Giá, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố gắn kết
1.1.1 Giá của môđun Ký hiệuSpecRlà tập các iđêan nguyên tố của vành
R Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Tập hợp
Supp R M = {p ∈ SpecR|M p 6= 0} được gọi là giá của môđun M.
Ann R (x) và Ann R M là những iđêan của vành R; iđêan Ann R M được gọi là linh hóa tử của môđun M.
1.1.2 Iđêan nguyến tố liên kết Cho M là một R− môđun và p là một iđêan nguyên tố của vànhR.p được gọi là iđêannguyên tố liên kếtcủa môđun
M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = Ann R (x).
Tập hợp tất cả các nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass R M (hoặcAssM nếu ta không cần tập trung sự chú ý đến vành R).
Trong lý thuyết vành Noether, một iđêan nguyên tố p của vành R có thể được phân tích thông qua các môđun con Cụ thể, cho M là một R-môđun và N là môđun con của M với Ass R (M/N) = {p}, thì N được gọi là môđun con p-nguyên sơ của M Phân tích nguyên sơ của M được thể hiện dưới dạng M = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn, trong đó mỗi Ni là môđun con p i-nguyên sơ Nếu các pi là khác nhau và không có Ni nào là thừa, thì phân tích này được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn của M.
Theo Định lý phân tích nguyên sơ Noether-Lasker thì mọi môđun con của một môđun Noether M đều có một phân tích nguyên sơ thu gọn Giả sử
Môđun con 0 của M có thể được phân tích thành 0 = N 1 ∩ N 2 ∩ ∩ N n, trong đó mỗi N i là môđun con p i -nguyên sơ Tập {p 1, p 2, , p n} được xác định như trên chính là tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass R M của môđun M.
Nếu R là một vành Noether và M 6= 0 là một R-môđun có độ dài hữu hạn thì Ass R (M) = Supp R (M) = {m} Hơn nữa, nếu
0→ M 0 → M → M 00 →0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì
AssR(M 00 ) ⊆ Ass(M) ⊆ AssR(M 0 )∪Ass ( M 00 ) và
1.1.4 Biểu diễn thứ cấp và iđêan nguyên tố gắn kết Một R-môđun
X được gọi là môđun thứ cấp nếu với mọi r ∈ R phép nhân bởi r trên X là toàn cấu hoặc lũy linh Trong trường hơp này √
Trong lý thuyết đại số, Ann R X được coi là một iđêan nguyên tố p, và X được gọi là p-thứ cấp Biểu diễn thứ cấp của X được thể hiện dưới dạng X = X1 + X2 + + Xn, trong đó mỗi Xi là môđun con p i-thứ cấp, với i = 1, 2, , n Biểu diễn này được gọi là Biểu diễn thứ cấp tối tiểu nếu các pi là khác nhau và không có Xi nào là thừa Tập {p1, p2, , pn} xác định như trên được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun X, ký hiệu bởi Att R X (hoặc AttX nếu không chú ý đến R) Đối với bất kỳ R-môđun Artin A nào, luôn tồn tại một biểu diễn thứ cấp tối tiểu.
A là A = A 1 + A 2 + + A n trong đó A i là các p i thứ cấp Khi đó tập hợp {p 1 ,p 2 , ,p n } là độc lập và không phụ thuộc vào cácA i , được kí hiệu là Att R A.
Nếu 0< `(A) < ∞ thì Att(A) ={m} Giả sử
0 →A 0 →A → A 00 →0 là một dãy khớp ngắn của các môđun Artin thì
Độ cao và chiều Krull
1.2.1 Định nghĩa Một dãy các iđêan nguyên tố của vành R: p 0 ⊃ p 1 ⊃p 2 ⊃ ⊃ p n được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
Định nghĩa độ cao của một iđêan nguyên tố p trong vành R được xác định là cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p Độ cao này được ký hiệu là ht(p).
Giả sử I là một iđêan của R khi đó ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR,p ⊇ I}.
Chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR, được định nghĩa là cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R Cụ thể, dimR được tính bằng sup{ht(p) | p ∈ SpecR}, trong đó ht(p) là chiều của nguyên tố p trong tập hợp các nguyên tố của vành R.
(ii) Cho M là một R-môđun dim(R/Ann R (M)) được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim R (M) (hoặc dimM).
Hệ tham số và số bội
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ tham số trong vành giao hoán, địa phương Noether (R,m) với iđêan cực đại duy nhất m Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh và ký hiệu chiều Krull của M là dimM = d Số nguyên d được xác định là số nhỏ nhất để tồn tại một hệ gồm d phần tử x = (x₁, , x_d) thuộc m.
Hệ các phần tửx 1 , , x d ∈ m như thế được gọi là mộthệ tham sốcủa môđun M.
Sau đây là một số tính chất của hệ tham số.
(2) x i+1 ∈/ p với mọi p ∈ Ass(M/(x 1 , , x i )M) thỏa mãn dimR/p d−i, với mọi i = 1, , d−1.
(3) Nếu x = (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của M và n = (n 1 , , n d ) là một bộ gồm d só nguyên dương thì x(n) = (x n 1 1 , , x n d d ) cũng là một hệ tham số của M.
1.3.2 Số bội Một hệ các phần tử x = {x 1 , , x t } của m sao cho
Hệ bội của môđun M được định nghĩa là `(M/(x 1 , , x t )M) < +∞`, trong đó nếu t = 0 thì điều kiện trở thành `(M) < ∞` Cần lưu ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội, nhưng điều ngược lại không luôn đúng, với t luôn lớn hơn hoặc bằng d = dimM Kí hiệu bội e(x 1 , , x t | M) của môđun M đối với hệ bội x = {x 1 , , x t } (viết tắt là e(x |M)) được định nghĩa theo cách qui nạp dựa trên t.
Giả sử t = 0 tức là `(M) < ∞ Khi đó đặt e(∅ |M) = `(M).
Với t > 0, đặt 0 : x 1 = {m ∈ M | mx 1 = 0} Khi đó 0 : x 1 là một môđun con của M Vì `(M/(x 1 , , x t )M) < ∞ ta dễ dàng suy ra
`((0 : x 1 )/(x 2 , , x t )(0 : x 1 )) < ∞, tức (x 2 , , x t ) là hệ bội của môđun con 0 : x 1 Vậy theo giả thiết quy nạp thì e(x 2 , , x t | M/x 1 M) và e(x 2 , , x t | 0 : x 1 ) đã được xác định Khi đó ký hiệu bội e(x 1 , , x t | M) được định nghĩa như sau: e(x 1 , , x t | M) = e(x 2 , , x t | M/x 1 M)−e(x 2 , , x t | 0 : x 1 ).
Sau đây là một số tính chất cơ bản của ký hiệu bội e(x | M).
(1) 0 ≤ e(x 1 , , x t | M) ≤ `(M/(x 1 , , x t )M Đặc biệt, nếu tồn tại i sao cho x n i M = 0 với n là một số tự nhiên nào đó thì e(x 1 , , x t | M) = 0.
(2) e(x 1 , , x t | M) = 0 khi và chỉ khi t > d = dimM.
(4) Tính cộng tính: Cho dãy khớp ngắn các R− môđun
Khi đó x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội củaM 0 và M” Hơn nữa, e(x | M) =e(x | M 0 ) + e(x |M”).
Giả sử q = (x 1 , , x t )R là iđêan sinh bởi hệ bội x = {x 1 , , x t } của M. Khi đó
Hàm Hilbert-Samuel, ký hiệu là P q (n) = R (M/q n+1 M), là một hàm số phụ thuộc vào biến n Định lý Đa thức Hilbert (Hilbert Polynomial Theorem) khẳng định rằng tồn tại một đa thức p q (n) với bậc d = dimM, sao cho với n đủ lớn (ký hiệu là n 0), ta có P q (n) = p q (n) Hơn nữa, có những số nguyên dương (q;M) > 0, e 1 (q;M), , e d (q;M) sao cho p q (n) được biểu diễn dưới dạng p q (n) = e 0 (q;M)C n+d d + e 1 (q;M)C n+d−1 d−1 + + e d (q;M).
Hệ số cao nhất e 0 (q;M) của đa thức p q (n) được định nghĩa là số bội của iđêan q trong môđun M Khi q = m và M = R, số bội e 0 (q;R) được ký hiệu là e 0 (R) và được gọi là số bội của vành R.
Chú ý rằng, nếu x = {x 1 , , x t } là một hệ tham số của M, tức t= d thì khi đó số bội của iđêan q = xR đối với môđun M chính bằng ký hiệu bội e(x | M), nghĩa là, e 0 (q;M) =e(x | M).
Do đó trong trường hợp này chúng được ký hiệu là e(x 1 , , x d ;M) (hoặc đơn giản là e(x;M)) và gọi đơn giản làsố bội của hệ tham sốxđối với môđun
Chú ý rằng e(x₁, , xₜ | M) = 0 khi và chỉ khi t > d, điều này có nghĩa là ký hiệu bội e(x₁, , xₜ | M) chỉ có ý nghĩa khi hệ bội x = {x₁, , xₜ} là một hệ tham số của môđun M Trong trường hợp này, ký hiệu bội e(x₁, , xₖ | M) thể hiện số bội e(x₁, , xₖ; M).
Dãy chính quy và dãy lọc chính quy
1.4.1 Dãy chính quy và độ sâu Cho M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh. (i) Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M hay phần tử
M- chính quy nếu a không là ước của 0 đối với M, nghĩa là ax 6= 0 với mọi x ∈ M, x 6= 0.
(ii) Một dãy các phần tử a 1 , , a n ∈ R được gọi là dãy chính quy của
R-môđun M hay còn được gọi là M-dãy nếu M/(a 1 , , a n )M 6= 0 và a i là phần tử chính quy của M/(a 1 , , a i−1 )M với mọi i = 1, , n.
Một phần tử a ∈ R được coi là phần tử chính quy của M nếu và chỉ nếu a không thuộc bất kỳ lý thuyết tối thiểu nào p ∈ AssM Do đó, một dãy a1, , an là dãy chính quy của M khi và chỉ khi thương số M/(a1, , an)M khác không và mỗi phần tử ai không thuộc lý thuyết tối thiểu p trong AssM/(a1, , ai-1)M đối với mọi i = 1, , n.
Giả sử a1, , an là một M-dãy với n là độ dài của dãy Cho I là một iđêan tùy ý của vành R sao cho IM ≠ M, và a1, , an là một M-dãy trong I Khi đó, a1, , an được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y ∈ I sao cho a1, , an, y là dãy chính quy của I.
M Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có độ dài giống nhau, được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I, kí hiệu là depth I M Đặc biệt, khi I = m, độ sâu này được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM.
Ta luôn có depthM ≤ dimM.
Dãy lọc chính quy, hay còn gọi là f-dãy, là một tập hợp các phần tử x1, x2, , xr thuộc iđêan cực đại m Để được coi là dãy lọc chính quy, các phần tử này phải thỏa mãn điều kiện rằng không có phần tử nào p thuộc tập hợp Ass(M/(x1, x2, , xi−1)M) ngoại trừ m, với mọi i từ 1 đến r Đặc biệt, khi i = 1, M/(x1, x2, , xi−1)M được định nghĩa là M.
Một dãy lọc chính quy x1, x2, , xr của môđun M là dãy lọc chính quy của môđun thương M/Hm0(M) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện này Nếu x1, , xr là dãy lọc chính quy của M, thì với mọi n ≥ 1, luôn tồn tại phần tử y ∈ mn sao cho x1, , xr, y cũng tạo thành một dãy lọc chính quy của M Điều này cho thấy độ dài của dãy lọc chính quy của M có thể linh hoạt Hơn nữa, nếu M là một R-môđun Noether và x1, , xr là một phần của hệ tham số của M, thì sẽ tồn tại y1, , yr là một dãy lọc chính quy của M.
Môđun đối đồng điều địa phương và môđun mở rộng
1.5.1 Môđun dối đồng điều địa phương Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R - môđun M, tập hợp Γ I (M) := [ n∈ N
(0 : M I n ) = {x ∈ M|∃n ∈ N, xI n = 0}. là một môđun con củaM Với mỗiR-đồng cấuf : M →N, ta cóf(Γ I (M)) ⊆ Γ I (N) Do đó tồn tại một R-đồng cấu: Γ I (f) : Γ I (M) −→Γ I (N) x 7−→Γ I (f)(x) = f(x),∀x ∈ Γ I (M).
Khi đó Γ I là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các
R-môđun vào phạm trù các R-môđun Γ I được gọi là hàm tử xoắn.
Đối với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất thứ i của Γ I được biểu diễn là R i Γ I (−), với i = 1, 2, Đây là một hàm tử từ phạm trù R-môđun vào phạm trù R-môđun Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M liên quan đến lý thuyết iđêan I, được ký hiệu là H I i (M) và được định nghĩa bởi H I i (M) = R i Γ I (M).
Từ định nghĩa trên ta có thể xác định H I i (M) như sau: Trước hết lấy lời giải nội xạ
−−→ của M Khi đó có một R-đồng cấu α :M −→I 0 sao cho dãy
−−→ là khớp Từ đó nhận được phức
Cần chú ý rằng H I i (M) không phụ thuộc vào việc lựa chọn lời giải nội xạ của M Dễ thấy H I 0 (M) = Γ I (M) do đó H I 0 (M) là một môđun con của M.
Ta có một số tính chất sau đây của môđun đối đồng điều địa phương.
(i) Nếu I n M = 0 với một số tự nhiên n nào đó thì H I 0 (M) = M và
Cho r là một số tự nhiên, môđun H I i (M) có tính chất hữu hạn sinh với mọi i < r nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho I n H I i (M) = 0 với mọi i < r.
(iii) Khi I = m là iđêan cực đại của R thì H m i (M) là R-môđun Artin, hơn nữa H m i (M) = 0 với mọi i > dimM hoặc i < depthM Đặc biệt H m dim M (M) hữu hạn sinh khi và chỉ khi dimM = 0.
1.5.2 Môđun mở rộng Cho M là một R-môđun Khi đó hàm tử
F là hàm tử hiệp biến xác định bởi F(N) = Hom R (M, N) cho mọi R-môđun N, chuyển đổi từ phạm trù các R-môđun R-mod vào chính nó Hàm tử dẫn xuất R • F = {R i F} ∞ i=0 được gọi là hàm tử mở rộng của M Với mỗi số nguyên i, R i F : R−mod −→ R−mod là hàm tử mở rộng thứ i của M, và với mỗi R-môđun N, Ext i R (M, N) := R i F(N) là môđun mở rộng thứ i của M và N Để xác định môđun Ext i R (M, N), trước hết cần lấy một giải nội xạ tùy ý của N.
Khi đó ta có phức
Khi đó môđun đồng điều thứ i của phức (2) chính là Ext i R (M, N) Vậy Ext i R (M, N) = Kerd i ∗ /Imd i−1 ∗
Các môđun Ext i R (M, N) không phụ thuộc vào lựa chọn giải nội xạ của N, với Ext i R (M, N) = 0 cho mọi i < depth R (M) và Ext 0 R (M, N) tương đương với Hom R (M, N) Ngoài ra, nếu M là môđun xạ ảnh hoặc N là môđun nội xạ, thì Ext i R (M, N) sẽ bằng 0 cho mọi số nguyên i.
Ngoài ra, từ dãy khớp ngắn các R-môđun
0 // N 0 // N // N 00 // 0, ta nhận được dãy khớp dài các R-môđun
Môđun Cohen Macaulay và môđun Cohen Macaulay suy rộng
Theo 1.3.2 (1), với mỗi hệ tham số x của M thì `(M/xM) ≥ e(x;M). Đặt
Khi đó I(x;M) ≥0 với mọi hệ tham số x của M Đặt I(M) = sup x
I(x;M),với sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số của M Chú ý I(M) có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
1.6.1 Định nghĩa (i).M được gọi làmôđun Cohen Macaulay nếuI(x;M) 0 với mọi hệ tham số x của M.
(ii) M được gọi là môđun Cohen Macaulay suy rộng nếu I(M) < +∞. Khi đó số I(M) được xác định như sau
C d−1 i `(H m i (M)), trong đó C d−1 i là tổ hợp chập i của d−1 phần tử.
Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen- Macaulay suy rộng.
1.6.2 Mệnh đề (i) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi depth R (M) = dim R (M).
(ii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi H m i (M) = 0 với mọi i 6= dimM.
(ii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi `(H m i (M)) d Từ Định lý 2.1.5, P. Schenzel đã đưa ra khái niệm môđun chính tắc của một môđun hữu hạn sinh như sau.
2.1.6 Định nghĩa Với mỗi i = 0,1, , d− 1, K i (M) được gọi là môđun khuyết thứ i của M và với i = d thì K(M) := K d (M) được gọi là môđun chính tắc của M.
Khi M = R, Định nghĩa 2.1.6 và Định nghĩa 2.1.2 trở nên tương đương Theo lý thuyết đối ngẫu Matlis và Định lý 2.1.5, các môđun K i (M) được xác định một cách độc lập (không đồng đẳng cấu) với sự lựa chọn vành R 0.
Các môđun khuyết K i (M), với i ∈ Z, là R-môđun hữu hạn sinh M được coi là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi K i (M) = 0 với mọi i khác d Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh, thì M thỏa mãn điều kiện Serre (S k ), với k ∈ N, nếu độ sâu depthM p ≥ min{k, dimM p} cho mọi p ∈ SuppM.
M thỏa mãn điều kiện (S 1) khi và chỉ khi tất cả các iđêan nguyên tố của M đều là cực tiểu M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M thỏa mãn điều kiện (S k) với mọi k thuộc tập hợp số tự nhiên N.
2.1.7 Mệnh đề [15, Proposition 2.2] Giả sử M là R-môđun với dimM = d. Các phát biểu sau là đúng:
(ii)Nếu dimM = dimM p + dimR/p với p ∈ SuppM thì
(iii) Nếu M đẳng chiều thì M thỏa mãn điều kiện S k khi và chỉ khi dimK i (M) ≤ i−k với mọi 0 ≤ i 0, tồn tại một f-dãy chặt đối với M có độ dài t Nếu {x₁, , xₜ} là một f-dãy chặt đối với M và t ≤ d, thì nó là một phần hệ tham số của M Bổ đề 2.2.4 chỉ ra rằng một phần tử x ∈ m là một f-phần tử chặt đối với M khi và chỉ khi x là phần tử lọc chính quy đối với môđun Kᵢ(M) với mọi i Đặc biệt, nếu d > 0 và x là một f-phần tử chặt đối với M, thì x là phần tử chính quy của K(M) và `(0: Kᵢ(M) x) < ∞ với mọi i < d.
Chứng minh Theo Định lý đối ngẫu địa phương [3, 11.2.6] ta có đẳng cấu
H m i (M) ∼= HomR(K i (M), E(R/m)), trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m Theo đối ngẫu Matlis, ta có Att R (D(N)) = Ass R (N) với D := Hom R (., E) và N là một R-môđun Noether Khi thay N bằng K i (M), ta nhận được Ass R K i (M) = Att R H m i (M) cho mọi i, từ đó chứng minh được bổ đề.
2.2.5 Bổ đề Giả sử x ∈ m là một f-phần tử chặt đối với môđun M Khi đó với mỗi số nguyên i ≥ 1 ta có dãy khớp
0→ K i+1 (M)/xK i+1 (M) → K i (M/xM) →(0: K i (M ) x) → 0. Đặc biệt, H m i (K(M)/xK(M)) ∼= H m i (K(M/xM)) với mọi i ≥ 2.
Chứng minh Vì `(0: M x) < ∞ bởi Bổ đề 2.2.3 nên ta có H m i (M/0: M x) ∼H m i (M) với mọi i ≥ 1 Do đó từ dãy khớp
0→ M/(0: M x) −→ x M →M/xM →0 ta nhận được dãy khớp sau với mọi i ≥ 1
Từ tính đối ngẫu địa phương [3, 11.2.6], ta có dãy khớp sau với mọi i ≥ 1
0→ K i+1 (M)/xK i+1 (M) → K i (M/xM) →(0: K i (M ) x) → 0. Đặc biệt, với i = d−1 , ta có dãy khớp sau
Theo Bổ đề 2.2.4 thì (0: K d−1 (M ) x) là môđun có độ dài hữu hạn nên với mọi i ≥ 2 ta có
2.2.6 Chú ý Giả sử d ≥ 1 và x ∈ m là một f-phần tử chặt đối với môđun
M Khi đó theo Bổ đề 2.2.4 thì x là một K(M)-chính qui Vì vậy ta có dãy khớp
Dãy khớp trên cảm sinh ra dãy khớp sau đây
0→ H m i (K(M))/xH m i (K(M)) →H m i (K(M)/xK(M)) →(0: H m i+1 (K(M )) x) →0 với mọi số nguyên i ≥ 0.
2.2.7 Định nghĩa Cho A là một R-môđun Artin.
(i) Chỉ số ổn định của A, được kí hiệu là s(A) là số nguyên dương s nhỏ nhất sao cho m s A = m n A với mọi n ≥s.
(ii)Kí hiệu Rl(A) là độ dài của A/m s(A) A Khi đó Rl(A) là hữu hạn, và được gọi là chiều dài dư của A.
Rl(A) bằng 0 khi và chỉ khi m không thuộc tập AttRA Hơn nữa, nếu x là một phần tử trong m mà không thuộc p với mọi p trong AttRA ngoại trừ m, thì `(A/xA) nhỏ hơn hoặc bằng Rl(A) Trong trường hợp này, `(A/x^n A) bằng Rl(A) với mọi n lớn hơn hoặc bằng s(A).
2.2.8 Bổ đề Cho i ≥ 0 là một số nguyên và x là một f-phần tử chặt đối với môđun M Khi đó với mọi n >> 0 ta có
Chứng minh Chú ý rằng x n là một f-phần tử chặt đối với M với mọi số nguyên n > 0 Do đó theo Bổ đề 2.2.4 ta có `(0: K i (M ) x n ) < ∞ Do
H m 0 (K m i (M)) là môđun con lớn nhất của K i (M) có độ dài hữu hạn Với n >> 0 ta có
Do đó `(H m 0 (K i (M))) = `(0: K i (M ) x n ) với n >> 0 Chú ý rằng theo [3, 11.2.6] ta có H m i (M) ∼= D(K i (M)), ở đây D(−) là hàm tử đối ngẫu Matlis.
Vì x /∈ p với mọi p ∈ AttRH m i (M)\ {m}, nên ta có `(H m i (M)/x n H m i (M)) Rl(H m i (M)) cho n >> 0 Vì vậy, bổ đề được chứng minh.
Trong [10], L T Nhàn đã đưa ra đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay chính tắc qua f-dãy chặt như sau.
2.2.9 Định lí [10, Theorem 4.1] Giả sử R là vành có phức đối ngẫu Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay chính tắc;
(ii) Với mọi hệ tham số x = {x 1 , , x d } của M là f-dãy chặt ta có d−3
(iii) Tồn tại một hệ tham số x = {x 1 , , x d } của M là f-dãy chặt sao cho d−3
Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc
Trong bài viết này, chúng ta ký hiệu (R,m) là vành thương của vành địa phương Gorenstein (R 0 ,m 0 ) với dimR 0 = n M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d Khái niệm môđun Cohen-Macaulay được mở rộng chính thức bởi N T H Loan và L T Nhàn trong tài liệu [9] Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm này.
2.3.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc nếu môđun chính tắc K(M) của M là Cohen-Macaulay suy rộng.
Tất cả các môđun Cohen-Macaulay chính tắc đều là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Vì vậy, các môđun được đề cập trong Ví dụ 2.1.10 cũng thuộc loại môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
(2) Nếu dimM ≤ 3 hoặc M là Cohen-Macaulay suy rộng thì khi đó M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Nếu M/U M (0) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, với U M (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn dim M, thì M được coi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng được đề cập trong tài liệu [4] cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề cần thiết để chứng minh kết quả chính, đồng thời giới thiệu các tính chất của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
2.3.3 Bổ đề Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc và x là f-phần tử chặt đối với M thì M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
Chứng minh Nếu d ≤ 2, phát biểu của Bổ đề là hiển nhiên Giả sử d ≥
3 Khi đó dim(M/xM) ≥ 2 Suy ra depth(K(M/xM)) ≥ 2 và do đó
H m i (K(M/xM)) = 0 với i = 0,1 Theo Bổ đề 2.2.5 ta có
H m i (K(M/xM)) ∼= H m i (K(M)/xK(M)) với mọi i ≥ 2 Vì x là K(M)-chính quy và K(M) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, nên K(M)/xK(M) cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng Điều này dẫn đến `(H m i (K(M)/xK(M))) < ∞` với mọi i < d−1, từ đó suy ra H m i (K(M/xM)) có độ dài hữu hạn với mọi i < d−1 Do đó, môđun chính tắc K(M/xM) của M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng, chứng minh rằng M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
2.3.4 Bổ đề Giả sử d ≥ 4 Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc thì
Rl(H m d−2 (M/xM)) ≤`(H m 2 (K(M))) +`(H m 3 (K(M))) với mọi f-phần tử chặt x đối với M Đẳng thức xảy ra khi x ∈ m r , ở đây r = min t∈ N|m t H m i (K(M)) = 0,∀i < d
Giả sử x là một f-phần tử chặt đối với môđun M và N được định nghĩa là M/xM Với dimM = d và dimN = d−1, nếu n ∈ N và y là một f-phần tử chặt đối với môđun N, thì y n cũng là f-phần tử chặt đối với môđun N Áp dụng Bổ đề 2.2.5 cho môđun N với f-phần tử chặt y n và số nguyên i = d−2, ta có dãy khớp sau.
Chú ý rằngdim(N/y n N) = d−2 ≥2 Vì vậy,depth(K(N/y n N)) ≥ 2 Suy ra
H m i (K(N/y n N)) = 0với i = 0,1 Theo Bổ đề 2.2.4 ta có`(0: K d−2 (N ) y n ) < ∞.
Vì vậy, từ dãy khớp trên ta nhận được
Theo Bổ đề 2.2.8, Rl(H m d−2 (N)) = `(H m 0 (K d−2 (N))) = `(0: K d−2 (N ) y n ) với n >> 0 Do đó
Từ dimN = d−1≥ 3, ta có depthK(N) ≥ 2 Do đó H m 1 (K(N)) = 0 Cho nên áp dụng Chú ý 2.2.6 cho môđun N với f-phần tử chặt y n và số nguyên i = 1 ta thu được đẳng cấu
Theo Bổ đề 2.3.3 ta có K(N) là Cohen-Macaulay suy rộng có số chiều d−
1 ≥ 3 Vì vậy, `(H m 2 (K(N)) < ∞ Do đó (0: H m 2 (K(N )) y n ) = H m 2 (K(N)) với n >> 0, suy ra
Từ đó theo Bổ đề 2.2.5 ta có
Theo Chú ý 2.2.6, chúng ta nhận được dãy khớp sau:
Từd≥ 4, bằng cách chọnrta có(0: H m 3 (K(M )) x) =H m 3 (K(M))vàxH m 2 (K(M)) 0 với x ∈ m r Vì vậy, từ dãy khớp trên ta nhận được
`(H m 2 K(M)/xK(M))) ≤`(H m 2 (K(M))) +`(H m 3 (K(M))) (4) và dấu đẳng thức xảy ra khi x ∈ m r Kết hợp (1) và (4) ta có
≤ `(H m 2 (K(M))) +`(H m 3 (K(M))), và dấu đẳng thức xảy ra khi x ∈ m r
Với mỗi hệ tham sốx = {x 1 , , x d }củaM, đặtM x,k = M/(x 1 , , x k )M với k = 1, , d−3.
2.3.5 Bổ đề Giả sử M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Cho k là số nguyên sao cho 1 ≤k ≤ d−3 Khi đó
C k i `(H m i+2 K(M))) với mọi hệ tham số x = {x 1 , , x d } của M là f-dãy chặt Đẳng thức xảy ra khi (x 1 , , x d ) ⊆m 2 k−1 r , trong đó r = min t∈ N|m t H m i (K(M)) = 0,∀i < d
Nếu d ≤ 3, phát biểu của bổ đề là hiển nhiên đúng Do đó, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp d ≥ 4 Giả sử x = {x₁, , x_d} là một hệ tham số của M và là f-dãy chặt Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo d rằng
C k i `(H m i+2 K(M))) với k = 1, , d−3, đẳng thức đạt được khi x 1 , , x k ∈ m 2 k−1 r
Khi d = 4, chúng ta có thể suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.3.4 Nếu d > 4 và giả thiết rằng kết quả đúng cho d - 1, ta đặt N = M/x1M Theo Bổ đề 2.3.3, N là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc với số chiều bằng d - 1 Lưu ý rằng {x2, , xd} là một f-dãy chặt và là hệ tham số của.
N, do đó theo giả thiết pháp quy nạp chúng ta có
C k−1 i `(H m i+2 K(N))) (5) với mọi k = 2, , d −3, và đẳng thức đạt được khi x 2 , , x k ∈ m 2 k−2 s , trong đó s = min t∈ N|m t H m i (K(N)) = 0,∀i < d−1
Chú ý rằng N/(x 2 , , x k) N ∼= M x,k với mọi k = 2, , d − 3 Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.5, ta có đẳng cấu
H m i (K(N)) ∼= H m i (K(M)/x 1 K(M)) với mọi i ≥ 2 Do đó từ dãy khớp như trong Chú ý 2.2.6
`(H m i (K(N))) = `(H m i K(M)/x 1 K(M))) ≤`(H m i (K(M)))+`(H m i+1 (K(M))) với mọi i = 2, , d−2 Chú ý rằng C k−1 i +C k−1 i−1 = C k i Cho nên, từ (5) suy ra
Trường hợp k = 1 áp dụng Bổ đề 2.3.4 Từ dãy khớp như trong Chú ý 2.2.6
→0, bởi sự lựa chọn của r ta có m 2r H m i (K(M)/xK(M))) = 0 với mọi i < d−1.
Do dimN ≥ 4 suy ra depthK(N) ≥ 2 Vì vậy, H m i (K(N)) = 0 với i = 0,1.Theo Bổ đề 2.2.5 ta có H m i (K(N)) ∼= H m i (K(M)/x1K(M)) với mọi i ≥ 2,suy ra m 2r H m i (K(N)) = 0 với mọi i = 2, , d −2 Do đó s ≤ 2r Vì vậy, nếu x 1 , , x k ∈ m 2 k−1 r , ta có
Giả sử x = {x1, , xd} là một hệ tham số của M là f-dãy chặt, với c, k là các số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ d−3 và `(Hmk+2(K(M))) > c` Khi đó, tồn tại các số nguyên dương n1, , nk.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên bằng phương pháp quy nạp theo k = 1, , d−3 Giả sử k = 1 Khi đó `(H m 3 (K(M))) > c Chú ý rằng
Do đó ta có thể chọn số nguyên n1 sao cho `(0: H m 3 (K(M )) x n 1 1 ) > c Theo Chú ý 2.2.6, chúng ta có dãy khớp
Suy ra ` H m 2 (K(M)/x n 1 1 K(M)) > c Đặt M 1 = M/x n 1 1 M Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5, ta có đẳng cấu
Vì vậy, ` H m 2 (K(M 1 )) > c Cho nên, tồn tại n 2 ∈ N sao cho
Theo Bổ đề 2.2.2 ta có x n 2 2 là một f-phần tử chặt đối với M 1 nên theo Chú ý 2.2.6 chúng ta có dãy khớp
Suy ra ` H m 1 (K(M 1 )/x n 2 2 K(M 1 )) > c Theo Bổ đề 2.2.5 ta lại có dãy khớp
Từ d ≥ 4 , ta có dim(M 1 /x n 2 2 M 1 ) ≥ 2 Vì vậy, depth(K(M 1 /x n 2 2 M 1 )) ≥ 2.
Vì (0: K d−2 (M 1 ) x n 2 2 ) có độ dài hữu hạn, nên từ dãy khớp ở trên chúng ta có
Suy ra `(0: K d−2 (M 1 ) x n 2 2 ) > c, theo Bổ đề 2.2.8 ta có Rl(H m d−2 (M/x n 1 1 M)) > c. Như vậy, kết quả đúng với k = 1
Giả sử 2 ≤ k ≤ d −3 Từ ` H m k+2 (K(M)) > c, ta có thể chọn một số nguyên dương n 1 sao cho `(0: H k+2 m (K(M ))x n 1 1 ) > c Theo Bổ đề 2.2.5, chúng ta có dãy khớp
Suy ra ` H m k+1 (K(M)/x n 1 1 K(M)) > c Vì k ≥ 2 , theo Bổ đề 2.2.5 chúng ta có đẳng cấu
H m k+1 (K(M)/x n 1 1 K(M)) ∼= H m k+1 (K(M/x n 1 1 M)). Đặt N = M/x n 1 1 M Khi đó ` H m (k−1)+2 (K(N)) > c, ở đây 1 ≤ k −1 ≤ dimN −3 Cho nên, áp dụng giả thiết quy nạp đối với số nguyên k −1 và môđun N ta có
Rl(H m dim N −(k−1)−1 (N/(x n 2 2 , , x n k k )N)) > c với các số nguyên dương n 2 , , n k Điều này có nghĩa là
Như vậy Bổ đề được chứng minh.
Nếu dimM ⩽ 3, thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Đối với trường hợp dimM ≥ 4, một định lý quan trọng trong tài liệu [9] cung cấp đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc thông qua khái niệm f-dãy chặt Kết quả này mở rộng một kết quả tương tự đã được trình bày trong [10] liên quan đến môđun Cohen-Macaulay chính tắc (xem Định lý 2.2.9).
2.3.7 Định lí Giả sử d ≥ 4 Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;
(ii) Tồn tại một số c(M) sao cho d−3
Rl(H m d−k−1 (Mx,k)) ≤c(M) với mọi hệ tham số x = {x 1 , , xd} của M là f-dãy chặt;
(iii) Tồn tại một hệ tham số x = {x 1 , , xd} của M là f-dãy chặt và một số c(x, M) sao cho d−3
Hơn nữa, nếu (i), (ii), (iii) thỏa mãn thì d−3
`(H m i+2 (K(M))) với mọi hệ tham số x = {x 1 , , x d } của M là f-dãy chặt Đẳng thức xảy ra khi x ⊆ m 2 d−4 r , trong đó r = min t ∈ N|m t H m i (K(M)) = 0, ∀i < d
Chứng minh Khẳng định (i) ⇒ (ii) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.3.5. Khẳng định (ii) ⇒(iii) là hiển nhiên.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (i) Giả sử {x 1 , , x d } là một hệ tham số của M là f-dãy chặt, c(x, M) là một số sao cho d−3
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức Rl(H m d−k−1 (M/(x n 1 1 , , x n k k )M)) ≤ c(x, M) với mọi n 1 , , n d ∈ N Giả sử M không phải là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, ta biết rằng K(M) thỏa mãn điều kiện Serre (S 2 ) và có đẳng chiều Theo [13, Lemma 3.2.1], ta suy ra rằng `(H m 1 (K(M))) < ∞ với mọi i ≤ 2 Do đó, tồn tại một số nguyên k trong khoảng 1 ≤ k ≤ d−3 sao cho H m k+2 (K(M)) có độ dài vô hạn, dẫn đến `(H m k+2 (K(M))) > c(x, M) với mọi số nguyên.
1≤ k ≤ d−3 Do đó, theo Bổ đề 2.3.6 tồn tại các số nguyên n 1 , , n k sao cho Rl(H m d−k−1 (M/(x n 1 1 , , x n k k )M)) > c(x, M) Điều này là mâu thuẫn Vì vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài viết này nhằm trình bày kết quả nghiên cứu về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua f-dãy chặt, theo tài liệu [9] Luận văn đã hoàn thành việc trình bày các nội dung liên quan đến vấn đề này.
1 Một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến việc trình bày nội dung chính của luận văn (Chương 1).
2 Môđun chính tắc và môđun Cohen-Macaulay chính tắc (Mục 2.1).
3 f-dãy chặt và kết của của [10] về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay chính tắc qua f-dãy chặt (Mục 2.2).
4 Chứng minh chi tiết kết quả của [9] về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua f-dãy chặt (Mục 2.3).
[1] Phan Thị Thanh Hải (2010), Về f-dãy chặt, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường ĐH Vinh.
[2] M Brodmann and L T Nhan (2012), On Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra, 371, 480-491.
[3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[4] N T Cuong and L T Nhan (2003), On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra,267, 156-177.
[5] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2004), The finiteness of cer- tain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions,
[6] N T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), On the length of generalized fractions, J Algebra 265, no 1, 100-113.
[7] S Goto (2016), Homological methods in commutative algebra, Lecture notes at the international schools held in 2016 at Thai Nguyen Univer- sity.