1 ) được gọi là hệ hàm lặp Reich và kí hiệu RIFS.
Trong không gian mêtric (X, d), với hệ hàm lặp S (X,{f i } n i=1) và các ánh xạ co f i có hệ số co Banach c i ∈ [0,1) cho i từ 1 đến n, ánh xạ fractal F của hệ hàm lặp S được xác định rõ ràng.
[ i=1 f i (E) là ánh xạ co Banach trên không gian (H(X), h) với hệ số co c = max{c i :i 1, , n}.
Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Do đó, với N = 2 thì F là ánh xa co.
Vậy, theo phương pháp qui nạp mệnh đề được chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.1.4 và Định lý 1.2.4 ta có kết quả sau.
1.2.5 Định lý ([1]) Cho hệ hàm lặp S = (X,{f i } N i=1 ) Khi đó, luôn tồn tại duy nhất tập A ∈ H(X) để
Với mỗi B 0 ∈ H(X), ta xác định dãy B 1 = F(B 0 ), B 2 = F(B 1 ), , B n = F n (B 0 ) Khi n tiến đến vô cùng, ta có lim n→∞[h(B n , A)] = 0, tức là B n tiến gần đến A Tập A được gọi là tập bất biến hay tập Fractal sinh bởi hệ hàm lặp S = (X,{f i } N i=1 ).
1.2.7 Mệnh đề ([3]) Nếu tồn tại tập D ∈ H(X) mà f i (D) ⊂ D với mọi i = 1, , n thì tập fractal A trong Định nghĩa 1.2.6 được xác định bởi:
F j (D) với F j là sự lặp lại j lần ánh xạ F đối với tập D.
Chứng minh Do f i là ánh xạ co nên ta có f i (D) ⊂ D với mọi i ∈ {1, , n}. Suy ra F(D) n
Ta chứng minh Abất biến qua F hay F(A) = A, tức là chỉ ra rằng F(A) ⊂ A và F(A) ⊃ A.
Lấy bất kỳ y ∈ A, ta chứng minh y ∈ F(A), nghĩa là chỉ ra tồn tại x ∈ A sao cho y = F(x).Thật vậy, ta có y ∈ A ∞
Do đó, luôn tồn tại x k ∈ F k (D) với mọi k= 1, 2, nên với mọi h > 0 cho trước thì x k ∈ F h (D) với mọi k>h và x k → x ∈
Do đó, F(x k ) ∈ F h (D) với mọi k>h, suy ra y = F(x) (do F là ánh xạ co liên tục ) Từ đó, ta có A⊂ F(A)
Vậy, A = F(A), nghĩa là A bất biến qua F.
Ta chứng minh A duy nhất.
Giả sử tồn tại A ∗ sao cho F(A ∗ ) =A ∗ và A 6= A ∗ khi đó, ta có h(F(A), F(A ∗ )) ⩽ α max h(A, A ∗ ) suy ra h(F 2 (A), F 2 (A ∗ )) ⩽ α 2 max h(A, A ∗ ).
Tương tự như vậy ta có h(F n (A), F n (A ∗ )) ⩽ α n max h(A, A ∗ ) (1.3) Mặt khác, do A và A ∗ là tập bất biến qua F cho nên h(F n (A), F n (A ∗ )) = h(F n−1 (A), F n−1 (A ∗ )) = = h(F(A), F(A ∗ )) (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta có h(F(A), F(A ∗ )) ⩽ α max h(F(A), F(A ∗ )) với mọi n.
0⩽ h(F n−1 (A), F n−1 (A ∗ ))(1−α max N ) ⩽ 0 hay A = A ∗ Vậy, A là duy nhất.
Cuối cùng, ta chứng minh nếu có E ∈ H(X) mà f i (E) ⊂ E ∀i ∈ {1, , m} thì A ∞
Mặt khác với n ∈ N ∗ ta có h(F n (E), A) = h(F n (E), F n (A)) ⩽ α max h(F n−1 (E), F n−1 (A))
Suy ra h(A 0 , A) = lim n→∞h(F n (E), A) ⩽ h(E, A) lim n→∞α max n = 0 do đó A 0 = A ta có điều phải chứng minh.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), nếu f : X → X là ánh xạ co Banach với hệ số co c trong khoảng [0,1) và x f là điểm bất động của f, thì với bất kỳ x ∈ X, ta có thể định nghĩa x n = f n (x) cho n = 1, 2, và có công thức d(x n , x f ) ⩽ c n.
Chứng minh Ta có, với mọi n= 1,2, thì d(x n , x n−1 ) =d(f n (x), f n−1 (x)) ⩽ cd(f n−1 (x), f n−2 (x))
Cho p → ∞ và cố định n, ta có x n+p → x f và 1 +c+c 2 + + c p+1 ⩽
Năm 1987, Michael Barnsley đã đề xuất định lý sau.
Định lý Collage khẳng định rằng trong một không gian mêtric đầy đủ (X, d), nếu f : X → X là một ánh xạ co với hệ số co c 0 ∈ [0,1), thì tồn tại một điểm bất động x f Đối với mọi điểm x thuộc X, khoảng cách giữa x và điểm bất động x f không bao giờ vượt quá khoảng cách giữa x và f(x), tức là d(x, x f ) ⩽ d(x, f(x)).
Định lý Collage không chỉ áp dụng cho ánh xạ điểm mà còn có thể mở rộng cho ánh xạ tập và ánh xạ đa trị, mang lại nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, đặc biệt trong xử lý ảnh.
Cho một ảnh L, nhiệm vụ là xác định hệ hàm lặp S = (X,{f i } n i=1 ) sao cho tập bất biến của hệ này chính là L Tuy nhiên, việc tìm ra hệ hàm lặp như vậy trong thực tế gặp nhiều khó khăn Do đó, chúng ta cần nỗ lực để tìm ra hệ hàm lặp mà tập bất biến của nó đạt được mục tiêu này.
K "càng giống" với L càng tốt.
Với ý tưởng này, người ta đi tìm hiểu các phiên bản của định lý Collage đối với các hệ hàm lặp.
Trước hết ta có định lý Collage đối với hệ hàm lặp gồm các ánh xạ Banach như sau.
1.2.10 Định lý ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hệ hàm lặp
S = (X,{f i } n i=1 ) trên X Đặt c = max i=1,n c i với c i là hệ số co của các ánh xạ f i , i = 1, n Khi đó, với mọi L ∈ H(X) ta luôn có h(L, A) ⩽ h(F(L), L)
1−c trong đó A là tập bất biến của hệ hàm lặp S = (X,{f i } n i=1 ) và F là toán tử fractal liên kết với hệ hàm lặp S.
Chứng minh Vì h là mêtric nên ta luôn có h(L, A) ⩽ h(L, F(L)) +h(F(L), A).
Do A là tập bất biến của F nên A = F(A), dẫn đến h(L, A) ⩽ h(L, F(L)) +h(F(L), F(A)).
Theo Mệnh đề 1.2.4 thì F là ánh xạ co với hệ số co c = max{c i : i = 1, , n} nên h(F(L), F(A)) ⩽ ch(L, A).
Do đó, ta có h(L, A) ⩽ h(L, F(L)) +ch(L, A).
Theo định lý, để tìm hệ hàm lặp S = (X,{f i } n i=1) sao cho tập bất biến A gần với L nhất, ta nên chọn các c i càng nhỏ, với c = max i=1,n.
Khi giá trị c i càng nhỏ, độ lệch giữa L và A sẽ giảm thiểu Đồng thời, việc chọn hệ hàm lặp sao cho h(L, F(L)) đạt giá trị tối thiểu là rất quan trọng Theo Định lý 1.2.10, điều này dẫn đến h(L, A) cũng sẽ giảm, cho phép A xấp xỉ L như mong muốn.
1.2.11 Nhận xét ([1]) Trong kết quả của Bổ đề 1.2.8, khi thay n = 0 ta có d(x, x f ) ⩽ d(f(x), x)
Định lý Collage khẳng định rằng bất đẳng thức trong định lý này được hình thành khi chứng minh các định lý điểm bất động Trong quá trình đánh giá tốc độ hội tụ của dãy điểm về điểm bất động, khi thay n = 0 vào bất đẳng thức d(x_n, x_f), ta nhận được kết quả của Định lý Collage cho các loại ánh xạ co.
CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP
Chương này trình bày một số phiên bản của Định lý Collage đối với một số hệ hàm lặp.
2.1 Định lý Collage đối với hệ hàm lặp Kannan và hệ hàm lặp Reich
Lý thuyết hệ hàm lặp là nền tảng quan trọng trong việc tạo ra các tập fractal, và các tập fractal đóng vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực Vì vậy, việc mở rộng phương pháp tìm kiếm tập fractal thông qua các kiểu hệ hàm lặp luôn được chú trọng.
Vì thế, trong phần này, chúng tôi trình bày các phiên bản của định lý Collage đối với hệ hàm lặp Kannan và hệ hàm lặp Reich.
2.1.1 Định lý ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co Kannan, liên tục với hệ số co α ∈ [0,1
Trong một không gian X, tồn tại duy nhất một điểm bất động x ∗ của ánh xạ T Đối với mọi điểm x ∈ X, dãy {T n (x) : n= 0,1,2, } sẽ hội tụ về x ∗, tức là lim n→∞d(T n (x), x ∗ ) = 0 Đây là nội dung của Định lý Collage liên quan đến ánh xạ co Kannan.
2.1.2 Định lý Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co Kannan liên tục với hệ số co α ∈ [0,1
2) Giả sử x ∗ là điểm bất động của T Khi đó, với bất kì x ∈ X ta có d(x, x ∗ ) ⩽ (1 +α)d(x, T(x)).
Chứng minh Vì x ∗ là điểm bất động của T nên T(x ∗ ) =x ∗ Do đó, ta có d(x, x ∗ ) ⩽ d(x, T(x)) +d(T(x), x ∗ )
Vì T là ánh xạ co Kannan nên ta suy ra d(x, x ∗ ) ⩽ d(x, T(x)) +α[d(x, T(x)) +d(x ∗ , T(x ∗ ))]
2.1.3 Nhận xét Mệnh đề 3.3 trong tài liệu [6] chỉ ra rằng d(x, x ∗ ) ⩽ 1−α
1−2αd(x, T(x)) bằng phương pháp khác dài hơn, đồng thời với α ∈ [0, 1
Do đó, kết quả chúng tôi nêu ra ở đây là hiệu quả hơn đối với việc ứng dụng định lý Collage.
2.1.4 Bổ đề ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X →X là ánh xạ co Kannan liên tục với hệ số co α ∈ [0,1
Khi đó, T 0 cũng là ánh xạ co Kannan với hệ số co α.
Chứng minh Do T 0 là ánh xạ liên tục nên B ∈ H(X) thì T 0 (B) ∈ H(X) Lấy
⩽ α h(B, T 0 B) + h(C, T 0 C) Vậy, T 0 là ánh xạ co Kannan với hệ số co α.
2.1.5 Định lý ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hệ hàm lặpKannan S = (X,(T i ) i=1,n ) với T i : X → X là ánh xạ co Kannan liên tục với hệ số co α i ∈ [0,1
Khi đó, T cũng là ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max i=1,n
T có điểm bất động duy nhất là A∈ H(X) và
Chứng minh Trước hết ta chứng minh T là ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max i=1,n
Với n = 1, ta có T ≡ T 1 0 nên theo Bổ đề 2.1.4 thì T là ánh xạ co Kannan với hệ số co α = α 1
Với n = 2, với mọi B, C ∈ H(X) ta có h(TB,T C) = h(T 1 0 BS
Vậy, với n = 2 thì T là ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max{α 1 , α 2 }. Bằng quy nạp, ta chứng minh được T là ánh xạ co Kannan với mọi n ∈ N.
Vì T là ánh xạ co Kannan và theo Mệnh đề 2.1.1, tồn tại duy nhất A ∈ H(X) để A= T(A) n
Cuối cùng, tương tự như chứng minh Mệnh đề 2.1.1 thì với bất kỳ B ∈ H(X) ta chỉ ra được dãy {B n } = {T n (B)} hội tụ về A.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), định lý Kannan S = (X, (T_i)_{i=1,n}) với hệ số co α chỉ ra rằng, với bất kỳ L thuộc H(X) và A là tập bất biến của hệ hàm lặp S, ta có h(L, A) ⩽ (1 + α)h(L, T(L)).
Chứng minh Do h là mêtric nên ta có h(L, A) ⩽ h(L,T(L)) +h(T(L), A).
Vì A là tập bất biến của hệ hàm lặp S nên T(A) = A Do đó, ta có h(L, A) ⩽ h(L,T (L)) +h(T(L),T(A)).
Theo Định lý 2.1.5, T là ánh xạ co Kannan nên h(T(L),T (A)) ⩽ α[h(L,T(L)) +h(A,T (A))]
2.1.7 Nhận xét Định lý Collage đối với hệ hàm lặp Kannan đã được thiết lập ở Định lý 3.8 trong [6] Tuy nhiên, với kết quả thu được khác là h(L, A) ⩽ 1−α
Vì vậy, việc áp dụng định lý Collage mang lại kết quả có ý nghĩa hơn Thêm vào đó, phương pháp chứng minh được trình bày ở đây cũng ngắn gọn hơn so với tài liệu [6].
Tương tự như đối với hệ hàm lặp Kannan, ta có định lý Collage đối với hệ hàm lặp Reich như sau.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), nếu T : X → X là ánh xạ co Reich với các hằng số L, M > 0 thỏa mãn điều kiện L + 2M < 1 và d(Tx, Ty) ⩽ Ld(x, y) + M[d(x, Tx) + d(y, Ty)] cho mọi x, y ∈ X, thì T có duy nhất một điểm bất động p ∈ X Hơn nữa, với bất kỳ x₀ ∈ X, dãy lặp Picard {xₙ}ₙ=₀ = {Txₙ}ₙ=₀ sẽ hội tụ về p với tốc độ hội tụ được đánh giá bởi d(xₙ, p) ⩽ bⁿ.
Hệ quả sau chính là Định lý Collage đối với ánh xạ co Reich.