ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạmĐại học Huế Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược s đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m s gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, chúng tơi quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := i=1 mi +n−1 n Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969 Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng qt khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) mở rộng kết Segre cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) mở rộng kết cho tập điểm béo vị trí tổng quát Pn , họ chứng minh được: reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms + n − n , với m1 ≥ · · · ≥ ms Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil j +j−2 Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Hiện chặn gọi chặn Segre Giả thuyết có số người làm tốn quan tâm Chúng xin đề cập vài kết gần liên quan đến giả thuyết Chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = (xem [22], [23]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps P4 (xem [24]) Thiện; trường hợp n = 2, n = Fatabbi Lorenzini đưa chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]) Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 Pn (xem [2]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [28]) Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghen chứng minh chặn Segre cho trường hợp n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+3 Pn+3 Pn (xem [4]) Năm 2017, Calussi, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho trường hợp s điểm béo Z = mP1 +· · ·+mPs Pn với s ≤ 2n−1 (xem [5]) Cho tập điểm béo tùy ý Pn Năm 2018, Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung chặn Segre (xem [18, Theorem 5.3]) Một vấn đề khác nhiều người quan tâm tính giá trị reg(Z) Tuy nhiên tốn khó hơn, việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Nhắc lại với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps nằm đường thẳng Pn Davis Geramita (xem [9]) chứng minh reg(Z) = m1 + · · · + ms − Một đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn , với m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms Năm 1993, Catalisano, Trung Valla công thức tính reg(Z) hai trường hợp sau: Nếu s ≥ P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn (xem [8, Proposition 7]), s reg(Z) = max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n i=1 Nếu n ≥ 3, ≤ s ≤ n + 2, ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms P1 , , Ps nằm vị trí tổng quát Pn (xem[8, Corollary 8]), reg(Z) = m1 + m2 − Năm 2012, Thiện (xem [25, Theorem 3.4]) tính số quy reg(Z) cho tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil +j−2 j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Tại thời điểm bắt đầu thực đề tài vào năm 2013, tốn tính số quy chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát tốn mở Mục đích nghiên cứu Năm 2013 chúng tơi thực đề tài "chỉ số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh" Mục đích chúng tơi nghiên cứu số quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy chặn cho số trường hợp cụ thể Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập gồm s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + Chúng đưa công thức sau (xem Định lý 2.1.1): reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Nếu m1 = · · · = ms = m, ta gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập s điểm béo đồng bội Trong trường hợp này, chúng tơi tính số quy cho tập s điểm béo đồng bội Z = mP1 + · · · + mPs cho P1 , , Ps không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + 3, m khác sau (xem Định lý 2.2.6): reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Cùng với việc tính số quy tập điểm béo, chúng tơi chứng minh chặn Cho Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 tập gồm 2n + điểm kép Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Khi đó, chúng tơi chứng minh kết sau (xem Định lý 3.1.3): reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n = TZ , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Với tập điểm Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 gồm 2n + điểm kép khơng suy biến Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng, chứng minh kết sau (xem Định lý 3.2.3): reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n = TZ , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Tính số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu thuộc lĩnh vực Đại số giao hốn Hình học đại số Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng để đạt kết phương pháp đại số tuyến tính Catalisano, Trung Valla [8] Chúng sử dụng Bổ đề 1.2.1 (xem [8, Lemma 1]) để tính reg(R/I) cách quy nạp theo số điểm Để chặn cho reg(R/(J + ℘a )), dùng Bổ đề 1.2.2 (xem [8, Lemma 3]) tìm siêu phẳng tránh điểm qua tất điểm lại với số bội thích hợp Việc tìm siêu phẳng thỏa mãn điều kiện không dễ dàng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bài toán số quy tập điểm béo giúp đánh giá chiều iđêan đa thức triệt tiêu tập điểm phân biệt với số bội tương ứng, vấn đề mà toán mở Bài toán có liên quan đến giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy mà chưa giải Tổng quan cấu trúc luận án 6.1 Tổng quan luận án Nội dung luận án nghiên cứu số quy xác định tập điểm béo Kết chứng minh Segre (xem [19]) tác giả chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 +· · ·+ms Ps vị trí tổng quát P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms với m1 ≥ · · · ≥ ms , sau N.V Trung tổng quát hóa thành giả thuyết mà nêu phần Lý chọn đề tài Ngồi việc tìm chặn cho số quy tập điểm béo, người ta quan tâm đến việc tính số quy Năm 1984, Davis Geramita (xem [9]) tính số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) tính số quy tập điểm béo nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn Năm 2012, Thiện (xem [25]) tính được số quy tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn Luận án tập trung tính số quy chặn dựa giả thuyết N.V Trung có kết sau: Trong phần thứ luận án (Chương 2), chúng tơi quan tâm đến việc tính số quy tập điểm béo, tốn khó Cho đến kết đạt được cơng bố tạp chí quốc tế tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo hai trường hợp sau: Với tập s điểm béo vị trí tổng quát r-phẳng Pn với s ≤ r +3 Chúng tơi cơng thức tính số quy sau Định lý 2.1.1 Cho P1 , , Ps điểm phân biệt vị trí tổng quát nằm r-phẳng α Pn với s ≤ r + Cho m1 , , ms số nguyên dương Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Khi reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Tiếp theo, công thức tính số quy tập s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + Định lý 2.2.6 Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + m số nguyên dương, m khác Gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập điểm béo đồng bội Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Các kết cơng bố báo [26] Bài tốn tính số quy tập điểm béo toán mở Trong phần thứ hai luận án (Chương 3), nghiên cứu giả thuyết N.V Trung chặn cho số quy tập điểm béo Chúng chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp sau: Định lý 3.1.3 Cho X = {P1 , , P2n+1 } tập gồm 2n + điểm phân biệt Pn cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Định lý 3.2.3 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho n + điểm X nằm (n − 2)phẳng Pn Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Các kết công bố báo [20] [21] 6.2 Cấu trúc luận án Trong luận án này, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia thành ba chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày lại khái niệm số tính chất liên quan đến số quy Các khái niệm kết cần thiết cho việc trình bày hai chương sau luận án Tiết 1.1 trình bày khái niệm vành phân bậc môđun phân bậc, Hàm Hilbert Đa thức Hilbert môđun phân bậc hữu hạn sinh Từ chúng tơi trình bày khái niệm tập 17 Chương CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP s ĐIỂM BÉO KHÔNG NẰM TRÊN MỘT (r − 1)-PHẲNG VỚI s ≤ r + Như phần mở đầu mà giới thiệu, việc tính số quy reg(Z) tốn khó Vì việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Chúng xin nhắc lại ba kết trình bày phần trước Năm 1984, Davis Geramita (xem [9]) tính số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) cơng thức tính số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps điểm P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn Năm 2012, Thiện (xem [25]) cơng thức tính reg(Z) cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms+2 Ps+2 Pn với P1 , , Ps+2 không nằm (s − 1)-phẳng Pn , s ≤ n Nội dung chương chia thành hai tiết, Tiết chúng tơi đưa cơng thức tính số quy s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng α Pn với s ≤ r + (xem Định lý 2.1.1); Tiết cơng thức tính số quy tập s điểm béo tùy ý đồng bội cho chúng không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + (Định lý 2.2.6); cuối kết luận Chương Các kết chương trích từ báo [26] 18 2.1 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + Một tập s điểm P1 , , Ps không gian xạ ảnh Pn gọi vị trí tổng quát r-phẳng α điểm P1 , , Ps nằm α khơng có j + điểm chúng nằm j -phẳng, với j < r Nhắc lại rằng, đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Kết công thức tính tốn số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát r-phẳng Pn với s ≤ r + Định lý 2.1.1 Cho P1 , , Ps điểm phân biệt vị trí tổng quát nằm r-phẳng α Pn với s ≤ r + Cho m1 , , ms số nguyên dương Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Khi đó, reg(Z) = max{T1 , Tr }, T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , Tr = m1 + · · · + ms + r − r Hệ 2.1.2 Cho P1 , , Ps điểm phân biệt Pn với s ≤ Cho m số nguyên dương Z = mP1 + · · · + mPs Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max j = 1, , n qm + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , 19 2.2 Chỉ số quy s điểm béo đồng bội khơng nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + Bổ đề sau giúp tìm chặn cho số quy tập s điểm béo Pn Bổ đề 2.2.1 Cho P1 , , Ps , P điểm phân biệt Pn cho với r điểm tùy ý {P1 , , Ps }, tồn (r − 1)-phẳng qua r điểm tránh P Cho m1 , , ms số nguyên dương Xét tập {P1 , , Ps } với dãy số bội (m1 , , ms ) Giả sử t số nguyên cho t ≥ max mj , s i=1 mi r +r−1 j = 1, , s Khi đó, tồn t (r − 1)-phẳng L1 , , Lt tránh P cho với điểm Pj ∈ {P1 , , Ps }, có mj (r − 1)-phẳng {L1 , , Lt } qua Pj Bổ đề 2.2.2 Cho X = {P1 , , Ps+3 } tập điểm phân biệt nằm s-phẳng Pn với ≤ s ≤ n, cho khơng có (s − 1)-phẳng chứa s + điểm X khơng có (s − 2)-phẳng chứa s điểm X Gọi ℘1 , , ℘s+3 iđêan nguyên tố vành đa thức R = k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps+3 Giả sử có (s − 1)-phẳng α, chứa s + điểm P1 , , Ps+1 có (s − 1)-phẳng β, chứa s + điểm P3 , , Ps+3 Cho m số nguyên dương Với j = 1, , n, đặt Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(R/(J + ℘m s+3 )) ≤ max Tj j = 1, , n , m J = ℘m ∩ · · · ∩ ℘s+2 Mệnh đề 2.2.3 Cho X = {P1 , , Ps+3 } tập điểm phân biệt nằm s-phẳng X khơng nằm vị trí tổng qt X không nằm (s−1)-phẳng Pn với ≤ s ≤ n Cho m số nguyên dương Giả sử ℘1 , , ℘s+3 iđêan nguyên tố vành đa thức R = k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps+3 Với j = 1, , n, đặt Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng 20 Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘m i0 )) ≤ max Tj j = 1, , n , J = ∩i=i0 ℘m i Mệnh đề sau chặn cho số quy tập s + điểm béo đồng bội không nằm (s − 1)-phẳng Mệnh đề 2.2.4 Cho X = {P1 , , Ps+3 } tập điểm phân biệt không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n, m số nguyên dương Cho Z = mP1 + · · · + mPs+3 tập điểm béo đồng bội Khi đó, reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Tiếp theo cơng thức tính số quy tập s + điểm béo đồng bội không nằm (s − 1)-phẳng Pn Định lý 2.2.5 Cho X = {P1 , , Ps+3 } tập điểm phân biệt không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n, m số nguyên dương, m khác Gọi Z = mP1 + · · · + mPs+3 tập điểm béo đồng bội Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − |Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j j = 1, , n Định lý sau công thức tính số quy tập s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 21 Định lý 2.2.6 Cho X = {P1 , , Ps } điểm phân biệt không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + m số nguyên dương, m khác Gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập điểm béo đồng bội Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max mq + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n 2.3 Kết luận chương Trong chương chúng tơi thu kết sau: (1) Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + (Định lý 2.1.1) (2) Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm đồng bội cho chúng không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + (Định lý 2.2.6) 22 Chương CHẶN TRÊN SEGRE CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP s ĐIỂM KÉP TRONG Pn VỚI 2n + ≤ s ≤ 2n + Chúng nhắc lại giả thuyết N.V Trung đưa vào nằm 1996 sau (xem [24]): Giả thuyết: cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tùy ý Pn Khi reg(Z) ≤ max Tj |j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil j +j−2 |Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Hiện chặn gọi chặn Segre Về việc chứng minh chặn Segre xin nhắc lại số kết trình bày phần trước Cách gần 20 năm, chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh n = 2, n = (xem [22], [23]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps P4 (xem [24]) Thiện; trường hợp n = 2, n = có chứng minh khác độc lập Fatabbi Lorenzini (xem [10], [11]) Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 Pn (xem [2]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [28]) Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghen chứng minh giả thiết trường hợp n + điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn 23 Năm 2017, Clussi, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho trường hợp s điểm đồng bội Pn với s ≤ 2n − (xem [5]) Năm 2018, Nagel Trok chứng minh chặn Segre (xem [18, Theorem 5.3]) Nội dung chương chia thành hai tiết Trong Tiết chứng minh giả thuyết N.V Trung cho số quy tập s = 2n + điểm kép cho khơng có n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng Pn Tiết dành để chứng minh giả thuyết N.V Trung cho số quy tập s = 2n + điểm kép không suy biến cho khơng có n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng Pn Kết chương trích từ báo [20] [21] 3.1 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép cho khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn Các mệnh đề sau kết quan trọng cho việc chứng minh chặn Segre Mệnh đề 3.1.1 Cho X = {P1 , , P2n+1 } tập gồm 2n + điểm phân biệt cho không tồn n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Pn Gọi ℘i iđêan nguyên tố tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= i=i0 24 Mệnh đề 3.1.2 Cho X = {P1 , , P2n+1 } tập gồm 2n + điểm phân biệt cho không tồn n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Pn Cho Y = {Pi1 , , Pis }, ≤ s ≤ 2n, tập X Gọi ℘i iđêan nguyên tố tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= Pi ∈Y \{Pi0 } Kết phần thể qua định lý sau Định lý 3.1.3 Cho X = {P1 , , P2n+1 } tập gồm 2n + điểm phân biệt Pn cho không tồn n+1 điểm X nằm (n−2)-phẳng Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+1 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ 25 3.2 Chặn Segre cho số quy tập 2n+2 điểm kép khơng suy biến khơng có n+1 điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn Trong phần chứng minh chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép không suy biến khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Để chứng minh kết chúng tơi cần sử dụng mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho không tồn n + X nằm (n − 2)-phẳng Pn Gọi ℘i iđêan nguyên tố tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= i=i0 Từ Mệnh đề 3.1.1, Mệnh đề 3.1.2 Mệnh đề 3.2.1 ta có hệ sau Hệ 3.2.2 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Pn Cho Y = {Pi1 , , Pis }, ≤ s ≤ 2n + 1, tập X Gọi ℘i iđêan nguyên tố với tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , 26 TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= Pi ∈Y \{Pi0 } Kết phần thể qua định lý sau Định lý 3.2.3 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt Pn cho n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt TZ = max{Tj |j = 1, , n}, Tj = max 2q + j − |Pi1 , , Piq nằm j -phẳng j Khi đó, reg(Z) ≤ TZ 3.3 Kết luận chương Trong chương thu kết sau: (1) Chứng minh giả thiết N.V Trung trường hợp tập 2n + điểm kép cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3) (2) Chứng minh giả thiết N.V Trung trường hợp tập 2n + điểm kép không suy biến cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) 27 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Luận án quan tâm đến số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn Chúng tơi tập trung tính số quy chặn dựa giả thuyết N.V Trung thu kết sau Trước tiên, chúng tơi quan tâm đến việc tính số quy tập điểm béo, toán khó Cho đến kết đạt tốn khiêm tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo trường hợp sau: • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + (Định lý 2.1.1) • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm đồng bội cho chúng không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + (Định lý 2.2.6) Các kết công bố báo [26] Bài tốn tính số quy tập điểm béo tốn mở Thứ hai, chúng tơi nghiên cứu giả thuyết N.V Trung chặn cho số quy tập điểm béo Chúng tơi chứng minh giả thuyết N.V Trung cho trường hợp sau: • Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập gồm 2n + điểm kép cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng khơng gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3) • Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập gồm 2n + điểm kép không suy biến cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) Các kết công bố báo [20], [21] Gần đây, báo [18], Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát 28 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN (1) Thien P.V and Sinh T.N.(2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 (2) Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 (3) Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI: Các kết luận án báo cáo đại hội tốn học tồn quốc lần thứ IX, tháng 8-2018, Nha Trang-Khánh Hòa 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M.F and Macdonald I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford Benedetti B., Fatabbi G and Lorenzini A (2012), Segre’s bound and the case of n + fat points of Pn , Comm Algebra 40, 395-403 Brodmann M.P and Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press Ballico E., Dumitrescu O and Postinghel E (2016), On Segre’s bound for fat points in Pn , J Pure and Appl Algebra 220, 2307-2323 Calussi G., Fatabbi G and Lorenzini A (2017), The regularity index of up to 2n − equimultiple fat points of Pn , J Pure Appl Algebra 221, 1423-1437 Catalisano M.V (1991), Linear systems of plane curves through fixed fat points of P2 , J Algebra 142, no 1, 81-100 Catalisano M.V (1991), Fat points on a conic, Comm Algebra 19, 21532168 Catalisano M.V., Trung N.V and Valla G (1993), A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc Amer Math Soc 118, 717-724 Davis E.D and Geramita A.V (1984), The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Paper in Pure and Appl Math 67, 1-29 10 Fatabbi G.(1994), Regularity index of fat points in the projective plane, J Algebra 170, 916-928 11 Fatabbi G and Lorenzini A (2001), On the sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J Pure Appl Algebra 161, 91-111 30 12 Fulton W (1969), Algebraic Curves, Math Lect Note Series, Benjamin, New York 13 Harbourne B (2001), On Nagata’s conjecture, Journal of Algebra 236, 692-702 14 Harris J (1992), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 15 Hartshorne R (1977), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 16 Kunz E (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag 17 Matsumura H (1970), Commutative Algebra , W A Benjamin, Inc., New York 18 Nagel U and Trok B (2018), Segre’s regularity bound for fat point schemes, (accepted 30/3/2018 at Annali della Scuola Normale Superiore) 19 Serge B (1961), Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti Convergno Intern di Torino , 15-33 20 Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 21 Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 22 Thien P.V (1999), On Serge bound for the regularity index of fat points in P2 , Acta Math Vietnamica 24, 75-81 23 Thien P.V (2000), Serge bound for the regularity index of fat points in P3 , J Pure and Appl Algebra 151, 197 - 214 24 Thien P.V (2002), Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4 , Comm Algebra 30, 5825-5847 25 Thien P.V (2012), Regularity index of s + fat points not on a linear (s-1)-space, Comm Algebra, 40, 3704-3715 31 26 Thien P.V and Sinh T.N (2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 27 Trung N.V (1994), An algebraic approach to the regularity index of fat points in Pn Kodai Math J 17, 382-389 28 Tu N.C and Hung T.M (2013), On the regularity index of n+3 almost equimultiple fat points in Pn Kyushu J Math 67, 203-213 ... Tính số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu chúng tơi thuộc lĩnh vực Đại số. .. n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) 27 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Luận án quan tâm đến số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn Chúng tơi tập trung tính số quy chặn... đến việc tính số quy tập điểm béo, toán khó Cho đến kết đạt tốn khiêm tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo trường hợp sau: • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm béo ví trí tổng