Về môđun cohen macaulay suy rộng

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

Độ dài môđun 3

1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không được gọi là môđun đơn nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó

1.1.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con

 là một môđun đơn, với mọi i  1, 2, , n Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này

(a) Một không gian véctơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn

(b) Một không gian véctơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó có chiều d

(c) Vành số nguyên là một -môđun không có dãy hợp thành

1.1.4 Định lý Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành của M

Từ Định lý 1.1.4 ta có định nghĩa sau

1.1.5 Định nghĩa Độ dài của dãy hợp thành tùy ý của R-môđun M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là R   M hoặc đơn giản là   M Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài R   M   và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn.

(a) Độ dài của một không gian véctơ chính là số chiều của không gian véctơ đó

(d)  / 6   2 và / 6 có dãy hợp thành là

Chiều Krull 4

1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R

1 o n p  p   p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho p  Spec R  , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0  p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p   Nghĩa là

  sup ht p  {độ dài các xích nguyên tố với p 0  p }

Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa như sau

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R hay dim K R

Cho M là một R-Môđun Khi đó dim

R Ann M được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim M hay dim K M Trong đó

Ann M R   a R aM     a R / ax=0, x   M  là một iđêan của R và Ann M R được gọi là linh hóa tử của môđun M Từ đó ta có dim M  dim R

Chiều Krull của trường K là 0, vì K chỉ có hai iđêan là (0) và K, trong đó (0) là iđêan nguyên tố duy nhất Do đó, ta có dim K = 0 Nếu xem K như một không gian véctơ, thì dim K = 1.

Độ dim của vành các số nguyên là 1, vì mọi iđêan nguyên tố chỉ có thể là 0 hoặc một số nguyên tố p Hơn nữa, mọi iđêan p với p là số nguyên tố đều là iđêan cực đại Do đó, xích nguyên tố của vành này có độ dài lớn nhất là 1, thể hiện qua mối quan hệ 0 ⊆ p.

(c) Xét vành đa thức 3 biến k x y z  , ,  Ta có: dim k x y z  , ,      x 3 z 2  2

Hệ tham số Số bội 5

1.3.1 Định nghĩa Cho  R m ,  là một vành địa phương Noether, M là R-môđun với dim M  d H ệ các phần tử  x 1 , , x d  của m được gọi là hệ tham số của M nếu độ dài

( M /( , , x 1 x M d ) )   và khi đó iđêan q   x 1 , , x d  R được gọi là iđêan tham số

1.3.2 Chú ý Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại

1.3.3 Mệnh đề Cho  R m ,  là vành địa phương Noether và x 1 , , x d là một hệ tham số của môđun M Khi đó  1  dim M , 1 x , , i d i i d x M     

1.3.4 Ví dụ  x 1 , , x d  là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức

1.3.5 Định nghĩa Cho q là iđêan tham số của môđun M Khi đó ta gọi

  là hàm Hilbert-Samuel Khi n 0 hàm này trở thành một đa thức, kí hiệu P q M ,   n Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel.

1.3.6 Nhận xét Ta có deg P q M ,   n  dim M  d Hơn nữa

              (*) trong đó e q M 0  ,   , e q M 1 ,  , , e q M d  ,  là những số nguyên và e q M 0  ,   0.

Gọi a 0 là hệ số cao nhất của đa thức P q M ,   n thì e q M 0  ,   a d 0 !

(i) Số tự nhiên e q M 0  ,  trong khai triển (*) của P q M ,   n được gọi là số bội của

M đối với iđêan tham số q

(ii) Đặc biệt khi q  m ta kí hiệu là số bội e q M  ,   e q M 0  ,     e M và gọi là số bội của môđun M

1.3.8 Ví dụ Số bội của vành đa thức R  k x  1 , , x n  là 1.

Dãy chính qui Dãy lọc chính qui 7

1.4.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun

(i) Phần tử x  R , x  0 được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử

(ii) Phần tử x  R được gọi là M-chính qui nếu M  xM và x không là ước của

(iii) Một dãy  x 1 , , x t  các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay

1.4.2 Định nghĩa Cho I  R là một iđêan Nếu x 1 , , x t  I và là dãy chính qui thì dãy

 x 1 , , x t  được gọi là dãy M-chính qui cực đại nếu không tồn tại y  I để  x 1 , , , x y t  là một dãy M-chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên

Cho R là vành địa phương và I là một iđêan trong R Độ dài của hai dãy M-chính qui cực đại trong iđêan I luôn bằng nhau, dẫn đến định nghĩa quan trọng sau đây.

1.4.3 Định nghĩa Cho  R m , là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth m M  ,  hay depth M   và được gọi là độ sâu của môđun M

1.4.4 Chú ý Cho M là R-môđun Ta luôn có depth M  dim M

1.4.5 Định nghĩa Cho x   x 1 , , x d  là một hệ tham số của môđun M x được gọi là dãy lọc chính qui hay f-dãy nếu

Iđêan nguyên tố liên kết 8

1.5.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x  M để

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass R   M hoặc Ass M   Như vậy

Ass M  p  SpecR p /  Ann x ,với x  M nào đó}

(i) Nếu N là một môđun con của M thì Ass   N  Ass   M ;

(ii) Nếu M là R-môđun Noether thì Ass   M là tập hữu hạn

1.5.3 Định nghĩa Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu

N chỉ gồm một phần tử Tức là tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho

N  Khi đó ta nói N là môđun con p-nguyên sơ

1.5.4 Định nghĩa Cho N là môđun con của M N được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng

N  N N N (*) trong đó N i là môđun con p i -nguyên sơ, i  1, , r

Phân tích nguyên sơ thu gọn được định nghĩa là phân tích nguyên sơ trong đó các p i phân biệt từng đôi một và không thể loại bỏ bất kỳ môđun N i nào.

1.5.5 Định lý Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có phân tích nguyên sơ, và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn

1.5.6 Định lý Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R Khi đó nếu môđun con N của M có phân tích nguyên sơ thu gọn

 , trong đó N i là môđun con p i -nguyên sơ với i  1, , r , thì các p i là duy nhất xác định bởi N 0 và ta có

1.5.7 Ví dụ Trong ví dụ 1.2.2 c) ta có

Môđun đối đồng đều địa phương 9

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun Ta có

O I  O I   O I  là dãy các môđun con lồng nhau nên : M n n N

 cũng là môđun con của M và kí hiệu là

1.6.1 Định nghĩa Môđun  I   M xác định ở trên được gọi là môđun con I-xoắn cuả

Kí hiệu  I   f hay f * là ánh xạ hạn chế của f trên  I   M

   với    I I   :  M  f  N    I   M   I   f  I   N  Ta có hàm tử  I   là hiệp biến, cộng tính (R-tuyến tính, khớp trái)

1.6.2 Định nghĩa Hàm tử    I I   xác định ở trên được gọi là hàm tử I-xoắn

1.6.3 Định nghĩa Xét dãy nội xạ của môđun M

 được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I

1.6.4 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn  I được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là H I i  

1.6.5 Mệnh đề Giả sử x 1 , , x r  I là dãy M-chính qui Khi đó

1.6.7 Định lý (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I là iđêan của vành giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó

MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG 13

Những vấn đề cơ bản về môđun Cohen-Macaulay suy rộng 13

2.1.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu

2.1.2 Mệnh đề M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi

(a) Mọi môđun có chiều bằng 1 là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Do dim M  1 nên theo Mệnh đề 2.1.2 ta chỉ cần chứng minh

 H m 0   M    Điều này luôn đúng Vì vậy, chẳng hạn k x y z  , ,  -môđun

 x y 3 , k x y z   , , x y z , 2 , 4  là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(b) Mọi môđun Cohen-Macaulay là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7.3 và Định nghĩa 2.1.1

Môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể đặc trưng bằng nhiều phương pháp khác nhau:

2.1.4 Bổ đề [4, (3.3)] Các điều kiện sau là tương đương:

(iii) Tồn tại một hệ tham số a 1 , , a d của M sao cho sup I( a 1 n 1 , , a d n d ; M )   trong đó n 1 , , n d chạy trên tất cả các số nguyên dương

(iv) Tồn tại một số nguyên dương n sao cho

Bổ đề 2.1.4 (ii) đã được đề cập trong Lời nói đầu, có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích các hệ tham số a1, , ad của M với i = 1, , d Bổ đề 2.1.4 (iii) được áp dụng để kiểm tra xem một môđun có phải là môđun Cohen-Macaulay suy rộng hay không Để hiểu rõ hơn về Bổ đề 2.1.4 (iv), chúng ta cần tham khảo khái niệm được nêu trong tài liệu [1, (2.3)].

2.1.5 Định nghĩa M được gọi là một f-môđun nếu mỗi hệ tham số a 1 , , a d của M là một M-dãy lọc chính qui hay f-dãy

Từ Bổ đề 2.1.4 (iv), mỗi môđun Cohen-Macaulay suy rộng là một f-môđun Tất nhiên f-môđun cũng có nhiều tính chất thú vị

2.1.6 Bổ đề [3, (2.5) và (2.11)] Các điều kiện sau là tương đương

(ii) Mỗi hệ tham số a 1 , , a d của M là rút gọn, nghĩa là:

(iii) Mỗi hệ tham số a 1 , , a d của M không trộn lẫn sai khác m, nghĩa là: dim A p /   d i ,   p Ass M/q  i M    \ m i ,  0, , d  1.

(iv) M p là một môđun Cohen-Macaulay với dim M p   d dim A p / ,   p Supp M ( ) \   m

2.1.7 Chú ý Khái niệm rút gọn của hệ tham số được đưa ra bởi M Auslander và D

A Buchsaum trong [1, § 4] Ở đó đã chứng tỏ rằng mỗi hệ tham số a 1 , , a d của M thì

(2) I q M ( ; )  ( q d  1 M a : d / q d  1 M ) nếu và chỉ nếu a i    p , p As (M/q s i  1 M )với dim A p /   d i và i  1, , d

Hầu hết trong thực tiễn thì f -môđun trùng với môđun Cohen-Macaulay suy rộng bởi kết quả như sau:

2.1.8 Bổ đề [3, (3.8)] Giả sử A là một vành thương của vành Cohen-Macaulay Khi đó M là một f -môđun khi và chỉ khi M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay suy rộng:

2.1.9 Bổ đề [3, (3.7)] Giả sử M là một môđun C-M suy rộng Khi đó

Hơn nữa, tồn tại số nguyên dương n sao cho I q M ( ; )  I M ( ) với mỗi iđêan tham số q  m n của M

2.1.10 Bổ đề Giả sử M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi đó M cũng là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với

(ii) I M ( )  I M ( )  ( H m 0 ( M )) trong đó M là môđun thương m 0  

2.1.11 Bổ đề Giả sử M là một môđun C-M suy rộng với d  2 Giả sử a là một phần của hệ tham số của M Khi đó M 1 :  M aM / là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với

Hơn nữa, dấu " =" ở đẳng thức (i) và (ii) xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh Từ dãy đối đồng điều địa phương của dãy khớp

0  M O / M : a  a  M  M 1  0 ta có thể dễ dàng kết luận rằng

( H m i ( M 1 ))  ( H m i ( M ))  ( H m i  ( M O / M : )) a với i  0, , d  2 Chú ý rằng O M : a  H M 0 ( M )(theo Bổ đề 2.1.4 (iv)) khi đó từ dãy

0  O M : a  M  M O / M : a  0 ta có H m i ( M O / M : ) a  H m i ( M ) với i  1 Do đó (i) là hiển nhiên Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta có

Dấu " = " xảy ra khi và chi khi dãy

0H m i (M)H m i (M 1)H m i  (M O/ M : )a 0 là khớp với mọi i  0, , d  2 Trường hợp đó xảy ra khi và chỉ khi

H M O a  hay aH m 0 ( M )  0, và aH m i ( M O / M : ) a  aH m i ( M )  0 với i  1, , d  1 □

Hệ tham số chuẩn tắc 18

2.2.1 Định nghĩa a 1 , , a d được gọi là một hệ tham số chuẩn tắc của M nếu

Định nghĩa tiêu chuẩn của hệ tham số chuẩn tắc là I a a M  I q M, mặc dù có sự khác biệt với phần giới thiệu của bài báo, nhưng vẫn cung cấp các khái niệm tương tự với kết quả đã nêu.

2.2.2 Định lý a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi M là một môđun C-M suy rộng với I M ( )  I q M ( ; ).

Nói đúng hơn, Định lý 2.2.2 là một tiêu chuẩn cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Để chứng minh Định lý 2.2.2 ta sẽ cần đến kết quả sau:

2.2.3 Bổ đề Giả sử a 1 , , a d là một hệ tham số tùy ý của M Khi đó:

I a a M  I a a M với mọi số nguyên dương n 1  m 1 , , n d  m d

Chứng minh Theo qui nạp, ta có thể giả thiết rằng n i  m i với i  d Khi đó

 với i  1, , d  1 Do đó, từ Chú ý 2.1.7 (1) ta có

I a a M  I a a   a M □ Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.2

(  )Từ Bổ đề 2.1.4 (iii) và Bổ đề 2.1.9 ta chỉ cần chứng tỏ rằng

Đối với mọi số nguyên dương n1, n2, , nd, ta có đẳng thức I a M  I q M Sử dụng Bổ đề 2.2.3 và định nghĩa của hệ tham số chuẩn tắc, ta có thể xác định điều này với n1, n2, , nd thuộc tập {1, 2} Nếu tồn tại số nguyên dương, kết quả sẽ được khẳng định.

I a a M  I q M ta có max n 1, ,n d 2 Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

 1  ax , , 2. d d n m n n  Khi đó theo qui nạp chúng ta có thể giả thiết thêm

Do đó dựa vào phần chứng minh của Bổ đề 2.2.3 ta có thể kết luận rằng

( n , , d n d , d ;( n , , i n i ) : i n i / ( n , , i n i ) ) 0 e a a   a a a   M a a a   M  với i  1, , d  1 Từ đẳng thức (*) ta có:

 ( a 1 n 1 , , a d n d   1 1 ) M a : d n d , do đó áp dụng Chú ý 2.1.7 (1)

(  )Từ I a ( 1 2 , , a M d 2 ; )  I M ( )  I q M ( ; ), áp dụng Bổ đề 2.2.3 ta có

I a a M  I q M □ Để quá trình được rút gọn ta cần đến các hệ quả sau đây của Định lý 2.2.2

2.2.4 Hệ quả a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M và qM  H m 0 ( M )  0.

Chứng minh Từ H m 0 ( M ) có độ dài hữu hạn, ta có e q M   ;  e q M ( ; ) Vì vậy

Bây giờ, sử dụng mối quan hệ I M ( ) I M ( ) ( H M m 0 ( )) của Bổ đề 2.1.10 (ii), ta dễ dàng có được điều cần chứng minh 

2.2.5 Hệ quả Giả sử M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với d  2 Khi đó

1 , , d a a là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi a 2 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M a M / 1 và I M a M ( / 1 )  I M ( )

Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.6 (ii) và Bổ đề 2.1.11 ta có

Do đó từ Bổ đề 2.1.11 (ii) dễ dàng suy ra điều phải chứng minh 

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng hệ tham số chuẩn tắc có thể được đặc trưng theo đối đồng điều địa phương

2.2.6 Định lý a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chi khi

( / ) 0 i m j qH M q M  với mọi số nguyên không âm i , j sao cho i   j d

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng M là một môđun Cohen-

I a M  O a từ Bổ đề 2.1.6 (ii) Do đó a 1 là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi

Như vậy ta đã chứng minh trường hợp d  1.

Với d >1, đặt M 1  a M 1 / Nếu a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M, khi đó

1 , , d a a là một hệ tham số chuẩn tắc M 1 và theo Hệ quả 2.4 ta có I M ( 1 )  I M ( ) Theo qui nạp ta có

Hơn nữa từ Bổ đề 2.1.11 ta lại có a H 1 m i ( M )  0, i= 0, ,  d  1 Do đó hoán vị các

1 , , d a a ta sẽ có qH m i ( M )  0 với i  0, , d  1.

( / ) 0 i m j qH M q M  với mọi i   j d , khi đó theo qui nạp a 2 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M 1 và theo Bổ đề 2.1.11 ta có I M ( 1 )  I M ( )

Do đó, từ Hệ quả 2.2.5 ta có a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M

M Brodmann gọi dãy b 1 , , b r của phần tử của m là M-dãy m-chuẩn tắc nếu b 1 , , b r là một M-dãy lọc chính qui và

( , , )b b H M r m i ( / ( , , )b b M j ) 0 với mọi số nguyên không âm i , j sao cho

Do đó, từ Định lý 2.2.6 chính hệ tham số chuẩn tắc là dãy m-chuẩn tắc Đó là lý do tại sao gọi là "chuẩn tắc"

Từ Định lý 2.2.6 ta có một số hệ quả sau

2.2.7 Hệ quả Giả sử a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M Khi đó

(i) a 1 , , a d là một d-dãy của M, có nghĩa là:

(ii) a 1 , , a d là một M-dãy ngoài tuyệt đối, có nghĩa là:

Chứng minh Từ [8, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2 (ii)], điều kiện (i) tới (iv) là tương đương với nhau và

 với mọi i  1, , d và nó kéo theo (v) Từ Bổ đề 2.1.4 (iv) nó đủ chứng tỏ rằng

 nó dẫn đến kết quả sau a H i m 0 ( M q M / i  1 )  0 Đặc biệt, hệ tham số chuẩn tắc có một đặc trưng theo d-dãy như sau

2.2.8 Mệnh đề a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chi khi từ mỗi hoán vị a 1 n 1 , , a d n d là một d-dãy của M với mọi n 1 , , n d  {1, 2}.

Chứng minh    Từ Định lý 2.2.6 và Bổ đề 2.2.3 ta có

Do đó a 1 n 1 , , a d n d là một hệ tham số chuẩn tắc, từ đây theo Hệ quả 2.2.7 (i) nó là một d- dãy của M

   Từ [8, Định lý 1.1 (vii)] và Chú ý 2.1.7 (2), a 1 n 1 , , a d n d là một hệ tham số rút gọn của M Do đó sử dụng [8, Định lý 1.1 (vi)] ta có

Bây giờ hoán vị a 1 , , a d , ta dễ dàng chứng minh được rằng

2.2.9 Chú ý Có nhiều tiêu chuẩn để a 1 , , a d trở thành một d-dãy của M [8, Định lý 1.1] Một số tiêu chuẩn đơn giản như sau:

Kết quả được chứng minh cho thấy, dựa trên Định lý 2.2.2, một số bất biến của a1, , ad liên quan đến M sẽ đạt giá trị cực đại chỉ khi a1, , ad là một hệ tham số chuẩn tắc của M.

2.2.10 Hệ quả Giả sử M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi đó

Với mọi số nguyên không âm i và j sao cho i + 1 < j d, dấu "=" trong bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi a1, , ad là một hệ tham số chuẩn tắc của M.

Chứng minh Với j = 0: hiển nhiên

Với j > 0, từ Bổ đề 2.1.8 (i) ta có bất đẳng thức sau

(H M q M m i ( / j )) (H M q M m i ( / j  )) (H m i  (M q M/ j  )). Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này khi đó ta có mệnh đề thứ nhất

Hơn nữa, từ Bổ đề 2.1.8 với j  d và i  0, , d   j 1 dấu " = "ở bất đẳng thức trên xảy ra với một j  d cố định và với mọi i  0, , d   j 1 khi và chỉ khi ( / 1 ) 0. i j m j a H M q M   □

2.2.11 Mệnh đề Giả sử M là một môđun C-M suy rộng Giả sử 𝔞 i ( M ) kí hiệu linh hóa tử của H m i ( M ), i  0, , d  1 và đặt 𝔞

  Khi đó mỗi hệ tham số của M được chứa trong 𝔞 M là chuẩn tắc.

Giả sử a1, , ad là một hệ tham số của M nằm trong 𝔞M Theo Định lý 2.2.6, chúng ta có thể chứng minh rằng a1, , ad là một hệ tham số chuẩn tắc của M, điều này đủ để khẳng định rằng

( / ) i j a M q M 𝔞 M với mọi số nguyên không âm i , j sao cho i   j d

( / ) ( / ) ( / ) i j i j i j a M q M  a M q M a   M a M  từ chứng minh của Bổ đề 2.1.8 (i), sử dụng liên tiếp hệ thức này, ta có

Iđêan chuẩn tắc 26

Trong suốt phần này, M sẽ là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng và 𝔞 là một iđêan của A với ( M /𝔞 M   

2.3.1 Định nghĩa 𝔞 được gọi là một iđêan M-chuẩn tắc nếu với mỗi hệ tham số của

M được chứa trong 𝔞 là chuẩn tắc

Khái niệm iđêan chuẩn tắc được mở rộng từ khái niệm đã đề cập ở tài liệu [2], trong đó iđêan chuẩn tắc được hiểu là iđêan sinh ra từ hệ tham số chuẩn tắc, như đã nêu trong Hệ quả 2.3.5 Sự tồn tại của iđêan chuẩn tắc được đảm bảo bởi Bổ đề 2.1.6 hoặc thông qua các chi tiết trong Mệnh đề 2.2.11 Đặc biệt, M trở thành môđun trong bối cảnh này.

Buchbaum liên quan đến M-chuẩn tắc, với ý tưởng chuẩn tắc được đặc trưng qua d-dãy và dãy yếu Khái niệm này đã được giới thiệu trong tài liệu [8].

2.3.2 Định nghĩa Một dãy các phần tử b 1 , , b r của A được gọi là một M-dãy 𝔞-yếu nếu

Dãy m-yếu ở đây được biết như là một dãy yếu và nó đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun Buchsbaum [5]

2.3.3 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương

(ii) Mỗi hệ tham số của M chứa trong 𝔞 là một M-dãy 𝔞-yếu;

(iii) Mỗi hệ của tham số M chứa trong 𝔞 là một d-dãy của M

Giả sử a1, , ad là một hệ tham số tùy ý của M nằm trong 𝔞 Đặt S là một tập sinh của 𝔞, sao cho mỗi tập con d phần tử của S được xem xét.

Tập hợp S tạo thành một hệ tham số của M, và sự tồn tại của tập hợp này có thể được chứng minh một cách dễ dàng như đã nêu trong [4, Bổ đề 2] hoặc [7, Bổ đề 3].

(ii)(iii) dựa vào [8, Mệnh đề 2.2]

(iii)(i) dựa vào Mệnh đề 2.2.8

Trong thực tế, đặc trưng của iđêan chuẩn tắc tiện lợi hơn Mệnh đề 2.3.5 vì nó chỉ phụ thuộc vào một hệ hữu hạn các phần tử Để đơn giản hóa mệnh đề, ta định nghĩa một tập sinh hữu hạn S là một M-cơ sở.

𝔞 nếu mỗi tập con d phần tử của S là một hệ tham số của M, xem [4, Bổ đề 2] hoặc [7,

Bổ đề 3] về sự tồn tại của M-cơ sở của 𝔞

2.3.4 Mệnh đề 𝔞 là một M-chuẩn tắc khi và chỉ khi một trong những điều kiện sau đúng đối với tất cả các tập con d phần tử  a 1 , , a d  của một M-cơ sở của 𝔞:

(i) a 1 , , a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M

(ii) a 1 n 1 , , a d n d là một M-dãy 𝔞-yếu với mọi n 1 , , n d  {1, 2}.

(iii) a 1 n 1 , , a d n d là một d-dãy của M với mọi n 1 , , n d  {1, 2}.

Chứng minh Từ 𝔞 là M-chuẩn tắc khi đó theo Mệnh đề 2.3.3 ta có (ii)

(ii)(iii) là hệ quả của [8, Mệnh đề 2.2]

(iii)(i) dựa vào Mệnh đề 2.2.8

Bây giờ giả sử rằng (i) được thỏa mãn Khi đó chứng tỏ rằng với mỗi hệ tham số

1 , , d b b của M được chứa trong 𝔞 là chuẩn tắc

Nếu d = 1, sử dụng Hệ quả 2.2.7 (iv) ta có

Do đó O M : b 1  H m 0 ( M ) Suy ra b 1 là một hệ tham số chuẩn tắc của M dựa vào Định lý 2.2.6

Nếu d > 1, có thể xác định một tập sinh S' của 𝔞 sao cho a1, , ad-1, b và b1, , bd-1, b tạo thành một hệ tham số của M với mọi b thuộc S' Theo phương pháp từ [7, Bổ đề 3], ta có {a1, , ad-1} ⊆ S Sử dụng Hệ quả 2.2.7 (iv), ta có

Do đó từ Bổ đề 2.1.6 (ii) và Định lý 2.2.2

I a a  b M  q  M b q  M  q  M a q  M  I q M  I M nghĩa là a 1 , , a d  1 , b là một hệ tham số chuẩn tắc của M Dựa vào Hệ quả 2.2.5 ta có

1 , , d 1 a a  là một hệ tham số chuẩn tắc của M/bM và I M bM ( / )  I M ( )

Bây giờ, theo qui nạp ta có thể giả thiết rằng 𝔞 là một M/bM-chuẩn tắc Khi đó

I b b  b M  I M bM  I M đồng nghĩa b 1 , , b d  1 , b cũng là một hệ tham số chuẩn tắc của M Từ các phần tử b sinh ra 𝔞, ta có thể chứng minh tương tự như trên, khi đó

2.3.5 Hệ quả Mỗi iđêan của A được sinh ra bởi một hệ tham số chuẩn tắc của M là

Luận văn trình bày lại các kết quả sau:

1 Một số tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay suy rộng

2 Các tính chất của hệ tham số chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun Cohen- Macaulay suy rộng

3 Những đặc trưng của iđêan chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.