BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ LỆ CHI MỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC GIÃN NỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ LỆ CHI MỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC GIÃN NỞ Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric compact 1.2 Không gian thương Γ\PSL(2, R) 1.3 Hệ động lực DÒNG GIÃN NỞ 2.1 Dòng giãn nở kiểu Bowen-Walters 2.2 Dòng tách dòng giãn nở động học 18 2.3 Dòng giãn nở theo kiểu Komuro 21 2.4 Dòng giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt 27 TÍNH BW-GIÃN NỞ CỦA SUSPENSION 32 3.1 Suspension phép đồng phôi 32 3.2 Mêtric Bowen-Walters 33 3.3 Tính BW-giãn nở suspension 35 Kết luận 39 Mở đầu Hệ động lực chuyên ngành quan trọng, giao thoa toán học, vật lý, kỹ thuật Một nội dung lý thuyết hệ động lực nghiên cứu định tính quỹ đạo cho hệ động lực Một khái niệm có quan hệ chặt chẽ đến tính ổn định ‘tính giãn nở’ (expansiveness) Khái niệm giãn nở hệ động lực Bowen, Walters [6] đưa vào năm 1972, sau gọi giãn nở kiểu Bowen-Walters (viết tắt BW-giãn nở) Từ có nhiều khái niệm khác tính giãn nở giới thiệu Năm 1984, Gura [7] đưa khái niệm hệ động lực tách, yếu tính giãn nở Bowen-Walter Cũng năm 1984, Komuro [10] đưa khái niệm ‘C-giãn nở’, ‘K-giãn nở’, ‘K*-giãn nở’ Nếu dịng xét khơng có điểm bất động khái niệm tương đương Năm 1995, Katok Hasselbatt [8] đưa khái niệm tính giãn nở (sau gọi KH-giãn nở) yếu BW-giãn nở mạnh tính tách Gura Đến năm 2014, Artigue đưa khái niệm mới: ‘giãn nở động học’ (kinematic expansive) - mạnh tính tách Gura yếu tính BW-giãn nở, số khái niệm khác giãn nở hình học, tách hình học Vì tính giãn nở động học tách khơng bảo tồn qua phép tương đương topo nên khái niệm ‘ giãn nở động học mạnh’ ‘tách mạnh’ đời Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu tính chất giãn nở dịng khơng gian mêtric compact Ngồi giới thiệu định nghĩa tính chất dịng giãn nở, chúng tơi cịn cung cấp ví dụ minh họa cho tính giãn nở Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương liệt kê số kiến thức không gian mêtric compact, Không gian thương X = Γ\PSL(2, R), tính chất dòng X tương đương với dòng trắc địa dịng horocycle khơng gian thương mặt phẳng hy berbolic Chương giới thiệu định nghĩa, tính chất đặc trưng ví dụ cho tính BW-giãn nở, Chương cuối nghiên cứu tính giãn nở suspension đồng phôi Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Lệ Chi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric compact Định nghĩa 1.1 Cho tập X khác rỗng ánh xạ d : X × X −→ R gọi mêtric thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇐⇒ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric, ký hiệu (X, d) Định nghĩa 1.2 Cho (X, d) khơng gian mêtric Khi A ⊂ (X, d) gọi tập compact dãy {xn }∞ n=1 ⊂ A có dãy {xnk }∞ k=1 ⊂ A hội tụ đến phần tử A Nếu thân X tập compact ta nói (X, d) không gian mêtric compact 1.2 Không gian thương Γ\PSL(2, R) Ký hiệu SL(2, R) nhóm tất ma trận thực cấp có định thức PSL(2, R) = SL(2, R)/{E2 , −E2 } E2 ma trận đơn vị cấp Mỗi phần tử PSL(2, R) lớp tương đương gồm ma trận đối SL(2, R): PSL(2, R) = {[A] = {A, −A}, A ∈ SL(2, R)} Bổ đề 1.3 ([11]) Tồn mêtric dG G = PSL(2, R) bất biến trái qua G, tức dG (hg1 , hg2 ) = dG (g1 , g2 ) với h, g1 , g2 ∈ G, dG (at , e) = √ |t|, dG (bt , e) ≤ |t|, dG (ct , e) < |t| ∀t ∈ R; at = [At ], bt = [Bt ] với     t/2 t e  ∈ SL(2, R)  , Bt =  At =  −t/2 e Định nghĩa 1.4 Cho Γ nhóm rời rạc PSL(2,R), ta ký hiệu Γ\PSL(2, R) = {Γg : g ∈ PSL(2, R)} tập lớp kề phải Γ PSL(2,R) Định nghĩa 1.5 Ký hiệu X = Γ\PSL(2, R), mêtric X định nghĩa sau: dX (Γg1 , Γg2 ) = inf dG (γ1 g1 , γ2 g2 ) = inf dG (γg1 , g2 ) γ1 ,γ2 ∈Γ γ∈Γ Nếu X compact ∀Γg1 , Γg2 ∈ X, ∃γ ∈ Γ\{e} cho: dX (Γg1 , Γg2 ) = dG (γg1 , g2 ) Sau số bổ đề bổ trợ, sử dụng chương sau Bổ đề 1.6 ([11]) (a) Với ε > 0, tồn ρ > với tính chất sau Nếu  G= g11 g12 g21 g22   ∈ SL(2, R) thỏa mãn |g11 − 1| + |g12 | + |g21 | + |g22 − 1| < ρ dG (g, e) < δ, g = π(G) π : SL(2, R) → PSL(2, R) phép chiếu tự nhiên e = π(E2 ) (b) Với ε > 0, tồn δ > với tính chất sau Nếu dG (g, e) < δ tồn  G= g11 g12 g21 g22   cho g = π(G) |g11 − 1| + |g12 | + |g21 | + |g22 − 1| < ε Bổ đề 1.7 ([11]) Giả sử X = Γ\PSL(2, R) compact Khi tồn σ0 > có tính chất sau: dG (g, γg) ≥ σ0 với γ ∈ Γ\{e} Định nghĩa 1.8 Với g = π(G) ∈ PSL(2, R)   a b , G= c d vết g định nghĩa tr(g) = |a + d| Lưu ý định nghĩa không phụ thuộc vào phần tử đại diện Bổ đề 1.9 ([11]) Nếu X = Γ\PSL(2, R) compact tồn ε∗ > cho tr(g) ≥ + ε∗ , ∀g ∈ Γ\{e} 1.3 Hệ động lực Hệ động lực gồm hai loại: hệ động lực rời rạc đồng phôi hệ động lực liên tục dịng Định nghĩa 1.10 (Đồng phơi) Cho X Y hai không gian mêtric Một song ánh liên tục f : X → Y gọi đồng phôi ánh xạ ngược f , f −1 : Y → X liên tục Định nghĩa 1.11 (Dịng) Cho X khơng gian mêtric Ánh xạ liên tục φ:R×X →X gọi dịng với x ∈ X số thực s t ta có φ(0, x) = x φ(s, φ(t, x)) = φ(s + t, x) Thông thường ta viết φt (x) thay cho φ(x, t) dòng (φt )t∈R X thường viết gọn φt : X → X Ví dụ 1.12 (a) Ký hiệu X = Γ\PSL(2, R) Ta định nghĩa ϕX t :X →X ϕX t (Γg) = Γ(gat ), t ∈ R 27 (iii) ∀β > 0, δ > cho từ (2.3.2) kéo theo tồn g ∈ H+ (R) cho φh(t) (y) = φg(t) (x), ∀t ∈ R với diam (φ[t,g(t)] (x)) < β, ∀t ∈ R Chứng minh (i) ⇔ (ii) chứng minh Định lý 2.20 Dễ thấy (ii) ⇒ (iii) Ta chứng minh chiều ngược lại (ii) ⇒ (iii) Giả sử β > Từ (ii) ta suy điểm bất động điểm cô lập hệ thống Áp dụng Bổ đề 2.22, tồn β0 ∈ (0, β) cho quỹ đạo γ (khơng qua điểm bất động nào) 2β0 < diam (γ) Áp dụng (ii), tồn δ0 > cho x, y ∈ X, h ∈ H0+ (R) d(φt (x), φh(t) (y)) ≤ δ0 , ∀t ∈ R Khi y = φu (x) với u ∈ R, diam (φ[0,u] (x)) < β0 Nếu điều kiện áp dụng cho cặp (φt (x), φh(t) (y)), ∀t ∈ R, ta có hàm số u : R → R ta có kết luận diam (φ[t,u(t)] (x)) < β0 , φh(t) (y) ∈ φ[t,u(t)] (x) ∀t ∈ R Áp dụng Bổ đề 2.18 ta có g ∈ H+ (R) cho g(t) ∈ [t, u(t)], ∀t ∈ R φh(t) (y) = φg(t) (x), ∀t ∈ R 2.4 Dòng giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt Trong [4], Katok Hasselblatt giới thiệu khái niệm giãn nở sau, gọi giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt viết gọn KH-giãn nở Định nghĩa 2.24 (KH-giãn nở) Dòng (φt )t∈R gọi KH-giãn nở tồn δ > có tính chất sau Nếu d(φt (x), φs(t) (x)) < δ, ∀t ∈ R d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R 28 với cặp điểm x, y ∈ X ánh xạ liên tục s : R → R, s(0) = y = φr (x), với r ∈ R Nhận xét 2.25 Một dịng BW-giãn nở KH-giãn nở dịng KH-giãn nở tách Ví dụ 2.26 ([9]) Dòng (θtX )t∈R KH-giãn nở Thật vậy, Nếu x, y ∈ X, s : R → R liên tục, s(0) = X dX (θtX (x), θs(t) (x)) < δ với t ∈ R (2.4.1) X dX (θtX (x), θs(t) (y)) < δ với t ∈ R (2.4.2) Với ε > 0, lấy δ = δ(ε) < σ0 /4 Bổ đề 1.6 (b); σ0 cho Bổ đề 1.7 Ký hiệu x = Γg, y = Γh với g, h ∈ PSL(2, R) Với t ∈ R ta có γ(t) ∈ Γ X dX (θs(t) (y), θtX (x)) = dX (Γhbs(t) , Γgbt ) = dG (hbs(t) , γ(t)gbt ) ≤ δ (2.4.3) Ta chứng minh γ(t) = γ(0) =: γ, ∀t ∈ R Cố định L > 0, kiểm tra γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [−L, L] Thật vậy, s : [−L, L] → R liên tục đều, ta có < ρ = ρ(L, δ) < δ cho t1 , t2 ∈ [−L, L] |t1 − t2 | < ρ |s(t1 ) − s(t2 )| < δ Khi dG (γ(t2 )−1 γ(t1 )c1 (t1 ), c1 (t1 )) < 4δ < σ0 Từ tính chất σ0 , theo γ(t2 ) = γ(0), ∀t2 ∈ [0, ρ/2] Sau lặp lại lập luận t1 = ρ t2 ∈ [ρ/2, ρ], ta suy luận γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [0, ρ], lặp lại trình dẫn đến γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [0, L] tương tự γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [−L, 0] Do γ(t) = γ(0) =: γ, ∀t ∈ [−L, L] Vì L tùy 29 ý nên γ(t) = γ, ∀t ∈ R Từ (2.4.3) ta thấy dX (θs(t) (y), θt (x)) = dG (b−t g −1 γhbs(t) , e), ∀t ∈ R Ký hiệu g −1 γh = π(K) với  K= a b   ∈ SL(2, R) c d Khi   a − tc (a − tc)s(t) + b − td  B−t KBt =  c cs(t) + d X dX (θs(t) (y), θtX (x)) ≤ δ, ∀t ∈ R, kéo theo ||a−tc|−1|+|(a−tc)s(t)+b−td|+|c|+||cs(t)+d|−1| < ε1 , ∀t ∈ R (2.4.4) ε1 = ε1 (δ) từ Bổ đề 1.6 (b) Cho t → ∞ ta c = tồn M > cho |s(t) − t| < M, ∀t ∈ R Có nghĩa là, s(t) → +∞ t → +∞ (2.4.5) Từ (2.4.1) (2.4.2) ta có X X dX (θs(t) (x), θs(t) (y)) < 2δ với t ∈ R Kết hợp với (2.4.5), kỹ thuật chứng minh tương tự Ví dụ 2.14 30 Mệnh đề 2.27 ([4]) Nếu (φt )t∈R KH-giãn nở Fix(φ) tập mở Chứng minh Giả sử dòng (φt )t∈R KH-giãn nở Ta chứng minh tập X \ Fix(φ) tập đóng Giả sử ngược lại, tồn dãy điểm quy xn dần p ∈ Fix(φ) Lấy xn ∈ B(p, δ) s(t) = 0, ∀t ∈ R Khi đó, d(φt (p), φs(t) (p)) = với t ∈ R d(φt (p), φs(t) (xn )) < δ với t ∈ R Vì xn ∈ / φR (p) nên φ không KH-giãn nở Mệnh đề 2.28 ([4]) Mọi dòng KH-giãn nở tách Chứng minh Để chứng minh φ tách từ định nghĩa dòng KH-giãn nở ta lấy s(t) = t ta điều phải chứng minh Bổ đề 2.29 ([4]) Cho (φt )t∈R dịng khơng gian mêtric compact (X, d) Khi mệnh đề sau tương đương (i) Fix(φ) tập mở X (ii) với T0 > cho với T ∈ (0, T0 ], ta có ξ > cho d(φT (x), x) > ξ với x ∈ / Fix(φ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Chứng tỏ điều mâu thuẫn, giả sử có dãy Tn → 0, Tn > 0, với n n n > cho ξm → ta có dãy ξm n với xnm ∈ X\Fix(φ) Vì X compact, giả m → ∞ d(xnm , φTn (xnm )) < ξm sử xnm → yn ∈ X m → ∞ Vì Fix(φ) mở nên ta có yn ∈ / Fix(φ) Giả sử yn → z ∈ X Bởi tính liên tục dịng nên φTN (yn ) = yn với n Vì Tn → 0, cho τ ∈ R ta có dãy kn ∈ Z cho kn Tn → τ Khi φkn Tn (yn ) = yn lấy n → ∞ ta kết φτ (z) = z τ ∈ R tùy ý, ta có z ∈ Fix(φ) Điều mâu thuẫn với Fix(φ) mở yn ∈ / Fix(φ) (ii) ⇒ (i) Giả sử xn ∈ / X\Fix(φ) với xn → y ∈ X Vì d(φT (xn ), xn ) > ξ với n 1, lấy giới hạn ta có d(φT (y), y) ξ > yn ∈ / Fix(φ) 31 Khi X\Fix(φ) đóng nên Fix(φ) mở Định lý 2.30 ([4]) Dịng (φt )t∈R khơng gian mêtric compact (X, d) KH-giãn nở (φt )t∈R tách Fix(φ) tập mở Chứng minh Ta sử dụng Mệnh đề 2.27 2.28 để chứng minh định lý Chứng minh chiều ngược lại, giả sử (φt )t∈R tách điểm bất động φ mở Cho α số tách Vì X compact, ta có điểm bất động φ hữu hạn r > cho B(p, r) = {p} với p thuộc tập điểm bất động φ Xét ξ với T = T0 từ Bổ đề 2.29 lấy δ = min{α/2, ξ, r} Giả sử x, y ∈ X, s : R → R liên tục, s(0) = 0, d(φt (x), φs(t) (x)) < δ, ∀t ∈ R (2.4.6) d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R (2.4.7) Áp dụng bất đẳng thức cho (2.4.6) (2.4.7) ta d(φs(t) (x), φs(t) (y)) < 2δ α, ∀t ∈ R Nếu x ∈ / Fix(φ), từ (2.4.7) với t = ta y = x δ (2.4.8) r Giả sử x∈ / Fix(φ) Ta chứng minh |s(t) − t| < T , ∀t ∈ R Nếu trường hợp s liên tục, s(0) = 0, u ∈ R cho |s(t) − t| = T , ∀t ∈ R Khi đó, d(φs(u) (x), φu (x)) > ξ δ, mâu thuẫn với (2.4.6) Điều kiện |s(t) − t| < T , ∀t ∈ R thỏa s Thật s φ tách, với α số tách, từ (2.4.8) suy y ∈ φR (x) Do φ KH-giãn nở 32 Chương TÍNH BW-GIÃN NỞ CỦA SUSPENSION Chương giới thiệu khái niệm suspension phép đồng phơi nghiên cứu tính BW-giãn nở suspension thơng qua tính giãn nở đồng phơi tương ứng 3.1 Suspension phép đồng phôi Cho (Y, ρ) không gian mêtric compact, φ : Y → Y phép đồng phôi f : Y → R+ hàm liên tục Ký hiệu Y f = {(y, t) : ≤ t ≤ f (y), y ∈ Y } ⊂ Y × R+ Đồng (y, f (y)) (φ(y), 0) với y ∈ Y để có khơng gian Yf = Y f / ∼, (3.1.1) quan hệ tương đương ∼ định nghĩa (y, f (y)) ∼ (φ(y), 0) (3.1.2) 33 (φ(y), f (φ(y))) (y, f (y)) (y, t) (φ(y), 0) (y, 0) Hình 3.1: Dịng suspension Định nghĩa 3.1 Suspension đồng phơi φ hàm liên tục f dòng ψtf : Yf → Yf định nghĩa ψtf (y, s) = (y, t + s), t + s < f (y) Sử dụng đồng (3.1.2), suspension định nghĩa cho t ∈ R sau k−1 ψtf (y, s) k f (φi (y)) = φ (y), t + s − i=1 k số tự nhiên thỏa k−1 f (φi (y)) < f (φk (y)) 0≤t+s− i=0 Xem minh họa suspension Hình (3.1) 3.2 Mêtric Bowen-Walters Tiếp theo ta xây dựng mêtric Y1 Trước tiên, với t ∈ [0, 1], ta định nghĩa mêtric ρt tập Y × {t} Y × [0, 1] ρt ((y, t), (z, t)) = (1 − t)ρ(y, z) + tρ(φ(y), φ(z)) 34 với (y, t), (z, t) ∈ Y × {t} Chú ý ρ0 ((y, 0), (z, 0)) = ρ(y, z) ρ1 ((y, 1), (z, 1)) = ρ(φ(y), φ(z)) Ta kiểm tra ρt mêtric Y × {t} (i) Với (y, t), (z, t) ∈ Y × {t}, ρt ((y, t), (z, t)) ρt ((y, t), (z, t)) = ⇔ (1 − t)ρ(y, z) + tρ(φ(y), φ(z)) = ⇔ y = z ⇔ (y, t) = (z, t) (ii) Với (y, t), (z, t) ∈ Y × {t} ρt ((y, t), (z, t)) = (1 − t)ρ(y, z) + tρ(φ(y), φ(z)) = (1 − t)ρ(z, y) + tρ(φ(z), φ(y)) = ρt ((z, t), (y, t)) (iii) Với (x, t), (y, t), (z, t) ∈ Y × {t} ρt ((y, t), (z, t)) = (1 − t)ρ(y, z) + tρ(φ(y), φ(z)) ≤ (1 − t)[ρ(y, x) + ρ(x, z)] + t(ρt (φ(y), φ(x)) + ρt (φ(y), φ(z))) ≤ ρt ((y, t), (x, t)) + ρt ((x, t), (z, t)) Vậy ρt mêtric Y × {t} Tiếp theo, lấy x1 , x2 ∈ Y1 Xét tất xích hữu hạn x1 = w0 , w1 , , wn = x2 x1 x2 , với i, wi wi+1 thuộc Y × {t} với t ∈ [0, 1] (trong trường hợp ta gọi [wi , wi+1 ] đoạn nằm ngang) wi , wi+1 nằm quỹ đạo (khi ta gọi [wi , wi+1 ] đoạn thẳng đứng) Định nghĩa độ dài dây chuyền tổng độ dài đoạn thẳng, chiều dài đoạn nằm ngang [wi , wi+1 ] ρt (wi , wi+1 ), độ dài đoạn thẳng đứng khoảng cách ngắn w1 , w2 dọc theo quỹ đạo (bỏ qua hướng quỹ đạo) khoảng cách thông thường R Nếu wi = wi+1 wi , wi+1 nằm quỹ đạo nằm tập Y × {t} độ dài đoạn [wi , wi+1 ] 35 xác định ρt (wi , wi+1 ), từ ln bé Khi ta định nghĩa d(x1 , x2 ) infimum độ dài xích x1 x2 Nếu ρ mêtric Y định nghĩa ρ (y, z) = min[ρ(y, z), ρ(φ(y), φ(z))] ρt ((y, t), (z, t)) ≥ ρ (y, z) Do d(x1 , x2 ) = x1 = x2 Hơn d có tính chất đối xứng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác mêtric Y1 Mêtric gọi mêtric Bowen-Walters Mêtric Bowen-Walters không gian Yf với f : Y → R+ liên tục định nghĩa tương tự 3.3 Tính BW-giãn nở suspension Trước hết ta nhắc lại khái niệm giãn nở phép đồng phôi Định nghĩa 3.2 Phép đồng phôi φ không gian mêtric compact (X, d) gọi giãn nở tồn số δ > có tính chất sau Nếu x, y ∈ X d(φn (x), φn (y)) < δ với n ∈ Z x = y Số δ gọi số giãn nở Ký hiệu hàm 1(y) = với y ∈ Y Bổ đề 3.3 Cho φ phép đồng phôi không gian mêtric compact Y Khi suspension φ hàm liên tục tương đương tôpô với suspension φ hàm Chứng minh Ký hiệu ψ f suspension φ f ψ suspension φ hàm Định nghĩa ánh xạ λ : Y1 → Yf λ(y, t) = (y, tf (y)), (y, t) ∈ Y1 36 Khi λ phép đồng phơi Ta kiểm tra λ biến quỹ đạo ψ Y1 thành quỹ đạo ψ f Yf Thật vậy, với (y, t) ∈ Y1 , s ∈ R : ≤ s + t < ta có f f λ(ψs1 (y, t)) = λ(y, t+s) = (y, (t+s)f (y)) = ψsf (y) (y, tf (y)) ∈ ψR (y, tf (y)) Bởi Hệ 2.10, tất khơng có suspension phép đồng phôi φ cho trước BW-giãn nở Vì lí tập trung vào suspension φ hàm Bây phải xác định mêtric Y1 Giả sử đường kính (Y, ρ) nhỏ Định lý 3.4 ([5]) Cho φ đồng phôi không gian mêtric compact (Y, ρ) f : Y → R+ hàm liên tục Khi suspension φ f BW-giãn nở φ giãn nở Chứng minh Theo Bổ đề 3.3 Hệ 2.10, ta xét f = Ký hiệu (ψt )t∈R suspension φ X = Y1 Giả sử (ψt )t∈R BW-giãn nở cho trước < ε < tùy ý Lấy δ = δ(ε) > số giãn nở tương ứng (xem Định nghĩa 2.1) sử dụng mêtric Bowen-Walters d X Giả sử suspension ψ BW-giãn nở Ta chứng minh đồng phôi φ giãn nở Giả sử y1 , y2 ∈ Y ρ(φn (y1 ), φn (y2 )) < δ, ∀n ∈ Z Ta cần chứng minh y1 = y2 Xét x1 = (y1 , 0) x2 = (y2 , 0) Từ định nghĩa d, ta có d(ψt (x1 ), ψt (x2 )) ≤ ρt−[t] (φ[t] (y1 ), φ[t] (y2 )) = (1 − t + [t])ρ(φ[t] (y1 ), φ[t] (y2 )) + (t − [t])ρ(φ[t]+1 (y1 ), φ[t]+1 (y2 )) 37 < (1 − t + [t])δ − (t − [t])δ = δ Vì dịng suspension ψt BW-giãn nở nên tồn |r| < 1/2 cho x2 = φr (x1 ) y1 = y2 Suy đồng phôi φ giãn nở Ngược lại, giả sử đồng phôi φ giãn nở (theo mêtric ρ) Ta định nghĩa mêtric ρ Y sau: ρ (y1 , y2 ) = min[ρ(y1 , y2 ), ρ(φ(y1 ), φ(y2 ))] Khi φ giãn nở theo mêtric ρ Gọi κ số giãn nở φ ứng với mêtric ρ Cho trước ε > Chọn < δ < min{1/4, ε, κ} Giả sử x1 , x2 ∈ X, s : R → R liên tục, s(0) = d(φt (x1 ), φs(t) (x2 )) < δ ∀t ∈ R Trường hợp 1: x1 ∈ X = Y1 có phần tử đại diện (y1 , ) Y × [0, 1] x2 ∈ Y1 có phần tử đại diện (y2 , t2 ) Y ×[0, 1] Khi d(x1 , x2 ) < δ < ρ (y1 , y2 ) ≤ d(x1 , x2 ) < δ Hơn nữa, x1 có phần tử đại diện (y1 , ) nên ψ1 (x1 ) có phần tử đại diện (φ(y1 ), ) d(φ1 (x1 ), φs(1) (x2 )) < δ < Vì d(ψt (x1 ), ψs(t) (x2 )) < δ < , ∀t ∈ R nên ψs(1) (x2 ) ∈ Y1 phải có đại diện (φ(y2 ), s) với s ∈ [0, 1] Do ρ (φ(y1 ), φ(y2 )) ≤ d(ψ1 (x1 ), ψs(1) (x2 )) < δ 38 Tiếp tục trình ta nhận ρ (φn (y1 ), φn (y2 )) < δ, ∀n ∈ Z φ giãn nở nên y1 = y2 Hơn x2 = φt (x1 ) với |t| < δ < ε Trường hợp 2: x1 khơng có đại diện (y1 , ) Khi ψr (x1 ) có đại diện (y1 , ) với |r| ≤ 1/2 Nếu x1 = φr (x1 ) x2 = φs(r) (x2 ) d(ψt (x1 ), ψs(t−r)−s(r) (x2 )) < δ, ∀t ∈ R ta kết luận x2 = φt (x1 ) với |r| < δ, tương tự x2 = φt+r−s(r) (x1 ) Lưu ý |t + r − s(r)| = d(x1 , x2 ) < δ < ε Vì dịng suspension (ψt )t∈R BW-giãn nở 39 Kết luận Tác giả chọn lọc kiến thức có tài liệu tham khảo trình bày số nội dung sau luận văn: Giới thiệu khái niệm, tính chất tính giãn nở kiểu BowenWalters, tính giãn nở kiểu Komuro, tính giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt, tính giãn nở kiểu Gura, tính giãn nở kiểu Artigue Trình bày mối liên hệ tính giãn nở Trình bày ví dụ minh họa cho tính BW-giãn nở, tính giãn nở động học, tính KH-giãn nở Giới thiệu khái niệm dòng suspension phép đồng phôi hàm dương liên tục, đồng thời chứng minh dịng suspension đồng phơi giãn nở kiểu Bowen-Walters đồng phơi giãn nở Vì thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề dòng giãn nở động học mạnh, dòng giãn nở tách mạnh hay dòng tách hình học chưa trình bày luận văn Những vấn đề chúng tơi tiếp tục tìm hiểu tương lai 40 Tài liệu tham khảo [1] A Artigue, Expansive flows on surfaces, Discrete & Continuous Dynamical Systems - A 33(2), 505-525 (2013) [2] A Artigue, Positive expansive flows, Topology and its Applications, 165, 121-132 (2014) [3] A Artigue, Kinematic expansive flows, Ergodic Theory and Dynamical Systems 36 390-421 (2016) [4] A Artigue, Rescaled expansivity and separating flows, Discrete and Continuous Dynamical Systems - A 38(9): 4433-4447 (2018) [5] R Bowen and P Walters, Expansive one-parameter flows, Jounrnal of Differential equations 12 180-193 (1972) [6] R Bowen, Periodic orbits for hyperbolic flows, American journal of mathematics Vol 94 1-30 (1972) [7] A Gura, Horocycle flow on a surface of negative curvature is separating, Mat Zametki 36 (1984) [8] A Katok and B Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995 41 [9] H Huynh, Expansiveness for the geodesic flow and horocycle flows on compact Riemann surfaces of constant negative curvature, submitted [10] M Komuro, Expansive properties of Lorenz attractors, The Theory of Dynamical Systems and its Applications to Nonlinear Problems (Toyoto, 1984), World Scientific, Singapore (1984), 4-26 [11] M Kunze, Dynamics of the Geodesic Flow on Compact Factors of the Hyperbolic Plane, preprint ... Komuro, tính giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt, tính giãn nở kiểu Gura, tính giãn nở kiểu Artigue Trình bày mối liên hệ tính giãn nở Trình bày ví dụ minh họa cho tính BW -giãn nở, tính giãn nở động học,... dòng giãn nở động học Khái niệm tách dòng Gura [7] đưa vào năm 1984 khái niệm giãn nở động học Artigue [3] đưa vào năm 2014 Tính giãn nở động học gọi giãn nở kiểu Artigue Định nghĩa 2.11 (Giãn nở. .. Dòng giãn nở kiểu Bowen-Walters Năm 1973, Bowen Walters đưa khái niệm giãn nở sau, sau gọi giãn nở kiểu Bowen-Walters viết gọn BW -giãn nở Định nghĩa 2.1 (BW -giãn nở) Dòng (φt )t∈R gọi BW -giãn nở