i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Dung ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Văn Hiện Trong trình làm luận văn Thầy nhiệt tình hướng dẫn chi tiết, tạo môi trường nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cơ nhiệt tình giảng dạy lớp k5 Cao học tốn giải tích Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để Tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Tổ giải tích Trường ĐH HỒNG ĐỨC tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2015 Nguyễn Thị Dung iii Mục lục Bảng ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm tốn ổn định Lyapunov 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 1.2.1 Đạo hàm Dini 1.2.2 M-ma trận Chương Tính ổn định hữu hạn lớp hệ tuyến tính có trễ hỗn hợp biến thiên 2.1 Phát biểu toán 2.2 Kết 11 2.3 Ví dụ minh họa 13 Chương Tính ổn định hữu hạn lớp hệ phi tuyến khơng dừng có trễ dạng tỉ lệ 15 3.1 Phát biểu toán 15 3.2 Kết 16 3.3 Ví dụ so sánh 22 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 iv Bảng ký hiệu n Tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng hx, yi = xT y chuẩn vectơ kxk∞ = maxi∈n |xi | u, v ∈ Rn , u ≤ v uv ⇔ ui ≤ vi , ∀i ∈ n; ⇔ ui < vi , ∀i ∈ n diag{A1 , A2 , , An } Ma trận chéo khối gồm phần tử A1 , A2 , , An C([a, b], Rn ) Tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] Mở đầu Nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính chất ổn định nói riêng (đặc biệt tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ) cho hệ phương trình vi phân có trễ chủ đề nghiên cứu có tính thời vài thập kỷ qua Xuất phát từ thực tế rằng, nhiều lớp hệ mơ hình ứng dụng, từ khoa học đời sống, kinh tế, môi trường đến mơ hình sinh học mơ hình kĩ thuật vật lí, hóa học, học, điều khiển tự động v.v thường xuất độ trễ thời gian [1] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu hệ ảnh hưởng đến tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ kĩ thuật Vì tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình điều khiển thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước vài thập kỉ gần (xem [2] tài liệu trích dẫn đó) Cho đến nay, khái niệm ổn định theo Lyapunov nghiên cứu phát triển sâu rộng, lý thuyết thực tế ứng dụng nhiều mơ hình thực tiễn kĩ thuật Khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay ổn định với thời gian ngắn đưa từ năm 50 kỉ XX Nói cách hình thức, hệ ổn định với thời gian hữu hạn cho trước cận điều kiện đầu, quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước đoạn thời gian xác định trước Một cách xác hơn, xét lớp hệ vi phân x(t) ˙ = f (t, x, x(t0 ) = x0 , (0.1) đó, x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ Định nghĩa 0.0.1 (FTS)[3] Cho trước thời điểm t0 , số dương T hai tập χ0 , χt , hệ (0.1) gọi ổn định hữu hạn (t0 , T, χ0 , χt ) x0 ∈ χ0 =⇒ x(t) ∈ χt , ∀t ∈ [t0 ,t0 + T ] Thông thường, tập bao trạng thái đầu trạng thái cuối χ0 , χt cho dạng ellipsoid E = {xT Rx : x ∈ Rn }, R ma trận đối xứng xác định dương Định nghĩa 0.0.1 phát biểu dạng sau Định nghĩa 0.0.2 [3] Cho trước t0 , T > 0, ma trận đối xứng xác định dương R số dương r1 < r2 Hệ (0.1) gọi ổn định hữu hạn (t0 , T, r1 , r2 , R) x0T Rx0 ≤ r1 =⇒ xT (t)Rx(t) < r2 , ∀t ∈ [t0 ,t0 + T ] Khái niệm ổn định theo Lyapunov (LS) khái niệm mang tính định tính, xác định dáng điệu nghiệm vô Khác với khái niệm ổn định Lyapunov, FTS yêu cầu khoảng thời gian hữu hạn (có thể ngắn) khái niệm có tính định lượng Nghĩa là, với tập χ0 tập ξt cố định, quỹ đạo nghiệm hệ xuất phát từ ξ0 không vượt χt khoảng thời gian hữu hạn [t0 ,t0 + T ] cho trước Khái niệm ổn định hữu hạn (FTS) khái niệm ổn định theo Lyapunov hai khái niệm độc lập theo nghĩa hệ FTS khơng ổn định theo Lyapunov ngược lại [3, 4, 5] Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov phát triển ứng dụng thành cơng nhiều mơ hình, gần khái niệm ổn định hữu hạn quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ (xem [3, 4, 5] tài liệu trích dẫn đó) Thơng dừng có trễ biến thiên Nội dung luận trình bày ba chương Chương phần kiến thức chuẩn bị, chúng tơi giới thiệu sơ lược số kiến thức sở có liên quan giới thiệu số kết bổ trợ cho việc trình bày nội chương Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên Dựa cách tiếp cận phiếm hàm tựa Lyapunov–Krasovskii, chúng tơi tìm điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) đảm bảo tính ổn định hữu hạn hệ Trong chương 3, chúng tơi xét tính ổn định hữu hạn lớp hệ nơ-ron khơng dừng có trễ dạng tỉ lệ, loại trễ không bị chặn Nội dung chương trình bày dựa báo [5] người hướng dẫn cộng Thanh Hóa, tháng năm 2015 Tác Giả Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược số kiến thức sở toán ổn định cho hệ phương trình vi phân hàm giới thiệu số kết bổ trợ dùng chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm toán ổn định Lyapunov Với số thực r ≥ 0, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−r, 0] với chuẩn kφ k = sup kφ (s)k −r≤s≤0 Xét toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ t0 , xt0 (t) = x(t0 + t) = φ (t), t ∈ [−r, 0], (1.1) đó, f : D = [t0 , +∞) × C → Rn φ ∈ C hàm ban đầu Sự tồn nghiệm địa phương tốn (1.1) cho định lí Định lý 1.1.1 [6] Giả sử φ ∈ C f : D → Rn hàm liên tục, Lipschitz địa phương theo biến thứ hai D Khi tồn tφ ∈ (t0 , +∞] cho (i) Tồn nghiệm x(t, φ ) (1.1) khoảng [t0 ,tφ ); (ii) Trên đoạn [t0 ,t1 ] ⊂ [t0 ,tφ ), nghiệm x(t, φ ) nhất; (iii) [t0 ,tφ ) khoảng tồn cực đại nghiệm x(t, φ ); (iv) Nghiệm x(t, φ ) phụ thuộc liên tục vào φ , f Trong định lí 1.1.1, hàm f thỏa mãn thêm điều kiện “tăng trưởng tuyến tính” k f (t, φ )k ≤ A(t)kφ k + B(t), A(.), B(.) ∈ C[t0 , +∞) nghiệm x(t, φ ) tồn toàn cục, tức l tφ = +∞ Tổng quát hơn, hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo k f (t, φ )k ≤ Φ(t, kφ k), ∀(t, φ ) ∈ D, đó, Φ : [t0 , +∞) × R+ → (0, +∞) hàm liên tục, không giảm theo t thỏa mãn Z +∞ ds = +∞, t0 ≤ t < +∞, Φ(t, s) nghiệm x(t, φ ) tồn tồn cục Trong mục này, giả thiết hàm f (t, φ ) thỏa mãn điều kiện cho với t0 ∈ [0, +∞), φ ∈ C ([−r, 0], Rn ), tốn (1.1) có nghiệm xác định [t0 , +∞) Hơn nữa, giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, (1.1) có nghiệm x = Nói riêng, hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − h(t)) (1.2) với A, Ad ma trận giả thiết hàm trễ h(t) liên tục, ln có nghiệm toàn cục với điều kiện đầu φ ∈ C([−hmax , 0], Rn ) Định nghĩa 1.1.2 [7, 6] Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định với t0 ∈ R+ , ε > 0, tồn δ = δ (t0 , ε) > cho với nghiệm x(t, φ ) (1.1), kφ k < δ kx(t, φ )k < ε, ∀t ≥ t0 Trong định nghĩa trên, tìm số δ khơng phụ thuộc vào t0 nghiệm x = (1.1) gọi ổn định Nghiệm x = gọi ổn định mũ toàn cục tồn số γ ≥ 1, α > cho nghiệm x(t, φ ) (1.1) thỏa mãn đánh giá kx(t, φ )k ≤ γkφ ke−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Giả sử V : R+ ×C → R hàm liên tục x(t, φ ) nghiệm (1.1) qua (t0 , φ ) Đạo hàm hàm V (t, φ ) dọc theo nghiệm x(t, φ ) xác định h i V˙ (t, φ ) = lim sup V (t + s, xt+s (t, φ )) −V (t, φ ) s→0+ s Định lý 1.1.3 (Lyapunov-Krasovskii Theorem [7]) Giả sử hàm f : R ×C([−r, 0], Rn ) → Rn biến tập R ×Ω, Ω tập bị chặn C([−r, 0], Rn ), thành tập bị chặn Rn u, v, w : R+ → R+ hàm liên tục, không giảm, u(s), v(s) dương với s > 0, u(0) = v(0) = Khi nghiệm x = (1.1) ổn định tồn phiếm hàm liên tục V : R ×C([−r, 0], Rn ) → R+ xác định dương u(kφ (0)k) ≤ V (t, φ ) ≤ v(kφ kC ) cho đạo hàm theo hệ (1.1) thỏa mãn V˙ (t, φ ) ≤ −w(kφ (0)k Nếu w(s) > với s > nghiệm x = ổn định tiệm cận Hơn nữa, lims→∞ u(s) = ∞ nghiệm x = ổn định tiệm cận toàn cục Định lý 1.1.4 (Định lí ổn định mũ [7]) Giả sử hệ (1.1) tồn hàm V = V (t, xt ) thỏa mãn điều kiện (i) ∃λ1 , λ2 > cho λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 ; (ii) V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3 kx(t)k2 , λ3 > Khi nghiệm x = (1.1) ổn định mũ toàn cục Hơn nữa, nghiệm x(t, φ ) hệ (1.1) thỏa mãn đánh giá s λ2 −λ3 /λ1t kx(t, φ )k ≤ e kφ k, λ1 t ≥ 1.2 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [5]) Cho M ∈ Rn×n ma trận đối xứng xác định dương Khi với x, y ∈ Rn ta có 2xT y ≤ xT Mx + yT M −1 y (1.3) Chứng minh Bổ đề chứng minh nhờ phân tích 2xT y = xT Mx + yT M −1 y − 1 kM x − M − yk2 Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Schur [5]) Với ma trận X,Y, Z với số chiều thích hợp Z = Z T > " # T X Y X +Y T Z −1Y < ⇔ < Y −Z (1.4) Bổ đề 1.2.3 (Bất đẳng thức tích phân [5]) Cho số dương σ ma trận đối xứng xác định dương W Khi với hàm vectơ ω(.) khả tích [0, σ ] ta có bất đẳng thức sau Z σ T Z σ  Z σ ω(s)ds W ω(s)ds ≤ σ ω T (s)W ω(s)ds (1.5) 0 1.2.1 Đạo hàm Dini Cho hàm số v : [0, ∞) → R Đạo hàm Dini bên phải D+ v(t) xác định D+ v(t) = lim sup h→0+ v(t + h) − v(t) , t ∈ [0, ∞) h Nếu v(t) khả vi theo nghĩa thơng thường t0 D+ v(t0 ) = v(t ˙ ) Đạo hàm Dini khái niệm mở rộng đạo hàm thường Tuy nhiên tính chất đơn điệu sau cho đạo hàm Dini Mệnh đề 1.2.4 [8] Nếu D+ v(t) ≥ 0,t ∈ [0, ∞) v(t) hàm đơn điệu không giảm khoảng [0, ∞) 1.2.2 M-ma trận Dưới giới thiệu sơ vài tính chất M-ma trận Chi tiết, xem [9] Một ma trận A = (ai j ) gọi M-ma trận j ≤ với i 6= j định thức A dương Tính chất sau sử dụng chứng minh kết chương Mệnh đề 1.2.5 [9] Cho A = (ai j ) ma trận có phần tử ngồi chéo khơng dương, aii > 0, i ∈ n Các khẳng định sau tương đương 16 trị ban đầu xi (t) thời điểm t0 = Tính ổn định hữu hạn hệ (3.1) định nghĩa tương tự Chương Mục đích chương tìm điều kiện ổn định hữu hạn cho hệ (3.1) Chúng xét giả thiết sau (A1) Các ma trận D(t) = diag{d1 (t), d2 (t), , dn (t)},W0 (t) = (w0i j (t)),W1 (t) = (w1i j (t)) thỏa mãn di (t) ≥ d i > 0, |w0i j (t)| ≤ w0i j , |w1i j (t)| ≤ w1i j , ∀t ≥ 0, i, j ∈ n (A2) Các hàm kích hoạt fi , gi , i ∈ n, thỏa mãn − li1 ≤ fi (x) − fi (y) + ≤ li1 , x−y − li2 ≤ gi (x) − gi (y) + ≤ li2 , ∀x, y ∈ R, x 6= y, x−y lik− , lik+ , k = 1, 2, số cho trước Nhận xét 3.1.1 Các số lik− , lik+ , i ∈ n, k = 1, 2, giả thiết (A2) dương, âm khơng Như trao đổi [?], giả thiết (A2) nhẹ điều kiện dạng Lipschitz nghiên cứu định tính hệ nơ-ron Tuy nhiên, để thiết lập điều kiện ổn định hữu hạn hệ không ô-tô-nôm (3.1), cần đánh giá trội từ (A2) + − + − fi (x) − fi (y) ≤ max{li1 , −li1 }|x − y|, gi (x) − gi (y) ≤ max{li2 , −li2 }|x − y| − − + + , −li2 } Với i ∈ n, chúng tơi kí hiệu Fi = max{li1 , −li1 } and Gi = max{li2 ma trận sau D = diag{d , d , , d n }, W = (w0i j ), F = diag{F1 , F2 , , Fn }, G = diag{G1 , G2 , , Gn }, W = (w1i j ), M = W F + W G − D 3.2 Kết Tính ổn định hữu hạn hệ (3.1) phát biểu định lí 17 Định lý 3.2.1 [5] Với giả thiết (A1), (A2), cho trước < r1 < r2 T > 0, hệ (3.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) tồn số dương γ vectơ ξ ∈ Rn , ξ  0, thỏa mãn điều kiện sau (i) (M − γI) ξ ≺ 0, (ii) C(ξ ) < r2 −γT e , r1 C(ξ ) = ξ u ξl−1 kí hiệu số điều kiện ξ Chứng minh Với ξ = (ξi ) ∈ Rn thỏa mãn ξ  (M − γI)ξ ≺ 0, ta có n ∑
w0i j Fj + w1i j G j ξ j < (γ + d i )ξi , ∀i ∈ n (3.2) j=1 Giả sử x∗ (t) x(t) hai nghiệm (3.1) Từ (3.1) ta có n   d ∗ ∗ (xi (t) − xi (t)) = − di (t) [xi (t) − xi (t)] + ∑ w0i j (t) f j (x j (t)) − f j (x∗j (t)) dt j=1 n   + ∑ w1i j (t) g j (x j (qi jt)) − g j (x∗j (qi jt)) , t > j=1 (3.3) Kí hiệu zi (t) = xi (t)−xi∗ (t), t > 0, zi (0) = xi (0)−xi∗ (0), i ∈ n, and z0 = (zi (0)) ∈ Rn Từ (3.3), với (A2), ta có D+ |zi (t)| = sgn(zi (t))˙zi (t) n ≤ − di (t)|zi (t)| + ∑ |w0i j (t)|| f j (x j (t)) − f j (x∗j (t))| j=1 n + ∑ |w1i j (t)||g j (x j (qi jt)) − g j (x∗j (qi jt))| j=1 n ≤ − d i |zi (t)| + ∑ j=1 n Fj w0i j |z j (t)| + ∑ G j w1i j |z j (qi jt))|, ∀i ∈ n, t ∈ [0, T ] j=1 (3.4) D+ kí hiệu đạo hàm Dini bên phải Xét hàm vi (t), i ∈ n, định nghĩa sau vi (t) = ξl−1 kz0 k∞ ξi eγt , t ≥ (3.5) 18 Để ý rằng, với t ≥ 0, i, j ∈ n, ta có v j (qi jt) = ξl−1 kz0 k∞ ξ j eγqi j t = v j (t)e−γ(1−qi j )t ≤ v j (t) (3.6) Do đó, từ (3.5) (3.6) suy n n −d i vi (t) + ∑ Fj w0i j v j (t) + j=1 ∑ G j w1i j v j (qi jt) j=1 n
≤ −d i vi (t) + ∑ Fj w0i j + G j w1i j v j (t) j=1  n ≤ ξl−1 kz0 k∞ eγt − d i ξi + ∑ 
Fj w0i j + G j w1i j ξ j j=1 Điều này, với (3.2), cho n n v˙i (t) ≥ −d i vi (t) + ∑ Fj w0i j v j (t) + ∑ G j w1i j v j (qi jt), t ≥ j=1 (3.7) j=1 Bước tiếp theo, ta chứng minh |zi (t)| ≤ vi (t), ∀t ∈ [0, T ], i ∈ n Chúng định nghĩa ρiλ (t) = |zi (t)| − λ vi (t), t ∈ [0, T ], i ∈ n, λ > số Rõ ràng |zi (0)| ≤ kz0 k∞ ≤ ξl−1 ξi kz0 k∞ < λ vi (0) Do ρiλ (0) < với i ∈ n Bằng lập luận phản chứng, giả sử tồn i ∈ n t∗ ∈ (0, T ) cho ρiλ (t∗ ) = ρ λj (t) ≤ 0, ∀t ∈ [0,t∗ ], j ∈ n Khi đó, với t ∈ [0,t∗ ), từ (3.4) (3.7) ta có D+ ρiλ (t) = D+ |zi (t)| − λ v˙i (t) n     ≤ − d i |zi (t)| − λ vi (t) + ∑ Fj w0i j |z j (t) − λ v j (t) j=1 n   + ∑ G j w1i j |z j (qi jt)| − λ v j (qi jt) j=1 n n ≤ − d i ρiλ (t) + ∑ Fj w0i j ρ λj (t) + ∑ G j w1i j ρ λj (qi jt) j=1 ≤ − d i ρiλ (t) j=1 19 Từ có ρiλ (t) ≤ ρiλ (0)e−d it , t ∈ [0,t∗ ) Cho t ↑ t∗ ta = ρiλ (t∗ ) ≤ ρiλ (0)e−d it∗ < Mâu thuẫn chứng tỏ ρiλ (t) ≤ |zi (t)| ≤ λ vi (t) với t ∈ [0, T ], i ∈ n Cho λ → 1+ ta thu |zi (t)| ≤ vi (t) = ξl−1 kz0 k∞ ξi eγt , t ∈ [0, T ], i ∈ n (3.8) Từ (3.8) ta có kx(t)−x∗ (t)k∞ = max |zi (t)| ≤ ξ u ξl−1 kz0 k∞ eγt ≤ C(ξ )kx(0)−x∗ (0)k∞ eγt , t ∈ [0, T ] i∈n (3.9) Bây cho 3.2.1, ta có kx(0) − x∗ (0)k ∞ ≤ r1 , (3.9) điều kiện (ii) Định lí kx(t) − x∗ (t)k∞ ≤ C(ξ )kx(0) − x∗ (0)k∞ eγt ≤ C(ξ )r1 eγT < r2 , ∀t ∈ [0, T ] Kết chứng tỏ hệ (2.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) Định lí chứng minh Nhận xét 3.2.2 Điều kiện (i) Định lí 3.2.1 khơng đảm bảo tính ổn định tiệm cận theo Lyapunov hệ (3.1) Hơn nữa, (i), (ii) thỏa mãn với T > 0, r2 > r1 > 0, hệ (3.1) khơng ổn định tiệm cận (xem phản ví dụ mục sau) Nhận xét 3.2.3 Nếu điều kiện (i) Định lí 3.2.1 thỏa mãn với γ ≤ điều kiện (ii) loại bỏ Cụ thể hơn, tồn vectơ ξ ∈ Rn , ξ  0, thỏa mãn M ξ ≺ hệ (3.1) ổn định hữu hạn < r1 < r2 , T > Thật vậy, với ξ ∈ Rn , ξ  0, cho M ξ ≺ 0, M ξˆ ≺ 0, ξˆ = (ξˆi ) ∈ Rn , ξˆi = ξui Với < r1 < r2 , T > 0, limγ↓0 r2 e−γT > = C(ξˆ ), tồn r1 ξ γ > cho Mγ ξˆ ≺ C(ξˆ ) < r2 −γT r1 e Do hệ (3.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) theo Định lí 3.2.1 Nhận xét 3.2.4 Vì ma trận −Mγ := γI − M M-ma trận [9], điều kiện (i) Định lí 3.2.1 kiểm tra nhiều dấu hiệu, chẳng hạn điều kiện tương đương (i)-(v) Mệnh đề 1.2.5 20 Nhận xét 3.2.5 Một lưu ý quan trọng khác, với điều kiện ngặt hơn, tồn ξ ∈ Rn , ξ  0, cho M ξ ≺ 0, hệ (3.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ), < r1 < r2 , T > 0, mà hệ cịn có tính chất đồng khoảng thời gian vô hạn Như trao đổi Nhận xét 3.2.5, kết rằng, −M M-ma trận không suy biến hai nghiệm (3.1) đồng hóa dạng mũ vơ hạn Cụ thể ta có kết sau Định lý 3.2.6 [5] Giả sử giả thiết (A1) and (A2) thỏa mãn −M M-ma trận khơng suy biến Khi tồn số dương β , σ , độc lập với nghiệm (3.1), cho hai nghiệm x(t), x∗ (t) (3.1) thỏa mãn bất đẳng thức sau kx(0) − x∗ (0)k∞ , t ≥ kx(t) − x (t)k∞ ≤ β (1 + t)σ ∗ (3.10) Chứng minh Từ điều kiện (iv) Mệnh đề 1.2.5, tồn ξ ∈ Rn , ξ  0, cho (−M )ξ  Do n
−d i ξi + ∑ Fj w0i j + G j w1i j ξ j < 0, ∀i ∈ n j=1 n
o n Đặt η = mini∈n d i ξi − ∑ j=1 Fj wi j + G j wi j ξ j η > ta có n
−d i ξi + ∑ Fj w0i j + G j w1i j ξ j ≤ −η, i ∈ n j=1 Với i ∈ n, hàm Hi (σ ) xác định n   σ ln Hi (σ ) = σ ξi + ∑ G j w1i j ξ j e qi j − − η j=1 liên tục tăng ngặt [0, ∞), Hi (0) < Hi (σ ) → ∞ σ → ∞ Do đó, phương trình Hi (σ ) = có nghiệm dương σi Kí hiệu σ = mini∈n σi Hi (σ ) ≤ 0, ∀i ∈ n Sử dụng tính chất   σ ξi 1+t ≤ σ ξi , ln ≤ ln , 1+t + qi j t qi j 21 với t ≥ 0, i, j ∈ n, ta n n σ ξi − d i ξi + ∑ Fj w0i j ξ j + ∑ G j w1i j ξ j e 1+t j=1 j=1   1+t σ ln 1+q t ij ≤ (3.11) Cho x(t) x∗ (t) hai nghiệm (3.1) Xét hàm ϕi (t), i ∈ n, xác định ϕi (t) = ξl−1 kx(0) − x∗ (0)k∞ ξi e−σ ln(1+t) , t ≥ Tương tự (3.7) ta có n n ϕ˙ i (t) ≥ −d i ϕi (t) + ∑ Fj w0i j ϕ j (t) + ∑ G j w1i j ϕ j (qi jt), t ≥ (3.12) j=1 j=1 Bằng lập luận tương tự (3.9) áp dụng cho (3.12), ta kx(t) − x∗ (t)k∞ ≤ β kx(0) − x∗ (0)k∞ e−σ ln(1+t) , t ≥ 0, (3.13) β = C(ξ ) = ξ u ξl−1 Định lí chứng minh Nhận xét 3.2.7 Như trình bày [?], theo (3.10), hệ (3.1) ổn định toàn cục kiểu đa thức với tốc độ hội tụ σ Hơn nữa, từ chứng minh Định lí 3.2.6 nhận thấy tốc độ hội tụ mũ đa thức σmax xác định thủ tục sau • Xác định vectơ ξ ∈ Rn , ξ  0, thỏa mãn M ξ ≺ • Tính n  η = (−M ξ )l = d i ξi − ∑ ξ j w0i j Fj + w1i j G j i∈n 
(3.14) j=1 • Tốc độ hội tụ mũ σmax tính lặp n   σ ln max σ > : Hi (σ ) = σ ξi + ∑ G j w1i j ξ j e qi j − − η ≤ 0, ∀i ∈ n j=1 (3.15) 22 3.3 Ví dụ so sánh Trong mục này, trước hết ta xét trường hợp đặc biệt hệ (3.1), với hệ số để tính vượt trội điều kiện thu mục trớc Phần cuối mục số ví dụ minh họa cho điều kiện ổn định thu Trước hết, thấy rằng, mơ hình (3.1) dạng tổng qt mơ hình mạng nơ-ron với trễ tỉ lệ Hơn nữa, qi jt = t − τi j (t), τi j (t) = (1 − qi j )t hàm trễ truyền tải, τi j (t) → ∞ t → ∞, qi j 6= Vì τi j (t), i, j ∈ n, hàm trễ khơng bị chặn Thêm nữa, thấy từ Định lí 3.2.6 điều kiện đưa Định lí 3.2.6 đảm bảo tính ổn định đạng đa thức lớp mạng nơ-ron có trễ khơng bị chặn Bây ta xét lớp đặc biệt (3.1) với hệ số dạng sau n n x˙i (t) = −di xi (t) + ∑ w0i j f j (x j (t)) + ∑ w1i j g j (x j (qi jt)) + Ii , j=1 t > 0, j=1 (3.16) xi (0) = xi0 , i ∈ n, hàm kích hoạt f j (.), g j (.), j ∈ n, thỏa mãn giả thiết (A2), di , Ii , w0i j , w1i j , i, j ∈ n, số di > 0, i ∈ n e = diag{d1 , d2 , , dn }, |W0 | = (|w0 |), |W1 | = (|w1 |) M f= Ta kí hiệu D ij ij e + |W0 |F + |W1 |G Nếu tồn ξ ∈ Rn , ξ  cho M fξ ≺ hệ (3.16) −D có điểm cân Theo Định lí 3.2.6, điểm cân ổn định dạng đa thức Do Định lí 3.2.6 tổng qt hóa số kết công bố (chi tiết, xem trao đổi [5]) Mặt khác, hệ (3.16), điều kiện đưa [10] (Định lí 3.3) là, tồn σ > ξ ∈ Rn , ξ  0, cho n ξi (di − σ ) >
|w0ji |Fi + |w1ji |Gi eσ τi , i ∈ n, ∑ ξj (3.17) j=1 qi j = qi , ∀ j ∈ n, τi = − ln qi Rõ ràng eσ τi = q1σ ≥ Do (3.17) suy i n ξi di > ξi (di − σ ) > ∑ ξ j |w0ji|Fi + |w1ji|Gieσ τi
j=1 n ≥ ∑ ξj j=1
|w0ji |Fi + |w1ji |Gi , ∀i ∈ n 23 flà M-ma trận không suy biến Như điều kiện Điều chứng tỏ −M đưa Định lí 3.2.6 bớt bảo thủ so với điều kiện [10] Dưới chúng tơi giới thiệu số ví dụ minh họa cho điều kiện ổn định đưa mục trước Ví dụ 3.3.1 Xét (3.1) với d1 (t) = + | sin 3t|, d2 (t) = + cos2 2t, # " # " sin t 2| cos 2t| | sin 3t| √ , W0 (t) = , W1 (t) = 0 cos2 2t sin2 2t q f1 (x1 ) = + x12 , f2 (x2 ) = ln(1 + exp(x2 )), g1 (x1 ) = cos(x1 ), g2 (x2 ) = tanh(x2 ), " # " # 0.5 0.8 (qi j ) = , I(t) = 0.6 0.9 Rõ ràng giả thiết (A1)-(A2) thỏa mãn Hơn ta có " # " # D = diag{4, 3},W = ,W = , F = G = I2 , 0 M = # " −2 2 −2 Chú ý −M không M-ma trận không suy # " + γ −2 biến Tuy nhiến, với γ > 0, ma trận −Mγ = γI − M = −2 + γ M-ma trận không suy biến Miền nghiệm bất phương trình Mγ ξ ≺ cho ( " # ) ξ1 2+γ ξ= ∈ R2 : ξ1 > 0, ξ2 > 0, ξ1 < ξ2 < ξ1 2+γ ξ2 Cho r1 = 1, r2 = 1.2 γ = 0.01 0.995 < C(ξ ) < 1.005 với nghiệm ξ  Mγ ξ ≺ Do đó, hệ (3.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) với < T < Tmax = 18.73 Trong kết mô T = 15 Như Hình 4.1, quỹ đạo với điều kiện đầu kx(0)k ≤ r1 không vượt r2 đoạn [0, T ] 24 Hình 3.1: Quỹ đạo |x1 (t)|, |x2 (t)| hệ (3.1) [0, 15] Trong ví dụ tiếp theo, chúng tơi rằng, điều kiện Định lí 3.2.1 thỏa mãn với r1 , r2 , T > 0, hệ (3.1) không ổn định tiệm cận theo Lyapunov Ví dụ 3.3.2 Xét phương trình sau x(t) ˙ = −(1 + e−t )x(t) + (1 − e−t )x(0.5t), t > 0, x(0) = x0 (3.18) Khơng khó khăn kiểm tra rằng, điều kiện (i) (ii) Định lí 3.2.1 thỏa mãn với < r1 < r2 T > Do (3.18) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ), < r1 < r2 , T > Bây ta chứng minh (3.18) không ổn định tiệm cận theo Lyapunov Chú ý từ (3.18), x(t) > với t > x0 > Giả sử x(t) nghiệm (3.18) với x0 > Xét −t −1) hàm v(t) = x0 e2(e , t ≥ Khi v(t) ˙ ≤ −(1 + e−t )v(t) + (1 − e−t )v(0.5t), ∀t ≥ Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.2.6 ta x(t) ≥ v(t) = x0 e2(e −t −1) với t ≥ Điều suy lim inf x(t) ≥ x0 e−2 > t→∞ Do nghiệm x = (3.18) không ổn định tiệm cận theo Lyapunov Hơn nữa, Hình 4.2 nghiệm x(t) (3.18) hội tụ tới x(0)e−2 25 Hình 3.2: Một quỹ đạo (3.18) với x(0) = Ví dụ để điều kiện mục 3.2 bớt bảo thủ so với số kết gần đây, chẳng hạn [10, 11] Ví dụ 3.3.3 Xét hệ (3.16) với e = diag{4, 3}, W0 = D " # 1 , W1 = " # ,I= " # 0 , fi (xi ) = gi (xi ) = 0.5 (|x1 + 1| − |xi − 1|) qi j = q = 0.5, i, j = 1, 2." # −3 f= Rõ ràng (A2) thỏa mãn với Fi = Gi = ma trânh −M fξ ≺ 0, ξ = M-ma trận không suy biến Hơn nữa, dễ thấy M (1 0.25)T Do đó, theo Định lí 3.2.6, hệ (3.16) ổn định dạng đa thức Điều quan trọng cần thấy rằng, điều kiện ổn định đưa [10] không thỏa mãn Cụ thể hơn, với σ ∈ (1, 3), cách tính ma trận K = (ki j ), ki j = (di − σ )−1 (|w0i j |Fj + |w1i j |G j eσ τi ) τi = − ln q, ta " σ ln # σ ln K= 2+e 4−σ 1+2e 4−σ 1+eσ ln 3−σ , ρ(K) > với σ ∈ (1, 3) Điều chứng tỏ điều kiện ổn định [10] không thỏa mãn e = γI2 , γ > số W0 = W1 = I2 , Ví dụ 3.3.4 Xét hệ (3.16) với D fi (xi ) = gi (xi ) = 0.5 (|xi + 1| − |xi − 1|) qi j = q ∈ (0, 1), i, j = 1, Rõ ràng 26 f= (2 − γ)I2 Theo Định lí 3.2.6 hệ (A2) thỏa mãn với F = G = I2 , M (3.16) ổn định dạng đa thức với γ > q ∈ (0, 1) Theo Định lí 3.1 [11], hệ cho ổn định tiệm cận toàn cục tồn β > 0, ma trận chéo M, N1 , N2 với phần tử chéo dương thỏa mãn 2(1 − γ)M + ∑ i=1   β −1 −1 T Ni + β MBri Ni Bri M < 0, q (3.19) " # " # 0 Br1 = Br2 = Chú ý 0
β Ni + β −1 MBri Ni−1 BTri M ≥ √ MBri + BTri M , q q (3.19) dẫn tới 2(1 − γ)M + √ M < q (3.20) Dễ thấy (3.20) thỏa mãn với ma trận chéo M > √1q < γ − 1 Kết suy γ > + √1q > q > (γ−1) Rõ ràng điều kiện [11] dẫn tới kết bảo thủ nhiều so với điều kiện đưa [5] 27 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương chúng tơi xét tính ổn định hữu hạn lớp hệ nơ-ron khơng dừng có đa trễ tỉ lệ dựa nội dung báo [5] Bằng việc phát triển kĩ thuật hệ dương, tác giả tìm số điều kiện thông qua bất đẳng thức M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ nói Trong trường hợp ngặt, điều kiện dẫn tới tính chất đồng hệ khoản thời gian vô hạn 28 Kết luận Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho số lớp hệ có trễ biến thiên Cụ thể kết trình bày luận văn Trong chương 2, dựa cách đánh giá tương tự hàm LyapunovKrasovskii nghiên cứu tính ổn định theo Lyapunov, chúng tơi tìm điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận cho tính ổn định hữu hạn lớp hệ tuyến có trễ hỗn hợp biến thiên Chương 3, xét tính ổn định hữu hạn lớp hệ khơng dừng có cấu mạng nơ-ron với đa trễ tỉ lệ dựa nội dung báo [5] 29 Tài liệu tham khảo [1] E Fridman, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control, Birkhăauser, 2014 [2] L.V Hien, N.T An and H Trinh, New results on state bounding for discrete-time systems with interval time-varying delay and bounded disturbance inputs, IET Control Theory Appl., 8(14), 2014, pp 1405–1414 [3] F Amato, R Ambrosino, M Ariola, C Cosentino, G De Tommasi, Finite-Time Stability and Control, Springer-Verlag, London, 2014 [4] L.V Hien, An explicit criterion for finite-time stability of linear nonautonomous systems with delays, Appl Math Lett 30, 2014, pp 12–18 [5] Le Van Hien, Doan Thai Son, Finite-time stability of a class of non-autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Appl Math Comput 251, 2015, pp 14–23 [6] V Kolmanovskii and A Myshkis, Applied Theory of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, 1992 [7] J K Hale and SM Verduyn Lunel, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993 [8] B.S Thomson, J.B Bruckner, A.M Bruckner, Elementary Real Analysis, Prentice Hall, 2001 [9] A Berman, R.J.Plemmons, Nonnegative Matrices in the mathematical Sciences, SIAM, Philadelphia, 1994 30 [10] L Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multiproportional delays, Neural Process Lett 38, 2013, pp 347–359 [11] L Zhou, X Chen, Y Yang, Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays, Appl Math Comput 229, 2014, pp 457–466