Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc và iđêan trên
R là một yếu tố quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số Chỉ số chính quy có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, và trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa dựa trên các số Betti phân bậc và giải tự do.
1.1.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và
R(−j) β 0,j (M) →M →0 là giải tự do phân bậc tối tiểu của M Số β i,j (M) được gọi là số Betti phân bậc ở vị trí thứ i với bậc j của M Chỉ số chính quy của M được định nghĩa là reg(M) = max{j −i | β i,j (M) 6= 0}.
1.1.2 Ví dụ Giả sử R = k[x, y] và I = (xy, y 3 ) Ta có cách xây dựng giải tự do của R/I như sau.
Giả sử phần bên phải của giải tự do có dạng
Khi đó, Im∂ 1 = Ker∂ 0 = I = (xy, y³), dẫn đến rank R (Im∂ 1 ) = rank R (I) = 2 Với tính tối tiểu và bảo toàn bậc của đồng cấu phân bậc, ta chọn F 1 sinh bởi hai phần tử e 1 và e 2, trong đó dege 1 = 2 và dege 2 = 3 Do đó, F 1 = Re 1 ⊕ Re 2 ∼ R[−2] ⊕ R[−3] và ∂ 1 (e 1 ) = xy, ∂ 1 (e 2 ) = y³.
Ta có Im∂ 2 = Ker∂ 1 Suy ra
Bởi tính tối tiểu, nên rank R (F 2 ) = rank R (Im∂ 2 ) = 1 và F 2 = Rf ∼= R[−4] với degf = deg(y 2 e 1 −xe 2 ) = 4 và ∂ 2 (f) = (y 2 e 1 −xe 2 ) Suy ra
Chúng ta thu được giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I như sau:
Suy ra các số Betti phân bậc của R/I là: β0,0(R/I) = 1, β1,2(R/I) = 1, β1,3(R/I) = 1, β2,4(R/I) = 1.
Mở rộng vành R ,→ S được thực hiện bằng cách thêm các biến mới vào R, trong đó I ⊆ R là một iđêan thuần nhất và IS là mở rộng của nó trong S Vì mở rộng R ,→ S là phẳng, nên giải tự do tối thiểu của IS (như là một S-môđun) có thể được xác định từ giải tự do tối thiểu của I (như là một mô-đun).
R-môđun được xác định bằng cách nhân tenxơ với S, dẫn đến việc reg R(I) = reg S(IS) Điều này cho phép chúng ta biểu diễn chỉ số chính quy của I dưới dạng một R-môđun và chỉ số chính quy của IS như một S-môđun.
Đồ thị và các khái niệm liên quan
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị để chuẩn bị cho các nội dung tiếp theo Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa về đồ thị.
1.2.1 Định nghĩa Một đồ thị G = (V, E) bao gồm một tập đỉnh V và một tập cạnhE nối các cặp đỉnh (nếu có) Nếu không nói gì thêm, ta sử dụngV G và
Trong đồ thị G, E đại diện cho tập hợp các cạnh và V cho tập hợp các đỉnh Một đỉnh v ∈ V G được xem là đỉnh cô lập khi nó không kết nối với bất kỳ đỉnh nào khác, nghĩa là nó không thuộc vào bất kỳ cạnh nào của G Ngoài ra, một cạnh được gọi là khuyên nếu hai đỉnh của nó trùng nhau.
Đồ thị G được gọi là đồ thị đơn nếu không có khuyên và không có cạnh kép, trong đó cạnh kép là cạnh tồn tại giữa hai đỉnh chung với một cạnh khác.
Trong các đồ thị G1, G2 và G3, G1 có đỉnh d là đỉnh cô lập vì không kết nối với bất kỳ cạnh nào, trong khi các đỉnh a, b, c không phải là đỉnh cô lập Đồ thị G2 có cạnh kép gf và đỉnh e tạo thành một khuyên Ngược lại, G3 không chứa cạnh kép hay khuyên nào.
G 1 , G 3 là đồ thị đơn, đồ thị G 2 không phải là đồ thị đơn.
1.2.3 Định nghĩa Cho đồ thị G= (V, E). i) Với một đỉnh u trong đồ thị G, đặt
Tập NG(u) bao gồm tất cả các đỉnh kề với đỉnh u, và được ký hiệu là NG[u] := NG(u) ∪ {u} Một cạnh e liên thuộc đến đỉnh u nếu u thuộc e Bậc của đỉnh u, ký hiệu deg G(u), là số lượng cạnh liên thuộc đến u Đối với một cạnh e trong đồ thị G, G\e được định nghĩa là đồ thị con của G với cạnh e bị xóa, trong khi các đỉnh vẫn được giữ nguyên Đối với một tập con W ⊆ V, G\W là đồ thị con của G với các đỉnh trong W và các cạnh liên quan bị xóa Nếu W chỉ gồm một đỉnh đơn {u}, ta viết G\u thay cho G\{u} Khi e = {u, v}, tập N G[e] = N G[u] ∪ N G[v], và G e được định nghĩa là đồ thị con G\N G[e] của G Một đồ thị H được gọi là đồ thị con cảm sinh của G nếu các đỉnh của H là các đỉnh của G, và với các đỉnh u và v trong H, {u, v} là một cạnh trong H.
H nếu và chỉ nếu {u, v} là một cạnh trong G Đồ thị con cảm sinh của G trên một tập con W ⊆ V đạt được bằng cách xóa các đỉnh không thuộc
Đồ thị G C được định nghĩa là đồ thị bù của đồ thị G, với các đỉnh chung nhưng các cạnh thuộc G thì không thuộc G C và ngược lại Trong khi đó, dây cung là một cạnh kết nối hai đỉnh của một chu trình mà không phải là cạnh của chu trình đó Đồ thị dây cung là loại đồ thị mà mọi chu trình có hơn ba đỉnh đều chứa ít nhất một dây cung.
Đồ thị G = (V, E) bao gồm các đỉnh V = {a, b, c, d, e, f} và các cạnh E = {ab, bc, cd, de, ef, af, ac, ae, bd} Tập các đỉnh kề của đỉnh a được xác định là N(a) = {b, c, e, f}, trong khi N[a] = {a, b, c, e, f}, với bậc của a là deg(a) = 4 Đồ thị con G\ac được tạo ra bằng cách xóa cạnh ac nhưng vẫn giữ nguyên hai đỉnh a và c Nếu xét tập các đỉnh W1 = {b, f} ⊂ V, ta có thể phân tích thêm về cấu trúc của đồ thị này.
G\W 1 là đồ thị con của G với các đỉnh {a, c, d, e} và các cạnh {ac, cd, de, ae} Đồng thời, xét tập các đỉnh W 2 = {a, b, d, e} ⊂ V, với tập các cạnh E W 2 chỉ chứa các đỉnh trong W 2 là {ab, bd, de, ae} Khi đó, G W 2 = (W 2 , E W 2 ) được xác định là đồ thị con cảm sinh của G trên W 2.
Đồ thị G C và đồ thị G có chung tập đỉnh {a, b, c, d, e}, với các cạnh thuộc G không thuộc G C và ngược lại, do đó G C là đồ thị bù của G Đồ thị H cũng có tập đỉnh {a, b, c, d, e} và tập cạnh {ab, bc, cd, de, ae}, được gọi là đồ thị dây cung, trong đó các cạnh ac và ad là các dây cung.
Trong lý thuyết đồ thị, cho G = (V, E) là một đồ thị, một họ các cạnh {e1, , es} ⊆ E được gọi là một đối sánh nếu các cạnh này không giao nhau từng cặp Kích thước lớn nhất của một đối sánh trong G được gọi là số đối sánh của nó, ký hiệu là β(G) Đồng thời, một họ các cạnh {e1, , es} ⊆ E cũng được xem là một đối sánh cảm sinh nếu nó vừa là đối sánh vừa là tập cạnh của đồ thị con cảm sinh của G trên tập các đỉnh tương ứng Kích thước lớn nhất của một đối sánh cảm sinh trong G được gọi là số đối sánh cảm sinh, ký hiệu là ν(G).
Trong đồ thị G như Hình 1.4, tập hợp {ab, cd} tạo thành một đối sánh nhưng không phải là đối sánh cảm sinh, vì đồ thị con cảm sinh trên {a, b, c, d} vẫn chứa các cạnh {bc, ad, ac} Số lượng đối sánh β(G) là 2, trong khi số đối sánh cảm sinh ν(G) chỉ là 1.
Trong đồ thị G = (V, E), một đường đi là dãy các đỉnh và cạnh, trong đó mỗi đỉnh xuất hiện đúng một lần, ngoại trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối Một chu trình là một đường đi khép kín, với các đỉnh đầu và cuối trùng nhau, và có thể được gọi là n-chu trình nếu có n đỉnh phân biệt Đồ thị G được coi là một cây khi giữa hai đỉnh bất kỳ có đúng một đường đi, và mỗi cạnh trong cây được gọi là nhánh Đỉnh v là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ nó cùng các cạnh liên quan làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị Ví dụ, trong đồ thị G1, đường đi a, b, c, d, e, f là một chu trình, trong khi đồ thị G2 là một cây với các đỉnh i và m là đỉnh rẽ nhánh.
1.2.10 Định nghĩa Cho các đồ thị đơn
Tích s-chập của các đồ thị đơn G 1 , G 2 , , G s là một đồ thị có tập hợp các đỉnh là V 1 ×V 2 × ×V s và tập các cạnh là
1.2.11 Ví dụ Tích 2-chập của hai đồ thị G1, G2 được cho và minh họa như hình vẽ dưới đây.
1.2.12 Định nghĩa Cho G là một đồ thị Hai đỉnh u và v (u có thể bằng v) được gọi là liên thông chẵn ứng với một tích s-chập e 1 e s của các cạnh của
G, nếu tồn tại một đường đi p 0 , p 1 , , p 2l+1 , l ≥ 1 trong G sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: i) p 0 = u và p 2l+1 = v; ii) Với mọi 0≤ k ≤l −1,{p 2k+1 , p 2k+2 } = e i với i nào đó; và iii) Với mọi i, | {k | {p 2k+1 , p 2k+2 } = e i } |≤| {j | e i = e j } |.
Trong đồ thị G như hình bên, hai đỉnh a và d được xem là liên thông chẵn với tích 1-chập cạnh bc Đường đi p 0, , p 3 có thể được lựa chọn là a, b, c, d.
Chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh của chu trình rẽ nhánh 17 2.1 Chỉ số chính quy của chu trình rẽ nhánh
Chứng minh Bổ đề 2.1.2
Trong phần này, ta trình bày chứng minh đầy đủ của Bổ đề 2.1.2.
Chúng tôi chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên n, cho thấy rằng mọi đồ thị liên thông với tối đa bốn đỉnh đều có phần bù là đồ thị dây cung Do đó, bổ đề này đúng với n ≤ 2 Đặt d = deg G (x n+1) + deg G (x n+2).
Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp với điều kiện d ≥ 2 Đầu tiên, xem xét trường hợp d = 2 Khi đó, ta đặt H = G \ {x₁, xₙ₊₁} và nhận thấy rằng trong đồ thị G \ x₁, đỉnh xₙ₊₁ trở thành đỉnh cô lập Do đó, ta có reg(G \ x₁) = reg(H) Theo giả thiết quy nạp với n, ta suy ra reg(G \ x₁) = reg(H) ≤ d(n−1) + 2.
GọiK là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 1 , x n+1 , x 2 , x n+2 }.
Rõ ràng, G\ (N[x 1 ] ∪ {x n+2 }) là một đồ thị con cảm sinh của K Nên, theo Định lý 1.3.6, reg(G\(N[x 1 ]∪ {x n+2 })) ≤reg(K).
Mặt khác, deg G (x n+2 ) = 1 và x n+2 là một đỉnh cô lập trong G\N[x 1 ] Vì vậy, reg(G\N[x 1 ]) = reg(G\(N[x 1 ]∪ {x n+2 })), và từ đây, reg(G\N[x 1 ]) ≤ reg(K) Hơn nữa, bằng quy nạp trên n, ta có reg(K) ≤ d(n−2) + 2
Theo Định lý 1.3.6, với (3.1) và (3.2) thì reg(G) ≤max{reg(G\x 1 ),reg(G\N[x 1 ]) + 1} ≤ dn+ 2
Bây giờ giả sử d > 2 Khi đó, có một đỉnh x t ∈ {x 1 , , x n , x n+1 , , x 2n } sao cho
Gọi t là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1 Giả sử e = {x n+1 , xn+2} ∈ E(G) Thì deg G\e (xn+1) + deg G\e (xn+2) < deg G (xn+1) + deg G (xn+2).
Nên, theo giả thiết quy nạp trên d, ta có reg(G\e) ≤ dn+ 2
ChoH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh V(G)\{x 1 , x n+1 , x 2 , x n+2 }. Khi đó, theo quy nạp trên n, ta có reg(H) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, Ge là một đồ thị con cảm sinh của H và theo Định lý 1.3.6 thì reg(Ge) ≤reg(H) ≤ dn
2e Từ đây, theo Định lý 1.3.6, ta kết luận được reg(G) ≤ dn+ 2
Trong trường hợp 2, giả sử e = {x n+1 , x 2 } thuộc E(G) và {x n+1 , x n+3 } không thuộc E(G) Khi đó, tổng bậc của G\e tại x n+1 và x n+2 nhỏ hơn tổng bậc của G tại x n+1 và x n+2 Vì {x n+1 , x n+3 } không thuộc E(G), do đó G\e thỏa mãn giả thiết của bổ đề Theo giả thiết quy nạp trên d, ta có reg(G\e) ≤ dn + 2.
2 e. ĐặtH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 1 , x n+1 , x 2 , x n+2 }. Khi đó, theo quy nạp trên n, reg(H) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, G e là một đồ thị con cảm sinh của H và theo Định lý 1.3.6 thì reg(G e ) ≤reg(H) ≤ d n 2 e Từ đây, theo Định lý 1.3.6, ta kết luận rằng reg(G) ≤ dn+ 2
Trường hợp 3 Giả sử e = {x n+1 , x2} và e 0 = {x n+1 , xn+3} là các cạnh của G.
Vì trong G\e 0 ta có deg G\e 0(x n+1 ) + deg G\e 0(x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ), bởi quy nạp trên d, ta có reg(G\e 0 ) ≤ dn+ 2
Sử dụng Định lý 1.3.6, để chứng minhreg(G) ≤ dn+ 2
2 e, ta chỉ cần chứng minh reg(Ge 0 ) ≤ dn
2e. GọiH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 1 , xn+1, x3, xn+3} và đặt H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Khi đó, H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề Từ đây, theo giả thiết quy nạp trên n, ta thấy reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, G e 0 là một đồ thị con cảm sinh của H 0 (vì x 2 và x 4 không là đỉnh của
G e 0 ), suy ra reg(G e 0 ) ≤ reg(H 0 ) ≤ dn
Trường hợp 4 Giả sử e = {x n+2 , x 1 } là một cạnh của G Khi đó deg G\e (x n+1 ) + deg G\e (x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ).
Vì vậy, theo quy nạp trên d, reg(G\e) ≤ dn+ 2
GọiH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 1 , x n+1 , x 2 , x n+2 }.
Khi đó, G e là một đồ thị con cảm sinh của H và giả thiết quy nạp cho ta reg(G e ) ≤reg(H) ≤ dn
Theo Định lý 1.3.6 thì reg(G) ≤ dn+ 2
Trường hợp 5.Giả sử3 ≤t ≤ n, cạnhe = {x n+1 , x t } ∈ E(G), và{x n+1 , x n+t+1 } không là cạnh của G.
{x n+1 , x n+2 } là cạnh của G, thì khẳng định được suy ra theo trường hợp 1.
Nếut ≥ 4và{x n+1 , x n+t−1 }là một cạnh củaG, thì theo giả thiết,{x n+1 , x t−2 } là một cạnh của G, mâu thuẫn với cách chọn t.
Do đó, ta giả sử rằng{x n+1 , x n+t−1 } ∈/ E(G) Vì{x n+1 , x n+t−1 }và{x n+1 , x n+t+1 } không phải là các cạnh của G, suy ra G\e thỏa mãn giả thiết của bổ đề Bây giờ, deg G\e (x n+1 ) + deg G\e (x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ).
Vì vậy, theo quy nạp trên d, reg(G\e) ≤ dn+ 2
GọiH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 1 , xn+1, x3, xn+3} và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Khi đó G e là một đồ thị con cảm sinh của H 0 (vì x 2 và x 4 không là đỉnh của
G e ) Do đó, theo quy nạp trên n và Định lý 1.3.6, ta có reg(G e ) ≤ reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
2 e được suy ra theo Định lý 1.3.6.
Trường hợp 6.Giả sử3 ≤t ≤ nvàe = {x n+1 , x t }và giả sửe 0 = {x n+1 , x n+t+1 } là các cạnh của G Khi đó deg G\e 0(x n+1 ) + deg G\e 0(x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ), và theo quy nạp trên d, reg(G\e 0 ) ≤ dn+ 2
Theo Định lý 1.3.6, để chứng minh reg(G) ≤ dn+ 2
2 e, ta chỉ cần chứng minh reg(G e 0 ) ≤ dn
Gọi H là đồ thị con cảm sinh của Gcó V(H) = V(G)\ {x 1 , x n+1 , x t+1 , x n+t+1 } và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Dễ dàng kiểm tra được H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề Do đó, bởi quy nạp trên n, ta suy ra reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, G e 0 là một đồ thị con cảm sinh của H 0 (vì x t và x t+2 không là đỉnh của G e 0 ) Suy ra reg(G e 0 ) ≤ reg(H 0 ) ≤ dn
2e và suy ra kết quả.
Trường hợp 7 Giả sử n+ 3 ≤ t≤ 2n và {x n+1 , x t } là một cạnh của G Theo quy nạp, {x n+1 , x t−n−1 } là một cạnh của G, mâu thuẫn với cách chọn t.
Trường hợp 8.Giả sử3 ≤t ≤ nvà giả sửe = {x n+2 , x t }vàe 0 = {x n+2 , x n+t+1 } là các cạnh của G Trong đồ thị G\e 0 , ta có deg G\e 0(x n+1 ) + deg G\e 0(x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ).
Nên, theo quy nạp trên d, ta có reg(G\e 0 ) ≤ dn+ 2
Theo Định lý 1.3.6 thì reg(G) ≤max{reg(G\e 0 ),reg(Ge 0 ) + 1}.
Vì vậy, để chứng minh reg(G) ≤ dn+ 2
2 e, ta chỉ cần chứng minh reg(G e 0 ) ≤ dn
Gọi H là đồ thị con cảm sinh của Gcó V(H) = V(G)\ {x 2 , x n+2 , x t+1 , x n+t+1 } và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Dễ dàng kiểm tra được H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề Từ đây theo quy nạp trên n, ta có reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, G e 0 là một đồ thị con cảm sinh của H 0 (vì x 1 , x 3 , x t và x t+2 không là cạnh của G e 0 ) Nên bởi Định lý, ta có 1.3.6, reg(G e 0 ) ≤ reg(H 0 ) ≤ dn
Trường hợp 9 Giả sử e = {x n+2 , xn+3} là một cạnh của G Bằng quy nạp trên d, ta có reg(G\e) ≤ dn+ 2
Bây giờ, dùng Định lý 1.3.6 reg(G) ≤ max{reg(G\e),reg(Ge) + 1}.
Do đó, ta chỉ cần chứng minh reg(G e ) ≤ dn
GọiH là đồ thị con cảm sinh củaGvới tập hợp đỉnh làV(G)\{x 2 , x n+2 , x 3 , x n+3 } và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Dễ dàng kiểm tra được H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề Vì vậy, theo quy nạp trên n, ta có reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
Hơn nữa, Ge là một đồ thị con cảm sinh của H 0 (vì x1 và x4 không là đỉnh của
Ge) suy ra reg(Ge) ≤ reg(H 0 ) ≤ dn
Trường hợp 10 Giả sử e = {x n+2 , x 3 } là một cạnh của G và {x n+2 , x n+4 } không là một cạnh của G Chú ý rằng deg G\e (x n+1 ) + deg G\e (x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ).
Vì {x n+2 , x n+4 } không là một cạnh của G, ta kết luận rằng G\e thỏa mãn giả thiết của bổ đề Nên, bằng quy nạp trên d, reg(G\e) ≤ dn+ 2
GọiH là đồ thị con cảm sinh củaGcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 2 , xn+2, x3, xn+3} và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống H và tập hợp cạnh
Dễ dàng kiểm tra rằng H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề, lưu ý rằng x 4 không phải là đỉnh của G e Nếu {x n+4 , x n+i } ∈ E(G) với i khác 2 và 3, thì từ giả thiết của bổ đề, ta có {x 3 , x n+i } ∈ E(G) Do đó, x n+i không phải là một đỉnh của G.
G e Vì vậy, G e là một đồ thị con cảm sinh của H 0 Từ đây, theo Định lý 1.3.6 và bằng quy nạp trên n, reg(G e ) ≤ reg(H 0 ) ≤ d(n−2) + 2
Cuối cùng sử dụng Định lý 1.3.6, ta có, reg(G) ≤ dn+ 2
Trường hợp 11 Giả sử 4 ≤t ≤ nvà giả sử e = {x n+2 , x t } là một cạnh của G và {x n+2 , x n+t+1 } không là một cạnh của G.
Nếu t= 4 và {x n+2 , x n+3 } ∈ E(G), thì khẳng định giống trường hợp 9. Nếut ≥ 5và{x n+2 , x n+t−1 } ∈ E(G), thì theo giả thiết,{x n+2 , x t−2 } ∈ E(G), mâu thuẫn với cách chọn t.
Vì vậy, ta giả sử {x n+2 , x n+t−1 } ∈/ E(G) Trong trường hợp này, ta chú ý rằng deg G\e (x n+1 ) + deg G\e (x n+2 ) < deg G (x n+1 ) + deg G (x n+2 ).
Vì {x n+2 , x n+t−1 } và {x n+2 , x n+t+1 } không là các cạnh của G, ta kết luận rằng
G\e thỏa mãn giả thiết của bổ đề Nên, bằng quy nạp trên d, reg(G\e) ≤ dn+ 2
GọiH là đồ thị con cảm sinh của Gcó tập hợp đỉnh làV(G)\{x 2 , x n+2 , x t , x n+t } và gọi H 0 là đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H và tập hợp cạnh
Xét đường đi x1, x t−1, x t−2, , x4, x3, x t+1, x t+2, , x n, ta dễ dàng kiểm tra rằng H 0 thỏa mãn giả thiết của bổ đề Lưu ý rằng x t−1 và x t+1 không phải là đỉnh của G e Nếu {x n+t−1, x n+i} ∈ E(G) với i ≠ 2, t, thì từ giả thiết của bổ đề suy ra {x t, x n+i} ∈ E(G), do đó x n+i không phải là đỉnh của G e Tương tự, nếu {x n+t+1, x n+i} ∈ E(G) với i ≠ 2, t, thì x n+i cũng không phải là đỉnh của G e Như vậy, G e là một đồ thị con cảm sinh của H 0 Theo Định lý 1.3.6 và bằng quy nạp trên n, ta có reg(G e) ≤ reg(H 0) ≤ d(n−2) + 2.
Cuối cùng, dùng Định lý 1.3.6, ta có, reg(G) ≤ dn+ 2
Trường hợp 12 Giả sử n+ 4 ≤ t≤ 2n và e = {x n+2 , x t } là một cạnh của G.
Khi đó theo giả thiết, {x n+2 , x t−n−1 } ∈ E(G), mâu thuẫn với cách chọn t.
Dựa trên việc nghiên cứu và trình bày lại các kết quả từ tài liệu tham khảo chính [13], luận văn đã hoàn thành các nội dung cơ bản sau:
1 Trình bày các khái niệm, tính chất về chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford, đồ thị, iđêan cạnh của đồ thị và các khái niệm tổ hợp khác cùng với một số ví dụ minh họa.
2 Trình bày khái niệm và một số tính chất về chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị.
3 Trình bày các chứng minh về các chặn của chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh.
4 Trình bày chứng minh biểu thức tường minh về chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh của chu trình rẽ nhánh.
Danh mục tài liệu tham khảo của luận văn gồm 13 tài liệu sau, trong đó tài liệu chính là [13].
[1] A Aliooee, A Banerjee, Powers of edge ideals of regularity three bipartite graphs, preprint available at https://arxiv.org/abs/1408.2557.
[2] A Banerjee (2015), The regularity of powers of edge ideals, J Algebraic Combin 41, no 2, 303–321.
[3] S Beyarslan, H T Ha, T N Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles, J Algebraic Combin 42, no 4, 1077–1095.
[4] J Biermann, A Van Tuyl (2013), Balanced vertex decomposable simplicial complexes and their h-vectors Electron J Combin 20, no 3, Paper 15.
[5] A Conca (2006), Regularity jumps for powers of ideals, Commutative alge- bra, Lect Notes pure Appl., Queens Papers in Pure and Appl Math., 244, 1–40.
[6] H Dao, C Huneke, J Schweig (2013), Bound on the regularity and pro- jective dimension of ideals associated to graphs J Algebraic Combin 38, 37–55.
[7] C Ferro, M Murgia, O Olteanu (2012), Powers of edge ideals,Matematiche (Catania), 67, no 1, 129–144.
[8] R Fr¨oberg (1998), On Stanley-Reisner rings, Topics in algebra, Part 2,
5770, Banach Center Publ., 26, Part 2, PWN, Warsaw.