BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MƠ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MƠ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Trước hết với tình cảm chân thành lòng biết ơn sâu sắc, xin gửi lời cám ơn đến thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Trường ĐHSP Hà Nội tận tình giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu để hồn thành Luận văn tốt nghiệp Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Hiện dành nhiều thời gian tâm huyết, trực tiếp hướng dẫn tận tình, bảo tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình nghiên cứu đề tài hoàn chỉnh Luận văn thạc sĩ chuyên nghành Tốn giải tích Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ, sẻ chia, giúp đỡ đồng hành tơi sống q trình học tập nghiên cứu! TÁC GIẢ LUẬN VĂN Trần Thanh Thái LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng: Số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc TÁC GIẢ LUẬN VĂN Trần Thanh Thái MỤC LỤC Mở đầu Một số ký hiệu Chương Sơ hệ 2-D dạng Roesser 1.1 Ví dụ mơ hình hệ 2-D 1.2 Mơ hình Roesser tổng qt 1.3 Tính ổn định hệ 2-D tuyến tính mơ hình Roesser 10 Chương Tính ổn định ổn định hóa lớp hệ dương 2-D dạng Roesser 12 2.1 Hệ dương 2-D dạng Roesser 12 2.2 Tính ổn định hệ dương 2-D tuyến tính 14 2.3 Thiết kế điều khiển 16 2.4 Ví dụ minh họa 17 Kết luận chương 20 Chương Thiết kế quan sát hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ 22 3.1 Phát biểu toán 22 3.2 Phân tích tính ổn định 24 3.3 Thiết kế quan sát 27 3.4 Ví dụ minh họa 34 Kết luận chương 37 Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ hai chiều nảy sinh nhiều mơ hình vật lí, kỹ thuật lan truyền thơng tin trạng thái xảy theo hai hướng độc lập Mơ hình hệ hai chiều ứng dụng để mô tả phân tích tính chất nhiều lớp hệ thực tiễn kỹ thuật hệ mạng viễn thông, xử lí ảnh, xử lí truyền tín hiệu đặc biệt việc thiết kế lọc tín hiệu số đa chiều (xem [2, 9] tài liệu trích dẫn đó) Trong việc mơ tả mơ hình thực tiễn đó, hệ hai chiều thường biễu diễn thơng qua phương trình trạng thái (state-space model) Một số lớp mơ hình trạng thái thường sử dụng mơ hình Roesser, mơ hình Fornasini-Marchesini (FM) thứ thứ hai, mơ hình Attasi hay mơ hình Kurek [9] Do cấu trúc đặc biệt, mơ hình Roesser sử dụng nhiều việc mô tả động lực hệ thực tiễn kĩ thuật [1,5,6] Mặt khác, thực tế, đại lượng số lượng gói liệu truyền tải, số cá thể quần thể hay số nơ-ron mạng lưới v.v ln nhận giá trị khơng âm Các mơ thường mô tả hệ động lực mà biến trạng thái chúng không âm Nói cách khác, với kiện ban đầu khơng âm (nằm nón dương), quỹ đạo nghiệm hệ động lực ln nằm nón dương tương ứng Lớp hệ gọi hệ dương [3] Do tính chất lý thuyết đặc biệt ứng dụng thực tiễn, lớp hệ dương nhận quan tâm đặc biệt nhiều tác giả vài thập kỉ gần Các kết nghiên cứu công bố lớp hệ dương 2-D, đặc biệt lớp hệ dương có 2-D trễ, khiêm tốn Gần đây, báo [8] tác giả nghiên cứu tính ổn định ứng dụng thiết kế quan sát cho lớp hệ dương 2-D mơ hình Roesser tuyến tính có trễ Cách tiếp cận dựa tính đơn điệu cảm sinh tính dương hệ, điều kiện cần đủ dạng toán quy hoạch tuyến tính thiết lập để đảm bảo tính ổn định, tồn điều kiện thiết kế quan sát Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp hệ dương 2-D rời rạc, luận văn này, chọn đề tài nghiên cứu “Phân tích tính ổn định thiết kế quan sát cho số lớp hệ dương mơ hình Roesser tuyến tính” dựa báo [8] tài liệu có liên quan Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định tốn thiết kế quan sát dạng Luenberger quan sát giảm chiều cho số lớp hệ dương 2-D mô hình Roesser tuyến tính dựa tài liệu [8] Nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm: a) Hệ thống hóa mơ hình hệ 2-D rời rạc b) Nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa lớp hệ dương 2-D tuyến tính c) Phân tích, làm rõ kết [8] toán thiết kế quan sát lớp hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ sau      + 1, j) xh (i, j) xv (i, j + 1) xv (i, j) xh (i   = A  y(i, j) = C   + Ad    xh (i, j) xv (i, j) xh (i −  + Cd    + Bu(i, j), (0.1)  , (0.2) τh , j) xv (i, j − τv ) xh (i − τh , j) xv (i, j − τv ) xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv , u ∈ Rnu y ∈ Rny tương ứng vectơ trạng thái ngang, vectơ trạng thái dọc, điều khiển đầu vào vectơ đo đầu hệ, A, Ad ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu C , Cd ∈ Rny ×n ma trận thực cho trước, τh , τv số nguyên dương biểu thị độ trễ hệ theo phương ngang phương đứng Điều kiện đầu hệ (0.1) xác định hàm φh , φv sau: xh (i, j) = φh (i, j), (i, j) ∈ I[−τh , 0] × N0 xv (i, j) = φv (i, j), (i, j) ∈ N0 × I[−τv , 0] (0.3) φh (i, ) φv (., j) thuộc không gian dãy c0 , tức limj→∞ φh (i, j) = limi→∞ φv (i, j) = Điều kiện đầu (0.3) không âm, φh 0, φv 0, φh (i, j) ∈ Rn+h φv (i, j) ∈ Rn+v với (i, j) a) Đối tượng nghiên cứu lớp hệ 2-D dạng (0.1) dạng đặc biệt nó, chẳng hạn lớp hệ khơng có trễ tương ứng b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm: • Đặc trưng tính dương hệ, tức tìm điều kiện đảm bảo với dãy ban đầu điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái tương ứng hệ ln khơng âm • Phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương dạng (0.1) • Bài tốn thiết kế quan sát kiểu Luenberger quan sát giảm chiều cho lớp hệ dương 2-D có trễ Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp quy nạp hai thang để đánh giá trạng thái Đối với tốn ổn định, ổn định hóa thiết kế quan sát, sử dụng kết giải tích ma trận với ma trận khơng âm xây dựng điều kiện phân tích thiết kế thơng qua tốn dạng quy hoạch tuyến tính Bố cục luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương Chương 1: Giới thiệu sơ mơ hình Roesser lớp hệ 2-D rời rạc Chương 2: Phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương 2-D tuyến tính khơng có trễ Chương 3: Nghiên cứu tốn thiết kế quan sát dạng Luenberger quan sát giảm chiều lớp hệ dương 2-D có trễ dạng (0.1) dựa nội dung báo [8] MỘT SỐ KÝ HIỆU R+ Tập số thực không âm N0 Tập số nguyên không âm [n] Tập hợp n số tự nhiên đầu tiên, [n] = {1, 2, , n} Rn Không gian Euclide n-chiều x ∞ Chuẩn max vectơ x = (xi ) ∈ Rn , x ∞ = maxi∈[n] |xi | x Vectơ x không âm, tức x = (xi ) ∈ Rn xi ≥ 0, ∀i ∈ [n] x y x = (xi ) ∈ Rn , y = (yi ) ∈ Rn xi ≥ yi , ∀i ∈ [n] Rn+ Orthan dương {x ∈ Rn : x x≻0 Vectơ x dương, tức x = (xi ) ∈ Rn xi > 0, ∀i ∈ [n] |x| = (|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn |A| = (|aij |)m×n với A = (aij ) ∈ Rm×n 0} Rm×n Tập hợp ma trận cỡ m × n X⊤ Ma trận chuyển vị X Sn Tập ma trận đối xứng Rn×n Sn+ Tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n I Ma trận đơn vị ˜ A˜d dạng sau Chứng minh Điều kiện cần: Ta phân tích ma trận A,     A˜ =  A11 A12 A21 A22 , Kí hiệu vectơ Xh (i, j), Xv (i, j)   A˜d =     e(i − 1, j)    Xh (i, j) =  ,      e(i, j)     e(i, j − 1)    Xv (i, j) =       e(i − τh , j) Ad21 Ad22  e(i, j) Khi hệ (3.4) trở thành  Ad11 Ad12 e(i, j − τv )   h X (i, j) + 1, j) ,  = A  v v X (i, j) X (i, j + 1)   Xh (i A 11    Iτh nh A=   A21  Ad11 A12 Ad12 0 Ad21 A22 Ad22 Iτv nv với q = (τh + 1)nh + (τv + 1)nv (3.6)      ∈ Rq×q    Rõ ràng (3.6) hệ dương Hơn nữa, theo giả thiết hệ (3.4) ổn định tiệm cận nên hệ (3.6) ổn định tiệm cận Theo Định lí 2.2.1, tồn vectơ dương η ∈ Rq thỏa mãn A⊤ η − η ≺ (3.7) Ta phân tích vectơ η dạng ⊤ η⊤ η⊤ ⊤ ⊤ ⊤ η ⊤ = η0h 1h τh h η0v η1v ητv v Khi đó, từ (3.7) suy   η ⊤ A11 + Ad11 + η ⊤ A21 + Ad21 − η ⊤ ≺ 0v 0h 0h  η ⊤ A12 + Ad12 + η ⊤ A22 + Ad22 − η ⊤ ≺ 0v 0v 0h 25 (3.8)  Đặt η0 =  η0h η0v   Điều kiện (3.8) tương đương với η0⊤ A˜ + A˜d − η0⊤ ≺ Điều kiện đủ: Ta chứng minh dựa phương pháp [7] Đặt τ = max{τh , τv } Khi đó, với k ∈ [n] tồn số ρk ∈ (0, 1) cho n (3.9) a ˜kl + a ˜dkl η0l ρ−τ k = ρk η0k l=1 Do A˜ + ρ−τ A˜d η0 ρη0 , ρ = maxk∈[n] ρk Giả sử e(i, j) nghiệm (3.4) với điều kiện đầu φh 0, φv Vì η0 ≻ nên tồn số β > cho φh (i, 0) βη0h , i ∈ I[−τh , 0], φv (0, j) βη0v , j ∈ I[−τv , 0] Ta chứng minh e(i, j) (3.10) βρi+j η0 , ∀i, j ∈ N0 Tương tự Chương 2, định nghĩa Γq = {(i, j) ∈ N20 : i + j = q} Rõ ràng (3.10) với (i, j) ∈ Γ0 Giả sử ta chứng minh (3.10) đến (i, j) ∈ Γq Ta chứng minh (3.10) với (i, j) ∈ Γq+1 Trước hết, ý eh (i − τh , j) βρi+j−τh η0h βρi+j−τ η0h , ev (i, j − τv ) βρi+j−τv η0v βρi+j−τ η0v với (i, j) ∈ Γq nên ta có   eh (i  + 1, j) ev (i, j + 1)   = A˜  eh (i, j) ev (i, j)    + A˜d  eh (i − τh , j) ev (i, j − τv ) βρi+j A˜ + A˜d ρ−τ η0   βρi+j+1 η0 (3.11) Từ suy eh (i + 1, j) βρi+j+1 η0h 26 (3.12) Mặt khác, ta lại có ev (i + 1, j) = [A21 A22 ]e(i + 1, j − 1) + Ad21 eh (i + − τh , j − 1) + Ad22 ev (i + 1, j − − τv ) βρi+j [A21 A22 ] + ρ−τ [Ad21 Ad22 ] η0v (3.13) βρi+j+1 η0v Kết hợp (3.12)-(3.13) ta e(i + 1, j) βρi+j+1 η0 , (i, j) ∈ Γq (3.14) βρi+j+1 η0 (i, j) ∈ Γq (3.15) Chứng minh tương tự ta có e(i, j + 1) Từ (3.14), (3.15) suy e(i, j) βρi+j η0 với (i, j) ∈ Γq+1 Theo quy nạp, (3.10) với (i, j) ∈ N20 = ∪∞ q=0 Γq Định lí chứng minh 3.3 Thiết kế quan sát 3.3.1 Bộ quan sát trạng thái Xét hệ dương 2-D mô tả hệ (1.1)-(1.2) Để xác định xấp xỉ xˆ(i, j) vectơ trạng thái x(i, j) (3.1), quan sát dạng Luenberger thiết kế dạng   xˆh (i  + 1, j) xˆv (i, j + 1)   = A xˆh (i, j) xˆv (i, j)    + Ad  xˆh (i − τh , j) xˆv (i, j − τv ) − L [ˆ y (i, j) − y(i, j)] + Bu(i, j)  yˆ(i, j) = C   xˆh (i, j) xˆv (i, j) 27   + Cd  xˆh (i − τh , j) xˆv (i, j − τv )     (3.16) (3.17) L ∈ Rn×ny ma trận đạt hàm quan sát thiết kế Từ (3.1) và(3.16), vectơ sai số e(i, j) = xˆ(i, j) − x(i, j) mô tả hệ 2-D sau       eh (i + 1, j)  ev (i, j + 1)  = A˜  eh (i, j) ev (i, j) với A˜ = A − LC A˜d = Ad − LCd  + A˜d  eh (i − τh , j) ev (i, j − τv ) (3.18)  Điều kiện cần đủ cho tồn quan sát (3.16)-(3.17) cho định lí Định lí 3.3.1 Bộ quan sát (3.16)-(3.17) tồn điều kiện sau thỏa mãn 0, Ad − LCd (3.19) 0, LCd (3.20) ∃η ∈ Rn , η ≻ : (A − LC)⊤ η + (Ad − LCd )⊤ η ≺ η (3.21) A − LC LC  Chứng minh Kí hiệu x¯h (i, j) =  (3.16), ta có    x¯v (i, j + 1)  x¯h (i + 1, j)  = Π−1 Aa Π   Aa =  A xh (i, j) xˆh (i, j) x¯h (i, j) x¯v (i, j) LC A − LC     Π=     x¯v (i, j) =     + Aad Π    Aad =  , Inh  0 Inv Inh 0 x¯h (i − xv (i, j) xˆv (i, j) τh , j) x¯v (i, j − τv ) Ad   Từ (3.1)   B  +   u(i, j) LCd Ad − LCd  B (3.22)          Inv Theo Mệnh đề 3.1.1, hệ (3.16) sinh quỹ đạo dương xˆ(i, j) điều kiện (3.19), (3.20) thỏa mãn Mặt khác, xˆ(i, j) hội tụ x(i, j) 28 i, j → ∞ hệ dương (3.18) ổn định tiệm cận Theo Định lí 3.2.1, điều tương đương với điều kiện (3.21) Định lí chứng minh Để thiết kế tham số quan sát, ta chuyển điều kiện (3.19)(3.21) toán quy hoạch tuyến tính Với vectơ η ∈ Rn , ta kí hiệu Dη = diag(η) ma trận chéo sinh phần tử η Khi đó, điều kiện (3.21) viết dạng ⊤ ⊤ ⊤ A⊤ + A⊤ d η − C + Cd L Dη 1n ≺ η (3.23) Sử dụng phép đổi biến L⊤ Dη = Z ∈ Rny ×n , điều kiện (3.23) thỏa mãn (3.24) giải Z ∈ Rny ×n < η ∈ Rn ⊤ ⊤ A⊤ + A⊤ d η − C + Cd Z1n ≺ η Mặt khác, A−LC A⊤ −C ⊤ L⊤ (3.24) 0, tức A⊤ Dη −C ⊤ Z Các điều kiện lại (3.19) (3.20) chuyển tương tự Khi đó, quan sát dạng (3.16)-(3.17) giải toán (P1) thiết kế dựa toán quy hoạch tuyến tính cho định lí sau Định lí 3.3.2 Đối với hệ dương 2-D cho (3.1), quan sát dương dạng (3.16)-(3.17) tồn toán quy hoạch sau giải Z ∈ Rny ×n η ∈ Rn :   ⊤ ⊤  A⊤ + A⊤   d η − C + Cd Z1n ≺ η,     A⊤ Dη − C ⊤ Z 0, A⊤ Dη − C ⊤ Z 0, d d   C ⊤ Z 0,       η ≺ Cd⊤ Z (3.25) 0, Ma trận đạt quan sát L cho L = Dη−1 Z ⊤ , (η, Z) nghiệm (3.25) 29 (3.26) 3.3.2 Thiết kế quan sát giảm chiều Cho z(i, j) = F x(i, j) ∈ Rn+z phiếm hàm khơng âm vectơ trạng n ×nh thái (3.1), F ∈ Rnz ×n ma trận dạng F = diag(Fh , Fv ), Fh ∈ R+z1 Fv ∈ n ×n R+z2 v , nz = nz1 + nz2 Một hàm quan sát dương zˆ(i, j) ∈ Rn+z cho vectơ sai số e(i, j) = zˆ(i, j) − z(i, j) hội tụ i, j → ∞ thiết kế dạng       zˆh (i + 1, j) zˆh (i, j) zˆv (i, j zˆv (i, j)  + 1) =N  + Nd  zˆh (i − τh , j) zˆv (i, j − τv ) + Hy(i, j) + F Bu(i, j)  (3.27) N , Nd H ma trận đạt hàm quan sát thiết kế Các điều kiện tồn quan sát dương dạng (3.27) cho định lí sau Định lí 3.3.3 Hệ (3.27) xác định xấp xỉ dương tiệm cận z(i, j) điều kiện sau thỏa mãn: 0, (3.28) ∃ν ∈ Rnz , ν ≻ : N ⊤ + Nd⊤ ν ≺ ν, (3.29) HC + NF − F A = 0, (3.30) HCd + Nd F − F Ad = (3.31) N 0, Nd 0, HC  Chứng minh Kí hiệu x˜h (i, j) =  (3.22), ta có    x˜h (i + 1) ˜ −1 A˜a Π  =Π  A˜a =  zˆh (i, j) x˜v (i, j) A   xh (i, j) x˜h (i, j) + 1, j) x˜v (i, j  0, HCd HC N   x˜v (i, j) =   ˜  + A˜ad Π  x˜h (i − τh , j) x˜v (i, j  A˜ad =  , 30 Ad − τv ) HCd Nd   xv (i, j) zˆv (i, j)   +   Tương tự B FB   u(i, j) , (3.32)  Inh    ˜ Π=   0 0 Inv Inz1 0 0        Inz2 Theo Mệnh đề 3.1.1, hệ (3.32) hệ dương điều kiện (3.28) thỏa mãn Mặt khác, vectơ sai số e(i, j) = zˆ(i, j) − F x(i, j) xác định hệ dương 2-D sau    eh (i + 1, j) ev (i, j + 1)  =N eh (i, j) ev (i, j)    + Nd   eh (i − τh , j) ev (i, j − τv )  + (HC − F A + NF )  xh (i, j) xv (i, j)  + (HCd − F Ad + Nd F )  xh (i    − τh , j) xv (i, j − τv )   (3.33) Nếu hai điều kiện (3.30) (3.31) thỏa mãn (3.33) trở thành (3.4) Theo Định lí 3.2.1, e(i, j) → i, j → ∞ điều kiện (3.29) thỏa mãn Vì vậy, hệ (3.27) xác định xấp xỉ dương tiệm cận phiếm hàm z(i, j) điều kiện (3.28)-(3.31) thỏa mãn Định lí chứng minh Nhận xét 3.3.1 Khác với trường hợp thiết kế quan sát ước lượng trạng thái Định lí 3.3.1, điều kiện thiết kế quan sát giảm chiều cho Định lí 3.3.3 chứa ràng buộc đẳng thức (3.30), (3.31) Vì vậy, để tìm điều kiện thiết kế khả dụng ta biến đổi đưa (3.30)-(3.31) dạng điều kiện tương thích ma trận hệ bổ đề Bổ đề 3.3.1 Hệ hai phương trình ma trận (3.30) (3.31) giải (theo nghĩa tồn nghiệm) điều kiện tương thích sau thỏa mãn   Ψ rank   = rankΨ, Ω 31 (3.34)  C Cd  Ψ =  F   (ny +2nz )×2n Ω = [F A 0 ∈R F F Ad ] ∈ Rnz ×2n Chứng minh Nhóm (3.30) (3.31) ta [HC + NF HCd + Nd F ] = Ω [H N (3.35) Nd ]Ψ = Ω Phương trình (3.35) có nghiệm X = [H N Nd ] điều kiện (3.34) thỏa mãn Dưới điều kiện (3.34), nghiệm tổng quát (3.35) cho (3.36) X = ΩΨ+ + L Iny +2nz − ΨΨ+ Ψ+ ∈ R2n×(ny +2nz ) giả nghịch đảo Moore-Penrose Ψ L ∈ Rnz ×(ny +2nz ) ma trận Đặc biệt, ma trận Ψ đủ hạng dòng, tức rankΨ = −1 ny + 2nz , Ψ+ = ΨΨ⊤ X = Ω ΨΨ⊤ −1 nghịch đảo phải Ψ nghiệm X xác định Từ (3.36) ta H = ΩΨ+ X1 + L Iny +2nz − ΨΨ+ X1 , N = ΩΨ+ X2 + L Iny +2nz − ΨΨ+ X2 , (3.37) Nd = ΩΨ+ X3 + L Iny +2nz − ΨΨ+ X3 ,   Iny                X1 =    , X2 = Inz  , X3 =   0 Inz Như vậy, để thiết kế quan sát giảm chiều (3.27), ta nhóm điều kiện (3.28)-(3.31) đưa toán quy hoạch tuyến tính để thiết kế 32 tham số Để cho gọn, ta kí hiệu Φ = ΩΨ+ Γ = Iny +2nz − ΨΨ+ Sử dụng (3.37), điều kiện (3.29) biến đổi dạng (3.38) (Φez )⊤ ν + (Γez )⊤ L⊤ Dν 1n ≺ ν, ez = X2 + X3 Đổi biến L⊤ Dν = Z , (3.38) trở thành (3.39) (Φez )⊤ ν + (Γez )⊤ Z1n ≺ ν Đặt C¯ = [C ⊤ 0n×2nz ] C¯d = [Cd⊤ 0n×2nz ] Khi đó, HC ¯ ⊤ Dν + CΓ ¯ ⊤Z CΦ Tương tự (3.40), điều kiện (3.28) tương đương với điều kiện sau     (ΦX2 )⊤ Dν + (ΓX2 )⊤ Z      (ΦX3 )⊤ Dν + (ΓX3 )⊤ Z (3.40) (3.41)   ¯ ⊤ Dν + CΓ ¯ ⊤Z CΦ       C¯d Φ⊤ Dν + C¯d Γ⊤ Z Từ phân tích trên, điều kiện thiết kế quan sát (3.27) tổng hợp định lí sau Định lí 3.3.4 Bộ quan sát (3.27) xác định xấp xỉ dương tiệm cận phiếm hàm tuyến tính z(i, j) điều kiện tương thích (3.34) thỏa mãn tốn quy hoạch xác định (3.39) (3.41) có nghiệm ν ∈ Rnz , ν ≻ 0, Z ∈ R(ny +2nz )×nz Các ma trận đạt điều khiển N , Nd H cho công thức (3.37) với L = Dν−1 Z ⊤ Nhận xét 3.3.2 Bộ quan sát dạng Luenberger (3.16)-(3.17) trường hợp riêng (3.27) Cụ thể hơn, F = In điều kiện (3.34) hiển nhiên ma trận Ψ có đủ hạng cột Ta coi H tham số thiết kế quan sát N = A − HC , Nd = Ad − HCd , điều kiện (3.30) (3.31) hiển nhiên điều kiện thiết kế Định lí 3.3.4 trở thành điều kiện Định lí 3.3.2 33 3.4 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.4.1 Xét hệ 2-D cho (3.1) với tham số    A= 0.082 0.158 0.206 0.119 C = [0 0], Cd = [1 1] Cho 0.0112 η Ad =  ,  1.105 0.551 (3.42)  0.625 1.019 212 Sử dụng gói LinProg  trongMatlab giải (3.25) η Z , nghiệm tối ưu cho η =  1.8899  Z = 1.0356 1.1189 1.8232 Theo Định lí 3.3.2, quan sát (3.16)-(3.17) thiết kế với tham số   L = Dη−1 Z ⊤ =  0.5480 (3.43)  0.6137 Với ma trận đạt quan sát cho (3.43), hệ sai số (3.18) ổn định tiệm cận Một quỹ đạo e(i, j) (3.18) với τh = τv = biểu diễn Hình 3.1 Ví dụ 3.4.2 Xét hệ (3.1) với ma trận  0.152 0.267 0.215     0.348 0.233 0.089    A= ,  0.097 0.107 0.128 0.152     0.118 0.118 0.358 0.318 0.105 0.165      0.125 0.338 0.236   Ad =  ,  0.432 0.705 0.457 0.686    0.217 0.217 0.528 C = 1 0 , Cd = 1  Phiếm hàm cần quan sát z(i, j) = F x(i, j), F =  34 1 0 0   Điều e h (i,j) 0.1 0.05 100 100 75 75 50 50 j i 25 25 0 (a) eh (i, j) e v (i,j) 0.2 0.1 100 25 75 50 50 i 75 25 j 100 (b) ev (i, j) Hình 3.1: Sự hội tụ e(i, j) với τh = τv =   Ψ kiện tương thích (3.34) thỏa mãn rank   = rankΨ = Giải toán Ω quy hoạch (3.39) (3.41) với 0.0112    ν= ν 212 ta nghiệm tối ưu  0.8779 2.2515 0.7485 −2.0 0.7485 0.7485 1.8534 2.0272 0.9728 −2.0 0.9728 0.9728  , Z⊤ =   Theo Định lí 3.3.4, quan sát (3.27) xác định xấp xỉ dương tiệm cận đối 35 với z(i, j) Các ma trận đạt quan sát cho      N = 0.1623 0.304 0.0224 0.358  , Nd =   0.1053 0.0633 0.3377 0.1214 0.4324 0.0956 , H =  36  KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương nghiên cứu toán thiết kế quan sát lớp hệ dương 2-D dạng Roesser tuyến tính có trễ Các kết trình bày bao gồm: Điều kiện cần đủ cho tính ổn định hệ sai số (Định lí 3.2.1) Điều kiện tồn điều kiện thiết kế quan sát trạng thái hệ dương 2-D có trễ (Định lí 3.3.1 Định lí 3.3.2) Với phiếm hàm tuyến tính khơng âm cho trước trạng thái z(i, j), quan sát giảm chiều xác định xấp xỉ dương tiệm cận z(i, j) tồn điều kiện tương thích Bổ đề 3.3.1 điều kiện Định lí 3.3.3 thỏa mãn Các điều kiện thiết kế quan sát giảm chiều tổng hợp Định lí 3.3.4 Phần cuối chương ví dụ số minh họa cho điều kiện thiết kế trình bày Chương 37 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày số kết nghiên cứu toán ổn định, ổn định hóa thiết kế quan sát đối hai lớp hệ dương 2-D mơ hình Roesser Các kết trình bày luận văn bao gồm: Chứng minh điều kiện cần đủ cho tính ổn định ổn định hóa điều khiển phản hồi hệ dương 2-D dạng Roesser trễ (Định lí 2.2.1 Định lí 2.3.1) Một quan sát dạng Luenberger xác định xấp xỉ dương tiệm cận vectơ trạng thái hệ dương 2-D có trễ thiết kế dựa điều kiện dạng tốn quy hoạch tuyến tính cho Định lí 3.3.2 Đối với lớp hệ dương 2-D có trễ, cho trước phiếm hàm tuyến tính khơng âm trạng thái, tồn quan sát giảm chiều xác định xấp xỉ không âm tiệm cận phiếm hàm cho điều kiện tương thích (3.34) điều kiện (3.28), (3.29) Định lí 3.3.3 thỏa mãn Các điều kiện thiết kế quan sát phiếm hàm tuyến tính tổng hợp Định lí 3.3.4 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Bachelier, N Yeganefar, D Mehdi, W Paszke, On stabilization of 2D Roesser models, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 2505–2511 [2] A Benzaouia, A Hmamed, F Tadeo, Fernando, Two-Dimensional Systems: From Introduction to State of the Art, Springer, Switzerland, 2016 [3] L Farina, S Rinaldi, Positive Linear Systems: Theory and Applications, John Wiley & Sons, New York, 2000 [4] E Fornasini, G Marchesini, On the internal stability of two dimensional filters, IEEE Trans Autom Control 24 (1979) 129–130 [5] L.V Hien and H Trinh, Stability of two-dimensional Roesser systems with time-varying delays via novel 2D finite-sum inequalities, IET Control Theory Appl 10 (2016) 1665-1674 [6] L.V Hien and H Trinh, Switching design for suboptimal guaranteed cost control of 2-D nonlinear switched systems in the Roesser model, Nonlinear Anal.: Hybrid Sys 24 (2017) 45–57 [7] L.V Hien, H Trinh, Exponential stability of two-dimensional homogeneous monotone systems with bounded directional delays, IEEE Trans Autom Control (2017) DOI: 10.1109/TAC.2017.2776744 [8] L.V Hien and H Trinh, Observers design for 2-D positive time-delay Roesser systems, IEEE Trans Circuits Syst.-II 65 (2018) 476–480 [9] T Kaczorek, Two-Dimensional Linear Systems, Springer, Berlin, 1985 [10] T Kaczorek, Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London, 2002 39 ... cứu luận văn bao gồm: a) Hệ thống hóa mơ hình hệ 2-D rời rạc b) Nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa lớp hệ dương 2-D tuyến tính c) Phân tích, làm rõ kết [8] toán thiết kế quan sát lớp hệ dương. .. sâu lớp hệ dương 2-D rời rạc, luận văn này, chọn đề tài nghiên cứu Phân tích tính ổn định thiết kế quan sát cho số lớp hệ dương mơ hình Roesser tuyến tính dựa báo [8] tài liệu có liên quan. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MƠ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH Chun ngành: