KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
Các điều kiện C i của môđun 5
1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M trên vành R Ta xét các điều kiện sau đối với môđun M Điều kiện C 1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M, tồn tại
C 2 : Nếu A, B là môđun con của M và A M A, B
1C 1 : Mọi môđun con đều U của M, B M
1.1.2 Chú ý Đối với mỗi môđun M tuỳ ý, có thể không có điều kiện nào hoặc có một số điều kiện nào đó thoả mãn
1.1.3 Ví dụ Xét - môđun Ta có các khẳng định sau:
Khẳng định 1 có điều kiện C 1
Chứng minh: Với mọi môđun con A của thì :
Chứng minh Vì ta có n , n * mà
nhưng n không là hạng tử trực tiếp của
Khẳng định 3 có điều kiện C 3
Chứng minh Vì chỉ có 0 và là hạng tử trực tiếp, mà 0 0 và
Khẳng định 4 có điều kiện 1C 1
Chứng minh Hiển nhiên vì C 1 1 C 1
1.1.4 Mệnh đề Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện C 2 thì cũng thỏa mãn điều kiện C 3
Trước hết ta chứng minh A B A B Lấy a b A B Ta có
1, b B M A A nên b a’ a 1 với a'A a, 1 A 1 , suy ra b a 1 Khi đó a b aa' a 1 A B A B 1
Lại vì Ker A Ker , B A B 0 suy ra / B B : B là đẳng cấu
M B N N , là môđun con nào đó của M (b)
Lại vì B A 1 dùng luật modula giao hai vế (b) với A 1 ta được
1.1.5 Định nghĩa a) Môđun M thỏa mãn C 1 gọi là CS-môđun hay M có điều kiện C 1 b) Môđun M có điều kiện C 1 và C 2 được gọi là môđun liên tục c) Môđun M có điều kiện C 1 và C 3 được gọi là môđun tựa liên tục
+) -môđun là môđun tựa liên tục nhưng không liên tục
+) -môđun là liên tục và tựa liên tục.
Môđun nội xạ 8
1.2.1 Định nghĩa (i) Môđun M được gọi là A-nội xạ nếu với mỗi môđun con
Đồng cấu f từ X của A đến M luôn tồn tại một đồng cấu mở rộng f*: A đến M, sao cho f i* = f Trong đó, i là phép nhúng chính tắc, nghĩa là i(a) = a với mọi a thuộc A.
(ii) Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ
Môđun M được gọi là môđun nội xạ khi nó là A-nội xạ đối với mọi môđun A Hai môđun M và N được xem là nội xạ lẫn nhau nếu M là N-nội xạ và N cũng là M-nội xạ.
(v) Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho
M cốt yếu trong E(M), là giao của tất cả các môđun nội xạ chứa M
1.2.2 Ví dụ -môđun là nội xạ
1.2.3 Định lí (Đặc trưng môđun nội xạ) Các mệnh đề sau là tương đương:
(2) M là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa M khi và chỉ khi với mọi đơn cấu :M N là chẻ ra, tức là Im N.
(3) Với mọi đơn cấu : thì đồng cấu
Hom Hom B M Hom A M là toàn cấu
1.2.4 Hệ quả Cho M là nội xạ và N M khi đó N nội xạ
1.2.5 Định lí Tích trực tiếp các môđun i
M là nội xạ khi và chỉ khi M là i nội xạ, với mọi iI.
() Cho M là nội xạ Ta chứng minh i I thì M i là nội xạ Thật vậy, Xét biểu đồ
Với mọi môđun A là môđun con của môđun X bất kỳ, với mọi đồng cấu i : i f AM ta bổ sung phép nhúng j M i : i M xác định x ,0, , x i ta có đồng cấu j f i i :AM
Do M là nội xạ, tồn tại g: X → M, với M là mở rộng của α, tức là gk = α, trong đó k là phép nhúng từ A vào X Gọi p: M → M i là phép chiếu xác định (x i) α(x i) Khi đó, nếu lấy f i* = gp: X i → M i, thì f i* là cần chọn.
* i i i i i i f k p gk p j f f Do đó M i là nội xạ
() Cho M i , i I là nội xạ Ta chứng minh M là nội xạ Thật vậy, Xét sơ đồ
Với mọi môđun X A, X,f A: M là đồng cấu Ta cần tìm
*: f X M để f *k f, trong đó f A: X là phép nhúng từ A vào X
Bổ sung phép chiếu p M i : M i Do M i là nội xạ nên tồn tại
*: i i f X M là mở rộng của p f i Tức là: f k i * p k i
Kiểm tra ta được f * thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì
1.2.6 Định lí Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu f I: M thì tồn tại mM để f x xm , x I
Chứng minh () Cho M là môđun nội xạ Lấy I là iđêan trái của R,
: f I Mlà đồng cấu môđun Vì R là R-môđun nên M là R-nội xạ Do đó, f mở rộng thành đồng cấu f * :RM Đặt m f * 1
Khi đó: x I, thì f x f x 1 f * ( 1) x xf * (1) xm
Giả sử đã có điều kiện đủ, chúng ta chứng minh rằng M là N-nội xạ với mọi môđun N Cho X là môđun con tùy ý của N và g: X → M là đồng cấu bất kỳ Chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đồng cấu g* là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ S ( , ) / T X T N ,: T M , X g Ta thấy
X g , S S Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:
Ta chứng minh S thoả mãn Bổ đề Zorn Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của
Ta định nghĩa x k x Dễ dàng kiểm tra được là đồng cấu Khi đó
T , là cận trên của dãy (a) Theo Bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu
Nếu B là tập con của N, thì tồn tại một phần tử a trong N mà không thuộc B Đặt H bằng B cộng thêm phần tử a, ta có B là tập con của H Từ đó, ta xác định đồng cấu h từ H sang M, với h(b) bằng β(b) cộng với rm, trong đó m được xác định qua tập hợp I, là tập các phần tử r trong R mà ra thuộc B Chúng ta có thể kiểm tra rằng I là một lý thuyết trái của R Cuối cùng, ta xác định đồng cấu g từ I sang M, với g(r) bằng β(ra) cho mọi r thuộc I.
Theo giả thiết, nếu \( g(x) = xm \) với \( x \in I \), thì do \( B \subset H \) và cách xác định của \( h \), ta có \( h \) là mở rộng của \( \beta \) Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của cặp \( (B, \beta) \) Do đó, ta kết luận rằng \( B = N \) và \( g^* = \beta \), từ đó suy ra \( g^* \) là mở rộng của \( g \).
1.2.7 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) Cho môđun M trên vành R Khi đó M nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan I là hai phía của R, với mọi đồng cấu
Chứng minh Tương tự Định lí 1.2.6
1.2.8 Hệ quả Cho môđun M trên vành R Khi đó M nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan, mọi đồng cấu f I: M thì tồn tại f * :RM là đồng cấu mở rộng của f, tức là f i * f Tức là biểu đồ sau giao hoán:
1.2.9 Mệnh đề Nếu M là N-nội xạ và AN thì M là A-nội xạ và N A – nội xạ
Để chứng minh M là A-nội xạ, ta bắt đầu với X A và đồng cấu f từ X đến M Bởi vì X cũng là một phần của N và M là N-nội xạ, ta có thể mở rộng f thành đồng cấu g từ N đến M Như vậy, g A sẽ là mở rộng của f trên A, từ đó khẳng định rằng M là A-nội xạ.
Bây giờ ta chứng minh M là N A-nội xạ Lấy X AN A và
là đồng cấu Gọi : N N A là đồng cấu tự nhiên Đặt X Do M là N-nội xạ nên mở rộng thành đồng cấu :N M
Ta có: A A 0 0 Suy ra ker ker Do đó, tồn tại đồng cấu :N AM sao cho Với mọi xX , ta có
Vậy, là mở rộng của hay M là N A-nội xạ
1.2.10 Mệnh đề M là N-nội xạ khi và chỉ khi N M với mọi
Chứng minh Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi
() Giả sử M là N– nội xạ, với Hom N E M , Đặt
X nN n M Dễ thấy X là môđun con của N Vì M là N-nội xạ,
X mở rộng thành đồng cấu : NM , ta chứng minh M N 0
Thật vậy, giả sử có mM và nN sao cho m n Khi đó,
Như vậy, m n n n n 0 Vậy, M N 0 và vì e
Giả sử có N M với mọi Hom N E M , Lấy X N và :f X M là đồng cấu Vì E(M) là nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu
Theo giả thiết N M Vậy, : f X M mở rộng thành đồng cấu : NM hay M là N-nội xạ
1.2.11 Bổ đề Cho M 1 và M 2 là các môđun và M M 1 M 2 Thế thì, M 2 là
M 1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà NM 2 0 đều tồn tại môđun con K của M sao cho M K M 2 và N K
Giả sử M2 là M1-nội xạ và với mọi môđun con N của M mà N∩M2 = 0, ta có các phép chiếu i: M → Mi (i=1,2) Đặt = 1(N) và = 2(N) Do N∩M2 = 0, nên là đơn cấu Vì M2 là M1-nội xạ, tồn tại đồng cấu : M1 → M2 sao cho (α) = β.
Lấy K m 1 m 1 :m 1M 1 Với mọi nN thì nm 1 m 2 Ta có
hay m 1 m 2, từ đây ta suy ra nm 1 m 1 K Do đó,
NK Nếu có m 1 M 1 và m 2 M 2 sao cho m 1 m 1 m 2thì
1 2 1 2 m m m M , nên m 1 0 và m 2 0 Như vậy, KM 2 0 Mặt khác, m M m, m 1m 2 m 1 m 1 m 2 m 1 K M 2
Giả sử với mọi môđun con N của M mà N∩M₂ = 0, tồn tại môđun con K của M sao cho M = K ⊕ M₂ và N ≤ K Gọi X là môđun con của M₁ và f: X → M₂ là đồng cấu Đặt H = {x - f(x) : x ∈ X}, thì H là môđun con của M và H∩M₂ = 0 Theo giả thiết, có môđun con H' của M sao cho M = H' ⊕ M₂ và H ≤ H'.
g x x x f x f x f x Vậy, g là mở rộng của f, hay M 2 là M 1 -nội xạ
1.2.12 Định nghĩa Cho môđun A trên vành (hay là nhóm aben A đối với phép cộng), A được gọi là chia được nếu với mọi n * ta luôn có nA A.
1.2.13 Hệ quả Môđun A là chia được khi và chỉ khi phương trình nx a có nghiệm với mọi n * ,aA.
1.2.14 Ví dụ (1) -môđun ( là nhóm cộng các số hữu tỉ ) là môđun nội xạ vì chia được Thâ ̣t vâ ̣y , từ phương trình nxq q, ,n luôn có nghiê ̣m q , * , x n q
n Do đó, -môđun là chia được
(2) -môđun ( là nhóm cộng các số nguyên ) không phải là môđun nô ̣i xa ̣ vì không chia được Thâ ̣t vâ ̣y, ta lấy phản ví du ̣ xét phương trình
4x5 có nghiệm là 5 x 4 Do đó, -môđun là không chia được
Cho V là một K-không gian véctơ, trong đó V được xem như một K-môđun nội xạ Giả sử A là không gian véctơ con của W, thì với mỗi ánh xạ tuyến tính f từ A đến V, tồn tại một ánh xạ tuyến tính g từ W đến V mà thỏa mãn g = f, trong đó i là phép nhúng đồng nhất.
Từ đây ta có mối liên hệ giữa môđun và chia được của một môđun trên vành bởi định lí sau:
1.2.15 Định lí (Môđun nội xạ trên vành ) -môđun A là nội xạ khi và chỉ khi A là -môđun chia được
Chứng minh () Cho A là -môđun nội xạ Ta chứng minh A là -môđun chia được
Xét phương trình nx a, n * ,aA xét biểu đồ : trong đó :f nA với nza Áp dụng tiêu chuẩn Baer, do A nội xạ nên tồn tại a 0 A để
0 , , f nz a nz nx n mà f nz a nên anza 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là xza 0 A Suy ra A là -môđun chia được
Cho A là -môđun chia được Ta chứng minh A là -môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer Xét sơ đồ:
Với mọi iđêan của có dạng I n và f n: A là đồng cấu
-môđun Ta cần tìm phần tử aA để f x ax , x n Kí hiệu
Do A chia được nên phương trình có nghiệm x x 0 A tức là nx 0 a 0 Khi đó ta chọn a x 0 A Ta có :
1 0 0 f x f nz f zn zf n zf n za nzx anz
Dựa vào định lí này, để xét một môđun có phải là môđun nội xạ trên vành ta chỉ cần xét chia được của nó và ngược lại.
MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU 17
Môđun giả nội xạ 17
2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các môđun M được gọi là N-giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N, với mọi đơn cấu :f AM đều mở rộng thành đồng cấu :g N M : f=gi, tức là biểu đồ sau giao hoán:
M được gọi là tựa giả nội xạ nếu M là M-giả nội xạ
M được gọi là giả nội xạ nếu M là N-giả nội xạ với mọi môđun N
Vành R được gọi là vành giả nội xạ nếu môđun R R là môđun giả nội xạ
2.1.2 Mệnh đề Cho AN Nếu M là N-giả nội xạ thì M là A-giả nội xạ
Chứng minh rằng nếu X A và f: X M là đơn cấu, thì X cũng là môđun con của N Bởi vì M là N-giả nội xạ, nên f có thể được mở rộng thành đồng cấu g: N M Rõ ràng, g A: A M là mở rộng cần tìm, do đó, M được xác định là A-giả nội xạ.
2.1.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và X M N Các điều kiện sau là tương đương:
(2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn AM A N 0, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M T X
Chứng minh 1 2 Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (2)
Gọi M :M N M, N :M N N là các phép chiếu Ta xác định đồng cấu : N A M A như sau:
Với mỗi aA , N a M a Do A N 0, nên là đơn cấu Theo giả thiết, mở rộng thành đồng cấu g N: M Đặt
T ng n nN Từ đây, ta thấy M T X và a A,
a m n n n n g n , với nN m, M, do đó AT , thỏa mãn
2 1 Giả sử có (2) Gọi B là môđun con của N và f B: M là đơn cấu Đặt A b f b b : B , thế thì AM A N 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho M T X Lấy
là phép chiếu Khi đó, b B b , f b b f b , ta có:
Vậy, N là mở rộng của f cần tìm
- Một dãy các đồng cấu R-môđun:
A n f n A n f n A n được gọi là khớp tại A n nếu Imf n ker f n 1 Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại A n với mọi n
- Một dãy khớp dạng 0 M f N g K 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f Kerg
- Một toàn cấu của các R-môđun M f N 0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu :g N M sao cho fg1 N
- Một đơn cấu của các R-môđun 0M f N được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu :g N M sao cho gf 1 M
- Dãy khớp ngắn 0 M f N g K 0 được gọi là chẻ ra nếu Im f (hoặc kerg) là hạng tử trực tiếp của N
2.1.5 Mệnh đề Nếu M là N-giả nội xạ thì mọi đơn cấu f M: N là chẻ ra, và khi đó N Imf X , với X là môđun con nào đó của N
Chứng minh rằng f M: N là đơn cấu cho phép xem M như một môđun con của N Vì M là N-giả nội xạ, nên tồn tại một đồng cấu g từ N đến M sao cho gf = 1 M Từ đó, ta có thể chứng minh rằng N = Im f ⊕ kerg.
Với mọi nN, thì g n M Ta có n f g n n f g n Hiển nhiên, f g n Im f , ta chứng minh n f g n ker g
Như vậy, ta có N Im f Kerg Mặt khác, nếu có xImf kerg, thế thì tồn tại mM sao cho x f m và g x 0
Từ đây, ta suy ra m g f m g x 0 hay x 0 Vậy, Im f ker g 0
2.1.6 Mệnh đề Nếu M là N-giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M thì A là N-giả nội xạ
Chứng minh Giả sử M là N-giả nội xạ, đặt X M N và M A B, với
BM Lấy K là môđun con của AN sao cho K A K N 0 Lấy x K M, khi đó, x m a n, với mM a, A n, N Ta có n m a M, suy ra n = 0 hay x a A x, K Vậy x = 0 hay KM 0
Do M là N-giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.1.3, thì tồn tại môđun con T của X chứa
K sao cho M T X Vậy thì, A T A N Theo Mệnh đề 2.1.3, thì A là
2.1.7 Mệnh đề Nếu M là N-giả nội xạ và M P thì P là N-giả nội xạ
Chứng minh Lấy X N và f X: P là đơn cấu Do M P nên tồn tại đẳng cấu :PM
Khi đó f X: M là đơn cấu, do M là N-giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu : NM sao cho i X f , trong đó i X :X N là phép bao hàm Đặt g 1 :NP, thế thì ta có
X X g i i f f Vậy, g là mở rộng của f cần tìm hay P là N-giả nội xạ
2.1.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C 2 )
Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của M có cấu trúc đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M Chúng ta sẽ chứng minh rằng B chính là hạng tử trực tiếp của M.
Thật vậy, lấy :f AB là đẳng cấu Khi đó, f cũng là đơn cấu từ A vào
M Vì M là M-giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.1.6 thì A là M-giả nội xạ Theo
Mệnh đề 2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C 2)
2.1.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ
Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M, tức là M A B, với BM Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ
Lấy X A và f X: A là đơn cấu Khi đó i f X A : M cũng là đơn cấu, trong đó :i A AM là phép nhúng Do M là giả nội xạ, nên i f A mở rộng thành đồng cấu : M M Đặt
A và :M A B A là phép chiếu Lấy g :AA, thế thì ta có gi X i X i f A f , trong đó
X : i X A là phép nhúng Vậy g là mở rộng của f cần tìm hay A là môđun giả nội xạ
2.1.10 Định nghĩa Cho M là R- môđun và AM Môđun K được gọi là bù (bù giao) của A trong M nếu:
(iii) K là môđun con tối đại có tính chất K A 0
2.1.11 Định nghĩa Cho M là R- môđun và AM Môđun K được gọi là bù cộng tính của A trong M nếu:
(iii) K là môđun con tối tiểu có tính chất K A M.
2.1.12 Định nghĩa Cho M là R-môđun Môđun K được gọi là phần bù nếu tồn tại AM để K là bù (bù giao) của A trong M
2.1.13 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ khi đó môđun con của M đẳng cấu với phần bù trong M, cũng là phần bù trong M
Chứng minh Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho
A là một môđun, và K được xác định là đẳng cấu môđun Giả sử f mở rộng thành đồng cấu g từ M đến M Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A' trong M sao cho A ≤ e A' Rõ ràng, g A là đơn cấu, dẫn đến K = g A ≤ e g A' Vì K là môđun con bù, ta có K = g A' Từ đó, suy ra A = A'.
Theo Định lý 2.1.8 và Định nghĩa 1.1.1, một môđun giả nội xạ và CS-môđun được xác định là môđun liên tục Trong tài liệu [4], một số định nghĩa quan trọng được trình bày, trong đó môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập I (hữu hạn), điều kiện i thuộc I được thỏa mãn.
với N và A i là các môđun thì M N M i I B i
với B i A i Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu M X MY thì
XY M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu M A 1 B 1 A 2 B 2 mà
Môđun M được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu nó không đẳng cấu với bất kỳ hạng tử trực tiếp thực sự nào của chính nó Tác giả đã chứng minh rằng môđun nội xạ M có tính triệt tiêu nếu và chỉ nếu M là hữu hạn trực tiếp Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục là môđun liên tục, và mọi môđun liên tục đều có tính biến đổi Dựa trên những kết quả này, chúng ta có thể chứng minh một số định lý quan trọng.
2.1.14 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M 2 là CS- môđun
Chứng minh Giả sử M là giả nội xạ và M 2 là CS-môđun Lấy
M i M i và X M 1 M 2 Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên tục Gọi A là phần bù trong X sao cho AM 1 0 và AM 2 e A DoM 2 là
CS-môđun nên tồn tại môđun con V và V' của M 2 sao cho V V'M 2 và
AM V Mặt khác, M 2 là CS-môđun nên ta cũng có AA' X, với '
A X Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là môđun liên tục hay V có tính biến đổi Vì V A e A, ta có V A'0 Vậy, V A' X
Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M 2
Gọi C là môđun con của X sao cho C∩M1 = 0 Theo Bổ đề Zorn, tồn tại một phần bù K trong X của M1 chứa C Cũng theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K1 trong K của K∩M2 và phần bù K2 trong K của K1 chứa K∩M2 Ta thấy K∩M2 ≤ e K2 và K1, K2 là phần bù trong X Theo Mệnh đề 2.1.3, tồn tại môđun con T của X chứa K1 thỏa mãn M1 ⊕ = T X Do đó, T ≈ M2 và K1 là phần bù trong T, suy ra K1 đẳng cấu với một phần bù trong M2 Tương tự, K2 cũng đẳng cấu với một phần bù của M2.
là phép chiếu thông thường Ta có
M K K M K K , trong đó K i K i Do tính liên tục của M 2 và điều kiện ở trên, nên K 1 K 2 là hạng tử trực tiếp của
M 2 Vì K là phần bù của M 1, M 1 K M 1 K e X nên K e M 2 Theo cách chọn K 1, K 2 và K 1 K 2 e K, thế thì K 1 K 2 e K
Do đó, K 1 K 2 e M 2 Từ đây suy ra M 2 K 1 K 2 K Vậy, M 1 K X Theo Bổ đề 1.2.11, M 1 là M 2-nội xạ
2.1.15 Mệnh đề Nếu MN là giả nội xạ thì M và N là nội xạ lẫn nhau Chứng minh Giả sử M N là giả nội xạ, ta chứng minh M là N-nội xạ, N là
M-nội xạ chứng minh tương tự
Thật vậy, đặt X M N và AX sao cho AM 0 Gọi K là phần bù của M trong X chứa A, :M N N là phép chiếu Ta có
M K M K X , từ đây ta suy ra K e N, trong đó K K
Gọi f : K K là đẳng cấu Vì X là giả nội xạ nên theo Mệnh đề 2.1.2, X là N-giả nội xạ Do đó f mở rộng thành đồng cấu g N: X Ta có
K g K g N , do K là môđun con bù trong X nên K g N và
Vậy M K X Theo Bổ đề 1.2.11, M là N-nội xạ
Môđun giả nội xạ cốt yếu 24
2.2.1 Định nghĩa Cho M và N là các môđun Khi đó:
(1) M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu
A của N thì mọi đơn cấu f A: Mđều mở rộng được đến đồng cấu : g N M
(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun N
(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là
N-giả nội xạ cốt yếu và N là M-giả nội xạ cốt yếu
(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu R R là một môđun giả nội xạ cốt yếu
Từ Định nghĩa 2.2.1 ta có, nếu M là N-giả nội xạ thì M là N-giả nội xạ cốt yếu Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu
2.2.2 Ví dụ Xét các -môđun p 2, p 3 và n trong đó p là một số nguyên tố và 2 n Khi đó:
(1) n là môđun giả nội xạ cốt yếu
(2) p 3 là p 2-giả nội xạ cốt yếu
(3) p 2 không là p 3-giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh (1) Ta có -môđun n là tựa nội xạ, do đó nó là môđun giả nội xạ cốt yếu
(2) Vì môđun p 2 chỉ có 3 môđun con là
nên trong các -đơn cấu từ các môđun con của 2
p , ta chỉ xét - đơn cấu : 2 3 p f p p
Giả sử f p b p 3 , khi đó ta có
0 0 f p p f pb Vậy, b0 hoặc b p 2 Vì f là đơn cấu nên b p 2 và như vậy chỉ có một đơn cấu duy nhất : p 2 p 3 f p
là đơn cấu được xác định bởi f 0 0 và f p p 2 Bây giờ ta chọn ánh xạ g: p 2 p 3 được xác định g a pa với mọi a p 2 Khi đó g là một -đồng cấu Hơn nữa, với p 2 x p
thì xmp với m0,1, ,p1 Khi đó g x mp 2 f x Từ đó suy ra, g là một mở rộng của đồng cấu f Vì vậy, p 3 là p 2-giả nội xạ cốt yếu
(3) Ta lấy một môđun con cốt yếu của p 3 là p 3 p
Giả sử đồng cấu g: p 3 p 2 là một mở rộng của đơn cấu f Khi đó, giả sử
1 p 2 g b thì pb pg 1 g p 1 g p f p 1 Vậy, pb 1 với
2. b p Tuy nhiên, trong p 2 thì phương trình pb1 không có nghiệm nên không tồn tại đồng cấu g là một mở rộng của f Vậy, p 2 không là p 3-giả nội xạ cốt yếu
2.2.3 Mệnh đề Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun M và N:
(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu
(2) Với mỗi môđun A, với mỗi đơn cấu cốt yếu bất kỳ g A: N và đơn cấu f A: M thì luôn tồn tại đồng cấu h N: M sao cho f gh.
Chứng minh rằng cho môđun A, nếu :g AN là một đơn cấu cốt yếu và :f AM là một đơn cấu, thì từ :g AN là một đơn cấu cốt yếu, ta có g A e N Chúng ta chọn đồng cấu f ' : g A M sao cho.
Cho mọi a thuộc A, ta có f(g(a)) = f(a), chứng tỏ f' là đơn cấu Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu, nên tồn tại đồng cấu h: N → M sao cho h(g(a)) = f' Do đó, với mọi a thuộc A, ta có gh(a) = h(g(a)) = f'(g(a)) = f(a).
Khi A ≤ e N, với mọi đơn cấu f: A → M, ta chọn đơn cấu cốt yếu g: A → N là một đơn cấu chính tắc Theo giả thiết, luôn tồn tại đồng cấu h: N → M là mở rộng của đơn cấu f, do đó M là N-giả nội xạ cốt yếu.
2.2.4 Định lí Các điều kiện sau là tương đương đối với các môđun M và N:
(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh (1)(2) Cho : E N E M là một đơn cấu Đặt
A N M khi đó A e N và A M Thật vậy, lấy 0 x N, do
là đơn cấu nên 0 x E M Do đó 0 1 xr xr 1 M
Mặt khác, vì rN nên xrN Do vậy xrA hay A e N Như vậy,
A e N và là đơn cấu từ AM Theo (1) thì tồn tại đồng cấu
: g N M sao cho g a a , a A Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh
Thật vậy, giả sử tồn tại n 0 sao cho g n 0 n 0 Đặt
0 0 xg n n E M thì 0 x Do M e E M nên tồn tại r sao cho 0xrg n r 0 n r 0 M Điều này chứng tỏ n r 0 M hay
1 n r 0 M Vì n r 0 N nên n r 0 N 1 M hay n r 0 A Do đó,
hay n r 0 g n r 0 xr0, kết quả này mâu thuẫn với 0. xr Do vậy, N M với mọi đơn cấu : E N E M
(2)(1) Cho A e N và f A: M là một đơn cấu Vì A e N nên
E A E N , do đó tồn tại đơn cấu g E N : E M sao cho g A f. Theo (2) thì g N M và g là mở rộng cần tìm của f, có nghĩa M là N-giả nội xạ cốt yếu
2.2.5 Ví dụ Xét các -môđun p 2 và p 3 Khi đó, p 2 là p 3- giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh Ta có E p 2 E p 3 p và E nên ta có
E E E Xét đơn cấu khác không
: p p f Giả sử f không toàn cấu thì f p là một môđun con thực sự của p
Do hàm f là đơn cấu và f p là hữu hạn, nên ta có f p p Tuy nhiên, vì p là tập vô hạn, điều này dẫn đến sự mâu thuẫn với đẳng cấu đã nêu Do đó, ta kết luận rằng f là một đẳng cấu.
Nếu f p , ta có f là hữu hạn nhưng f trong đó là tập vô hạn nên vô lý Vậy f p Tuy nhiên, f p p nên
Theo định lý 2.2.4, không tồn tại đơn cấu nào từ f' ⊕ p ∞ → p' ∞, mà chỉ có đồng cấu không Điều này dẫn đến kết luận rằng f ⊕ f' = f' ⊕ p ∞ là vô lý.
-giả nội xạ cốt yếu
2.2.6 Nhận xét Từ Ví dụ 2.2.2, ta có p 2 không là p 3-giả nội xạ cốt yếu, do đó p 2 không là p 3-giả nội xạ Vì vậy, ta có p 2 không là p 3-giả nội xạ Tuy nhiên, từ Ví dụ 2.2.5 ta lại có p 2 là p 3-giả nội xạ cốt yếu Do vậy, khái niệm “M là N-giả nội xạ cốt yếu” là mở rộng thực sự của khái niệm
Từ Định lí 2.2.4, khi cho M N, chúng ta thu được hệ quả dưới đây
2.2.7 Hệ quả Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:
(1) M là tựa giả nội xạ cốt yếu
(2) M M với mọi đơn cấu của E M
Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như các kết quả về môđun giả nội xạ
2.2.8 Mệnh đề Cho M và N là các môđun Khi đó:
(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi K là môđun con cốt yếu của N
(2) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K N, thì M là K- giả nội xạ cốt yếu
(3) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K M , thì N là K- giả nội xạ cốt yếu
(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các môđun con A và B trong đó A e N và B e M thì
(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu
E A E B thì mỗi đẳng cấu từ E A E B thu hẹp được thành đẳng cấu AB Hơn nữa, A và B là giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh 1 Cho L e K e N và f L : M là một đơn cấu Vì
E L E K E N nên tồn tại đơn cấu g E N : E M sao cho
L g f Do M là N-giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lí 2.2.4, chúng ta suy ra
g N M Từ đó suy ra g K M và vì vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu
Khi M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con cốt yếu K của
N thì hiển nhiên M là N-giả nội xạ cốt yếu
Cho M là N-giả nội xạ cốt yếu và g K, ta cần chứng minh M là K-giả nội xạ cốt yếu Đặt L ≤ e K thì g L ≤ e N Xét đơn cấu f L → M, khi đó tồn tại một đơn cấu fg g L' : ( ) → M.
G là một đơn cấu, và vì M là N giả nội xạ cốt yếu, nên đơn cấu fg' có thể được mở rộng thành đồng cấu h từ N đến M Đồng cấu hg từ K đến M thỏa mãn hg(l) = fg(g(l)) = f(l) cho mọi l thuộc L, do đó hg từ K đến M là một mở rộng của f Do đó, M được xác định là K-giả nội xạ cốt yếu.
(3) Giả sử M là N-giả nội xạ cốt yếu và KM , ta cần chứng minh K là N-giả nội xạ cốt yếu Gọi A là môđun con cốt yếu trong N, xét đơn cấu
Nếu AK và g K M là một đẳng cấu, thì đặt h = gf A: M, h là đơn cấu Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu, tồn tại đồng cấu t N M sao cho t(a) = h(a) với mọi a ∈ A Đặt u = g t N⁻¹: K, thì u là một đồng cấu Với mọi a ∈ A, ta có u(a) = g(t(a)) = g(h(a)) = g(gf(a)) = f(a), do đó u là đồng cấu mở rộng của đơn cấu f, nên K là N-giả nội xạ cốt yếu.
Cho f A: B là một đẳng cấu, với A e N và B e M, nên tồn tại một đẳng cấu g E N: E M sao cho g A f Do đó, ta có hai đơn cấu g E N: E M và g 1: E M E N Theo Định lý 2.2.4, g N M và g 1 M N, từ đó suy ra g N: N M là một đẳng cấu.
(5) Cho g E A : E B là một đẳng cấu Vì B là A-giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lí 2.2.4, ta có g A B Tương tự ta cũng có g 1 B A
Do đó B gg 1 B g g 1 B g A B Vậy g A B và ta có
Gọi AB là một đẳng cấu, từ A là B-giả nội xạ cốt yếu và B A, ta suy ra A là A-giả nội xạ cốt yếu, tức A là giả nội xạ cốt yếu Tương tự, chứng minh cho B cho thấy B cũng là giả nội xạ cốt yếu.
2.2.9 Định lí Cho M và N là các môđun Khi đó:
(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun M
(2) Giả sử N A B và M C D sao cho B được nhúng trong D Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh 1 Khi N là môđun nửa đơn thì mọi R-môđun M là N-nội xạ Do đó, với mọi R-môđun M thì M là N-giả nội xạ cốt yếu
Cho A N , khi đó tồn tại CN sao cho A C e N Giả sử
là một đồng cấu bao hàm Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun M nên AC là N-giả nội xạ cốt yếu, do đó tồn tại
: f N A C sao cho f 1 A C Ta có chẻ ra hay
Giả sử N A C N ' với N ' N thì do
A C e N nên N'0 Vậy ta có N A C Điều này chứng tỏ A e N nên N là môđun nửa đơn
(2) Vì B được nhúng trong D nên tồn đơn cấu :BD Giả sử
H và f H là một đơn cấu, do đó, f :H B M C D cũng là một đơn cấu Chúng ta có H B e AB hoặc H B e N Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu, nên tồn tại đồng cấu g M N, với g là mở rộng của f .
: f g AC với :M C là phép chiếu và : AN là đồng cấu bao hàm Khi đó, với mọi hH thì
Vì vậy, f H f Do đó C là A-giả nội xạ cốt yếu
2.2.10 Hệ quả Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu là giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh Hệ quả được suy ra từ Định lí 2.2.9 khi ta cho M N A C, và
2.2.11 Định lí Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:
(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu
(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến đầy đủ dưới các đơn cấu của End R M
(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu
Chứng minh rằng nếu f thuộc End R(M) là một đơn cấu và H là môđun con cốt yếu của M, thì tồn tại một đơn cấu g của E(M) mà g là mở rộng của f Do E(H) = E(M) nên g cũng là đơn cấu từ E(H) đến E(H).
Theo giả thiết, mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu, dẫn đến H cũng là giả nội xạ cốt yếu Theo Hệ quả 2.2.7, ta có g(H) ≤ H Vì g là mở rộng của f, nên f(H) ≤ H Do đó, H là bất biến đầy đủ dưới đơn cấu của End_R(M).
Cho H là một môđun con cốt yếu của M Giả sử A ≤ e H và f: A → H là một đơn cấu Khi đó, tồn tại một đơn cấu g của E(M) là mở rộng của f Vì E(M) = E(H) nên g cũng là một đơn cấu của E(H).
2.2.7 ta có f H H và vì vậy g là mở rộng của f hay H là môđun giả nội xạ cốt yếu